Semana 3 completo

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

b

a

H

COSenA

b

c

H

CACosA

c

a

CA

COTanA

a

b

CO

HCscA

c

b

CA

HSecA

a

c

CO

CACotA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2015-I

TRIGONOMETRÍA “RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO”

Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C

Razón Trigonométrica: Son aquellos números que

resultan de dividir dos lados de un triángulo

rectángulo.

Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados

de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa”

. a2 + b2 = c2

Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo

rectángulo son complementarios”

. A + B = 90º

Definición De Las Razones Trigonométricas Para

Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en

“C”, se establecen las siguientes definiciones:

Sen = Hipotenusa

OpuestoCateto =

ca

Cos = Hipotenusa

AdyacenteCateto = cb

tg = AdyacenteCateto

OpuestoCateto =

ba

Ctg = OpuestoCateto

AdyacenteCateto =

ab

Sec = AdyacenteCateto

Hipotenusa =

b

c

csc = OpuestoCateto

Hipotenusa =

a

c

Razones Trigonométricas Recíprocas

Siendo un ángulo agudo se cumple:

1csc.1

csc

sensen

;

1sec.coscos

1sec

;

1.1

ctgtgtg

ctg

Razones Trigonométricas De Ángulos

Complementarios

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su

suma es un ángulo recto.

En la figura se muestra:

y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)

Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b

como y al ángulo opuesto al cateto a como en

consecuencia:

coscb

sen ; sencacos

ctgab

tg ; tgba

ctg

cscsec ac

; seccsc bc

Debido a estas relaciones las co-razones son::

seno y coseno.

tangente y cotangente.

secante y cosecante.

Semana Nº 3

Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría.

2


Teorema del complemento

de ocomplementRTcoαRT

Se llaman co–razones trigonométricas una de la

otra.

NOTA:

Si:

1

1

1

CtgTg

SecCos

CscSen

Si: º90 RTcoRT

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

45º

45º

1

1

2

30º

60º

1

2

3

37º

53º

35

4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

30º 37º 45º 53º 60º

Sen 2

1 5

3 2

2

5

4 2

3

Cos 2

3

5

4 2

2

5

3 2

1

Tan 3

3

4

3 1 3

4 3

Cot 3 3

4 1

4

3

3

3

Sec 3

32

4

5 2

3

5 2

Csc 2 3

5 2

4

5

3

32

A partir de estos se determinarán otros

adicionales como:

26º 30'

63º 30'

15

2

8º

82º

1

7

16º

74º

725

24

5 2

22º 30'

67º 30'

14 + 2 2

2 + 1

15º

75º

6 - 24

6 + 2

18º 30'

71º 30'

110

3

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento

mediante el cual se determinan los lados

faltantes de un triángulo rectángulo, en

términos de un lado que sí se conoce; y de un

ángulo agudo que también se conoce.

Criterio:

conocido) .(T.Rconocido Lado

odesconocid Lado

Casos:

1.

A B

C

L

BCTanL

BC

AC L

AC

I)

II)

2.

A B

C

L ABCot

L

AB

AC L

AC

I)

II)

3

A B

C

L BCSenL

BC

L

AB

I)

II)


3


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Halle “ctg” del gráfico, si:

BCAB

A) 32 B) 33 C) 3 D) 6/3 E) 9/3

RESOLUCIÓN

3n

APM: ctg 3

n

33ctg RPTA.: B

2. Si ,AD3CD halle: tg

(tomar: sen37º=0,6)

A)

16

1 B)

8

1 C)

8

3 D)

16

3 E)

4

1

RESOLUCIÓN

Se pide:

16

3

k16

k3tg RPTA.: D

3. Si el triángulo ABC es equilátero. Determine tg.

A)

5

3 B)

6

3 C)

7

3 D)

8

3 E)

9

3

RESOLUCIÓN

k 3 3

tg7k 7

RPTA.: C

4. Siendo “” y "β" las medidas de 2

ángulos agudos tales que:

