BLOQUE I

APLICAS LA DIFERENCIAL EN ESTIMACIÓN DE ERRORES Y APROXIMACIONES DE VARIABLES EN LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE:

• Calcula e interpreta aproximaciones de la derivada de modelos matemáticos relativos a diversas disciplinas, a partir de su representación gráfica y la determinación de su diferencial.

• Aplica la diferencial para determinar el error presente en el resultado de la medición de una magnitud en diferentes situaciones.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

• Interpreta gráficamente el modelo matemático de fenómeno de su entorno y aproxima el comportamiento de su derivada a partir del cálculo de la diferencial.

• Analiza el error obtenido mediante la aplicación de la diferencial para determinar la precisión en la medición de una magnitud y como afecta la confiabilidad de ésta en situaciones reales de su contexto.

• Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores fortalezas y debilidades al trabajar con aproximaciones y estimación de errores.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

• La diferencial. • Aproximaciones de variables. • Estimación de errores.

1.1 La Diferencial

1.1.1 Concepto de la Diferencial Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo:

• En las aproximaciones de valores de funciones.

• En el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado).

• Calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc.

. Sea una función cualquiera y sean los puntos

dos puntos sobre la función como se muestra en la siguiente figura:

El representa el incremento en la variable independiente, por lo que el incremento real que sufre una función lo denotaremos como y se define como la diferencia que existe entre y , es decir:

Dicho incremento real, lo podemos apreciar en la siguiente figura:

1.1.2 Análisis gráfico: Al trazar una recta tangente a la función en el punto , se observa un incremento aproximado a través de la recta tangente al cual denominaremos , como se puede observar en la figura:

Observa los siguientes videos en internet, elabora un resumen y coméntalo con tus compañeros:

a) http://www.youtube.com/watch?v=bb9z6m3S7lo&NR=1&feature=endscreen b) http://www.youtube.com/watch?v=a-J70vXe87k&feature=related c) http://www.youtube.com/watch?v=A6Vp18ctfWc&feature=related

Como se observa en la figura, la tangente del ángulo de inclinación (pendiente) equivale a la razón que existe entre y , lo cual representa a la derivada de una función por lo que podemos decir que:

Si se denota como entonces tendremos que , por lo que al

despejar a se obtiene:

A lo que se le llama la diferencial de en el punto , con respecto al incremento , conocido también como valor aproximado del cambio total .

1.2 Estimación de Errores 1.2.1 Determina y analiza el error, utilizando la diferencial El Error de Aproximación es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores de aproximación es su estabilidad numérica.

Se obtiene por la diferencia que existe entre el valor real y el valor aproximado , es decir:

Ejemplo 1: Hallar y E.A, cuando y , si Como , entonces , Calculamos: (1 + 0.1)2 = (1.1)2= 1.21 = ( 1 )2 = 1 Al sustituir estos valores en obtenemos: Este valor corresponde al incremento real que sufre la función , cuando se incrementa de 1 a 1.1. Como la diferencial está dada por y la función es , se obtiene que . Al sustituir valores de y en la diferencial obtenida, entonces: Este valor corresponde al valor aproximado de la función , a través de la

recta tangente cuando se incrementa de 1 a 1.1

Al calcular el Error Aproximado partiendo de que E.A= y sustituir se obtiene que: E.A= Ejemplo 2: Hallar y E.A, cuando y , Si Como , entonces , Calculamos con: , = (1 + 0.05)2 + 2(1+ 0.05) - 3 = = ( 1.1025) + (2.1) - 3 = 0.2025 = ( 1)2 + 2(1) - 3= 0 Al sustituir estos valores en obtenemos: Este valor corresponde al incremento real que sufre la función , cuando se incrementa de 1 a 1.05. Como la diferencial está dada por y la función es , se obtiene que . Al sustituir valores de y en la diferencial obtenida, entonces: Este valor corresponde al valor aproximado de la función , a

través de la recta tangente cuando se incrementa de 1 a 1.05 Al calcular el Error Aproximado partiendo de que E.A= y sustituir se obtiene que:

E.A= Completar el siguiente cuadro usando el método planteado, a partir del ejemplo anterior cuando y

x E.A 1 1 1

Ejemplo 3: Hallar y E.A, cuando y , si Como , entonces , Calculamos: sen( + 0.5) = 0.50753

