SEMINARIO MENOR DIOCESANO SAN JOSÉ DE CÚCUTA Especialidad: Humanidades Jornada: Mañana Modalidad: Mixto Carácter: Privado Dane: 354001001520 Nit. 890.501.795-6

GUÍA-TALLER # 2

Nombre estudiante: Fecha: D / M / A Asignatura: Grado Periodo Tiempo:

MATEMÁTICAS 8° 1P 4 semanas

LOGRO: Identifica y clasifica expresiones algebraicas Educador: Valor del Logro Calificación: Resuelve operaciones usando expresiones algebraicas HENRY VERA

DBA 2. Reconoce los diferentes usos y significados de Socialización

las operaciones (convencionales y no convencionales) y

con estudiante y

del signo igual (relación de equivalencia e igualdad padrefamilia,

condicionada) y los utiliza para argumentar

firma:

equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver

sistemas de ecuaciones. _____________

Plan de refuerzo Prueba de periodo Recuperación Diagnóstico Guía-Taller

Rública: La guía debe ser desarrollada completa, en orden, buena presentación, entregada a tiempo

Tema: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Qué concepto previo puedes tener sobre:

1. ¿Qué entiendes por álgebra

2. ¿Qué es un monomio y polinomio

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO:

3 x 2 5x 3 x 1

Sea el polinomio: 4

3 Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:

5x3 3 x2 x 1

4 3

Términos 5x 3 3 x 2

x

1

4

3

Variable x x x

Coeficientes de la variable 5 3 1

4 Exponentes de la variable 3 2 1

* Grado del polinomio 3

Término Independiente 1

3

*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable

Clasificación de los Polinomios

Los polinomios, según el número de términos, se clasifican en: - Monomio: Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término.

3 x 2 a 2 b x

7 5

2

Ejemplos: - Binomio: Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos:

x 4 5 a

Ejemplos: 3x

1

a b

4

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- Trinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos:

6 x 3 x 1 9 y 2 y 5

Ejemplos: 5

7 2 - Polinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos:

3

x 4 2

x 3 x 2 1 4 5 Ejemplo:

Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo (-).

OPERACIONES CON POLINOMIOS Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas.

Adición de polinomios: La adición consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos, en una sola que se le llama suma. En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto más general por lo que puede significar aumento o disminución. En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes. Incluso, hasta un polinomio puede tener inmerso términos semejantes. Hay semejanza entre términos cuando:

Tienen la misma variable o variables.

Tienen igual exponente en la variable o variables.

Ejemplo:

Son términos semejantes: Aunque los

x2 coeficientes de las

5x 2 3x2 variables sean

El exponente “2” de la variable es igual para

Entonces,Lavariablesepuede“x”haceres unala agrupación con estos términoslostresy reducirltérminosa una sola expresión aplicando una suma.

misma para los tres Ejemplo Nº 1: Eliminando los paréntesis queda:

5x2 3x2 x2 Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos por la variable

con su respectivo exponente, así: 5 3 1 x2 Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que están dentro del paréntesis:

5 3 1 x2 5 4 x2 - Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1

5 3 1 x2 1 x2 - Se restan las cantidades por ser de signos

5 3 1 x2 1 x2 diferentes y la diferencia lleva el signo de la

5 3 1 x2 x2 mayor (-5 y -4) - Se elimina el paréntesis

6x3 6x 2 6 y 2

de, la Son términos no semejantes los siguientes:- Como el 1 es elemento, neutro,

Los términos 6x3

y 6x

2 , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que tienen el mismo

coeficiente no son términos semejantes. El término 6

y

2 no es semejante a ninguno de los otros

dos términos, pues su variable es distinta.

