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CÓNICAS 1
SUPERFICIE CÓNICA
CORTES CON PLANOS Al girar una recta g (generatriz)
alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie
cónica.e
Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman
cónicas:
CircunferenciaElipse
Parábola Hipérbolag
CÓNICAS
UN POCO DE HISTORIA
•Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler enunció sus importantes leyes, una de las cuales asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba alrededor del Sol.
LA CIRCUNFERENCIACircunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro
una distancia r que llamaremos radio.
P(x,y)
x-a
yr
d(P,C) rP(x,y)
2 2x a y b r
Ecuación de la circunferencia de centro
(a, b) y radio r
x
y-bb C(a,b)
22 2 2x a y b r
2 2 2x a y b r
2 2 2 2 2x 2ax a y 2by b r
2 2 2
A 2aB 2b
C a b r
También:
a
2 2x y Ax By C 0
LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN REDUCIDACircunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio.
P(x,y)
x
yr
d(P,O) rP(x,y)
2 2x 0 y 0 r
22 2 2x y r
Ecuación de la circunferencia de centro
(0,0) y radio r
Ecuación reducida de la circunferencia2 2 2x y r
Posiciones relativasPunto y circunferencia Recta y circunferencia
P es un punto interior
C P
PP es un punto de la
circunferencia
C
PP es un punto
exterior
La recta s es secante a la circunferencia
C
B
C
La recta m es exterior a la circunferencia
C
P La recta t es tangente a la circunferencia
As
m
t
La recta tangente es perpendicular al radio que va del centro al punto de tangencia
Pt
PtP
td(C,P) > r
d(C,P) < r
d(C,P) = r
d (t, C) = r
d (m, C) > r
d (s, C) < r
C
Posiciones relativas
Exteriores Tangentes exteriores Secantes
Tangentes interiores Interior Concéntricas
d(C, C´) > r+r´ d(C, C´) = r+r´d(C, C´) < r+r´d(C, C´) > r-r´
d(C, C´) < r+r´d(C, C´) = r-r´
d(C, C´) < r+r´d(C, C´) < r-r´
C = C´
Circunferencias
Si P es un punto y C una circunferencia, dada una recta cualquiera que pase por P y corte a C, se define POTENCIA DEL PUNTO P RESPECTO DE LA
CIRCUNFERENCIA C como el producto de las distancias de P con los
puntos de corte de la recta con la circunferencia C
LA CIRCUNFERENCIAPotencia de un punto respecto de una circunferencia
P
B
A
r
El valor de este producto no depende de la recta elegida
B´A´ s
Sea s, otra recta secante a la circunferencia, desde P y sean A´, B´ los puntos donde
esa recta corta a la circunferencia.
PB
Ar
PotC(P) = PA · PB
Se determinan los triángulos PBA´ y PB´A
Porque comparten el ángulo P
Y los ángulos B y B´ son iguales porque abarcan el mismo arco
Ambos triángulos
son semejantes El producto PA · PB es constante
(No depende de la recta elegida para calcularla)
PAPB
PAPB ´´
´´PBPAPBPA
LA CIRCUNFERENCIAPotencia de un punto respecto de una circunferencia
El valor de este producto no depende de la recta elegida
P BA
PotC(P) = PA · PB
212
1),( byaxCPdh
CP (x1,y1)C (a,b)
h r
PotC(P) = PA · PB = (h-r) · (h+r)=h2-r2
PotC(P) = (x1-a)2 + (y1-b)2-r2
PotC(P) = x12 + y1
2+mx1+ny1+p
Ejemplo: P(-1, 3) y Circunferencia (x-2)2+(y+5)2=8PotC(P) = (-1-2)2 + (3+5)2 – 8 = 9 + 64 – 8 = 65
LA CIRCUNFERENCIAPotencia de un punto respecto de una circunferencia
PotC(P) = PA · PB
PotC(P) = PA · PB = (h-r) · (h+r)=h2-r2
PotC(P) = (x1-a)2 + (y1-b)2-r2
P es un punto interior
C P
PP es un punto de la
circunferencia
C
PP es un punto exterior
d(C,P) > rh>rd(C,P) < r
h<r
d(C,P) = rh=rC PotC(P) = 0
PotC(P) < 0 PotC(P) > 0
LA CIRCUNFERENCIAEje radical
El EJE RADICAL de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia
