1 Programa de certificacinde Black Belts ASQ 6. Metodologa Seis Sigma - Medicin P. Reyes / Septiembre 2007 2 Fase de medicin Propsitos: Determinar req. de informacin para el proyecto Definir las Mtricas de los indicadores del Proceso Identificar los tipos, fuentes y causas de la variacin en el proceso Desarrollar un Plan de Recoleccin de Datos Realizar un Anlisis del Sistema de Medicin (MSA) Llevar a cabo la recoleccin de datos Salidas Diagnstico de la situacin actual del problema 3 6. Metodologa Seis Sigma Fase de Medicin A. Anlisis del proceso y documentacin B. Coleccin y resumen de datos DPU, DPMO C. Probabilidad y estadstica D. Histogramas y distribucin normal E. Anlisis de capacidad de proceso F. Anlisis de Sistemas de medicin 4 6A. Anlisis y documentacin del proceso Un proceso es un conjunto de recursos y actividades que transforman entradas en salidas agregando valor. Las actividades deben ser documentadas y controladas. Se analizan los tpicos siguientes: 1. Herramientas 2. Entradas y salidas del proceso 5 6A. Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas Diagramas de flujo Mapas de proceso Procedimientos escritos Instrucciones de trabajo Anlisis de proceso Documentacin del proceso 6 6A. Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas Diagramas de flujo Un diagrama de flujo o mapa de proceso es til para comprender el proceso. Puede describir la secuencia del producto, contenedores, papeleo, acciones del operador o procedimientos administrativos. Es el paso inicial para la mejora de procesos, ya que facilita la generacin de ideas. 7 6A. Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas Diagramas de flujo Organizar un equipo para examinar el proceso Construir un mapa de proceso para representar los pasos del proceso Discutir y analizar cada paso en detalle Preguntarse Por qu lo hacemos de esta manera? Comparar el proceso actual a un proceso imaginario perfecto 8 6A. Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas Diagramas de flujo Hay complejidad innecesaria? Existe duplicacin o redundancia? Hay puntos de control para evitar errores y rechazos? Se realiza el proceso de acuerdo a como est planeado? Puede realizarse el proceso de manera diferente? las ideas de mejora pueden venir de procesos muy diferentes? 9 6A. Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas Smbolos de Diagramas de flujo 10 6A. Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas Diagramas de flujo - Ejemplo 11 6A. Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas Mapas de proceso- beneficios Permiten visualizar el proceso que se est describiendo Describen el proceso con smbolos, flechas y palabras sin necesidad de oraciones La mayora usa simbologa estandarizada (ANSI Y15.3) Si se usa software el nmero de smbolos puede llegar a 500 12 6A1. Herramientas Diagramas de flujo o mapas de proceso Permiten comprender la operacin del proceso Normalmente representan el punto de inicio para la mejora Pasos para elaborarlo (Smbolos ANSI Y15.3) Organizar un equipo para examinarlo Construir un diagrama de flujo representando cada paso Discutir y analizar detalladamente cada paso Preguntarse Porqu lo hacemos de esta forma? Comparar esta forma con la del proceso perfecto Existe demasiada complejidad, duplicidad o redundancia Se opera el proceso como est planeado y puede mejorarse? 13 Proceso Desicin DocumentoDatosProceso Preparacin OperacinEntradaPredefinidoManualesConector Con. pgina Display Almacen Terminador6A1. Smbolos de diagrama de flujo 14 Smbolos para Diagramas de Flujo Iniciar/Detener Transmisin Operaciones (Valor agregado) Decisin Inspeccin /Medicin Transportacin Almacenar Entrada/Salida Lneas de Flujo Retraso 15 6.1 Mapa de Proceso:Inicio Fin Paso 2APaso 2BPaso 2C Paso 1 Paso 3 Bueno?Retrabajo SNo Es el diagrama de flujo de un proceso que muestra cmo se realiza un trabajo. 16 Diagrama de flujo / Anlisis del valorActividades sin valor agregado Actividades con valor agregado 17 Cmo Ayuda un Mapa de Proceso? Una vez que podemos ver las cosas -podemos hablar de ellas. Los pasos que no agregan valor se hacen ms evidentes. El retrabajo y las reparaciones son obvias. Se puede llegar a acuerdos. 18 Diagramas de Flujo Existentes Creados para un propsito diferente. Con frecuencia no reflejan los puntos de inicio y Fin adecuados. No son cmo es. Quieren ser No sealan el desperdicio.19 Aprovecha al Equipo Haz recorridos, entrevistas y revisiones de los diagramas de flujo y los estndares existentes. 20 Haz el Mapa del Proceso lo ms Pronto Posible! seala con claridad la regin en la que el equipo se debe enfocar. evita que el equipo salga de los lmites del proyecto. El mapa de un proceso... 21 El Inicio y el Fin Se Deben Poder Medir Selecciona los puntos de Inicio y Fin donde se llevan a cabo acciones que se pueden medir. 22 Ejercicio Rpido - Inicio y Fin ProcesoInicioFin Ensamble de Asiento Dibujos de Ingeniera Manufactura en Riel de Asientos Cuentas por Pagar 23 Ejemplos - Inicio y Fin ProcesoInicioFin Ensamble de Asiento Marco de metal puesto enlnea Inspeccin Final Dibujos de Ingeniera Requerimientos del Cliente ClienteRecibe el Archivo CAD Manufactura en Riel de Asiento Operacin de Prfiles Estampados Inspeccin Final Cuentas por Pagar Recepcin de la Facturadel Proveedor Depsito Electrnico 24 Permite que la Gente vea el Mapa del Proceso De ser posible, la gente que trabaja en el proceso debe poder ver una copia grande a escala del mapa del proceso. Las revisiones, sugerencias y correcciones son bienvenidas! 25 Herramientas de un Mapa de Proceso Rotafolios y Marcadores. Hojas para Rotafolio y Notas Autoadheribles. 26 Pasos para Elaborar un Mapa de Proceso 1.Establezcan los puntos de Inicio y Fin del proceso. 2.Hagan una lista de los pasos del proceso mediante una tormenta de ideas. 3.Realicen el primer recorrido y entrevistas. 4.Elaboren una lista de los proceso clave en las notas autoadheribles. 5.Discutan, revisen y modifiquen. 6.Hagan un segundo recorrido y entrevistas. 7.Aadan pasos de inspeccin, retrabajo, reparacin y desperdicio en las notas autoadheribles. 8.Elaboren un mapa de proceso cmo es. Como equipo... 27 Hazlo fcil! En este momento, el mapa de proceso cmo es debe ser de alto nivel, pero debe incluir todos los pasos primarios necesarios para obtener la mejora deseada (es decir, los pasos con valor agregado relativos a los CTQ, CTC, CTD). Idealmente, muestra de cinco a diez pasos. Agrega ms detalles posteriormente. 28 Paso 1: Puntos de Inicio y Fin Revisen la declaracin del problema. Describan los procesos que causan el problema. Comenten los puntos de Inicio y Fin que se pueden medir. Pnganse de acuerdo y regstrenlos. Declaracin del Problema: El cliente espera los dibujos modificados demasiado tiempo. Proceso:Proceso de revisin de dibujos. Pregunta: Cul podra ser el punto de Inicio? Pregunta:Cul podra ser punto de Fin? 29 Puntos de Inicio y Fin Declaracin del Problema: El Cliente espera demasiado tiempo los dibujos modificados. Proceso: Proceso de revisin de dibujos. Inicio: El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos. Fin:Se entrega el archivo de dibujos (CAD) al Cliente. 30 Paso 2: Tormenta de Ideas sobre los Pasos del Proceso Escriban Inicio y Fin donde todos lo puedan ver. El equipo aporta ideas sobre los pasos del proceso que existen entre el inicio y el fin. Inicio: El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos. Pregunta: Cules son algunos de los probables pasos del proceso entre los puntos de inicio y fin? Fin: El archivo CAD se entrega al Cliente. 31 Pasos del Proceso Inicio:El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos. Pasos a seguir: Bosquejar el cambio requerido. Calcular el impacto del cambio. Determinar cules dibujos necesitan cambiarse. Cambiar los dibujos apropiados. Fin: El archivo CAD se entrega al Cliente. 32 Paso 3:Primer Recorrido y Entrevistas El equipo recorre el proceso existente. Observen cmo se hace el trabajo. Platiquen con la gente (entrevisten). Tomen notas. Enfquense en los pasos del proceso. 33 Paso 4:Notas Autoadheribles Escriban los pasos del proceso en notas autoadheribles. Coloquen las notas sobre la pared. Por ahora slo dejen las notas. Reunin con el grupo Encontrar Especif. Crear Boceto Localizar Archivos CAD Cambiar Dibujos Calcular Impacto Hacer Caf Crear Paquete de Archivos Enviar al Cliente 34 Paso 5:Comentar, Revisar, Modificar Comenten, repasen y modifiquen el mapa del proceso en las notas autoadheribles. Pnganse de acuerdo en los pasos que se deben conservar. Pnganse de acuerdo en los pasos que se deben eliminar. Retengan solo los pasos importantes del proceso. 35 Pasos Importantes del Proceso Informacin suficiente para facilitar la mejora. Resultados que se puedan medir. Podran producirse defectos (CTQ, CTC, CTD). Un inicio y un fin definidos. 36 Pasos Importantes Qu pasos podran ser importantes en el mapa del proceso que aparece a la derecha? Reunin con el grupo Encontrar Especif. Crear Bsquejo Localizar Archivos CAD Cambiar Dibujos Calcular Impacto Hacer Caf Crear Paquete de Archivos Enviar al Cliente 37 Paso 6:Segundo Recorrido y Entrevistas Vuelvan a recorrer el proceso. Busquen pasos que hayan pasado por alto. Revisen pasos de inspeccin, retrabajo, reparacin y desperdicio. Tomen notas. 38 Paso 7: Aadir Cambios Agreguen notas autoadheribles. Aadan inspecciones. Aadan retrabajo y reparaciones. Aadan desperdicio. Por ahora dejen todas las notas. Crear Bsquejo Cambiar Dibujo Calcular Impacto Crear paquete de archivos Enviar a Cliente Solicitud de Cambio del Cliente Cliente recibe archivos CAD Impacto OK? Dibujo OK? Reunin con Ventas S No No S 39 Paso 8: Mapa del Proceso Cmo Es El equipo establece un mapa del proceso tal cual. Tiene el detalle suficiente para incluir los pasos importantes. Sin demasiado detalle para que se entienda rpidamente. Crear Bsquejo Cambiar Dibujo Calcular Impacto Crear paquete de archivos Enviar a Cliente Solicitud de cambio del ClienteCliente recibe archivos CAD Impacto OK? Dibujo OK? Reunin con Ventas S No No S 40 Cundo Recolectar Datos Durante la elaboracin del mapa de proceso. Identifica los puntos para la recoleccin de datos, pero no recopiles los datos! Despus de haber creado el Mapa Cmo Es planea la recoleccin de datos sobre los pocas salidas vitales. Generalmente, cuando se recolectan datos durante la elaboracin del mapa, se toman datos sobre puntos equivocados. La recoleccin de datos se debe planear y enfocar sobre los factores de alta prioridad que son crticos para el cliente! (consulta el mdulo Planeacin de la Recoleccin de Datos) 41 Mapa del Proceso Cmo Es Crear Bsquejo Cambiar Dibujo Calcular Impacto Crear paquete de archivos Enviar al Cliente Solicitud de cambio del ClienteCliente recibe archivos CAD Impacto OK? Dibujo OK? Reunin con Ventas S No No Si Es la condicin base del proceso. Es el inicio de tu viaje hacia la mejora. Es la oportunidad para la estrategia de impacto de Six Sigma. 42 Ejercicio 4.2 - Analiza tu Mapa 1.Consulta tu cuaderno de trabajo. 2.Usa el mapa de proceso cmo es que elaboraste para el proceso de la catapulta para identificar: Productos comprobables Otras salidas del proceso Pasos del proceso sin valor agregado. 43 El Mapa de Proceso Cmo Debe Ser Una vez que se identifiquen las soluciones durante la fase de MEJORA Crea el nuevo mapa de proceso. El nuevo mapa muestra el flujo de trabajo mejorado que ahora tiene -menos pasos -menos actividades sin valor agregado Este nuevo mapa muestra el proceso cmo debe ser que ser una vez que se implementen todas las soluciones. 44 6A1. Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas Procedimientos escritos Los procedimientos deben ser desarrollados por los que tienen la responsabilidad del proceso de inters La documentacin del proceso en un procedimiento facilita la consistencia en el proceso. Los procedimientos crticos deben tener su diagrama de flujo correspondiente 45 6A1. Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas Instrucciones de trabajo Las instrucciones de trabajo proporcionan los pasos detallados de la secuencia de actividades Los diagramas de flujo pueden usarse con las instrucciones de trabajo para mostrar las relaciones de los pasos del proceso. Las copias controladas de estas instrucciones se guardan en el rea de trabajo 46 6A1. Herramientas Entradas y salidas de procesos por medio de una matriz de causa y efecto La matriz lista variables clave de salida del proceso en forma horizontal y las de entrada en forma vertical Para cada variable de salida se le asigna una prioridad Dentro de la matriz se asignan nmeros que indican el efecto que tiene cada variable de entrada en las variables de salida Se obtiene la suma producto de estos nmeros internos por la prioridad de salida como resultados y se saca el porcentaje relativo 47 6A. Anlisis y documentacin del proceso Entradas y salidas Entradas y salidas del proceso Matriz de causa efecto Antes de mejorar un proceso, primero debe medirse, identificando sus variables de entrada y de salida, y documentando su relacin en diagramas de causa efecto, matrices de relacin, diagramas de flujo, etc.18 42 3 2 Ent 5100 236 Totales9 22 4 6 Ent 411 25 1 5 Ent 327 63 3 2 4 7 Ent 235 84 6 3 2 Ent 1 % Res 4 10 6 1 3 Impor-tanciaE D C B ASalidas18 42 3 2 Ent 5100 236 Totales9 22 4 6 Ent 411 25 1 5 Ent 327 63 3 2 4 7 Ent 235 84 6 3 2 Ent 1 % Res 4 10 6 1 3 Impor-tanciaE D C B ASalidas48 P. REYES 49 6A1. Las 7 herramientas estadsticas Diagrama de Causa efecto para identificar las posibles causas a travs de una lluvia de ideas, la cual se debe hacer sin juicio previos y respetando las opiniones. Diagrama de Pareto para identificar prioridades Diagrama de Dispersin para analizar la correlacin entre dos variables, se puede encontrar: Correlacin positiva o negativa Correlacin fuerte o dbil Sin correlacin. 50 6A1. Las 7 herramientas estadsticas Hoja de verificacin para anotar frecuencia de ocurrencias de los eventos (con signos |, X, *, etc.) Histogramas para ver la distribucin de frecuencia de los datos Las cartas de control de Shewart para monitorear el proceso, prevenir defectivos y facilitar la mejora Cartas de control por atributos y por variables 51 6A1. Las 7 herramientas estadsticas Diagrama de flujo para identificar los procesos, las caractersticas crticas en cada uno, la forma de evaluacin, los equipos a usar, los registros y plan de reaccin, se tienen: Diagramas de flujo de proceso detallados Diagramas fsicos de proceso Diagramas de flujo de valor O Estratificacin para separar el problema general en los estratos que lo componen, por ejemplo, por reas, departamentos, productos, proveedores, turnos, etc.. 52 Hoja de verificacin Se utiliza para reunir datos basados en la observacin del comportamiento de un proceso con el fin de detectar tendencias, por medio de la captura, anlisis y control de informacin relativa al procesoDEFECTO1234TOTAL Tamao errneoIIIII IIIIIIIIIII IIIIIIII II26 Forma errneaIIIIIIIII9 Depto. EquivocadoIIIIIIII8 Peso errneoIIIII IIIII IIIIII IIIIIIII IIIIIIII IIIII37 Mal AcabadoIIIIIII7 TOTAL2520212187 DIA 53 Hoja de verificacin Pasos para su elaboracin Determinarclaramenteelprocesosujetoa observacin.Losintegrantesdebenenfocarsealanlisis de las caractersticas del proceso. Definir el perodo de tiempo durante el cul sern recolectados los datos. Esto puede variar de horas a semanas. Disearunaformaqueseaclarayfcildeusar. Asegresedequetodaslascolumnasestn claramentedescritasydequehayasuficiente espacio para registrar los datos. Obtenerlosdatosdeunamaneraconsistentey honesta.Asegresedequesedediqueeltiempo necesario para esta actividad.54 DEFINICION Clasificacin de los datos o factores sujetos a estudio en una serie de grupos con caractersticas similares. Estratificacin 55 Estadsticas Medidas de tendencia central Media (promedio de datos) Moda (el valor que ms se repite) Mediana (el valor intermedio con datos ordenados) Medidas de dispersin Rango (valor mayor valor menor) Desviacin estndar (medida de dsipersin) Coeficiente de variacin (Desv. Est. / media * 100) para comparar variacin de dos grupos de datos diferentes 56 Diagrama de Pareto El Diagrama de Pareto se usa para: Analizar un problema desde una nueva perspectiva Enfocar la atencin en problemas de orden prioritario Comparar cambios de datos durante diferentes periodos de tiempo Proporcionar una base para la construccin de una lnea acumulada 57 Diagrama de Pareto- Ejemplo 58 Diagrama de Pareto Lo primero es lo primero es el pensamiento detrs del diagrama de Pareto. Enfocar los recursos al problema principal desde la izquierda y continuar hacia la derecha. La lnea acumulativa contesta la pregunta Qu clases de defectos constituyen el 80%?0102030405060708090100a b c d e59 Diagrama de Pareto EJEMPLO:Se tienen los defectos siguientes: A. Emulsin20 B. Grasa60 C. Derrame80 D. Tapa barrida30 E. Mal impresa10 Construir un diagrama de Pareto y su lnea acumulativa 60 6A1. Anlisis y documentacin del proceso Entradas y salidas Diagrama de causa efecto espina de pescado Divide los problemas en partes ms pequeas Muestra las causas potenciales de manera grfica Tambin se llama diagrama de ishikawa o de las 4 o6 Ms. Muestra como interactan las diversas causas Sigue las reglas de la tormenta de ideas al generarlas 61 6A1. Anlisis y documentacin del proceso Entradas y salidas Diagrama de causa efecto espina de pescado Una sesin de diagrama de Ishikawa se divide en tres partes: Tormenta de ideas Prioritizar Desarrollo de un plan de accin 62 Diagrama de Ishikawa Anotar el problema en el cuadro de la derecha Anotar en rotafolio las ideas sobre las posibles causas asignndolas a las ramas correspondientes a: Medio ambiente Mediciones Materia Prima Maquinaria Personal y Mtodos o Las diferentes etapas del proceso de manufactura o servicio 63 Lluvia de ideas Tcnica para generar ideas creativas cuando la mejor solucin no es obvia. Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuado El problema a analizar debe estar siempre visible Generar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran nmero de ideas, sin juzgarlas, ni criticarlas Motivar a que todos participen con la misma oportunidad64 DEFINICIN Tcnicadeanlisisparalasolucindeproblemas,quemuestrala relacinentreunacaractersticadecalidadylosfactoresde influencia,ayudndonosaencontrarlascausasposiblesquenos afectan y encontrar su solucin. Diagrama de Causa Efecto65 Diagrama de Ishikawa Medioambiente Mtodos PersonalQuproducebajas ventasdeTortillinasTa Rosa?ClimahmedoCalidad delproductoTipo deexhibidorFalta demotivacinAusentismoRotacin depersonalMaquinara MaterialesClientes conventas bajasMalositinerariosDescomposturadel caminrepartidorDistancia dela agencia alchangarroMedicinSeguimientosemanalConocimientode losmnimos porrutaFrecuenciade visitasElaboracinde pedidosPosicin deexhibidoresFalta desupervicin66 6A.1 Herramientas: Pasos para el Anlisis de Causa y Efecto Paso 1 Declaracin delEfecto Paso 3 Preguntar, por qu?, por qu? por qu? Paso 2 Aadir las ramasprincipales PersonasMquinas CAUSAS EFECTO METODOS MATERIALES 67 6A.1 Herramientas: Pasos para el Anlisis de Causa y Efecto

