Sem 2 Pre Maestria

7/23/2019 Sem 2 Pre Maestria

http://slidepdf.com/reader/full/sem-2-pre-maestria 1/58

INVESTIGACION DE

OPERACIONES

PROGRAMACION LINEALSEM 2



INVESTIGACION DE OPERACIONESEl Arte del Modelado

La I.O debe ser considerada como una ciencia la !e" como un arte.

•Una ciencia por el uso de técnicas matemáticas para la resolución de losproblemas.

•Un arte ya que la formulación del modelo depende en gran parte de la

creatividad y la eperiencia delas operaciones del equipo investigador.



INVESTIGACION DE OPERACIONESEta#as #ara #uesta en #r$ctica

1. Definición del problema:• !lternativas de decisión "vars. de decisión#.• El ob$etivo de estudio "%unción &b$etivo#.• 'dentificación de las restricciones del sistema que se modela.

2. Construcción del modelo:• (raducir el problema a relaciones matemáticas que incluyan las vars. decisión)la %unción &b$etivo y las restricciones.

3. Solución del modelo:• Uso de algoritmos de optimi*ación.• Se encuentran los valores de las vars. decisión.

4. Validación del modelo:

• +El modelo entrega una predicción ra*onable del comportamiento del sistemaestudiado,

5. Puesta en práctica:• (raducir los resultados del modelo en instrucciones de operación.



PROGRAMACI%N LINEAL

& O R M ' L A C I O N M A T E M A T I C A

M E T O D O G R A & I C O M E T O D O A L G E ( R A I C O) S I M P L E * +

P R O ( L E M A G E N E R A L

P R O ( L E M A S D E T R A N S P O R T E P R O ( L E M A S D E A S IG N A C I % N

P R O ( L E M A S E S P E C I A L E S

P R O G R A M A C I O N L I N E A L



PROGRAMACI%N LINEAL

Es un método matemático que se emplea para resolver problemas deoptimi*ación. En palabras simples la -.. busca asignar recursos limitados) entreactividades que compiten) de la forma mas optima posible.

Su#uestos de la P.L.•-roporcionalidad

• !ditividad

•/ivisibilidad

•0ertidumbre

•&b$etivo 1nico

•o negatividad



PROGRAMACI%N LINEALConstrucci,n de modelos

PRO(LEMA DE LA ME-CLA DE PROD'CTOSUna compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y

bobinas.

Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble,

dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de

tiempo en empaque.

Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo

en Control de Calidad y dos minutos en empaque.

Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 00 minutos en C. Calidad y 00

minutos en Empaque disponibles cada día.

!anto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad."a compañía desea determinar la me#cla de productos optima que maximice la

utilidad total.




Soluci,n

$ormulación

Paso / 'dentificar el ob$etivo "meta# a optimi*ar

a!imi"ar las utilidades de la compa#$a %&'.(dólares)d$a*

Paso 0 'dentificar las variables de decisión que deseamos determinar

+,.Cantidad de transistores a fabricar por d$a (unds.)d$a*

-,.Cantidad de bobinas a fabricar por d$a (unds.)d$a*

Paso 1 'dentificar las restricciones del modelo

1' /iempo disponible en el depto. de 0nsamble por d$a 3 min.

2' /iempo disponible en el depto. de C. Calidad por d$a de 4 min.

3' /iempo disponible en el depto. de 0mpaue por d$a de 4 min.

4' o eatiidad.




Paso 2 0onstrucción del modelo matemático

6.7b8etio

9+ ( & + ; - *

Su8eto a :

1' + ; 2- 3

2' 2+ ; - 4

3' + ; 2- 4

4' + < -




E3ERCICIO PROP'ESTO

El departamento de rayos % de un &ospital tiene dos m'quinas, ( y ), que

pueden utili#arse para re*elar radio+rafías. "a capacidad de procesamiento diaria

de estas m'quinas es (-0 y )00 radio+rafías. El departamento debe planear

procesar al menos /0 radio+rafías por día. "os costos de operación porradio+rafía son para la m'quina ( y 3 para la m'quina ). 1Cu'ntas

radio+rafías por día debe procesar cada m'quina para minimi#ar costos2

Se pide:

$ormular como un problema de .". identificando claramente la función ob4eti*o ylas *ariables de decisión.