respecto de ambas circunferenciasSean las circunferencias:C1: x2+y2+m1x+n1y+p1=0 C2: x2+y2+m2x+n2y+p2=0Sea P(x,y) un punto del eje radical PotC1 (P)=PotC2 (P)
PotC1(P)= x2+y2+m1x+n1y+p1 PotC2(P)= x2+y2+m2x+n2y+p2
Luego: x2+y2+m1x+n1y+p1= x2+y2+m2x+n2y+p2
m1x+n1y+p1= m2x+n2y+p2
(m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0Se trata de una recta con vector normal (m1 - m2 , n1-n2)
LA CIRCUNFERENCIAEje radical
Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0
El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une los centros
C1: x2+y2+m1x+n1y+p1=0 C2: x2+y2+m2x+n2y+p2=0 O1: (-m1/2,-n1/2) O2: (-m2/2,-n2/2)
Un vector director de la recta que une los centros:
Que coincide con el vector normal del eje radical, por lo tanto ambas rectas: eje radial y recta que une los
centros, son perpendiculares
2
,22
)(,2
)( 2121121221
nnmmnnmmOO
2121 , nnmmu
vector normal (m1 - m2 , n1-n2)
LA CIRCUNFERENCIAEje radical
Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0vector normal (m1 - m2 , n1-n2)
C1
C2
Eje radical
C1
C2
Eje radical
C1
C2
Eje radical
LA CIRCUNFERENCIACentro radical
C3
C1
C2
El CENTRO RADICAL de tres circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia
respecto de las tres circunferencias
Centro radical
El centro radical de tres
circunferencias es el punto de
intersección de los ejes
radicales de dichas
circunferencias tomados dos a
dos
LA ELIPSELa ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados
focos es una cantidad constante.
FF´
Elementos de la elipse
FF’
A la distancia de F a F´ se le llama distancia focal y la designaremos 2c d (F, F´)=2c
2c
P
dd´ Para un punto P se llaman radios vectores a d (P,F)=d y d(P,F´)=d´ d+d´=2a
La ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante
que llamamos 2a.
El segmento FF´ se llama eje focal, y su punto medio se llama O centro de la elipse
O
La recta que contiene al eje focal y su perpendicular trazada por O son ejes de simetría de la elipse
A
Los puntos donde los ejes de la elipse cortan a la elipse se llaman vértices de la elipse: A, A´ B, B´. AA´se llama eje mayor y BB´ eje menor
A´
B
B´
A es un punto de la elipse. Cumple d(A, F) + d(A, F´) = 2a
FF’
FF’AA´Por simetría de la figura d(A,F)= d(A´,F´)
d(A´,F´) )+d(A,F´)=2a
d(A, A´)=2a
dd´
Elementos de la elipse
Se define la longitud del eje menor d(B, B´)=2b2c
2a2b
El eje mayor mide 2a d(A, A´)=2a El eje focal mide 2c d(F, F´)=2c
B es de la elipse. Cumple que la suma de sus radios vectores es 2a
d(B,F)+d(B,F´)=2acomo ambos radios vectores son iguales
(por simetría de la figura)d(B, F)=d(B, F´) = a
a
c
b Se forma un triángulo rectángulo
ab
ca2=b2+c2
Se llama excentricidad de la elipse e
En la elipse
2c
2a2b
cea
Excentricidad de la elipse:
c=0 los focos coincidene = 0
Se trata de una CIRCUNFERENCIA
c=a los focos coinciden con los vértices
e = 1
Se trata de un SEGMENTO
c < a 0 < e < 1
Se trata de una ELIPSE
Excentricidad de la elipse d(P,F') d(P,F) 2a
Centramos la elipse en unos ejes de coordenadas cartesianas, de forma que su centro de simetría coincida con el origen de coordenadas
a ca b
Centro:
Focos:
Vértices:
Eje mayor:
Eje menor:
Ecuación eje mayor:
Ecuación eje menor:
Excentricidad:
C(0,0) A(a,0)A’(-a,0)
F(c,0)F’(-c,0)
B’(0,-b)
B(0,b) d(P,F') d(P,F) 2a
ab
c
C(0,0)
F(c,0) y F’(-c,0)
A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b)
|AA’|=2a|BB’|=2b
y=0
x=0e=c/a
2 2 2 a c b
NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor (e<1)
Características de la elipse
Ecuación reducida de la elipse
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (focos) es constante (2a)