Sigue 2 reglas sencillas: Regla 1:Preguntar, Por qu?, Por qu?, Por qu? Insiste en cada idea hasta que todas las causas estn en la lista.

Regla 2:Asegurar que la declaracin que se hagas sea una causa,no una solucin! DIAGRAMAS DEC Y E 68 6A1. Reduccin por Votacin de la Lista de Causas Las causas que se encuentran en un crculo son las que recibieron ms votos. El equipo considera que estas son las causas ms importantes del efecto. Participacin deficiente yen declive en losprogramas de mejora PERSONASMQUINAS CAUSAS EFECTO METODOS MATERIALES Causa Importante 69 6A1. Herramientas seleccin de posibles causas El equipo discute la lista de causas de alta prioridad y decide cules son las ms importantes (5 a 7). El equipo se cuestiona lo siguiente: Es una causa? (no una solucin?) Podemos hacer algo respecto a la causa? Estamos seguros que sta cambiar el efecto? Estamos de acuerdo? Causas 1. ________ 2. ________ 3. ________ 4. ________ 5. ________ 70 6A1. Herramientas verificacinde posibles causas Antes de invertir tiempo y dinero en la implementacin de una mejora para contrarrestar una causa, asegurarse que la causa sea real. Estar completamente convencido que la causa eslaverdadera culpable del efecto indeseable. 71 6A1. Herramientas verificacin de posibles causas Para cada causa probable , el equipo deber: Llevar a cabo una tormenta de ideas para verificar la causa. Seleccionar la manera que: represente la causa de forma efectiva, y sea fcil y rpida de aplicar. 72 6A1. Herramientas seleccin de posibles causas CausasForma de Verificacin Seleccionada 1.Establecer el flujo de refrigeracin demoldeo a diferentes niveles,Utilizar un fluxometro exacto en una mquina Recopilar datos pareados (ndice de flujo del refrigerante, dimensin del localizador), crear un diagrama de dispersin y realizar un anlisis de correlacin. 73 6A1. Herramientas verificacin de posibles causas VerificadaCausa Cmo Verificarla Resultados Si No1. Flameado Inspeccionar las partesque no llegan areparacin. Determinar elporcentaje de flameado.No seencontrarondatos queestablecieran alflameado comocausa. XXX2. Verificacin dela Presin deInyeccin Equipar un transductortemporal depresin ycoleccione los datos paraconstruir un diagrama dedispersin depresin delinyector y la variacin dedimensiones del localizadorprincipalDiagrama dedispersinmostr unarelacinnegativa. XXX 3. Prdida de los localizadores principales

Partes inspeccionadasque no llegan areparacin. Determinar elporcentaje que no tienenLocalizadores principalesAusencia de datos queestablecieran al{LB} comocausa. XXX4.Nivel del flujodel refrigerante establecido adiferentesrangos Utilizar un medidor exactode flujo en una mquinacoleccionar los datos yconstruir un diagrama dedispersin de flujo derefrigerante y dedimensiones del localizador principal.Diagrama dedispersinmostr unarelacinpositiva. XXX 4. Mtodo complicadoedecalibracin