= sen( ) = 0.5 Al sustituir estos valores en obtenemos: Este valor corresponde al incremento real que sufre la función , cuando

se incrementa de a ( ). Como la diferencial está dada por y la función es , se obtiene que . Al sustituir valores de y en la diferencial obtenida, entonces: Este valor corresponde al valor aproximado de la función , a través de

la recta tangente cuando se incrementa de a

Al calcular el Error Aproximado partiendo de que E.A= y sustituir se obtiene que: E.A= Actividad 1: Resuelve en equipo de 2, los siguientes ejercicios. 1. , cuando x= 2, 2. , cuando ,

3. , cuando x=3, 4. , cuando x= 4, 5. , cuando x= 8, 1.2.2 Aplicaciones de la diferencial. Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema de encontrar la mejor forma de hacer algo, por ejemplo: Un médico desea seleccionar la mejor dosis para curar cierta enfermedad, un granjero al elegir la mezcla de cultivos para tener la mayor ganancia, a un fabricante minimizar los costos de distribución de sus productos. Algunas veces un problema de este tipo puede formular un modo que implique maximizar o minimizar una función. Si es así, los métodos de cálculo proporcionan una herramienta para resolverlo. Ejemplo 1: El lado de un cuadrado mide 20 m. Calcula el incremento aproximado del área si su lado se incrementa 0.1 m.

Solución: Datos: Fórmula del área de un cuadrado. Calculando a , se tiene que y su diferencial es

Al sustituir los datos tenemos que: , por lo tanto En conclusión, se tiene un incremento de en el área de 4 metros cuadrados. Ejemplo 2: Un cascarón esférico, cuyo radio inferior es de 8 cm y con un espesor de 0.12 cm, se somete a presión de tal manera que incrementa su volumen. ¿Cuál es el volumen de incremento al someterlo a presión?

Solución: Datos:

Fórmula del volumen de una esfera. .

Calculando a , se tiene que y su diferencial es

Al sustituir los datos tenemos que: , por lo tanto . Esto es En conclusión, se tiene un incremento de en el volumen de 96.54 centímetros cúbicos.

Actividad 2: Resuelve en equipo de 2 los siguientes ejercicios. 1. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 30 cm y una altura de 100 m, debe

revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es la cantidad aproximada de concreto que se requiere?

2. Si el lado de un cubo mide 4 cm, calcula el incremento aproximado del volumen si su lado aumenta 0.02 cm.

3. Calcula la disminución aproximada del área de una quemadura de forma circular cuando el radio disminuye de 2 a 1.98 cm.

4. Un tumor de forma esférica, presenta un radio de 3 cm y aumenta a 3.2 cm en 6 meses. ¿Cuál es el incremento del volumen de dicho tumor en ese tiempo?

1.3.1 Calcula e interpreta aproximaciones en modelos matemáticos. Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello, supóngase que la gráfica de y = f (x) corresponde a la de la figura.

Cuando se da a x un incremento , la variable recibe un incremento , que puede considerarse como un valor aproximado de a la funcion alrededor del punto de tangencia , lo que nos permite afirmar que:

Ejemplo: Encontrar el valor aproximado de Como podemos definir una función que nos permite aproximar dicho valor, esto es

y de igual manera determinar un punto , punto que podemos conocer con exactitud el valor de la función evaluada, que por conveniencia y para este caso

. Se sabe que:

Resolviendo el modelo matemático , para este ejercicio se tiene que:

, entonces , por lo que al derivar se tiene

. Si y Para encontrar el se tiene que , por lo que Entonces: El valor de , por lo que el error de aproximación sería: E.A= = | 4.03969 - 4.05| = 0.000159 Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en una cantidad muy pequeña. Ejemplo 2: Encuentra la aproximación de Como la función es , la derivada de esta función es Si y Para encontrar el se tiene que , por lo que , al expresarla en radianes es

Entonces: = 0.501202 El valor real de Por lo que el E.A= | 0.501202 - 0.507538|= 0.006336. Actividad 3: Encuentra las siguientes aproximaciones, en equipo de 2 personas. 1. si 2. si 3. si

4. si cos 30.50

BLOQUE II

DETERMINAS LA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAS FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES COMO UNA HERRAMIENTA A UTILIZAR EN LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE:

• Determina la primitiva de una función, como antecedente de la integral en el campo de las Ciencias Exactas, Naturales, Sociales y Administrativas.