2 22 22 2x c y 2a x c y
2 22 2x c y 2a x c y
d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)
2 22 2x c y x c y 2aP(x,y)
22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y
2 2 24a x c y 4a 4cx
222 2 2a x c y a cx
2 2 2 2 4 2 2 2a x 2cx c y a 2a cx c x
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
FF’
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2 2 2
2 2 2 2
b x a y 1a b a b
ab
c2 2 2 a c b
2 2
2 2
x y 1a b
Ecuación reducida de la elipse
Los focos de la elipse se encuentran sobre el eje OY F(0,c) y F’(0,-c)
a ba c
Centro:Focos:Vértices:
Ecuación eje mayor:Ecuación eje menor:Excentricidad:
a
C(0,0)
A(0,a)
A’(0,-a)
F(0,c)
F’(0,-c)
B’(-b,0) B(b,0)
d(P,F') d(P,F) 2a
2 2
2 2
x y 1b a
b
c
ab
c
Ecuación reducida de la
elipse invertida
C(0,0)F(0,c) F’(0,-c)
A(0,a) A’(0,-a) B(b,0) B’(-b,0)
x=0y=0
e=c/a2 2 2 a c b
NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY
Elipse invertida
C (h , k)
Ecuación de una elipse de C (h,k) y ejes paralelos a los ejes de
coordenadas
y=k
x=h
e=c/a
A (h+a , k)A’(h-a ,k)
B (h, k+b)
B’ (h, k-b)
ab
F (h+c, k)
Elipse no centrada en el origen(Ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
Oc
ab
F (h-c, k)
a2=b2+c2
X
Y
LA HIPÉRBOLALa HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del
plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante.
Elementos de la HIPÉRBOLA
FF’
A la distancia de F a F´ se le llama distancia focal y se designa 2c d (F, F´)=2c
2c
d Para un punto P se llaman radios vectores d (P,F)=d y d(P,F´)=d´ Id-d´I=2a
La HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante
que llamamos 2a.
El segmento FF´ se llama eje focal, el punto medio se llama O centro de la hipérbola
O
La recta que contiene al eje focal y su perpendicular trazada por O son ejes de simetría de la hipérbola
A
Los puntos donde el eje focal corta a la hipérbola se llaman vértices : A, A´ y el segmento AA´se llama eje real
A es un punto de la hipérbola: Cumple d(A, F´) - d(A, F) = 2a
FF’AA´ Por simetría de la figura d(A,F)= d(A´,F´)
d(A, F´) - d(A´,F´)=2a d(A, A´) = 2a
d´P
A´
Elementos de la hipérbola Se define un segmento de
longitud b, como el cateto de un triángulo que tenga de hipotenusa c y otro cateto a
2c2a
2b
El eje real mide 2a d(A, A´)=2a
El eje focal mide 2c d(F, F´)=2c
a
cb
c2=a2+b2
Se llama excentricidad de la hipérbola: e
B
B´
Se definen dos puntos B y B´ sobre el eje de simetría vertical que estén a distancia b del centro O d(B, B´)=2b
Los puntos B y B´ se llaman también vértices de la hipérbola (junto con A y A´) y al eje que los une se llama eje imaginario.
Asíntotas de la hipérbola son las rectas hacia las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola sin llegar a tocarlas
Excentricidad de la hipérbola
1 cea
semidis tancia focalexcentricidad
semieje real
Excentricidad de la hipérbola:
c=a , es decir, los focos coinciden con los vértices
e = 1
Se trata de dos SEMIRRECTAS
c > a e > 1
Se trata de una HIPÉRBOLA
Características de la hipérbola
Centro:Focos:Vértices:
Eje real:Eje imaginario:Ecuación eje real:Ecuación eje imaginario:Excentricidad:Asíntotas:
by xa
c a cb
a
C(0,0)
F(c,0) F’(-c,0)
A(a,0) A’(-a,0) B(0,b) B’(0,-b)
|AA’|=2a
|BB’|=2b
y=0
x=0e=c/a
2 2 2 c a b
(e>1)
Centramos la hipérbola en unos ejes de coordenadas cartesianas, de forma que su centro de simetría coincida con el origen de coordenadas
C(0,0) A(a,0)A’(-a,0) F(c,0)F’(-c,0)
B’(0,-b)
B(0,b)b
a
cm=b/a
Ecuación de la hipérbolaHipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) es constante (2a).