Aplicar un estudio dereproduccin yrepetitividad paradeterminar si se requierende nuevos calibradores.El resultado delcalibrador R&Rfue de 74.2%. Elcalibrador actuales deficiente.XXX 5. Las partescaen a uncontenedorrgido Recolectar los datos delos dos histogramas.{Dimensin del Localizador principal de las partes queno cayeron a un contenedorrgido y las partes que s.}LosHistogramasmostraron mayor variacin en la dimensindel localizador principal despusde caer encontenedor rgido

XXX 74 6B. Defectos por unidad y Rendimiento Estndard 75 No Conformidades FALLA: resulta cuando una caracterstica no tiene el desempeo estndar. DEFECTO: resulta cuando una caracterstica no cumple con el estndar. ERROR: resulta cuando una accin no cumple con el estndar. 76 Naturaleza de las oportunidadesLas necesidades vitales del cliente se traducen en Caractersticas Crticas para la Satisfaccin (CTS), Estas a su vez se traducen a Caractersticas Crticas para la Calidad, Entrega y Costo (CTQs, CTDs y CTCs) las cuales tienen impacto en las CTSs. Las Caractersticas Crticas para el Proceso (CTPs), tienen impacto en las CTQs, CTDs o CTCs y son Oportunidades para control 77 Defectos por oportunidad 60 defectos se observaron en 60 unidades producidas (1 Defecto / Unidad). Si se tienen 10 oportunidades de defectos por unidad de producto. Entonces la prob. de que de una oportunidad sea un defecto es 0.10, o 0.90 de que no lo sea. Por tanto se tiene que 0.9010 = 0.3486 es la probabilidad de que una unidad de producto no tenga defectos.78 Diferencia entre YRT y YFT Rendimiento estandard (YRT) Es la probabilidad de que una unidad pase por todos los pasos con 0 defectos Si informa sobre la complejidad del proceso en donde YRT = Y 1 x Y2 x.......x Yn o YRT =e -DPU donde: DPU = defectos por unidad n = nmero de pasos en el procesoYn = rendimiento del paso de proceso n Rendimiento al final (YFT) Es la probabilidad de que una unidad pase el ensamble final con 0 defectos *No informa sobre la complejidad del proceso *YFT = s/u en donde s = unidades aceptadas u = unidades probadas 79 Diferencia entre YRT y YFT Rendimiento estandard (YRT) Rendimiento tomado en cada paso del proceso (oportunidad) Rendimiento antes de la inspeccin o la prueba Incluye retrabajo y desperdicio Siempre YRT Slo observa la calidad del producto terminado 80 Como calcular la capacidad SS para un proceso? Qu proceso se considera?Facturacin y CxC Cuntas unidades tiene el proceso?1,283 Cuntas estan libres de defectos?1,138 Calcular el desempeo del proceso1138/1283=0.887 Calcular la tasa de defectos 1 - 0.887 = 0.113 Determinar el nmero de cosas potencialesque pueden ocasionar un defecto (CTQs) 24 Calcular la tasa de defecto por caract. CTQ 0.113 / 24 = .004709 Calcular los defectos x milln de oportunidades DPMO = 4,709 Calcular #sigmas con tabla de conversin de sigma4.1 81 Todo Una Parte = Al restoP(sin defectos) = 1 - 0.05 = 0.95 Cul es laprobabilidad de que 10 cucharas salgan todas con pasas? La idea bsica Cul es la probabilidad de obtener productos libres de defectos en cada paso? De 60 cucharas 3 no tenan pasas. P (defecto) = 3/60 = 0.05 (existe la posibilidad de que una sola cuchara tenga un defecto) 82 P(sin defectos)=P(sin def.1)xP(sin def.2)...P(sin def.10) P(sin defectos)= 0.9510

P(sin defectos)= = .5987 =59.9% (Es la probabilidad de que diez cucharas salganlibres de defectos) Dado que los eventos independientes son multiplicativos Este mtodo utiliza una distribucin binominal para calcular la probabilidad de diez cucharas libres de defecto consecutivas 83 Extendiendo el concepto 0.96X 0.99= 0.95 Existe una probabilidad del 95% de que cualquier producto pase a travs de ambas operaciones, libre de defectos. Un proceso tiene dos operaciones. Una operacin tiene un rendimiento de primera vez del 96%. La otra tiene un rendimiento de primera vez del 99%. El rendimiento estndar de la produccin es igual a: 96%99%95% Op 1SalidaOp 2x= Sin correcciones

Sin correccionesSin correcciones 84 Rendimiento de la capacidad estandard Recibo de partesdel proveedor 45,000Unidadesdesperdiciadas 51,876Unidadesdesperdiciadas Correcto laprimeravez Despus de lainspeccin de recepcin De las operacionesde Maquinado En los puestos de prueba - 1er intento 125,526 unidades desperdiciadas por milln de oportunidades 28,650Unidadesdesperdiciadas 95.5% de rendimiento 97% de rendimiento 94.4% derendimiento YRT = .955*.97*.944 = 87.4% 1,000,000 unidades Otra forma de estimar las probabilidades Del ejemplo anterior, una muestra de cucharas en la cual, cada cuchara tiene una probabilidad de 0.05 de tener algn defecto. La distribucin de Poisson se puede utilizar si se cumplen las siguientes condiciones: - El tamao de la muestra es de 16 o mayor (60 en el ejemplo) - La poblacin es >10 veces que el tamao de la muestra - La probabilidad de un defecto es menor al 10% ( 5% en el ejemplo) La frmula para esta distribucin es: YRT = e-DPU r d r (d/u) / Y= e u ! 0(-d/u) = (1)e1 Y=(d/u) e 0! (-d/u) Y= e -d/u Derivacin del rendimiento estandard de produccin (rendimiento real) La distribucin Poisson como un Modelo de Defecto en donde: Y es el rendimiento d/u son los defectos por unidad (DPU) r es el nmero de sucesos e es la funcin exponencial (=2.718) Por lo tanto, cuando r = 0, tenemosla probabilidad de cero defectos, ode rendimiento de produccin estandard. Note que ste es diferente al rendimientoclsico (unidades/unidades probadas) Del ejemplo anterior (Ya se haba calculado YRT igual a 0.95) O Y RT = e DPU DPU =Nmero total de defectos = 0.04defectos+0.01 defectos Nmero total de unidades unidad unidad DPU =0.05 defectos unidadOperacin 1 Operacin 2 YRT = e-0.05=2.718-0.05 = 0.95123=95% 96%99%95% Op 1SalidaOp 2x= Sin correccionesSin correccionesSin correcciones 88 Rendimiento promedio normalizado

Debido a que cada paso de un proceso tendr su propio nivel sigma, cmo podemos encontrar un promedio de nivel sigma de todo el proceso? (Este promedio de nivel sigma podra ser prctico. Para comparar procesos de diferentes complejidades) Se utiliza el Rendimiento promedio normalizado o YNA para encontrar este promedio de nivel sigma. YNA = (YRT)1 / #Pasos En donde YRT es el rendimiento de produccin estandard y #Pasos es el nmero de pasos del proceso YNA =(YRT)1 / #Pasos YRT = 95% y #Pasos = 2 YNA = (0.95)1/2 = 0.97467 Rendimiento promedio normalizado Defectos = 1 - 0. 97467 = 0.0602|Encuentrelo en una tabla normal o utilice NORMSINV (YNA) en Excel| Zbench = 1.95 0.97467 1 - 0. 97467 96%99%95% Op 1SalidaOp 2x= Sin correccionesSin correccionesSin correcciones 2b Operacin 1Operacin 2Operacin 3Operacin 4 99% ? 83% 98% 91% 2a 99% 98% 2c VolumenDefectos 2a 100 9 2b 200 2 2c 2505 Defectos(2a) + Defectos(2b) + Defectos(2c) Partes hechas (2a) + Partes hechas (2b) + Partes hechas (2c) Y2 =1 9 + 2 + 5 100 + 200 + 250 Y2 =1 Y2 =0.971 Primero, modele el proceso paralelo como un proceso enserie: determine el rendimiento total de la Operacin 2 Clculo con procesos paralelos (Por ejemplo, cualquiera de las tres mquinas podra ejecutar cualquier operacin #2) 2b Operacin 1Operacin 2Operation 3Operacin 4 99% ? 83% 98% 91% 2a 99% 98% 2c VolumenDefectos 2a 100 9 2b 200 2 2c 2505 A continuacin, encuentre el rendimiento de produccin estandard(YRT) de las operaciones 1 a la 4 utilizando la Y2 calculada. Clculo con procesos paralelos (Por ejemplo, cualquiera de las tres mquinas podra ejecutar cualquier operacin #2) YRT = Y1 x Y2 x Y3 x Y4 YRT = 0.99 x 0.971 x 0.83 x 0.98 = 0.7819 YNA =(0. 7819)1/4 = 0.9404 Defectos = 1 - 0. 9404 = 0.0596|Encuentrelo en una tabla normal o utilice NORMSINV (YNA) en Excel| Zbench = 1.56 92 Complejidad LA GRAN IDEA Tres formas de incrementar el rendimiento estandard: -Hacer cada paso del proceso, ms capaz -Reducir el nmero de pasos en el proceso -Hacer ambos 2b Operacin 1Operacin 2Operacin 3Operacin 4 99% ? 98% 91% 2a99% 98% 2c VolumenDefectos 2a 100 9 2b 200 2 2c 2505 Mejorando el rendimientode la operacin 3 al 100% YRT = Y1 x Y2 x Y3 x Y4 YRT = 0.99 x 0.971 x 1.0 x 0.98 = 0.9421 YNA =(0. 9421)1/4 = 0.9803 Defectos = 1 - 0. 9803 = 0.0197|Encuentrelo en una tabla normal o utilice NORMSINV (YNA) en Excel| Zbench = 2.06 DPU (Defectos por unidad)= Defectos / Unidad TOP (Total Oportunidades)= Unidades * Oportunidades DPO (Defectos por Oportunidad)= Defectos / TOP P(D) = DPO (Probabilidades de que la oportunidad est defectuosa) P(ND) = 1-DPO (Probabilidades de que la oportunidad no est defectuosa) Rendimiento estandard (La probabilidad de que cualquier unidaddel producto pase por todo el proceso, libre de defectos) YRT= P(ND)# de Oportunidad(Poisson)

