Análisis, Ciencias Económicas, segundo Parcial, U.B.A. Pág. 1

Si necesitas clases puedes llamar al 011–15–67625436

Segundo parcial_1997:

1) Calcular 3

52

lím+

∞→

+− n

x nn

2) Estudiar la continuidad de la función f en x = 0 siendo

≤+−

>= −+0 si 24

0 si 1

22

)(xx

xf xex

x

x

3) La función de ganancia marginal por producir por unidad está dada por 205

52'

2)(++

+=

xx

xG x .

Determinar en asciende la ganancia si la producción varía de 20 a 30 unidades. 4) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de f(x) = sen (3 x) en x = 0. Calcular un valor aproximado de sen (0,3) por medio del polinomio.

Respuestas : 1) 73

52

lim −+

∞→=

+−

enn n

n 2) f no es continua en x = 0 3) G( 3 0 ) – G( 2 0 ) ~ 0,722

4) P3 (0,1) ~ 0,2955 ~ sen 0,3 ~ f(0,1) Segundo parcial_1997:

1) La función de demanda para cierto producto es p = D(q) = q−750 (0 < q < 750 ) y el punto de equilibrio es (125;25). Calcular el excedente del consumidor cuando el mercado está en equilibrio.

2) Hallar a ∈ R para que 43

).1ln(5sen5

lím0

=

+−+

→ xaxe x

x

3) Calcular el límite de la sucesión 23

757 +

+

=n

n nn

a

4) Estudiar la convergencia de la serie ∑∞

=

+

1 7

)2(3

nn

n n

Rta.: 1) EC. ~ 151,397 2) a = 8 3) e 15/7 4) converge

Segundo Parcial: Primer cuatrimestre 1997

1) Calcular

+−−

∞→63lim 22 nnn

n.

2) Calcular ( )

−+

−+→ 9

42sen lim

6332 xx ex

x.

3) Calcular el excedente del consumidor cuando el mercado está en equilibrio, si la función de demanda es D(q) = − 2 q2 – q +91 y la de oferta es O(q) = 3q + 61.

4) Analizar la convergencia de la serie ∑∞

=13

4

nne

n

Respuestas: 1) 23

2) 152

3) E. C. = 40,5 4) La serie converge.

Segundo Parcial: Primer cuatrimestre 1997

1) Calcular 17

53 2

+++

∞→ nnn

limn

.

Análisis, Ciencias Económicas, segundo Parcial, U.B.A. Pág. 2

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2) Calcular )1.(

sen lim

3

2

0 −→ xx ex

x.

3) Un comerciante sabe que la función de ingreso marginal es: ( )644

'2 +

=q

qqR

Sabiendo que si no hay ventas, el ingreso es nulo. ¿Cuánto ingresará si se venden 3 unidades?

4) Estudiar la convergencia de la serie ∑∞

= +1 41

3

nn

n.

Respuestas: 1) 74 2)

31

3) ( ) 2644. 241 −+= qR q 4) La serie es convergente

Segundo Parcial: 1° Cuatrimestre 1997

1) Calcular el n

n nn 3

82

lim

++

+∞→.

2) Sea f: (4, +∞)→R, dada por f(x) =

=

≠−

−

5 si

5 si 25

)4ln(2

xa

xx

x. Calcular a para que f sea continua en x = 5.

3) La función de demanda de cierto producto es ( ) 11

90−

+==

qqDp para 0 < q < 89. Si el punto

de equilibrio es (14 , 5), calcular el excedente del consumidor.

4) Estudiar la convergencia de la serie ∑∞

=

+1 15n

n

nn

. Justifique la respuesta

Respuestas: 1) e – 18 2) 101

=a 3) E. C. = 173,72

Segundo Parcial: 1° Cuatrimestre 1997

1) Hallar el límite de122

412

31

34sen

1

nn

nnnn

nan

++

−+−=

2) Calcular

−→ xx

e x

x cos21

lim0

.

3) La función de ingreso marginal para un fabricante es R’(q) =3 2

1200

q. Obtener el cambio que se

produce en los ingresos totales del fabricante si aumenta su producción de 343 a 1000.