Veamos algunos ejemplos de adición de polinomios: Cuando es una suma de monomios Ejemplo Nº 2:

Sumar: 5x2y7x

Solución: 5x2 7x 5x2 7x

Cuando es una suma de binomios

Observa que, como los términos no son semejantes la suma se deja indicada

3

x

2

1 7

x

2

3x

Indicamos la operación de los dos

Ejemplo; Sumar: 4 3 y 8 binomios agrupando cada uno entre paréntesis

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3 2 1

7 2

x

x

3x

4

3 8

Solución:

3 x 2 1 7 x 2 3x

3

4 8

3 2 7 2 1

x

x

3x

8

3 4

3 7 1 x 2 3x

4

8

3

m.c.m(4,8) 8

3

7

4

8

8

8 . 3

24

6

4

4

8 . 7

56

7

8

8

3 7 6 7 13

4

8

8

8

Luego el polinomio resultante es:

Eliminamos los paréntesis, como el signo que los precede es positivo, no se afecta ningún término

Agrupamos los términos semejantes

Extraemos la variable con su respectivo

exponente como factor dejando los coeficientes dentro del paréntesis.

Observe que estos nos indican una suma

de fracciones con diferente denominador

Recordar: Para sumar fracciones de diferente

1. Se calcula el mcm entre los denominadores

2. Esta cantidad es el denominador del resultado

3. Se multiplica cada fracción por el mcm y estas cantidades forman el numerador del resultado

138 x 2 3x

13

En la adición de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores, solo debes estar pendiente de la agrupación de términos semejantes. Es importante señalar que la sustracción de polinomios es un caso particular de la adición. Esto lo podemos explicar de la siguiente manera: Ejemplo Nº 3:

A 3 x 6x 7 B x3 1 x 2 1 x 5

Sea 5 4 y 5 2 6

y nos piden determinar: A – B =

3 x2 6x 7 x3 1 x2 1 x 5

Es decir, al polinomio 5

4 le restamos el polinomio 5 2 6 estructuremos la operación:

3 2 7 3 1 2 1 5 AB

x

6x

x

x

x

5

4

5

2 6

Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre paréntesis.

Recordar: Para eliminar signos de agrupación

Cuando un paréntesis está precedido del

signo menos, todos los términos que están dentro de él cambian de signo

B x3 1

x 2 1

x 5

Si 5 2 6

Entonces

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B x3 1

5 x 2 12 x

56

Luego, la operación quedaría así: Si eliminamos el paréntesis:

- B es el opuesto de B

3 2 7 3 1 2 1 5 A(B)

x

6x

x

x

x

5

4

5

2 6

A(B) 3

x 2 6x 7

x3 1

x 2 1

x 5

5 4 5 2 6

Agrupamos los términos semejantes:

3 2 1 2 1 3 7 5 A(B)

x

x

6x

x x

5

5

2

4

6 Extraemos la variable de cada paréntesis con su respectivo exponente, dejándola como factor

3 1 2 1 3 7 5 A(B)

x

6

x x

5

4 6 5 2 Observa que dentro de cada paréntesis hay una suma de fracciones con diferente denominador. Vamos a realizar cada adición por separado:

3

1

4 Recordar:

1º Adición :

Para sumar fracciones con igual denominador

5

5

5

Observa que es una suma de fracciones con igual

denominador. La fracción resultante tendrá el mismo denominador común y el numerador será la suma de los numeradores parciales

Recordar:

Para sumar fracciones con diferente denominador

Tenemos una suma de fracciones con diferente denominador, calculamos el m.c.m de los denominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, este m.c.m= 2 representa el denominador común a todas las fracciones; ahora, los numeradores también cambian multiplicando el m.c.m= 2 por las fracciones parciales

Recordar: 2º Adición

6

1

12

1

12 1

11

1

2 2 2

2 2

3º Adición

7 5 (12.7/ 4) (12.5/6)461212

746

512

21

101212

31

Para sumar fracciones con diferente denominador

Calculamos el mcm entre los denominadores mcm (4 , 6) = 12, este es el denominador del resultado y esa misma cantidad se multiplica

por cada fracción para calcular los nuevos

Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes, tenemos:

