Seminario: Paradojas, circularidad y universalidad expresiva

Saul Kripke

“Outline of Theory

Of Truth” J of Phil

Vol. 72 (1975)

La verdad como un punto fijo:Kripke, Paradojas y Revisión

Russell le pregunta a Moore:- ¿Usted siempre dice la verdad?

Moore:- No

Russell:

Su respuesta negativa es la única falsedad que ha dicho

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Modos de obtener autorreferencia:

<L, M> permite la autorreferencia si para todo P(x) hay un término tal que:

P() M = P ( «P()»)M

tiene la propiedad P “ tiene la propiedad P” tiene la proiedad P.

P(Esta) M = P ( «P(Esta)»)M Esta/”Esta”.

Diagonalización: la diagonalización de una fórmula (x) es

(«(x)») se aplica a sí mismo.

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Lema de diagonalización:

La aritmática formal permite la autorreferencia

P() M = P ( «P(«»)»)M

Definición: T es un predicado veritativo en <L, M> si, para todo

T(«») M = M

Si M es un modelo clásico, la anterior equivalencia es el esquema T

T(«») M = M (The Liar)

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Resumen:

1. Podemos formalizar nuestros argumentos informales en lenguajes formales de primer orden interpretados <L,M>.

2. El concepto de verdad es un concepto universal.

a. El concepto de verdad es una concepto diadonal.

b. El concepto de verdad es autorreferencial.

Teorema de Tarski: No hay un <L, M> que cumpla

a. Autorreferencia

b. Contenga su propio predicado veritativo

c. Tenga negación clásica.

Prueba: Si valen a, b y c, se puede representar dentro de la estructura <L, M> laas paradojas (The Liar).

Objetivo: encontrar lenguajes interpretados <L,M> que sean consistentes y que permitan autorreferencia (incluyendo la posibilidad de expresar su propio predicado veritativo).

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Crítica al enfoque ortodoxo:

 -No hay niveles intrínsecos desde donde se hagan las atribuciones de verdad, porque

-(i) En el lenguaje natural tenemos un sólo predicado veritativo y no, tal como Tarski propone, una infinitud de predicados con subíndices.

-(ii) El predicado veritativo no es una expresión ambigua,

-(iii) Los hablantes que no tienen que comprometerse (ni implicitamente) con la existencia de metalenguajes de nivel apropiado que hagan posibles sus predicaciones de verdad.

-Un hablante no tiene manera de conocer los “niveles” en los que presuntamente están realizadas las predicaciones

- Hay atribuciones omniabarcantes

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4.- El lenguaje natural y su propio predicado veritativo

 

¿Cómo es posible que un lenguaje que contenga su propio predicado veritativo no conduzca a contradicción?

(1) La mayoría de las afirmaciones de Nixon acerca de Watergate son falsas

(2) Todo lo que dice Juan sobre Watergate es verdadero

Juan emite (1) y Nixon emite (2)

Supongamos que (1) es la única afirmación que hace Juan sobre Watergate

Supongamos que las afirmaciones de Nixon sobre Watergate se encuentran repartidas por mitades entre la verdad y la falsedad, excepto por (2)

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(1) La mayoría de las afirmaciones de Nixon acerca de Watergate son falsas

(2) Todo lo que dice Juan sobre Watergate es verdadero

¿Cuál es el valor veritativo de (1)?

Hay dos alternativas: que sea verdadera o que sea falsa.

Si (1) es verdadera, (2) es falsa Pero, si (2) es falsa, todo lo que Juan dice sobre Watergate es falso. Pero, lo único que Juan dice sobre Watergate es (1). Por lo tanto, (1) es falsa y esto se deduce de haber supuesto su verdad.

Si (1) es falsa, (2) es verdadera. Pero, si (2) es verdadera, (1) es verdadera, ya que es todo lo que Juan dijo sobre Watergate. Pero, de suponer que (1) es falsa, se deduce que es verdadera.

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Idea de fundamentación :

Hay oraciones cuyas condiciones de verdad pueden ser establecidas por medio de una oración que no contiene el concepto de verdad.

Las condiciones veritativas de estas oraciones dependen del mundo.

 

Hay otras oraciones cuyas condiciones de verdad no pueden ser establecidas de esta manera. En el establecimiento de sus condiciones de verdad no deja de aparecer el concepto de verdad. Esas oraciones no están fundadas.

