Semana 13 transformada z

Senales y Sistemas 1

Sesion 13

Andres Olarte Dussan

Universidad Nacional de Colombiasede Bogota

Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 1 / 46

Agenda

1 La transformada z

2 La transformada z inversa

3 Propiedades la la transformada z

4 Algunos pares comunes de transformada z

5 La transformada z unilateral


La transformada z

La transformada z de una senal discreta general x [n] se define como

X (z)△

+∞∑

n=−∞

x [n]z−n


La transformada z

La transformada z de una senal discreta general x [n] se define como

X (z)△

+∞∑

n=−∞

x [n]z−n

La relacion entre x [n] y su transformada z se indica como

x [n]Z↔ X (z)


Relaciones entre la transformada z y la transformada de

Fourier de tiempo discreto

Para explorar las relaciones, expresemos la variable compleja z enforma polar como

z = re jω





z = re jω

En terminos de r y ω, la transformada z pasa a ser

X (re jω) =

+∞∑

n=−∞

x [n](re jω)−n





z = re jω

En terminos de r y ω, la transformada z pasa a ser

X (re jω) =

+∞∑

n=−∞

x [n](re jω)−n

o, de manera equivalente,

X (re jω) =

+∞∑

n=−∞

{x [n]r−n}e−jωn




Vemos que es la transformada de Fourier de la secuencia x [n]multiplicada por una exponencial real r−n; esto es,

X (re jω) = F{x [n]r−n}




Vemos que es la transformada de Fourier de la secuencia x [n]multiplicada por una exponencial real r−n; esto es,


donde r es mayor o menor que la unidad. Podemos observar que, parar = 1 o, de forma equivalente, |z | = 1, la transformada z se reduce ala transformada de Fourier; es decir

X (z) |z=e jω= X (e jω) = F{x [n]}


El plano z complejo

Im

Re

ω

1

z = ejω

Figura : La transformada z se reduce a la transformada de Fourier para valores dez en el cırculo unitario


Ejemplo

Considere la senal x [n] = anu[n]. Aplicando la transformada z

X (z) =

+∞∑

n=−∞

anu[n]z−n =

∞∑

n=0

(az−1)n


Ejemplo


X (z) =

+∞∑

n=−∞

anu[n]z−n =

∞∑

n=0

(az−1)n

Para la convergencia de X (z) requerimos que∑∞

n=0 |az−1|n < ∞. en

consecuencia la region de convergecia es el rango de valores z para elcual |az−1| < 1 o de manera equivalente, |z | > |a|. Entonces,

X (z) =∞∑

n=0

(az−1)n =1

1− az−1=

z

z − a, |z | > |a|


Ejemplo


X (z) =

+∞∑

n=−∞

anu[n]z−n =

∞∑

n=0

(az−1)n

Para la convergencia de X (z) requerimos que∑∞

n=0 |az−1|n < ∞. en

consecuencia la region de convergecia es el rango de valores z para elcual |az−1| < 1 o de manera equivalente, |z | > |a|. Entonces,

X (z) =∞∑

n=0

(az−1)n =1

1− az−1=

z

z − a, |z | > |a|

Por ejemplo, para a = 1,

X (z) =1

1− z−1, |z | > 1


EjemploPara |a| > 1, la ROC no incluye el cırculo unitario.

Im

Rea

Figura : Diagrama region de convergencia para 0 < a < 1


Ejercicio

x [n] = 7

(

1

3

)n

u[n]−6

(

1

2

)n

u[n]

−10 −5 0 5 10−1

−0.5

0

0.5

1

¿Cual de las siguientes es la transformada z de x [n]?

1 X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

; |z | >1

2

2 X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

; |z | <1

3

3 X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

; |z | >1

3

4 X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

; |z | <1

2

5 ninguna de las anteriores.


