Segunda Unidad

Indice general

1

2 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Series de Fourier

Una funcion f(t) se dice que es periodica si sus imagenes se repiten enintervalos regulares en su dominio una funcion periodica.

El intervalo entre dos replicas sucesivas se llama periodo de la funcion. Porlo tanto decimos que una funcion f(t) es periodica con periodo T si, para todoslos valores t de su dominio

f(tmT ) = f(t)para cualquier entero m.

f =1

T

ω =2π

T

1.1. Teorema de Fourier

Definicion Este teorema afirma que una funcion periodica saisfase ciertascondiciones y puede expresarse como la suma de un numero de funciones senode diferentes amplitudes, fasrs y periodos

f(t) = A0 +A1sen(ωt+ φ1) +A2(sen(2ωt+ φ2) + ......

donde: A y lasφ son las constantes A0 +A1sen(ωt+φ1) es la primera armonicao modo fundamental y tiene la misma ω que la funcion padre f(t). La expansionpuede escribirse como:

f(t) =1

2a0 +

∑∞n=1 ancos(

nπt

T) +

∑∞n=1 bnsin(

nπt

T)

donde:

bn = Ancos(φn)an = Ansen(φ) a0 = 2A0

3

4 CAPITULO 1. SERIES DE FOURIER

1.2. Los coeficientes de Fourier

integrales de T =2π

ω

∫ d+T

d

cos(nωt) dt = 0→ (n 6= 0)yT → (n = 0)

∫ d+T

d

sen(nωt) dt = 0→ toda(n)

∫ d+T

d

sen(mωt)sen(nωt) dt = 0→ (m 6= n)yT

2→ (n = m 6= 0)

∫ d+T

d

cos(mωt)cos(nωt) dt = 0→ (m 6= n)yT

2→ (m− n 6= 0)

∫ d+T

d

cos(mωt)sen(nωt) dt = 0→ (todamyn)

Estas constituyen a funciones ortogonales Donde los coeficientes estan dadospor las formulas de Euler

a0 =2

T

∫ d+T

d

f(t))

an =2

T

∫ d+T

d

f(t)cos(nωt) dt→ (n = 0,1,2,3.....)

bn =2

T

∫ d+T

d

f(t)sen(nωt) dt→ (n = 0,1,2,3.....)

Ejemplo

Hallar los coeficientes en S.F. : f(t) = t; en todo 0 < t < 2π

f(t) =1a0 +

∑∞n=1 ancos(

nπt

T)

a0 =2

T

∫ T

0

f(t) dt

a0 =2

π

∫ 2π

0

t dt

1.2. LOS COEFICIENTES DE FOURIER 5

a0 =2

π(t2

2|2π0

a0 = 2π

an =2

T

∫ T

0

f(t)cos(nπt

T) dt

an =1

π

∫ 2π

0

tcos(nt)

t cos(nt)

11

ntsennt

0 − 1

nt

2

cosnt

an =1

π(t

nsen(nt)− 1

nt

2

|2π0

an =1

π(2π

nsen2nπ +

1

n

2

cos2nπ − cos0

n2

an = 0

bn =2

T

∫ T

0

f(t) dt

bn =1

π

∫ 2π

0

tsen(nt) dt

bn =1

π(− tncons(nt) +

sen(nt)

n2|20π

bn =−2n

f(t) = π −∑∞n=1

2

nsen(nt)


1.3. Funciones de periodo 2π

si el periodo T de una funcion periodica f(t) es de 2π entonces w=1 y laserie se convierte en:

f(t) = 12a0 +

∑∞n=1 ancos(nt) +

∑∞n=1 bnsen(nt)

con los coeficientes dados por:

an = 1π

∫ d+2π

df(t)cos(nt) dt (n = 0, 1, 2, .....)

bn = 1π

∫ d+2π

df(t)sen(nt) dt (n = 0, 1, 2, .....)

aunque en la practica rara vez una frecuencia es unitaria, la de este caso parti-cular de reduce la cantidad de manipulacion matematica involucrada.