YRT= P(ND) * P(ND) * P(ND) *......P(ND)n (Binomial) Frmulas a conocer (La distribucin binomial se recomienda para los casos en donde se conoce el rendimiento para cada elemento del proceso u oportunidad). 95 6B. Probabilidad y estadstica 1. Obteniendo conclusiones vlidas 2. Teorema del lmite central y distribucin de muestreo de la media 3. Conceptos de probabilidad bsica 96 6B1. Obteniendo conclusiones vlidas Obtencin de conclusiones estadsticas vlidas El objetivo de la estadstica inferencial es obtener conclusiones acerca de las caractersticas de la poblacin (parmetros o, , t) con base en la informacin obtenida de muestras (estadsticos X, s, r) Los pasos de la estadstica inferencial son: La inferencia La evaluacin de su validez 97 6B. Obteniendo conclusiones vlidas Los pasos de la estadstica inferencial son: Definir el objetivo del problema en forma precisa Decidir si el problema se evaluar con una o dos colas Formular una hiptesis nula y la alterna Seleccionar una distribucin de prueba y un valor crtico del estadstico reflejado el grado de incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo) 98 6B. Obteniendo conclusiones vlidas Los pasos de la estadstica inferencial son: Calcular el valor del estadstico de prueba con la informacin de la muestra Comparar el valor del estadstico calculado vs su valor crtico y tomar una decisin de aceptar o rechazar la hiptesis nula Comunicar los hallazgos a las partes interesadas 99 6B. Obteniendo conclusiones vlidas Hiptesis nula a ser probada (Ho) y alterna (Ha) La hiptesis nula puede ser rechazada o no ser rechazada no puede ser aceptada La hiptesis alterna incluye todas las posibilidades que no estn en la nula y se designa con H1 o Ha. Ho: Ya = Yb Ha: Ya = YbPrueba de dos colas Ho: A > B Ha: A30 (n es tamao de muestra) B) Sigma desconocida y n30 Para la varianza 2(1 ) p pp Znot= 2 222 2, 1 1 , 12 2( 1) ( 1)n nn s n so oo_ _ s s112 6B3. Conceptos bsicos de probabilidad Principios bsicos: La probabilidad de un evento varia entre 0 y 1 (xito) Un evento simple no puede descomponerse El conjunto de resultados posibles del experimento se denomina espacio muestral La suma de las probabilidades en el espacio muestra es 1 Si se repite un experimento un gran nmero de veces N y el evento E es observado nE veces, la probabilidad de E es aproximadamente: ( )EnPEN=113 6B2. Conceptos bsicos de probabilidad Eventos compuestos (conjunto de dos o ms eventos): La unin de A o B contiene elementos de A o de B La interseccin de A y B contiene elementos comunes que se localizan al mismo tiempo en A y en B 114 Probabilidad Introduccin: Diferencia entre experimento deterministico y aleatorio (estocastico).Deterministico. Se obtienen el mismo resultado, con condiciones experimentales similaresLa cada de un cuerpo Aleatorio. Se obtienen distintos resultados , aunque se repitan en condiciones similares. Tiempo de vida de un componente elctrico 115 Conceptos relacionadosa experimentos aleatorios: Variable aleatoria.Es el nombre Que se leda a la caracterstica (s)de inters observada en un experimento.Dicha variable es denotada por letras maysculas. Pueden ser Continuas o Discretas. Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser finito o infinito. Evento. Puede ser uno o una combinacin de los valores Que toma una variable aleatoria 116 Espacio Muestral Consiste en todos los posibles resultados de unexperimento. Para el lanzamiento de una moneda es (A,S). 117 Probabilidad histrica o frecuentista. Una forma de conocer algo acerca del comportamiento de una variable aleatoria es conociendo como se comporto en el pasado. Note Que si un experimento se realizo un gran numero de veces, N, y la se observo Que en n veces suceda el evento A, entonces n/N es un estimacin razonable de la proporcin de tiempos Que el evento A suceder en el futuro.Para un gran numero de experimentos N, se puede interpretar dichaproporcin como la probabilidad de del evento A.PEventoAnNN( ) lim = 118 Ejemplo probabilidad de caras n 05001000 0 .5 1 en los 1900-s , Karl Pearson lanzo una moneda 24,000 veces y obtuvo 12,012 caras, dando una proporcin de0.5005. Definicin Clsica de Probabilidad.La probabilidad de un evento A, puede ser calculada mediante la relacin de el numero de respuestas en favor de A, y el numero total de resultados posibles en un experimento. PEventoAFavorable ATotal resultados( )##=Note Que para las dos definiciones dadas de probabilidad esta ser un numero entre 0 y 1. Ejemplo 1. Se observa si 3 artculos tienen defecto o no , con defecto (m) o sin defecto (v). S={vvv,mvv,vmv,vvm,vmm,mvm,mmv,mmm} es el espacio muestral . Asociada a este espacio muestral se puede definir la variable aleatoria X=# de defectos, la cualtoma los valores {0,1,2,3} 120 Probabilidades de Eventos 1. P(E) > 0 2. P(S) = 1 3. Si E1,En son mutuamente disjuntos entonces = ==|.|

\|niiniiE P E P1 1) ( Resultados1. Si A _ B entonces P(A) s P(B) 2. Si P(Ec)=1-P(E) 3. P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 4. Si B1B2Bn = S entonces = =niiB E P E P1) ( ) ( 121 Ejemplo:Datos (N=20):650 740 760 810 850 850 880 900 930 930 950 960960 980 980 980 1000 1000 1000 1070El experimento:Seleccionamos al azar un numero ?Cul es S?Sea E el evento en el que elegimos el 1000?P(E) =Sea E el evento l numero es menor o igual a 760.P(E) =P(Ec) =122 Sea E1 el evento en el cual elegimos 1000 y E2 es elevento en el cual elegimos un numero menor o igual a760.P(E1E2) =Sea E1 el evento en el cual elegimos 850 yE2 sea elevento el cual obtenemos un numero menor a880.P(E1E2) =Leyes de probabilidades 1. En un experimento, si P(A) e la probabilidad de un evento A, entonces la probabilidad de Que no suceda A es: PA PA ( ) ( ) = 12. En un experimento, si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de Que ocurra A o el evento B es PA o B PA PB ( ) ( ) ( ) = +Para el caso de dos eventos A y B Que no son mutuamente excluyentes. P A o B P A PB P AyB ( ) ( ) ( ) ( ) = + A las dos ecuaciones se les conoce comoLeyes de adicin de probabilidad 3. Ley de probabilidad condicional. Sean A y B dos en un experimento tal Que la ocurrencia de B influye en la ocurrencia de A. Entonces la probabilidad Que ocurra A cuando B ya ocurri esPA BPA BPB( / )( )( )=4. Independencia. Dos eventos A y B se dice Que son independientes si P A B P A ( / ) ( ) =o de otra forma si P A B P APB ( ) ( ) ( ) =Resultado clave en estadstica!!! 125 Probabilidad CondicionalSi A y B son dos eventos y P(B)>0, entonces) () () | (B PB A PB A P=Ejemplo:Barras de acero producidas de un procesoparticular tienenlongitud entre 19.5 y 20.5 cm.Suponga las barras sonigualmente probables de tener cualquier longitud en los espaciosmustrales.Sea A=(19.5, 20.1) y B=(19.8, 20.5).Por lo que P(A) =yP(B) ===) () () | (B PB A PB A P126 Ejemplo Maquina1Maquina 2Maquina3 Proporcin de defectuosos 0.010.020.005 Numero producido 200250350 Si Ud. recibe un embarque de800 fusibles de una planta de produccin con la cantidad y calidad dada en la tabla.Si usted aleatoriamente selecciona uno de esos fusibles cual es la probabilidad que este funcione? S={(M1D), (M1N), (M2D), (M2N), (M3D), (M3N)} P(N) = P(M1N) + P(M2N) + P(M3N) = P(N| M1)P(M1) + P(N| M2)P(M2) +P(N| M3)P(M3) = (10.01)0.25 + (10.02) 0.3125 + (10.005) 0.4375 = 0.989 127 IndependenciaElevento A y B sonindependientes sP(A|B) = P(A)OP(AB)=P(A)P(B)Ejemplo:Maq. 1 Maq. 2 Maq. 3Prop. Dedefec.0.01 0.01 0.01Numeroproducido200 250 350Un proceso manufactura 5 partes.Suponga que salgandefectuosas es, E1,,E5,Son indep. y tienen la misma probabilidad.Cual es laprobabilidad que una falle?Cual es la probabilidad que ninguna falle?128 Reglas de la probabilidad Ley de la Adicin Si 2 eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces laprobabilidad que el evento A o el evento B ocurra es: Ley de la Multiplicacin probabilidad que ambos A y B ocurran es Cuando los eventos A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A) y P(AB) P(B) P(A) B) or P(A + =A)P(A) | P(B B)P(B) | P(A P(AB) = =P(A)P(B) P(AB) =129 Probabilidad Total Si A1,An son mutuamente excluyentes, yeventos exhaustivos, entonces Regla de Bayes==ni 1i i) )P(A A | P(B P(B)===ni 1i i) P(A ) A | P(BA)P(A) | P(BP(B)A)P(A) | P(BB) | P(AB Ai Permutaciones y Combinaciones Las tcnicas de conteo o enumeracin son tiles en la solucin de problemas de probabilidad. Algunos resultados elementales de la teora de anlisis combinatorio Diagramas de rbol Principio de la multiplicacin Permutaciones Combinaciones ParticinDiagramas de rbol En casos simples resultan tiles los diagramas de rbol para enumerar objetos en forma sistemtica. Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta que se obtiene una falla. L2 L3 L4 L1 A1 A1 A1 A2 A2 A2 A3 A3 A3 A2 A1 A3 12 tratamientos Teorema 1. (Principio de multiplicacin) Con m elementosy n elementos es posible formar mn pares que contienen un elemento de cada grupo. aa am 1 2, ,...,bb bn 1 2, ,...,Ejemplo 1.Se lanza una moneda 2 veces. Cul es el numero de resultados posibles?. primer lanzamiento {A,S} segundo lanzamiento{A,S} m=2,n=2,mn=4. Ejemplo 3. De cuantas formas se pueden sacar 2 cartas de una baraja de 52 cartas. m=52 la primera carta n=51 la segunda carta mn=2652formas Generalizacin del principio de multiplicacin Ahora en lugar de dos conjuntos , vamos a suponer r conjuntos. Se desean hacer r decisiones, donde la primera decisin se puede hacer de n1 formas, la segunda de n2, la r-esima de nr formas distintas. Entonces el numero total de decisiones distintas en el orden dado es. n n nr 1 2. . .Ejemplo:Un defecto gentico puede ser trasmitido de madre a hija. Una madre con dicho defecto tiene 4 hijas. De cuantas formas posibles puede presentarse el defecto?. ni=2,i=1,2,3,4. 2*2*2*2= 16 formasEjemplo: Composicin de un elemento electrnico. Aluminio {No, N1, N2, N3, N4} PVC {Po, P1, P2, P3} Manganeso {Ko, K1, K2}5*4*3=60tratamientos. PermutacionesDefinicin.Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una permutacin . El numero resultante de ordenar n objetos diferentes tomando r a la vez ser representado por el smbolonrPAntes revisemos el concepto de factorial !!!!!! Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de Fsica (F), Otro de Matemticas (M). Note Que existen6 formas de acomodar dichos libros. { HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH }Aqu importa el orden3*2*1=6 El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares diferentes es :n n n n ! ( )( )...( )( ) = 1 2 2 1n! se lee como n factorial Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n objetos, tal Que n es mayor o igual que r? En este caso el numero de arreglos resulta ser: n n n n r n r PPnn rrnrn( )( )...( [ ])( [ ])!( )! = =1 2 2 1136 Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un tratamiento que consiste endos aplicaciones de diferentes intensidades de presin. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de administrar las intensidades es importante, cuantos motores se ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?. 10 intensidades (i1,i2,,i10 )y 2aplicaciones. Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),.. P21 01 0 !8 !9 0 = = .137 Combinaciones Una combinacin es un arreglo de distintos elementos , en donde una combinacin difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto. !! En este caso no es importante el orden de los objetos !! Definicin. (Combinaciones).El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero de maneras de formar un subconjunto de tamao r de los n objetos. Esto se denota como:nrnCr| |= |\ .138 CnrPrnr n rrn rn=|\

|.| = = !!!( ) !Teorema 2. Ejemplo: En un lote de produccin 100 chips de computadora, un compradordesea adquirir 10 chips, de cuantasformas se pueden seleccionar 10 chips de ese lote?. Cnrnr n rrn=|\

