Secciones cónicas

38
Secciones Cónicas Generalidades

Transcript of Secciones cónicas

Page 1: Secciones cónicas

Secciones CónicasGeneralidades

Page 2: Secciones cónicas

Índice general

1 Circunferencia 11.1 Propiedades de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Posiciones relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 La circunferencia y un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 La circunferencia y la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Ángulos en una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Longitud de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Área del círculo delimitado por una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Ecuaciones de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Circunferencia en topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.8.1 Familia de circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Circunferencias especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.9.1 Circunferencias de Cardanus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9.2 Circunferencia directriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9.3 Circunferencia osculatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.10 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.12 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Elipse 92.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Elementos de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Puntos de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Ejes de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Excentricidad de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.4 Excentricidad angular de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.5 Constante de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.6 Directrices de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.7 Elementos gráficos de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Dibujo de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

i

Page 3: Secciones cónicas

ii ÍNDICE GENERAL

2.3.1 Elipse “del jardinero” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Modo de determinar los focos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Método de radios vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4 Método de la tarjeta, compás de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.5 Construcción por afinidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.6 Por haces proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.7 La elipse como hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.8 Anamorfosis de una circunferencia en una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Ecuaciones de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 En coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 En coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.3 Formas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.4 Área interior de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.5 Perímetro de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.6 Propiedades notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 La elipse como cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Elipses semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7 La elipse en mecánica celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8 La elipse en la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.9 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.10 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.11 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Hipérbola 203.1 Etimología. Hipérbole e hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Ecuaciones de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Ecuaciones en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Elementos de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6.1 Eje mayor o real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.2 Eje menor o imaginario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.3 Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.4 Vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.5 Focos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.6 Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.7 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.9 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Parábola (matemática) 24

Page 4: Secciones cónicas

ÍNDICE GENERAL iii

4.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Propiedades geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1 Lado recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2 Semejanza de todas las parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.3 Tangentes a la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Aplicaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Ecuaciones de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4.1 Ecuación involucrando la distancia focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4.2 Ecuación general de una parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.5 Parábolas no cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5.1 Parábola cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5.2 Parábola semicúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.7 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.9 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.10 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.10.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.10.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.10.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Page 5: Secciones cónicas

Capítulo 1

Circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada dondetodos sus puntos están a igual distancia del centro.Distíngase del círculo que es el lugar geométrico de lospuntos contenidos en dicha circunferencia o también lacircunferencia es el perímetro del círculo. En el círculolos puntos de la circunferencia están a una distancia igualal radio y los demás puntos a menor distancia que el radio.Puede ser considerada como una elipse de excentricidadnula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los fo-cos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directricesestán en el infinito. También se puede describir como lasección, perpendicular al eje, de una superficie cónica ocilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados,cuya apotema coincide con su radio.La intersección de un plano con una superficie esféricapuede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bienun solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia,si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador[1]

La circunferencia de centro en el origen de coordena-das y radio 1 se denomina circunferencia unidad ocircunferencia goniométrica.[2][3][4][5][6]

1.1 Propiedades de la circunferen-cia

secante

cuerda

tangente

Secantes, cuerdas y tangentes.

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferen-cia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en

1

Page 6: Secciones cónicas

2 CAPÍTULO 1. CIRCUNFERENCIA

la circunferencia:

• Centro, es el punto interior equidistante de todos lospuntos de la circunferencia;

• Radio. Es el segmento que une el centro de la cir-cunferencia con un punto cualquiera de la misma. Elradio mide la mitad del diámetro.El radio es igual ala longitud de la circunferencia dividida entre 2π.

• Diámetro. El diámetro de una circunferencia es elsegmento que une dos puntos de la circunferenciay pasa por el centro. El diámetro mide el doble del

radio. El diámetro es igual a la longitud de la circun-ferencia dividida entre π;

• Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos pun-tos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda delongitud máxima.

• Recta secante. Es la línea que corta a la circunfe-rencia en dos puntos.

