Sistemas de Sistemas de ecuaciones linealesecuaciones lineales

La tercera parte de los ahorros de Juan es $115.

Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se expresa como sigue:

1115

3x

Esta igualdad es una ecuación lineal. Las ecuaciones se usan para expresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos, astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo:

12 ,

2v t

expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil

con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de m

por segundo cuadrado.

1

2

Una ecuación lineal es una ecuación de la forma

en donde son variables; son constantes llamadas los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término constante de la ecuación.

1 1 2 2 n na x a x a x b

1 2, x , ..., xnx 1 2, , ..., na a a

Ejemplo 1

Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas. ¿Cuántas tiene cada uno?

Ejemplo 2Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?

Solución

Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:

es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor.es la velocidad de la lancha con la corriente en contra.

x y

x y

Por lo que: 100

70x yx y

Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2 de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales

………(*)

Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol-viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.

Método por sustitución

Este método se resume así:

Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.

3.

2.

1.

La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación obtenida en el paso 1.

¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?

Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema 100 70

x yx y

Solución

1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene:

100y x

2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se tiene:

100 70x x

2 100 70x 170

852

x

3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se obtiene el valor de y

100 85 15y

Método por igualación

Este método se resume así:

De cada ecuación se despeja la misma variable.

3.

2.

1.

Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la ecuación que resulta.

El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las ecuaciones obtenida en el paso 1.

Ejemplo 4 Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?

Solución

Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

t – 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan.

Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t

se tiene que: 60 90

1

d

td

t

Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:

O sea: 60 0 90 90t dt d

90 90 60t t

30 90t

903

30t

Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación se obtiene que d = 180.

60 0t d

Método por determinantes

Si los coeficientes de las variables t y d del sistema

se arreglan así

60 0 90 90t dt d

60 190 1

se obtiene una matriz.

El determinante de una matriz se denota así:

y se define como sigue:

a bc d

,a bc d

a b ad bcc d

Y la resolución por determinantes de un sistema se obtiene así:

ax by mcx dy n

,

m bn d

xa bc d

.

a mc n

ya bc d

Ejemplo 5 Resolver por determinantes el sistema 2 3 3 2 1x yx y

Solución

3 23 2 1 21 2 8

11 2 1 2 3 2 83 2

x

1 31 1 3 33 1 8

11 2 1 2 3 2 83 2

y

Ejemplo 6 Resolver por determinantes el sistema 3 1 4 8

x yx y

Solución

1 38 4 28

41 3 71 4

,x

1 11 8 7

11 3 71 4

y

Método gráfico

Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.

La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el método gráfico:

Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema 1 2 1x yx y

Solución

Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe:

1y x

x

y

0 – 1

0

1

2 1y x

x

y

0 2

– 1

3

Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe:

– 1

0– 1

2

3

1

x

y

El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:

2, 3x y

(2, 3)

Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema.

Ejemplo 8 El sistema tiene solución única. Observe:

3 1 4 8

x yx y

2

1

0

4

2

x

y

3 1x y

4 8x y

(4, 1)

1

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta.

Ejemplo 10

El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe:

12

2 2

yx

x y

- 2

10

y

x

12

yx

2 2x y

Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.

El sistema no tiene solución. Observe: 1

2

2 3

yx

x y

- 2

1

0

y

x

12

yx

2 3x y

- 3

Ejemplo 11

Clasificación de un sistema según el número de solucionesClasificación de un sistema según el número de soluciones

Sistemas deecuaciones lineales

Incompatible

Compatible

Sin solución

Con solución

Determinado

Indeterminado

Solución única

Infinitas soluciones

Fin