Este concepto se oye mucho en las Olimpiadas de Matemáticas, pero --como muchos otros de olimpiada-- no es un tema que se enseñe en bachillerato. Esto puede llegar a asustar a muchos estudiantes, pero en realidad es un tema al que nada hay que temerle. Es muy fácil de entender y sobre todo es muy útil.

La idea principal de los segmento dirigidos es agregar una propiedad extra a la noción de segmento. Esta propiedad se resume así:

AB=−BA

es decir, permutar el orden de los vértices cambia el signo del segmento. Podría pensarse, de acuerdo a esta propiedad, que se necesitan distancias con signo. Es decir, que se necesitan la existencia de distancias positivas y negativas asociadas a los segmentos. Pero la verdad es un poco distinta: esta diferencia de signos sólo existe entre los segmentos de la misma recta, pero entre segmentos de diferentes rectas no hay diferencias de signos (al menos no de forma natural). Para entender todo esto, empezaremos tratando el caso de la recta real.

La recta realEl siguiente dibujo muestra una recta real. Como se sabe, en ella se representan todos losnúmeros reales. Es importante notar que cualquier número real tiene un único punto asociado en la recta y, viceversa, cualquier punto tiene un único número real asociado. Por lo tanto, podemos hablar de puntos y números de la recta como si fueran la misma cosa. En consecuencia, cuando denotemos puntos de la recta con letras como A, B, C, etcétera, también nos estamos refiriendo a los números que representan. Esto nos permitirá hacer operaciones con las letras como si fueran números (es decir, tienen sentido las operaciones A−B, A+B).

Bueno, una vez aclarado esto, podemos definir la notación de segmento dirigido como AB = B− A. En la figura, por ejemplo, se tiene que AB = B − A = (3) -(-2) = 5, de la misma manera se tiene que BA = -5.

Se puede ver que, en general cuando un punto P está a la izquierda de otro  Q, la distanciaPQ es la distancia que hay de P a Q (es positivo). Pero si este punto P estuviera a la derecha de Q, se tendría que PQ es la distancia con signo negativo. La observación más importante de todas es que PQ = -QP, sin importar si P está a la izquierda o a la derecha de Q.Actividad 1. Coloca un punto X donde quieras (dentro o fuera del segmento AB) en la recta real de la figura anterior; haz los cálculos necesarios para mostrar que AX + XB = AB.

Las rectas del planoLo que hicimos con la recta real se puede hacer con cualquier recta. El problema es que no está definido de manera estándar quién es el cero y para dónde están los positivos. Pero, sin preocuparnos mucho, tomen cualquier recta e imaginen que elegimos un cero y ponemos los números positivos de un lado y los negativos del otro, como en la siguiente figura.

Una vez elegido esto, podemos definir la distancia dirigida entre dos puntos A y B sobre esta recta de la misma manera que antes: AB=B−A. Con esta definición, la distancia dirigida satisface las propiedades:1.    AB=−BA2.    AP+PB=AB, para cualesquiera tres A,B y P puntos sobre la recta.

Si eligiéramos cualquier otro punto como origen, ninguna de las dos propiedades anteriores cambiaría. De hecho, tampoco el valor asociado a AB, para cualquier par de puntos A y B. Es decir, el valor de la distancia dirigida sería el mismo. El problema podría darse si elegimos los positivos para el otro lado. En tal caso, la distancia cambiaría de signo, aunque las dos propiedades de arriba seguirían siendo ciertas.Por ello, podemos decir que la distancia dirigida está completamente definida sobre sobre rectas donde se dice para dónde están los positivos, es decir, rectas orientadas o dirigida. Normalmente una recta dirigida se dibuja como una recta con una flecha, en este caso, la flecha apunta para dónde van los números positivos. La flecha es dato suficiente para tener completamente definida la distancia dirigida, ya que el origen no tiene relevancia en la definición de distancia dirigida.

Recuento de lo dicho1.    Es posible definir una distancia dirigida entre puntos dentro de una recta dirigida.2.    Un cambio de dirección en la recta dirigida, afecta la distancia dirigida sólo en el signo. (Cambia de positiva a negativa y viceversa).3.    La elección del origen no tiene importancia en la definición de segmento dirigido.

