Semana 9(1)

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo

1xCscxCot

1xCotxscCZn ; nRx ; 1xCotxCsc

1xSecxTan

1xTanxSecZn ;

21)(2nRx ; 1xTanxSec

xSen1xCos

xCos1xSenRx ; 1xCosxSen

22

2222

22

2222

22

2222

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2013-III

TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas del

ángulo doble y mitad” Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.

Objetivos:

Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con Identidades trigonométricas.

Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL

ÁNGULO DOBLE

También:

Ejemplos:

Sen80° = 2Sen40°Cos40°

2Sen3xCos3x = Sen6x

Cos72° = Cos236° – Sen236°

Cos10x = 2Cos25x – 1

Cos5x = 1 – 2Sen2

2

x5

2Cos2

8

– 1 = Cos

4

1 – 2Sen225° = Cos50°

30Tg

15Tg1

15Tg2

2

Triángulo del Ángulo Doble:

Así tenemos:

Ejemplos:

Sen18° =

9Tg1

9Tg2

2

Cos8x =

x4Tg1

x4Tg1

2

2

Fórmulas de Degradación:

sen2 = 2sen cos

sen2 =

sen40º =

sen8 =

cos = cos - sen 2 2

2

cos2 =

cos40º =

cos4 =

tan2 =

tan2 = __________________

tan2 =

__________________

2tan

1 - tan

2

xSen21x2Cos 2

1xCos2x2Cos 2

2

2

2

Tan1

Tan12Cos

Tan1

Tan22Sen

Tan22

Tan1

2

Tan1

2

2

2

2

Tan1

Tan12Cos

Tan1

Tan22Sen

Tan22

Tan1

2

Tan1

2

2

2

2

Tan1

Tan12Cos

Tan1

Tan22Sen

Tan22

Tan1

2

Tan1

2

x4Cosx2Cos43xCos8x2Cos1xCos2

x4Cosx2Cos43xSen8x2Cos1xSen2

42

42

x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec222

x2Csc2TanxCotx

x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec222

x2Csc2TanxCotx

1x2SecTanx

x2Tan1x2SecxTanx2Tan

Semana Nº 9

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.

2


cos1

sen

cos1

sen

4Cos8

3

8

5CosSen

4Cos4

1

4

3CosSen

66

44

Ejemplos:

2Sen43x = 1 – Cos 6x

2Cos218

= 1 + Cos9

1 – Cos60° = 2Sen230°

1 + Cos74° = 2Cos37° Cot15° + Tg15° = 2Csc30° Cot3x – Tg3x = 2Cot6x

Sen415° + Cos

415° =

4

1

4

3 Cos60°

Sen6

8

+ Cos6

8

= 2

Cos8

3

8

5

IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD

NOTA: el signo (±) se elige según el

cuadrante del arco 2

y de la R.T. a la

que afecta.

AUXILIARES

radicalesn

senn

""

2...2222

21

radicalesn

n

""

2...2222

cos21

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Halle “x”