Soluci,n

$ormulación


inimi"ar los costos de procesamiento %C'.(dólares)d$a*


+,.Cantidad de radioraf$as a procesar en máuina 9 al d$a (rad.)d$a*

-,. Cantidad de radioraf$as a procesar en máuina = al d$a (rad.)d$a*


1' Capacidad de procesamiento de rad. en la mauina 9 de >.

2' Capacidad de procesamiento de rad. en la mauina = de 1.

3' Capacidad m$nima del departamento de 15 rad. por d$a.

4' o eatiidad.





6.7b8etio

? ( C 4+ ; 3- *

Su8eto a :

1' + >

2' -

1

3' + ; - 15

4' + < -




PRO(LEMA DE LA DIETA

"a compañía 5$ utili#a diariamente por lo menos -00 libras de alimento especial.

El alimento especial es una me#cla de maí# y semilla de soya, con las si+uientes

composiciones.

Costo

'S45lb

Ma3* 4.45 4.42 4.64

Similla Soya 4.74 4.47 4.54

A. 6anado &ibraProteinas

libra com#onente #or libra de alimento 6anado




"os requerimientos diet6ticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos

un 307 de proteínas y cuando muc&o un /7 de fibra. 5$ desea determinar el

costo mínimo diario de la me#cla de alimento.

¿….?




Soluci,n

$ormulación


inimi"ar el costo diario total de la me"cla de alimento%C'.(dólares)d$a*


+,.libras de mai" en la me"cla diaria (lb.)d$a*

-,. @ibras de semilla de soAa en la me"cla diaria (lb.)d$a*


1' euerimientos de alimentos de por lo menos > lbs.al d$a

2' euerimiento de prote$nas de por lo menos un 3B

3' euerimientos de fibra de cuando muco un 5B.

4' o eatiidad.





6.7b8etio

? ( C .3+ ; .- *

Su8eto a :

1' + ; -

>

2' .+ ; .E- .3%+ ; -'

3'.2 + ; .E-

.5%+ ; -'

4' + < -




Paso 2./ 0onstrucción del modelo matemático "&8/E!/&#

6.7b8etio

? ( C .3+ ; .- *

Su8eto a :

1' + ; -

>

2' .21+ F .3-

3'.3 + F .1-

4' + < -




PRO(LEMA DE TRANSPORTE

Considere el problema que enfrenta el departamento de planificación de la

compañía 8(""(9 9.(. ,que tiene tres plantas y cuatro almacenes re+ionales.

Cada mes se requiere de una lista de requerimientos de cada almac6n y se

conocen, tambien las capacidacdes de producción de las plantas. (demas seconoce el costo de transporte de cada planta a cada almac6n. El problema es

determinar qu6 plantas deben abastecer a que almacenes de manera que

minimicen los costos totales de transporte. Consideremos que los costos de

transporte entre dos ciudades cualquiera, son proporcionales a las cantidades

embarcadas. 9upon+ase que las capacidades mensuales de cada planta son 0,

;0 y -0 respecti*amente. "os requerimientos de cada almac6n para el mes de

<ar#o son: /0, -0, 0 y 0. "os costos unitarios de transporte son los que se

muestran en la tabla si+uiente:




9e pide:

$ormular como un ".

Planta/ 0 1 2

/ 95 64 :4 940 ;4 64 <4 741 <4 = ;4 24

Almac7n




Soluci,n$ormulación


inimi"ar el costo total de transporte %C'.(u.m)mes*


+i8,.Cantidad a eniar de la planta GiH al almacIn G8H mensualmente (uds)mes* i 1<2<3 ) 8 1<2<3<4


1' Capacidad mensual de producción planta 1 de J

2' Capacidad mensual de producción planta 2 de

3' Capacidad mensual de producción planta 3 de 1>

4' euerimientos del almacIn 1 para ar"o de 5

5' euerimientos del almacIn 2 para ar"o de >

E' euerimientos del almacIn 3 para ar"o de J

J' euerimientos del almacIn 4 para ar"o de 14

>' o eatiidad.