1sec.11cos

1csc.cos

Halle: '30º52sen.'30º37tgW

A)1 B) ½ C) 3

2 D) 3 E)

3

3

RESOLUCIÓN

Datos: i) cos11.sec =111= … (I)

ii) 1csc.cos

)º..(90º90csc.º90 IIsen

'30º72

º15º9011:)( IIenI

M

B

A C

120º

B

A C

a

D

3a

CA

53º

D

M

B

A C

2n

2n

3n2 3n 3nP

3n60º

60º60º

30º

4n

30º

n 30º

4n

3n 3

n

A

53º

CD

9K

15K

12K

4K

5K

53º

3K

B

A C

a = 2k

D

3a = 6k

60º

30º60º

8k

60º

7k k

k 3


4


'30º822

º165

2

º1511:Ien""

Piden:

?'30º52.'30º37 sentgW

2

1º30.º45 sentgW

RPTA.: B

5. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N

son puntos medios. Determine "cot " .

A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3

RESOLUCIÓN

De la figura: 3Cot RPTA.: D

6. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.

A) 3cos 2Sen

B) 2cos 3Sen

C) 2sen 3cos

D) 3sen 2cos

E) 2sen 3cos

RESOLUCIÓN

CosSenx 23 RPTA.: D

PROBLEMA DE CLASE

1) Si: º45;º0 y , además:

1)º152().52( TgTg ;

1)º152().( CscCos

Calcule 2)º15( TgTg

A) 2 B) 32 C) 4 D) 34 E) 6

2) Sí 2

041

40 ySen , hallar

4

Ctg

a) 4

541 b) 4

541 c) 4

341

d) 4

341 e) 4

3

3º EXAMEN SUMATIVO 2010 III

3) En la figura AOB es un cuadrante, tal que

OD = 4 DE, entonces el valor de tg es:

A)4

141 B) 4

341 C) 4

541

D) 4

1 E) 2

1

B

CD

A

N

M

3

2

x

2a 2a

2a

a

45º

a2

a

x

3

2

Sen3

Cos2


5


4) Del grafico calcular :

A) 4 B) 9 C) 16 D) 81 E) 100

5) Del gráfico , Calcular Ctg

Si ABCD: Cuadrado

A) 6 B) 12 C) 18 D) 9 E) 14

6) Del gráfico halle: cos senW

127º109

A)1 B)

17

7 C)

17

23 D)

17

7 E)

17

23

7) En un triángulo ABC, recto en C, se cumple que:

. Hallar el valor de la

expresión

A) B) C) D) E) (EXAMEN ORDINARIO 2014 II)

8) Halle el valor aproximado de:

1054

º37

4

º53

CtgCtgE

A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6

9) Del gráfico. Halle: 22sec tgW

a)5 b) 1/5 c) 1 d) 7/2 e)7/3

10) Del gráfico que se muestra encontrar el valor

de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es

mediana relativa a la hipotenusa.

A M C

B

37°

x

y

A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 28

11) Si AB = 3 ; ED = 2BC , además AD toma mínimo

valor Calcular Tg

A) B) C) 3 D) 3,5 E) 4,5

12) El arco de 90º se divide dos partes de manera

que el seno: de la primera parte es igual al

triple del seno de la segunda parte. La secante

del arco de la primera parte, es:

a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 11 (2º EXAMEN SUMATIVO UNS 2008 – III)

13) Calcular:


6


A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

14) En el gráfico mostrado, calcular "tg ".

Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de

tangencia.

a) 1/3 b) ½ c)

2

2 d) 2 e) 2 2 3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III

15) En la figura mostrada determine

2

44

c

r en

función de , Si AB = c

A) CosSen 112 B) CosSen 112 C) CosSen 112

D) CosSen 112 E)

22112 CosSen

16) En la figura, halle el perímetro del

rectángulo OABC si se conoce “ ”, y el

radio del cuadrante MON es “r”.

A) 2r sen cos

B) r csc sen

C) r sen cos

D) 2r csc sec

E) 2r sec csc

O

r

MA

C

N

B

17) En la figura, Calcule (AD – DB) si AB = 3

y AC = 27/16.