|.| ==!!( )! )!100!10!(100 10139 Teorema de Particin Teorema 3. (Particin). El numero de formas de particionar n objetos distintos en k diferentes grupos que contienen n1,n2,,nk objetos, respectivamente es: Nnn n ndonde n nkiik= ==!! !... !1 21Ejemplo: Existen 20 bulbos de luz. Los cuales 6 dan luces amarillas, 8 rojas, y 6 anaranjadas. De cuantas formas se pudiera ver el una lnea de bulbos si se colocaran en forma aleatoria? N = =20!6!8!6!116 396 280 , ,140 6C. Colectando y resumiendo datos 141 Colectando y resumiendo datos Tipos de datos Escalas de medicin Mtodos de coleccin de datos Tcnicas para asegurar la exactitud e integridad de los datos Estadsticas descriptivas Mtodos grficos 142 6C1. Colectando y resumiendo datos Tipos de datos Datos por atributos Son datos discretos enteros, por ejemplo 3, 45, 2032. Cuenta, unidades, ocurrencias, bueno malo. Datos por variables Las variables son datos continuos medibles con instrumentoscon nmeros reales, por ejemplo 1.037, 4.69, etc. Longitud, tiempo, volumen, tensin. Es preferible tener informacin por variables, proporcionan mayor informacin. 143 6C1. Colectando y resumiendo datos Tipos de datos Datos de localizacin Contestan a la pregunta Dnde?. Las cartas que utilizan datos de localizacin de defectos se denominan Measles charts o Cartas de concentracin. Por ejemplo mapas con oficinas de distribucin; defectos de pintura en un automovil. Conversin de datos por atributos a variables 10 despostilladuras se pueden reportar como una longitud total de 8.37; 25 rayas de pintura como 3.2 cuadradas de rayones de pintura. 144 6C2. Colectando y resumiendo datos Escalas de medicin En funcin de la deseabilidad estadstica se tiene: EscalaDescripcinEjemplo Nominal Datos como nombres o categoras. No hay orden Bolsa con dulces de colores: 15 amarillos, 10 rojos, 7 verdes Ordinal (rango) Los datos estn ordenados pero sus diferencias no pueden determinarse ni tienen sentido Defectos A ms crticos que los defectos D se tabulan como:A 16, B 32, C 42, D 30 Intervalo Los datos se arreglan por orden y diferencia. No hay punto de inicio de ref. y la razn no tiene significado La temperatura de 3 lingotes es de 200C, 400C y 600C. Notar que 3 veces 200C no es lo mismo que 600C en T. Razn Similar al anterior con un punto cero inicial. Tanto las diferencias como las razones son significativas El producto A cuesta $300 y el B $600. Notar que $600 es tanto como dos veces $300 145 6C2. Colectando y resumiendo datos Escalas de medicin Medidas estadsticas para las escalas de medicin EscalaLocalizacin central DispersinPrueba de significancia Nominal ModaSolo informativaChi cuadrada Ordinal (rango) MedianaPocentajesPrueba de signos o rachas Intervalo Media aritmticaDesviacin media o estndar Prueba t, Prueba F, Anlisis de correlacin Razn Media geomtrica o media armnica Variacin pocentual Similar al anterior 146 6C3. Colectando y resumiendo datos Mtodos de coleccin de datos Incluye mtodos manuales y automticos. Guas: Formular una clara descripcin del problema Definir de manera precisa lo que se va a medir Listar todas las caractersticas importantes a medir Cuidadosamente seleccionar la tcnica de medicin 147 6C3. Colectando y resumiendo datos Mtodos de coleccin de datos Incluye mtodos manuales y automticos. Guas: Construir un formato sencillo de registro Decidir quin colectara los datos Establecer un mtodo de muestreo apropiado Decidir quien analizar e interpretar los resultados Decidir quien reportar los resultados 148 Tipos de informacin para proyectos FALLAPASA Circuito Elctrico TEMPERATURE Termmetro Tiempo VariablesAtributos PASANO PASA Caliper CIUDADUNIDADDESCRIPCIONTOTAL 1$10.00$10.00 3$1.50$4.50 10$10.00$10.00 2$5.00$10.00 ORDEN DE ENVIO Error 149 Plan de recoleccin de datos Un plan de Recoleccin de Datos relacionada con las CTQs de inters es la documentacin de: Qu informacin se va a recolectar Por qu se necesita Quin es responsable Cmo se va a recolectar Cundo se va a recolectar Dnde se va a recolectar 150 Definiciones operativas El Plan de Recoleccin de Datos debera de basarse en las Definiciones Operativas medibles: Definiciones Operativas ya desarrolladas para los clientes CTQs las Ys Se necesita desarrollar Definiciones Operativas para el proceso Xs Y = (X1, X2, X3, X4Xn) CTQProveedor/Entrada/Proceso 151 6C3. Colectando y resumiendo datos Mtodos de coleccin de datos Codificacin de datos Codificar al agregar o restar una constante o multiplicar o dividir por un factor: 152 6C3. Colectando y resumiendo datos Mtodos de coleccin de datos Codificacin por substitucin Para una observacin de 32-3/8, los datos pueden codificarse como enteros expresando el nmero de incrementos de 1/8 de desviacin vs el valor nominal. Codificacin por truncamiento o valores decimales repetitivos: Las mediciones como 0.55303, 0.55310, 0.55308 pueden ser registradas como los dos ltimos dgitos, 3, 10, 8. 153 6C4. Colectando y resumiendo datos Aseg. exactitud e integridad de los datos Los datos malos corrompen el proceso de toma de decisiones Evitar sesgo emocional respecto a tolerancias Evitar redondeo innecesario Si una caracterstica cambia con el tiempo, registrar la medicin inicial y la posterior a la estabilizacin Filtrar los datos para identificar y eliminar errores de captura154 6C4. Colectando y resumiendo datos Aseg. exactitud e integridad de los datos Los datos malos corrompen el proceso de toma de decisiones Si los datos siguen una distribucin normal, determinar si la dispersin de los datos puede ser representada por al menos 8 o 10 incrementos de resolucin. Si no puede ser mejor contar las observaciones. Usar pruebas estadsticas objetivas para identificar outliers o puntos aberrantes Cada identificacin de clasificacin importante debe ser registrada junto con los datos 155 Ventajas del Muestreo Se economizan recursos Se reduce el tiempo Confiabilidad Se pueden proyectar resultados Conceptos bsicos de Muestreo Muestreo: Proceso mediante el cual hacemos inferencia a toda una poblacin observando solo una parte de esta (muestra). Mtodos de muestreo: Es un procedimiento cientfico mediante el cual obtenemos los componentes de una muestra, tratando que la muestra nos de informacin acerca de un parmetro poblacional, y tambin nos permite medir el grado de incertidumbre de equivocarnos en la inferencia. 157 6C4. Colectando y resumiendo datos Aseg. exactitud e integridad de los datos Muestreo aleatorio En este caso cada parte tiene la misma oportunidad de ser seleccionada Muestreo secuencial Se toman piezas de una lnea continua y se muestrea hasta que se hayan inspeccionado ms de 3 veces el tamao de muestra de un plan de muestreo simple Muestreo estratificado Se seleccionan muestras aleatorias de cada uno de los grupos o procesos diferentes, deben reflejar la frecuencia de los gruposMuestreo Simple Aleatorio Cada uno de los elementos de una poblacin tiene la misma probabilidad de salir en una muestra. La seleccin se hace generalmente usando nmeros aleatorios.(de la uniforme 0,1). Ejemplo: Se tiene una poblacin de 100 artculos. Se desean seleccionar 5. Para obtener la muestra se deben enumerar los 100 artculos y se saca una lista de 5 nmeros al azar entre 1 y 100. ( Usando la computadora generamos una lista de 5 nmeros de la uniforme 0,1 y los multiplicamos por 100 y solo tomamos las primeras dos decimales.). Muestreo Sistemtico En este mtodo enumeramos los elementos de la poblacin de 1 a N. La muestra es tomada en intervalos de N/n. (con n= tamao de la muestra).Ejemplo: de los 100 artculos anteriores si muestreamos sistemticamente para n=5. Tomaremos la muestra cada 100/5=20 objetos. (i.e. Tomamos el 1er. Articulo , luego el 20esimo., etc..). Muestreo con probabilidades desiguales. til en poblaciones con mucha variabilidad. Hacemos que aparezcan con mayor los datos grandes o pequeos. 160 6C5. Colectando y resumiendo datos Estadstica descriptiva La estadstica descriptiva incluye: Medidas de tendencia central Medidas de dispersin Funciones de densidad de probabilidad Distribuciones de frecuencia y Funciones acumulativas de distribucin 161 6C5. Colectando y resumiendo datos Estadstica descriptiva Medidas de tendencia central Representan las diferentes formas de caracterizar el valor central de un conjunto de datos Media muestral poblacional =nxix =nxiEjemplo1:Enunequipodeftbol,unamuestradeestaturasdesusintegrantessonlas siguientes: 1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media. 73 . 11119= = =nxix162 6C5. Colectando y resumiendo datos Estadstica descriptiva Medidas de tendencia central Mediana: es el valor medio cuando los datos se arreglan en orden ascendente o descendente, en el caso de n par, la mediana es la media entre los valores intermedios Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior cual es la mediana?Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene:1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84;como tenemos 11 datos el nmero es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el nmero queocupalasextaposicinenlosdatosordenadosencontramoselvalordelamediana 73 . 1~ = x( ) | | ( )21 2 2~+ +=n nX163 6C5. Colectando y resumiendo datos Estadstica descriptiva Medidas de tendencia central Moda: Valor que ms se repite, puede haber ms de una Media acotada (Truncated Mean): Se elimina ciertoporcentaje de los valores ms altos y bajos de un conjunto dado de datos (tomando nmeros enteros),para los valores restantes se calcula la media. Ejemplo 3: Para la siguiente serie de datos calcule la media acotada al 20%: 68.7,34.3,97.9,73.4,8.4,42.5,87.9,31.1,33.2,97.7,72.3,54.2,80.6,71.6,82.2, Como tenemos 11 datos, el 20% de 11 es 2.2, por lo cual eliminamos 2 datos el ms bajo y el ms alto, ordenado los datos obtenemos: 8.4,31.1,33.2,34.3,42.5,54.2,68.7,71.6,72.3,73.4,80.6,82.2,87.9,97.7,97.9,losvaloresa eliminarson:8.4y97.9;calculandolamediadelosdatosrestantesobtenemos( ) 82 . 63 20 ,. = x 164 6C5. Colectando y resumiendo datos Estadstica descriptiva 165 6C5. Colectando y resumiendo datos Estadstica descriptiva Medidas de dispersin: Rango: Es el valor mayor menos el valor menor de un conjunto de datos Varianza: es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media (n para poblacin y n-1 para muestra para eliminar el sesgo) Por ejemplo para el conjunto de datos siguiente: 2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0 Su rango es R = 4.0 2.0 = 2.0 =nx xi22) (o =1) (22nx xis166 6C5. Colectando y resumiendo datos Estadstica descriptiva Medidas de dispersin: Desviacin estndar: es la raz cuadrada de la varianza ya sea poblacional o o muestral S =1) (22nx xis =1) (2nx xisEjemplo 4: La resistencia al rompimiento de dos muestras de botellas es la siguiente: Muestra 1:230250245258265240 Muestra 2:190228305240265260 s = 5790 = 12.56s = 57510 = 38.75 167 6C5. Colectando y resumiendo datos Estadstica descriptiva Medidas de dispersin: Coeficiente de variacin: es igual a la desviacin estndar dividida por la media y se expresa en porcentaje ) 100 ( var . .XsCV iacin de e Coeficient = =Por ejemplo si la media de tiempos de espera es de 78.7 y su desviacin estndar es 12.14, el CVt: % 05 . 12 ) 100 (7 . 7814 . 12= =tCVPor otra parte si la media de salarios es de 10 y su desviacin estndar de 2, el CVs de salarios es: % 20 ) 100 (102= =sCVPor tanto la dispersin de los salarios es mayor que la de los tiempos de espera, es posible comparar estas dispersiones con el CV aunque los dos conjuntos de datos sean completamente dismbolos. 168 6C5. Colectando y resumiendo datos Estadstica descriptiva Funcin de densidad de probabilidad El rea bajo la curva de densidad de probabilidad a la izquierda de un valor dado x, es igual a la probabilidad de la variable aleatoria en el eje x para X50) y muestras pequeas (n 5 222 n x p pxnx X P x fx n x,..., 1 , 0 ) 1 ( ) ( ) ( = ||.|