Paso 2./ 0onstrucción del modelo matemático

6.7b8etio

in(C1+11;J+21;4+31;3+12;3+22;>+32;5+13;4+23;J+33;1+14;E+24;2+34*

Su8eto a :

1' +11;+12;+13;+14 J

2' +21;+22;+23;+24

3' +31;+32;+33;+34 1>

4' +11;+21;+31 5

5' +12;+22;+32 >

E' +13;+23;+33 J J' +14;+24;+34 14

>' +i8 ∀ i , 4



8

Modelo >eneral de -

Definición de variables:

Sea xj = #.... ; j = 1, 2, 3....n

Función objeivo:

Max. o Min. z = C1X1 + C2X2 + ... + CjXj + ... + CnXn

Sujeo a resricciones: i = 1, 2, 3, ... , !

a11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + ... + a1nXn = b1

a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + ... + a2nXn

= b2

" .

" .

ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + ... + ainXn

= bi

" .

" .

am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + ... + amnXn = bm

ondiciones de si$no %ara variables: toda xj 0

m = # total de restricciones,

n = # de ariables de decisi!n "oriinales$

Cj, aij % bi son constantes "o &ar'metros$ dados.



8

Métodos de 8esoluciónM7todo Gr$8icoEmpleado principalmente para -- con dos variables de decisión. Este métodose basa en la idea de obtener re+iones de soluciones factibles =>9$?) en lascuales se encontrar3a la combinación de variables de decisión que optimi*an elmodelo.

M7todo Al6ebraico )SIMPLE*+Empleado principalmente para -- con más de dos variables de decisión. Estemétodo se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema?eur3stico) por lo cual requiere de una solución inicial factible para empe*ar afuncionar.



13

Método de 8esolución@ -aso6Encontrar el -unto &ptimo@ !lternativas

Alternati!a /Encontrar todas las combinaciones de A9 y A2 que determinan los vértices de la8S%) luego se eval1an en la función ob$etivo y se elige la combinación quemaimice "o minimice# dic?a función.

Alternati!a 0>ráficar la %.&. dandose en valor arbitrario de B "depende de la escala del

gráfico#) luego la recta se despla*a en forma paralela en el sentido estricto de laoptimi*ación. El ultimo punto que CtopeD la %.& al salir de la 8S% corresponderá ala solución optima.



8

Métodos de 8esoluciónALGE(RAICO SIMPLE*

(l m)todo s*m&lex e desarrollado en 1-/ &or el r. eore antzi % conjntamente con el

desarrollo de la com&tadora izo &osible la solci!n de &roblemas randes &lanteados con la

t)cnica matem'tica de &roramaci!n lineal.

(l aloritmo denominado s*m&lex es la &arte medlar de este m)todo3 el cal se basa en la

solci!n de n sistema de ecuaciones lineales con el conocido &rocedimiento de Gauss-Jordan %

a&o%ado con criterios &ara el cambio de la solci!n b'sica 4e se resele en orma iteratia

asta 4e la solci!n obtenida converge a lo 4e se conoce como !&timo..

&(l conjnto de solciones actibles &ara n &roblema de 5.6. es n conjnto conexo.

&6a solci!n !&tima del &roblema de &roramaci!n lineal , si existe, es n &nto extremo

")rtice$ del conjnto de solciones actibles.

&(l n7mero m'ximo de &ntos extremos ")rtices$ &or reisar en la b7s4eda de la solci!n

!&tima del &roblema es inito.



8


8orma (st'ndar de n 556

a forma estándar pasa por reali*ar los siguientes cambios@

1K Conersión de desiualdades en iualdades %ecuaciones'

a.F estricción menor o iual %L'

-ara transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar

su lado i*quierdo con una variable de C?olguraD. Esta representa la cantidad disponible del

recurso que ecede al empleo que le dan las actividades.