• Aplica el cálculo de las primitivas a problemas de su entorno referentes al ámbito de las ciencias.

• Obtiene integrales indefinidas de funciones algebraicas y trascendentes de manera inmediata y mediante el uso de técnicas de integración, en un contexto teórico como herramienta en la resolución de problemas reales

COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

• Resuelve problemas que involucren la obtención de la primitiva de una función y la interpreta en situaciones reales de su entorno.

• Desarrolla la habilidad en el manejo de técnicas de integración en un contexto teórico.

• Valora el trabajo en equipo como una alternativa para mejorar sus habilidades operacionales en el cálculo de integrales indefinidas.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

• Funciones primitivas.

• Integral Indefinida

2.1 Antiderivada Al aplicar fuerza sobre una liga, esta se estira, al dejarle aplicar fuerza regresa a su estado original. La segunda operación anuló la primera, así de la misma manera hay operaciones que son inversas tales como la multiplicaciones y la división, la suma y la resta. En calculo diferencial se estudia el problema de la derivada de una función, ahora veremos la operación inversa, es decir dada una función ahora buscaremos la función , tal que al derivar F se obtiene la función , a lo que se le conoce como antiderivada. Ejemplo: Si buscamos a la función que satisfaga a la igualdad , entonces: Derivada

Antiderivada Sin embargo sabemos que no es la única, pues si se derivan otras funciones que tengan una constante el resultado es el mismo. Por ejemplo: ,

F(x)= X2

f'(x)= 2x

Actividad 1: En los siguientes ejercicios, obtén las antiderivadas.

1.

2.

3.

4.

5. 2.1.2 Primitiva de una función. Si es una antiderivada de , la antiderivada más general , se llama función primitiva o integral indefinida de y se representa con la notación:

El símbolo se lee como Integral Indefinida de y se representa a la antiderivada mas general del integrando. Es decir:

donde C se llama constante de integración. Como la integración y la derivación son operaciones inversas, a cada fórmula de derivación le corresponde una formula de integración. Las siguientes formulas y propiedades facilitan la integración:

1. 2. 3. 4. 5.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

Actividad 2: Resuelve los siguientes ejercicios en equipo de 2 personas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Nota: Esta a consideración del Profesor el anexar mas ejercicios, en caso de ser necesario de los propuestos, para una mejor comprensión del tema, por parte de los alumnos.

2.2 Métodos de integración por cambio de variable 2.2.1. Integración por cambio de variable o sustitución. En esta sección se estudiarán métodos para la integración de funciones compuestas, es decir, producto de funciones, cociente de funciones, potencias de suma de funciones, etc. La técnica de cambio de variable o sustitución es el más frecuente. Consiste en hacer una expresión igual a una nueva variable (por ejemplo u), calcular el diferencial de esta nueva variable y sustituir estos cambios en la expresión que queremos integrar. En muchas ocasiones la integral que se obtiene con el cambio de variable es más sencilla que la original y así podemos integrarla. Evidentemente después tenemos que deshacer el cambio de variable. La importancia de la sustitución en la integración es comparable con la de la regla de la cadena en la derivación. Recuerda que para funciones derivables dadas por y = F(u) y u = g(x) , la regla de la cadena expresa que [F(g(x))]= F'(g(x))g'(x) De la definición de una antiderivada, se deduce que ∫F,' (g(x))g'(x)dx = F(g(x)) +C = F(u) +C. Con un cambio de variable formal, se escribe de nuevo toda la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable conveniente). La técnica de cambio de variables usa la notación de Leibniz para la derivada. Es decir, si F es la antiderivada de f y u = g(x) , entonces du = g'(x)dx , y la integral anterior toma la forma ∫ f (g(x))g'(x)dx = ∫ f (u)du = F(u) +C. En los siguientes ejemplos se muestra cómo aplicar el teorema de integración por sustitución, reconociendo la presencia de f (g(x)) y g'(x) . Observa que la función compuesta en el integrando tiene una función externa f y una función interna g. Además, la derivada g'(x) está presente como un factor del integrando.

