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SEGUNDO PARCIAL

Contenido

3. Álgebra .................................................................................................................................................................... 68

3.1 Operaciones algebraicas ................................................................................................................................... 69

3.2 Productos notables ............................................................................................................................................ 75

3.3 Factorización ..................................................................................................................................................... 76

3.4 Fracciones algebraicas ....................................................................................................................................... 81

ACTIVIDADES

CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA

69 CAPÍTULO 3. Álgebra

3.1 Operaciones algebraicas

A diferencia de la aritmética que estudia los números y sus operaciones, el álgebra elemental es la rama de las

matemáticas cuyas operaciones son expresadas por medio de símbolos, números y letras.

Básicamente, la representación más compacta de una expresión algebraica se denomina término algebraico, sus

partes son:

El exponente y coeficiente pueden ser cualquier número real. La base es representada por letras del alfabeto,

aunque frecuentemente se emplean 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑥, 𝑦, 𝑧, y dependiendo del contexto del problema se le llama variable

o incógnita.

En una expresión algebraica puede encontrar varios términos y se logran identificar uno del otro porque se separan

por signos +, −. Por ejemplo,

Expresión algebraica Número de términos −3𝑥 1

4𝑥7 + 5𝑥 2

8𝑥5 + 9𝑥−2 − 4 3

Si la expresión algebraica está compuesta por términos cuyos exponentes son todos positivos y enteros, entonces

la expresión se denomina polinomio, y dependiendo del número de términos recibe el nombre de monomio,

binomio o trinomio.

Ahora, considerando la expresión

Para llevar a cabo las operaciones, es necesario que recuerde lo aprendido en aritmética. En álgebra siguen siendo

válidas:

1. Las reglas de los signos en sumas o restas y multiplicaciones o divisiones.

2. Las reglas de exponentes.

3. Jerarquía de operaciones.

4. Operaciones con fracciones.

Coeficiente

Base

Exponente 5 𝑥2

+3𝑥6 + 1𝑥4 + 3𝑥1 − 2𝑥0

3𝑥6 + 𝑥4 + 3𝑥 − 2

Si en la expresión encuentra:

Signo + en el primer término

Coeficientes con valor de 1

Exponente con valor de 1

Términos con 𝑥0. Recuerde que 𝑥0 = 1.

“PUEDE OMITIRLOS EN LA EXPRESIÓN”


SUMA O RESTA

1. Identificar términos semejantes.

2. Sólo se suman o restan los coeficientes, la base con su exponente quedan igual.

EJEMPLOS: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas.

a) 5𝑥2 + 7𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = Solución: Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma base y exponente, sin importar que el coeficiente sea distinto. Aplique la regla de los signos para la suma o resta a estos términos. 5𝑥2 + 7𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 3𝑥2 + 11𝑥3 = 11𝑥3 + 3𝑥2 Los términos deben quedar ordenados de exponente menor a mayor o viceversa.

b) −4𝑥9 + 7𝑥8 − 10𝑥9 − 9𝑥8 + 5𝑥 = Solución: Observe que el último término no tiene semejante, entonces ese término simplemente se transcribe en la solución. −4𝑥9 + 7𝑥8 − 10𝑥9 − 9𝑥8 + 5𝑥 = −14𝑥9 − 2𝑥8 + 5𝑥

d) 8𝑥−3 − 𝑥5 + 4𝑥5 − 6𝑥−3 + 2𝑥3 = Solución:

8𝑥−3 − 𝑥5 + 4𝑥5 − 6𝑥−3 + 2𝑥3 =

3𝑥5 + 2𝑥3 + 2𝑥−3 =

3𝑥5 + 2𝑥3 +2

𝑥3

Así como es conveniente ordenar los términos por su exponente, también debe cuidar que el resultado final siempre tenga exponentes positivos.

e) 2𝑥2𝑦3 + 4𝑥2𝑦3𝑧 − 3𝑥2𝑦3 − 𝑥5𝑦 − 2𝑥5𝑦 = Solución: Observe que hay más de una variable en la expresión, recuerde que sólo puede simplificar aquellos términos que sean semejantes, para ello todo el término debe tener bases y exponentes iguales.

2𝑥2𝑦3 − 𝑥5𝑦 − 3𝑥2𝑦3 − 2𝑥5𝑦 + 4𝑥2𝑦3𝑧 =

−𝑥2𝑦3 − 3𝑥5𝑦 + 4𝑥2𝑦3𝑧

PRACTICA SIMPLIFICANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES, MUESTRE SIN EXPONENTES NEGATIVOS.

a) 3𝑥2 − 2𝑥2 + 8𝑥3 − 10𝑥3

d) 𝑎𝑐3 − 4𝑎𝑐 − 2𝑎3𝑐 − 3𝑎𝑐 + 𝑏 g) 4

3𝑥2 − 5𝑥2 +

1

3𝑥 −

2

4𝑥

b) 2𝑥6 − 𝑥−2 + 3𝑥−2 − 2𝑥6

e) 3𝑥𝑦2 − 5𝑥2𝑦 + 6𝑥𝑦2 +1

4𝑥2𝑦 h)

3𝑥2−5

3+

𝑥2−2

7

c) −𝑎7 − 𝑎−7 + 8𝑎 + 10𝑎−7 − 𝑎 f) 5𝑥9 − 2𝑥9𝑦 − 15𝑦 + 13𝑦 − 5𝑥9 i) 𝑥−3𝑦−2 + 4𝑥

𝑦− 5𝑥𝑦−1 +

7

𝑥3𝑦3

Recuerde que 𝑥−𝑛 = 1𝑥𝑛⁄


Cuando hay signos de agrupación se trabaja de la misma manera que en aritmética, dando prioridad a realizar las

operaciones indicadas por el signo de agrupación más interno al más externo.

EJEMPLOS: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas.

a) −5𝑥 + {𝑥 − [2𝑥2 + 4 + (−2𝑥)]} Solución: Al igual que en aritmética, se empezará a resolver a partir del paréntesis, que es el signo de agrupación más interno. Para poder quitar el paréntesis, se aplica la regla de los signos para la multiplicación. −5𝑥 + {𝑥 − [2𝑥2 + 4 + (−2𝑥)]} Ahora, el signo menos antes del corchete multiplicará a todos los términos contenidos dentro del corchete.

= −5𝑥 + {𝑥 − [2𝑥2 + 4 − 2𝑥]}

= −5𝑥 + {𝑥 − 2𝑥2 − 4 + 2𝑥}

Puede ir simplificando los términos semejantes.

= −5𝑥 + {3𝑥 − 2𝑥2 − 4}

Luego, el signo multiplica el signo de cada término dentro de las llaves.

= −5𝑥 + {3𝑥 − 2𝑥2 − 4} = −5𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥2 − 4 Finalmente, simplifique y ordene.