A (B) x3 54

x 2 11

2 x 1231

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Practica la Adición de polinomios con los siguientes ejercicios: - Sean los polinomios

A 1 x 2 6x 1 B 6 x3 x 2 92 7 C 3 x 1 x 2

2 3 , 7 2 , 5 4

D 3 2x 2 8x x3

, 8 9 3 Calcula:

1)A+B+C= 3)(D+A)–C= 5)D+B=

2)D+C+A= 4)B–(D+A)= 6)C–A=

Multiplicación de Polinomios: La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o más polinomios llamados

factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para multiplicar polinomios es necesario tener claro la

regla de los signos, las leyes de la potenciación y la agrupación de términos semejantes.

Recordar:

Regla de los signos

+*+=+ - *-=+

+*-= - - *+= -

Recordar: Leyes de la potenciación

* an .am anm * a n

a nm

a m

* (a n )m a n.m * a0 1

* a1 a * a n .bm p a n. p .bm. p

Veamos algunos casos de la multiplicación:

Multiplicación de Monomios

Multiplicar:

3x2 . 2x. 5

3. 2. 5. x2 . x

3. 2. 5. x2 .

En esta multiplicación tenemos varios factores con sus respectivos signos, hay factores numéricos y factores literales o variables.

Observa que los coeficientes numéricos de cada monomio, son también factores y se pueden

manipular independientemente de la variable,

siempre y cuando estén como factores dentro de la

misma multiplicación. En la organización es conveniente que los factores numéricos sean los primeros en expresarse.

x + Si multiplicamos los signos de cada uno de los factores: + . - . - . + . + = +

obtenemos el signo del producto. En este caso es positivo

Ahora calculamos el producto de los factores numéricos: 3 . 2 . 5 = 30

3. 2. 5.x2 .x 30.x3

Para multiplicar las variables (la parte literal),

que son potencias, tienes que estar claro con la

ley de la potenciación que dice que “en la

multiplicación de potencias de igual base se

obtiene otra potencia con la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes Este es el resultado de multiplicar los monomios

3x2 . 2x. 5 30x3 parciales de cada potencia” x2 . x = x2+1 = x3

Multiplicación de Monomios por polinomios

3. 2. 5.x2 .x30.(x2 ).(x)

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3 2 x 2 2x 5

x

.

Multiplicar:

5

2

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica una propiedad distributiva del producto con

respecto a la adición, de esta manera obtenemos

una suma algebraica con los productos parciales.

3 2 2 53 2 2 3 2 3 5 x . x 2x x

. x x

.2x

5 2 5 5 5 . 2 Observa que cada producto parcial es una multiplicación de dos monomios. Recuerde el procedimiento para este caso. En cada multiplicación parcial, realiza primero la multiplicación de los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por último realiza la multiplicación de las variables o potencias literales.

Vamos a calcular los productos por separado:

1° producto: Coeficientes

x . x .1 .x .x x

3

2

2

3

2

2

3

4

Producto

5

5

5

Potencias Literales

3

3

1

3

.1 . Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; los

5 5 1 5 coeficientes o parte numérica son números racionales; es decir,

fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal,

numerador por numerador y denominador por denominador.

x2

.x2

x2

2

x4

La multiplicación de las potencias literales se realiza aplicando la

ley de potenciación “cuando se multiplican potencias de igual base, el producto que resulta es otra potencia con la misma base y

2° producto: el exponente es la suma de los exponentes parciales”.

3 2 32 2 6 3 Se procede igual al caso anterior:

x

.2x

.

.x

x

x

3

3

2

6

5 51 5

.2

. Coeficientes

5 5 1 5

x2 .x x21 x3 Potencias Literales

3° producto: Se procede igual al caso anterior:

3

5

15

3.5

3

3 2 5 3 5 2 15 2

3 2

x

.

.

.x

x

x

.