EJEMPLO 4:

Con todos estos ejemplos pudiste darte cuenta ya, de los pasos a seguir para llevar a cabo la integración por sustitución. Enseguida te presentamos un resumen de estos pasos. 1.- Elige un cambio de variable u = g(x) . Casi siempre es mejor elegir la parte interna de una función compuesta; digamos, una cantidad elevada a una potencia, una función radical, el argumento de una función trigonométrica o una exponencial cuando éste no es una simple x , etc. 2.- Calcula du = g'(x)dx y despeja de ella dx . 3.- Escribe de nuevo la integral en términos de la variable u sustituyendo el cambio de variable. 4.- Evalúa la integral resultante en términos de u. 5.- De nuevo sustituye u por g(x) para obtener una antiderivada en términos de x. 6.- Si quieres comprobar tu respuesta puedes hacerlo mediante derivación o mediante el uso de la tecnología. (Busca “The Integrator” en el Google).

2.3 INTEGRACIÓN POR PARTES

EJEMPLO 5

BLOQUE III

CALCULAS E INTERPRETAS EL ÁREA BAJO LA CURVA EN EL CONTEXTO DE LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.

3.1 Suma de Riemann

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande

Historia

Integración antes del cálculo

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática

documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación

De la página de internet http://es.wikipedia.org/wiki/Integracion reponde las

siguientes preguntas:

1.- ¿Que es la integración?

2.- ¿Define Calculo Integral?

3.- ¿Quiénes son los principales propulsores del Calculo Integral?

4.- ¿Qué significado tiene la simbología de la integral?

5.- Menciona algunas aplicaciones del cálculo integral:

6.- Explica en qué consiste la integral de RIEMANN y mediante una ilustración

interprétala:

Ejercicios de la suma de RIEMANN

Cálculo e interpretación de áreas Ejemplo 1: Para encontrar área comprendida por una función.

Ejemplo 2: Para encontrar area comprendida por una funcion lineal.

Ejemplo 3

Evalúa el área bajo una función algebraica. Emplea un instrumento graficador para verificar tu resultado.

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

PROBLEMARIO DE CÁLCULO INTEGRAL

Nombre(s):___________________________________Fecha:__/__/__.Grupo.____.

INSTRUCCIONES I. Utilizando el método de cambio de variable, resuelve los siguientes ejercicios y comprueba que, el resultado que aparece del lado derecho, es el correcto.

1. R= 2

2. R=

3. R=

4. R =

5. R =

INSTRUCCIONES II. Utilizando el método de integración por pates, resuelve las siguientes integrales y comprueba que, el resultado que aparece del lado derecho es el correcto. 1. R =

2. R =

3. R=

4. R= -

5. R= - x

INSTRUCCIONES III: Utilizando el método de la suma de Riemann, resuelve los siguientes ejercicios y comprueba que el resultado que aparece del lado derecho es el correcto.

1. R = 50

2. R =

3. R = 238

4. R = -5

5. R = 510

INSTRUCCIONES IV: Resuelve los siguientes ejercicios, utilizando el método de la integral definida y comprueba que el resultado que aparece del lado derecho es el correcto.

1. y= - y el eje x R =

2. y= - , el eje x, las rectas x= -2 y x = -1 R =

3. y= , el eje x, las rectas x = 1 y x = 3. R =

4. y = y el eje x x=0 y x=3 R =

5. y = y el eje x=0 y x=4 R =

Reto: Grafica y encuentra el área de la función y = y el eje x x=-3 y x=3.

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE:

• Calcula e interpreta áreas bajo la curva mediante las sumas de Riemann en la resolución de problemas en un entorno teórico.

• Compara el método de las sumas de Riemann con las áreas obtenidas mediante la integral definida y determina las fortalezas y debilidades de ambos métodos, comprobándolo mediante software graficador(GeoGebra, mathgv, graph).

• Obtiene integrales definidas de funciones algebraicas y trascendentes en un contexto teórico y las visualiza como herramienta en la resolución de problemas reales.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

• Resuelve problemas de áreas mediante la sumas de Riemann en cualquier disciplina que tenga relación con su entorno.

• Resuelve problemas de áreas mediante la integral definida en cualquier

disciplina que tenga relación con su entorno.