\|= = =La variable aleatoria X tiene una distribucin binomial ) 1 ( ) () (2p np X Vnp X EXX = == =oTiene media y varianza. 223 Distribucin de Poisson Se utiliza para modelar datos discretos Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamao de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6 224 Distribucin de PoissonUna Variable aleatoria X tiene distribucin Poisson si toma probabilidades con. ,... 1 , 0!) ( = =xxex fxp np n= == o225 La Distribucin Normal 226 No existen en la naturaleza dos cosas exactamente iguales, ni siquiera los gemelos, por tanto la variacin es inevitable y es analizada por la Estadstica Describiendo la variabilidad 227 La estadstica nos proporciona mtodos para organizar yresumir informacin, usndola para obtener diversas conclusiones Por ejemplo, s deseamos saber el promedio de peso de las personas en una poblacin tenemos dos opciones: Pesar a todas y cada una de las personas, anotar y organizar los datos, y calcular la media. Pesar solo una porcin o subconjunto de la poblacin (muestra).Registrar y organizar los datos y calcular la media de la muestra, tomndola para pronosticar o Inferir la media de toda la poblacin. La Estadstica 228 Definiciones Poblacin: Es la coleccin de todos los elementos (piezas, personas, etc.). En nuestro caso sera un nmero infinito de mediciones de las caractersticas bajo estudio. Muestra:Es una parte o sobconjunto representativo de la poblacin, o sea un grupo de mediciones de las caractersticas. Distribucin:Eslaformadelpatrndevariacin observado. . 229 Definiciones Estadstico: Es una medicin tomada en una muestra que sirve para hacer inferencias en relacin con una poblacin (media de la muestra, desviacin estndar de la muestra). Parmetro: Es el valor verdadero en una poblacin (media, desviacin estndar, se indican con letras griegas) Datos Variables o continuosLos datos que tienen un valor real (temperatura, presin, tiempo,dimetro,altura ) Datos por atributos: Bueno - malo, pasa - no pasa, etc. Los primeros industriales frecuentemente se basabanen el conocimiento de limites normalespara clasificar artculos o procesoscomo correctoso de otro modo. Por ejemplo, el colesterol arriba de 250 mg/dl es ampliamente conocido que incrementa el riesgo de un paro cardiaco. Una determinacin precisa - pudiera ser asunto de vida o muerte. Sin embargo , no todas las variables son normales. Por ejemplo: urea y ph IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIN NORMAL Abraham Simon deCarlFrancis de MoivreLaplaceGauss Galton CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIN NORMAL Ladistribucin normal es simtrica alrededor de su media. Esasintotica - la curva se acerca aeje x pero nunca lo toca. La curva normales acampanaday tiene un solo pico en toda la distribucin. La media, mediana, y moda de la distribucin son las mismas y estn localizadas en el pico. La mitad del rea de la curva esta arriba del punto central (pico), y la otra mitad esta abajo. CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL Tericamente, la curva se extiende a - infinito Tericamente, la curva se extiende a+ infinito Media, mediana, y moda son iguales Cola Cola La Normalis simtrica -- 233 234 f tt( ) e x p = |\

|.|

((12122o toDistribucin dela Funcin Normal Funcin de Densidad de Probabilidad NormalDistribucin Normal = 500 o = 30 o = 50 o = 70 0.0000 0.0020 0.0040 0.0060 0.0080 0.0100 0.0120 0.0140 2004006008001000 Tiempo f(t) Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estndar diferentes = 20 o = 3.1 o = 3.9 o = 5.0 Normales con Medias yDesviaciones estndar diferentes = 5, o = 3 = 9, o = 6 = 14, o = 10 237 La distribucin Normal estndar La distribucin normal estndar es una distribucin de probabilidad que tiene media 0 y desviacin estndar de 1. El rea bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a ms infinito vale 1. La distribucin normal es simtrica, es decir cada mitad de curva tiene un rea de 0.5. La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estndar, su nmero se describe con Z. Para cada valor Z se asigna una probabilidad o rea bajo la curva mostrada en la Tabla de distribucin normal238 Las distribuciones pueden variar en: POSICINAMPLITUD FORMA O TENER CUALQUIER COMBINACION 239 xx+sx+2sx+3sx-sx-2sx-3s X 3o2oo+o+2o+3o Para la poblacin - se incluyen TODOS los datos Para la muestra La Distribucin Normal 240 z 0123-1-2-3 xx+ox+2ox+o3x-ox-2ox-3o X La desviacin estndar sigma representa ladistancia de la media al punto de inflexin de lacurva normal La Distribucin Normal Estndar Alrededor de 68 %del area bajo la curva normal est entre ms unay menos unadesviacin estndar de la media.Esto puede ser escrito como:m 1s. Cerca del 95 % delrea bajo la normalest entre msy menos 2 desviaciones estndar de la media,m2s. Prcticamente toda (99.74 %) el rea bajo la normal esta entre 3 desviaciones de la media m3s.AREA BAJO LA CURVA NORMAL242 Distribucin normal estndar con media = 0 y desviacin estndar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s 1. rea desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el rea requerida Z Area 2. Un valor de Z especfico para una cierta rea (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, o DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del rea y se obtiene la Z Clculos con Excel Dist. Normal Estndar +1o+2o+3o1o2o +3o Entre: 1.68.26% 2.95.44% 3.99.97% 244 68% 34% 34% 95% 99.73% +1s +2s +3s Caractersticas de la Distribucin Normal El valor de Z Determinaelnmerodedesviacionesestndar entrealgnvalorxylamediadelapoblacin,mu Dondesigmaesladesviacinestndardela poblacin. En Excel usar Fx, ESTADISTICAS, NORMALIZACIN, para calcular el valor de Z z =x - 246 68% 34% 34% 95% 68% 99.73% 68% 2.356%2.356% Proceso con media =100 y desviacin estndar = 10 70 8090 100110 120130 90110 80 120 70 130 247 reas bajo la curva normal Distribucin normal estndar con media = 0 y desviacin estndar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s 1. rea desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el rea requerida Z Area 2. Un valor de Z especfico para una cierta rea (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, o DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del rea y se obtiene la Z Clculos con Excel Dist. Normal Estndar Distribucin normal, dadas una media y desviacin estndar:1. rea desde menos infinito a X se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS,DISTR.NORM, dar el valor de X, Media, Desviacin Estndar s, VERDADEROy se obtendr el rea requerida X Area 2. Un valor de X especfico para una cierta rea (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, DISTR.NORM.INV, dar el valor del rea, Media y Desviacin Estndary se obtendr el valor de la X Clculos con Excel Distr. Normal 1. Identificar la variable de inters. 2. Identificar los parmetros de la variable (su media ydesv. estndar). 3. Cual es la pregunta rea bajo la curva de probabilidad normal? 4. Convertir los valores a la distribucin normal estndar (estandarizacinZ = (X-Media)/S) . 5. Encuentre la probabilidad en tabla de la normal estndar o por Excel. Calculo de Probabilidades normales El agua usada diariamente por persona en Mxico est distribuida normalmente con media 20 litros y una desviacin de 5 lts.. Entre que valores cae cerca del68% el agua usada por una persona en Mexico? m 1s = 20 1(5).Esto es, cerca del 68% de la cantidad usada por persona cae entre 15 lts. y 25 lts.. De manera similar para 95% y 99%, el intervalo ser de 10 lts a 30 lts y 5 lts a 35 lts. EjemploEl agua usada diariamente por persona en Mxico es distribuida normalmente con media 20 litros y una desviacin de 5 lts.Sea X el uso diario de agua. Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use menos de 20 lts./dia? El valor zasociado es z = (20 - 20)/5 = 0.entonces, P(X < 20) = P(z < 0) = 0.5. Ejemplo Queporcientousa entre 20 y 24 lts? Elvalue z asociado conX = 20 es z = 0 y con X = 24, z = (24 - 20)/5 = 0.8. Entonces, P(20 < X < 24) = P(0 < z < 0.8) =P(0.8) - P(0) = 0.7881- 0.5 = 0.2881 o 28.81%. Que porciento usa entre 16 y 20 lts? El valor z1 para X = 16 esz1 = (16 - 20)/5 = -0.8, yparaX = 20, z2 = 0.Entonces, P(16 < X < 20) =P(-0.8 < z < 0) = P(0) - P(-0.8) = 0.5 - 0.2119 = 0.2881 = 28.81%. Ejemplo 0.8 P(0 < z < 0.8) = 0.2881. Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use mas de 28 lts? El valor z asociado a X = 28 es z = (28 - 20)/5 = 1.6.Ahora, P(X > 28) = P(z > 1.6) = 1 - P(z < 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548. Ejemplo P(z > 1.6) = 1 - 0.9452= 0.0548 Area = 0.9452 1.6 z Que porcentaje usa entre 18 y 26 lts? El valor z asociado con X = 18 es z = (18 - 20)/5 = -0.4, y para X = 26,z = (26 - 20)/5 = 1.2.entonces, P(18 < X < 26)= P(-0.4 < z < 1.2) = F(1.2) - F(-0.4)= 0.8849 - 0.3446 = 0.5403. Ejemplo 258 El tiempo de vida de las bateras del conejito tiene una distribucin aproximada a la normal con una media de 85.36 horas y una desviacin estndar de 3.77 horas. Qu porcentaje de las bateras se espera que duren 80 horas o menos? Cul es la probabilidad de que una batera dure entre 86.0 y 87.0 horas? Cul es la probabilidad de que una batera dure ms de 87 horas? Ejemplos Que porcentaje de las bateras se espera que duren 80 horas o menos? Z= (x-mu) / s Z = (80-85.36)/(3.77)=- 5.36/ 3.77 = -1.42 85.36 80 -1.420 rea bajo la curva normal 01 86 87 85.36 Cul es la probabilidad de que una batera dure entre 86.0 y 87.0 horas?rea bajo la curva normal 85.3687 Cul es la probabilidad de que una batera dure ms de 87 horas? 1.67 = .33 33% de las veces una batera durar ms de 87 horas rea bajo la curva normal 262 Considere una media de peso de estudiantes de 75 Kgs. con una desviacin estndar de 10Kgs. Contestar lo siguiente: Cul es la probabilidad de que un estudiante pese ms de 85Kgs.? 2. Cul es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 50Kgs.? 3. Cul es la probabilidad de que pese entre 60 y 80 Kgs.?. 4. Cul es la probabilidad de que pese entre 55 y 70 Kgs.? 5. Cul es la probabilidad de que pese entre 85 y 100Kgs.? Ejercicios 263 Distribucin Bivariada La distribucin conjunta de dos variables es llamada una distribucin bivariada. El coeficiente de correlacin es : 264 Distribucin Exponencial Se usa para modelar artculos con una tasa de falla constante y est relacionada con la distribucin de Poisson. Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recproco de x, y = 1/x sigue una distribucin de Poisson y viceversa. La funcin de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0 xxe e x fuu= =1) (265 Distribucin Exponencial Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la media La funcin de densidad de la distribucin exponencial El modelo exponencial, con un solo parmetro, es el ms simple de todo los modelos de distribucin del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:Distribucin Exponencial h = ~ = = = = )(:FALLADETASA1 :VARIANZA 693.02ln :MEDIANA 1 :MEDIA )(:PDF )(:DADCONFIABILI 1)(:CDF 2 t m etf etR etF t t t Funcin de Densidad de Probabilidad Exponencial 0.00000.00050.00100.00150.00200.00250.00300.00350 500 1,000 1,500 2,000Tiempof(t) = 0.003, MEDIA = 333 = 0.002, MEDIA = 500 = 0.001, MEDIA = 1,000 267 R(t) = e(-t) (Confiabilidad) Funcin de Confiabilidad Exponencial0.0000.2000.4000.6000.8001.0001.2000 500 1,000 1,500 2,000TiempoR(t) = 0.003, MTBF = 333 = 0.002, MTBF = 500 = 0.001, MTBF = 1,000 Distribucin Exponencial 268 h(t) = = 1 / MEDIA (Velocidad de Falla) Funcin de la Tasa de Falla Exponencial0.0000.0010.0020.0030.0040 500 1,000 1,500 2,000Tiempoh(t) = 0.001, MTBF = 1,000 = 0.002, MTBF = 500 = 0.003, MTBF = 333 Distribucin Exponencial Note que la tasa de falla tiende a ser una constante para cualquier tiempo. La distribucin exponencial es la nica que tiene una velocidad de falla constante 269 Distribucin Exponencial Es usada como el modelo, para la parte de vida til de la curva de la baera, i.e., la tasa de falla es constante Los sistemas complejos con muchos componentes y mltiples modos de falla tendrn tiempos de falla que tiendan a la distribucin exponencial Desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribucin ms conservadora para prediccin. Distribucin Exponencial La forma de la exponencial siempre es la misma 270 Distribucin Exponencial La Distribucin exponencial de 2 parmetros tiene las siguientes ecuaciones: h = +~+ += = = = )(:FALLADETASA1 :VARIANZA 693.02ln :MEDIANA 1 :MEDIA )(:PDF )(:DADCONFIABILI 1)(:CDF 2 )( )( )( t m etf etR etF t t t es el parmetro de localizacin, si es positivo, cambia el comienzo de la distribucin por una distancia a la derecha del origen, significando que las posibilidades de falla empiezan a ocurrir slo despus de horas de operacin, y no pueden ocurrir antes. Note que la varianza y la tasa de falla son iguales a las de la exponencial de un parmetro 271 Distribucin Lognormal La transformacin ms comn se hace tomando el logaritmo natural, pero tambin se puede hacer con los logaritmos base 2 y base 10. Y = x1 x2 x3 Ln y = ln x1 + ln x2 + ln x3 La funcin de densidad de probabilidad lognormal es con Y = ln(t): 22121) (||.|