Ejemplo:

Una funcion periodica f(t) con periodo 2π esta definida por:

f(t) = t2 + t (−π < t < π), f(t) = f(t+ 2π)

a0 = 1π

∫ π−π f(t) dt = 1

π

∫ π−π (t2 + t) dt = 2

3π2

an = 1π

∫ π−π f(t)cos(nt) dt

an = 1π

∫ π−π (t2 + t)cos(nt) dt

an = 1π

[t2

n sen(nt) + 2tn2 cos(nt)− 2

n3 sen(nt) + tnsen(nt) + 1

n2 cos(nt)]

an = 1π

4πn2 cos(nπ)

an = 4n2 (−1)

n

bn = 1π

∫ π−π f(t)sen(nt) dt

bn = 1π

∫ π−π (t2 + t)sen(nt) dt

bn = 1π

[− t

2

n cos(nt) + 2tn2 sen(nt) + 2

n3 cos(nt)− tncos(nt) + 1

n2 sen(nt)]

bn = − 2ncos(nπ)

bn = − 2n (−1)

n

entonces la funcion en terminos de serie de Fourier es:

f(t) = 13π

2 +∑∞n=1

4n2 (−1)

ncos(nt)−

∑∞n=1

2n (−1)

nsen(nt)

1.4. FUNCIONES PARES E IMPARES 7

1.4. Funciones pares e impares

Observar que una particular posee ciertas propiedades de simetrıa nos permitetanto decir cuales terminos estan ausentes en la expansion en serie de Fourierde la funcion como simplificar las expresiones que determinan los coeficientesrestantes.Si f(t) es una funcion par entonces f(t) = f(−t) para todo t, y la grafica de lafuncion es simetrica con respecto al eje vertical.Si f(t) es una funcion impar entonces −f(t) = f(−t) para todo t, y la graficade la funcion es simetrica con respecto al origen, esto es, hay una simetrıa decuadrante opuesto.

Propiedades:a) la suma de dos (o mas) funciones impares es una funcion impar.b) el producto de dos funciones pares es una funcion par.c) el producto de dos funciones impares es una funcion impar.d) el producto de una funcion impar y una par es una funcion impare) la derivada de una funcion par es una funcion impar.f) la derivada de una funcion impar es una funcion par.

Los coeficientes de Fourier para una funcion par:

a0 = 4T

∫ T2

0f(t) dt

an = 4T

∫ T2

0f(t)cos(nwt) dt

la funcion generalizada:

f(t) = 12a0 +

∑∞n=1 ancos(nwt)

Los coeficientes de Fourier para una funcion impar:

bn = 4T

∫ T2

0f(t)sen(nwt) dt

la funcion generalizada:

f(t) =∑∞n=1 bnsen(nwt)

Ejemplo:

Una funcion periodica f(t) con periodo 2π esta definida dentro del periodo−π < t < π por:

f(t)

{−1, (−π < t < 0)

1, (0 < t < π)

Encuentre la expansion de Fourier.

Como la funcion es impar se tiene que:


f(t) =∑∞n=1 bnsen(nwt)

entonces:

bn = 2π

∫ π0f(t)sen(nt) dt

bn = 2π

∫ π0sen(nt) dt

bn = 2π

[− 1ncos(nt)

]bn = 2

nπ [1− cos(nπ)]

bn = 2nπ [1− (−1)

n]

{4nπ (impar n)

0 (par n)

la funcion como serie seria:

f(t) = 4π

∑∞n=1

sen(2n−1)t2n−1

1.5. Propiedad de la linealidad

La propiedad de la linealidad aplicada a la serie de Fourier puede ser formu-lada de la siguiente manera

si f(t)=lg(t)+mh(t), donde g(t) y h(t) son funciones periodicas de periodoT,I y m son constantes arbitrarias, entonces f(t) tiene expansion en serie de Fou-rier en donde los coeficientes son las sumas de los coeficientes de las expansionesde las series de Fourier de g(t) y h(t) multiplicados pot I y m respectivamente.

Es claro que f(t) es periodica con periodo T . si las expansiones de las seriesde Fourier de g(t) y h(t) son

g(t) =1

2a0 +

∞∑n+1

an cos(nwt) +

∞∑n+1

bn sen(nwt)

h(t) =1

2a0 +

∞∑n+1

αn cos(nwt) +

∞∑n+1

βn sen(nwt)

1.5. PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD 9

entonces usando los coeficientes de Fourier en la expansion de f(t) son

f(t) = [lg(t) +mh(t)]

confirmando que la expansion en serie de Fourier de f(t) es

f(t) =1

2(la0 +mα0) +

∞∑n=1

(lan +mαn)cos(nwt) +

∞∑n=1

(lbn +mβn)sen(nwt)

Ejemplo:

Supongamos que g(t) y h(t) son funciones periodicas de periodo 2∗π y estandefinidas dentro del periodo −π < t < π por g(t) = t2 y h(t) = t

Determine las expansiones en series de Fourier de ambas g(t) y h(t) y utilicela propiedad de linealidad

g(t) =1

3π2 + 4

∞∑n=1

(−1)n

n2cos(nt)

Reconociendo que h(t)=t es una funcion impar de t encontramos, haciendoT = 2 ∗ πyw = 1

h(t) =

∞∑n=1

bnsen(nt)

donde

bn =2

π

∫ π

0

h(t)sen(nt) dt

bn =2

π

∫ π

0

tsen(nt) dt

bn =2

π

[− tncosnt + sen nt

n2

] π0

bn = − 2

π(−1)

n

Como resultado seria

h(t) = −2

∞∑n=1

(−1)n

nsen (nt)

Usando la propiedad de linealidad encontramos,combinando las ecuaciones quela expansion en serie de Fourier de f(t) = g(t) + h(t)

f(t) =1

3π2 + 4

∞∑n=1

(−1)n

n2cos(nt)−−2

∞∑n=1

(−1)n

nsen (nt)


1.6. Convergencia de las series de Fourier

Para que exista una convergencia se establece un conjunto de condiciones quenos aseguren que f(t) tiene una expancion en serie de Fourier convergente.Estascondiciones, conocidas como las condiciones de DIRICHLET,pueden expresarseen la forma siguiente:

Si f(t) es una funcion periodica acotada que en cualquier periodo tiene

a) un numero finito de maximos y minimos aislados y

b) un numero finito de puntos de discontinuidad finita

Entonces la expansion serie de Fourier de f(t) converge a f(t) en todos lospuntos donde f(t) es continua y al promedio de los limites por la derecha y porla izquierda de f(t) en los puntos donde f(t) es discontinua esto es, al promediode la discontinuidad.

Las condiciones de Dirichlet son suficientes para asegurar que una expansionen serie de Fourier de f(t) existe.Sin embargo no son condiciones necesariaspara la convergencia, y no se puede concluir que una representacion en serie deFourier no existe si no se satisfacen estas condiciones.

a)Si f(t) es solo continua a pedazos entonces los coeficientes en su represen-tacion en serie de Fourier decrecen conforme 1

n .

b)Si f(t) es continua en todos lados pero tiene primeras derivadas disconti-nuas entonces los coeficientes en su representacion en seri de Fourier decrecenconforme 1

n2

c)Si f(t) y todas sus derivadas hasta de r-esimo orden son continuas pero la (r+ 1)-esima derivada es discontinua entonces los coeficientes de su representacionen serie de Fourier decrecen como 1

nr+1

1.7. Aplicaciones a la ingenieria

1.7.1. Formulas necesarias para las aplicaciones en inge-nieria

xss(t) = A | G(jw) | sin[wt+ argG(jw)]

P (t) = 12a0 +

∑∞n=1Ansin(nwt+ φ)

xss(t) = 12a0G(0) +

∑∞n=1An | G(jnw) | sin[nwt+ φ+ argG(jnw)]

Ejemplos

El sistema masa-resorte-amortiguado de la figura 4.26 (a) esta inicialmente enreposo en una posicion de equilibrio. Determine la respuesta en estado estacio-nario del sistema cuando la masa esta somentida a una fuerza periodica P(t)aplicada externamente que tiene la forma de la onda cuadrada mostrada en lafigura 4.26

1.7. APLICACIONES A LA INGENIERIA 11

en latex/imagen1.png

trabajos en latex/imagen1.png

Determinacion de la serie de fourier siendo: f(t) = 10t; en 0 < t < π yf(t) = −10t en π < t < 2π

f(t) =1

2a0 +

∑∞n=1 ancos(

nπt

T) +

∑∞n=1 bnsin(

nπt

T)

a0 =2

T

∫ T

0

f(t) dt

a0 =2

2π

∫ π

0

10 dt2

2π+

∫ 2π

π

−10 dt

a0 =1

π(10t|π0 − 10t|2ππ

a0 = (10π − 10(2π − π))

a0 = 0

an =2

T

∫ T

0

f(t)cos(nπt) dt

an =2

2π

∫ π

0

10cos(nπ)−∫ 2π

π

10cos(nt) dt

an =10sen(nt)

