Semana 9 Programacion Lineal Entera

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Agenda

Introducción

Introducción

$apitulo I% Planteamiento de Problemasde Pro&ramación 'ntera.

$apitulo I% Planteamiento de Problemasde Pro&ramación 'ntera.

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Introduccion

En este tema se presenta un tipo de problemasformalmente similares a los problemas de programaciónlineal, ya que en su descripción solo se establecen

expresiones lineales.

PROGRAMA!"# $!#EA$ E#%ERA

&in embargo no responden a problemas lineales ya que algunas 'otodas( las )ariables del problematoman )alores que no est*n en un

con+unto continuo. Por e+emplo, pueden ser )ariables que toman)alores o - 'binarias(, o )ariablesque toman )alores enteros nonegati)os ',-,,...(, etc.

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Introduccion

PROGRAMA!"# $!#EA$ E#%ERA

on el terminoProgramación $ineal Entera,'P$E(, nos referiremos al

siguiente tipo de problemas/ problemas que formalmenteson problemas de

 programación lineal,

max 0 min 1 2 Ax 2 b, x 3

 pero en los que algunas)ariables est*n restringidasa tomar )alores enteros.

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Introduccion

PROGRAMA!"# $!#EA$ E#%ERA

Por e+emplo, x- 3 , x 3 yentera, 45 6 7, -8, x- una)ariable como las que 9emos

mane+ado 9asta a9ora, x una)ariable entera no negati)a y x5 una )ariable binaria, quetoma :nicamente dos )alores, o -.

$os problemas de programación lineal entera nos )an a permitir modelar muc9as m*s situaciones que la programación lineal, pero a cambio la resolución de los problemas ser* muc9o m*s costosa en general, un costocomputacional muc9o m*s ele)ado que el de la

 programación lineal.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

$as )ariables binarias x+ 6 7,

-8 pueden utili<arse paramodelar situaciones en lasque se decide si una acción sereali<a, x+ 2 -, o si no sereali<a, x+ 2 . =n e+emplot>pico de utili<ación de este

tipo de )ariables es el problema de in)ersiones, acontinuación se muestra unade sus )ersiones m*ssimpli?cadas

@ariables -. Problema de!n)ersiones/

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/

=n in)ersor dispone de unacantidad b para in)ertir en n

 posibles proyectos0acciones.ada posible acción tiene uncosto de a+ unidadesmonetarias y un bene?cio

 posterior de c+ unidadesmonetarias. El in)ersor debedecidir que in)ersionesreali<ar con ob+eto demaximi<ar el bene?cio total 

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/Para este problema se de?nen )ariables x+ que toman

)alor - cuando se in)ierte en el proyecto + y )alor cuando no se in)ierte, con estas )ariables el problemaqueda en la forma siguiente/

max 1 2 c-x- B cx B . . . B cnxn

s. a/a-x- B ax B . . . B anxn C b x+ 6 7, -8, + 2 -, . . . , n

Cantidad para

invertir Beneficio de invertir Costo

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/Este problema b*sico puede modi?carse incorporando el

9ec9o de que las in)ersiones no sean de un solo periodode tiempo sino que deban reali<arse durante )arios periodos detiempo, en cada uno de los cuales se dispone de unacantidad bi de unidades monetarias.%ambiDn puede modi?carse mediante la incorporación decondiciones y restricciones en las in)ersiones, pore+emplo/

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/ &i in)ierto en el proyecto i entonces debo in)ertir en

el proyecto +. ;ic9a condición responde a la ecuación xi C x+  puede obser)arse que si xi 2 - entonces queda - C x+con lo que x+ debe tomar )alor - y si xi 2 entoncesqueda C x+ con lo que x+ no esta restringida y

 puede tomar cualquiera de los dos posibles )alores o -.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/ &i in)ierto en el proyecto i y en el proyecto + entonces

debo in)ertir en el proyecto . ;ic9a condiciónresponde a la ecuación

 xi B x+ C - B x En este casi si xi 2 x+ 2 - la ecuación queda C -Bxcon lo que x esta obligada a tomar )alor - y en

cualquier otro caso obtenemos C - B x o - C - B x que no restringen a x.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/ &i in)ierto en el proyecto i o en el proyecto + entonces

debo in)ertir en el proyecto . ;ic9a condiciónresponde a la ecuación

 xi B x+ C x En este casi si xi 2 - o x+ 2 - la ecuación queda - Cx que obliga a que x tome )alor 'x 3 ,F x 2