• Asume esta actitud constructiva y congruente con las competencias con la que cuenta en el uso de las TIC’S como herramientas para el modelado y la simulación de problemas de áreas bajo la curva en el contexto de la física, la geometría y la química.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

• Sumas de Riemann. • Integral definida.

3.2 Integrales definidas.

3.2.1 Teorema fundamental del cálculo. El cálculo directo de las integrales definidas como límites de sumas de Riemann es un proceso complicado. Por esta razón, se hizo necesario encontrar una alternativa que facilitara el cálculo de integrales definidas. Este método fue descubierto por Newton y Leibniz, quienes utilizaron la relación lógica que existe entre la derivación y la integración. El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo. La relación entre el cálculo diferencial y el integral se establece mediante el teorema fundamental del cálculo, el cual enunciaremos a continuación sin demostración: Si la función f es continua y f(x) = F’ (x),

donde F es cualquier función tal que F(x) = para toda ¨x¨ en [a,b]. Esta expresión se denomina fórmula de Newton – Leibniz. En otras palabras, este teorema establece que la integral definida de una razón de cambio es igual al cambio total.

El hecho de que la fórmula de Newton – Leibniz facilite el cálculo de integrales definidas cuando se conoce la función primitiva del integrando es lo que la hace ser relevante en matemáticas. Analicemos a continuación como calcular integrales definidas utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

Calcula la siguiente integral definida:

La solución queda de la siguiente manera:

F (x) = + C

=

=

=

Ejemplo 2.

F(x) =

= - 0 = 18

3.2.2 Integrales de funciones algebraicas.

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

an(x)yn+ an-1(x)yn-1+…+ a0(x)=0

donde los coeficientes ai(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.

Apoyándote en el Teorema Fundamental del Cálculo, resuelve los siguientes ejercicios que se proponen y comprueba el resultado que aparece en el lado derecho es el correcto (Resuélvase en equipo de dos):

Ejercicio Respuesta

a)

40

b)

c)

d)

64

e)

Instrucciones: Utilizando el teorema fundamental del cálculo resuelve las siguientes integrales definidas.

3.2.3 INTEGRALES DE FUNCIONES TRASCENDENTES

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación. En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

El logaritmo y la función exponencial son ejemplos de funciones trascendentes

Funciones logarítmicas

Al igual que en la función exponencial, las funciones logarítmicas tienen su derivada. Es pertinente recordar las propiedades de este tipo de funciones.

Función: y = Ln(x): La integral de esta función se puede hacer por partes.

donde u= Ln(x), luego

Por otro lado: dv = dx, luego v= x,

Reemplazando:

Ejemplo:

La solución la obtenemos de la siguiente manera:

u= x

u(x)= x

du(x)= dx

Sutituyendo tenemos:

Integramos:

=

Con el valor de u, queda:

=

Aplicamos la siguiente propiedad de los logaritmos:

=L

Función: y = Loga(x)

Para resolver este tipo de integral aplicamos la conversión de cualquier logaritmo en logaritmo natural, lo cual se hace de la siguiente manera:

Log10(x)= , así podemos desarrollar la integral.

-

La ultima integral, ya se desarrollo por partes, luego:

Y una forma alternativa para esta integral es:

+ 10

Funciones Trigonométricas

Dentro de las funciones trascendentales tenemos las funciones trigonométricas, las cuales también tienen integrales, analizaremos a continuación estas.

Función: y= sen(x)

La integral de la función sen(x) la desarrollamos por el concepto de antiderivada, pero es pertinente relacionarla en este momento, ya que estamos analizando la integral de las funciones trigonométricas.

Ejemplo:

Tomamos y hacemos una sustitución:

u = nx, du= ndx, luego:

La función cuya derivada es sen(u), es el –cos(u), por lo consiguiente:

=

Función: y= cos(x)

La integral de cos(x), también se desarrolló por el concepto de antiderivada.