n|π0 −

10sen(nt)

n|2ππ

an = 0

bn =2

T

∫ T

0

f(t)sen(nπt) dt

bn =2

2π(

∫ π

0

10sen(nπ)−∫ 2π

π

10sen(nt) dt)

bn = − 1

π(10cos(nπ

n+

10cos(nt)

n|2ππ )


bn = − 1

π(10cos(nπ

n+

10cos(0)

n+

10cos(2πn)

n−+

10cos(πn)

n)

bn =20

nπ(1− (−1)n)

f(t) =20

π+∑∞n=1

1

n(1− (−1)n)sen(nt)

f(t) =20

π[2sen(t) +

2

3sen(3t) +

2

5sen(5t) + .....]

Por la ley de Newton el desplasamiento x(t) de la masa en el tiempo t esta dadapor:

P (t) = Md2t

dt2+B

dx

dt+Kx

De manera que el sistema puede ser representado por el diagrama de bloque dela figura 4.27



Asi la funcion de transferencia es :

G(s) =1

Ms2 +Bs+K

La expancion en serie de furier es:

P (t) =20

π[sen(t) +

sen(3t)

3+sen(5t)

5+ ......+

sen(2n− 1)t

2n− 1+ .....+]

Un(t) =20

π[sen(2n− 1)t

2n− 1]

Sustituyendo los valores K,B,A tenemos:

G(s) =1

10s2 + 0,5s+ 250

Asi:

G(s) =1

10ω2 + 0,5jω + 250

1.7. APLICACIONES A LA INGENIERIA 13

G(s) =250− 10ω2

D− j 0,5ω

D

donde:D = (250− 10ω2)2 + 0,5ω2, de manera que :

G(jω) =2

√(250− 10ω2)2 + 0,25ω2

D2

12√D

=1

2√

(250− 10ω2)2 + 0,25ω2

argG(jω) = −tan−1(0,5ω

250− 10ω2)

Usando la respuesta en estado estacionario del sistema de la n-esima armonicaUn(t) dada es:

Xcen(t) =20

π(2n− 1)[G(j(2n− 1))sen[(2n− 1)t+ argG(j(2n− 1))]

El estado estacionario a armonicas individuales es:

X(ce) =∑∞n=1Xcen(t)

X(cen) =20

π

1[2√

(250− 10)2 + 0,25]sen[t− tan−1(

0,5

240)]

X(cen) = 0,053sen(t− 0,003)



X(cen) =20

3π

1[2√

(250− 90)2 + 2,25]sen[3t− tan−1(

4,5

160)]

X(cen) = 0,027sen(3t− 0,009)

X(cen) =20

5π

1[2√

6,25sen[5t− tan−1(

2,5

0)]

X(cen) = 1,028sen(5t− π

2)

X(cen) =20

7π

1[2√

(250− 490)2 + 12,25]sen[7t− tan−1(

3,5

−240)]

X(cen) = 0,0076sen(7t− 3,127)


Asi logramos una respuesta aproximada

X(cen) =

0,053sen(t−0,003)+0,027sen(3t−0,54)+1,02sen(5t−π2

)+0,0076sen(7t−3,127)

Determine la corriente en estado estacionario en el circuito de a figura, comoresultado de la aplicacion del voltaje periodico mostrado en la figura

en latex/PDF.png

trabajos en latex/PDF.png

Funcion.

en latex/funcion.png

trabajos en latex/funcion.png

Resolucion del ejercicio

e(t) = a02 +

∑∞n=1 ancos(nwt) +

∑∞n=1 bnsen(nwt)

a0 = 100∫ 1

100

0dt = 10

an = 100∫ 1

100

010cos(100nπt)dt = 0

bn = 100∫ 1

100

010sen(100nπt)dt = 10

nπ [1− (−1)n] =

f(x) =

0 si npar

20nπ si nesimpar

La serie de fourier queda de la forma de:e(t) = 5 + 20

n

∑∞n=1

12n−1sen(2n− 1)100πt+ argG(j(2n− 1)100π)

Por la segunda ley de kirchfoff,la carga en el capacitor es:

0,02d2qdt2 + 300dqdt + 250000q = e(t)

La funcion de transferencia es:G(s) = 1

0,02s2+300s+250000

Reemplazando la frecuencia

1.8. INTEGRACION DE SERIES DE FOURIER 15

| G(jw) |= 1√(250000−0,02w2)2+(300w)2

argG(jw) = −tan−1[ 300w250000−0,02w2 ]

qssn(t) = 20π(2n−1 | G(j(2n− 1)100π) | sin[(2n− 1)100πt]

iss =∑∞n=1 iss(t)

Evaluando en todos los terminos de la funcion, la respuesta es:

iss = 0,008cos(100πt− 1,96) + 0,005cos(300πt− 0,33)

1.8. Integracion de series de Fourier

Una expansion en serie de Fourier de una funcion periodica f(t) que satis-face las condiciones de Dirichlet puede integrarse termino a termino, y la serieintegrada converge a la integral de funcion f(t) .

