Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 1

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Segundo Parcial – Ciencias Exáctas – 1997

1) Hallar el área de la región encerrada entre las curvas y = 3−x , y = ½ x – 1 y el eje x. Hacer un gráfico donde se indique la región.

2) Hallar ∫3

0)( dxf x sabiendo que f (x) = 5 x 2. f ”(x) ; f ’(3) = 2; f (3) = − 1.

3) La función 5)( 1+= axf x tiene como polinomio de Taylor de orden 2 en xo = 0 a

P(x) = 1 + 7 x – 2

196 x 2. Hallar el valor de a si R(x) es el resto de orden 2, hallar la expresión de R1.

4) Determinar si la serie ∑∞

=

−

+1

1

122

n

n

n es convergente ó divergente.

______________________________________________________________________________

Respuestas:

Ejercicio 1: Para hallar el punto de intersección de ambas gráficas, las igualamos y despejamos x.

( )

( )4)4(0

1680

420

13

1313

241

241

241

241

2

21

21

=⇒−=

+−=

+−=

+−=−

−=−→−=−

xx

xx

xx

xxx

xxxx

En área entre las gráficas y el eje de las x depende de los ceros de la función de cada una de las fun-ciones (x = 2 para la recta y x = 3 para la raíz) y el punto de intersección. De allí sacamos los límites de integración. Entre [2, 3] está la recta y entre [3, 4] debemos restar el área de la recta y la raíz. Las cuentas nos quedan así:

( ) [ ]

( )

( ) ( )

buscada Área 31

121

41

3332

34

334

32

44

42

42

34

3

332

44

311

32

3222

4

3

323

2

2

3

2

4

321

21

→=+=

=

−−−−

−−−+

−−

−=

=−−−+−=

=−−−+−∫ ∫

xxx

xx

dxxxdxx

Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 2

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Ejercicio 2: En este tipo de ejercicio necesitamos aplicar integral “por partes” ya que f(x) = 5 x2 f ”(x) y no sabemos que la derivada de 5x2 sea f ”(x) por lo que no se puede aplicar “sustitución”. No conviene dejar los límites de integración durante la operación ya que habría que cambiarlos.

∫ ∫−= dvvvudvu .. .

∫∫ =−= dxxffx dxf . x xxx .10.''5'' 5 )()(2

)(2

u = 5x2 → du = 10x dx

dv = f ”(x) dx → v = f”(x)

Aplicamos nuevamente por partes.

∫ ∫−= dvvvudvu .. .

( )∫∫ −−=− dxffxfxdxfxfx xxxxx )()()(2

)()(2 10.10'.5.' .10 '5

u = 10x → du = 10 dx

dv = f ’(x) dx → v = f (x)

∫∫ +−= dxffxfxdxf xxxx )()()(2

)( 10.10'.5 (despejemos la integral de f(x))

∫∫ ∫ −=−→−=+ )()(2

)()()(2

)()( .10'.59.10'.510 xxxxxxx fxfxdxffxfxdxfdxf

( )∫ −−= )()(2

)( .10'.591

xxx fxfxdxf (Ahora pongamos los límites de integración y podemos hallar

lo que nos han pedido, teniendo en cuenta que f ’(3) = 2; f (3) = − 1).

( ) ( ) ( )∫

−−−−−=−−=

3

0)0()0(

2)3()3(

23

0)()(

2)( .0.10'.0.5

91

.3.10'.3.591

.10'.591

fffffxfxdxf xxx =

( )340

0)1.(3.102.9.591 −=−−−−

Ejercicio 3: Nos dicen que la función 5)( 1+= axf x tiene como polinomio de Taylor de orden 2

en xo = 0 a P(x) = 1 + 7x –2

196x 2.

Quiere decir que la primera derivada f ’(0) = 7 y la segunda derivada f “(0) = – 196

Derivemos la función para hallar la primera derivada:

.3577.)10.(.5

17.

)1(5

1'

1

51

5 4)0(

5 4)(

5)(

=⇒=⇒=+

⇒=→+

=

+=

aaaa

faax

f

axf

x

x

Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 3

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Comprobemos con la segunda derivada.

196)10.35(

196"

)135(

196"

)135(

7'

)135(5

35'

)0(5 9

)(

5 4)(

5 4)(

−=+

−=→+

−=

+=→

+=

fx

f

xf

xf

x

xx

Debemos hallar la expresión de R1.

))(()1(

1

)( )!1()(

axan

n

xn fn

axR −σ+

++

+−= Donde 0 < σ <1 y a representa el valor que le damos a x

para armar el polinomio. Es por eso que nos queda:

)()1(

1

)( )!1()(

xn

n

xn fn

axR σ

++

+−=

Tomemos un valor intermedio de σ

( )( )

( )( )

21)1(

12348.

!3)135(

12348.

!3 5 144

35

3

21

35 14

21

3

21

3 21

21 ≈

+=⇒

+σ= RR

(En este caso donde x = ½ debemos calcular 79,15,181.35 5521 ≈=+ ; aplicando el polinomio nos

da un valor de – 20. El error es de 21,79).

Ejercicio 4: Para determinar si la serie ∑∞

=

−

+1

1

122

n

n

n es convergente aplicamos el criterio D’alambert

}

{

.22.22

2.)2(

)2(2.

)2(

)2(

2.2

12.

322

2

12.

1222

122

:1)1(2

2

0

3

01

3

1

11

1111)1(

)(

)1(

==+

+

∞→=

+

+

∞→=

=++∞→

=+++∞→

=+++∞→

=∞→ −−

−+−−++

n

n

n

n

n

n

n

nnn

n

n

n

lim

n

n

n

lim

nnn

limnnn

lim

nnn

lim

f

f

n

lim

Como el límite es mayor que 1, entonces la serie es divergente.

Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 1

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Segundo Parcial: Ciudad Universitaria – 1º Cuat. de 2001

1- Sabiendo que la función f satisface la ecuación x. f ''(x) + [f '(x)]3 = e2x para todo x ∈ R con f(0) = 4 halle el polinomio de Taylor de orden 3 en xo = 0 de f.

Rta.: P(x) = 4 + x + 3 x2 + 0 x2

2- Encuentre constantes a y b reales tales que dxexbadxex x−−∫ ∫+=1

0

1

0

577 .

Rta.: a = – 8. e – 1 y b = 42

3- Halle el área de la región del plano ubicada en el primer cuadrante, comprendida entre los ejes coordenados, la recta

34ln=y y la curva de ecuación ( )xy +=

31ln .

Rta.: 2 – 2 ln(J)

4- Considere la serie de potencias ∑∞

= ++−−

1 1)12(

)3()1(

n

nn

nn

x, encuentre el intervalo más grande donde la

serie converge absolutamente y estudie la convergencia en los extremos de dicho intervalo.

Rta.: Converge absolutamente en x = [2;4) y condicionalmente en x = 4.