 

La razón con segmentos dirigidosConsideremos dos puntos A y B en una recta dirigida. Entonces, para cualquier otro punto Psobre la recta dirigida se define la razón en que P divide al segmento AB como:APPBActividad 2 En la siguiente figura, se presenta un segmento (QR) dividido en nueve partes iguales. Se han marcado los puntos A y B, así como otros tres puntos: P, Q y R. Calcula la razón en cada uno de los puntos P, Q y R divide al segmento AB.

Para esta actividad no se te ha dicho que el segmento es dirigido y mucho menos se te ha especificado cuál era la dirección. Sin embargo esto no es un impedimento para hacer el cálculo ¿Por qué?

Por otro lado, las tres razones que se piden calcular son distintas. ¿Así resultó tu cálculo?

Una de las cosas que seguramente descubrieron al resolver esta actividad, es que la razón con segmentos dirigidos no necesita de una orientación de la recta. Pues si cambiamos la orientación de la recta, los dos segmentos en el cociente (AP y PB por ejemplo) cambiarán de signo y, en el cociente, este cambio de signo se cancela. O, lo que es lo mismo, "menos entre menos da más".

Otra cosa observable en esta actividad es que algunas razones son negativas. Estas diferencias de signo significan lo siguiente:

Si la razón en la que un punto divide a un segmento AB es: Negativa, entonces el punto está fuera del segmento AB Positiva, entonces el punto está dentro del segmento AB.Ahora bien, esta noción de razón (con segmento dirigidos) hace una gran diferencia con respecto a la noción usual de razón (con segmentos normales, es decir, sin signo). Con la razón usual puede haber dos puntos distintos dividendo a un segmento en la misma razón, mientras que en segmentos dirigidos esto no es posible.

Por ejemplo, los puntos P y Q dividirían en razón 1/2 al segmento AB con la noción usual de razón, mientras que con segmentos dirigidos una es 1/2 y la otra -1/2 (P y Q respectivamente).Por lo anterior, cuando se está hablando en términos de segmentos dirigidos, hablar de la razón en que un punto divide a un segmento es especificar de forma única el punto. Esto es muy útil, pues si en segmentos dirigidos se encuentran con dos puntos dividiendo en la misma razón entonces se trata del mismo punto.

Teoremas Importantes con Segmentos DirigidosHay dos teoremas muy importantes con segmentos dirigidos, estos son:

Teorema de Ceva Las cevianas AP, BQ y CR del triángulo ABC concurren en un punto si y sólo si se satisface que

ARRBBPPCCQQA=1

Teorema de Meneleo Los puntos P, Q y R sobre los lados BC, CA y AB del triángulo ABCson colineales si y sólo si se satisface que

ARRBBPPCCQQA=−1

Para éstos dos teoremas es muy importante el uso de segmentos dirigidos, de lo contrario sería muy difícil expresar el “si y sólo si”. Por ejemplo, sin segmentos dirigidos, si encontramos tres puntos en los lados de un triángulo y sabemos que el producto de razones ARRBBPPCCQQA es uno (sin segmentos dirigidos) no sabríamos decidir si las cevianas se intersecan o si los puntos están alineados. Pero si usamos los segmentos dirigidos, sabremos de cuál de las dos opciones se trata, pues en un caso el producto de razones es uno y en el otro menos uno.

Este concepto se oye mucho en las Olimpiadas de Matemáticas, pero --como muchos otros de olimpiada-- no es un tema que se enseñe en bachillerato. Esto puede llegar a asustar a muchos estudiantes, pero en realidad es un tema al que nada hay que temerle. Es muy fácil de entender y sobre todo es muy útil.

La idea principal de los segmento dirigidos es agregar una propiedad extra a la noción de segmento. Esta propiedad se resume así:

AB=−BA

es decir, permutar el orden de los vértices cambia el signo del segmento.

Podría pensarse, de acuerdo a esta propiedad, que se necesitan distancias con signo. Es decir, que se necesitan la existencia de distancias positivas y negativas asociadas a los segmentos. Pero la verdad es un poco distinta: esta diferencia de signos sólo existe entre los segmentos de la misma recta, pero entre segmentos de diferentes rectas no hay diferencias de signos (al menos no de forma natural). Para entender todo esto, empezaremos tratando el caso de la recta real.