= −2𝑥2 − 2𝑥 − 4

b) −2𝑥7 − 3(−2𝑥6 − 5𝑥7) + 2(8𝑥7 − 2𝑥6) = Solución: Este ejercicio se realiza como en el caso anterior, sólo que además del signo el número antes del paréntesis debe multiplicar a cada coeficiente dentro del signo de agrupación. −2𝑥7 − 3(−2𝑥6 − 5𝑥7) + 2(8𝑥7 − 2𝑥6) = −2𝑥7 + 6𝑥6 + 15𝑥7 + 16𝑥7 − 4𝑥6 = 29𝑥7 + 2𝑥6

PRACTICA SIMPLIFICANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES, ESCRIBA EL RESULTADO SIN EXPONENTES NEGATIVOS.

a) 3𝑥 − (2𝑥5 − 3𝑥) + (−9𝑥5 + 2) − (−5𝑥)

d) −2(5𝑎𝑏 − 3) + 2(6𝑎𝑏 − 4𝑏) − 3(−2𝑏)

b) 8 − [−(4𝑥 − 9)] + [−8𝑥 − (−𝑥 + 6)]

e) 5 − 4{4𝑥𝑦3 − 3[2𝑥3 + 2(3𝑥3 + 1)]}

c) 3𝑥𝑦 + {2𝑥2𝑦 + 5𝑥𝑦 − [4𝑥2𝑦 + (2𝑥𝑦 − 4𝑥2𝑦)]} f) 4

3(𝑥 + 𝑦) −

5

2[2 − (3𝑥 − 4𝑥)]

−2𝑥

−2𝑥2 − 4 + 2𝑥

+3𝑥 − 2𝑥2 − 4

+6𝑥6 + 15𝑥7 +16𝑥7 − 4𝑥6


MULTIPLICACIÓN

1. Se multiplican los signos, aplicando la regla vista en la sección 1.1.

2. Se multiplican los coeficientes.

3. Los exponentes con la misma base se suman.

EJEMPLOS: Realice los siguientes productos.

a) −6𝑥2𝑦(−3𝑥5𝑦3𝑧) Solución: Este ejemplo muestra la multiplicación de dos expresiones algebraicas de 1 término. Sin importar que no sean semejantes, se siguen los tres pasos mencionados.

−6𝑥2𝑦(−3𝑥5𝑦3𝑧) = +18𝑥2+5𝑦1+3𝑧

= 18𝑥7𝑦4𝑧

b) 2𝑥3(7𝑥2 − 4𝑥4 − 5𝑦7) Solución: Como en la multiplicación no importa que no sean términos semejantes, 2𝑥3 multiplicará a los tres términos de la expresión que está dentro del paréntesis.

2𝑥3(7𝑥2 − 4𝑥4 − 5𝑦7) = +14𝑥3+5 − 8𝑥3+4 − 10𝑥3𝑦7

= 14𝑥8 − 8𝑥7 − 10𝑥3𝑦7

c) −3𝑥2(−4𝑥−5 + 2𝑥−2 + 1) Solución: Nuevamente como en el inciso anterior, −3𝑥2 multiplicará a los tres términos que están dentro del paréntesis.

−3𝑥2(−4𝑥−5 + 2𝑥−2 + 1) Aunque existan signos negativos en los exponentes, la suma de exponentes se mantiene.

= +12𝑥2+(−5) − 6𝑥2+(−2) − 3𝑥2 = 12𝑥−3 − 6𝑥0 − 3𝑥2 Recordar expresar el resultado siempre con exponentes positivos y omitir la escritura de 𝑥0.

= −3𝑥2 − 6 +12

𝑥3

c) (4𝑥2 − 5𝑥3)(−2𝑥3 − 4𝑥 + 2) Solución: Este ejemplo muestra el producto de dos expresiones con más de un término cada una. Fijar 4𝑥2 que es el primer término de la primera expresión y multiplicar con los términos de la otra expresión:

(4𝑥2 − 5𝑥3)(−2𝑥3 − 4𝑥 + 2) Multiplicar nuevamente todos los términos de la segunda expresión pero ahora finado −5𝑥3,

(4𝑥2 − 5𝑥3)(−2𝑥3 − 4𝑥 + 2) Se obtiene entonces:

= −8𝑥5 − 16𝑥3 + 8𝑥2 + 10𝑥6 + 20𝑥4 − 10𝑥3 Simplificando términos y ordenandolos:

= 10𝑥6 − 8𝑥5 + 20𝑥4 − 26𝑥3 + 8𝑥2 PRACTICA REALIZANDO LOS SIGUIENTES PRODUCTOS.

a) 5𝑥2(−3𝑥𝑦6)

d) 5𝑎3𝑏(4𝑎𝑐 − 3𝑎3 + 4) g) (3𝑥2 − 4𝑦3)(−5 + 2𝑥𝑦 − 6𝑥)

b) −4𝑥−3(−4𝑥−2𝑦)

e) 2𝑥𝑦−1(−2𝑦 + 6𝑥−1 + 5𝑥𝑦) h) (−2𝑎𝑏−3 + 4𝑎)(−5𝑎𝑏−3 − 2𝑏)

c) 2

3𝑥4𝑦3 (

6

5𝑥2/3𝑦2) f) −

1

3√𝑥(−3√𝑥 − 5𝑥𝑦 − 9) i) (

4

5𝑥3𝑦2 −

8

3) (

4

5𝑥3𝑦2 −

8

3)


DIVISIÓN 1. Se aplica la regla de división para signos.

2. Se dividen los coeficientes.

3. Los exponentes con la misma base se restan.

EJEMPLOS: Realice las siguientes divisiones.

a) −18𝑥7𝑦6

2𝑥4𝑦

Solución: −18𝑥7𝑦6

2𝑥4𝑦= −9𝑥7−4𝑦6−1

= −9𝑥3𝑦5

b) −14𝑥−6𝑦2𝑧

−5𝑥−3𝑦2

Solución: −14𝑥−6𝑦2𝑧

−5𝑥−3𝑦2= +

14

5𝑥−6−(−3)𝑦2−2𝑧

=14

5𝑥−3𝑦0𝑧

Recuerde presentar la solución con exponentes positivos y omitir aquellos con exponente cero. Entonces,

=14𝑧

5𝑥3

b) 6𝑥3𝑦5𝑧7

−4𝑥5𝑦8𝑧11

Solución:

6𝑥3𝑦5𝑧7

−4𝑥5𝑦8𝑧11= −

6

4𝑥3−5𝑦5−8𝑧7−11

= −3

2𝑥−2𝑦−3𝑧−4

= −3

2𝑥2𝑦3𝑧4

c) 4𝑥6𝑦3−8𝑥5𝑦5𝑧3+12

2𝑥4𝑦

Solución:

4𝑥6𝑦3 − 8𝑥5𝑦5𝑧3 + 12

2𝑥4𝑦

=4𝑥6𝑦3

2𝑥4𝑦−

8𝑥5𝑦5𝑧3

2𝑥4𝑦+

12

2𝑥4𝑦

= 2𝑥2𝑦2 − 4𝑥𝑦4𝑧3 +6

𝑥4𝑦

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES DIVISIONES

a) −8𝑎2𝑏3𝑐

−2𝑎𝑏2𝑐

c) 3𝑥8𝑦𝑧5

5𝑥−6𝑧9

e) 10𝑥7𝑦−2+5𝑥−5𝑦+10

−10𝑥9𝑦−7

b) 𝑥9𝑦6𝑧8

𝑥9𝑦6𝑧8

d) −21𝑎2𝑏4−6𝑎5+7𝑎𝑏3

7𝑎𝑏3 f) −√𝑥+4𝑥

𝑥

Aunque los

exponentes sean

negativos, deben

restarse.

Observe que finalmente las

bases quedan en la posición

donde tenían el mayor

exponente.

Por comodidad, puede separar

la división en varios cocientes.

Ahora, cada cociente se

resuelve como los

ejemplos anteriores.


Observe que en los ejemplos y ejercicios de división vistos hasta ahora, el divisor es de sólo 1 término. Para poder

efectuar una división con más de un término como divisor, puede emplear el método desarrollado en el siguiente

ejemplo.

EJEMPLO: Realice la siguiente división.

a) 2𝑥3+2+5𝑥

1+𝑥

Solución: 1. La división sólo se realiza entre el primer término del dividendo con el divisor, anotando el resultado sobre

la línea. 2. El cociente obtenido multiplicará a todos los términos del divisor y se colocarán con el signo contrario debajo

de los términos semejantes del dividendo.