E$.

9*/ : 2*0 ; 02&.e

9*/ : 2*0 : </ = 02 )</> cantidad no utili"ada de recurso+

</ ? @



8


b.F estricción maAor o iual %M'

as restricciones de este tipo com1nmente determinan requerimientos m3nimos de

especificaciones. En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa

el requerimiento m3nimo del lado i*quierdo) sobre el requerimiento m3nimo del derec?o

" cuanto falta para cumplir con lo pedido#.

E$.

*/ : *0 ? @@

*/ : *0 B r/ = @@

r/ ? @

Sin embargo la %.E pasa por ?acer un a$uste más@

&.E*/ : *0 B r/ : t/ = @@

r/ t/ ? @

t9 variable artificial "se necesita para generar la solución inicial del simple#



8


d.F estricción de iualdad %'

!qu3 la estandari*ación pasa sólo por incorporar una variable artificial.

E$.

*/ : *0 = @@

*/ : *0 : t/ = @@t/ ? @

0omo las variables artificiales no tienen sentido) es importante que el simple las de$e fuera

al comien*o del procedimiento y esto se logra al penali*ar la inclusión de las variables

artificiales en la función ob$etivo con un coeficiente FMG muy grande que para el caso de

maimi*ar es F H MG y para el caso de minimi*ar es FI MG.



8


b.F Variables neatias

!lgunas veces las variables de decisión pueden tomar negativos.

*i 9 0

Cambio de !ariable

i = *i Donde i : 0E$.

*/ : *0 ; 2@

*/ ? @ *0 ; @

Lue6o 0 = *0 o bien *0 = B 0

&.E.*/ B 0 : </ = 2@



8


3K Cambio en criterio de optimi"ación

Muc?as veces el ob$etivo no es maimi*ar.

MIN )-+

Cambio de !ariable -F = B-

MIN - = MA* ) -F+E$.

MIN - = */ : *0 H

-F = B-

&.E

MA* -F = B*/ *0H



8


0N0P@7

MIN )- = /*/ : /@*0 0@*1+

S5A

R/+ */:0*0:2*1 ? 1@

R0+ */:*0:1*1 = 2@R1+ */ : *0 : *1 ; J@

R2+ */ s.r.sK *0;@K *1?@

Cambios de !ariable

-F = B- */='/BV/ *0=B0



PRO(LEMA DEa compaJ3a AKB manufactura dos tipos de raquetas para tenis@ Uno LásicoL"-eso igero# usados en los $uegos de igas Menores y el L-rofesionalL

">olpeador# que se vende a los equipos de igas Mayores. a producción de unaraqueta requiere una operación de torno para darle su forma) un proceso de li$apara suavi*ar la madera y para los LprofesionalesL tan solo una mano delaqueado como tratamiento final. Una raqueta para la iga Menor requiere unminuto en un torno de alta velocidad en tanto que una raqueta para iga Mayor)toma dos minutos de tiempo de torneado) puesto que se le debe dar la forma con

tolerancias muy estrec?as. /ebido a la rápida dada de forma del básico) serequiere tres minutos de máquina li$adora) en tanto que el profesional necesitasólo dos minutos para ser li$ado. El laqueado es ?ec?o a mano y como resultadode esto sólo pueden producirse <44 raquetas profesionales durante una semana.-ara una semana promedio de traba$o debe utili*arse 9444 minutos de tiempo detorno y 9=44 minutos de tiempo de li$ado.AKB reali*a una contribución neta a los gastos generales y utilidad de N6 porcada raqueta básica y de N< por cada profesional producida. !sumir que lacompaJ3a puede vender tantas raquetas de cada tipo como las que puedenproducir.