Ejercicio

x [n] = 7

(

1

3

)n

u[n]− 6

(

1

2

)n

u[n]


Ejercicio

x [n] = 7

(

1

3

)n

u[n]− 6

(

1

2

)n

u[n]

X (z) =+∞∑

n=−∞

{

7

(

1

3

)n

u[n]− 6

(

1

2

)n

u[n]

}

z−n


Ejercicio

x [n] = 7

(

1

3

)n

u[n]− 6

(

1

2

)n

u[n]

X (z) =+∞∑

n=−∞

{

7

(

1

3

)n

u[n]− 6

(

1

2

)n

u[n]

}

z−n

= 7

∞∑

n=0

(

1

3z−1

)n

− 6

∞∑

n=0

(

1

2z−1

)n

=7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1


Ejercicio

x [n] = 7

(

1

3

)n

u[n]− 6

(

1

2

)n

u[n]

X (z) =+∞∑

n=−∞

{

7

(

1

3

)n

u[n]− 6

(

1

2

)n

u[n]

}

z−n

= 7

∞∑

n=0

(

1

3z−1

)n

− 6

∞∑

n=0

(

1

2z−1

)n

=7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

=z(z −

3

2)

(z −1

3)(z −

1

2)


Ejercicio

(

1

3

)n

u[n]Z↔

1

1−1

3z−1

, |z | >1

3

(

1

2

)n

u[n]Z↔

1

1−1

2z−1

, |z | >1

2


Ejercicio

(

1

3

)n

u[n]Z↔

1

1−1

3z−1

, |z | >1

3

(

1

2

)n

u[n]Z↔

1

1−1

2z−1

, |z | >1

2

y en consecuencia,

X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

|z | >1

2


Ejercicio

X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

|z | >1

2

Im

Re1

2

Im

Re1

3

Im

Re1

2

1

3

Figura : Diagrama region de convergenciaAndres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 12 / 46

Ejercicio

x [n] = 7

(

1

3

)n

u[n]−6

(

1

2

)n

u[n]

−10 −5 0 5 10−1

−0.5

0

0.5

1

¿Cual de las siguientes es la transformada z de x [n]? 1

1 X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

; |z | >1

2

2 X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

; |z | <1

3

3 X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

; |z | >1

3

4 X (z) =7

1−1

3z−1

−6

1−1

2z−1

; |z | <1

2

5 ninguna de las anteriores.


La transformada z inversa



Inicialmente consideramos la transformada z como la transformada deFourier de una secuencia exponencialmente ponderada,






para cualquier valor de r tal que z = re jω este dentro de la ROC.Aplicando la transformada inversa de Fourier a ambos lados,

x [n]r−n = F−1{X (re jω)}







ox [n] = rnF−1

[

X (re jω)]







ox [n] = rnF−1

[

X (re jω)]

Usando la expresion de la transformada inversa de Fourier

x [n] = rn1

2π

∫

2πX (re jω)e jωndω



x [n] = rn1

2π

∫


Moviendo el factor exponencial dentro de la integral y combinandolocon el termino e jωn, tenemos

x [n] =1

2π

∫

2πX (re jω)(re jω)ndω



x [n] = rn1

2π

∫


Moviendo el factor exponencial dentro de la integral y combinandolocon el termino e jωn, tenemos

x [n] =1

2π

∫

2πX (re jω)(re jω)ndω

Podemos recuperar x [n] a partir de su transformada z evaluada a lolargo de un contorno z = re jω en la ROC, con r fija y una ω variantesobre un intervalo de 2π.

x [n] =1

2πj

∮

X (z)zn−1dz


Ejemplo

Considere la transformada z

X (z) =3−

5

6z−1

(

1− 14z

−1) (

1− 13z

−1) , |z | >

1

3


Ejemplo


X (z) =3−

5

6z−1

(

1− 14z

−1) (

1− 13z

−1) , |z | >

1

3

Por expansion en fracciones parciales

X (z) =1

1−1

4z−1

+2

1−1

3z−1


Ejemplo


X (z) =3−

5

6z−1

(

1− 14z

−1) (

1− 13z

−1) , |z | >

1

3


X (z) =1

1−1

4z−1

+2

1−1

3z−1

De este modo,x [n] = x1[n] + x2[n]


Ejemplo


X (z) =3−

5

6z−1

(

1− 14z

−1) (

1− 13z

−1) , |z | >

1

3


X (z) =1

1−1

4z−1

+2

1−1

3z−1

De este modo,x [n] = x1[n] + x2[n]

donde

x1[n]Z↔

1

1−1

4z−1

, |z | >1

4

x2[n]Z↔

2

1−1

3z−1

, |z | >1

3


Ejemplo

donde

x1[n]Z↔

1

1−1

4z−1

, |z | >1

4

x2[n]Z↔

2

1−1

3z−1

, |z | >1

3


Ejemplo

donde

x1[n]Z↔

1

1−1

4z−1

, |z | >1

4

x2[n]Z↔

2

1−1

3z−1

, |z | >1

3

Podemos identificar por inspeccion que

x1[n] =

(

1

4

)n

u[n]


