Selectividad CyLeon CCNN_Junio_2004_2010

Pruebas de Acceso a las Universidades

de Castilla y León

MATEMÁTICAS II

Nuevo currículo

Texto para los Alumnos

Nº páginas 2

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas , PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea la función xey 22 −= . a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. (1,5 puntos ) b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x= 1 y x= -1. ( 1,5 puntos )

PR-2.- Sea la recta . ⎩⎨⎧

=+−=++

≡032

01zxyx

r

a) Escríbase la recta en forma paramétrica. ( 0,5 puntos ) b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta

perpendicularmente al eje OZ. ( 2,5 puntos )

CUESTIONES

C-1.- De todas las primitivas de la función 2( ) 2 tg(x)sec ( )f x = x , hállese la que pasa por el punto

P( , 1).4π (1 punto)

C-2.- Demuéstrese que las gráficas de las funciones y xexf =)(x

xg 1)( = se cortan en un punto

x > 0. (1 punto) C-3.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1 , C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2 , C3 + C2 , 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A-1 en caso de que exista esa matriz. (1 punto)

C-4.- Determínese si el plano 0432 =−+≡ yxπ corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1) . (1 punto)

MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2004. Pág. 1 de 2

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema . ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

11

zyxzyx

zyx

λλ

λ

a) Discútase según los valores del parámetro λ . (1,5 puntos) b) Resuélvase para 3−=λ . (0,75 puntos) c) Resuélvase para 1.λ = (0,75 puntos)

PR-2.- Sea . Determínense a, b y c de modo que tenga un extremo cbxaxxxf +++= 23)( )(xf relativo en 0=x , la recta tangente a la gráfica de en )(xf 1=x sea paralela a la recta , y el área comprendida por la gráfica de , el eje y las rectas 04 =− xy )(xf OX 0=x , , sea igual a 1. ( 3 puntos ) 1=x

CUESTIONES

C-1.- Calcúlese 0

1 1limsen x x x→

⎛ −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . ( 1 punto)

C-2.- Calcúlese 2( 1)x dx

x−

∫ . (1 punto)

C-3.- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta zyxr ==≡ y es perpendicular al plano 01 =−−+≡ zyxπ . (1 punto)

C-4.- Dada la matriz 2 11B1 23

−⎛= ⎜−⎝ ⎠

⎞⎟ hállese una matriz X que verifique la ecuación . -1XB+B=B

(1 punto) MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2004. Pág. 2 de 2

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- Sea la función xey 22 −= . a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x= 1 y x= -1.

( )( )

( )

( )

( )

( )

−∞→⇒=∞

−=⋅∞

−=−=−

==

∞→⇒=∞

=⋅∞

===

=⇒−∞→⇒=∞

=====

=⇒∞→⇒=∞

====

ℜ∈∀

⎩⎨⎧

−=−=

=

⇒==⎩⎨⎧

≥−=

=⇒=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥ℜ∈∀⇒⎩⎨⎧

ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒<−

⇒−

<ℜ∈∀⇒⎩⎨⎧

ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>

⇒>⇒>⇒

⇒⎩⎨⎧

≥−<

=⇒⎩⎨⎧

≥<=

=⇒>

∞∞→

−

∞→−∞→

∞∞→

−

∞→

∞∞→

−

∞→−∞→

∞∞→

−

∞→

−

⋅−−

−−

−−

−⋅−

xcuandooblicuaasíntotasexisteNoexex

exem

xcuandooblicuaasíntotasexisteNoexex

em

oblicuaAsíntota

yxcuandohorizontalAsíntotasee

eey

yxcuandohorizontalAsíntotasee

ey

eshorizontalAsíntotas

verticalesasíntotastoloporexistennoxcontinuaEs

eslonoto

loporderechalaae

izquierdalaaefderivableesnopuntoeseenperontoDecrecimieapasa

oCrecimientDeeexsie

izquierdalaaefxenrelativoMáximoserPodia

xxntoDecrecimiexex

e

xxoCrecimientxe

xe

xfoCrecimient

xsiexsie

xfxsie

xsieexfx

xx

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

xx

x

x

x

xx

xx

x

x

x

xx

0222lim2lim2lim

0222lim2lim

00222lim2lim2lim

00222lim2lim

,tan,

tan

,44

440',

2.2204

4400

0/004

4

0/0

0404

0'

0404

'02

0220

2

22

2

2

222

22

0

0

0022

0

22

22

2

2

2

22

1


Continuación del Problema 1 de la opción A

[ ] [ ] ( ) ( )

22

2

222

022020

02

0

1

1

0

0

2

2

0

1

0

20

1

2

22221111

2100

22

0021

22

22

2222

)

ue

eeee

A

uxuxdudxux

txtxdtdxtx

eeeeeeduedteduedtedxedxeA

b

utututxx

−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎩⎨⎧

−=⇒==⇒=

⇒−=⇒=−⎩⎨⎧

=⇒=−=⇒−=

⇒=⇒=

−−−=−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=+= −−−

−− −

−−

−∫ ∫ ∫ ∫∫∫

2


PR-2.- Sea la recta . ⎩⎨⎧

=+−=++

≡032

01zxyx

r

a) Escríbase la recta en forma paramétrica b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ

231

λλ

λ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=

=≡

zy

x

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )0

23110,1,2323,1,

2302301,0,023,1,0

1,0,023,1,23,01,00

0)

321

)

λλλ

λλλλλλλλ

λααλαλλλ

αλλλαλλλ

α

+−=

−−++

=−

⇒⇒−−=−−+−−=

+=⇒=−+⇒=⋅−+−−⇒=⋅

⇒⊥⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+−−=−+−−−−=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

≡

⇒⎩⎨⎧

+=−−=

≡

zyxEcuaciónv

vv

vvv

v

zyx

OZEje

b

rxz

xyr

a

t

OZt

OZtOZ

t

3


CUESTIONES

C-1.- De todas las primitivas de la función 2( ) 2 tg(x)sec ( )f x = x , hállese la que pasa por el

punto P( , 1).4π

( )

( ) xtgxFKKKtg

xdxdttxtg

KtgKxtgtdttdxx

xtgxF

222

2

2222

0114

1

cos

41

2122

cos12

=⇒=⇒+=⇒+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⇒=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒+=⋅⋅==⋅= ∫∫

π

π

C-2.- .- Demuéstrese que las gráficas de las funciones xexf =)( yx

xg 1)( = se cortan en un

punto x > 0.

( )

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<−=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

>−=−

=

⇒⇒−

=⇒=−⇒=04

41

141

41

011

111

10114

41

1

ee

h

eeh

xxexh

xe

xeSi

xxx

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1,

41

Teorema de conservación del signo Si h(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xhyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,

en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xh , es decir

( )[ ] ( )[ ] ( )δδ +−∈∀ 00 , xxx= , xhsignxhsign 0

Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos 0x

441 4 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ eh y positivos ( ) 11 −= ef en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xh

Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si h(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bhsignahsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto ( bac , )∈ tal que f (c) = 0

Como ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=≠−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 114

41 4 ehsignehsign , entonces existe, al menos, un punto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈ 1,

41c tal que h (c) = 0 (Intersección de la dos funciones)

4


C-3.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1 , C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2 , C3 + C2 , 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A-1 en caso de que exista esa matriz.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

911

93313133

03333

1

321231132

1321221321232

−==

−=⋅−=⋅−⋅=⋅−⋅−=⋅−=

−−=−−=+−=

−

AA

CCCCCCCCCA

CCCCCCCCCCCCCA

C-4 Determínese si el plano 0432 =−+≡ yxπ corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

ABsegmentoalcortanoplanoElByAentreestanoCpuntoEldddd

d

d

d

C

z

y

x

C

zyx

rAB

BCAB

ACAB

BC

AC

AB

⇒⇒⎩⎨⎧

<>

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=−++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−=

=−=

=−=

⇒−=⇒=+⇒=−+++

⇒=−+⋅++⋅⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+=

≡⇒−=−=

568

25384

516

58

58

5211

522

573

563

2554

56

53

53

5213

521

572

6211

521,

52,

57

521

5323

52

531

57

532

53035043324

04132223

12

2,1,13,1,21,2,3

222222

222222

222

λλλλ

λλλλλ

5


PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema . ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

11

zyxzyx

zyx

λλ

λ

a) Discútase según los valores del parámetro λ . b) Resuélvase para 3−=λ . c) Resuélvase para 1.λ =

{ } ( )

( )

( )αλαλ

λ

λ

λ

λλλλλλλλλλ

λ

,,111001

000000111

)

1,0,0

011000414404

1

040400

111

13

1

131311

111

)

mindet001

000000111

111

111111111

1

minº301

122044

01201201211111

11111

)

2222

+−−⇒+−−=⇒=++⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⇒=++⇒=⇒=−⇒=⇒−=−⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀

==⇒=−=Δ

⇒=+−⇒=−+−⇒=⇒−+−=−−−++==

Soluciónzyxzyx

c

Solución

xxyyzz

b

adoerInCompatibleSistema

Si

adoDeterCompatibleSistemaincognitasdeNArangA

ASiA

a

6


PR-2.- Sea . Determínense a, b y c de modo que tenga un extremo relativo en , la recta tangente a la gráfica de en sea paralela a la recta , y el área comprendida por la gráfica de , el eje OX y las rectas , , sea igual a 1.

cbxaxxxf +++= 23)(0=x

04 =x0 1=x

)(xf)(xf)(xf

1=x−y

=x

( )

( )( )

[ ]

127

21

2

2 +⋅

⎟⎠⎞+

++

x

c

ax

[ ] [ ]

( )

127

61

411

61

31

21

411

21

211121.31'41

020.30'00

3'

3

1

0

10

10

310

423

2

2

2

+=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−−=⇒++=+⋅⋅+⋅⇒=⎜⎝⎛ +

⇒==⋅+=⇒=⇒=

⇒=+=⇒=⇒=

=

∫

xxf

cxcxxdxxx

aafmx

afmx

bxxf

1

0

=

=

=

c

a

b

411

24

0

⇒

⇒

+⋅ b

C-1.- Calcúlese 0

1 1limx sen x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠→

0

000

=

⎯

−sen

Aplicando

20

00120

000cos20

cos2lim

coscoslim

00

10011

0cos0010coscoslim

00

0lim

0111lim

0

0

'

0

'

00

=⋅−⋅

−=

⋅−−

=−

=

=−+

−⎯⎯⎯⎯ →⎯==

⋅+−

=⋅+−

=+

=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →==⋅

=−

=∞−∞=−⎜⎜⎝

⎛−

→

→→

→→

sensen

xx

xxsenxxxsen

senxxsen

senxxsenxxsen

sensenx

x

HopitalL

x

HopitalL

xx

cos1

01

−

−

=⎟⎟⎠

⎞

xsenxsen

xxx

=

⎯

x

Aplicando

C-2.- Calcúlese 2( 1)x dx

x−

∫

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) KxxxxxxxxtttI

dttdxtx

dtdttdtttdttdttt

tdxx

xI

+−=+⋅−⋅=+⋅⋅−⋅⋅=

=⇒=

+=+−=−=−

=−

= ∫∫∫∫∫∫∫

34

52

34

512

314

512

2

24212212211

23535

2

22422222

dtt

+

−

2

4

7


8

C-3.- .- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta zyxr ==≡ y es perpendicular al plano 01 =−−+≡ zyxπ

( )( )