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5.- El lenguaje natural y su propio predicado veritativo

 

Las oraciones paradójicas resultan ser en la teoría un subconjunto de las oraciones infundadas. Dado que las oraciones infundadas carecen de valores de verdad, las oraciones paradójicas poseen la misma propiedad. Por lo cual, se evita la supuesta contradicción.

Oraciones fundadas Oraciones Infundadas

Truthteller

Oraciones contextualmente paradójicas

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6.- Argumento del aprendizaje:

 

El proceso de enseñanza del predicado veritativo consiste en

 

(i) hacer ver al que aprende cómo usar el mencionado predicado: cada vez que se sienta en condiciones de afirmar (o negar) una oración, y sólo en esos casos, se esperará que se sienta en condiciones de afirmar (o negar) la verdad de esa oración.

 (ii) se muestra que lo mismo vale de aquellas oraciones que predican verdad (o falsedad) de otras.

----- Las oraciones que predican valores veritativos tienen un carácter riesgoso: en circunstancias empíricas desfavorables (por ejemplo que antes se hayan o no efectuado otras emisiones) pueden siempre resultar paradójicas.

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7.- La teoría de Kripke

- Construcción de una sucesión de lenguajes precisamente definidos, cada uno de los cuales representa las etapas de la adquisición del uso del predicado veritativo. -Cada uno contiene su propio predicado veritativo que se aplica a alguna de sus oraciones. -Este proceso se inicia con un lenguaje (punto mínimo) en donde se asigna el conjunto vacío como extensión y como antiextensión del predicado veritativo y culmina cuando se llega a un lenguaje (un punto fijo) cuyo predicado veritativo se aplica a todas las oraciones a las que intuitivamente hablando cabria de esperar que se aplicase (respetando la fundamentación de esas oraciones). -Este es el punto fijo mínimo (cuando el proceso se inicia asignando el conjunto vacío como extensión y antiextensión). -En los casos interesantes aparecerán oraciones que no son ni verdaderas ni falsas.

-Una oración fundada será aquella que tenga valor veritativo en el punto fijo mínimo. Carecer de valor veritativo en ese punto es equivalente a ser paradójica.

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Teoría de los Puntos Fijos.

Objetivo: construir un <L,M> que permita la autorreferencia y que contenga su propio predicado veritativo.

La teoría de la verdad como punto fijo es una de las herramientas más importantes en la semántica contempóranea para el tratamiento de la autorreferencia en lenguajes que contengan su propio predicado veritativo.

En el enfoque de Kripke, se utiliza un tercer valor de verdad (“indefinido”) para extender el aparato teórico y permitir el tratamiento de las paradojas.

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Teoría de los Puntos Fijos.

Esto conduce a la idea de contruir el predicado veritativo en pasos.

Paso 0 Paso 1 Paso 2

T(« T(«Primo(5)») »)

Primo (5) T(«Primo(5)») T(«Primo(5)»)

Primo (5) Primo (5)

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-Punto fijo: interpretación en la cual la extensión de los predicados veritativos no crece (las extensiones están saturadas).

-Es una asignación de valores veritativos bajo la cual todas las oraciones fundamentadas reciben un valor de verdad.

-En un punto fijo puede haber oraciones que no reciban valores de verdad (de hecho, las oraciones paradójicas no lo reciben), pero si se construye una nueva interpretación con los procedimientos mencionados, las extensiones no cambiarán. -Una oración fundamentada tiene el mismo valor de verdad en todo punto fijo.

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Sea M0 una interpretación

Para todo i N, sea Mi + 1 = la interpretación Mi excepto en

que T(«») Mi+1 = Mi

Una secuencia de interpretaciones M0, M1 , M2 M3 … un punto fijo Mi si Mi = Mi+1 (la secuencia estabiliza en i).

Sea Mi+1 = la interpretación Mi excepto en que T(«») Mi+1 = Mi

Supongamos que Mi es un punto fijo para algún i. Entonces Mi+1= Mi, esto es,

T(«») Mi = Mi

Lo que muesta que T es el predicado veritativo.

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La negación fuerte se pierde, ya que

M = () Mi cuando M = i

V t f i T t t t t f

F t f i f t

I t i i i i

Sea M0 = T(«») M0 = i para todo .

Mi+1 = la interpretación Mi excepto en que T(«») Mi+1 = Mi

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Sea M0 = T(«») M0 = i para todo .