A) 34 B) 33 C) 32 D) 3 E)

2

3

18) En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y

M es un punto medio del lado AB. Hallar ctg .

A M B

D C

A) 5 B)4 C) 3 D) 2 E) 1

19) De la figura mostrada. si AD =2 , DE = 6 ,

EC = 4, determine BD.BE


7


A) CosSec ..8 B) SecSec ..8

C) SenSec ..8 D) SecCos ..8

E) SecSen ..8

PROBLEMA DE REPASO

1) En un triángulo rectángulo, la longitud de un

cateto es media proporcional entre el otro

cateto y la hipotenusa. Si es la medida del

menor ángulo agudo, entonces el valor de

sen , es:

A) 2

13 B) ½ C) 2

15 D) 2

13 E) 2

2

2) En la figura mostrada BC = 25u, Calcule AD

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

3) Si y además

1º1954º21552 tgTg ,

1º552 CscCos

Calcule º45º53 tgTg A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

4) Si los catetos de un triángulo rectángulo son

como 3 es a 5, el coseno del ángulo agudo

mayor Es:

a)

43

1 b)

34

1

c)

34

3 d)

43

3 e)

3

34

5) En la figura mostrada AB = 2, m<DAC = 30º;

mADB = 15º, Calcule la longitud del segmento

DC.

A) 2 B) 1 C) 3 D) 3 E) 31

6) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se

tiene que: 46

2

SecAtgASecC

ACot ,

calcule TgACosC 20

A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29

7) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, O

es centro de la circunferencia, E es punto de

tangencia , Calcule: tg + 2

A)

2

2 B) 12 C) 12 D)2

12 E) 22

8) Calcular aproximadamente el valor de:

4

º533

4

º372 ctgctg

A) 10 B) 510 C) 5

D) 52103 E) 53102

9) Calcular el valor de:

xCosxSenTg

CscCscCos

º60º30'30º26

º45º10º.802 4

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

10) Si se cumple 2

15

23

º

, donde y son

ángulos agudos, calcule:


8


3342

223

CtgCsc

SecTg

A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) -3

11) Calcule la suma de los cuadrados de los senos

de los ángulos que forman la diagonal de un

cubo con las aristas que parten del vértice de

donde partió la diagonal. A) ½ B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

12) Calcule :

2

15

2

15 22 ººCtgtgE

A) 31630 B)

31630 C) 31230

D) 31230 E) 330

13) Del gráfico adjunto calcule el valor de

CtgCtg 3 .Dado que AB = 8 y BD = EC = 2.

A) 37 B) 39

C)

37

D) 39 E) 37

14) En un triángulo mostrado, calcule Cos2 , si

el área de la región triangular ADC es el

cuádruple de la región ABD.

A) 2 B) 1 C)

3

15

D) 4 E) ¼

15) Calcule el valor numérico de la expresión:

º60324

2

3

2008

3

5032

CscTg

CosTggg

A) 1/3 B) ½ C) 2/3 D) 5/6 E) 1

16) Reducir la siguiente expresión:

º)º() .º(

º.º

276327

63271

SenxCtgxCtg

CosCsc

A) -1 B) -½ C) ½ D) 0 E) 1

17) En la figura adjunta, AB = 8r; AD = DC. Calcule

el valor de Csc

A) 3 B) 5 C) 6 D) 10 E) 13

18) En la figura ABCD es un cuadrado y BC = 3BP.

Determinar Tg + Ctg

A) 0,5 B) 1,5 C) 2,5 D) 3,5 E) 4,5

19) En un triángulo rectángulo de lados mayores

de 24 y 26u, se inscribe un rectángulo de modo

que dos de sus lados coincide con los catetos y

uno de sus vértices está en la hipotenusa.

Determine el área máxima del rectángulo. 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 90

20) En un triángulo rectángulo, recto en “A”, uno de

sus catetos es el doble de la diferencia entre

la hipotenusa y el otro cateto. Calcule la

tangente del otro ángulo agudo

A) ½ B) 2/3 C) ¾ D) 4/5 E) 5/3

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