( ) ( ) ( )0022

00111

111,,0,0,0,,

1,1,11,1,1

=−≡⇒=+−

⇒=+−−++−⇒=−

≡⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==

−=

yxyx

yxzzyxzyx

zyxzyxPGv

v

r

α

απ

C-4.- Dada la matriz 2 11B1 23

−⎛ ⎞= ⎜−⎝ ⎠

⎟ hállese una matriz X que verifique la ecuación

. -1XB+B=B

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅=⇒⋅=⇒∃⇒=−⋅=

−−

⋅=

−=⇒−=⇒−=⇒−=

−

−−

−−

−−−−−−−

4444

1001

5445

5445

2112

2112

2112

2112

31

311

2112

31

2112

311

3114

91

2112

31

21

211

112

21121111

IBX

BBBadj

BBadjB

BBB

IBXBBBXIBBBXBBBBXB

t

tt

IES Mediterráneo de Málaga Examen Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas , PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por:

. ⎩⎨⎧

=+=+

≡⎩⎨⎧

=+=−

≡32

2,

322

zxyx

syz

myxr

a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. (1,5 puntos) b) Para , hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. (1,5 puntos) 1=m PR-2.- Considérense las funciones . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. (3 puntos)

xx exgexf −−== )( ,)(

CUESTIONES C-1.- Hállense las matrices cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: A

. (1 punto) AA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101

1101

C-2.- Calcúlese la distancia del punto ( )1,1,1P a la recta . (1 punto) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

+−=≡

λ

λ

zyx

r 022

C-3.- Calcúlese el valor de 20

))2ln(cos(limx

xx→

. (1 punto)

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y la recta . (1 punto)

2xy −= 32 −= xy

MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2006. Pág. 1 de 2

IES Mediterráneo de Málaga Examen Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2006. Pág. 2 de 2

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales . ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

424)1(

32

azyxzyazyx

a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. (2 puntos) b) Resuélvase el sistema para a=2. (1 punto)

PR-2.- Dada la función 11)(

+−

=xxxf , se pide:

a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. (2 puntos) b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas . 0,0 == yx

(1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Dadas las matrices y , hállese

razonadamente la matriz B sabiendo que

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

111101011

P⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

200010001

A

ABP = . (1 punto) C-2.- Hállese la distancia entre el plano π , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano β de ecuación 0625 =−+− zyx . (1 punto) C-3.- Sea . Determínense a, b, c y d para que la recta

sea tangente a la gráfica de f en el punto dcxbxaxxf +++= 23)(

01 =+y )1,0( − , y la recta sea tangente a la gráfica de f en el punto

02 =−− yx)1,1( − . (1 punto)

C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales 1)(sen

)cos(1lim 2

2

0=

−++→ x

xbxaxx

.

(1 punto)


PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por:

. ⎩⎨⎧

=+=+

≡⎩⎨⎧

=+=−

≡32

2,

322

zxyx

syz

myxr

a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten b) Para , hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. 1=m

( )

( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0256712025671201617112011814121812

0122421111

1,1,11,1,1,,1,2,2

4,2,11,1,1

11.41.2311.21

11

55

534612

5132211

230)

155

512412866

5143221

213

min.051884142221

210

342122

32

423212

23

2123

2123223

42322432232

)

=−++≡⇒=+−−−⇒=−−−−−−⇒=−+−−−−−−−−−−

⇒=−−−−−−

≡⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−=−=−−=

−=⇒

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+==+−=

=⇒=

−−

=−

−++−=

−

−−−−−

=⇒

=−−

=−

−−+++−=

−

−−−−−

=

⇒≠−=−−+−=−−−−=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−−=−+−

=+

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++−=+−

−=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−=

≡⇒+−=−−=⇒−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=+−=

=≡⇒+−=−⋅−=⇒−=

zyxzyxzyxyxzzyx

zyx

zyxzyxAGvv

A

zy

xAAcortedePunto

b

m

adoDeterCompSistemaAmm

mm

zyx

szzyzx

mzmy

xrmxmxzmxy

a

s

r

π

π

λ

μλμλ

μλ

μλμλ

μλ

μμμ

λλ

λ

1


PR-2.- Considérense las funciones . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima.

xx exgexf −−== )( ,)(

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) OYejeElxrxy

maB

AMínimo

eed

ee

eeee

eeee

eeeeed

aaeeeede

ee

eeee

eeee

eeeedaddd

eed

ee

eeaad

eaBeag

eaAeafaxrectalaSiendo

AB

a

a

a

aaa

a

aaa

a

aaaa

AB

aaaAB

a

a

a

aaa

a

aaa

a

aaaaAB

ABa

a

AB

a

a

aa

ABa

a

aa

⇒=≡⇒−⋅=−

⇒=⇒⎩⎨⎧

−⇒⇒>=

+=

+=

⇒+

=+−

=−−

=−−

=

⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=−⇒=

−=

−−=

+−=

+−==⇒

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒−=

⇒=⇒= −

00011

01

1,1,0

021

1110''

1121212''

0021010'

1121212'1

111,

,

0

0.2

2

2

22

2

23

2

22

0222

2

2

22

2

23

2

222

2222

CUESTIONES

C-1.- Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad:

. AA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101

1101

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇒+==⇒+=+

===⇒=+

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

aca

A

bdbddacadc

bbbaba

dbcaba

ddcbba

dcba

dcba

0

0

00

1101

1101

2


C-2.- Calcúlese la distancia del punto ( )1,1,1P a la recta . ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

+−=≡

λ

λ

zyx

r 022

Se trazara un plano π perpendicular a la recta por el punto P, que cortara a esta en el punto A . La distancia entre P y A es la que existe entre punto y recta.

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( ) ( )

)

udd

Azy

xA

zxzxzyx

PGvPGvzyxzyxPG

vv

PA

r

6411110101

1,0,01

001.22

105501222

012011201,1,11,0,2

01,1,11,1,1,,

1,0,2

222Pr =++=++−+−==

−⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

=+−=⇒=⇒=+−⇒=−−−+−⋅

⇒=−−≡⇒=−−−⇒=−−−⋅−

⇒=⋅⇒⊥⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−=−=−==

λλλλ

π

πππ

C-3.- Calcúlese el valor de 20

))2ln(cos(limx

xx→

.

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 212

0cos2

0.2cos2

2cos2lim

2cos2lim

12cos

2

lim00

00.22lim2cos

2

lim

2

222cos

1

lim00

01ln

00cosln

00.2cosln2coslnlim

2222020

2

0

'

00

0

'220

−=−=−=−=−=−=

=−

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−=−

=−

=

=⋅−⋅

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=====

→→

→→→

→→

xx

xtgx

xtgx

xxsen

x

xsenx

xx

xx

x

HopitalLAplicando

xx

x

HopitalLAplicando

x

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y la recta 2xy −= 32 −= xy

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

3362428128

328

1331313313

212

31

323232

330.20000

111933

32

42

12

42

216201612403232

223331

31

231

3

3

1

23

1

23

1

3

1

23

1

2

2

2

22

+−−=+−−=

−−+−−−−−⋅−=+⋅⋅−⋅−=

=+−−=−+−−=−−−=

<⇒⎩⎨⎧

−=−==−=

⇒⎩⎨⎧

−=−=−=−−=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−

=

=+−

=⇒

±−=⇒>=+=Δ⇒=−+⇒−=−

−−−

−−−−−∫∫∫∫∫

A

xxxA

dxxxdxxdxxdxxdxxA

vfxgg

ff

f

x

xxxxxx

3


PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales . ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

424)1(

32

azyxzyazyx

a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. b) Resuélvase el sistema para a=2.

( ) ( )

( ) ( )

{ } ( )

( )1,1,1

141.11.21334131143

100130121

443

221130121

min2)

10143

000120121

443

121120121

1

90943

000100121

143

200100121

443

121100121

1

min.301,1

101101

011

01011212121

110121

)

222

Solución

xxyyyz

adoDeterCompatibleSistemaaSib

leIncompatibSistemaxz

aSi

leIncompatibSistemaxz

aSi

adoDeterCompSistemaincognitasdeNúmeroArangAa

aaaa

aa

aASiaaaaaaaa

aA

a

⇒=⇒=++⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒=

⇒ℜ∉∀⇒=⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⇒ℜ∉∀⇒=⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀

⇒⎩⎨⎧

=⇒=−−=⇒=+

⇒=−⋅+

⇒=−⇒=⇒−=−−+=−+−++=+=

4


PR-2.- Dada la función 11)(

+−

=xxxf , se pide:

a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas . 0,0 == yx

( ) { }

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ⎩

⎨⎧

−>⇒>+ℜ∈∀⇒<−

⇒>+−

⇒>⇒⇒+−

=++−

⋅=

ℜ∈∀⇒

⇒⎩⎨⎧

ℜ∈∀⇒>+ℜ∈∀⇒>

⇒>+

⇒>⇒⇒+

=+

−−+=

−−ℜ∈∀=⇒−

=+−−−

=−⇒−=⇒=+

10104

0140)(''

14

1122)(''

0102

01

20)('1

21

11)('

102

1111)1(101

)

334

2222

xxx

xxfConcavidad

xxxxf

xoCrecimientxx

xx

xfoCrecimientxx

xxxf

xfDomfxx

a

-1 ∞− ∞

-4 < 0 ( - ) ( - ) x > -1 ( - ) ( + )

Solución ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 Concavidad 1/ −<ℜ∈∀ xx Convexidad 1/ >ℜ∈∀ xx No existe punto de inflexión porque en x = -1 hay una asíntota vertical Asíntota verticales En x = -1 como se ha determinado en el análisis del Dominio de la función Asíntotas horizontales

110101

11

11lim

1

1

lim11lim

11lim

110101

11

11

11

11lim

1

1

lim11lim

=⇒−∞→⇒=+−−−

=+−

−−=

+−

−−=

∞∞

=+−−−

=+−

=

=⇒∞→⇒=+−

=

∞+

∞−

=+

−=

+

−=

∞∞

=+−

=

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

yxCuando

x

x

xxx

xxx

xx

xxy

yxCuando

x

x

xxx

xxx

xxy

xxxx

xxx

5


Continuación del Problema 2 de la Opción B a) Continuación Asíntotas oblicuas

( )

oblicuaasíntotaexisteNoxCuandox

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

m

oblicuaasíntotaexisteNoxCuandox

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

m

xxxx

xxxxx

⇒−∞→

⇒=+−−

=∞−∞

−∞

−=

−

−−=

−

−−=

∞∞

=−−−

=+−

=

⇒∞→

=+−

=∞+∞

−∞=

+

−=

+

−=

∞∞

=+−

=+−

=+−

=

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

00100

1

11

11

11

lim

1

lim1lim11

lim

00100

1

11

11

11

lim

1

lim1lim1

1lim11

lim

2

22

2

22

2

2

22

2

22

2

-15

-10

-5

0

5

10

15

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

6


Continuación del Problema 2 de la Opción B

[ ] ( ) [ ] ( )

( ) ( ) 2

12

1

2

01

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

12ln22ln021

1021

1

2ln1ln21ln210121

121

21

211

11

11

11

11

1010

11010)0(0

)

uA

txtx

dtdxtx

tdtt

xdxx

dxdxx

A

xxx

dxxxdx

xxdx

xxA

xxy

fxCuando

b

−⋅=−⋅−−=

⎩⎨⎧

=⇒==⇒=

⇒=⇒=+

−−−=⋅−−=−=+

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

−−−

+−

+−

=+−

−=+−

=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=−⇒=

−=+−

=⇒=

∫∫∫∫

∫∫∫

7


C-1.- Dadas las matrices y , hállese

razonadamente la matriz B sabiendo que

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

111101011

P⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

200010001

A

ABP = .