3. Sumar y transcribir los términos restantes. 4. Los tres pasos anteriores se repetirán hasta que el residuo sea de exponente menor que el primer término

del divisor. Entonces:

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES DIVISIONES

a) 2𝑥4+13𝑥3+15𝑥2+16𝑥−3

𝑥2+5𝑥−2 b)

𝑥2−5𝑥−84

𝑥+7 c)

𝑥3+3𝑥2+3𝑥+1

𝑥+1

2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

NOTA:

Observe que se reacomodó el orden de los términos, del

exponente mayor al menor, tanto en el dividendo como en el

divisor.

En caso que el dividendo carezca de un término se deja un espacio.

OPERACIONES:

2𝑥3

𝑥= 2𝑥2 2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

2𝑥2

2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

2𝑥2

−2𝑥3 − 2𝑥2

NOTA:

El producto −2𝑥2 se colocó debajo del espacio vacío ya que no

tiene término común.

2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

2𝑥2

−2𝑥3 − 2𝑥2

−2𝑥2 + 5𝑥 + 2

NOTA:

Debe comprobar que el primer término de la suma se elimine, de

no ser así, rectifique las operaciones.

2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

2𝑥2 − 2𝑥 + 7

−2𝑥3 − 2𝑥2

−2𝑥2 + 5𝑥 + 2

+2𝑥2 + 2𝑥

7𝑥 + 2

−7𝑥 − 7

−5 Residuo

La solución final se representa con el cociente y

residuo:

2𝑥3 + 2 + 5𝑥

1 + 𝑥= 2𝑥2 − 2𝑥 + 7 −

5

1 + 𝑥

Cociente

75

C

AP

ÍTULO

3. Á

lgebra

3.2 Productos notables

Productos notables

Aquellos productos que se pueden resolver mediante la aplicación de una regla.

CASO I. Binomio al cuadrado

¿Cuál es el resultado de (𝑎 + 𝑏)2 o bien

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)?

Si se desarrolla el producto, como se indicó

en la sección previa, tenemos:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2

= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Entonces, todos los productos que pueda

escribir como un binomio al cuadrado se

resuelven mediante la regla:

( 𝑎 ± 𝑏 )2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Ejemplos: Resuelva los siguientes

productos.

a) (𝑥 + 5)2 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25

b) (𝑦 − 3)2 = 𝑦2 − 6𝑦 + 9

c) (4𝑥 + 3)2 = 16𝑥2 + 24𝑥 + 9

d) (−2𝑥 + 6)2 = 4𝑥2 − 24𝑥 + 36

e) (5𝑥3 − 2𝑥𝑦)2 = 25𝑥6 − 20𝑥4𝑦 + 4𝑥2𝑦2

CASO III. Binomios conjugados

Se denomina producto de binomios

conjugados si lo único que difiere entre

ellos es 1 signo, como (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏).

¿Cuál será el producto?

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2

= 𝑎2 − 𝑏2

Observe que al realizar el producto dos

términos se cancelan y siempre será una

diferencia de cuadrados. Por tanto, la regla

es:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2


productos.

a) (𝑥 + 10)(𝑥 − 10) = 𝑥2 − 100

b) (𝑦 − 7)(𝑦 + 7) = 𝑦2 − 49

c) (−8 + 𝑥)(𝑥 + 8) = 𝑥2 − 64

d) (4 − 2𝑥)(4 + 2𝑥) = 16 − 4𝑥2

d) (3𝑥2𝑦4 − 1)(3𝑥2𝑦4 + 1) = 9𝑥4𝑦8 − 1

CASO II. Binomios con un término

común

Suponga que desea resolver el producto

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐), en donde sólo el término 𝑎

es común en ambos factores, ¿cuál sería la

solución?

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐

= 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)𝑎 + 𝑏𝑐

Esto significa, que puede omitir el producto

y sólo seguir la regla:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐) = 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)𝑎 + 𝑏𝑐


productos.

a) (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 𝑥2 + (2 + 3)𝑥 + 6

= 𝑥2 + 5𝑥 + 6

b) (𝑥 + 5)(𝑥 − 4) = 𝑥2 + (5 − 4)𝑥 − 20

= 𝑥2 + 𝑥 − 20

c) (𝑥3 − 1)(𝑥3 − 9) = 𝑥6 + (−1 − 9)𝑥3 + 9

= 𝑥6 − 10𝑥3 + 9

CASO IV. Potencia n-ésima de un

binomio

¿Qué patrón puede seguir si desea elevar

(𝑎 + 𝑏)𝑛?

Puede utilizar el triángulo de Pascal. A partir

del tercer renglón los elementos del triángulo

de Pascal representan los coeficientes de la

solución de un binomio a la 𝑛.

Observe como se construyen, las potencias

de binomios:

(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3

(𝑎 ± 𝑏)4 = 𝑎4 ± 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 ± 4𝑎𝑏3 + 𝑏4

⋮


productos.

a) (𝑥 + 2)3 = 𝑥3 + 3(𝑥2)(2) + 3(𝑥)(4) + 8

= 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8

b) (𝑥 − 1)3 = 𝑥3 − 3(𝑥2)(1) + 3(𝑥)(1) − 1

= 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1

El primer término al cuadrado

El doble del primer por el

segundo término

El segundo término

al cuadrado

Término común al cuadrado

Producto del término

común con la suma de los

no comunes

Producto de términos

no comunes

El primer término al cuadrado

El segundo término

al cuadrado

(𝑎 ± 𝑏)4

(𝑎 ± 𝑏)2

(𝑎 ± 𝑏)3

(𝑎 ± 𝑏)5

BINOMIOS

TRIÁNGULO DE PASCAL


3.3 Factorización

I. FACTOR COMÚN

Si todos los términos de la expresión tienen:

1. Un coeficiente o múltiplo del mismo coeficiente.

2. Y/O una o más variable en común.

Entonces, el coeficiente y/o la variable serán uno de los factores de su expresión.

EJEMPLOS: Factorizar.

a) 𝑥5 + 3𝑥4 − 𝑥2 Solución: Al inspeccionar la expresión observe que todos los términos tienen en común la variable 𝑥, por tanto, factorice la 𝑥 que tenga el mínimo exponente, es decir 𝑥2.

𝑥5 + 3𝑥4 − 𝑥2 = 𝑥2(𝑥3 + 3𝑥4 − 1)

b) 2𝑥7𝑦3 − 2𝑥6𝑦 + 2𝑥5 Solución: A pesar de que hay dos variables en la expresión, sólo 𝑥 es una variable común; al mismo tiempo que 2 es un

coeficiente común. Por tanto, el factor común será 2𝑥5.

2𝑥7𝑦3 − 2𝑥6𝑦 + 2𝑥5 = 2𝑥5(𝑥2𝑦3 − 𝑥𝑦 + 1)

c) 3𝑥4 + 18𝑥2 − 15𝑥 Solución: Todos los términos tienen en común la variable 𝑥, pero también todos los coeficientes son divisibles entre 3, por tanto, el factor común es 3𝑥.

3𝑥4 + 18𝑥2 − 15𝑥 = 3𝑥(𝑥3 + 6𝑥 − 5)

d) −8𝑥3𝑦5 − 4𝑥2𝑦8 − 12𝑥𝑦6 Solución: Con respecto a los coeficientes todos son divisibles entre −4, mientras que ambas variables son comunes en la expresión. Determinando el exponente más pequeño de cada variable, se obtiene que el factor

común es −4𝑥𝑦5.