2

2.5

2

5 25 2 10 2 5 10

Observa que el producto de los coeficientes, resultó una fracción que se simplificó, debido a que al descomponer tanto el numerador como el denominador, resultó un factor común (el 5), el cual se canceló por ley de la potenciación, quedando una fracción irreducible. Luego, reuniendo los productos parciales resultantes conformamos el producto total de la multiplicación inicial:

3 2 x 2 2x 5

3 4 6 3

3 2

x

.

x

x

x

5

5

2

5 2

Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

El polinomio resultante no tiene términos semejantes por lo tanto es un polinomio irreducible.

3 4 3 2

x

y

x

x 1

Multiplicar: 2

3 4 Observa que el primer factor es un polinomio de dos términos, por lo tanto hay que aplicar la propiedad distributiva dos veces. El primer término del binomio multiplica a todos los términos del trinomio, luego el segundo término del binomio multiplica a todos los términos del segundo factor, es decir, del trinomio.

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3 x 4 3 x 2 Si observas cada par . x 1

Solución: 2 34 de líneas notarás como se efectuaron los productos

3 3 2 3 3 4 3 2 4 4 x . x

x . x x .1 . x

. x .1

2

4

2 4 2 3 3 3 1° producto:

3 3 2 3 3 2 9 3

x .

x

.

.x.x

x

2 4

8

2 4 2° producto:

3 3 3 2

x . x

.1.x.x

x

2

2

2 3° producto:

3 3 3 x .1 .1.x x

2

2

2 4° producto:

4 3 2 43 2 12 2 2

x

x

x

x

12

3 4 34 5° producto:

4 4 4 x

1 x x

3

3

3 6° producto:

Después de aplicar la propiedad

distributiva hemos obtenido muchos

productos parciales, para ser más exactos, seis productos. Vamos a

resolverlos uno a uno:

4 4 1 4 1

3 3 3 1 Luego: Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total.

3 4 3 2 9 3 3 2 3 2 4 4

x

x

x 1 x

x

x x

x

2 3 4 8 2 2 3 3 Revisamos si el polinomio resultante tiene términos semejantes; si los tiene hacemos agrupaciones con ellos:

3 4 3 2 9 3 3 2 2 3 4 4

x

x

x 1 x

x

x

x x

3

2 3 4 8 2 2 3 Como en los casos anteriores, en agrupaciones de términos semejantes extraemos la variable con su respectivo exponente como factor fuera del paréntesis.

3 4 3 2 9 3 3 2 3 4 4

x

x

x 1 x

1x

x

2 3 4 8 2 2 3 3 Realizamos la adición dentro de cada paréntesis paso a paso:

3

1

3

2

32

5

2 1 2 2 2 2 1º Adición:

2° Adición:

3

4

9

8

17

3 6 6 6 2 Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio.

3 4 3 2 9 3 5 2 17 4

x

x

x 1 x

x

x

2

4

8

2

6 3 3 De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicación de dos polinomios. Para que practiques los procedimientos en la multiplicación de polinomios te proponemos los siguientes ejercicios: Dadas las expresiones algebraicas:

P 7 x Q 4 x 2 R 8 x 3 x 6

5

7 7 2

T x 2 3 9x 5 V 11

4 9

3

2

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Calcula:

1) V .P.Q 2) Q.R 3) T.Q 4) V.T

5) P.R

División de polinomios Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo: Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”. Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:

3x2 10x3 4x5 x 6 x2 1 2x

Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los exponentes de la variable (x) en orden decreciente y completando con coeficiente cero (0) la potencia faltante. Se divide el primer término del polinomio

dividendo entre el primer término del divisor Para efectuar esto se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base.