• Problema

Maimi*ar 6 9 I < 2 su$eto a@

9 I 2 2 ≤ 9444

6 9 I 2 2 ≤ 9=44

2 ≤ <44

9) 2 ≥ 4

• A9 numero de raquetas básicos producidos por semana

• A2 numero de raquetas profesionales producidos por semana




• Maimi*ar@

B 6 A9 I < A2 I 4 S9 I 4 S2 I 4 S6

Su$eto a@• A9 I 2A2 I S9 9444

• 6A9 I 2A2 I S2 9=44

• A2 I S6 <44 AiO4) i 9)2 Si O4) i 9)2)6

Métodos de 8esoluciónALGE(RAICO



(abla 9

6 < 4 4 4 4

c( ( / 0 s/ s0 s1 bi

4 s9 9 2 9 4 4 9444

4 s2 6 2 4 9 4 9=44

4 s6 4 9 4 4 9 <44

c " 6 < 4 4 4 4

0riterio de entrada@ ma P 6) < Q <) luego entra 2

0riterio de salida@ m3n P :44) 544 ) <44 Q <44) luego sale s6




(abla 2

6 < 4 4 4 4

c( ( / 0 s/ s0 s1 bi

4 s9 9 4 9 4 H2 244

4 s2 6 4 4 9 H2 9444

< 2 4 9 4 4 9 <44

c " 6 4 4 4 H< 9744

0riterio de entrada@ ma P 6) H< Q 6) luego entra 9

0riterio de salida@ m3n P 244) 666.6 Q 244) luego sale s9




(abla 6

6 < 4 4 4 4

c( ( / 0 s/ s0 s1 bi

6 9 9 4 9 4 H2 244

4 s2 4 4 H6 9 < <44

< 2 4 9 4 4 9 <44

c " 4 4 H6 4 2 2244

0riterio de entrada@ ma P H6) 2 Q 2) luego entra s6

0riterio de salida@ m3n P 944) <44 Q 944) luego sale s2




(abla <

6 < 4 4 4 4

c( ( / 0 s/ s0 s1 bi

6 9 9 4 H9R2 9R2 4 <444 s6 4 4 H6R< 9R< 9 944

< 2 4 9 6R< H9R< 4 644

c " 4 4 H6R2 H9R2 4 2<44

0riterio de entrada@ P las var no básicas son negativos Q

uego la solución no puede me$orar por tanto es &ptima




8


Se una ve* obtenida la %.E se esta en condiciones de iniciar el Simple que nos permitirá

encontrar la "s# solución "es# del --.

0omo el algoritmo se mueve de punto en punto etremo requiere que variables basicas

entren y salgan. as reglas para seleccionar las variables de entrada y salida se conocen

como condiciones de optimalidad y factibilidad. 8esumiendo@

C. O#timalidad la variable de entrada en un problema de maimi*ación es la variable no

básica que tiene el coeficiente mas positivo en el reglón de la %.&. los empates se rompen

arbitrariamente. Se llega al optimo en la iteración donde todos coeficientes del reglon de la

%.&. de las variables no básicas son negativos. En un problema de maimi*ación.

C. &actibilidad@ tanto para los problemas de maimi*ación como minimi*ación) la variable

de salida es la variable básica asociada con la ra*ón no negativa más pequeJa entre los

Clados derec?oD y los coeficientes de la columna entrante.



8


Pasos del Sim#le

Paso @ @ determinar la solución factible inicial.

Paso / @ seleccione la variable de entrada empleando la condición de optimalidad.

/eténgase si no ?ay variable de entrada.

Paso 0 @ seleccione una variable de salida utili*ando la condición de factibilidad.

Paso 1 @ determine las nuevas soluciones básicas empleando los calculos apropiados de

>auss Tordan) luego vuelva al paso 9.



8

Métodos de 8esoluciónD'AL SIMPLE*

Se basa en la idea que todo PPL tiene un problema “espejo”, llamado DUAL. Esto

provoca que se genere un segundo algoritmo de resolucion conocido como

“etodo Dual Simple!”, el cual "unciona de la siguiente manera#

Condicion de Factibilidad:

La variable que sale es la variable basica que tiene el valor mas

negativo, si todas las variables basicas son no negativas el proceso termina

$ se alcan%a la solucion "actible & optima.