−8𝑥3𝑦5 − 4𝑥2𝑦8 − 12𝑥𝑦6 = −4𝑥𝑦5(2𝑥2 + 𝑥𝑦3 + 3𝑦)

PRACTICA FACTORIZANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.

a) 𝑥10 − 6𝑥6 + 𝑥8

c) 12𝑥5 + 6𝑥3𝑦2 + 3𝑥4𝑦 e) 2𝑥3𝑦𝑧 − 20𝑥𝑦2𝑧5

b) 5𝑥4 + 2𝑥5 − 4𝑥6 d) −5ℎ𝑘 − 5ℎ2𝑘3 − 5𝑘 f) 1

5𝑥3𝑦 −

2

5𝑥6𝑦9 +

6

10𝑥𝑦

Factorización

Expresión algebraica escrita en forma de producto

¿De dónde se obtuvo este factor?

Observe que es el resultado de dividir todos

los términos entre el factor común 𝑥2.

𝑥5

𝑥2+

3𝑥4

𝑥2−

𝑥2

𝑥2= 𝑥3 + 3𝑥4 − 1

¿Cómo se obtuvo este factor?

Observe que es el resultado de dividir todos

los términos entre el factor común 2𝑥5.

2𝑥7𝑦3

2𝑥5 −2𝑥6𝑦

2𝑥5 +2𝑥5

2𝑥5 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥𝑦 + 1


II. FORMA DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

¿Cuál sería el resultado de (𝑥 − 4)(𝑥 − 4)?

(𝑥 − 4)2 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16

Y, ¿qué tal si dieran el resultado 𝑥2 − 8𝑥 + 16 y se pi averiguar el binomio que se elevó al cuadrado?

Para responder esta pregunta se describirán los siguientes ejemplos.

EJEMPLOS: Factorice las siguientes expresiones.

a) 𝑥2 − 6𝑥 + 9 Solución: Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto tendrá que averiguar el binomio que se elevó al cuadrado. Para ello, sólo verifique que los términos estén ordenados del exponente mayor al menor. Por tanto, la factorización es:

𝑥2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)2

b) 25𝑥6 + 40𝑥3𝑦 + 16𝑦2 Solución: Una vez que haya observado que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, la factorización se realiza como el inciso anterior. Por tanto, la factorización es:

25𝑥6 + 40𝑥3𝑦 + 16𝑦2 = (5𝑥3 + 4𝑦)2


a) 𝑥2 − 12𝑥 + 36

d) 𝑥2𝑦2 − 14𝑥𝑦 + 49

b) 𝑥2 + 2𝑥 + 1

e) 9𝑥8𝑦4 + 12𝑥4𝑦2 + 4

c) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 f) 16𝑥10 − 48𝑥5𝑦 + 6𝑦

Recordando los productos notables

𝑥2 − 6𝑥 + 9

( − )2

𝑥2 − 6𝑥 + 9

(𝑥 − 3)2

1. El signo es el mismo que

el del término lineal. 2. Se obtiene la raíz cuadrada

de los extremos.

25𝑥6 + 40𝑥3𝑦 + 16𝑦2

( + )2

25𝑥6 + 40𝑥3𝑦 + 16𝑦2

(5𝑥3 + 4𝑦)2

1. El signo es el mismo que

el del término que está en el

centro.

2. Se obtiene la raíz cuadrada

de cada extremo incluyendo

coeficiente y aplicando

correctamente leyes de

exponentes.


III. TRINOMIO DE LA FORMA: 𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄)𝒂 + 𝒃𝒄

¿Recuerda de la sección 2.2 como resolver el producto notable (𝑥 + 2)(𝑥 − 8)?

(𝑥 + 2)(𝑥 − 8) = 𝑥2 + (2 − 8)𝑥 − 16

= 𝑥2 − 6𝑥 − 16

Ahora, imagine que le piden que en base al resultado 𝑥2 − 6𝑥 − 16 encuentre los dos factores necesarios para

llegar a ese trinomio. Tal vez la primera reacción sería resolverlo como si fuera un trinomio cuadrado perfecto pero

observe que no puede factorizarse a un binomio al cuadrado, simplemente no satisface la comprobación. Para

realizar esta factorización observe los siguientes ejemplos.


a) 𝑥2 − 6𝑥 − 16 Solución: Por la forma del trinomio la factorización será 2 factores con un término común.

Por lo tanto, la factorización es:

𝑥2 − 6𝑥 − 16 = (𝑥 − 8)(𝑥 + 2)

b) 3𝑥4 + 12𝑥2 − 36 Solución: Observe que esta expresión tiene un término común como el estudiado unas hojas atrás. Entonces, previamente factorizar el término común:

3𝑥5 + 12𝑥3 − 36𝑥 = 3𝑥(𝑥4 + 4𝑥2 − 12) Ahora, lo que está dentro del paréntesis es un trinomio de la forma: 𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄)𝒂 + 𝒃𝒄. Si desea puede omitir los pasos 1 y 2 del ejemplo anterior, estos sólo sirven para identificar los signos que tendrán la pareja de números que necesita, que son:

3𝑥(𝑥4 + 4𝑥2 − 12) = 3𝑥( + )( − ) Buscando que:

La suma sea +4.

El producto sea −12. Se obtienen los números +6 y −2.

Por lo tanto, la factorización es:

3𝑥5 + 12𝑥3 − 36𝑥 = 3𝑥(𝑥2 + 6)(𝑥2 − 2)


a) 𝑥2 + 2𝑥 − 8

c) 𝑥2 − 10𝑥 − 21 e) 𝑥17 − 4𝑥8 − 5𝑥

b) 𝑥2 − 12𝑥 + 35 d) 𝑥8 + 9𝑥4 + 18 f) 𝑥4 + 5𝑥3 + 6𝑥2

𝑥2 − 6𝑥 − 16

( − )( + )

(−)(−) = +

𝑥2 − 6𝑥 − 16

( − )( )

1. En el primer paréntesis

coloque el signo del término

central.

2. En el segundo paréntesis

coloque el signo del producto de

los signos del segundo y tercer

término.

3. Como el trinomio es de la forma: 𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄)𝒂 + 𝒃𝒄, deberá

encontrar 2 números que simultáneamente tenga las siguientes

características:

La suma sea −6.

El producto sea −16

Los números son −8 y +2 (𝑥 − 8)(𝑥 + 2).

Entonces:

𝑏 + 𝑐 = +2 − 8 = −6

𝑏𝑐 = (+2)(−8) = −16


IV. DIFERENCIA DE CUADRADOS: 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

De acuerdo a la sección 2.2, el producto de dos binomios conjugados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) es 𝑎2 − 𝑏2. Por el contrario,

la factorización de la diferencia de cuadrados serán dos binomios conjugados.


a) 𝑥2 − 16 Solución: 𝑥2 − 16 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 4)

b) 9𝑥2 − 𝑦2 Solución: 9𝑥2 − 𝑦2 = (3𝑥 − 𝑦)(3𝑥 + 𝑦)


a) 𝑥2 − 9 c) 16𝑥2 − 25 e) 4 − 9𝑥2

b) 𝑥2 − 36 d) 𝑥2 − 𝑦2 f) 49𝑥2 − 81𝑦2

V. FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN: 𝒏(𝒂 + 𝒃) + 𝒎(𝒂 + 𝒃)

Si tiene una expresión que no puede factorizar total o parcialmente con los métodos anteriores, puede ser que

cumpla la siguiente forma:

𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑚(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑛 + 𝑚)

Observe los siguientes ejemplos en donde se discute este tipo de factorización.

a) 5(𝑥 + 𝑦) − 𝑧(𝑥 + 𝑦) Solución: 5(𝑥 + 𝑦) − 𝑧(𝑥 + 𝑦) Entonces, la factorización queda de la siguiente manera:

5(𝑥 + 𝑦) − 𝑧(𝑥 + 𝑦) = (5 − 𝑧)(𝑥 + 𝑦)

b) 4𝑥(𝑥3 − 3) − 2(−𝑥3 + 3) Solución: 4𝑥(𝑥3 − 3) − 2(−𝑥3 + 3) No puede aplicar la fórmula por que no son iguales los términos dentro del paréntesis. Sin embargo, si factoriza el signo negativo de los términos del segundo paréntesis, tendrá: 4𝑥(𝑥3 − 3) − 2(−𝑥3 + 3) = 4𝑥(𝑥3 − 3) + 2(𝑥3 − 3) Entonces, la factorización será:

4𝑥(𝑥3 − 3) − 2(−𝑥3 + 3) = (4𝑥 + 2)(𝑥3 − 3)

Sólo tiene que obtener

la raíz cuadrada de cada

término.