Mi+1 = la interpretación Mi excepto en que T(«») Mi+1 = Mi

Supongamos que en L tenemos a

el mentiroso T(«») M0 = M0

En el proceso de ir definiendo la extensión y la antiextensión de T, hasta llegar a un punto fijo, el mentiroso nunca llega a ser ni verdadero ni falso.

¿Qué sucede con la oración “La mayoría de lo que dice Nixon acerca de Watergate es falso”?

Depende de la información empírica inicial reprerentada en M0

 

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Etapa 1:  I1 asigna V (F) a todo lo que Io a todo lo que asigna V (F)

(como Io asigna vacio en los dos casos, estas dos reglas carecen de efectos)

I1 asigna para toda oración atómica del dominio 'es verdadero' ssi el objeto nombrado por el sujeto de la oración es un miembro de la clase a la que según Io se aplica el predicado de la oración. 

I1 (es verdadero) = (Watergate fue un escándalo) (Es la unión de lo que Io le asigna a 'es verdadero' y el conjunto de las oraciones en las cuales el objeto denotado por el sujeto pertenece a la extensión del predicado)

I1 asigna para toda oración atómica del dominio 'es falso' ssi el objeto nombrado por el sujeto de la oración es un miembro de la antiextensión a la que según Io se aplica el predicado.

I1 (es falso) = (Nix es inoc) (Es la U de lo que Io le asig. a 'es falso' y el conj de las o en las cuales el obj den por el sujeto pertenece a la antiextensión del predicado)

Análisis Kripkeano:

 D = < Juan, Nixon, Watergate, (2) 'Todo lo que dice Juan sobre Watergate es verdadero', (1) 'La mayoría de las afirmaciones de Nixon acerca de Watergate son falsas', 'Watergate fue un escándalo', 'Nixon es inocente'> Etapa 0: Io(lo que Juan dice acerca de Watergate) = (1)  Io(lo que Nixon dice acerca de Watergate) = (La oración (2), Watergate fue un escándalo, Nixon es inocente) Io(fue un escándalo)= Watergate Io (no ser inocente) = Nixon Io (es verdadero) = el conjunto vacío Io (es falso) = el conjunto vacío

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-Nótese que si un objeto (por ejemplo, Watergate fue un escándalo) no pertenece ni a la extensión ni a la antiextensión de un predicado (por ejemplo, es verdadero), la oración correspondiente (digamos, Watergate fue un escándalo es verdadera) no resulta ni verdadera ni falsa.

- Las oraciones paradójicas no recibirán valores de verdad en ninguna interpretación In.

-Esto es así, ya que si continuamos construyendo nuevas interpretaciones a partir de las interpretaciones ya definidas de acuerdo con las reglas ya mencionadas, una interpretación In asignará un valor veritativo a una oración paradójica sólo si In-1 asignó a la misma oración el mismo valor de verdad. -Pero, In-1 hará tal cosa sólo si In-2 lo hizo. Pero, ya que Io no asigna a ninguna de estas oraciones valor de verdad alguno, tales oraciones nunca recibirán un valor de verdad.

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- Con respecto al carácter potencialmente paradójico de (1) y (2), eso depende de la información empírica con la que fijemos la interpretación de los predicados 'ser un escándalo' y 'no ser inocente' . -En una situación distinta, desde el punto de vista empírico, una misma oración puede no resultar paradójica y recibir un valor de verdad. -Lo que garantiza la teoría de Kripke es que en las circunstancias empíricas desfavorables esas oraciones carecen de valor de verdad.

 -La interpretación Io es una que representa una situación empírica desfavorable para (1) y (2). - -La oración (2) tiene un cuantificador universal y (1) un cuantificador que expresa la mitad + 1.

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8.- ¿Hay un único punto fijo?

 

- No. Hay más de uno. El punto fijo mínimo no es el único punto fijo. Para probar esta idea es necesario prestar atención al siguiente ejemplo: en el punto fijo mínimo, la oración

- Esta oración es verdadera (Truthteller)

 

tiene el valor de verdad indeterminado. Pero consistentemente, esa oración puede ser verdadera o puede ser falsa. Habrá entonces otros puntos fijos, distintos al punto fijo mínimo, donde las oraciones fundadas del lenguaje reciban iguales valores de verdad, pero alternativamente la oración en cuestión (truthteller) resulte verdadera o resulte falsa.

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9.- Tipos de puntos fijos:

Un punto fijo es mínimo si en esa asignación de valores veritativos las únicas oraciones que reciben valores de verdad determinados (y sólo ellas) son las oraciones fundadas.