2 22 2x c y 2a x c y
Ecuación reducida de la hipérbola
d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)
2 22 2x c y x c y 2a
2 2
2 2
x y 1a b
22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y
22 24cx 4a 4a x c y
22 22 2cx a a x c y
2 2 2 4 2 2 2 2c x 2a cx a a x 2cx c y
2 2 2 2 2 2 2 2c a x a y a c a
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2 2 2
2 2 2 2
b x a y 1a b a b
P(x,y)
Hipérbola invertida
Centro:Focos:Vértices:
Ecuación eje real:Ecuación eje imaginario:Excentricidad:Asíntotas:
aC(0,0)
A(0,a)
A’(0,-a)
F(0,c)
F’(0,-c)
B’(-b,0) B(b,0)b
cC(0,0)
F(0,c) F’(0,-c)
ay xb
2 2
2 2
y x 1a b
Ecuación reducida de la hipérbola
y=0
e=c/a
NOTA: Los focos siempre están en el eje real
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (focos) es constante.
cb
a
2 2 2 c a b
c a
A(0,a) A’(0,-a) B(b,0) B’(-b,0)
(e>1)
x=0
Hipérbola trasladada
Ecuación de la hipérbola de C(h,k) y ejes paralelos a los ejes
de coordenadas
c
X
Y (Ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
aC(h,k)
A(h+a, k)A’(h-a, k)F(h+c, k)F’(h-c, k)
bc
B’(h, k-b)
B(h, k+b)
Ecuaciones de las asíntotas
Hipérbola equiláteraUna hipérbola se llama equilátera si tiene iguales sus dos semiejes
Al ser a = b las pendientes de las
asíntotas son +1 y -1. Las asíntotas son las
bisectrices de los cuadrantes
x2 - y2 = a2
c2 = 2a2
a
a
c
Al ser a = b su ecuación reducida queda
Ecuaciones de las asíntotas:
y=x y=-x
(rectas perpendiculares)
ab
Hipérbola equilátera
A (t,t)
t
t
aa a2 = 2t2
Hipérbola equiláteraReferida a las asíntotas
F (h,h)
h
h
2a2 = 2h2 h= a
Ecuaciones de las asíntotas:
y=0 x=0
A´
B
B´
F ´
AF
x2 - y2 = a2
Ecuaciones de las asíntotas: y=x y=-x Ecuaciones de las asíntotas:
y=0 x=0
Hipérbola equilátera. Resumen
LA PARÁBOLALa PARÁBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del
plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
Elementos de la PARÁBOLALa parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta llamada directriz (d)
V
La distancia del foco a la directriz se le llama parámetro de la parábola: p
p
Eje (e)
p>0
P La perpendicular a la directriz pasando
por el foco se llama eje de la parábola y es eje de simetría
El punto de corte del eje con la parábola se llama vértice de la parábola V
V es un punto de la parábola, por lo tanto cumple su condición:
F
Directriz (d)
d ( V, F) =d ( V, d)
FV
y ambos sumandos son iguales
d(V, F) =d(V,d)=p/2
p=d ( F, d) =d ( V, F) + d( V, d) p
dp/2p/2
Parámetro de la PARÁBOLA
p = d ( F, d) p>0
Elementos de la PARÁBOLACentramos la parábola de forma que su vértice coincida
con el origen de coordenadas.
V(0,0)
pFoco:
Vértice:
Eje :
Directriz:
Parámetro:
y=0
eje
p>0
P (x, y)
F X
Y
p/2
d
p/2
V(0,0)
Ecuación de la PARÁBOLA
Ecuación reducida de la parábola
Vértice (0,0) y eje OX
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y
de una recta llamada directriz (x=-p/2).
P(x,y)
22 2
2p px y x2 2
22p px y x
2 2
2 2
2 2 2p px px y x px4 4
PARÁBOLA trasladada
Ecuación de una parábolade eje paralelo al eje OX
y=k
X
Y
p/2V(h,k) F(h+p/2, k)
Directriz (d)
Eje (e)
Ecuaciones de la PARÁBOLA
y = 0 y = 0 y = k
x = 0
x = 0
x = h
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos
F y F’ (llamados focos) es constante.
Hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’
(llamados focos) es constante.
Parábola es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de un
punto fijo F (llamado foco) y de una recta
llamada directriz.
Las Cónicas como lugar geométrico
La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F’)