Tomemos: y hacemos una sustitución:

u= nx, du= ndx, luego:

La función cuya derivada es cos(u), es el sen(u), luego :

Función: y= tan(x)

Con los conocimientos sobre identidades trigonométricas y la integración por cambio de variable, podemos hallar la integral de la tangente, veamos:

Descomponemos la tangente en su equivalencia con seno y coseno, así;

Sea u=cos(x), luego du= -sen(x)dx, remplazando:

Remplazando el valor de u, obtenemos:

Ejemplo:

∫2

0

cos

π

xdx

∫ xdxcos = senx + c

∫2

0

cos

π

xdx = F(2π

)- F (0)

= 1

Actividad No. 3

Apoyándote en el Teorema Fundamental del Cálculo resuelve las siguientes integrales de funciones trascendentes que se proponen:

Ejercicios Solución

∫4

0

sec

π

xdx 21

∫2

0

cos

π

xdx

1

∫2

0

cos

π

xdxsenx 21

∫1

0

dxex

∫e

xdx1

ln

1

0u2

Se recomienda consultar las siguientes ligas de internet, ambas fueron consultadas el día 24 de febrero del 2012.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascendente

http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html

BLOQUE IV

RESUELVES PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN SITUACIONES REALES EN EL CAMPO DE LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE:

• Aplica el concepto de sólido de revolución en el diseño de: envases, depósitos y contenedores en general, de formas homogéneas y heterogéneas.

• Aplica las integrales definidas en la solución de problemas de leyes de Newton (centros de masa, trabajo realizado por una fuerza, movimiento de partículas) y/o crecimientos exponenciales, resolviéndolos de manera autónoma utilizando los procesos aprendidos.

• Aplica las integrales definidas para resolver problemas de oferta y demanda de un bien (producto) o un servicio.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: • Identifica casos factibles de aplicación de la integral definida en el ámbito

de las ciencias exactas, naturales y sociales. • Aplica la integral definida para resolver problemas en el campo disciplinar

de las matemáticas, física, biología y economía, administración y finanzas. • Valora el uso de las TIC´S como herramienta para el modelado y la

simulación de problemas de aplicación de integrales definidas en cualquier contexto disciplinar.

• Asume una actitud constructiva, congruente a sus competencias para proponer maneras de solucionar un problema de su entorno mediante la aplicación de la integral diferenciada.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

• Áreas y volúmenes de sólidos de revolución. • Ley de Newton. • Crecimientos exponenciales. • Oferta y demanda.

4.1 Áreas y volúmenes Hasta este momento de tus estudios, estás familiarizado con el cálculo de áreasde figuras geométricas regulares a través del uso de fórmulas, como el cuadrado, el rectángulo, el triángulo, la circunferencia, el rombo, el trapecio, etc., y es muy probable que se haya imaginado que cualquier área se calcula a través de una fórmula. Pero no es así.

Lo que sucede es que no todas las figuras geométricas son regulares, sino que pueden crearse áreas que estén limitadas por las gráficas de algunas funciones, como por ejemplo el área marcada en la siguiente figura:

La cual está acotada por la parábola y = x2, la recta y = −4x +12 y el eje de las x. Para calcular esta área no es posible hacerlo a través de fórmulas, sino con el cálculo integral. Aunque muchas veces no se puede apreciar, las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos como ejemplo el de una alberca (o el del acuario de Veracruz, que tiene un túnel redondo), el cual si es rectangular no hay mas problema que el de calcular su área a partir de su longitud y anchura, pero si conocemos su profundidad, podemos determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie ( para cubrirla), y la longitud de

su borde (para atarla); pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales, ya que se calcularían áreas bajo la curva.

4.1.1 Cálculo del área de una región plana

Cuando aplicamos la integral definida en las áreas que están ubicadas sobre el eje X el resultado lo obtendremos con signo positivo, mientras que en las áreas que están debajo del eje X el resultado lo obtendremos con signo negativo. Esta consideración no representa ningún problema en el cálculo del área. Simplemente este signo negativo nos indica que es un área que está debajo del eje X pero el área es la cantidad calculada con signo positivo.

Supóngase que se quiere calcular el área bajo la curva de la gráfica de una función cualquiera y = f(x), como lo muestra en la siguiente figura:

Se entiende por “área bajo la curva” la proyección que resulta desde la curva hasta el

eje de las x, algo así como la sombra que resultaría de la curva hasta el eje de las x si

se pusiera una fuente de luz arriba de la curva lo suficientemente alejada para que los

extremos izquierdo y derecho de dicha sombra resulten verticales, no oblicuos.