4x5

4 x5

4x52 4x3

x2 1 x2

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, a estos productos se les cambia el signo y se ordenan debajo del dividendo según el exponente de la variable. Estos productos se resta del dividendo

Se repite todo el procedimiento considerando que ahora el primer

término del nuevo dividendo es 8x4

8x4

8 x4

8x

4

2 8x2

x2 1 x2

4x5 0x4 10x3 3x2 x 6 x2 2x 1

4x5 0x4 10x3 3x2 x 6

x2 2x 1

4x5 0x4 10x3 3x2 x 6

x2 2x 1

4x3

Este es el primer término del cociente

4x5 0x4 10x3 3x2 x 6 x2 2x 1

4x5 8x4 4x3

4x3

4x5 0x4 10x3 3x2 x 6 x2 2x 1

4x5 8x4 4x3

4x3

8x4 14x3 3x2 x 6

4x5 0x4 10x3 3x2 x 6 x2 2x 1

4x5 8x4 4x3 4x3 8x2

8x4 14x3 3x2 x 6

8x4 16x3 8x2

2x3 5x2 x 6 Continuamos ahora dividiendo los demás términos

4x5 0x4 10x3 3x2 x 6 x2 2x 1

4x5 8x4 4x3 4x3 8x2 2x 1

8x4 14x3 3x2 x 6

8x4 16x3 8x2

2x3 5x2 x 6

2x3 4x2 2x x2 3x 6

x2 2x 1

5x 7

El cociente de la división es : 4x3

8x2

2x

1

Y el residuo:

5x

7

(como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se

puede continuar dividiendo por lo que la división es inexacta)

PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN

Multiplicación de términos algebraicos: Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los términos semejantes, si los hay.

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Ejemplos:

1. 5xy2 · -7x

3y

2 =

2. 2xy·(-5x + 4y – 3xy) =

3. (3x – 2y)(4x + 5y)=

4. (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) =

En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resuelto a través de una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables.

Cuadrado del Binomio: Corresponde al producto de un binomio por sí mismo. Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como (a + b)

2 y luego (a - b)(a - b) que

puede expresarse como (a - b)2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b

2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b

2 = a2 - 2ab + b2

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. Luego podemos enunciar que:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

Donde representa al primer término del binomio y al segundo.

Ejemplos:

a) (x + 7)2 = x

2 + 2·x·7 + 7

2 = x

2 + 14x + 49

b) (2a – 3b)2 = (2a)

2 - 2·2a·3b + (3b)

2 = 4a

2 – 12ab + 9b

2

Suma por Diferencia Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia. Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a – b)

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b

2 = a

2 – b

2

Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir, “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo”

Ejemplos:

a) (2x + 5y)(2x – 5y) = (2x)2 – (5y)

2 = 4x

2 – 25y

2

b) (7m2 + 5n

3)(7m

2 – 5n

3) = (7m

2)2 – (5n

3)2 = 49m

4 – 25n

6

Multiplicación de Binomios con un Término Común Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios (x + a) por (x + b), siendo el término común “a”.

Desarrollemos 2 ejemplos para extraer una conclusión.

(x + 5)(x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x

2 + 8x + 15

Observa que 5 + 3 = 8 y que 5·3 = 15

(x – 7)(x + 2) = x2 + 2x – 7x – 14 = x

2 – 5x - 14

Observa que –7 + 2 = -5 y que -7·2 = -14

La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente:

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Concluimos entonces que

“El producto de binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”

Ejemplos:

a) (x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + 6·12 = x

2 + 18 x + 72

b) (a + 7)(a – 3) = a2 + (7 – 3)a + 7·-3 = a

2 + 4a – 21

Expresar el valor numérico de una expresión algebraica que resulta al sustituir los factores literales por valores numéricos y luego efectuar las operaciones indicadas.

I) Encuentra el valor de cada uno de los siguientes términos:

1) k2 ; si k= 5............................................ 2) n

3 ; si n=10............................................

3) a1

; si a= 150 ............................................ 4) 2w2 ; si w=6 ............................................

5) (a + 3)2 si a=5 ............................................ 6) (5 + a)

3 ; si a= -1 ............................................

II) Si a=1 ; b= -1 ; c=2 ; d= ½ ; e=0 , determine el valor de cada una de las siguientes expresiones:

7) a+ b = ....................................... 8) 2a - b + c =.......................................