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞−

−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−=

202110111

101110

111t

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒

adjP

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

=

∃⇒≠=+

=⇒

−

−−

101110

111

110101111

0111 1

11

P

APBAP

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−==

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−⋅=⇒⇒⋅=

+−=−−

−=

=⇒=

−

−−

−−

200010001

101110

111

111

1111101011

1

11

11

APB

PPadjPP

P

P

BIAPBPP

tt

C-2.- Hállese la distancia entre el plano π , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano β de ecuación 0625 =−+− zyx . Para que haya distancia deben de ser paralelos, vamos a comprobarlos. Si, efectivamente, lo son se halla la distancia de uno cualquiera de los puntos al plano β

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )udd

vvvvzyx

zyx

yxyxzyzyx

zyxzyxBGBC

BA

B 530

30306

42516

251

60.20.50

0625025

40420211102

,,0,0,0,,2,1,10,0,02,1,1

1,0,20,0,01,0,2

222==

++

−

+−+

−+−==

⇒⇒=⇒⎩⎨⎧

=−+−≡=+−≡

+≡⇒=−++−⇒=−≡⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==−=

−=−−=

βαβ

βπβπ βαβπ

ππ

8


9

C-3.- Sea . Determínense a, b, c y d para que la recta sea tangente a la gráfica de f en el punto

dcxbxaxxf +++= 23)(01 =+y )1,0( − , y la recta sea

tangente a la gráfica de f en el punto 02 =−− yx

)1,1( − .

1)(1

0111123033

12311.21.31)1('0111.1.1)1(000.20.30)0('

110.0.0.1)0(

23)('

23

2

23

2

23

23

−−=⇒=

⇒=−⇒−=⇒=−⇒⎩⎨⎧

=+=−−

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+⇒=+⇒===+⇒−=−+⇒−==⇒=++⇒==−=⇒−=+++⇒−=

+++=

xxxfa

abbbaba

babafmbabafccbafmddcbaf

cbxaxaxxf

C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales 1)(sen

)cos(1lim 2

2

0=

−++→ x

xbxaxx

.

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ] ( )

( )( ) 1

sen

cos12lim

21122121

212

01212

00.20c20cos2

2c2cos2lim

00

00102

000c02

00.2c2

2lim

00

01100

0sen0cos10.0.

sencos1lim

2

2

0

222220

'

220

'2

2

2

2

0

=−+

⇒=⇒=⇒=+⇒=+

−+

=−+

=−+

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==

==→=⋅⋅++

=⋅

++=

++=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−++

=−++

=−++

→

→

→

→

x

xx

aaaa

asenos

axxsenxxos

xa

brealvaloruntenerallegarparabbos

senbaxosx

xsenbax

bax

xbxax

x

x

HopitalLAplicando

x

HopitalLAplicando

x

IES Mediterraneo de Málaga Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea el plano 052 =−−+≡ zyxπ y la recta zyxr ==≡ . Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano.(1 punto) b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π (1 punto) c) Hallar el punto simétrico de P(-1 , 3 , 3) respecto a π (1 punto)

PR-2.- Sea f la función dada por 1

)( 2 −=

xxxf .

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos) b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2 (1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Hallar para que valores de a es inversible y calcular la inversa de

A para a = 0 (1 punto)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

aaa

A1

34

C-2.- Calcular ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+→ xxx

11ln1lim

0. (1 punto)

C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son : , y (1 punto)

)0,1,1(A )0,1,2( −B)0,4,2(C

C-4.- Demostrar que la curvas ( ) ( )x

xgyxsenxf 1== se cortan en algún punto del

intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

25,2 ππ (1 punto)

MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2007.

IES Mediterraneo de Málaga Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti


PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sean las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

352

220

,100010000

,227

,321

EyDCBA

a) Hallar la matriz ABT, donde BT indica la matriz traspuesta de B.¿ Es invertible? (1 punto) b) Hallar el rango de la matriz AT D(0’5 puntos)

c) Calcular que verifique la ecuación (ABT + C)M = E(1’5 puntos) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

M

PR-2.- Sea la función ( ) xexxf −+= a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas (2 puntos) b) Demostrar que existe algún número real c tal que c + e-c = 4 (1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Hallar a y b para que la función ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=>+

=

0

00ln

)(

xsix

xsenxsib

xsixxaxf

π, sea continua en

toda (1 punto) ℜ

C-2.- Dadas las rectas , hallar un punto de cada una de

ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas (1 punto) ⎩⎨⎧

==

≡⎩⎨⎧

=+=−+

≡52

720

yx

syyxzyx

r

C-3.- Discutir en función de a el sistema (1 punto) ⎩⎨⎧

=−=+

1ayxaayax

C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones

(1 punto) 63,42 −=−= xyxy


PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- Sea el plano 052 =−−+≡ zyxπ y la recta zyxr ==≡ . Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π c) Hallar el punto simétrico de P(-1 , 3 , 3) respecto a π a) Para que halla distancia entre plano y recta estos deben de ser paralelos estos, por los tanto los vectores directores de ambos son perpendiculares por ello su producto escalar es nulo

( )( )

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )13,5,1'

1335.22

35

534.22

34

110.22

10

5,4,054.23

413011

1044052323123

31

2,1,1

)

0033

0220111211

,,0,0,0,,1,1,12,1,1

)

665

65

211

50.2000,0,0

02111,1,12,1,1.1,1,12,1,1

''

''

''

222

−−⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−−=⇒+

=−

=−=⇒+

=

−=−=⇒+

=

⇒−⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−==+==+−=

=⇒=+−⇒=−−−+++−≡⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+−=

≡⇒−==

=−≡⇒=−

⇒=−+−+−⇒=−≡⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==

−=

=−

=++

−−+==⇒

⇒⊥⇒=−+=⋅−=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=

P

zz

yy

xx

Qz

yx

Q

zy

xsvv

c

yxyx

yxzzyxzyx

zyxzyxOGv

v

b

uddrdepuntounOSiendo

rvvvvv

v

PP

PP

PP

s

r

Ar

rrr

λλλλλπλλλ

σ

σ

π

π

π

ππ

πππ

1


PR-2.- Sea f la función dada por 1

)( 2 −=

xxxf .

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2

( )( )( )

( )( )

( ) { }

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ℜ∈∀⇒−ℜ∈∀⇒−>⇒>+

ℜ∈∀⇒<−⇒ℜ∈∀∃/⇒>−

⇒>−

+−⇒>⇒⇒

−

+−=

−

−−=

−

−−=

−−∀=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=⇒=⇒=−

−=−−

−=−⇒−=⇒=+

⇒=−+⇒=−

xxxxx

xxxxxfoCrecimient

xx

xx

xxxxxf

xfDom

fxx

fxxxxx

a

22

22

22

2

22

2

22

2

22

2

2

22

1101

0101

0110'

11

11

121'

1,101

1211101

01

1111101

01101

)

∞− ∞

-1 < 0 ( - ) x2 + 1 > 0 ( + )

(x2 – 1) > 0 ( + ) Solución ( - ) f’(x) < 0

Decreciente para ℜ∈∀x

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+>ℜ∈∀⇒>⇒>−

⇒>−=−

ℜ∈∀⇒>+>ℜ∈∀⇒>

ℜ∈∀⇒>

⇒>−

+⇒>⇒⇒

−

+=

−

−−−=

−

−−−−=

−

+−−−=

−

+−−−−=

1/1011/101

011

030/0

02

01

320''1

32''

1

321

2221

12121

121212''

232

2

32

2

32

2

32

3

32

33

32

22

42

2222

xxxxxxxx

xx

xxxxx

xx

xxxfConcavidadx

xxxf

x

xx

x

xxxx

x

xxxx

x

xxxxxxf

-1 0 1 ∞− ∞ 2 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( - ) ( + ) ( + )

x2 + 3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > -1 ( - ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 1 ( - ) ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( - ) f’’(x) < 0 ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 ( + ) f’’(x) > 0

2


Continuación problema 2 de la Opción A

ión a) Continuac

( ) ( )101/ >∪<<−ℜ∈∀ xxxConcavidad Convexidad ) ( ) ( 101/ <<∪−<ℜ∈∀ xxx

( ) 0Punto de inflexión en x = 010

0 2 =0−

=⇒ f

No hay puntos de inflexión en x = -1 y x =1 ya que son puntos de discontinuidad de función.

la

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) −∞→⇒=∞

=−

=−−

−=−=

∞→⇒=∞

=−

=−

=−=

⇒=⇒−∞→

=−

=−

∞−

=−

−=

−

−=

∞∞

−=−

−=

−=

=⇒∞→

=−

=−

∞=−

=−

=∞∞

=−

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−∞==−

=

∞==−

=

⇒=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞=−=−−

−=

−∞=−=−−

−=

⇒−=

∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

−−→

++→

−−−→

++−→

−

−

−

−

xcuandoexisteNoxxx

xx

xx

m

xcuandoexisteNoxxx

xx

xx

m

oblícuasAsíntotas

yxCuandoxxx

xx

xxx

xx

xx

xxy

yxCuandoxxx

xx

xxx

xx

xxy


xf

xfxEn

xf

xfxEn

verticalesAsíntotas

xxx

xxx

xxxx

xxx

v

v

v

v

011

1lim1

lim1lim

011

1lim1

lim1lim

0

001

011

1

1

1

lim1

lim1

lim1

lim

0

001

011

1

1

1

lim1

lim1

lim

01

11

1lim

01

11

1lim1

01

11

1lim

01

11

1lim1

22

2

22

2

222

2

22

2

2

22

222

2

22

2

2

2

21

21

21

21

3


Continuación del Problema 2 de la Opción A a) Continuación Gráfica

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y

X

[ ] ( )

( )( )

2

2

22

153

15

3

15

3

4

22

2

42

2

42

5ln21

315ln

21

312215144

221

3ln15ln21ln

21

21

21

111

)

uA

uxuxduxdxduxdxux

xududu

udx

xxdx

xxdx

xxA

b

⋅=⋅=

⎩⎨⎧

=−−=⇒−==−−=⇒−=

⇒=⇒=⇒=−

−⋅=⋅=⋅=⋅=−

=−

−=−

= ∫∫∫∫∫−

−

−

−

−

−

4


CUESTIONES

C-1.- Hallar para que valores de a es inversible y calcular la inversa de

A para a = 0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

aaa

A1

34

{ }

( )

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⋅=⇒−=−−=⇒=

−−ℜ∈∀⇒∃⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

=

=+

=⇒

±=

⇒>=+=Δ⇒=−−⇒=⇒−−=+

=⇒≠⇒∃

−

−

−

−

041

10

0140

41

0140

04101440.300

4,11

253

42

53

2253

0251690430431

430

1

12

1

221

A

AadjAAadjA

AAaSi

aAa

aa

aaCSiaaa

aaAAA

ttt

C-2.- Calcular ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+→ xxx

11ln1lim

0

( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 21

21ln1

201ln1

111ln1lim

1111ln

1lim

00

001ln010

1ln1lim

11ln1

111

lim

111ln

111

lim

00

01ln.001ln0

1ln1lnlim

01

01ln11

1ln1lim

00

'

000

'

00

=+

==++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=

==+++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

+−+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+

++

+−

=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==++−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

=∞−∞=−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

→→

→→→

→→

xxxx

xxxx

xxxx

xx

xx

x

x

xxxx

xx

xx

HopitalLAplicando

xxx

HopitalLAplicando

xx

C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son : , y

)0,1,1(A )0,1,2( −B

)0,4,2(C

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⋅=⋅=⇒=++=×

=+=−=×⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−=−−=⇒×⋅=

2222

255

215500

523031021

0,3,10,1,10,4,20,2,10,1,10,1,2

21

uSACAB

kkkkji

ACABAC

ABACABS

5


C-4.- Demostrar que la curvas ( ) ( )x

xgyxsenxf 1== se cortan en algún punto del

intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

25,2 ππ

( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−=−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