Para obtenerla, se divide el área a calcular en rectángulos, todos con la misma base,

de manera que la curva y = f (x) pase por el centro de la contrabase de cada

rectángulo. Entiéndase por contrabase el lado opuesto a la base (el de arriba). De esta

manera, la altura de cada rectángulo es exactamente la ordenada (la y ) en ese punto

de la curva correspondiente a y = f (x) .

La siguiente figura representa uno de estos rectángulos amplificados y aislados de los

demás para mostrar con mayor claridad cómo la altura de cualquier rectángulo es la

ordenada y de la curva, si el centro de la contrabase de dicho rectángulo pasa por la

curva (punto P).

Es obvio e intuitivo que la suma de las áreas de los rectángulos no es exactamente

igual al área que se desea calcular, ya que de la mitad del rectángulo hacia la izquierda

por su parte superior, el rectángulo “se pasa” y hace que haya más área, mientras que

de la mitad hacia la derecha el rectángulo “no alcanza” y hace que haya menos área,

como lo muestra la siguiente figura:

Si el área que sobra fuera igual al área que falta no habría ningún problema, pero no

son iguales porque no es una línea recta la gráfica de y = f ( x) . La diferencia entre el

área que sobra y el área que falta es lo que se considera “el error”. Dicho error

aumenta cuando la longitud de la base de los rectángulos aumenta y disminuye cuando

la base también se hace más pequeña. Entonces, si la base de los rectángulos se hace

cada vez más pequeña de manera que tienda a 0 su longitud, el error a su vez también

tiende a cero, lo que significa que la suma de las áreas de los rectángulos tiende a ser

exactamente el área bajo la curva de y = f ( x ) .

La longitud de dicha base que tiende a cero es dx, y su altura es y , por lo que el área

de cada rectángulo generador es A = y dx.

La suma de todas las áreas de los rectángulos así generados está dada por la integral:

en donde solamente hace falta especificar desde dónde hasta dónde se extiende esa área. En la siguiente figura se muestra en términos generales que esa área se extiende desde que x vale a hasta que x vale b; esto es, desde x = a hasta x = b,

lo cual se expresa como:

Ejemplo:

Calcular el área bajo la curva y = x2 ,desde x = 0 hasta x = 2.

La figura muestra el área a la que se refiere el enunciado de este problema. Conforme a lo dicho anteriormente, dicha área se obtiene por medio de la integral:

• Calcula el área limitada por la gráfica de y= f(x)= -x2 +2x +3, el eje de las x y las líneas verticales x= 0 y x=2, además traza la gráfica.

• Calcula el área limitada por f(x)= 4, el eje x, y las líneas verticales x= 5 y x=2.

4.1.2 Cálculo del área entre dos curvas

Anteriormente calculamos áreas de regiones que se encuentran debajo de las gráficas de funciones. Ahora usaremos las integrales para hallar áreas de regiones delimitadas por las gráficas de dos funciones.

El área S de la región limitada por las curvas y = f(x), y =g(x), y las rectas x=a, x=b, donde f y g son continuas y f(x)≥ g(x) para todo x en es:

A=

• Hallar el área limitada por las parábolas y = x2 e y = −x2 + 4x . • Hallar el área limitada por las dos ramas de la parábola y=2 y la recta x = 4. • Hallar el área limitada por la parábola y = x2 − 2x + 2 , la recta y = −x + 4 y los

dos ejes.

4.1.3 Cálculo de volúmenes de sólidos en revolución por el método de disco

Hemos desarrollado un método para encontrar el área de una región plana. Ahora este proceso se amplia para determinar el volumen de un sólido de revolución, el cual es un sólido que se obtiene al girar una región en un plano alrededor de una recta en el plano, llamada eje de revolución, la cual toca la frontera de la región o no corta la región en ningún punto. Por ejemplo si la región esta limitada por una semicircunferencia y su diámetro se hace girar sobre si mismo, se genera una esfera.

Si la región acotada por un triangulo rectángulo se gira alrededor de uno de los catetos, se genera un cono circular recto.

Sea la función f continua en el intervalo cerrado [ ]ba, , y supongamos que f(x) ≥ 0 para toda x en [ ]ba, . Si S es el sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y=f(x). el eje x, y las rectas x=a y x=b, y si V es el volumen de S en unidades cúbicas, entonces:

( )[ ] ( )[ ] dxxfixEifvb

a

n

i

22

10lim ∫∑ =∆=

=⇒∆

ππ

Ejemplo:

Encuentre el área encerrada por la recta y=x -1 y la parábola y2 =2x + 6.