Iguales

Para poder aplicar la

fórmula de factorización,

tiene que observar que sean

iguales los términos dentro

del paréntesis.

No son iguales


c) 2𝑥 + 𝑥𝑦 − 6 − 3𝑦 Solución: Primero, seccionar la expresión en dos grupos que compartan un término común y factorizarlo. 2𝑥 + 𝑥𝑦 − 6 − 3𝑦 = 𝑥(2 + 𝑦) − 3(2 + 𝑦) Ahora, los dos paréntesis tienen términos iguales y ya puede proceder a factorizar como los incisos anteriores: 2𝑥 + 𝑥𝑦 − 6 − 3𝑦 = (𝑥 − 3)(2 + 𝑦)

d) 40𝑥 + 2𝑦 + 16 + 5𝑥𝑦 Solución: Para factorizar parcialmente por medio de término común como se hizo en el inciso anterior, primero cambiar la posición de los términos: 40𝑥 + 2𝑦 + 16 + 5𝑥𝑦 = 5𝑥𝑦 + 2𝑦 + 40𝑥 + 16

= 𝑦(5𝑥 + 2) + 8(5𝑥 + 2) Ahora, ya puede quedar factorizada toda la expresión:

40𝑥 + 2𝑦 + 16 + 5𝑥𝑦 = (𝑦 + 8)(5𝑥 + 2)


a) 2(𝑥 + 𝑧) − 𝑥(𝑥 + 𝑧) c) 𝑥(𝑧 + 8) − (𝑧 + 8)

e) 𝑛2 + 2𝑛 − 𝑚𝑛 − 2𝑚

b) 𝑥(𝑥 + 7) + 4(𝑥 + 7) d) 𝑥(𝑦 − 2) − 3(2 − 𝑦) f) 10𝑦 + 2𝑧𝑦 + 5𝑥 + 𝑧𝑥

V. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Aunque ya se ha desarrollado factorizaciones de trinomios, la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es un caso más general que

puede reconocer porque el término cuadrático tiene un coeficiente diferente de 1. En los siguientes ejemplos se

explicará la metodología para factorizar estos trinomios.

EJEMPLOS: Factorice las siguientes expresiones algebraicas.

a) 12𝑥2 − 7𝑥 + 1 Solución: Primero debe comprobar que el trinomio esté ordenado en forma descendente, para después hacer dos consideraciones: 12𝑥2 − 7𝑥 + 1 =

𝑥(2 + 𝑦) −3(2 + 𝑦)

1. Elegir los coeficientes de los extremos y

multiplicarlos:

(+12)(+1) = +12

2. Considerar el coeficiente del término lineal:

−7

Observe que esta pareja de números es −4 y −3:

(−4)(−3) = +12 (−4) + (−3) = −7

Entonces, debe encontrar una pareja de números que

simultáneamente satisfaga que: El producto sea: +12

La suma sea: −7


Por tanto, debe descomponer el término lineal −7𝑥 en −4𝑥 − 3𝑥.

12𝑥2 − 7𝑥 + 1 = 12𝑥2 − 4𝑥 − 3𝑥 + 1 Ahora, puede factorizar por agrupación:

= 4𝑥(3𝑥 − 1) − (3𝑥 − 1) = (4𝑥 − 1)(3𝑥 − 1)

Por lo tanto, la factorización del trinomio es:

12𝑥2 − 7𝑥 + 1 = (4𝑥 − 1)(3𝑥 − 1)

PRACTICA FACTORIZANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

a) 4𝑥2 + 8𝑥 + 3

c) 5𝑦2 − 8𝑦 + 3 e) 3𝑥2 − 𝑥 − 2

b) 6𝑥2 + 5𝑥 − 4 d) 8𝑥2 − 10𝑥 + 3 f) 6𝑥2 − 𝑥 − 2

3.4 Fracciones algebraicas

Anteriormente en la sección 3.1, se desarrolló el estudio de operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación

y división. Ahora, las mismas operaciones se desarrollarán pero con expresiones algebraicas, siguiendo las mismas

normas aplicadas en aritmética bajo la adaptación del álgebra.

SUMA Y RESTA

EJEMPLO: Exprese las sumas como una sola expresión.

CASO I. Mismo denominador

a) 3

4𝑥3+1−

2𝑥+8

4𝑥3+1+

6𝑥2+𝑥

4𝑥3+1

Solución: Al igual que en aritmética, si los sumandos comparten el mismo denominador, entonces la suma se hará sólo con los numeradores.

3

4𝑥3 + 1−

2𝑥 + 8

4𝑥3 + 1+

6𝑥2 + 𝑥

4𝑥3 + 1=

3 − (2𝑥 + 8) + (6𝑥2 + 𝑥)

4𝑥3 + 1

=3 − 2𝑥 − 8 + 6𝑥2 + 𝑥

4𝑥3 + 1

=6𝑥2 − 𝑥 − 5

4𝑥3 + 1

Mismo denominador

El denominador de la solución será el mismo que el de

las fracciones individuales.


CASO II. Diferente denominador

b) 𝑥3−2𝑥

2𝑥5𝑦+

2𝑥+7𝑦2

8𝑥2𝑦3 −6𝑥−2

3𝑥4𝑦6

Solución: Para resolver esta operación con denominadores distintos se tienen dos opciones:

1. Obtener un común denominador por medio del producto de todos los denominadores. 2. Obtener un mínimo común denominador.

Este ejemplo se resolverá por la segunda opción ya que los cálculos y resultados bajo esta condición son más elegantes. Entonces, ¿cuál es el denominador de la solución? 𝑥3 − 2𝑥

2𝑥5𝑦+

2𝑥 + 7𝑦2

8𝑥2𝑦3−

6𝑥 − 2

3𝑥4𝑦6=

+ −

24 𝑥5𝑦6

𝑥3 − 2𝑥

2𝑥5𝑦+

2𝑥 + 7𝑦2

8𝑥2𝑦3−

6𝑥 − 2

3𝑥4𝑦6=

12𝑦5(𝑥3 − 2𝑥) + 3𝑥3𝑦3(2𝑥 + 7𝑦2) − 8𝑥(6𝑥 − 2)

24 𝑥5𝑦6

=12𝑥3𝑦5 − 24𝑥𝑦5 + 6𝑥4𝑦3 + 21𝑥3𝑦5 − 48𝑥2 + 16𝑥

24 𝑥5𝑦6

=6𝑥4𝑦3 + 33𝑥3𝑦5 − 48𝑥2 − 24𝑥𝑦5 + 16𝑥

24 𝑥5𝑦6

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES.

a) −6𝑥−3

4𝑥4−5+

12𝑥+2

4𝑥4−5

c) 2+3𝑥2

3𝑥2 +1−5𝑦2

15𝑦2 −2

5𝑥𝑦 f)

2

𝑥+

1

𝑥2 −3

𝑥3 −1

𝑥−2+

5

(𝑥−2)2

b) 2𝑥3

(𝑥2+1)2 +4𝑥−3

(𝑥2+1)2 −2𝑥3+5𝑥

(𝑥2+1)2 e) 4−2𝑥+𝑥2

2+𝑥− 2 − 𝑥 g)

2

(𝑥+1)2 +3

𝑥+1− 2𝑥2

Si los denominadores de las fracciones constan de un

solo término se eligen las bases de mayor exponente.