<−=−=−=⇒−=

⇒=−⇒=⇒=

012

511.2

512

52

52

50110.21222

1

0111

πππππππππ

senf

senfxxsenxfSiendo

xxsenxxsenx

xsen

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

25,2 ππ

Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,

en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )

, es decir

( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x

Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos 0x

( ) 12 −=πf y positivos 12

52

5−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππf en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xf

Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )

Como ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≠−= 1

25

2512 πππ fsignfsign , entonces existe, al menos, un punto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

25,2 ππc tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)

6


PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sean las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

352

220

,100010000

,227

,321

EyDCBA

a) Hallar la matriz ABT, donde BT indica la matriz traspuesta de B.¿ Es invertible? b) Hallar el rango de la matriz AT D

c) Calcular que verifique la ecuación (ABT + C)M = E ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

M

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1102.32.20.1220

321

)

00.3.2227227227

3266214414227

66214414227

227321

)

=⇒=++=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

⇒==⋅⋅==⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

DArangDA

b

inversatieneNo

ABAB

a

tt

tt

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−++−

−−⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−⋅=+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−⋅=+⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=+⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=+

+∃⇒==−−−++⋅=⋅==+

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=+⇒+=

−

−

−

−

2176

71

3.75.02.213.05.72.14

3.25.22.11

71

352

702107142211

71

702107142211

71

702107142211

74265221147

71.72824302424357763452221

776214514227

76214514227

100010000

66214414227

)

1

1

1

1

ECABM

CABCABadjCAB

CABCAB

CABECABM

c

t

ttttt

tt

tt

7


PR-2.- Sea la función ( ) xexxf −+= a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas b) Demostrar que existe algún número real c tal que c + e-c = 4

( ) ( )

00ln

'

⇒>⇒

⇒

ex

foCrecimient

0/ <

1lnln1

11110101'

)

>>⇒>

⇒<⇒−<⇒−>−⇒>−⇒>⇒−= −−−−

xeee

eeexexf

a

xx

xxxxx

Decrecimiento ℜ∈∀x x Crecimiento 0/ >ℜ∈∀ xx Mínimo en x = 0 (de crecimiento pasa a decrecimiento) ( ) 000 0 =+= −e 11 =+f

( ) ( )⇒ xf ''

ℜ

ℜ∈∀⇒>⇒>⇒= −− xeConcavidadexf xx 00'' Concavidad ∈∀⇒ x Asíntotas verticales Como ex > 0 no existen asíntotas verticales Asíntotas horizontales

( )

( ) ( )

( )

oblícuaasíntotaexisteNoxCuando

ex

ex

exx

xexm

xyxCuandoe

exexn

xexe

xx

xexm

oblicuasAsíntotas

xcuandohorizontalasíntotaSinxeComoexexy

xcuandohorizontalasíntotahayNoe

xexy

x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

⇒−∞→

∞=∞+=+=+=+−−

=+

=

=⇒∞→⇒=∞

===−+=

=+=∞

+=+=+=+

=

−∞→⇒∞=>=∞+−∞=+−=+=

∞→⇒∞=+∞=∞

+∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

∞→∞→∞→∞→

−

−∞→

∞→

−

∞→

−

∞→

∞→

−

∞→∞→

−

∞→

∞→

−

−∞→

∞→

−

∞→

11

lim1lim1limlimlim

011limlim.1lim

101111lim1limlimlim

limlim

011limlim

8


Continuación del Problema 2 de la Opción B b) Como la función es continua y ya sabemos sus valores en los limites derecho e izquierdo en cuyo valor es igual ∞−∞+ y ∞+ , tendremos que buscar los puntos intermedios en sonde existan mínimos relativos y, de estos, elegir el de menor ordenada que es el mínimo absoluto que debe de ser inferior a 4 Ya hemos hallado que hay un mínimo relativo en (0 , 1) con lo que la ( ) 1/Im >ℜ∈= yyf Esto significa que habrá dos valores de la función que cuya ordenada valdrá 4, uno a la derecha de x = 0 y otro a su izquierda

C-1.- Hallar a y b para que la función ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=>+

=

0

00ln

)(

xsix

xsenxsib

xsixxaxf

π, sea continua en

toda ℜ

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ππ

ππππππ

==⇒=====

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯===

=

>=+=+=

−+

−−

+

+

→→

→→

→

baxfbfaxf

xsenxf

bfxsiaaaxf

xx

x

HopitalLApicando

x

x

00

0

'

0

0

lim0lim

0.cos1

coslim00

00.lim

0000ln0lim

9


C-2.- Dadas las rectas , hallar un punto de cada una de

ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas ⎩⎨⎧

==

≡⎩⎨⎧

=+=−+

≡52

720

yx

syyxzyx

r

Llamando rs a la recta buscada y R Y S a los puntos de intersección de esta con las rectas del enunciado y además su vector director es perpendicular con cada una de las rectas dadas por lo que sus productos escalares son nulos

( )

( )

( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( ) ( )0,2,10,2,1437,53,3.25

452

4373

13.27

47331557226

0707,5,25.1,0,0022607541007,5,25.1,1,2

0.0.7,5,257,5,227

1,0,052

1,1,27

27702727

≡−−=−−−−=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==

=−=

⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

=+=+

⇒⎩⎨⎧

=−−⇒=−−−−=−+⇒=++−−++−⇒=−−−−−−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒⊥=⇒⊥⇒−−−−=−−−−−=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒

===

≡

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−=⇒

−==−=

≡⇒−=⇒=−+−⇒−=

rs

rssrss

rsrrsrrs

s

r

v

zyx

S

zy

xR

vvvvvvvvv

vzyx

s

vz

yx

ryzzyyyx

μμλλμλμλ

μλμλλλμλμλλλμλλλ

μλλλμλλλ

μ

λλλ

10


C-3.- Discutir en función de a el sistema ⎩⎨⎧

=−=+

1ayxaayax

( ) ( )

{ } ( )

( )λ,11mindet10

0100

0

min20,1101

00101

12

SoluciónxadoerInCompatibleSistema

aSi

adoDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmeroArangaaa

aaaASiaaaa

aaa

A

⇒=⇒⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⇒==⇒−−ℜ∈∀

⇒⎩⎨⎧

−=⇒=+=

⇒=+⇒=⇒+−=−−=−

=

( )λλ ,11mindet01

0011

11

1111

1

−⇒−=⇒⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

−=

SoluciónyxadoerInCompatibleSistema

aSi

C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones

63,42 −=−= xyxy Puntos de intersección o corte

11


12

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )

2

223312

212

212

3

1

2

21

2

1

2

22

1

2

1

2

2

22

22

61

6122714

229

3721221

21321

312

213

31

23634

23

23

46

236

296

233

23

474

494

23

23

23

0422234111

634

12

13

22

13

2130189023634

uA

xxxA

dxxxdxxdxxdxxgdxxfA

fg

g

ff

gfgf

xxgxxf

Si

x

xxxxxx

=−+−

=

−+−=−⋅+−⋅⋅−−⋅=⋅+⋅⋅−⋅=

+−=−−−=−=

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−=−=−⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

⎩⎨⎧

=−==−=−==

⇒⎩⎨⎧

−=−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=

=+

=⇒

±=⇒>=−=Δ⇒=+−⇒−=−

∫∫∫∫∫

IES Mediterráneo de Málaga Junio de 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II

Nuevo currículo


Nº páginas 2


PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el plano 42 =++≡ azayxπ y la recta ⎩⎨⎧

=−+=++

≡3222

zyxzyx

r

a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos (1 punto) b) Para , calcular la recta que pasa por P(1 , 0 , -1), es paralela al plano 2=a π y se apoya en la recta r. (2 puntos)

PR-2.- Sea 2

ln)(x

xxf = con ( )∞+∈ ,0x . Se pide:

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos) b) Calcular .(1 punto) ∫ dxxf )(

CUESTIONES

C-1.- Calcular 23

2

0

)2(limxxxsen

x ++→ (1 punto)

C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función n el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3 (1 punto)

axxxf += 3)( e

C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que

A2 = B y A3 = C (1 punto)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

58813

2335

CyB

C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1 , 1 , 2), B(1 , 1 , 4) y C(3 , 3 , 6), hallar el área del mismo(1 punto)




PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema donde a es un parámetro real ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+

−=+−

222

1

azxazy

zyx

a) Discutir el sistema en función del valor de a (1,5 puntos) b) Resolver el sistema para a = 0 (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a = 1 (1 punto)

PR-2.- Dada( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>=02

0)(2

2

xsixx

xsix

xsenxf ,se pide:.

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x) (2 puntos)

b) Calcular ( )∫π

π

22 dxxfx (1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Calcular las asíntotas de la función ( )14

12)( 2

2

+−

=xxxf (1 punto)

C-2.- Calcular el rango de la matriz . (1 punto)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−

1423604233115131

C-3.- Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (1 , 2) (1 punto)

053 =−+ xx

C-4.- Dada la recta , calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1 , -1).(1 punto)

22 =+≡ yxr


PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el plano 42 =++≡ azayxπ y la recta ⎩⎨⎧

=−+=++

≡3222

zyxzyx

r

a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos b) Para , calcular la recta que pasa por P(1 , 0 , -1), es paralela al plano 2=a π y se apoya en la recta r. a) Los vectores del plano y de la recta, al ser paralelos estos, son perpendiculares por elllo su producto escalar es nulo

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−==−=

≡

−=⇒−=−−=⇒−=⋅+

⇒=⇒⎩⎨⎧

−=+=−−

⇒=+⇒+=−⇒+=−

⇒−

=+

⇒−

=⇒=−⇒−=−−⇒−=−−

⇒+

=⇒=+⇒=+−⇒=+−⇒−=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−=−

=+−=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−+=−=+

=++⇒=⋅⇒=⇒⊥

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−==+=

+=≡

⎩⎨⎧

==

=⇒=⇒=++−⇒=⋅−⇒=⇒⊥

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=

≡⇒−=⇒=+++⇒+=⇒=−

μμμ

μμμμμμ

μμμμμμμλ

μλμλμλ

λμλμλμ

μμμ

μ

λλλ

ππ

π

ππ

π

13101

1,3,101064432

3552842

5522105155235

32

55

3223133113

55550550151

113

0542

131

51104204,2,11,,0.