Al resolver las dos ecuaciones encontramos que los puntos de intersección de las gráficas son: (-1,-2) y (5,4)

Calcular:

• El volumen del sólido de revolución que se genera al girar la superficie limitada

por la curva y= con el eje de las x, desde el eje de las y hasta la línea vertical x=2, alrededor del eje de las x.

• Volumen que genera la región limitada por x= con el eje de las y, las rectas verticales y=0,y=3, si gira alrededor del eje de las y.

4.2 Aplicaciones en diversos campos 4.2 Aplicaciones en diversos campos.

La integral definida se usa para resolver modelos matemáticos dinámicos, es decir, que experimentan cambios respecto al tiempo o respecto a otras variables. Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo periodo histórico en el que estaba siendo desarrollado el cálculo. Durante los siglos XVII y XVIII existía poca diferencia entre ser un físico o un matemático.

El espacio recorrido de un movimiento rectilíneo:

Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición; s(t), y la función velocidad, v(t), se relacionan por s(t) =

De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene:

Otros ejemplos de campos de la física donde se aplican las integrales:

La energía consumida en un periodo de tiempo es la integral de la potencia durante el tiempo.

La variación de la carga eléctrica en un condensador durante un periodo de tiempo es la integral de la corriente eléctrica que fluye hacia el condensador durante este tiempo.

La integración del caudal (metros cúbicos por segundo) que fluye por un conducto proporciona el volumen de fluido que ha pasado por el conducto durante el periodo de integración.

4.2.1 Utilizando la Ley de Newton

Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 − 2t metros por segundo. Halle:

a) Desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.

= = = 0.

Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.

4.2.2 Utilizando crecimientos exponenciales

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

Como por ejemplo, para controlar el organismo de un diabético existe la implantación de un capsula que proporciona insulina, lenta y continuamente a la corriente sanguínea. Al medir la cantidad de insulina administrada al paciente se registró lo siguiente:

Cantidad total=

Esta integración se realizó para evaluar el total de insulina suministrada hasta el día 60.

Cantidad total = 0.2 -

Cantidad = 0.2

Cantidad total = 0.2

Practicar con lo siguiente:

La población de un pueblo se incrementa por crecimiento natural a una razón proporcional al número N de personas presentes. Si la población en el tiempo t = 0 es de 10 000, encuentra dos expresiones para la población N, t años después, si la población se duplica en 50 años. Supón que el logaritmo natural de 2 es igual a 0.69. Encuentra también N para t = 100. 4.2.2 Administrativos y/o financieros.

Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de

mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.

Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza

esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el

mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir

que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos

que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período

específico.

Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está

dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos

permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el

precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que

relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como

gráfica de oferta.

A esta función la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q

la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.

Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de

productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede

vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se

produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los

consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda

disminuye al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo

observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada

precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los

consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un

producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la

ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica

de demanda.

A esta función la simbolizamos p =d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado.

La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 −0,06x2. Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.

Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p = d(20) = 50 −0,06 202 = 26.

Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:

La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades.

Practicar con lo siguiente:

Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos al año donde f(x) = 1000 + 500x.

Determinar cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros 6 años.

Actividad 4

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

PROBLEMARIO DE CÁLCULO INTEGRAL

Nombre(s):___________________________________Fecha:__/__/__.Grupo.____.

Instrucciones: Resuelve las siguientes integrales algebraicas y trascendentes que se te proporcionan.

Problemas de integrales definidas (Algebraicas)

a) ∫2

0

2x dx

b) ( )∫ −3

1

2 xx dx

c) ∫9

4x dx

Problemas de integrales definidas (Trascendentes)

a) ∫π

0

cos x dx

b) ∫π

0

3cos3 x dx

c) ∫π

0

3 xsen dx

Áreas y volúmenes

1. Haya el área bajo la curva y= x 2 de la recta x =2 a la recta x=4

2. Haya el área encerrada por la recta y= x-1 y la parábola y 2 =2x +6

3. Encuentra el volumen del sólido obtenido, para hacer girar la region limitada por y=x 3 , y=8, y x=0, alrededor del eje x