UNIVERSIDAD DE PANAMÁFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

II CONGRESO NACIONAL DE MATEMÁTICAXXI SEMANA DE LA MATEMÁTICA12 al 16 de septiembre de 2011Prof. Eloy E. Rico R.

SOBRE ALGUNAS DESIGUALDADES EN LAS FUNCIONES CONVEXASDesigualdad Hermite-Hadamard (H-H)Sea 𝑓 una función convexa definida en el intervalo I de ℝ, entonces para todo a,b de I, con a≠b se tiene la siguiente doble desigualdad, conocida como la desigualdad de Hermite-Hadamard (H-H):

Nuestros Personajes

Charles Hermite (1822-1901)

Johan Ludwig William Valdemar Jensen (1859-1925)

Tiberiu Popoviciu (1906-1975)

Jacques Hadamard (1865-1963)

Sea 𝑓 una función definida en un intervalo I =[a,b] de los reales, se dice que 𝑓 es una función convexa, si para todo 𝑥,𝑦 ∈ I, 𝜆 ∈[0,1], se tiene que : 𝑓(𝜆𝑥+(1-𝜆)𝑦) ≤ 𝜆𝑓(𝑥)+(1-𝜆)𝑓(𝑦)

Una definición equivalente de la convexidad de 𝑓, geométricamente observada ,es la siguiente:

Para probar la desigualdad de (H-H), integramos esta definición de convexidad sobre [a,b], con ello obtenemos fácilmente la parte derecha, esto es:

nos da:

Para la parte izquierda de la desigualdad, se consideran dos sub-intervalos en [a,b] como: [a,(a+b)/2] y [(a+b)/2,b], de manera tal que:

Trabajando la primera integral de la derecha, con la sustitución: y la segunda integral con :

Lo que nos daría la siguiente expresión:

o bién:

Por la convexidad de la función 𝑓, tendremos que:

Obsérvese que la suma de los argumentos de la función 𝑓 en las dos integrales esta dado por: De esta manera, se obtiene la expresión completa de la desigualdad (H-H).

Ejemplo 1: Se puede aproximar la integral de la función (convexa)con la desigualdad (H-H), y el intervalo [0,𝑥] de la siguiente manera: y la integral: lo que tendríamos que: Ejemplo 2: Podemos tomar ahora la función cóncava 𝑓(x)= sen 𝑥 en el intervalo [0,π], y nos quedaría el resultado: π/2 ≤ 2≤ π.

Desigualdad de PopoviciuSea 𝑓 una función continua definida en un intervalo I de los reales. Entonces 𝑓 convexa si y solo si,

para todo 𝑥,𝑦,𝑧 ∊ I. Si 𝑓 es estrictamente convexa, la desigualdad se hace estricta; se alcanza la igualdad si 𝑥=𝑦=𝑧.El caso generalizado para n valores, se expresa como:

Resultados colaterales de la desigualdad (H-H) 1. Sea 𝑓 una función doblemente diferenciable en el intervalo [a,b] tal que existen constantes reales m y M tal que: entonces:

yPrueba: La estrategia inicial es considerar un par de funciones g y h convexas como,

Aplicando la desigualdad (H-H) en el intervalo [a,b] para las funciones g y h:yPara cada caso, la parte izquierda de ambas desigualdades nos daría: y la parte derecha:

Para la función g, reemplazamos los resultados:

simplificando términos semejantes, nos queda (1): De igual manera procedemos con la función h: lo que nos da (2):

De la parte izquierda de (1), obtenemos la expresión que indicamos por (3):

De la parte derecha de (2), obtenemos la expresión que indicamos por (4):

Uniendo (3) y (4), se logra la primera parte de lo deseado:

Del miembro derecho de (1), obtenemos (5):

Del miembro izquierdo de (2), obtenemos (6):

Uniendo (5) y (6), obtenemos la segunda parte de lo propuesto:

2. Sea 𝑓:I ⊆ ℝ→ ℝ, doblemente diferenciable en el interior de I; 𝑓´´ integrable en [a,b] del interior de I. Entonces se tiene la igualdad:

Prueba: Efectuamos dos veces integración por partes al miembro de la izquierda de la igualdad; considere para la primera integral la sustitución: 𝑢 =(𝑥-a)(𝑏-𝑥) 𝑑𝑣=𝑓“(𝑥)𝑑𝑥

Para la segunda integración se usa la sustitución : 𝑢=2𝑥-(𝑎+𝑏) 𝑑𝑣=𝑓´(𝑥)𝑑𝑥

Obteniendo lo deseado:

3. Sea 𝑓:I ⊆ ℝ→ ℝ, doblemente diferenciable en el interior de I; f´´ integrable en [a,b] del interior de I. Dadas las constantes 𝑚 y 𝑀 con 𝑚 ≤ 𝑓"(𝑥) ≤ 𝑀 en [a,b], se tiene la desigualdad:

Prueba: Este resultado es análogo a la segunda parte de la doble desigualdad del resultado (1) anterior. Sin embargo, usando el resultado (2), y la hipótesis, tendremos:Integrando sobre [a,b], la integral del miembro izquierdo nos queda:

Integrando sobre [a,b], la integral de la derecha nos queda:

Usando el resultado del problema (2), tenemos:

Finalmente:

4. Suponga que 𝑓:[a,b]→ ℝ, es una función convexa. Aplicando sucesivamente la desigualdad (H-H) sobre los sub-intervalos [a,(a+b)/2] y [(a+b)/2,b] se obtiene la famosa desigualdad de Jensen, esto es:Prueba : Sean los sub-intervalos [a,(a+b)/2] y [(a+b)/2,b], aplicando sucesivamente la desigualdad (H-H) en ellos, se tiene:

y

Sumando lado a lado de (10) y (11), reordenando la expresión, se tiene:

Aplicando la definición de convexidad al miembro izquierdo de (12), resulta:

finalmente, se obtiene lo deseado:

A manera de observación: 1. La integral en la desigualdad (H-H) puede reescribirse usando la sustitución: de manera tal que:

2. Existen otras extensiones y resultados interesantes con la desigualdad (H-H) usando las medias: Aritmética (A), Geométrica (G), Harmónica (H), Logarítmica (L), Exponencial (Idéntrica (I)) y p-Logarítmica (Lp). 3. Entre las aplicaciones de la desigualdad (H-H) tenemos: Desigualdades Integrales, Teoría de Aproximación, Teoría de las Medias Especiales, Teoría de Optimización, Teoría de la Información, Análisis Numérico, etc.

Bibliografía1. Dragonir, Sever S. y Pearce, Charles, E. M.; “Selected Topics on Hermite- Hadamard Inequealities and Applications”, monograph, University of Adelaide, Australia, 1997. 2. Dragonir, Sever S. y Raïssouli, Mustapha; “Iterative refinements of the Hermite-Hadamard Inequalities, applications to the means”, Journal of Inequalities and Applications”, vol. 2010, pags. (1-13).3. Niculescu, Constantin P. y Person, Lars-Erik; “Old and new on the Hermite-Hadamard Inequality”, Real Analysis Exchange, vol. 29, No. 2, pags. (663-685), 2003/2004.4. Niculescu, Constantin P. y Person, Lars-Erik; “Convex Functions and their applications, a contemporary approach”, monograph Springer, 2004.

Muchas Gracias…