• Recta tangente. Es la línea que toca a la circunfe-rencia en un sólo punto.

• Punto de Tangencia es el punto de contacto de larecta tangente con la circunferencia.

• Arco. El arco de la circunferencia es cada una de laspartes en que una cuerda divide a la circunferencia.Un arco de circunferencia se denota con el símbolosobre las letras de los puntos extremos del arco.

• Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos de-limitados por los extremos de un diámetro.

Diámetros conjugados

Par de diámetros conjugados en una elipse

Dos diámetros de una sección cónica se denominan con-jugados cuando toda cuerda paralela a uno de ellos esbisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros de lacircunferencia perpendiculares entre sí son mutuamenteconjugados. En una elipse dos diámetros son conjugadossi y sólo si la tangente a la elipse en el extremo de undiámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.

Punto interior

Es un punto en el plano de la circunferencia, cuya distan-cia al centro de la circunferencia es menor que el radio.El conjunto de todos los puntos interiores se llama inte-rior de la circunferencia. Respecto al círculo, claramente,se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que esprecisamente la respectiva circunferencia.[7]

1.2 Posiciones relativas

Page 7: Secciones cónicas

1.3. ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA 3

1.2.1 La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:

• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centroal punto es mayor que la longitud del radio.

• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia delcentro al punto es igual a la longitud del radio.

• Interior a la circunferencia, si la distancia del centroal punto es menor a la longitud del radio.

1.2.2 La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

• Exterior, si no tienen ningún punto en común conella y la distancia del centro a la recta es mayor quela longitud del radio.

• Tangente, si la toca en un punto (el punto de tan-gencia o tangente) y la distancia del centro a la rectaes igual a la longitud del radio. Una recta tangente auna circunferencia es perpendicular al radio que uneel punto de tangencia con el centro.

• Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si lacorta en dos puntos distintos y la distancia del centroa la recta es menor a la longitud del radio.

• Segmento circular, es el conjunto de puntos de laregión circular comprendida entre una cuerda y elarco correspondiente

1.2.3 Dos circunferencias

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relati-vas, se denominan:

• Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distan-cia que hay entre sus centros es mayor que la sumade sus radios. No importa que tengan igual o distintoradio. (Figura 1)

• Tangentes exteriormente, si tienen un punto co-mún y todos los demás puntos de una son exterioresa la otra. La distancia que hay entre sus centros esigual a la suma de sus radios. No importa que tenganigual o distinto radio. (Figura 2)

• Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y ladistancia entre sus centros es menor a la suma de susradios. No importa que tengan igual o distinto radio.Dos circunferencias distintas no pueden cortarse enmás de dos puntos. Dos circunferencias son secantesortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes enlos dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)

• Tangentes interiormente, si tienen un punto co-mún y todos los demás puntos de una de ellas soninteriores a la otra exclusivamente. La distancia quehay entre sus centros es igual al valor absoluto de ladiferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tenermayor radio que la otra. (Figura 4)

• Interiores excéntricas, si no tienen ningún puntocomún y la distancia entre sus centros es mayor que0 y menor que el valor absoluto de la diferencia desus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radioque la otra.

• Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro(la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio.Forman una figura conocida como corona circular oanillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio quela otra. (Figura 5)

• Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mis-mo radio. Si dos circunferencias tienen más de dospuntos comunes, necesariamente son circunferen-cias coincidentes.

1.3 Ángulos en una circunferencia

ángulo central

ánguloinscrito

ángulosemi-inscrito

Ángulos en la circunferencia.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta.Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a ladel arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunfe-rencia y sus lados contienen dos cuerdas.

Page 8: Secciones cónicas

4 CAPÍTULO 1. CIRCUNFERENCIA

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo ar-co y por tanto son iguales.