Ejemplo

donde

x1[n]Z↔

1

1−1

4z−1

, |z | >1

4

x2[n]Z↔

2

1−1

3z−1

, |z | >1

3

Podemos identificar por inspeccion que

x1[n] =

(

1

4

)n

u[n]

y

x2[n] = 2

(

1

3

)n

u[n]


Ejemplo

y ası

x [n] =

(

1

4

)

u[n] + 2

(

1

3

)

u[n]


Propiedades la la transformada z

Propiedades la la transformada z


Linealidad

Six1[n]

Z↔ X1(z), con ROC = R1

y

x2[n]Z↔ X2(z), con ROC = R2


Linealidad

Six1[n]


y


entonces

ax1[n] + bx2[n]Z↔ aX1(z) + bX2(z), con la ROC conteniendo a R1 ∩ R2


Desplazamiento en el tiempo

Six [n]

Z↔ X (z), con ROC = R


Desplazamiento en el tiempo

Six [n]


entoncesx [n − n0]

Z↔ z−n0X (z)

con ROC=R , excepto para la posible adicion o eliminacion del origeno del infinito.


Escalamiento en el dominio de z

Six [n]




Six [n]


entonces

zn0 x [n]Z↔ X

(

z

z0

)

, con ROC = |z0|R

donde |z0|R es la version escalada de R .



Six [n]


entonces

zn0 x [n]Z↔ X

(

z

z0

)

, con ROC = |z0|R

donde |z0|R es la version escalada de R .

Un caso importante surge cuando z0 = e jω. En este caso |z0|R = R y

e jω0nx [n]Z↔ X (e−jω0z)



e jω0nx [n]Z↔ X (e−jω0z)

Im

Re

θ

θ

Im

Re

θ

θ

Figura : Efecto en el diagrama de la multiplicacion en el dominio del tiempo poruna secuencia exponencial compleja e jω0n


Inversion en el tiempo

Six [n]




Six [n]


entonces

x [−n]Z↔ X (

1

z), con ROC =

1

R

Esto es, si z0 esta en la ROC de x [n], entonces 1/z0 esta en la ROCde x [−n].


Expansion en el tiempo

La secuencia x(k)[n] definida como

x(k)[n] =

{

x [n/k],

0,

si n es unmultiplo de k

si n no es unmultiplo de k




x(k)[n] =

{

x [n/k],

0,



tiene k − 1 ceros insertados entre valores sucesivos de la senaloriginal. En este caso, si

x [n]Z↔ X (z), con ROC = R




x(k)[n] =

{

x [n/k],

0,



tiene k − 1 ceros insertados entre valores sucesivos de la senaloriginal. En este caso, si

x [n]Z↔ X (z), con ROC = R

entoncesx(k)[n]

Z↔ X (zk), con ROC = R1/k

Si X (z) tiene un polo (o cero) en z = a, entonces X (zk) tiene unpolo (o cero) en z = a1/k


Conjugacion

Six [n]



Conjugacion

Six [n]


entoncesx∗[n]

Z↔ X ∗(z∗), con ROC = R


Propiedad de convolucion

Six1[n]



Propiedad de convolucion

Six1[n]


y


entonces

x1[n] ∗ x2[n]Z↔ X1(z)X2(z), con ROC conteniendo R1 ∩ R2


Diferenciacion en el dominio de z

Six [n]



Diferenciacion en el dominio de z

Six [n]


entonces

nx [n]Z↔ −z

dX (z)

dz, con ROC = R


Ejemplo

Cosideremos determinar la transformada z inversa para

X (z) =az−1

(1− az−1)2, |z | > |a|,


Ejemplo


X (z) =az−1

(1− az−1)2, |z | > |a|,

La transformada z de anu[n] es,

anu[n]Z↔

1

1− az−1, |z | > |a|,


Ejemplo


X (z) =az−1

(1− az−1)2, |z | > |a|,

La transformada z de anu[n] es,

anu[n]Z↔

1

1− az−1, |z | > |a|,

y de ello se desprende que

nanu[n]Z↔ −z

d

dz

(

1

1− az−1

)

=az−1

(1− az−1)2, |z | > |a|.