A) 17

15

B) 8

15 C) 1

15 D) 4

15

E) 5

18

RESOLUCIÒN

2

2tgtg2

1 tg

2

12

4tg2

11

4

1

82tg2 tg215 15

16

8 x 1 32x 1

15 4 15

; 17x

15

RPTA.: A

2. Si: 94

tg

Halle E = 2ctg

A) - 9

40 B) 5

18 C) 1

40 D) 11

40 E) 1

25

RESOLUCIÒN

tg tgx 9

4

; x x4 4

M ctg2 ctg 2 x

4

M ctg 2x tg2x

2

2 2

2 92tgx 18M

1 tg x 1 811 9

18M

80

9M

40

RPTA.: A

3. Reduce:

2x xE ctg 2cos ctgx

2 2

A) 1 B) cos x C) sen x D) tg xE) ctg x RESOLUCIÒN

2x xE ctg 2cos ctgx

2 2

E csc x ctgx 1 cosx ctgx

E csc x ctgx ctgx cosxctgx

21 cosx 1 cos

E cosxsenx senx senx

1x2SecTanx

x2Tan1x2SecxTanx2Tan

1 cossen

2 2

1 coscos

2 2

1 costg

2 1 cos

tg csc ctg2

ctg csc ctg2

1

4

x


3


2sen x

Esenx

E senx RPTA.: C

4. Reduce: x

tg ctgx2

Mx

ctgx ctg2

A) 1 B) -1 C) 0 D) ½ E) 1/3 RESOLUCIÒN

x

ctgx tg2

Mx

ctgx ctg2

ctgx csc x ctgxM

ctgx csc x ctgx

ctgx csc x ctgx csc xM

ctgx csc x ctgx csc x

M = 1 RPTA.: A

Problemas DE CLASE

1) Si tg +Ctg= 9

40 , entonces el valor de

sen2, es;

a) 9/10 b) 9/20 c) 19/25 d) 11/13 e) 19/20

2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III

2) Si: , entonces el máximo valor de:

; es

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III

3) Del grafico mostrado, Hallar “x”

a) X = 6 b) X = 8 c) x = 10 d) x = 12 e) x = 14

4) Si:

2

2.2.4

Csc

SecCtgSenK donde:

28

3

;

se afirma que:

a) K > 0 b) K = Sen2 c) K = Sen4

d) K = 0 e) K = Cos2

3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I

5) Si: 2

2

2

2 1

4;

1

4 n

mCtg

n

mTg

: entonces

2

44

nnm es igual a:

a)

2

sen

b)

2

Tg

c)

2

Ctg

d)

2

Sec

e)

2

Csc

6) Si: Tg2 +ctg2= 66; y 24

; entonces, el

valor de Ctg2es:

a) 2 b) 3 c) -3 d) -4 e) 5


7) Si: x = 11º25`; entonces el valor de E, tal que

xxxx

senE 2cos.cos.2

cos.2

.8, es

a) 2

2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2


8) Si: 2sen2x – 3cos2x = 3 ; calcular el valor de

0;2sec52csc62 CosxxxP

A) -13 B) 39 C) 13 D) -39 E)1

9) Si: a = sen – cos , b= cos2 ; entonces, se puede afirmar que:

A) 02 224 baa B) 03 224 baa

C) 0224 baa D) 0224 baa

E) 022 224 baa

10) Si: x ε IIIC tal que Csc 2 2x = 1.75 ,

Calcular Tg7x + Ctg7x

A) 737 B) 742 C) 763 D) 791 E) 794

11) Si:3

1Senx ; Calcular

24

2 xTg

A) ½ B) ¼ C) 1/6 D) 1/9 E) 4/9

12) Determinar la variación numérica de:

CtgCosCosCosCtgE .2

.2.2

2

0

2

ctgctgE


4


A)

16

1;

16

1 B)

8

1;

8

1

C)

4

1;

4

1

D)

2

1;

2

1 E) 1;1

13) Si:

31

96 ;

Calcular

16842

CscCscCscCscCsc

A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

14) Si: , entonces

es igual a:

a) b) c)

d) e)


15) Si: tg ) = 2 y tg() = 3, calcular: 2cos27 senK

a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2


16) Si 8

,0

x , al reducir:

xCos4222

2

,

se obtiene:

a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Tgx

2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I

17) Si: x, y ε R+ y x + y = 1, determine el máximo

valor de M si Myx

11

11

Sugerencia: utilice identidades del ángulo doble

A)6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18

18) Simplificar la expresión:

(

)

( )

a) sen2x b) sen4x c) csc2x

d) e) csc4x

19) Calcular el valor de k que satisface la igualdad:

a) 2 b) 4 c) 6

d) 1/2 e) ¼

20) Si: (

) (

)

Calcular:

(

)

a) k b) 1/k c) 2/k

d) e)

21) Del grafico mostrado , calcular el valor de:

yx2x

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

22) Si: ( )( )( ) ( ) ( ) Calcular:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

2,sec2 nntgxx

3

33

cos

cos

xsenx

xxsen

2

3

nn

2

1

nn

2

1

nn

2

3

nn

2

2

nn

Semana 9(1)

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