La amplitud de un ángulo inscrito en una se-mi circunferencia equivale a la mayor parte delángulo exterior que limita dicha base. (Véase:arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la cir-cunferencia y sus lados contienen una cuerda y una rectatangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tan-gencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es lamitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la cir-cunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitadde la suma de dos medidas: la del arco queabarcan sus lados más la del arco que abarcansus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de lacircunferencia

1.4 Longitud de la circunferencia

El interés por conocer la longitud de una circunferenciasurge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carroscon rueda, era primordial relacionar el diámetro o radiocon la circunferencia.[8]

• La longitud ℓ de una circunferencia es:

ℓ = π · 2r

donde r es la longitud del radio.Pues π (número pi), por definición, es el cociente entrela longitud de la circunferencia y el diámetro:

π =ℓ

2r

1.4.1 Área del círculo delimitado por unacircunferencia

Área =

Área del círculo =π× r2

r2

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

A = π · r2

1.5 Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circun-ferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta detodos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

(x− a)2 + (y − b)2 = r2

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación an-terior se simplifica al

x2 + y2 = r2

Page 9: Secciones cónicas

1.5. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 5

1 2 3

1

2

3

-1-2 -1

-2

x

y

-3

-3

x2 + y2 = 4

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

La circunferencia con centro en el origen y de radio launidad, es llamada circunferencia goniométrica, circun-ferencia unidad o circunferencia unitaria.De la ecuación general de una circunferencia,

(x− a)2 + (y − b)2 = r2

se deduce:

x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0

resultando:

a = −D

2

b = −E

2

r =√

a2 + b2 − F

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:(x1, y1), (x2, y2) ,la ecuación de la circunferencia es:

(x− x1)(x− x2) + (y − y1)(y − y2) = 0.

Ecuación vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tienepor ecuación vectorial: r = ⟨R cos(θ), R sen(θ)⟩ . Don-de θ es el parámetro de la curva, además cabe destacarque θ ∈ [0, 2π) . Se puede deducir fácilmente desde la

ecuación cartesiana, ya que la componente X y la compo-nente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado elradio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio estamisma ecuación da como resultado un cilindro, dejandoel parámetro Z libre.Sea C un punto fijo del plano, r un real positivo, P un pun-to cualquiera de ℝ2, la ecuación |P - C|= r es la ecuaciónvectorial de la circunferencia de centro C y radio r.[9]

Ecuación en coordenadas polares

(cos t, sen t)y

x

1t

Circunferencia unitaria.

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el ra-dio es c, se describe en coordenadas polares como (r, θ)

r = c.

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto(s, α) y el radio es c , la ecuación se transforma en:

r2 − 2sr cos(θ − α) + s2 = c2

Ecuación paramétrica de la circunferencia

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c separametriza con funciones trigonométricas como:

x = a+ c cos t, y = b+ c sen t, t ∈ [0, 2π]

y con funciones racionales como

x = a + c(

1−t2

1+t2

), y = b +

c(

2t1+t2

), −∞ ≤ t ≤ ∞ , donde t re-

corre todos los valores reales y se llama pará-metro.[10]

Page 10: Secciones cónicas

6 CAPÍTULO 1. CIRCUNFERENCIA

1.6 Circunferencia en topología

En topología, se denomina circunferencia a cualquier cur-va cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferenciausual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional).Se la puede definir como el espacio cociente determinadoal identificar los dos extremos de un intervalo cerrado.[11]

Los geómetras llaman 3-esfera a la superficie de la esfera.Los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indicancomo S2 .[12]

La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo,la dimensión de una recta no acotada, o de un arco- estoes de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado-y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeo-morfo con una circunferencia, es igual a 1.[13]También elcaso de una poligonal cerrada.

1.7 Circunferencia en un plano deejes de referencia no ortogona-les

Para construir una circunferencia en el plano oblicuo, nose puede usar la misma ecuación que se usa en un planoortogonal, por lo que es necesario introducir algunos con-ceptos que nos ayudarán a entender la construcción de talecuación. Tales conceptos son los de trigonometría.Se debe tener presente que en este plano una ecuación decircunferencia se llamará así si se ve como tal. Es por estarazón que se descarta la ecuación anterior, porque en elplano oblicuo no parecerá circunferencia, sino una elipse.