Teorema de valor inicial

Si x [n] = 0, n < 0, entonces

x [0] = lımz→∞

x [n]z−n


Teorema de valor inicial

Si x [n] = 0, n < 0, entonces

x [0] = lımz→∞

x [n]z−n

Esta propiedad se obtiene al considerar individualmente el lımite decada termino en la expresion de la transformada z con x [n] cero paran < 0. Con esta restriccion,

X (z) =

∞∑

n=0

x [n]z−n

A medida que z → ∞, z−n → 0 para n > 0, en tanto que para n = 0,z−n = 1. Por lo tanto, se obtiene la ecuacion inicial.


Tabla de propiedades

Propiedad SenalTransformada

zROC

Linealidad ax1 [n] + bx2 [n] aX1(z) + bX2(z) Al menos R1 ∩ R2




zROC

Linealidad

Desplazamiento en tiempo

ax1 [n] + bx2 [n]

x [n − n0]

aX1(z) + bX2(z)

z−n0X (z)

Al menos R1 ∩ R2

R, excepto para la posible adiciono supresion del origen




zROC

Linealidad


Escalamiento en el dominiode z

ax1 [n] + bx2 [n]

x [n − n0]

ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]

aX1(z) + bX2(z)

z−n0X (z)

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

Al menos R1 ∩ R2


R

z0R

Version escalada de R (es decir,|a|R =el conjunto de puntos{|a|z} para z en R)




zROC

Linealidad




ax1 [n] + bx2 [n]

x [n − n0]


x [−n]

aX1(z) + bX2(z)

z−n0X (z)

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (z−1)

Al menos R1 ∩ R2


R

z0R


R invertida (es decir, R−1 =el

conjunto de puntos z−1, donde z

esta en R)




zROC

Linealidad





ax1 [n] + bx2 [n]

x [n − n0]


x [−n]

x(k) [n] ={

x [r,

0,

n = rk

n 6= rk

aX1(z) + bX2(z)

z−n0X (z)

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (z−1)

X (zk )

Al menos R1 ∩ R2


R

z0R




esta en R)

R1/k (es decir, el conjunto de

puntos z1/k , donde z esta en R)




zROC

Linealidad





Conjugacion

ax1 [n] + bx2 [n]

x [n − n0]


x [−n]

x(k) [n] ={

x [r,

0,

n = rk

n 6= rk

x∗[n]

aX1(z) + bX2(z)

z−n0X (z)

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (z−1)

X (zk )

X∗(z∗)

Al menos R1 ∩ R2


R

z0R




esta en R)



R




zROC

Linealidad





Conjugacion

Convolucion

ax1 [n] + bx2 [n]

x [n − n0]


x [−n]

x(k) [n] ={

x [r,

0,

n = rk

n 6= rk

x∗[n]

x1 [n] ∗ x2[n]

aX1(z) + bX2(z)

z−n0X (z)

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (z−1)

X (zk )

X∗(z∗)

X1(z) ∗ X2(z)

Al menos R1 ∩ R2


R

z0R




esta en R)



R

Al menos la interseccion de R1 yR2




zROC

Linealidad





Conjugacion

Convolucion

Primera diferencia

ax1 [n] + bx2 [n]

x [n − n0]


x [−n]

x(k) [n] ={

x [r,

0,

n = rk

n 6= rk

x∗[n]

x1 [n] ∗ x2[n]

x [n] − x [n − 1]

aX1(z) + bX2(z)

z−n0X (z)

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (z−1)

X (zk )

X∗(z∗)

X1(z) ∗ X2(z)

(1 − z−1)X (z)

Al menos R1 ∩ R2


R

z0R




esta en R)



R


Al menos la interseccion de R y|z| > 0




zROC

Linealidad





Conjugacion

Convolucion

Primera diferencia

Acumulacion

ax1 [n] + bx2 [n]

x [n − n0]


x [−n]

x(k) [n] ={

x [r,

0,

n = rk

n 6= rk

x∗[n]

x1 [n] ∗ x2[n]

x [n] − x [n − 1]

∑nk=−∞

x [k]

aX1(z) + bX2(z)

z−n0X (z)

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (z−1)

X (zk )

X∗(z∗)

X1(z) ∗ X2(z)

(1 − z−1)X (z)

1

1 − z−1X (z)