La recta real

El siguiente dibujo muestra una recta real. Como se sabe, en ella se representan todos los números reales. Es importante notar que cualquier número real tiene un único punto asociado en la recta y, viceversa, cualquier punto tiene un único número real asociado. Por lo tanto, podemos hablar de puntos y números de la recta como si fueran la misma cosa. En consecuencia, cuando denotemos puntos de la recta con letras como A, B, C, etcétera, también nos estamos refiriendo a los números que representan. Esto nos permitirá hacer operaciones con las letras como si fueran números (es decir, tienen sentido las operaciones A−B, A+B).

rectareal2.png

Bueno, una vez aclarado esto, podemos definir la notación de segmento dirigido como AB = B − A. En la figura, por ejemplo, se tiene que AB = B − A = (3) -(-2) = 5, de la misma manera se tiene que BA = -5.

Se puede ver que, en general cuando un punto P está a la izquierda de otro Q, la distancia PQ es la distancia que hay de P a Q (es positivo). Pero si este punto P estuviera a la derecha de Q, se tendría que PQ es la distancia con signo negativo. La observación más importante de todas es que PQ = -QP, sin importar si P está a la izquierda o a la derecha de Q.

Actividad 1. Coloca un punto X donde quieras (dentro o fuera del segmento AB) en la recta real de la figura anterior; haz los cálculos necesarios para mostrar que AX + XB = AB.

Las rectas del plano

Lo que hicimos con la recta real se puede hacer con cualquier recta. El problema es que no está definido de manera estándar quién es el cero y para dónde están los positivos. Pero, sin preocuparnos mucho, tomen cualquier recta e imaginen que elegimos un cero y ponemos los números positivos de un lado y los negativos del otro, como en la siguiente figura.

Una vez elegido esto, podemos definir la distancia dirigida entre dos puntos A y B sobre esta recta de la misma manera que antes: AB=B−A. Con esta definición, la distancia dirigida satisface las propiedades:

1. AB=−BA

2. AP+PB=AB, para cualesquiera tres A,B y P puntos sobre la recta.

Si eligiéramos cualquier otro punto como origen, ninguna de las dos propiedades anteriores cambiaría. De hecho, tampoco el valor asociado a AB, para cualquier par de puntos A y B. Es decir, el valor de la distancia dirigida sería el mismo. El problema podría darse si elegimos los positivos para el otro lado. En tal caso, la distancia cambiaría de signo, aunque las dos propiedades de arriba seguirían siendo ciertas.

Por ello, podemos decir que la distancia dirigida está completamente definida sobre sobre rectas donde se dice para dónde están los positivos, es decir, rectas orientadas o dirigida. Normalmente una recta dirigida se dibuja como una recta con una flecha, en este caso, la flecha apunta para dónde van los números positivos. La flecha es dato suficiente para tener completamente definida la distancia dirigida, ya que el origen no tiene relevancia en la definición de distancia dirigida.

Recuento de lo dicho

1. Es posible definir una distancia dirigida entre puntos dentro de una recta dirigida.

2. Un cambio de dirección en la recta dirigida, afecta la distancia dirigida sólo en el signo. (Cambia de positiva a negativa y viceversa).

3. La elección del origen no tiene importancia en la definición de segmento dirigido.

La razón con segmentos dirigidos

Consideremos dos puntos A y B en una recta dirigida. Entonces, para cualquier otro punto P sobre la recta dirigida se define la razón en que P divide al segmento AB como:

APPB

Actividad 2 En la siguiente figura, se presenta un segmento (QR) dividido en nueve partes iguales. Se han marcado los puntos A y B, así como otros tres puntos: P, Q y R. Calcula la razón en cada uno de los puntos P, Q y R divide al segmento AB.

Para esta actividad no se te ha dicho que el segmento es dirigido y mucho menos se te ha especificado cuál era la dirección. Sin embargo esto no es un impedimento para hacer el cálculo ¿Por qué?

Por otro lado, las tres razones que se piden calcular son distintas. ¿Así resultó tu cálculo?

Una de las cosas que seguramente descubrieron al resolver esta actividad, es que la razón con segmentos dirigidos no necesita de una orientación de la recta. Pues si cambiamos la orientación de la recta, los dos segmentos en el cociente (AP y PB por ejemplo) cambiarán de signo y, en el cociente, este cambio de signo se cancela. O, lo que es lo mismo, "menos entre menos da más".