1.8 Otras propiedades

B

B

B

A

A

P

2

3

1

2

3

P P PP P P

• Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan,el producto de los segmentos formados en la una, esigual al producto de los segmentos formados en laotra cuerda, A1P · PB1 = A2P · PB2 .

• El segundo teorema de Tales muestra que si los tresvértices de un triángulo están sobre una circunferen-cia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de lacircunferencia, entonces, el ángulo opuesto a este la-do es un ángulo recto (véase arco capaz).

Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.

• Dados tres puntos cualesquiera no alineados, exis-te una única circunferencia que contiene a estostres puntos (esta circunferencia estará circunscri-ta al triángulo definido por estos puntos). Dadostres puntos no alineados en el plano cartesiano(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) , la ecuación de la cir-cunferencia está dada de forma simple por la deter-minante matricial:

det

x y x2 + y2 1x1 y1 x2

1 + y21 1x2 y2 x2

2 + y22 1x3 y3 x2

3 + y23 1

= 0.

1.8.1 Familia de circunferencias

Lehmann menciona las siguientes [14]

1. Circunferencias que tienen el mismo centro.

2. Circunferencias que pasan por dos puntos.

3. Circunferencias tangentes a una recta en un puntofijo.

Page 11: Secciones cónicas

1.12. ENLACES EXTERNOS 7

4. Circunferencias que pasan por las intersecciones dedos circunferencias.

1.9 Circunferencias especiales

1.9.1 Circunferencias de Cardanus

Un par de circunferencias que se desplazan, tangenciale interiormente, una sobre la otra guardando una razónentre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, porel matemático italiano, Girolamo de Cardano [15]

1.9.2 Circunferencia directriz

Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de lahipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las cir-cunferencias tangentes a la llamada circunferencia direc-triz [16] .

1.9.3 Circunferencia osculatriz

Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie,en el punto de contacto, además de la tangente se tomaen cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada cir-cunferencia osculatriz[17] [18]

1.10 Véase también• Círculo

• Circunferencia de Apolonio

• Disco (topología)

• 3-esfera | n-esfera

• Sección cónica

• Elipse | Parábola | Hipérbola

• Teorema segundo de Tales

1.11 Referencias[1] Editorial Bruño: Geometría Superior

[2] “Introducción a la geometría” Eugenio Roanes Macías.Anaya editorial. 1.ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X

[3] “Geometría Diferencial” Antonio López de la Rica, Agus-tín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6

[4] “Geometría analítica del plano y del espacio”. Jesús M.Ruiz. Anaya, 1.ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8

[5] “Cálculus” (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edi-ción, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1

[6] “Cálculo” (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler,Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edición, 2006.ISBN 970-10-5274-9

[7] Correlacionando con conceptos básicos de topología ge-neral

[8] Boyer: Historia de la matemática

[9] Haaser, La Salle, Sulivan: Análisis Matemático I

[10] Consúltese para el caso en Geometría analítica de Pastor,Santaló y Balanzat, pág. 76

[11] Diccionario de términos de topología empleados porJacques Lacan.

[12] Weisstein, Eric W. «Sphere». En Weisstein, Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el2009.

[13] Kazimierz Kuratowski: Introducción a la teoría de con-juntos y a la topología, Editorial Vicens Vives, Barcelona,España, 1966

[14] Lehmann, Charles H. Geometría Analítica (1980) Edito-rial Limusa, S. A. Mexico 1, D.F. p.110

[15] Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-0832-7

[16] Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-0832-7

[17] Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-0832-7

[18] Cf. Barrett O'Neill. Elementos de Geometría Diferencialpág. 80 Limusa Wiley

1.12 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre círculos y circunferencias. Commons

• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizajesobre Circunferencia.Wikiversidad

• Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre la cir-cunferencia

• Círculo y circunferencia, en Descartes. Centro Na-cional de Información y Comunicación Educativa.Ministerio de Educación, Política Social y Depor-te de España

• Materiales didácticos: Circunferencia, en Descartes

• Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve,de la Universidad de Los Andes, Venezuela

• Weisstein, Eric W. «Circunferencia “Circumferen-ce"». En Weisstein, Eric W.MathWorld (en inglés).Wolfram Research.