Al menos R1 ∩ R2


R

z0R




esta en R)



R







zROC

Linealidad





Conjugacion

Convolucion

Primera diferencia

Acumulacion

Diferenciacion en el dominiode z.

ax1 [n] + bx2 [n]

x [n − n0]


x [−n]

x(k) [n] ={

x [r,

0,

n = rk

n 6= rk

x∗[n]

x1 [n] ∗ x2[n]

x [n] − x [n − 1]

∑nk=−∞

x [k]

nx [n]

aX1(z) + bX2(z)

z−n0X (z)

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (z−1)

X (zk )

X∗(z∗)

X1(z) ∗ X2(z)

(1 − z−1)X (z)

1

1 − z−1X (z)

−zdX (z)

dz

Al menos R1 ∩ R2


R

z0R




esta en R)



R




R


Algunos pares de transformada z

Senal Transformada ROC

δ[n] 1 Toda z




δ[n]

u[n]

11

1− z−1

Toda z

|z | > 1




δ[n]

u[n]

−u[−n − 1]

11

1− z−1

1

1− z−1

Toda z

|z | > 1

|z | < 1




δ[n]

u[n]

−u[−n − 1]

δ[n −m]

11

1− z−1

1

1− z−1

z−m

Toda z

|z | > 1

|z | < 1

Para toda z excepto0(si m > 0) o∞ (si m < 0)




δ[n]

u[n]

−u[−n − 1]

δ[n −m]

anu[n]

11

1− z−1

1

1− z−1

z−m

1

1− az−1

Toda z

|z | > 1

|z | < 1


|z | > |a|




δ[n]

u[n]

−u[−n − 1]

δ[n −m]

anu[n]

−anu[−n − 1]

11

1− z−1

1

1− z−1

z−m

1

1− az−1

1

1− az−1

Toda z

|z | > 1

|z | < 1


|z | > |a|

|z | < |a|




δ[n]

u[n]

−u[−n − 1]

δ[n −m]

anu[n]

−anu[−n − 1]

nanu[n]

11

1− z−1

1

1− z−1

z−m

1

1− az−1

1

1− az−1

az−1

(1 − az−1)2

Toda z

|z | > 1

|z | < 1


|z | > |a|

|z | < |a|

|z | > |a|




δ[n]

u[n]

−u[−n − 1]

δ[n −m]

anu[n]

−anu[−n − 1]

nanu[n]

−nanu[−n − 1]

11

1− z−1

1

1− z−1

z−m

1

1− az−1

1

1− az−1

az−1

(1 − az−1)2

az−1

(1 − az−1)2

Toda z

|z | > 1

|z | < 1


|z | > |a|

|z | < |a|

|z | > |a|

|z | < |a|




δ[n]

u[n]

−u[−n − 1]

δ[n −m]

anu[n]

−anu[−n − 1]

nanu[n]

−nanu[−n − 1]

[cosω0n]u[n]

11

1− z−1

1

1− z−1

z−m

1

1− az−1

1

1− az−1

az−1

(1 − az−1)2

az−1

(1 − az−1)2

1− [cosω0]z−1

1− [2 cosω0]z−1 + z−2

Toda z

|z | > 1

|z | < 1


|z | > |a|

|z | < |a|

|z | > |a|

|z | < |a|

|z | > 1




[sinω0n]u[n] [sinω0]z−1

1− [2 cosω0]z−1 + z−2

|z | > 1




[sinω0n]u[n]

[rn cosω0n]u[n]

[sinω0]z−1

1− [2 cosω0]z−1 + z−2

1− [r cosω0]z−1

1− [2r cosω0]z−1 + r2z−2

|z | > 1

|z | > r




[sinω0n]u[n]

[rn cosω0n]u[n]

[rn sinω0n]u[n]

[sinω0]z−1

1− [2 cosω0]z−1 + z−2


1− [2r cosω0]z−1 + r2z−2


1− [2r cosω0]z−1 + r2z−2

|z | > 1

|z | > r

|z | > r


La transformada z unilateral



La transformada z unilateral de una secuencia x [n] se define como

X =∞∑

n=0

x [n]z−n



La transformada z unilateral de una secuencia x [n] se define como

X =∞∑

n=0

x [n]z−n

Par una senal y su transformada z unilateral:

x [n]UZ↔ X (z) = UZ{x [n]}


Ejemplo

Considere la senalx [n] = anu[n]