10

1

1,,4,2,1

)

155023502,,11,3,50.2,,1

1,3,53151

5122131313

zy

xs

vcc

ddc

dcdccdcd

dcdddd

cccc

dcdc

dc

dcdcvvvv

zddy

cxs

dcvv

b

aaaaaavvvvaav

vz

yx

rzxzzxzyzy

s

ss

s

rr

r

1


PR-2.- Sea 2

ln)(x

xxf = con ( )∞+∈ ,0x . Se pide:

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular . ∫ dxxf )(

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

>ℜ∈∀⇒>⇒>

<⇒<⇒<⇒<⇒−>−⇒>−⇒>⇒

⇒−

=−

=−

=−⋅

=

0/0021ln1ln21ln20ln210)('

ln21ln21ln2ln21

)('

)

3

21

3444

2

xxxx

exexxxxxxfoCrecimient

xx

xxx

xxxx

x

xxxxxf

a

0 e ∞

0>x ( + ) ( + ) ex < ( + ) ( - )

Resultado ( + ) f’(x) > 0

( - ) f’(x) < 0

Crecimiento exx <<ℜ∈∀ 0/ Decrecimiento exx >ℜ∈∀ /

Hay un máximo en ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

⋅===⇒=

ee

ee

e

ee

e

eefex21,

21ln

21

lnln 21

2

( de crecimiento pasa a decrecimiento)

( )

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⇒==⇒=⇒=

ℜ∈∃/⇒⇒=⇒

−∞→→⇒∞→

=∞

===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

==

−∞=−

==

∞→∞→∞→

+

+

→ +

0,110ln00

0ln0

0

012

1lim2

1

limlnlim

000lnlim

0

2

2'

2

20

exxy

xxcortedePunto

xcuandoexisteNoyxCuando

xxx

xxy


kverticalesAsíntotas

xx

HopitalLAplicando

x

x

2


-10

-9,5

-9

-8,5

-8

-7,5

-7

-6,5

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

0 1 2 3 4 5 6 7

Y X

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−==⇒=

=⇒=

+−⋅−=+⋅−=+⋅−=⋅−−⋅−==

−−

−

∫

∫∫∫∫∫

xxdxxvdv

xdx

dux

dxux

Kx

xx

dxxxxx

dxxxx

dxx

xx

dxx

xdxxf

b

1

ln

1ln1ln1ln11ln1ln)(

)

122

222

3


CUESTIONES

C-1.- Calcular 23

2

0

)2(limxxxsen

x ++→

428

20.81.8

200.80cos.8

20.6)0.2(.8)0.2(cos.8

26)2(.8)2(cos.8lim

262).2(.42).2(cos.4lim

00

001.0.4

0.20.3)0.2(cos).0.2(.4

23)2(cos).2(.4lim

232).2(cos).2(.2lim

00

00)0.2()2(lim

2222222

0

22

0

'2

2020

'23

2

23

2

0

==−

=+−

=+−

=+−

=

=+−

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+

=+

=

=+

=+

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+

=+

→

→

→→→

sensenx

xsenxx

xsenxsenxx

xxsenxx

xxsensenxxxsen

x

x

HopitalLAplicando

xx

HopitalLAplicando

x

C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función n el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3

axxxf += 3)( e

( ) ( ) 110.30'3'

1

11

1113

22 =⇒=+⇒=⇒

⎩⎨⎧

+==

⇒=−

−=−=⇒−=⇒+−=

aafmaxxf

mm

mmxy

larperpendicularperpendicu

larperpendicu

C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que

A2 = B y A3 = C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

58813

2335

CyB

( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⋅=⇒∃⇒≠=−==

==

−−

−

−−

−−

CAAA

BABCAAA

C

BadjBBadjB

BBB

BCAAA

ttt

58813

1112

2335

2335

1112

1112

1112

5332

58813

..

5332

5332

11

5332

2335101910

2335

..

23

2

123

1

11

123

C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1 , 1 , 2), B(1 , 1 , 4) y C(3 , 3 , 6), hallar el área del mismo

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 222 2432161644

44422200

4,2,22,1,16,3,32,0,02,1,14,1,1

uA

ijkji

ACABABABACABA

==+=−+=

−==×⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−==−=⇒×=

4


PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema donde a es un parámetro real ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+

−=+−

222

1

azxazy

zyx

a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) adoerInCompatibleSistemaincognitasNúmeroArangBArangaSi

leIncompatibSistemaArangBArangaSi

BArangaSi

BArangaSi

aaaaa

BASiaaaaaa

aBCCBA

BArangaSi

BArangaSia

aaBASiaaaaaa

aBCCBA

BArangaSi

BArangaSia

aaBASiaaa

aBCCBA

FrobeniusRoucheAplicando

ArangAA

mindet2/123/1

2/021111

1

3/1

1220440120242

0/2424220

211111

/

2/011011

1

3/11

22044

0120/1241221

210111

/

2/011011

1

3/11

22

0440120/1201

210111

/

2011011

0112201110111

22

222

232

222

231

22

221

⇒<==⇒=⇒=≠=⇒≠

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒≠−=−

⇒=

=⇒≠

⇒==⇒=−=Δ⇒=+−⇒=−+−

⇒=⇒−+−=−+−−=−−

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒≠=⇒=

=⇒≠⇒==⇒=−=Δ

⇒=+−⇒=⇒+−=−++=−

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒≠=−

⇒=

=⇒≠⇒==

⇒=−=Δ⇒=+−⇒=⇒+−=−−

==

−

=⇒≠=−

=⇒=−−=−

=

5


Continuación de PR-1

( )

( ) ℜ∈∀−−⇒−=⇒=+⇒−=−+

⇒−=+−−⇒−=⇒=+⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

=

⇒⇒=

λλλλ ,,2,212112122

1222021

000110111

221

110110111

121

201110111

1)

0)

Soluciónzxzxzx

zzxzyzy

aSic

solucióntieneNoleIncompatibSistemaaSib

6


PR-2.- Dada( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>=02

0)(2

2

xsixx

xsix

xsenxf ,se pide:.

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x)

b) Calcular ( )∫π

π

22 dxxfx

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )=

−−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−==

=−

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>−

=

⇒===

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==

===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯===

++

−

+

−+

−

−+

→→

→

→

→→

→

→→

xxxxsenxxxxf

xff

senxf

xsix

xsix

xsenxxxf

continuaEsxfxff

xff

xxsenxf

a

x

HopitalLAplicando

x

x

x

xx

x

x

HopitalLAplicando

x

2cos24cos4lim

00'lim

220.2'lim0'00

000cos0.2'lim

022

0cos2'

0limlim0

00.20lim0

01.0.21

cos2lim00

00lim

)

2232

0

´

0

0

2

222

02

222

00

2

0

2

0

´2

0

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ] ( )

( ) ( )( ) 122111

21

222

2

cos2cos21cos

21

21

2

)

1lim2'lim'10.0.21020cos

2coslim2

2cos2lim2

4cos2lim

222

2

222

2222

2

00

22

22

0

22

0

232

0

−=⋅−=−−⋅−=

⎩⎨⎧

=⇒==⇒=

⇒=⇒=⇒=

−⋅−=⋅−=⋅===

⇒=≠−==⇒=−=−=

=−=−

=−

=

∫

∫∫∫∫

+−

+++

→→

→→→

dxx

xsenx

txtxdtxdxdtxdxtx

tdttsendttsendxxsenxdxx

xsenx

b

derivableesNoxfxfxfxsen

xxsenxx

xxsenxxx

xsenxxx

xx

xxx

π

π

ππ

π

π

π

π

π

π

π

π

ππππ

ππ

7


CUESTIONES

C-1.- Calcular las asíntotas de la función ( )14

12)( 2

2

+−

=xxxf

( ) ( )( )

oblícuasasíntotasexistenNox

xxx

xx

xx

xxx

xx

xxxx

xx

xx

xxfm

x

xxx

xx

xx

xxx

xx

xxxx

xx

xx

xxfm

oblícuasAsíntotas

yxCuando

x

xx

xxx

xxx

xx

xxx

xxxxfy

yxCuandox

xx

xxx

xxx

xx

xxxxfy


verticalesasíntotasexistenNo

xxxxx

verticalesAsíntotas

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

040

14

144

lim4

144lim

4144lim14

144

lim)(lim

040

14

144

lim4

144lim

4144lim14

144

lim)(lim

1104

00414

1144

14

1144lim

14

144lim

14144lim

14144lim)(lim

1

04004

14

1144

14

1144lim

14

144lim

14144lim)(lim

41

4114014

2

32

33

3

333

2

3

22

2

2

32

33

3

333

2

3

22

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

2

2

2

222

==+

++=

+

++=

∞∞

=+

++=+

++

==

==+

+−=

+

+−=

∞∞

=+

+−=+

+−

==

=⇒−∞→⇒=+++

=

∞+

∞+

∞+

=

=+

++=

+

++=

∞∞

=+++

=+−

+−−−==

=⇒∞→

++−

=

∞+

∞+

∞−

=+

+−=

+

+−=

∞∞

=++−

==

ℜ∉∀⇒−±=⇒−=⇒−=⇒=+

∞→∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→

8


9

C-2.- Calcular el rango de la matriz

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−

1423604233115131

( ) 2

2000000021105131

2110211021105131

14770422084405131

1423604233115131

=⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−

≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−

≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−

≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−

= ArangA

C-3.- Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (1 , 2)

053 =−+ xx

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo (1 , 2) ( )( )⎩

⎨⎧

=−=−+=−=−=−+=

551052223525111

3

3

ff

Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,

en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )

, es decir

( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x

Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos

y positivos en todo entorno de entonces 0x

0x( ) 31 −=f ( ) 52 =f ( ) 00 =xf Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )

]Como ( ) ( )[ 0231 =≠−= fsignfsign , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)

( )2,1∈c

C-4.- Dada la recta , calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1 , -1)

22 =+≡ yxr

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⇒=⇒+=⇒−=−⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

−=−=+

⇒⎩⎨⎧

−=−=+

⇒+=−⇒+⋅=−⇒=−

−=−=⇒−=⇒+−=

58,

51

58

51623

51232

51

5115

32424

3222

1221211

21

211222

P

yyyyxxyx

yxyxyx

xyxym

mmxy larperpendicu



de Castilla y León

MATEMÁTICAS II

Nuevo currículo


Nº páginas 2


PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3 , 1 , 2) y sea s la recta de

ecuaciones . Se pide: ⎩⎨⎧

=−=−

≡02y1z2x

s

a) Estudiar su posición relativa (1’5 puntos) b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.(0’5 puntos) c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. (1 punto) PR-2.- Sea la función 2xx)x(f 2 −−= . a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica (1’5 puntos) b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (0’5 puntos) c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = - 2 y x = 0 (1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det[(-2).A] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A (1 punto)

C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BBt donde ,

siendo Bt la matriz traspuesta de B. (1 punto)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=213010

By23

12A

C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1 , 3 , -2) a la recta (1 punto) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ−=λ+−=λ+=

≡21z

1y32x

s

C-4.- Calcular ∫ −dx

x11

2 (1 punto)




PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales .Se pide: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−λ=+λ

=−

3z2xzy

5yx

a) Discutirlo en función del parámetro ℜ∈λ (2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible (3 puntos)

CUESTIONES

C-1.- Calcular la distancia entre las rectas 4

3z3

2y2xsy4zx71yx3

r −=

−=−≡

⎩⎨⎧

−=−−=−

≡

(1 punto)

C-2.- Resolver la ecuación 01xxx

x1xxxx1x

=+

++

. (1 punto)

C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( )xxlnxf = en su

dominio de definición (1 punto) C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la

función y el eje OX es de 42 axy +−=3

256unidades de superficie (1 punto)


1

=−=−

≡02y1z2x

s

PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3 , 1 , 2) y sea s la recta de ecuaciones

. Se pide:

a) Estudiar su posición relativa (1’5 puntos) b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.(0’5 puntos) c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. (1 punto) a) Analizaremos si las rectas son paralelas estudiando si sus vectores directores son proporcionales, si ese es el caso se estudiará si hay algún punto común que de ser así las rectas son coincidentes. Si no hay proporcionalidad se analizara si tienen un punto común, de tenerlo serán rectas que se cortan o son secantes en dicho punto, de no suceder esto son rectas que se cruzan.