Otra cosa observable en esta actividad es que algunas razones son negativas. Estas diferencias de signo significan lo siguiente:

Si la razón en la que un punto divide a un segmento AB es:

Negativa, entonces el punto está fuera del segmento AB

Positiva, entonces el punto está dentro del segmento AB.

Ahora bien, esta noción de razón (con segmento dirigidos) hace una gran diferencia con respecto a la noción usual de razón (con segmentos normales, es decir, sin signo). Con la razón usual puede haber dos puntos distintos dividendo a un segmento en la misma razón, mientras que en segmentos dirigidos esto no es posible.

Por ejemplo, los puntos P y Q dividirían en razón 1/2 al segmento AB con la noción usual de razón, mientras que con segmentos dirigidos una es 1/2 y la otra -1/2 (P y Q respectivamente).

Por lo anterior, cuando se está hablando en términos de segmentos dirigidos, hablar de la razón en que un punto divide a un segmento es especificar de forma única el punto. Esto es muy útil, pues si en segmentos dirigidos se encuentran con dos puntos dividiendo en la misma razón entonces se trata del mismo punto.

Teoremas Importantes con Segmentos Dirigidos

Hay dos teoremas muy importantes con segmentos dirigidos, estos son:

Teorema de Ceva Las cevianas AP, BQ y CR del triángulo ABC concurren en un punto si y sólo si se satisface que

ARRBBPPCCQQA=1

Teorema de Meneleo Los puntos P, Q y R sobre los lados BC, CA y AB del triángulo ABC son colineales si y sólo si se satisface que

ARRBBPPCCQQA=−1

Para éstos dos teoremas es muy importante el uso de segmentos dirigidos, de lo contrario sería muy difícil expresar el “si y sólo si”. Por ejemplo, sin segmentos dirigidos, si encontramos tres puntos en los lados de un triángulo y sabemos que el producto de razones ARRBBPPCCQQA es uno

(sin segmentos dirigidos) no sabríamos decidir si las cevianas se intersecan o si los puntos están alineados. Pero si usamos los segmentos dirigidos, sabremos de cuál de las dos opciones se trata, pues en un caso el producto de razones es uno y en el otro menos uno.

PLANTEAMIENTO Se ilustra geométricamente el concepto de división de un segmento en una razón dada.  DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Dividir un segmento dirigido en una razón dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se encuentren las coordenadas de un punto   que satisface la comparación entre dos magnitudes. 

En general, si la razón es de la forma  , implica que el segmento se divide en a + b partes. Por

ejemplo, si  , el segmento se divide en 11partes iguales. Sean los puntos ,   así como el segmento de recta que los une: 

  

Sea un punto   que pertenezca al segmento. Si se forman los triángulos mostrados, se observa que son semejantes. Esto es: 

  y    Donde r es la razón de proporcionalidad de semejanza. Si se despeja x de la primera ecuación se tiene: 

 

 

 

 

 Análogamente se puede encontrar que: 

 Expresiones que sirven para obtener las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. 

En el caso particular en que se trate del punto medio, r vale   , y las ecuaciones se convierten en: 

   y     CONCLUSIÓN Con r = 0, el punto   se ubica en   A medida que r va creciendo   se desplaza hacia  . En su punto medio r vale 1. Cuando r es negativa, el punto se ubica en su prolongación hacia abajo alejándose hasta que llega a r = -1 donde es infinito y cambia de sentido. Al seguir decreciendo, tiende a  .  PROPUESTA DE TRABAJO 1.     Observar los puntos  ,   así como el segmento de recta que los une.2.     Notar que el punto P en rojo es el punto de división del segmento.3.     Mover que el punto P y ver que la razón cambia de igual manera para xcomo para y.4.     Mover los puntos   y    y ver el comportamiento de la razón.5.     Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.6.     Desplazar el punto P hasta   y observar lo que le sucede a la razón.7.     Aproximar sucesivamente el punto P hasta   y observar lo que sucede a la razón.8.     Ubicar el punto P hasta que sea r = 1, notar que es el punto medio del segmento.9.     Desplazar el punto P fuera del segmento y observar que la razón es negativa. En su

prolongación hacia abajo r se ubica entre 0 y -1. En su prolongación hacia arriba r es menor a -1.

10.  Pulsar el icono que se sitúa arriba a la derecha para regresar a la construcción inicial.