De acuerdo con este teorema, si f(t) satisface las condiciones deDirichlet en el intervalo −π ≤ t ≤ π y tiene una expansion

en Serie de Fourier

f(t) =1

2a0 +

∑∞n=1 (ancos(nt) + bnsin(nt))

entonces para −π ≤ t1 ≤ t ≤ π∫ tt1f(t)dt =

∫ tt1

12a0dt+

∑∞n=1

∫ tt1

(ancos(nt) + bnsen(nt))dt

12a0(t− t1) +

∑∞n=1 [ bnn (cos(nt1) − cos(nt) + an

n (sen(nt)− sen(nt1)]

Debido a la presencia del termino 12a0 en el lado derecho, esta claramente no es

una expansion en serie de Fourier de la integral del lado izquierdo. Sin embargo,el resultado puede reorganizarse para que sea una expansion en serie de Fourierde la funcion:

g(t) =∫ tt1f(t)dt − 1

2a0t

Ejemplo


La expansion de Fourier es:

t2 = 13π

2 + 4∑∞n=1

(−1)ncos(nt)n2 (−π ≤ t ≤ π)

Integrando este resultado entre los lımites −π y t se obtiene∫ t−π t

2dt =∫ t−π

13π

2dt + 4∑∞n=1

∫ t−π

(−1)ncos(nt)n2 dt

esto es:

13 t

3 = 13π

2 + 4∑∞n=1

(−1)nsen(nt)n2

Debido al termino 13π

2t en el lado derecho, esta claramente no es una expansionen serie de Fourier. Sin embargo, reorganizando tenemos:

t3 − π2t = 12∑∞n=1

(−1)nsen(nt)n2

y ahora el lado derecho puede tomarse como la expansion en serie de Fourierdela funcion

g(t) = t3 − π2t (−π ≤ t ≤ π)

g(t+ 2π) = g(t)

1.9. Derivacion de series de Fourier

Si f(t) es una funcion periodica que satisface las condiciones de Dririchletentonces su derivada f ′(t), siempre que exista, puede encontrarse por deriva-cion tpermino a terino de la serie de Fourier de f(t) si y solo si la funcion f(t)es continua en todas partes y la funcion f ′(t) tiene expansion en serie de Fourier.

Se puede derivar la Serie de Fourier dado que cumple la Propiedad deLinealidad

Si f(t) es continua en todas partes partes y tiene una expansion en serie deFourier

f(t) =1

2a+

∑∞n=1 (ancos(nt) + bnsin(nt))

entonces f ′(t) satisface las condiciones requeridas su expansion en serie deFourier es:

1.10. PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO ESCALAR 17

f ′(t) =∑∞n=1 (nbncos(nt)− nansin(nt))

Ejemplo:

Considere el proceso de derivacion de la expansion de la serie de Fourier de lafuncion:

f(t) = t2 (−π ≤ t ≤ π)

Entonces se tiene la serie de Fourier:

t2 =1

3π2 + 4

∑∞n=1

(−1)n cos(nt)n2

2t = 4∑∞n=1

(−1)n−1 sen(nt)n

t = 2∑∞n=1

(−1)n−1 sen(nt)n

Esta serie coincide con la expansion en la serie de Fourier obtenidade la funcion f ′(t) = t (−π ≤ t ≤ π)

1.10. Producto interno o producto escalar

Definicion 1

u ∗ v = uT ∗ v = (u1, u2, ....., un)

v1v2.vn

Dados u, v y w vectores de Rn un escalar, el producto escalar verifica las

siguientes propiedades:

u.v = v.u

(u+ v)w = uw + vw

(λu)v = λ(uv) = u(λv)

u.u ≥ 0 y u.u = 0 si y solo si u = 0

Definicion 2Dado un vector u εRn . Definimos su norma como el escalar no negativo.