\| =yyyyett fot o272 Distribucin Lognormal La mediay la varianza de la distribucin lognormal son las siguientes: ) 2 / (2o += e Media) 1 )( (2 2) 2 ( =+ o o e e Var273 Un tiempo de falla se distribuye segn una Lognormal si el logaritmo del tiempo de falla est normalmente distribuido. La Distribucin Lognormal es una distribucin sesgada hacia la derecha. La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuye despus. Distribucin Lognormal274 Si un tiempo t est distribuido Lognormal, t~LN(t, ot) y si Y = ln(t) entonces Y~N(y, oy) Distribucin Lognormal22121) (||.|

\| =yyyyett fot o22121) (||.|

\| =yyyye y fot o||.|

\|u =yT tt Fo) ln() (50||.|

\| u =yyyy Fo ) (||.|

\|+ =2exp250yy tTo ) ln(50Ty= 22501) exp(tttyTo+= =y =PDF CDF MEDIA MEDIANA ty = ln(t) ||.|

\|+221 lntto( ) 1 ) exp( ) exp(2 2 250y yT o oVARIANZA u(z) es la CDF de la Normal estndar 275 La Distribucin de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo muy flexible que puede empricamente ajustar a muchos tipos de datos de falla. En su forma de dos parmetros tiene los parmetros sln(t) = sy parmetro de forma, y T50 = la mediana (un parmetro de escala) Si el tiempo para la falla t, tiene una distribucin Lognormal, entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tiene una distribucin normal con media my = ln T50 y desviacin estndar sy. Distribucin Lognormal276 Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlos as: Determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datos normales resultantes. Posteriormente, haga la conversin a tiempo real y a los parmetros lognormales usando oy como la forma lognormal y T50 = exp(y) como (mediana) el parmetro de escala. Distribucin Lognormal277 Distribucin Lognormal Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t ) } , , (min{1t T T P t T PnModelo Weibull 295 Distribucin Weibull La distribucin de Weibull es un modelo de distribucin de vida til muy flexible, para el caso de 2 parmetros: ( )12211: FALLA DE TASA 1121 : VARIANZA2 ln : MEDIANA11 : MEDIA) ( : PDF) ( : DAD CONFIABILI1 ) ( : CDF||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|((

||.|

\|+ I ||.|

\|+ I||.|

\|+ I =||.|

\|== =||q|qq| q||q|qq|qq q||||tett fe t Re t FtttDonde h (etha) es un parmetro de escala (la vida caracterstica) y beta se conoce como el parmetro de forma (pendiente) y G es la funcin Gamma con G(N)=(N-1)! para N entero 296 Distribucin Weibull ( )12211: FALLA DE TASA 1121 : VARIANZA2 ln : MEDIANA11 : MEDIA) ( : PDF) ( : DAD CONFIABILI1 ) ( : CDF||.|

\| ||.|

\| ||.|

\| ||.|

\| ((

||.|

\|+ I ||.|

\|+ I+||.|

\|+ I + =||.|

\| == =||q |qq|q||q|qq |q qq||||tett fe t Re t FtttUna forma ms general de 3 parmetros de la Weibull incluye un parmetro de tiempo de espera localizacin desplazamiento).Las frmulas se obtienen reemplazando t por (t-g).No puede ocurrir una falla antes de g horas, el tiempo comienza en g no en 0. 297 Funcin de Distribucin Weibull f tt t( ) exp =|\

|.||\

|.|

(((`)|q q q| | 1Funcin de Densidad de Probabilidad Weibull 0.00000.00100.00200.00300 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempof(t)| = 0.5 q = 1000 | = 1.0 q = 1000 | = 3.4 q = 1000 Distribucin Weibull 298 Funciones de Distribucin Weibull R tt( ) exp = |\

|.|

(((`)q|Funcin de Confiabilidad Weibull0.0000.2000.4000.6000.8001.0000 500 1000 1500 2000 2500 3000TiempoR(t)| = 0.5 q = 1000 | = 1.0 q = 1000 | = 3.4 q = 1000 Distribucin Weibull 299 Funciones de Distribucin Weibull h | qq | ()t t = | \ | . | 1 Funcin Tasa de Falla Weibull0.00000.00200.00400.00600 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempoh(t)| = 3.4 q = 1000 | = 1.0 q = 1000 | = 0.5 q = 1000 Distribucin Weibull 300 Distribucin Weibull La funcin pdf de la distribucin exponencial modela la caracterstica de vida de los sistemas, la Weibull modela la caracterstica de vida de los componentes y partes Modela fatiga y ciclos de falla de los slidos Es el traje correcto para datos de vida La funcin de distribucinWeibull pdf es una distribucin de la confiabilidad de los elementos de una muestra Muy flexible y puede tomar diferentes formasDistribucin Weibull 301 Distribucin Weibull Tiene usted una Distribucin Weibull con |=2 y q=2, Cul es la media y la varianza?221121 varianza11((

||.|

\|+ I ||.|

\|+ I =||.|

\|+ I =|q|q|q m1 2 3 Archivo Weibull.xls 302 tiempo Tiempo de vida til Fallas tempranas Desgaste decreciente | < 1 constante | = 1 creciente | > 1 | < 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil | = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias 1< | < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosin, erosin | > 4 aumenta rpidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y envejecimientoLas tres porciones de la curva de tina de la baeratienen diferentes ndices de falla. Las fallas tempranas se caracterizan por un ndice de falla decreciente, la vida til por un ndice de falla constante y el desgaste se caracteriza por un ndice de falla creciente. La distribucin de Weibull puede modelar matemticamente estas tres situaciones. Distribucin Weibull | < 1 (Tasa de riesgo decreciente) Implica mortalidad infantil Si esto ocurre, puede existir: -Carga, inspeccin o prueba inadecuada -Problemas de Manufactura -Problemas de reparacin Si un componente sobrevive la mortalidad infantil , la resistencia a fallar mejora con la edad. | = 1 (Tasa de riesgo constante) Implica fallas aleatorias(Distribucin Exponencial) Una parte vieja es tan buena como una nueva Si esto ocurre: -Mezcla de modos de falla -Las fallas pueden deberse a eventos externos, como:luminosidad o errores humanos -Fundido y removido antes de su desgaste 1 < | < 4 (Tasa de Riesgo creciente) Si esto ocurre -La mayora de los baleros y engranes fallan -Corrosin o Erosin -El reemplazo programado puede ser efectivo en costo | =3.44aprox. Normal, | =2Rayleigh | > 4 (La tasa de riesgo crece rpidamente) Implica edad avanzada y rpido desgaste Si esto ocurre, sospeche de: -Propiedades del material -Materiales frgiles como la cermica -Variabilidad pequea en manufactura o material La Distribucin Weibull - Interpretacin 304 Cuando |= 2.5 la Weibull se aproxima a la distribucin Lognormal(estas distribuciones son tan cercanas que se requieren tamaos de muestra mayores a 50 para distinguirlas).Cuando se modela el tiempo que se necesita para que ocurran reacciones qumicas, se ha mostrado que la distribucin Lognormal usualmente proporciona un mejor ajuste que la Weibull. Cuando |= 5 la Weibull se aproxima a una Normal puntiaguda. Distribucin Weibull 305 Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla observadas que no pueden modelarse adecuadamente mediante la Weibull. Algunos ejemplos son. 1.La resistencia a la ruptura de componentes o el esfuerzo requerido para la fatiga de metales. 2.El tiempo de falla de componentes electrnicos. 3.El tiempo de falla para artculos que se desgastan, tales como las llantas de un automvil. 4.Sistemas que fallan cuando falla el componente ms dbil del sistema(la distribucin Weibull representa una distribucin de valor extremo). Distribucin Weibull 306 Qu pasa en una distribucin Weibull si el tiempo tiene el valor de la vida caracterstica, t = q? Distribucin Weibull 6321 . 0 ) ( 1 ) (3678 . 0 exp ) (t siexp ) (1= = = == =)`(((

||.|

\| = ==)`(((

||.|

\| =q qqqqqq||t R t Fe t Rtt RAl llegar al tiempo de vida igual a la vida caracterstica el 63.2% de los elementos habr fallado. Este hecho se usa en las grficas para identificar el valor de h (eta) Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial, recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuando b = 1. 307 Nmero de ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes metlicas, en niveles de tensin mucho menores que sus lmites Representa bien el tiempo de falla de los dispositivos mecnicos, especialmente en el caso de uso La resistencia de materiales frecuentemente sigue una distribucin Lognormal Las variables de peso son frecuentemente bien representadas con una distribucin Lognormal Es una buena distribucin para cualquier variable La medida de cualquier resultado el cual es el resultado de una proporcin o efecto multiplicativo es Lognormal Distribucin Lognormal308 Distribuciones muestrales 309 A las distribuciones de los estadsticas muestrales se les llama distribuciones muestrales. POBLACION 310 Distribuciones Derivadas delmuestreo de Poblaciones Normales Poblacin Muestra Aparecen distribuciones muestrales: Normal, Chi-cuadrada, t-student, F 311 Distribucin de la Media:Sies una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribucin normal.Entonces se distribuye normal con media y varianzanX X X ,..., ,2 1) , (2o nX, n /2o) / , (2n n X o 312 6D1. Distribuciones usadas normalmente Distribucin Chi Cuadrada Esta distribucin se forma al sumar los cuadrados de las variables aleatorias normales estndar. Si Z es una variable aleatoria normal, entonces el estadstico Y siguiente es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de libertad. 2 232221....nz z z z y + + + + =313 Distribucin de la varianza. Repaso de la distribucin ji-cuadrada. La funcin de densidad de probabilidad con k grados de libertad y la funcin gama es:. 0 ,221) (2122>((