Page 12: Secciones cónicas

8 CAPÍTULO 1. CIRCUNFERENCIA

• Weisstein, Eric W. «Circunferencia y círculo “Cir-cle"». EnWeisstein, EricW.MathWorld (en inglés).Wolfram Research.

• Weisstein, Eric W. «Disco “Disk"». En Weisstein,Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Page 13: Secciones cónicas

Capítulo 2

Elipse

La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya defini-ción más usual es:Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetríaque resulta al cortar la superficie de un cono por un planooblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el dela generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una elipseque gira alrededor de su eje menor genera un esferoideachatado, mientras que una elipse que gira alrededor desu eje principal genera un esferoide alargado. La elipse estambién la imagen afin de una circunferencia [2]

Elipse

2.1 Historia

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada porMenecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atri-buye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de lasección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pap-pus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte eraovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba deuna elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler intro-dujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahoralleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del

Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de Tebas(Egipto).

Sol.[3]

2.2 Elementos de una elipse

C f aF2

b

−f−aF1

−b

e = f ÷ a

0 < e < 1 e = PF2÷PD

d

PD

PF1+PF2 = 2a

P

La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respectoa dos ejes perpendiculares entre sí:

• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

• el semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

9

Page 14: Secciones cónicas

10 CAPÍTULO 2. ELIPSE

2.2.1 Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes delcentro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distan-cias desde cualquier punto P de la elipse a los dos fo-cos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor(d(P,F1)+d(P,F2)=2a).Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entredos puntos P y Q.Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una cons-tante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertene-cerá a la elipse si se cumple la relación:

PF1 + PF2 = 2a

donde a es la medida del semieje mayor de la elipse.

2.2.2 Ejes de una elipse

El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos pun-tos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de lasdistancias de cualquier punto a los focos es constante yequivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor dis-tancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes dela elipse son perpendiculares entre sí.

2.2.3 Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entresu semidistancia focal (longitud del segmento que partedel centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), de-nominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor seencuentra entre cero y uno.

ε = ca , con (0 ≤ ε ≤ 1)

Dado que c =√a2 − b2 , también vale la relación:

ε =

√a2 − b2

a2=

√1− b2

a2

o el sistema:ε =c

ac =

√a2 − b2

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipseserá más redondeada cuanto más se aproxime su excen-tricidad al valor cero.[4] La designación tradicional de laexcentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.(No se debe usar la letra e para designarla, porque se re-serva para la base de los logaritmos naturales o neperia-nos. Véase: número e).

2.2.4 Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular α es el ángulo para el cual elvalor de la función trigonométrica seno concuerda con laexcentricidad ε , esto es:

α = sin−1(ε) = cos−1

(b

a

)= 2 tan−1

(√a− b

a+ b

);

2.2.5 Constante de la elipse

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vec-tores correspondientes a cada punto P de una elipse, losvectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudesde los segmentos correspondientes a cada uno son PF1(color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilus-tra como varían para diversos puntos P de la elipse.Como establece la definición inicial de la elipse como lu-gar geométrico, para todos los puntos P de la elipse lasuma de las longitudes de sus dos radio vectores es unacantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF1 + PF2 = 2a

En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para unconjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

Page 15: Secciones cónicas

2.2. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE 11

C f a d

PD

0 < e < 1

e = PF÷PD

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

2.2.6 Directrices de la elipse

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta para-lela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración dela derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipsehasta el foco F es una fracción constante de la distanciaperpendicular de ese punto P a la directriz que resulta enla igualdad:

ε = PFPD

La relación entre estas dos distancias es la excentricidadε de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada conla herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomadacomo otra definición alternativa de la elipse.

Además de la bien conocida relación ε = fa , también es

cierto que ε = ad , también es útil la fórmula d = a

ε .Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del focoderecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuyadistancia del centro O es -d, la cual además es paralela ala directriz anterior. Ver más adelante cómo se dibuja ladirectriz.