( ) ( ) ( )

( )

( )

ciónsecerintdepuntohayNo)b

paralelassonrectasLascomunespuntoshayNo21Como

121

21211,0,2vv

1,0,2vz

2y21x

2yz21x

s

1z1y21x

r1,0,21,1,12,1,3vAB

sr

s

r

⇒⇒≠

λ=µ+≠

λ+=µ+⇒==⇒

=⇒

λ==

λ+=⇒

=+=

≡

µ+==

µ+=≡⇒=−==

c) Se hallara el haz de planos que se generan por la recta s, de todos ellos hallaremos el que pasa por el punto A que es el mismo que el que contiene al punto B (calcularemos para los dos y demostraremos su igualdad)

( )

( )( )

( )( ) 03z2y2x02y21z2x

20201222132,1,3BporPasando

03z2y2x02y21z2x20201212111,1,1AporPasando

012z2yx02y1z2xplanosdeHaz02y

01z2xs

=+−−≡π⇒=−⋅−−−⇒−=α⇒=α−−⇒=−α−⋅−⋅α+⇒

=+−−≡π⇒=−⋅−−−⇒−=α⇒=α−−⇒=−α−⋅−⋅α+⇒

=−α−−α+⇒=−⋅α+−−⇒

=−=−−

≡


2

PR-2.- Sea la función 2xx)x(f 2 −−= a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica (1’5 puntos) b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (0’5 puntos) c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = - 2 y x = 0 (1 punto)

( ) ( )

( ) ( )

>ℜ∈∀⇒>⇒>−−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+

⇒>−⋅+

⇒

−==

⇒±

=⇒>=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−⇒>−−

2x/x2x02x1x/x1x01x

02x1x

1x2x

291x0981214102xx02xx

)a

222

∞− -1 2 ∞

x > -1 ( - ) ( + ) ( + ) x > -1 ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

≤≤−ℜ∈∀⇒>∪−<ℜ∈∀⇒

⇒>⇒⇒

>≤≤−−

−<=

<<∪−<ℜ∈∀⇒<⇒

>∪

<<−ℜ∈∀⇒>⇒

>ℜ∈∀⇒>⇒∞∉>⇒>⇒>−

<<−ℜ∈∀⇒>⇒<⇒<⇒−>−⇒>+−

−<ℜ∈∀⇒<⇒>⇒>⇒>−

⇒>

⇒

>−≤≤−+−

−<−=⇒

>−−≤≤−++−=−−−

−<−−=

2x1/xConvexidad2x1x/xConcavidad

0)x(''fConcav2xsi2

2x1si21xsi2

)x(''f

2x211x/x0)x('fntoDecrecimie

2x21x1/x0)x('foCrecimient

2x/x0)x('f,221x1x201x2

21x1/x0)x('f

21x1x21x201x2

1x/x0)x('f21x1x201x2

0)x('f

2xsi1x22x1si1x2

1xsi1x2)x('f

2xsi2xx2x1si2xx2xx

1xsi2xx)x(f

2

22

2


3

Continuación del Problema PR-2 a) Continuación Grafica de la función

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

( )( )

( ) ( ) derivableesNo3122x'flim3122x'flim

3122x'flim3122x'flim

2xsi1x22x1si1x2

1xsi1x2)x('f

)b

2x2x

2x

2x

⇒=−⋅=≠−=+⋅−=

⇒

=−⋅=

−=+⋅−=⇒

>−≤≤−+−

−<−=

+−

+

−

→→

→

→

( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )

2

223320

20

220

32

0

2

u3

103864

24

38A

022022102

31x2x

21x

31dx2xxA

)c

=−=++−=

−⋅+−⋅+−⋅−=⋅+⋅+⋅−=++−= ∫

Y

X


4

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det[(-2).A] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A (1 punto) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5ordendematrizunaEs5n22322321232A2 5nnnn =⇒−=−⇒−=−⇒=−⋅−⇒=⋅−

C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BBt donde

−

=

−

=213010

By23

12A , siendo Bt la

matriz traspuesta de B. (1 punto)

( )

−=

−

−−⋅

−=

−

−⋅

−

−−⋅

−==⇒

−

−=

−⋅

−

=

−

−−−

=⇒

−

−−=

⇒

−

=⇒=⇒∃⇒≠−=−−=−

=

=⇒=

−

−

−−

−−−

731

75

712

71

315121

71X

14111

2312

71BBAX

14111

2011

30

213010

BB

2312

71A

2312

Aadj

2132

AAadjA1AA0734

2312

AComo

BBAXBBAAXA

t1

t

1t

tt11

t1t11


5

C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1 , 3 , -2) a la recta

λ−=λ+−=λ+=

≡21z

1y32x

s (1 punto)

Se hará pasar un plano π por A y que es perpendicular a la recta s, que tiene como vector director el de la recta que es perpendicular al vector formado por el punto generador G y A. Se calcula el punto de corte P de la recta s y el plano π y la distancia entre A y P es la pedida

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) u2103

253

2454

2374

4744

449

4252

27

25d

02213

271dd0,

21,

27P

02121z

21

211y

27

2132x

P

1470714010421960102121323

planoelyrectaladecortedePunto010z2yx302z23y1x302z,3y,1x2,1,3

0GAvGAv2z,3y,1x2,3,1z,y,xGA

2,1,3v

222

sA

222

sAPA

sss

===+=+=++=−+

+

=

−−+

++

−==⇒

−⇒

=⋅−=

−=+−=

=⋅+=

=λ⇒=−λ⇒=−λ+−λ+−λ+⇒=−λ−⋅−λ+−+λ+⋅

π⇒=−−+≡π⇒=+⋅−−+−⋅⇒=+−−⋅−

⇒=⋅⇒⊥⇒

+−−=−−=−=

C-4.- Calcular ∫ −dx

x11

2 (1 punto)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Kx1lnx1x1ln21x1ln

21x1ln

21I

dudxux1

dtdxtx1

uln21tln

21

udu

21

tdt

21

x1dx

21

x1dx

21dx

x1x11I

21A1A2111B11A1x

21B1B2111B11A1x

1x1Bx1Ax1x1

x1Bx1Ax1

Bx1

Ax1x1

1x1

1

2

2

+−=+⋅−=+⋅+−⋅=

==+

−==−

⋅+⋅=+=+

+−

=+⋅−

=

=⇒=⇒=−++⇒=

=⇒=⇒=−−+−⇒−=

⇒=−++⇒+⋅−−++

=+

+−

=+⋅−

=−

∫∫∫∫∫


6

=−λ=+λ

=−

3z2xzy

5yx

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales .Se pide:

a) Discutirlo en función del parámetro ℜ∈λ (2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) a)

( )

( )

( )

123

123

1253

12301

0511

z

1212

1222

12352

12231

10051

y

12143

12312

122310

12203

1015

x

)b

leIncompatibSistema

3z031

5

000210011

21

5

210210011

31

5

201210011

321

5

201

1210

01121Si

adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang21

21120120ASi12

20110011

A

+λλ

=−λ−λ−

=−λ−

λ−λ−λ=

−λ−

λλ−

=

+λ−λ⋅

=−λ−+λ−

=−λ−−+λ−

=−λ−

−λ

=

+λ−λ⋅

=−λ−−λ−

=−λ−

λ−−λ−=

−λ−

−λλ−

=

⇒−=⇒

−−−

−≡

−−

−−−

≡

−

−−−

≡

−

−

−

−

−=λ

⇒==⇒

−−ℜ∈λ∀

−=λ⇒=λ−⇒=−λ−⇒=⇒−λ−=−

λ−

=


7

PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible (3 puntos)

=−=ππ

−=

π=

⇒⇒<π−=

π=⇒=⋅π⇒=⋅π−⇒=⇒⋅π−=⋅

π⋅−==

⇒⋅π−⋅=

=

π

−=⇒

=

π−=⇒π−=⇒π+=

m1002

2002002

200

200l

m200D

Máximo0''S

200D200D0D2000'SD200D2

2200dDdS'S

2DD200S

D2D200S

lDS2D200lD400l2Dl2400

2


8

CUESTIONES

C-1.- Calcular la distancia entre las rectas: 4

3z3

2y2xsy4zx71yx3

r −=

−=−≡

−=−−=−

≡ (1 punto)

Se estudiará la posición relativa de las dos rectas, primeramente si sus vectores directores son paralelos y no tienen un punto común serán paralelas, de tenerlo las rectas serán coincidentes. De no ser paralelos estudiaremos si tienen un punto común y si lo hay serán rectas que se cortan, de no ser así se cruzarán.

( )( )

cruzanserectasLas

35

1531471477

1472

leIncompatib50133633

1332

43743231

2

43z32y

2xs

74z31y

xr

escoincidentniparalelassonNo47

33

11

4,3,1v7,3,1v4z7z1x3y

s

r

−=λ−=µ

⇒−=µ⇒−=µ−λ−=µ+λ−

⇒−=µ−λ

=µ−λ

⇒≠⇒=µ−λ=µ−λ

⇒=µ−λ

=µ−λ

⇒

µ+=λ+µ+=λ+

µ+=λ⇒

µ+=µ+=µ+=

λ+=λ+=

λ=≡

⇒≠=

⇒=

=⇒+=⇒+=

Hallaremos un plano π que conteniendo a la recta s sea paralela a la recta r. Para ello utilizaremos, en la generación del plano, los vectores directores de las dos rectas y el vector generador formado por un punto A de la recta s y el punto generador G. La distancia entre un punto, cualquiera, B de la recta r al plano π es la distancia pedida.

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u210

10105

105

13

410.3dd

04yx3012y3x906y318x902y32x902y42x213z33z32y72x12

0431731

3z2y2xPlano

3z,2y,2x3,2,2z,y,xGA

3,2,2A4,3,1v4,1,0B

7,3,1vr

22Brs

S

r

==−

=+

−−==

⇒=−−≡π⇒=−−⇒=−++−⇒=−⋅+−⋅−⇒=−⋅−−⋅−−⋅−−⋅+−⋅+−⋅

⇒=−−−

≡π⇒π

⇒−−−=−=⇒

=

=≡

π


9

C-2.- Resolver la ecuación 01xxx

x1xxxx1x

=+

++

. (1 punto)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

31x1x301x31x3x3x3x21x3x3x

1xx3x21x1xx1xx1xxxx1x1xxx

x1xxxx1x

23323

233222333

−=⇒−=⇒=+⇒+=−−++++=

=+−++=+−+−+−+++=+

++

C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( )x

xlnxf = en su dominio de

definición (1 punto) ( )

( ) ( )

>ℜ∈∀⇒<<ℜ∈∀⇒

⇒

ℜ∈∀⇒><⇒<⇒<⇒−>−⇒>−

⇒⇒>−

⇒>⇒⇒−

=−⋅

=

>ℜ∈∀=

ex/xntoDecrecimieex0/xoCrecimient

x0xexex1xln1xln0xln1

0x

xln10x'foCrecimientx

xln1x

xlnxx1

x'f

0x/xfDom

2

1

222

C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función

42 axy +−= y el eje OX es de 3

256unidades de superficie (1 punto)

( ) ( ) ( )( )

( ) [ ] [ ] ( ) ( )

264a64aa2128a32

3128aa

31

3128

0aa0a31

3128xax

31

3128

6256dxax2

3256

0aa00fxfaxaxxfOYarespectosimétricaEs

axax0ax0C0yOXconcortedePuntosSiendo

666666

2436a0

4a0

3a

0

42

442

4242

24242

222

==⇒=⇒⋅=⇒⋅=⇒+⋅−=

−⋅+−⋅−=⇒⋅+⋅−==⇒+−⋅=

⇒

>=+−==+−=+−−=−⇒

±=⇒=⇒=+−⇒=⇒=⇒

∫

IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los calculos.