 

Un punto fijo es maximal si en esa asignación de valores veritativos reciben valores de verdad determinados tantas oraciones del lenguaje como sea posible. Además de las oraciones fundadas reciben valores de verdad determinados tantas oraciones como sea posible (sin caer en contradicción). Si se tiene una intuición contraria a la tesis de la superveniencia se argumentará en favor de la idea de que la extensión del predicado veritativo no se establece en el punto fijo mínimo.

 

Un punto fijo es intrínseco si en esa asignación de valores veritativos reciben el valor de verdad verdadero las oraciones del lenguaje que son intrínsecamente verdaderas.

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Un predicado veritativo (digamos X) es intrínseco ssi es compatible con todas asignación de valores veritativos que determina un punto fijo. Si X es además un punto fijo, X es un punto fijo intrínseco. Una oración del lenguaje tiene un valor de verdad intrínseco ssi tiene un valor de verdad definido en algún punto fijo intrínseco.

 

Un punto fijo intrinseco es el más grande ssi en esa asignación de valores veritativos todas las oraciones que tienen un valor veritativo intrínsecamente determinado reciben un valor veritativo.

 

Un punto fijo minimo es un punto fijo intrinseco, ya que un punto fijo mínimo es compatible con todo otro punto fijo.

 

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No toda oración que es intrínsecamente verdadera es una oración fundamentada. Por esa razón, el punto fijo minimo y el punto fijo intrínseco mas grande son distintos, ya que en este último reciben valores de verdad determinados todas las oraciones intrínsecamente verdaderas (aún las que no están fundamentadas).  

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10.-La verdad y el fisicalismo:

Tesis de la superveniencia semantica: cada vez que los hechos empíricos son establecidos, los hechos semánticos quedan establecidos también. Para Gupta esto se lee como "No hay hechos semánticos". Todos los que sostienen la tesis de la superveniencia semántica sostienen que la extensión del predicado veritativo queda establecida en el punto fijo mínimo.

  

Tesis de Kremer: No es posible sostener al mismo tiempo que todo punto fijo es aceptable como interpretación del predicado veritativo (concepción de la verdad como punto fijo) y que para todas asignación de valores veritativos hay a lo sumo una interpretación aceptable del predicado veritativo (tesis de la superveniencia). Hay que sostener la primera y rechazar la segunda.

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Argumento:

 

Sostener la superveniencia es sostener que hay exactamente una interpretación correcta del predicado veritativo. Un defensor de este punto de vista debería explicar cuál es la interpretación correcta y por qué lo es. Los mejores candidatos son el punto fijo mínimo y el más grande punto fijo intrínseco. Ambos tienen la ventaja de no involucrar ningún tipo de arbitrariedad. Dada una oración truth-teller, parecería arbitrario declararla verdadera o declararla falsa. Pero, ninguna de las dos alternativas parece correcta.

 

Una oración es paradójica si en todo punto fijo recibe el valor de verdad indeterminado.

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Preguntas:

1.- ¿Son siempre las oraciones que predican valores veritativos oraciones infundadas?

-No. Por ejemplo, decir: 'la oración '2 + 2 = 4' es verdadera' es decir una oración perfectamente fundada, ya que hay una circunstancia (que 2 + 2 sea igual a 4) que funda en última instancia esa atribución de verdad.

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2.- ¿Por qué hay que asignar al conjunto vacío como extensión del predicado veritativo?

  Porque esto garantiza que en el principio del proceso de aprendizaje todas las atribuciones o rechazos de verdad carecen de valores de verdad.

Aquellas oraciones que no contengan el predicado veritativo serán evaluadas intuitivamente como verdaderas o falsas. Las que resulten verdaderas constituirán la estensión del predicado veritativo en el próximo nivel. Las falsas la antiextensión.

De esto se sigue que mas oraciones serán evaluadas como verdaderas (o falsas) en el nivel 1 respecto del nivel 0. El proceso continua hasta la transfinitud.

Las extensiones (y antiextensiones) son barridas en un punto fijo. Un punto en el cual todas las oraciones que pertenecerán a la extensión del predicado veritativo siempre lo hacen (y las que pertenecen a la antiextensión también).

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3.- ¿Por qué las oraciones infundadas no pueden transformarse en fundadas usando (T) que permite eliminar las apariciones de las expresiones veritativas?

 

Porque si aplicamos (T) al Truthteller no podemos eliminar nunca el predicado veritativo.