‖ u ‖=√uT ∗ u =

√u ∗ u =

√u21 + u22 + ....+ u2n

Un vector cuya longitud es 1 se llama vector unitario. Para obtener un vectorunitario u a partir de otro dado, v basta dividir el vector v por su norma. Ambosvectores tienen la misma direccion, pero distinta longitud. Al proceso medianteel cual se obtiene u a partir de v se le conoce con el nombre de normalizacion.

Definicion 3 Sean u, v εRn . Se define la distancia entre los vectores u y vcomo la norma del vector u− v, dist(u, v) =‖ u− v ‖=‖ v − u ‖


Definicion 4Sean u, v εRn. Diremos que u y v son ortogonales si u.v = 0.

El vector 0 es ortogonal a cualquier vector u, porque 0 ∗ u = 0Definicion 5Dado un vector v y un subespacio W diremos que v es ortogonal a W si

v ∗ w = 0 para todo vector w ε WDos subespacios vectoriales V y W de un espacio vectorial se dicen ortogo-

nales si v ∗ w = 0 para todo vector vεV y wεW .Dicho de otra forma: el complemento ortogonal de W es el conjunto de todoslos vectores v que son perpendiculares a W

Observese que para comprobar si un vector v pertenece al complementoortogonal de un espacio dado W , basa con comprobar si v es ortogonal aun conjunto que genere W .

Sea A una matriz m ∗ n. El complemento ortogonal del espacio fila de Aes el espacio nulo de A y el complemento ortogonal del espacio column ade A es el espacio nulo de AT

1.11. Funciones ortogonales y series de Fourier

Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clasico del AnalisisMatematico. Desde su aparicion en el siglo XVIII en el estudio de las vibracio-nes de una cuerda, las series de Fourier se han convertido en un instrumentoindispensable en el analisis de ciertos fenomenos periodicos de la Fısica y laIngenierıa. La idea fundamental se basa en aproximar la funcion, no por unaserie de potencias, sino por una serie de funciones periodicas.

En lo que sigue consideraremos que las funciones con las que se trabajason Riemann integrables en el intervalo correspondiente, bastaria, por ejemplo,suponer que son continuas salvo en un numero finito de puntos donde presentandiscontinuidades de salto.

Definicion 1El producto escalar de dos funciones f1 y f2 definidas en un intervalo 〈a, b〉

es el numero

〈a, b〉 =

∫ b

a

f1(x)f2(x) dx

Entonces la norma que induce este producto escalar de una funcion f definidaen el intervalo 〈a, b〉 es el numero

‖f‖ =

√∫ b

a

f1(x)f2(x) dx

Definicion 2Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en el intervalo 〈a, b〉 si∫ b

a

f1(x)f2(x) = 0

1.11. FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER 19

Definicion 3Se dice que un conjunto de funciones {∅n}∞n=0 es ortogonal en el intervalo

〈a, b〉 si

〈∅m, ∅n〉 =

∫ b

a

∅m〈x〉∅n〈x〉 dx = 0 m 6= n

Si {∅n}∞n=0 es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] conla propiedad de que ‖ ∅n ‖= 1 para cualquier n, entonces se dice que {∅n}∞n=0

es un conjunto ortonormal en el intervalo 〈a, b〉.Ejemplo 1 Demostrar que las funciones dadas son ortogonales en el intervalo

dado.

f1(x), f2(x2); [−2, 2]

∫ b

a

f1(x)f2(x) dx

∫ 2

−2(x)(x2)dx

∫ 2

−2x3dx

x4

4

∫ 2

−2= 0

Ejemplo 2

Demostrar que el conjunto de funciones es ortogonal en el intervalo dado.

{sinx, sin 3x, sin 5x, .....}; [0,π

2]

∅n = sin(2n+ 1)x∫ b

a

∅m〈x〉∅n〈x〉 dx = 0

∫ π

2

0

(sinx)(sin(2n+ 1)x)dx

1

2

∫ π

2

0

cos(1− 2n− 1)x− cos(1 + 2n+ 1)xdx

1

2

∫ π

2

0

cos(2n)x− cos 2(n+ 1)xdx

1

2(sin(2n)x

2n

∫ π

2

0

− sin 2(n+ 1)x

2(n+ 1)

∫ π

2

0

) = 0

Segunda Unidad

Documents

Transcript of Segunda Unidad