Ejemplo

Considere la senalx [n] = anu[n]

Ya que x [n] = 0 para n < 0, las transformadas unilateral y bilateralson iguales para este ejemplo entonces en particular,

X (z) =1

1− az−1, |z | > |a|


Propiedades de la transformada z unilateral

Propiedad Senal Transformada z

Linealidadax1 [n] + bx2[n]

aX1(z) + bX2(z)




Linealidad

Retardo de tiempoax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]




Linealidad

Retardo de tiempo

Avance en el tiempo

ax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

x [n + 1]

aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]

zX (z) − zx [0]




Linealidad

Retardo de tiempo

Avance en el tiempo


ax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

x [n + 1]


aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]

zX (z) − zx [0]

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)




Linealidad

Retardo de tiempo

Avance en el tiempo



ax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

x [n + 1]


x(k) [n] =

{

x [m],

0,

n = mk

n 6= mk

aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]

zX (z) − zx [0]

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (zk )




Linealidad

Retardo de tiempo

Avance en el tiempo



Conjugacion

ax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

x [n + 1]


x(k) [n] =

{

x [m],

0,

n = mk

n 6= mk

x∗[n]

aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]

zX (z) − zx [0]

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (zk )

X∗(z∗)




Linealidad

Retardo de tiempo

Avance en el tiempo



Conjugacion

Convolucion

ax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

x [n + 1]


x(k) [n] =

{

x [m],

0,

n = mk

n 6= mk

x∗[n]

x1 [n] ∗ x2[n]

aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]

zX (z) − zx [0]

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (zk )

X∗(z∗)

X1(z) ∗ X2(z)




Linealidad

Retardo de tiempo

Avance en el tiempo



Conjugacion

Convolucion

Primera diferencia

ax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

x [n + 1]


x(k) [n] =

{

x [m],

0,

n = mk

n 6= mk

x∗[n]

x1 [n] ∗ x2[n]

x [n] − x [n − 1]

aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]

zX (z) − zx [0]

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (zk )

X∗(z∗)

X1(z) ∗ X2(z)

(1 − z−1)X (z) − x [−1]




Linealidad

Retardo de tiempo

Avance en el tiempo



Conjugacion

Convolucion

Primera diferencia

Acumulacion

ax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

x [n + 1]


x(k) [n] =

{

x [m],

0,

n = mk

n 6= mk

x∗[n]

x1 [n] ∗ x2[n]

x [n] − x [n − 1]∑n

k=0 x [k]

aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]

zX (z) − zx [0]

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (zk )

X∗(z∗)

X1(z) ∗ X2(z)

(1 − z−1)X (z) − x [−1]

1

1 − z−1X (z)




Linealidad

Retardo de tiempo

Avance en el tiempo



Conjugacion

Convolucion

Primera diferencia

Acumulacion

Diferenciacion en el dominiode z

ax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

x [n + 1]


x(k) [n] =

{

x [m],

0,

n = mk

n 6= mk

x∗[n]

x1 [n] ∗ x2[n]

x [n] − x [n − 1]∑n

k=0 x [k]

nx [n]

aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]

zX (z) − zx [0]

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (zk )

X∗(z∗)

X1(z) ∗ X2(z)

(1 − z−1)X (z) − x [−1]

1

1 − z−1X (z)

−zdX (z)

dz




Linealidad

Retardo de tiempo

Avance en el tiempo



Conjugacion

Convolucion

Primera diferencia

Acumulacion

Diferenciacion en el dominiode z

ax1 [n] + bx2[n]

x [n − 1]

x [n + 1]


x(k) [n] =

{

x [m],

0,

n = mk

n 6= mk

x∗[n]

x1 [n] ∗ x2[n]

x [n] − x [n − 1]∑n

k=0 x [k]

nx [n]

aX1(z) + bX2(z)

z−1X (z) + x [−1]

zX (z) − zx [0]

X (e−jω0 z)

X

(

z

z0

)

X (a−1z)

X (zk )

X∗(z∗)

X1(z) ∗ X2(z)

(1 − z−1)X (z) − x [−1]

1

1 − z−1X (z)

−zdX (z)

dz

Teorema del valor inicial

x [0] = lımz→∞

X (z)