El coeficiente del denominador solución se obtiene como en

aritmética, mediante el 𝑚. 𝑐. 𝑚.

2 8 3 2 1 4 3 2 1 2 3 2 1 1 3 3 1 1 1

𝑚. 𝑐. 𝑚. = 2 × 2 × 2 × 3

= 24

MU

LTIP

LIC

AR

DIVIDIR


MULTIPLICACIÓN

El producto de fracciones algebraicas se realiza de forma similar que en aritmética: producto de numeradores y

producto de denominadores. Si el procedimiento involucra expresiones factorizables y lo realiza, simplificará el

producto.

EJEMPLO: Resolver las siguientes operaciones.

a) (2

𝑥−3) (

−8𝑥

𝑥+3)

Solución:

(2

𝑥 − 3) (

−8𝑥

𝑥 + 3) =

−16𝑥

(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)

Observe que el denominador es el producto de binomios conjugados, por lo tanto:

=−16𝑥

𝑥2 − 9

b) (5

𝑥+2) (

𝑥2+5𝑥+6

𝑥+3)

Solución: El algoritmo para llegar a la solución no es único y depende de la estrategia que quiera implementar. En este ejemplo observe que 𝑥2 + 5𝑥 + 6 puede factorizarse y obtener (𝑥 + 2)(𝑥 + 3), de esta manera puede evaluar rápidamente el producto.

(5

𝑥 + 2) (

𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝑥 + 3) =

5

𝑥 + 2[(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

𝑥 + 3]

= 5

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES, FACTORIZA CUANDO SEA NECESARIO.

a) (−7

𝑥−5) (

−2

𝑥+5)

d) (−−8

𝑥−9) (

𝑥−9

𝑥+9) g) (

6𝑥2−18𝑥+12

6𝑥−6) (

𝑥+2

𝑥2−4)

b) (3𝑥

4𝑥+1) (

−6𝑥

4𝑥−1)

e) (4𝑥2−2𝑥

2𝑥5 ) (𝑥

2𝑥−1) h) (

𝑥

5𝑥3−10𝑥2−15𝑥) (

𝑥−3

𝑥−1)

c) (6𝑥+2

5𝑥−3) (

5𝑥+3

6𝑥−2)

−1 f) (

𝑥2−8𝑥−20

3𝑥4 ) (−3

𝑥−10) i) (

𝑥2−4𝑥−12

𝑥2−2𝑥−24) (

𝑥2−𝑥−20

𝑥2−3𝑥−10)


DIVISIÓN

Al igual que en aritmética, evaluar divisiones de fracciones algebraicas, consiste en el producto cruzado de

numerador y denominador. Observe los siguientes ejemplos, donde se realiza factorización de ciertas expresiones

para facilitar el procedimiento y simplificar el resultado.

EJEMPLOS: Realice las siguientes operaciones.

a) 𝑥2−9

𝑥−3÷

𝑥2+7𝑥+12

𝑥+2

Solución: La división consiste en productos cruzados, de la forma siguiente:

𝑥2 − 9

𝑥 − 3÷

𝑥2 + 7𝑥 + 12

𝑥 + 2=

(𝑥2 − 9)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥2 + 7𝑥 + 12)

Observe que hay expresiones que pueden ser factorizadas, y que para este caso resulta pertinente efectuarlas.

=(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)(𝑥 + 3)

De esta manera, la división se simplifica a:

=𝑥 + 2

𝑥 + 4

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES, FACTORIZA CUANDO SEA NECESARIO.

a) 𝑥2−5𝑥

𝑥+2÷

3𝑥3−15𝑥2

𝑥+2

d) 𝑥2+4𝑥−12

3÷

𝑥2+7𝑥+6

𝑥+1

b) 𝑥2−4𝑥+4

𝑥−2÷

𝑥2+𝑥−6

𝑥+3

e) 𝑥2+6𝑥+5

𝑥2−25÷

𝑥+1

𝑥−5+ 1

c) 2𝑥3 ÷8𝑥5+2𝑥3

3 f)

2

2𝑥2−14÷

𝑥2−16

𝑥2−11𝑥+28

𝑥2 − 9

𝑥2 + 7𝑥 + 12


Instituto Tecnológico de San Luis Potosí Departamento de Ciencias Básicas

Curso de selección 2017 Matemáticas

SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 1. Suma y resta de expresiones algebraicas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva las siguientes operaciones.

1. De la suma de 4𝑎2 + 8𝑎𝑏 − 5𝑏2 con 𝑎2 + 6𝑏2 − 7𝑎𝑏 restar 4𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2.

2. De la suma de 𝑥4 − 6𝑥2𝑦2 + 𝑦4 con 8𝑥2𝑦2 + 31𝑦4 restar 𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 32𝑦4.

3. De la suma de 𝑛4 − 6𝑛5 + 𝑛2 con 7𝑛3 − 8𝑛 − 𝑛2 − 6 restar −3𝑛4 − 𝑛6 − 8𝑛3 + 19.


4. Restar 5𝑎4𝑏 − 7𝑎2𝑏3 + 𝑏5 de la suma de 𝑎5 − 3𝑎3𝑏2 + 6𝑎𝑏4 con 22𝑎4𝑏 + 10𝑎3𝑏2 − 11𝑎𝑏4 − 𝑏5.

5. Restar 𝑎 − 𝑏 − 2𝑐 de la suma de: 3𝑎 − 4𝑏 + 5𝑐; −7𝑎 + 8𝑏 − 11; −𝑎 + 2𝑏 − 7𝑐.

6. Restar de la suma de 𝑚4 + 10𝑚2𝑛2 + 15𝑛4 con −11𝑚3𝑛 − 14𝑚2𝑛2 − 3𝑚𝑛3 + 𝑛4 de 6𝑚4 + 7𝑚2𝑛2 +8𝑚𝑛3 − 𝑛4.

7. De la suma de 𝑥2 + 5 con 2𝑥 − 6 restar la suma de 𝑥 − 4 con −𝑥 + 6.


8. Restar de la suma de 1

3𝑎3 +

1

8𝑎2 +

1

5 con −

3

4𝑎 −

3

5𝑎2 −

1

10 de la suma de

1

4𝑎2 −

2

3𝑎 +

1

4 con −

29

40𝑎2 +

1

3𝑎3 −

1

8.

9. De la suma de 3

5𝑥2 −

5

6𝑥𝑦 +

2

9𝑦2 con −

3

2𝑥𝑦 −

1

3𝑦2 +

1

4 restar la suma de

2

9𝑥2 −

2

3𝑦2 +

1

9𝑥𝑦 con

17

45𝑥2 −

22

9𝑥𝑦 −

3

2𝑦2 −

1

2.

10. Restar de la suma de 2

7𝑎3 −

1

5𝑏3 con −

3

4𝑎2𝑏 +

3

8𝑎𝑏2 +

1

10𝑏3 de la suma de

1

2𝑎2𝑏 +

1

4𝑎𝑏2 +

1

5 con

−5

4𝑎2𝑏 +

1

8𝑎𝑏2 −

3

2𝑏3 −

1

2.