-(, si ambas toman )alor - entonces queda x 3 - ysi ambas toman )alor x queda libre pudiendotomar )alor o -.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/ A partir de estas tres situaciones se

 pueden generar muc9as otras, pore+emplo/ si in)ierto en el proyecto ientonces no puedo in)ertir en el

 proyecto +. En tDrminos de las)ariables estamos diciendo que si xi 2

- entonces x+ 2 que podr>amosescribir que si xi 2 - entonces y+ 2 - H x+ 2 -, es decir si in)ierto en el proyecto i entonces in)ierto en unnue)o proyecto +I. Esto ya lo sabemosescribir xi C y+ que sustituyendo queda

 xi C - H x+.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/Por tanto si en lugar de aparecer in)ertir aparece Jno

in)ertirK basta con buscar la restricción que tiene lamisma forma y cambiar en donde aparece la )ariable porsu )alor complementario, - H x.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/@eamos otro e+emplo, si in)ierto en i y no in)ierto en +

entonces tengo que in)ertir en . En este casotomar>amos como referencia la condición Jsi in)ierto en iy en + entoncesin)ierto en K y en donde aparece la )ariable x+ ponemossu complementaria - H x+, quedando la ecuación

 xi B '- H x+ ( C - B x o xi H x+C x 

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/Otras posibles modi?caciones son que en lugar de ser

una o )arias las que obligan a que ocurra algo sobre otra,es una sola la que obliga a que se 9aga algo con otras, por e+emplo. &i in)ierto en xi entonces tengo que in)ertiren x+ y en x.Esta situación puede reducirse a una delas anteriores sin m*s que tener encuenta que la proposición A L esequi)alente a la proposición #o L #o

 A. Es decir la proposición anterior esequi)alente a J&i no in)ierto en + o noin)ierto en entonces no in)ierto en iK.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

@ariables -. Problema dein)ersiones/Para modelar esta ultima proposición tomamos la proposición Jsi in)ierto en + o en entonces in)ierto en iK

')ista anteriormente( y reali<amos la operación reali<adaen el e+emplo anterior. En todas las expresiones queaparece Jno in)ertirK complementamos a - la )ariable,obteniendo/

'- H x+ ( B '- H x( C '- H xi( o x+ B x 3 xi 

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

Problema de argai+a/La+o este ep>grafe se modelan situaciones en las que 9ay

un costo asociado a una acción y que no depende delnumero de )eces que esta se realice, 9ay quecontabili<ar el costo una )e< en el momento en el quealgo ocurra.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

Problema de argai+a/Por e+emplo, suponer que estamos

 plani?cando la producción de un producto y necesitamos comprar unamaquina especial para ello. En este

 problema tendremos unos costosasociados a elaborar los productos yque tomar* la forma 9abitual c+x+ y

luego aparece otro costo que es el decomprar la maquina y el cual sólo 9ayque contabili<arlo si se decide elaborardic9os productos y adem*s sólo secuenta una )e<, se elaboren - unidad

de producto o - unidades.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

Problema de argai+a/@eamos un sencillo e+emplo. =na empresa se dedica a laelaboración de tres tipos de camisetas, -, y 5. Paradic9a elaboración se utili<an 9oras de traba+o, metros detela y tres maquinas espec>?cas 'cada una para un tipode camiseta(.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

Problema de argai+a/

;ic9as maquinas no son de su propiedad por lo que debenalquilarlas, en la tabla siguientese muestran la disponibilidaddiaria de 9oras de traba+o, metrosde tela, costo de elaboración portipo de camiseta, precio de )enta

de cada camiseta y el costo diariode alquiler de las maquinas 'unam*quina se alquilar* si sedeciden elaborar unidades deltipo de camisetas que la

requieren(.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

Problema de argai+a/on dic9a información 9ay que plantear un modelo de

 programación lineal entera cuya resolución proporcione el plan de producción de m*ximo bene?cio.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