I=x e xkx fx kk k=grados de libertad. (1,2,...) 314 K=1 K=5 K=25 K=50 Grficas de la distribucin ji-cuadrada Con k grande ji-cuadrada se hace normal 315 Media y varianza de una ji-cuadrada. E(X)=k V(X)=2k Calculo de puntos crticos usando las tablas de ji-cuadrada o _o= > ) (2,kX P316 Ejemplo: Calcule el valor critico que satisface05 . ) (220 , 05 . 0= > _ X P41 . 31220 , 05 . 0= _De tablas de ji-cuadrada con alfa=.05 y k=20 317 Resultado:Sies una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribucin normal.Entoncesse distribuye ji-cuadrada con k= n-1 grados de libertad. Donde S cuadrada es la varianza muestral. nX X X ,..., ,2 1) , (2o n22) 1 (Sno2122) 1 (nSn_o318

Distribucin t-student Sies una muestra aleatoria de unaPoblacin (X) con distribucin normal.Entoncesse distribuyet-student conn-1 grados de libertad. nX X X ,..., ,2 1) , (2o n) / ( ) ( n s X 1) / ( ) ( nt n s X 319 ) , (] 1 2 / ][ 2 / [] 2 / ) 1 [() (2 / ) 1 ( 2 e+ I+ I=+xx k kkx fktFuncin de Distribucin t-student K=1 K=10 K=100 320 Funcin de Distribucin t-student 321 Distribucin t de Student La media y la varianza de la distribucin t son: De una muestra aleatoria de n artculos, la probabilidad de que Caiga entre dos valores especificados es igual al rea bajo la distribucin de probabilidad t de Student con los valores correspondientes en el eje X, con n-1 grados de libertad 0 = 3 ;2>= kk ko3 ;2>= kk kon sxt/ =322 Distribucin t de Student Ejemplo: La resistencia de 15 sellos seleccionados aleatoriamente son: 480, 489, 491, 508, 501, 500, 486, 499, 479, 496, 499, 504, 501, 496, 498 Cul es la probabilidad de que la resistencia promedio de los sellos sea mayor a 500?. La media es 495.13 y la desviacin estndar es de 8.467. t = -2.227 y el rea es 0.0214 3 ;2>= kk ko227 . 215 / 467 . 8500 13 . 495 == t323 Distribucin F Surge de dividir dos ji-cuadradas independientes F=(W/u)/(Y/v) W se distribuye ji-cuadrada con u g.l. Y se distribuye ji-cuadrada con v g.l. El uso de esta distribucin es para comparar varianzas (Recuerde el anlisis de varianza) 324 Distribucin F. ( )) , 0 (] 1 ][ 2 / [ ) 2 / (/ ] 2 / ) [() (2 / ) (1 ) 2 / (2 e+ I I+ I=+xxvuv ux v u v ux fv kuu u=10 v=5 u=20 v=20 Funcin de densidad de la Distribucin F 325 Distribucin F. Funcin de densidad de la Distribucin F 326 Distribucin F Para determinar la otra cola de la distribucin F se determina con la expresin. Falfa, k1, k2 = 1 / F(1-alfa), k2, k1 Dado K1 = 8 y K2 = 10, F0.05 = 3.07, encontrar el valor de F0.05 con K1 = 10 y K2 = 8 F0.05,10,8 = 1/ F0.95,8,10 = 1/ 3.07 = 0.326 327 CONTENIDO Introduccin Capacidad a partir de histogramas Capacidad de procesos en Seis Sigma Capacidad a partir de papel normal Capacidad a partir de cartas de control Capacidad de los sistemas de medicin Ejercicios de aplicacin 328 6E. Capacidad de lossistemas de medicin 329 Contenido Mtodos de medicin Anlisis de sistemas de medicin Metrologa 330 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Cuidado de instrumentos de medicin Los instrumentos de medicin son costosos y deben tratarse con cuidado, deben calibrarse en base a un programa as como despus de sospecha de dao Superficies de Medicin / Referencia Es la superficie de referencia para realizar las mediciones. Herramientas de transferencia No tienen escala de lectura, por ejemplo, los calibradores de resorte. La medicin es transferida a otra escala de medicin para lectura directa. 331 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Gages o escantillones por atributos Son gages fijos para inspeccin pasa no pasa. Por ejemplo gages maestros, plug gages, gages de contorno, thread gages, gages de lmite de longitud, gages de ensamble. Slo indican si el producto es bueno o malo. Gages o escantillones por variables Proporcionan una dimensin fsica. Por ejemplo reglas lineales, calibradores verniers, micrmetros, indicadores de profundidad, indicadores de excentricidad, etc. Indican si el producto es bueno o malo respecto a las especificaciones para capacidad. 332 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Seleccin por atributos Son pruebas de seleccin realizadas en una muestra con dos resultados posibles, aceptable o no aceptable. Como se realiza a toda la poblacin o a una proporcin grande de la misma, debe ser de naturaleza no destructiva. 333 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Seleccin por atributos, caractersticas principales: Un propsito claramente definido Alta sensibilidad al atributo evaluado. Equivale a una tasa baja de negativos falsos. Alta especificidad al atributo que est siendo medido. Esto equivale a una baja tasa de positivos falsos. Los beneficios del programa sobrepasan los costos Los atributos medidas identifican problemas importantes (series y comunes) Los resultados guan a acciones tiles 334 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Gages (gauges) bloques patrn: Carl Johansson desarroll bloques de acero como estndares de medicin con exactitud de unas pocas millonsimas de pulgada Los bloques patrn o Jo se hacen de acero con aleacin al alto carbn y cromo, carburo de tungsteno, carburo de cromo o cuarzo fundido Se usan para establecer una dimensin de longitud de referencia para una medicin de transferencia, y para calibracin de varios instrumentos de medicin 335 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Gages (gauges) bloques patrn: 336 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Gages (gauges) bloques patrn: Se pueden apilar con la ayuda de una capa delgada de aceite que expulsa el aire. Usar poca presin en el proceso 337 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Juegos de Gages (gauges) de bloques patrn: El contenido de un juego de 81 piezas son: Bloques de diezmilsimas (9): 0.1001, 1002,..,0.1009 Bloques de una milsima (49): 0.101, 0.1020.149 Bloques de 50 milsimas (19): 0.050, 0.1000.950 Bloques de una pulgada (4): 1.000, 2.000,, 4.000 338 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Calibradores: Los calibradores se utilizan para medir dimensiones de longitud, internas, externas, de altura, o profundidad. Son de los siguientes tipos: Calibradores de resorte, calibradores de reloj, verniers y calibradores, calibradores digitales 339 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Calibradores de resorte: Los calibradores proporcionan una exactitud de aproximadamente 1/16 al transferir a una regla de acero 340 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Calibradores verniers: Usan una escala para indicar la medicin de longitud. Ahora se han reemplazados con reloj o indicador digital. Para el caso de una longitud de 1.069 se leera como sigue:341 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Calibradores de reloj: La lectura se hace en la escala con resolucin cercana a 0.1 y un reloj con resolucin de 0.001. Calibradores digitales Usan un display digital con lectura en pulgadas o en milmetros y un cero que puede ser puesto en cualquier punto del viaje. La resolucin es del orden de 0.0005 342 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Comparadores pticos Usan un haz de luz dirigido hacia la parte a ser inspeccionada, y la sombra resultante es amplificada y proyectada en una pantalla. La imagen puede medirse al comparar con una plantilla maestra o medir la silueta en la pantalla o tomando las lecturas. Para pasar la inspeccin, la silueta de la sombra debe encontrarse entre los lmites de tolerancia predeterminados.343 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Micrmetros Los mics se pueden adquirir con tamaos de cuerpo para 0.5 a 48. La mayora tiene una exactitud de 0.001 y con un vernier o indicador puede llegar a 0.0001. En cuartos con temperatura y humedad controlada se pueden hacer medidas lineales de hasta millonsimas de pulgada Pueden hacer mediciones de interiores, exteriores, porfundidad, cuerdas, etc. Las dos escalas utilizadas son la del cuerpo y la del tambor, a continuacin se muestra un ejemplo: 344 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Micrmetros 345 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Mediciones de resistencia a la tensin La resistencia a la tensin es la habilidad de un metal a resistir su rotura. Se aplica una carga a una barra de prueba y se incrementa gradualmente hasta que la barra se rompa. Se pueden analizar los datos de tensin usando curvas de esfuerzo deformacin, que muestra la carga vs la elongacin. Prueba de corte Es la habilidad para resistir un esfuerzo de cuchilla cortante cuando se aplican fuerzas paralelas ligeramente fuera de eje. 346 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Prueba de compresin La comprensin es el resultado de fuerzas actuando unas contra otras. Se aplica una carga y se registra la deformacin. Se puede obtener una curva de esfuerzo deformacin con los datos Prueba de fatiga La fatiga es la habilidad del material a resistir cargas repetitivas. En varios niveles de esfuerzo, se cuenta el nmero de ciclos hasta que ocurre la falla347 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Titulacin Es un mtodo de anlisis que permite la determinacin de cantidades precisas de reactivos en el matraz. La solucin a ser analizada se prepara en el matraz Erlenmeyer. Un indicador como el azul de metileno es adicionado a la solucin. Se usa una bureta para liberar el segundo reactivo al matraz y un indicador o medidor de pH se utiliza para determinar el punto final de la reaccin. El indicador cambia de color cuando se llega al punto final. 348 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Medicin de dureza La medicin de dureza se realizaal crear una marca en la superficie del material con un baln duro o una pirmide de diamante y despus se mide la profundidad de penetracin 349 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Medicin de dureza 350 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Medicin de torque Esta medicin se requiere cuando el producto se sujeta con tornillos y tuercas. El torque es una fuerza que produce rotacin alrededor de un eje (Torque = fuerza x Distancia) Prueba de impacto La resistencia al impacto es la habilidad del material para resistir el impacto. Las pruebas de Charpy e Izod usan muestras que son golpeadas por un pndulo calibrado 351 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin La regla de acero La regla de acero se utiliza para lecturas directas. Sus divisiones estn en fracciones de pulgadamilmetros Placas de medicin (mrmol) Son planos de referencia para mediciones dimensionales. Usualmente son utilizados con accesorios planos, angulares, paralelos, bloques en V y bloques cilndricos apilados 352 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Indicadores de reloj Son instrumentos mecnicos para medir variaciones de distancia. Muchos indicadores de reloj amplifican la lectura de un punto de contacto por medio de un mecanismo interno de engranes. Tienen resoluciones de 0.00002 a 0.001 con un rango amplio de mediciones. 353 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Ring gages o gages de cuerdas Se usan para inspeccionar dimensiones cilndricas externas y frecuentemente se denominan gages go no go. Un ring gage de cuerdas se usa para checar cuerdas macho 354 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Plug gages o gages de dimetros Se usan para inspeccionar dimensiones cilndricas internas y frecuentemente se denominan gages go no go o gages pasa no pasa. Un plug gage de cuerdas se usa para checar cuerdas hembra. En lado se indica en verde la seccin de Pasa y en el otro lado se indica en roja la No Pasa. Go No go 355 6E1. Sistemas de medicin - Mtodos de medicin Gages neumticos Los tipos de gages de amplificacin neumtica incluyen unos accionados variando la presin de aire y otros al variar la velocidad del aire con presin constante. Las mediciones pueden ser ledas en millonsimas de pulgada. Interferometra Se forma interferencia cuando dos o ms haces de luz monocromtica de la misma longitud de onda se defasan 180 viajando en diferentes distancias. Las irregularidades se evidencian alternando l