OPCIÓN A

E1.- Dadas la parábola 2x31y = , y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del

rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola (2’5 puntos)

E2.- Dada la función 1x1x)x(f

−+

= , se pide

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asíntotas (1’5 puntos)

b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función ( )xxf)x(g = , el eje OX y

las rectas x = 2 , x = 4 (1 punto)

E3.- Dadas las matrices : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

010321

Dy642

531C,

m10010001

B

a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (1’5 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones:

az

21y

32xs,

2zyx21zyx

r =+

=−

≡⎩⎨⎧

=−+=+−

≡ con ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .

a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares (1’5 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto)


IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti


OPCIÓN B

E1.- Calcular b y c sabiendo que la función ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤++=

0xsix

1xln0xsicbxx

xf2

es derivable en

el punto x = 0 (2’5 puntos)

E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2

1

2∫−

+− (2’5 puntos)

E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible:

(2’5 puntos) ( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=+−+=−+

=+

aazy1ax0z1ay

1zx

E4.- Dadas la rectas ⎩⎨⎧

=−=−

≡−

==−

≡4zy20yx2

ty2

1zy3

1xs , se pide halla la

perpendicular a s y a t y la distancia entre ambas rectas (2’5 puntos)

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti

OPCIÓN A

E1.- Dadas la parábola 2x31y = , y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del

rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola (2’5 puntos)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

x x

( )

( )

( ) ( ) 22

2

2

222

22232

u366633932AMàximo12343''Ax4x22

dxAd''A

3x3x

9x9x0x90x920'ASi

x92x2183x618

dxdA'A

3x2x18

3x9x2A

=⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅=⇒⇒−=⋅−=⇒−=−⋅==

⇒⎩⎨⎧

−==

⇒±=⇒=⇒=−⇒=−⋅⇒=

⇒−⋅=−=−==⇒−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

1


E2.- Dada la función 1x1x)x(f

−+

= , se pide

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asíntotas (1’5 puntos)

b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función ( )xxf)x(g = , el eje OX y

las rectas x = 2 , x = 4 (1 punto)

( ) ( ) { }

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )⎩⎨⎧

ℜ∈⇒>−ℜ∈⇒<−

⇒>−−

⇒>⇒⇒−−

=−

−−−=

−+−−

=

−ℜ∈∀=⇒=−+

=⇒=⇒=−

x01xx02

01x20)x('foCrecimient

1x2

1x1x1x

1x1x1x)x('f

1xfDom02

11111f1x01x

)a

2

2222

1 ∞− ∞ - 2 < 0 ( - ) ( - )

(x - 1)2 > 0 ( + ) ( + ) Solución ( - ) f’(x) < 0 ( - ) f’(x) < 0

Decrecimiento ( ) ( )1x1x/x >∪<ℜ∈∀

( )( ) ( ) ( )

( )⎩⎨⎧

>ℜ∈⇒>⇒>−⇒>−ℜ∈⇒<−

⇒>−−

⇒>⇒⇒−−

=−

−⋅−−=

1x/x1x01x01xx04

01x40)x(''fConcavidad

1x4

1x1x22)x(''f

3

334

1 ∞− ∞

- 4 < 0 ( - ) ( - ) x > 1 ( - ) ( + )

Solución ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 Concavidad Convexidad 1x/x <ℜ∈∀ 1x/x >ℜ∈∀ Asíntotas Verticales

x = 1 ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞==

−∞==⇒

+→

−→

+

−

02xflim

02xflim

1x

1x

2


Continuación del Problema E2 de la opción A Horizontales

( )

( )

−∞→=⇒

=−−+−

=

∞−−

∞+−

=−−

+−=

−−

+−=

∞∞

=−−+−

=−+

==

∞→=⇒

=−+

=

∞−

∞+

=−

+=

−

+=

∞∞

=−+

==

∞→∞→∞→−∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→

xcuando1yhorizontalAsíntota

10101

11

11

x11

x11

lim

x1

xx

x1

xx

lim1x1xlim

1x1xlimxflimy

xcuando1yhorizontalAsíntota

10101

11

11

x11

x11

lim

x1

xx

x1

xx

lim1x1xlimxflimy

xxxxx

xxxx

Oblicuas o inclinadas

( )

( )

−∞→

=++

=

∞+

∞+

∞−

=+

+−=

+

+−=

∞∞

=++−

=−+

==

∞→

=−+

=

∞−

∞+

∞=−

+=

−

+=

∞∞

=−+

=−+

==

∞→∞→∞→−∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo

00100

11

11

x11

x1

x1

lim

xx

xx

x1

xx

limxx1xlim

x1x1x

limxxflimm

xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo

00100

11

11

x11

x1

x1

lim

xx

xx

x1

xx

limxx

1xlimx

1x1x

limxxflimm

2

x

22

2

22

x2xxx

2

x

22

2

22

x2xxx

( ) ( ) [ ]

[ ]( ) [ ]

[ ] [ ] ( ) ( )

( ) ( )

29ln2ln9lnA

2A11A1BA1B1B

x1xBBxAx

xB

1xA

x1x1x

3t4x1t2x

dtdxt1x

2ln1ln3ln22ln4lnxln2xlndtt12dx

x1dx

1x2dx

xx1xA

4,20xverticalAsíntota01

00100f0xOYCon

4,21x01x0yOXConejeslosconcortedePuntos

4,2enpositivaZona32

64

33133f

xx1x

x1x1x

xxf

)b

31

42

3

1

4

2

4

2

4

22

2

22

=−=

⎩⎨⎧

=⇒=−⇒=+−=⇒=−

⇒−

−+=+

−=

−+

⎩⎨⎧

=⇒==⇒=

⇒=⇒=−

−−⋅=−−=−=−

+−

=−+

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

∉=⇒⇒=−+

=⇒=⇒

∉−=⇒=+⇒=⇒⇒

⇒==−+

=⇒−+

=−+

=

∫∫∫∫

3


E3.- Dadas las matrices : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

010321

Dy642

531C,

m10010001

B

a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (1’5 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) a) Existe B-1 si el det(B) es distinto de cero

{ } ( )

( )

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

−=⇒−=⇒−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⇒=

=

⋅=⇒−ℜ∈∀⇒∃⇒=⇒=⇒=−

=

−−−

−

−

−−

632230

110010001

632250

110010001

010321

642531

X

BCDXBCDXBBCDXB)b

110010001

B

110010001

11B

110010001

Badj100110

001B

110010001

B1B

1mPara

BadjB1B0mB0m0Bm

m10010001

B

111

1

1tt

t11

4


E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones:

az

21y

32xs,

2zyx21zyx

r =+

=−

≡⎩⎨⎧

=−+=+−

≡ con ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .

a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares (1’5 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto) a) La condición es que los vectores directores de r y s son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo.

( )

( )

( ) ( ) 2a0a20a.12.13.00a,2,31,1,0

0vvvv

a,2,3vaz

21y32x

s

1,1,0vzy

1xr

zy1zy11x3x3

r

srsr

s

r

−=⇒=+⇒=++⇒=⋅

⇒=⋅⇒⊥⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

μ=μ+−=μ+=

≡

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ=λ=

=≡⇒

⎩⎨⎧

=⇒=+−=⇒=

≡

b) El vector director de t es el mismo que el de r, y el punto P lo hallaremos una vez hallado μ

( )

( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧α

α=+−=

=≡⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=+−=

=⋅+=⇒=μ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

μ−=μ+−=μ+=

≡

==

z1y2x

t0,1,2P

0z10.21y

2032xP0

2021y32x

s

1,1,0vv tr

5


OPCIÓN B

E1.- Calcular b y c sabiendo que la función ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤++=

0xsix

1xln0xsicbxx

xf2

es derivable en

el punto x = 0 (2’5 puntos) La función, primero, debe de ser continua y después la función derivada continua

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤+−=

⇒−=⇒−====

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=⋅+++

+−

=+++

+−

=

==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==++⋅⋅

+−=

+++−

=++−+−

=

==

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

++−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==

+⋅+⋅+−

=

=+⋅==

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

++−=

+−+

≤+

=

=⇒====

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

=+=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+

=

=+⋅+==

+−

++

−

+++

−

++

−

+−

+++

−

→→

→→

→

→→→

→

→→

→

→→

→→→

→

0xsix

1xln

0xsi12xx

xf

21b

21x'flimbx'flim0'f

21

02010210

1

x2x1x21x

1

limx'flim

bx'flim0'f

00

0100210ln

x1xx21xlnlim

x1xx211xln1limx'flim

bx'flim0'fx1xx2

1x1x1xln1

lim00

10010ln100x´flim

bb02x'flim0'f

0xsi1xx

1xln1xxx

1xln1x

x0xsibx2

x'f

1c1xflimcxflim0f

110

11x

1lim1

1x1

lim00

010lnxflim

cc0b0xflim0f

2

0x0x

0x0x

0x

Hopital'LAplicando220x20x0x

0x

20x

Hopital'LAplicando20x

0x

22

0x0x

0x0x

Hopital'LAplicando

0x

2

0x

6


E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2

1

2∫−

+− (2’5 puntos)

( )

( ) ( )⎩⎨⎧

>ℜ∈∀⇒>⇒>−>ℜ∈∀⇒>⇒>−

⇒>−⋅−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=

=+

=⇒

±=⇒>=−=⋅⋅−−=Δ⇒=+−

1x/x1x01x2x/x2x02x

01x2x

12

13x

22

13x

213x0189214302x3x 22

∞− 1 2 ∞ x > 1 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + ) x > 1 ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0

( )

( ) ( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )

629dx2x3x

6102712

35

2922

29

374

32123

237

31220

232

31dx2x3x

122122312

3111211

2311

31dx2x3x

x2x213x

31x2x

213x

31dx2x3x

x2x213x

31dx2x3xdx2x3xdx2x3x

2xsi2x3x2x1si2x3x

1xsi2x3x2x3xxf

2

1

2

2

1

2

223322332

1

2

21

21

221

311

11

211

32

1

2

11

11

211

32

1

21

1

22

1

2

2

2

2

2

=+−

−+=−+=−+−+=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=+−

−⋅−−⋅+−⋅−−−⋅+−−⋅−−−⋅=+−

⋅−⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅−⋅=+−

⋅+⋅⋅−⋅=−+−++−=+−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+−≤≤−+−

<+−=+−=

∫

∫

∫

∫

∫∫∫

−

−

−

−−−−

−−−−−

7


E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible:

(2’5 puntos) ( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=+−+=−+

=+

aazy1ax0z1ay

1zx

( )

( )

{ } ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

leIncompatibSistema101

000110101

101

110110101

201

211110101

2aSi,0,1Soluciónz1x

1zx0yadominerdetInCompatibleSistema001

000010101

101

101010101

1aSi2a

12a1a

1a2a1a

a1a1010101

z

2a1a

2a1a1a

2a1aa11a

2a1a1aa1a

2a1aaa1

1a00111

y

2a1a

2a1a1a

2a1a1aaa

2a1aa1aa

1a10101

x

SoluciónadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang2,1a

1a2a

213a189214302a3a02a3a

0ASi2a3a1a1a2a1a1aa1a1

1a10101

A

2

22

222

222

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=λλ−⇒−=

⇒=+⇒=⇒⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−

−=−⋅−−

−=

−⋅−−

−=

−−

=−⋅−−

−−=

−⋅−−−⋅−

=−⋅−−−⋅−−

=−⋅−−

−

=

−−

=−⋅−−

−−=

−⋅−−−−−

=−⋅−−

−−

=

⇒==⇒−ℜ∈∀

⇒⎩⎨⎧

==

⇒±

=⇒=−=⋅⋅−−=Δ⇒=+−⇒=−+−

⇒=⇒−+−=−+−+−=−−−=−

−=

8


9

E4.- Dadas la rectas ⎩⎨⎧

=−=−

≡−

==−

≡4zy20yx2

ty2

1zy3

1xs , se pide halla la

perpendicular a s y a t y la distancia entre ambas rectas (2’5 puntos) Cualquier recta r que se apoya en s y en t, tiene como vector director la diferencia entre los puntos generales de las dos rectas, como esta tiene que ser perpendicular a los dos el producto escalar de este vector con el de cada uno de las rectas es nulo. Así se hallaran los parámetros que nos dará la ecuación de la recta r pedida, posteriormente al hallazgo previo del punto S de corte de la recta s con la recta r, después hallaremos el punto T, punto de corte con la recta t y la distancia pedida es la que hay entre estos puntos

μλ y

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u5140012011T,Sdt,sd

0,2,1T144z

12y1x

T

1z220y101x

r1,0,1S021z

0y031x

S

1,2,014025,120,1031v11313

013130012502732731690273273294

02121130131314

0168204231084102393

0425,2,314,2,10425,2,312,1,3

0vvvv0vvvv425,2,314421,2,31v

4,2,1v44z

2yx

t4x4z4zx4

x2yt

2,1,3v21z

y31x

s

222

r

trtr

srsrr

t

s

=++=−+−+−==

⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

⋅+−=⋅=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

α+=α−=α−=

=α⋅+=≡⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

⋅+==

⋅+=

−=⋅−⋅+⋅−−⋅+=⇒=μ⇒−=μ−

⇒=+μ−⇒=λ⇒=λ⇒⎩⎨⎧

=−μ+λ−=+μ−λ

⇒⎩⎨⎧

=+μ−λ=+μ−λ

⇒⎩⎨⎧

=μ−λ++μ−λ+μ−λ+=μ−λ++μ−λ+μ−λ+

⇒⎩⎨⎧

=μ−λ+μ−λμ−λ+⋅=μ−λ+μ−λμ−λ+⋅

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅⇒⊥=⋅⇒⊥⇒μ−λ+μ−λμ−λ+=μ−+λ+μ−λμ−λ+=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒

μ+−=μ=μ=

≡⇒⎩⎨⎧

−=⇒=−=

≡

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒

λ+=λ=λ+=

≡

IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti


de Castilla y León

MATEMÁTICAS II


Nº páginas 2

INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los calculos.