Condicion de Optimalidad:

La variable entrante se escoge de la manera siguiente#

'alcule la ra%on entre los coe(cientes del reglon “cero” $ los

coe(cientes de la (la asociada a la variable que sale, ignore coe(cientes

positivos o ceros. La variable que entra es la que posee la ra%on mas

peque)a si el problema es de minimi%acion. Si todos los denominadores

son cero o positivos el problema no tiene solucion "actible.



8

0N0P@7

MIN )- = 0*/ : *0+

S5A

R/+ 1*/:*0 ? 1

R0+ 2*/:1*0 ? 9R1+ */ : 0*0 ; 1

R2+ */ ?@ K *0 ? @

&orma Est$ndar


é ó



8

6orma 0stándar

- : B0 */ B *0 = @

B1 */ B *0 : r/ = B1

B2 */ B 1 *0 : r0 = B9

*/ : 0 *0 : </ = 1


Mé d d 8 l ió



8

6orma /abular 0special

(ASE */ *0 r/ r0 </ SOL'CION

* H2 H9 4 4 4 4

r9 H6 H9 9 4 4 H6

r2 H< H6 4 9 4 H7

?9 9 2 4 4 9 6


Mét d d 8 l ió



8


* H2 H9 4 4 4 4

r9 H6 H9 9 4 4 H6

r2 H< H6 4 9 4 H7

?9 9 2 4 4 9 6Sale masnegativa


Mét d d 8 l ió



8

RA-ON 2R< 9R6 4 4 4


* H2 H9 4 4 4 4

r9 H6 H9 9 4 4 H6

r2 H< H6 4 9 4 H7

?9 9 2 4 4 9 6


Mét d d 8 l ió



8

RA-ON 2R< 9R6 4 4 4


* H2 H9 4 4 4 4

r9 H6 H9 9 4 4 H6

r2 H< H6 4 9 4 H7

?9 9 2 4 4 9 6

Entra ra*on mas pequeJa


Mét d d 8 l ió



8

Oauss Nordan


* H2R6 4 4 H9R6 4 2

r9 H:R6 4 9 H9R6 4 H9

A2 <R6 9 4 H9R6 4 2

?9 H:R6 4 4 2R6 9 H9


Mét d d 8 l ió



8


* H2R6 4 4 H9R6 4 2

r9 H:R6 4 9 H9R6 4 H9

A2 <R6 9 4 H9R6 4 2

?9 H:R6 4 4 2R6 9 H9


Mét d d 8 l ió



8

RA-ON 2R: 4 4 9 4


* H2R6 4 4 H9R6 4 2

r9 H:R6 4 9 H9R6 4 H9

A2 <R6 9 4 H9R6 4 2

?9 H:R6 4 4 2R6 9 H9


Mét d d 8 l ió



8

RA-ON 2R: 4 4 9 4


* H2R6 4 4 H9R6 4 2

r9 H:R6 4 9 H9R6 4 H9

A2 <R6 9 4 H9R6 4 2

?9 H:R6 4 4 2R6 9 H9

-ivote


Mét d d 8 l ió



8

Oauss Nordan

(ASE */ *0 R/ r0 </ SOL'CION

B 4 4 H2R: H9R: 4 92R:

A9 9 9 H6R: 9R: 4 6R:

A2 4 4 <R: H6R: 4 7R:

?9 4 4 H9 9 9 4

7ptimo 6actibleQQQ


Mét d d 8 l ió



8

Solución:

(ASE SOL'CION

B 92R:

A9 6R:

A2 7R:

r9 4

r2 4

?9 4


Métodos de 8esol ción



08ercicio Propuesto

MIN )- = */ : 2*0 : *1+

S5A

R/+ */:0*0:*1 ? /

R0+ 0*/:*0:*1 ? /@

R1+ */ : *0 :*1 ; 0@

R2+ */ ?@ K *0 ? @K *1 ? @


Sem 2 Pre Maestria

Documents

Transcript of Sem 2 Pre Maestria