Problema de argai+a/Para plantear dic9o problema en primer lugar se de?nen)ariables x+ , + 2 -, , 5 que representan el n:mero decamisetas de cada tipo elaboradas, una primera )ersióndel 

 problema es/

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

Problema de argai+a/Pero en este planteamiento no se tiene en cuenta el costodel alquiler, para ello se de?nen tres )ariables binarias y+ ,

 + 2 -, , 5 , de tal forma que y+ toma )alor - si se elaborancamisetas de tipo +, es decir si x+ N y por tanto 9ay quealquilar la m*quina correspondiente. $a )ariable y+ toma)alor cero en caso contrario.

;e esta forma la función ob+eti)o se puede escribir en laforma

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

Problema de argai+a/ A9ora 9ay que garanti<ar que las )ariables y+ secomporten adecuadamente, para ello se introducen las

siguientes restricciones/donde M+ representa una cantidadgrande que no pueda ser superada porning:n )alor de x+. &e puede obser)arque si x+ N entonces para que se

cumpla la restricción correspondientedebe tenerse que y+ 2 -. Por otro ladosi x+ 2 entonces y+ podr>a tomarcualquier )alor o -, pero comoestamos maximi<ando e y+ tiene costo

negati)o entonces el propio algoritmoen el proceso de resolución le asignar*

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

Problema de argai+a/En general una restricción de carga ?+a aparece cuandoexiste una cierta )ariable y con costo cy N 'para

 problemas de m>nimo( que debe tomar )alor - o dependiendo de si alguna de las )ariables x-, x, . . . , xs'de un cierto con+unto( toma )alores estrictamente

 positi)os. Por e+emplo, si alguna de las )ariables x-, . . . , xs toma )alor entonces una cierta )ariable y de costo cy N

debe tomar )alor -.

donde M es una cota superior del m*ximo )alor posible de x- B x B . . . B xs. &i alguna de las )ariables xIs toma)alor positi)o obliga a que y sea -.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

;icotom>as y Restricciones ondicionales/

$as dicotom>as son pare+as de restricciones de las cualesal menos una de ellas debe )eri?carse, es decir sonrestricciones del tipo/ se cumple que x- B x C F o secumple que x- B x5 3 o se cumplen ambas

$a forma de escribir una dicotom>a siempre )a a ser igual.&upongamos que tenemos la dicotom>a

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

;icotom>as y Restricciones ondicionales/

;e?niremos una )ariable binaria auxiliar y 6 7, -8 ysustituiremos la expresión anterior por las siguientes dosrestricciones/

donde f y g son cotas superior de f'x( y g'x(respecti)amente. &e puede )er que si y 2 entoncestenemos

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

;icotom>as y Restricciones ondicionales/

Por e+emplo, suponer que x+representa el numero de )e9>culos

elaborados en una cadena demonta+e y la pol>tica de la empresaes que no se pone la cadena enmarc9a si no es para elaborar almenos - )e9>culos. Esta situacióncorresponde a la siguientedicotom>a/

=n e+emplo t>pico de utili<ación de dicotom>as son losmodelados de sistemas de producción en los que elsistema de producción solo se pone en funcionamiento sise reali<an al menos una cantidad m>nima de productos.

 x+ 2 o x+ 3-

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

;icotom>as y Restricciones ondicionales/

que puede rescribirse como

 x+ C o - H x+ Con lo que se formula de forma lineal como/

donde y 6 7, -8 y M N y todo lo grande que 9aga falta'ya que no cono<co en principio ninguna cota superior delm*ximo )alor de x+ (, en general si es un problema de

 producción siempre existir* una cota m*xima de producción que podr>a ponerse en lugar de M.

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Capitulo I

 AP$!A!O#E& ;E $A& P$E

;icotom>as y Restricciones ondicionales/

=na restricción condicional es una restricción en la que elcumplimiento de una restricción obliga a que se cumplaotra, por e+emplo/

&i x- B x N - entonces x B 5x5C

 por cuestiones tDcnicas la condición debe ser siempreuna desigualdad estricta.

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Gracias por su tiempo.