OPCIÓN A

E1.-a) Dadas las funciones ( ) ( ) x1xgyxlnxf −== , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x =2 y las gráficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él (0’5 puntos) E2a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es – 5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]. Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen (1’5 puntos)

b) Calcular dxxsen1

xcos2∫ +

(1 punto)

E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B2 = 16.I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B (1’5 puntos)

b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación (1 punto) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛200100

X2010

E4.- Se considera la recta con ⎩⎨⎧

=−=+−

≡4zay

0azyxr ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .

a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π (1 punto) b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π (1 punto) c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π (0’5 puntos)


IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti


OPCIÓN B

E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo (2’5 puntos)

E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que ( )xsenxxlim

1x2ax2lim 2

32

0x

5x

x

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

→

+

+∞→

E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: , ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−+=+−

az3yx1zayx

a1azyx2

a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (0’5 puntos)

E4.- Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta 3z4

6yxr −=+

=≡ y el plano

, se pide: 012z6x6 =−+≡πa) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π (1’5 puntos)

b) Hallar los puntos Q de r que distan 2

1unidades de longitud de π (1 punto)

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti

OPCIÓN A E1.-a) Dadas las funciones ( ) ( ) x1xgyxlnxf −== , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x = 2 y las gráficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él (0’5 puntos) ( ) ( ) x1xgyx1xlnxf −=−==

-2

-1

0

1

2

0 1 2

Y

3

X

( )

( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 222

21

221

2

1

21

2

1

2

1

2

1

u232ln2

231102ln212

211211ln112ln2A

x21x1xlnxdxx1dxxlndxx1dxxlnA

xdxvdvdxxdxduuxln

1xlnxxxlnxdxxlnxxdxxxlnxdxxln

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+−−−=−⋅+−−−⋅−−⋅=

⋅+−−⋅=−−=−+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

==⇒=

=⇒=

−⋅=−⋅=−⋅=⋅−⋅=

∫ ∫∫ ∫

∫

∫∫∫

1


Continuación del problema E1 de la opción A

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1xenderivableesNo

3xflim1xflim1f1x'flim1'f3x'flim

1xsi11xsi3

x'f

1xenContinuaEs

8xflimxflim1f851.3xflim1f851.3xflim

1xsi7x1xsi5x3

xf

)b

1x1x1x

1x

1x1x1x

1x

=

=≠==⎪⎩

⎪⎨⎧

⇒==

=⇒

⎩⎨⎧

≤<

=

=

===⎪⎩

⎪⎨⎧

⇒=+==

=+=⇒

⎩⎨⎧

≤+<+

=

−++

−

−++

−

→→→

→

→→→

→

E2.- a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es – 5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]. Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen (1’5 puntos)

b) Calcular dxxsen1

xcos2∫ +

(1 punto)

a) Si, se puede asegurar, como también se puede asegurar que habrá un cero en ese intervalo

Teoremas que lo confirman

Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.

De este teorema se deriva el teorema del valor intermedio que determina que si f una función continua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a) < f(b). Entonces para cada u tal que f(a) < u < f(b), existe un c dentro de (a,b) tal que f(c) = u. La misma conclusión se obtiene para el caso que f(b) < f(a). En nuestro caso p(0) = -5 < p(3) = 7, entonces como p(0) < 2 < p(3), existe un valor c dentro de (0 , 3) tal que p(c) = 2

2


Continuación del Problema E2 de la opción A

( )

dtdxxcostxsen

Kxsentgarcttgarcdxt1

dtdxxsen1

xcos)b 22

=⇒=

+==+

=+ ∫∫

E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B2 = 16.I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B (1’5 puntos)

b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación (1 punto) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛200100

X2010

⎩⎨⎧

−==

⇒±=⇒⋅==4B

4B16BI16BB

)a

22

b) X es una matriz de tamaño 2 x 3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

===ℜ∈ℜ∈ℜ∈

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛100cba

X

1f0e0d

cba

200100

f2e2d2fed

200100

fedcba

2010

E4.- Se considera la recta con ⎩⎨⎧

=−=+−

≡4zay

0azyxr ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .

a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π (1 punto) b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π (1 punto) c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π (0’5 puntos) a) Para que r sea paralela al plano se tiene que cumplir que los vectores directores de la recta y el plano sean perpendiculares y, por lo tanto, su producto escalar es nulo.

π

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

=

=+

=⇒

±=⇒>=+=−⋅⋅−−=Δ⇒=−−

⇒=++−⇒=⋅−⇒=⋅⇒⊥⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

≡−≡

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=λ=

λ−+=≡⇒+−=⇒−+=⇒=+−⇒

⎩⎨⎧

=−=+−

≡

ππ

π

12

31a

22

31a

291a0981214102aa

0a1a101,1,1a,1,a10vvvv1,1,1v

a,1,a1v

ay4zy

a1a4xray4zya1a4xa4yayx

a4azya0azyx

r

22

22rr

2r

2

222

3


Continuación del Problema E2 de la opción A b) Al ser paralela se calculará la distancia de unos de sus puntos R, al plano dado π

( )( ) ( ) ( ) ( )

u3

323

2111

2408,Rd,rd4,0,8R

y24zy

2124xr

222

2

==++

−−++=π=π⇒−⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=λ=

λ−+⋅=≡

c) La recta es secante, ya que no puedes ser paralela por lo tanto la distancia de la recta al plano es cero.

4


OPCIÓN B E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo (2’5 puntos) Llamando b a la longitud de la base cuadrada y H a la altura

( ) ( )

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

===

=⇒⇒>⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅==

⇒==⇒=⇒=−⇒=−

⇒=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+⋅⇒+⋅+⋅=⋅⋅++⋅=

=⇒⋅=

cm5'736270

6270H

cm6btecosMínimo0

64326256''P

b432b25

b432b2b325

b216bb2bb325

dbPd''P

.cm6216b216b0216b0b

216b0'Pb

216b25'P

b1080b55

b1080b55

dbdP'P

b1080b52́5

b270b4b52́5P

bH4b52́5bH20b5'12bH20b5b5'7b5'15bH4b5Pb270HHb270

23

3

3

3

3

33

4

322

2

2

3332

3

2

3

2

3

22

22

222222

22

E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que ( )xsenxxlim

1x2ax2lim 2

32

0x

5x

x

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

→

+

+∞→

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]1a01a0

21aee1e

0cos22

02cos2062

x2cos2x62lim

xsenxcos2x62lim

xsenxsenxcos2x62lim

eee

1a1x2

11lim

00

xcosxsen2x3x2lim

00

xsenxxlim

1a1x2

11lim1x21a

1x21x2lim

1x21a1x2lim1

1x2ax2lim

021a

21a

0x220x20x

21a

1x25a5x1alim

1x25a5xaxlim

1x21a

5xlim

1a1x2

x

Hopital'LAplicando2

0x

Hopital'LAplicando2

32

0x

5x

x

5x

x

5x

x

5x

x

xx

x

−=⇒=+⇒=+

⇒=⇒=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=

⋅⋅⋅−

=⋅−

=−⋅−

=−⋅+⋅

−

===

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅⋅

−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++−

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++

→→→

+−

+++−

+++

−+

⋅+

+−

+∞→

→→

+

+∞→

+

+∞→

+

+∞→

∞+

+∞→

+∞→+∞→

+∞→

5


E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: , ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−+=+−

az3yx1zayx

a1azyx2

a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (0’5 puntos)

( )

{ } ( )

( )

( ) ( )0,0,1Solución04

igualescolumnasDos04

211111212

x

04

igualescolumnasDos04

311111122

y144

4321116

4311111112

x

adominDeterCompatibleSistema041.51A1aSi)b

leIncompatibSistema

84

6

000390

512

124

6

390390

512

44

6

130390

512

1026

6222102512

516

311151512

5aSi

leIncompatibSistema4

11

000210012

111

630210012

021

622202012

011

311101012

0aSi

adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang5,0a

5a0a

05aa0a5a0ASia5a32aa1a63111a1a12

A

2

222

⇒=−

=−

−−

=

=−

=−

==−−

=−

+−++−−=

−

−−

=

⇒≠−=−=⇒=

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

−≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

−≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

−≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

≡⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −≡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

⇒==⇒−ℜ∈∀

⎩⎨⎧

==

⇒=−⇒=−⇒=⇒−=+−++−−=−−

=

6


7

E4.- Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta 3z4

6yxr −=+

=≡ y el plano

, se pide: 012z6x6 =−+≡πa) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π (1’5 puntos)

b) Hallar los puntos Q de r que distan 2

1unidades de longitud de π (1 punto)

a) Hallaremos un recta s que pase por P y es perpendicular al plano π , para generarla utilizaremos como vector director el del plano dado. Una vez hallada la recta, calcularemos el punto de corte Q, de esta, con el plano que es el punto medio entre P y su simétrico P’

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+−=

−=

⇒−=μ⇒−=μ⇒+μ=−

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒

+=

⋅+−=

=

⇒=μ⇒=μ⇒+μ=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+μ++μ=−⇒++

−μ+⋅+μ=−

−μ++μ=⇒++

−μ+⋅+μ=

⇒±=π⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

μ+=μ+−=

μ=≡

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⇒−=⇒−

=

=⇒+=⇒+

=

=⇒+=⇒+

=

⇒⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−==+=

≡=λ⇒=−λ⋅⇒=−λ+−⋅++λ+⋅

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ+−==

λ+=≡⇒≡==π

23,12,

23S

233z

2346y

23x

T23181261212

27,4,

21S

213z

2146y

21x

S2161261212

126186144606

1236622

126186144606

1236622

22r,d

3z46y

xr

)b

3,1,5'P

3z1z22

1z1

1y1y22

1y1

5x1x62

1x3

1,1,3Q21x

1y21x

20126012161.016

1x1y

1xs1,0,16,0,6vv

222

222

'P'P'P

'P'P'P

'P'P'P

s

Selectividad CyLeon CCNN_Junio_2004_2010

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