Solucion de ecuaciones en diferencias usando la

transformada z unilateral

Ejemplo

Considere un sistema LTI causal descrito por la ecuacion dediferencias con condicion incial y [−1] = β

y [n] + 3y [n − 1] = αu[n]




Ejemplo


y [n] + 3y [n − 1] = αu[n]

Aplicando la transformada unilateral a ambos miembros de laecuacion y usando las propiedades de linealidad y retardo en eltiempo, obtenemos

Y(z) + 3β + 3z−1Y(z) =α

1− z−1




Ejemplo


y [n] + 3y [n − 1] = αu[n]

Aplicando la transformada unilateral a ambos miembros de laecuacion y usando las propiedades de linealidad y retardo en eltiempo, obtenemos

Y(z) + 3β + 3z−1Y(z) =α

1− z−1

Resolviendo Y(z) se obtiene

Y(z) = −3β

1 + 3z−1+

α

(1 + 3z−1)(1− z−1)




Ejemplo

Y(z) = −3β

1 + 3z−1+

α

(1 + 3z−1)(1− z−1)

Utilizando fracciones parciales y por ejemplo si α = 8 y β = 1,

Y(z) =3

1 + 3z−1+

2

1− z−1




Ejemplo

Y(z) = −3β

1 + 3z−1+

α

(1 + 3z−1)(1− z−1)

Utilizando fracciones parciales y por ejemplo si α = 8 y β = 1,

Y(z) =3

1 + 3z−1+

2

1− z−1

Aplicando el par de transformada unilateral para cada termino, seobtiene

y [n] = [3(−3)n + 2]u[n], para n ≥ 0


Ejercicio

y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1

2

n

u[n],

y [−1] = β

Resuelva la ecuacion de diferencias y determina cuales afirmaciones sonverdaderas:

1 el lımn→∞

y [n] = 0 para cualquier valor de β .

2 La salida converge si β = 2/7.

3 Con β = 2/7 ellım

n → ∞y [n] = 0

4 el lımn→∞

y [n] = ∞ para cualquier valor de β 6= 2/7.

5 Todas las anteriores.


Ejercicio

y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1

2

n

u[n],

y [−1] = β

Y (z) + 3z−1Y (z) + 3y [−1] =1

1− 1/2 z−1

Y (z) =1

(1− 1/2 z−1)(1 + 3z−1)−

3β

1 + 3z−1


Ejercicio

y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1

2

n

u[n],

y [−1] = β

Y (z) + 3z−1Y (z) + 3y [−1] =1

1− 1/2 z−1

Y (z) =1

(1− 1/2 z−1)(1 + 3z−1)−

3β

1 + 3z−1

Utilizando fracciones parciales

Y (z) =1

7

(

1

1− 1/2 z−1

)

+6

7

(

1

1− 3 z−1

)

− 3β

(

1

1− 3 z−1

)


Ejercicio

y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1

2

n

u[n],

y [−1] = β

Y (z) + 3z−1Y (z) + 3y [−1] =1

1− 1/2 z−1

Y (z) =1

(1− 1/2 z−1)(1 + 3z−1)−

3β

1 + 3z−1

Utilizando fracciones parciales

Y (z) =1

7

(

1

1− 1/2 z−1

)

+6

7

(

1

1− 3 z−1

)

− 3β

(

1

1− 3 z−1

)

Aplicando transformada inversa

y [n] =1

7

(

1

2

)n

u[n] +6

73nu[n]− 3β3nu[n]


Ejercicio

y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1

2

n

u[n],

y [−1] = β

Resuelva la ecuacion diferencial y determina cuales afirmaciones sonverdaderas: 2, 3 y 4

1 el lımn→∞

y [n] = 0 para cualquier valor de β .

2 La salida converge si β = 2/7.

3 Con β = 2/7 el lımn→∞

y [n] = 0

4 el lımn→∞

y [n] = ∞ para cualquier valor de β 6= 2/7.

5 Todas las anteriores.


Resumen sesion

1 La transformada z

2 La transformada z inversa

3 Propiedades la la transformada z

4 Algunos pares comunes de transformada z

5 La transformada z unilateral


Siguiente sesion

Introduccion al analisis de sistemas dinamicos

Sistemas de primer y segundo orden◮ Seccion 3.◮ Seccion 4.

del libro Oscar G. Duarte V. Analisis de sistemas dinamicos lıneales.

Universidad nacional de Colombia.


Semana 13 transformada z

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