4) Analizar la convergencia de la serie ( )∑∞

=−

1

100

21

nn

n n

Respuestas : 1) 34

− 2) 21

3) R(1000) – R(343) = 10.800 4) La serie converge absolutamente.

Primer parcial, Análisis, Cátedra Gutierrez. Pág. 1

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Segundo Parcial de Análisis (Cs. Económicas)

Cátedra Gutiérrez Segundo parcial_1997:

1. Calcular 3

52

lím+

∞→

+− n

x nn

2. Estudiar la continuidad de la función f en x = 0 siendo

≤+−

>= −+0 si 24

0 si 1

22

)(xx

xf xex

x

x

3. La función de ganancia marginal por producir por unidad está dada por 205

52'

2)(++

+=

xx

xG x .

Determinar en asciende la ganancia si la producción varía de 20 a 30 unidades. 4. Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de f(x) = sen (3 x) en x = 0. Calcular un valor aproximado de sen (0,3) por medio del polinomio.

1) 3333

57

55

lím5

75lím

5552

lím52

lím+

∞→

+

∞→

+

∞→

+

∞→

+−

++

=

+−+

=

+−+−

=

+− n

x

n

x

n

x

n

x xnn

nn

nn

nn

)3.(5

7lím

75

3

75

3 75

11lím

11lím

57

1lím

+

+−

−

+∞→

+

+∞→

+

∞→

∞→+

−+=

−+=

+−=

nn

nn

n

nn

n

n

nn

e

n444 3444 21

= 75)3(7

lím−+

+−

=∞→ ee n

n

n Usando L´Hopital 2) Para que una función sea continua en un punto debe cumplir ciertos “requisitos”, el primero es el valor que se le de a x para la función tenga imagen (resultado). Para ello tomamos la parte de la ecua-ción que indica que x < 0 → – 4x + 2 = – 4.0 + 2 = 2. El segundo requisito es que el límite de x tendiendo a cero (x → 0), sea por izquierda o por derecha, nos de el mismo resultado, y la tercera condición es que este resultado sea la imagen de cero en la función.

Por lo tanto 2)24(lím1

2lím

0

2

0=+−=

−+ +− →→x

ex

x

xx

x

Primer parcial, Análisis, Cátedra Gutierrez. Pág. 2

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Trabajemos sobre la primera expresión, que al darnos una indeterminación, nos conviene trabajarla mediante L´Hopital.

4 44

lím1

4lím

1

2lím

000

2

0−=

−=

−=

−=

−+ −−− →→→ eee

x

ex

xx

xx

xx

x

Los límites no son iguales, la función no es continua en x = 0. 3) Matemáticamente lo que nos están pidiendo es una integral definida entre el intervalo [20, 30].

69,0550ln1100ln

|5020.520|ln|5030.530|ln

52

)52(

505

|505|ln||ln1

52.

52

505

52

222

30

20

30

20

22

=−==++−++

=+

+=++=

++===+

+=

++

+∫ ∫ ∫

dxxdu

dxxdu

xxu

xxuduux

duu

xdx

xx

x

4) El polinomio de Taylor es:

P ff

x af

x af

nx a R xx a

a an

a nn( ) ( )

( ) ( ) ( )

!( )

!( ) ...

!( ) ( )= +

′− +

′′− + + − +

1 22

Derivemos para armarlo: a = 0 f(o) = sen (3.0) = 0; f ‘(x) = 3.cos 3x → f ‘(o) = 3.cos (3.0) = 3; f ”(x) = – 9 sen 3x→ f “(o) = – 9. sen 0 = 0 f‘“(x) = – 27 cos 3x → f “‘(o) = – 27.cos 0 = – 27. 0,3 = 3x → x = 0,1

2955,01,0.29

1,0.329

3

)0(!327

)0(!2

0)0(

!13

0

3)1,0(

3)(

32)(

=−=→−=

−−

+−+−+=

PxxP

xxxP

x

x

Hay que tener en cuenta que el resultado del sen 0,3 es en radianes.

Segundo parcial – Análisis I (Cs. Ec.) – Cátedra Dapiagi – soko.com.ar

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