9) (a + b) * c = ....................................... 10) (c+d)*e +ab =.......................................

11) (a-b)2 + (c-d)

2 =....................................... 12) d

2 - ea - b =.......................................

13) a + d =....................................... 14) a + a - c=.......................................

b c b

15) a + d =....................................... 16) ( a + b-c)2 =.......................................

d c

1. Resuelve:

1. (x + 5)²= 11. (6x - 8y)² =

2. (x - 7)² = 12. (0,2x – 3)² =

3. (a + 1)² = 13. (5a - 0,3)² =

4. (m + 21)²= 14. ( 3 4

x – 5)²

5. (x - 2)² = 15.

=

_ _

6.(x – 18)² = 16. ( 0,7 a + 0,2 b)2

=

7. (p + 5q)² = 17. ( 18

x – y) 2 =

8. (x – 3y)² = 18. (0,3M-0,5N)2=

9. (2x + 6)² = 19. ( 8m – ½ n )

2 =

10. (3x - 5)² = 20. ( 2 mn + 6m

2n

2 )2 =

SEMINARIO MENOR DIOCESANO SAN JOSÉ DE CÚCUTA Especialidad: Humanidades Jornada: Mañana Modalidad: Mixto Carácter: Privado

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II.- Calcula las siguientes sumas por diferencia:

a) (a + 3)(a - 3)=

b) (x + 7)(x - 7)=

c) (m - 12)(m + 12)=

d) (y + 27)(y - 27)=

e) (2a - 6)(2a + 6)=

f) (3x - 4y)(3x + 4y)=

g) (4mn + 7pq)(4mn - 7pq)=

h) (a2 + b

2)(a

2 - b

2)=

i) (5x2 - 8y

2)(5x

2 + 8y

2)=

j) (0,4p + 1,2q)(0,4p - 1,2q)=

k) (2/5 m + 3/4 n)(2/5 m + 3/4 n)=

l) (1 - 3/8 a)(1 + 3/8 a)=

a) (a + 3)(a + 7)=

b) (x + 8)(x - 5)=

c) (m - 9)(m - 3) =

d) (2x + 5)(2x + 4) =

e) (7m - 6)(7m + 1) =

f) (m2 + 8)(m

2 – 2) =

g) (8 + a)(5 + a) =

h) (-6 + x)(3 + x) =

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Hallar los cocientes notables de:

1 a

3 1 a 3 x

3 y

3 8a 3 1

1

2.

3.

4.

1 a

1 a

x y

2a 1

5. 8x3 27 y 3

6.

27m3 125n3

7. 64a 3

343

2x 3y

32m 5n

4a 7

216 125 y 3 1 a 3 b 3

729 512b 3

8.

9.

10.

6 5 y

1 ab

9 8b

11. a3 x3 b 3 12. n3 m3x3 13. x6 27 y3

n mx

x 2 3y

ax b

14. 8a 9 y 9 15. 1 x12 16. 125 343x15

5 7x5

2a 3 y 3 1 x 4

17. n

6 1 18.

27x 6 1 19.

64a 3 b9

3x 2 1

4a b3

n 2 1

20. a 6 b6

a 2 b 2

PRODUCTOS NOTABLES

21. (x5-3ay2)( x5+3ay2)

22. (x5-3ay2)2

23. (y2+3y)( y2+3y)

24. (4ax-1)2

25. (ax+1-2bx-1)( ax+1+2bx-1)

26. (2m-3n)( 2m+3n)

27. (4m5+5n6)2

28. (10x3-9xy5)2

29. (6x2-m2x)( 6x2+m2x)

30. (12n4+8p5)( 12n4-8p5)

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

https://anvivi.wordpress.com/productos-y-cocientes-notables/

files.apuntesdefisica5.webnode.com.co/200000024.../Cocientes%20Notables.doc