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 2. Signos de agrupación en expresiones algebraicas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación reduciendo términos semejantes.

1. 𝑎 + {(−2𝑎 + 𝑏) − (−𝑎 + 𝑏 − 𝑐) + 𝑎} =

2. 2𝑥 + [−5𝑥 − (−2𝑦 + {−𝑥 + 𝑦})] =

3. −(𝑎 + 𝑏) + [−3𝑎 + 𝑏 − {−2𝑎 + 𝑏 − (𝑎 − 𝑏)} + 2𝑎] =


4. 7𝑚2 − {−[𝑚2 + 3𝑛 − (5 − 𝑛) − (−3 + 𝑚2)]} − (2𝑛 + 3) =

5. −[−(−𝑎)] − [+(−𝑎)] + {−[−𝑏 + 𝑐] − [+(−𝑐)]} =




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 3. Multiplicación de expresiones algebraicas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Realice las siguientes multiplicaciones.

1. 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 por 𝑥2 − 2𝑥 + 5.

2. 𝑥2 + 1 + 𝑥 por 𝑥2 − 𝑥 − 1.

3. 2 − 3𝑥2 + 𝑥4 por 𝑥2 − 2𝑥 + 3.

4. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 por 𝑥𝑦 − 𝑥2 + 3𝑦2.


5. 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 4𝑎𝑏2 por 𝑎2𝑏 − 2𝑎𝑏2 − 10𝑏3.

6. 8𝑥3 − 9𝑦3 + 6𝑥𝑦2 − 12𝑥2𝑦 por 2𝑥 + 3𝑦.

7. 𝑦2 − 2𝑦 + 1 por 𝑦4 − 2𝑦2 + 2.

8. 𝑚4 − 3𝑚2 + 4 por 3𝑚2 − 2𝑚 + 1.


9. 5𝑎4 − 3𝑎 + 2𝑎2 − 4𝑎3 − 1 por 𝑎4 − 2𝑎2 + 2.

10. 2

5𝑚2 +

1

3𝑚𝑛 −

1

2𝑛2 por

3

2𝑚2 + 2𝑛2 − 𝑚𝑛.

11. 3

8𝑥2 −

1

4𝑥 −

2

5 por 2𝑥3 −

1

3𝑥 + 2.

12. 1

3𝑎𝑥 −

1

2𝑥2 +

3

2𝑎2 por

3

2𝑥2 − 𝑎𝑥 +

2

3𝑎2.




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 4. División de expresiones algebraicas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Realice las siguientes divisiones.

1. 4𝑥8 − 10𝑥6 − 5𝑥4 entre 2𝑥3.

2. 8𝑚9𝑛2 − 10𝑚7𝑛4 − 20𝑚5𝑛6 + 12𝑚3𝑛8 entre 2𝑚2𝑛.

3. 1

4𝑚2 −

2

3𝑚3𝑛 +

3

8𝑚2𝑛2 entre

1

4𝑚2.


4. 𝑚2 − 11𝑚 + 30 entre 𝑚 − 6.

5. 𝑥2 + 15 − 8𝑥 entre 3 − 𝑥.

6. 15𝑥2 − 8𝑦2 + 22𝑥𝑦 entre 2𝑦 − 3𝑥.


7. 𝑥3 − 𝑦3 entre 𝑥 − 𝑦.

8. 𝑥4 − 9𝑥2 + 3 + 𝑥 entre 𝑥 + 3.

9. 𝑥4 − 𝑥2 − 2𝑥 − 1 entre 𝑥2 − 𝑥 − 1.


10. 𝑥6 + 6𝑥3 − 2𝑥5 − 7𝑥2 − 4𝑥 + 6 entre 𝑥4 − 3𝑥2 + 2.

11. 𝑚6 + 𝑚5 − 4𝑚4 − 4𝑚 + 𝑚2 − 1 entre 𝑚3 + 𝑚2 − 4𝑚 − 1.

12. 1

6𝑎2 +

5

36𝑎𝑏 −

1

6𝑏2 entre

1

3𝑎 +

1

2𝑏.




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 5. Problemas de razonamiento. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas.

1. Durante su primer año de operación, una fábrica de zapatos deportivos obtuvo ingresos calculados en 𝐼 =−0.25𝑥2 + 120𝑥 + 130 (1 ↔ 1000 pesos) al vender al mayoreo en 𝑥 días, 𝑥 + 10 pares de tenis (1 ↔ 100). a) Halla una expresión para el precio promedio de cada par de zapatos. b) Simplifica y obtén su precio (cientos de pesos) al concluir el año.

2. a) Halla un modelo simple para la rapidez con que trabaja una freidora de papas de una empresa, si con 𝑥 kilos de papa cruda en 2𝑥 − 1 minutos produce 𝑃 = 1800𝑥2 − 900𝑥 + 1 gramos de papa frita. b) Calcula la cantidad de papa procesada, el tiempo empleado y la rapidez cuando 𝑥 = 1, 10, 200 kg.




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 6. Productos notables Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Desarrolla los siguientes productos notables.

1. (𝑚2𝑛2 +1

3) (𝑚2𝑛2 −

1

3) 2. (3𝑥 + 2𝑦)2

3. (𝑥 − 9)2 4. (2𝑥 − 1)2

5. (3𝑥 − 2)3 6. (𝑥 + 5)3


7. (−6𝑥 + 4)2 8. (−𝑥 − 12)2

9. (8𝑥 − 7)2 10. (3𝑥 + 2)(3𝑥 + 1)

11. (𝑥 + 6)(𝑥 − 7) 12. (7𝑥 + 1)(7𝑥 − 1)

13. (4𝑥 + 5)(5 − 4𝑥) 14. (𝑥 − 3𝑦 − 8)2


15. (6𝑘 − 8𝑚)2 16. (

2

3𝑎 +

5

4𝑏)

2

17. (−2𝑘 + 5)2 18. (5𝑥 − 8𝑦 − 6𝑧)2

19. (4𝑤2 + 7𝑧3)(4𝑤2 − 7𝑧3) 20. (1

2𝑥 +

3

5𝑦) (

1

2𝑥 −

3

5𝑦)

21. (10𝑟2𝑡3𝑣4 − 12𝑠2𝑢5𝑤)(12𝑠2𝑢5𝑤 + 10𝑟2𝑡3𝑣4) 22. (3𝑧 − 6)(3𝑧 + 6)


23. (7

4𝑥 − 5) (

7

4𝑥 + 1) 24. (−𝑘 + 5)(−𝑘 + 12)

25. (1

3𝑎 +

2

5𝑏)

3

26. (4𝑥3 − 8𝑦2)3

27. (2𝑎 − 6)(2𝑎 + 6) 28. (4𝑘2 + 5𝑗2)2




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 7. Problemas de productos notables. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva siguientes problemas. Realice un dibujo que facilite su comprensión.

1. a) Escribe una expresión para el volumen de agua contenida en un tinaco de radio 𝑥 − 15, si el agua alcanza una altura de 𝑥 + 15. b) ¿Es este el volumen igual a 𝜋(𝑥 − 15)(𝑥2 − 225)? c) ¿Cuál es el diámetro del tinaco y el volumen del agua si 𝑥 = 60 cm?

2. a) Obtén 5 ternas pitagóricas. b) Generaliza el proceso.

3. a) En un parque cuadrado que mide 100 m de cada lado, se van a construir dos andadores en el centro, perpendiculares entre sí, con un ancho 𝑥. ¿Cuál es el área del resto del parque?

𝑥

10

0 m


4. ¿Cuál de los productos notables justifica que 26 × 34 = 302 − 42?

5. El área de un rectángulo es 𝑥2 + 7𝑥 +12. ¿Cuánto mide el largo y ancho?

6. Juan afirma que 43 × 47 = 402 + (3 + 7) × 40 + 3 × 7. ¿Éste cálculo aritmético es una aplicación de qué producto notable?


7. El ingreso por venta de trucha preparada en el Estado de México puede obtenerse con 𝐼 = 120𝑥 − 0.04𝑥2 =𝑥𝑝, en cientos, donde 𝑥 es la cantidad de truchas vendidas y 𝑝 el precio promedio de cada una. a) ¿Cuál es la expresión que indica el precio por trucha? b) ¿Qué ingreso se obtiene si 𝑝 = 60 pesos?

8. Encuentra una expresión algebraica para los lados del cuadrado, y otra para su perímetro, si su área es igual a 9𝑥2 − 30𝑥 + 25.


9. La guacamaya roja es una especie en peligro de extinción debido a la desaparición de su hábitat y a su lento proceso de reproducción: una pareja procrea uno o dos polluelos que tardan 2 años en dejar a sus padres. El hábitat de estos animales en el parque ZooMat, en el estado de Chiapas, de 2002 a 2006, puede modelarse (en m2) con −45𝑥2 − 45𝑥 + 8190 (𝑥 = 0 ↔ 2002). Si el año 2002 habían 14 guacamayas rojas, y cada año el total aumenta en 1. a) Halla un modelo para la dimensión del hábitat por guacamaya cada año. b) Determine el tamaño del hábitat individual en 2002 y en 2006. SUGERENCIA: Hábitat total =Cantidad de guacamayas × hábitat individual.

10. Si el precio semanal por una taza de chocolate fue 𝑝 = 10 −𝑥

10 y 𝑇 = (−

1

5) (𝑥2 − 30𝑥 − 7000) es el ingreso

por la venta semanal. a) ¿Cuántas tazas de chocolate se vendieron en la semana 𝑥? b) ¿Y en las semanas 0, 1, 2, 10 y 12? c) ¿Cuál fue, en esas semanas, el precio de cada taza de chocolate?




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 8. Factorización Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Factorizar o descomponer en factores

1. 15𝑦3 + 20𝑦2 − 5𝑦 2. 93𝑎3𝑥2𝑦 − 62𝑎2𝑥3𝑦2 − 124𝑎2𝑥

3. 𝑎2𝑥2 − 3𝑏𝑥2 + 𝑎2𝑦2 − 3𝑏𝑦2 4. 3𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑏𝑥 − 6𝑎 + 3𝑎𝑦 + 4𝑏

5. 3𝑎2 − 7𝑏2𝑥 + 3𝑎𝑥 − 7𝑎𝑏2 6. 3𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 9𝑎𝑏2 − 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 3𝑏2


7. 1 + 49𝑎2 − 14𝑎 8. 16𝑎2 + 24𝑎𝑏 + 9𝑏2

9. 36𝑚2 + 96𝑚𝑛 + 64𝑛2 10. 𝑐2

16−

1

2+

1

𝑐2

11. 𝑥2

25−

𝑥𝑦

5+

𝑦2

4 12. 36𝑥6 + 60𝑥3𝑦2 + 25𝑦4

13. 49𝑎2𝑏2 − 14𝑎𝑏 + 1 14. 100𝑥2 + 20𝑥 + 1




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 9. Factorización Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Factorizar o descomponer en factores.

1. 36𝑥2 − 4𝑦2 2. 16𝑥4 − 4𝑦6

3. 81

49𝑥16 −

25

36𝑦8 4. 196𝑥2𝑦4 − 225𝑧12

5. 4𝑥2 + 25𝑦2 − 36 + 20𝑥𝑦 6. 25 − 𝑥2 − 16𝑦2 + 8𝑥𝑦


7. 28 + 𝑎2 − 11𝑎 8. 𝑥2 − 17𝑥 − 60

9. 𝑚2 − 2𝑚 − 168 10. 𝑥2 + 12𝑥 − 364

11. 5𝑥2 + 20𝑥𝑦 + 15𝑦2 12. 9𝑎2 − 12𝑎 − 5

13. 21𝑟2 − 38𝑟𝑠 + 5𝑠2 14. 16𝑥2 − 2𝑥 + 8




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 10. Problemas de factorización. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva siguientes problemas. Realice un dibujo que facilite su comprensión.

1. ¿Cuáles son las medidas de los lados de un rectángulo si su área es 𝑥2 + 𝑥𝑦?

2. El área de un rectángulo es 𝑥2 + 7𝑥 + 12. ¿Cuánto mide de largo y ancho?

3. El área de un cuadrado es 𝑥2 + 6𝑥 + 9 cm2. ¿Cuánto mide por lado?




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 11. Suma y resta de fracciones algebraicas Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Exprese las sumas como una sola expresión.

𝟏. 2

3(2𝑥 − 1)+

7

6(𝑥 + 1)−

1

2(𝑥 − 1)

𝟐. −12

2𝑥 − 1+

19

3𝑥 − 1

𝟑. 𝑥

10(𝑥2 + 1)+

1

20(𝑥 − 1)+

1

20(𝑥 + 1)


𝟒. 1

𝑥−

𝑥

𝑥2 + 4

𝟓. 3 +29

𝑥 − 3−

13

𝑥 − 2)

𝟔. −1

7(𝑥 − 2)+

37

7(2𝑥 + 3)

𝟕. −10

𝑥+

13

𝑥 − 1−

12

(𝑥 − 1)2+

5

(𝑥 − 1)3


𝟖. 1 −1

𝑥+

3

5(𝑥 − 1)−

6

5(2𝑥 + 3)

𝟗. 3

(𝑥 + 1)2−

14

(𝑥 + 1)3+

16

(𝑥 + 1)4

𝟏𝟎. 29

𝑥 + 1−

101

𝑥 + 2−

18𝑥 − 1

3𝑥2 − 𝑥 + 1

𝟏𝟏. 𝑎

3𝑏2𝑐−

2𝑏

9𝑎𝑐2+

5𝑐

18𝑎2𝑏


𝟏𝟐. 1

𝑥−

3 − 2𝑥

2𝑥 − 1+

1

𝑥(2𝑥 − 1)

𝟏𝟑. 10𝑏2 − 𝑎𝑏

𝑎(𝑎2 − 4𝑏2)−

1

𝑎 − 2𝑏+

2

𝑎

𝟏𝟒. 2𝑎3 + 54𝑏3

(2𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 3𝑏)+

8𝑎𝑏 − 19𝑏2

2𝑎 − 𝑏− 𝑎 − 𝑏

𝟏𝟓. 2𝑟

𝑟2 − 𝑠2−

4𝑟𝑠

(𝑟 + 𝑠)2(𝑟 − 𝑠)−

𝑟 − 𝑠

(𝑟 + 𝑠)2




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 12. Operaciones con fracciones Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Efectúe las operaciones indicadas y simplifique.

𝟏.

12 + ℎ

−12

ℎ

𝟐.

1𝑥 +

1𝑦

𝑥2 − 𝑦−2

𝟑. 2 −

7𝑥 +

3𝑥2

2 +3𝑥 −

2𝑥2


𝟒. 𝑥 + 1 +

𝑥 + 1𝑥 − 1

𝑥 −2

𝑥 − 1

𝟓. 1 +

4𝑏𝑎 − 𝑏

3 +8𝑎𝑏

𝑎2 − 𝑏2

𝟔.

13𝑥 − 2𝑦 +

12𝑥 + 3𝑦

2𝑥 + 3𝑦3𝑥 − 2𝑦 + 1

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