2.2.7 Elementos gráficos de la elipse

Nomenclatura

La descripción corresponde a las imágenes de la derecha.

• Los diámetros principales o ejes principales sonlos diámetros máximo y mínimo de la elipse, per-pendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tra-dicionalmente son nombrados A-B el mayor y D-Cel menor, aunque también se utilizan otras nomen-claturas, como A-A' el mayor y B-B' el menor.

• El centro de la elipse se suele nombrar O (origen).En la circunferencia los focos coinciden con el cen-tro.

• Los focos se suelen nombrar con la letra F acompa-ñada de algún medio de diferenciarlos, F1 - F2, o F'- F” .

• El diámetro mayor de la elipse se suele designar2a, siendo a el semieje mayor. El semieje menor sedenomina b y el diámetro menor 2b. La distanciade cada foco al centro se denomina c.

• Los segmentos que van de cada foco a un punto dela elipse se denominan radios vectores; la suma delos radios vectores de cada punto es una constanteigual a 2a.

En la imagen de la derecha vemos algunas otras líneas ypuntos importantes de la elipse.

• La circunferencia principal (c. p., en verde) tienecomo centro el de la elipse, y como radio a. Se pue-de definir como el lugar geométrico de todos lospies de las tangentes a la elipse (como se ve en elejemplo).

• Las circunferencias focales (c. f., en verde tam-bién) son las que tienen como centro cada foco ycomo radio 2a. Las circunferencias focales y la prin-cipal cumplen una homotecia de razón = 2 y centroen cada foco (el de la circunferencia focal contraria).

• La recta t en color cian es una tangente por unpunto cualquiera. Al punto de tangencia se lo sue-le nombrar T, T1, T2, etc. Los segmentos perpendi-culares a las tangentes que pasan por los focos, aquí

Page 16: Secciones cónicas

12 CAPÍTULO 2. ELIPSE

en rojo, se suelen prolongar hasta la circunferenciafocal del foco opuesto. No coinciden con la normala la tangente salvo en los extremos de los ejes prin-cipales.

• Los puntos donde se cruzan las normales con sustangentes son los pies de la tangente. Ese punto per-tenece siempre a la circunferencia principal. Al do-ble de la distancia de F al pie se encuentra el corte dela normal con la circunferencia focal del foco opues-to.

Diámetros conjugados

Se denominan diámetros conjugados a cada par de diá-metros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa porel centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajoel dibujo de la derecha).Otra definición es que son conjugados los diámetros cu-yos afines en una circunferencia afín a la elipse son per-pendiculares (dibujo de la izquierda).

Los diámetros principales serían también diámetros con-jugados. Existen varios métodos para hallar los diámetrosprincipales a partir de los conjugados.

Rectas directrices

La definición de las rectas directrices está en una sec-ción anterior (véase), y también la definición de la elipsea partir de ellas. Es una expresión de la excentricidad dela elipse. El modo de hallarlas gráficamente se muestraen la siguiente imagen.Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por unfoco hasta la circunferencia principal, dibujamos por elpunto de corte una tangente a dicha circunferencia; enel lugar donde esa tangente encuentra la prolongación deldiámetro mayor está la directriz, que es perpendicular aldiámetro mayor.

2.3 Dibujo de la elipse

2.3.1 Elipse “del jardinero”

El método se basa en la definición más corriente dela elipse, como lugar geométrico de los puntos cuya

Modo de dibujar la elipse conocido como “elipse del jardinero”,mediante dos puntos fijos y una cuerda

suma de distancias a los focos es constante. Los clavoso las chinchetas se colocan en el lugar de los focos, y lacuerda debe medir lo mismo que el eje mayor (2a). Enel ejemplo de la foto al lazo de cuerda se le debe añadirla distancia de los focos. Con la cuerda tensa se mueveel lápiz o material de dibujo rodeando por completo losdos focos.

Se denomina “del jardinero” a este método porque sirvepara trazar en el suelo elipses de gran tamaño y preci-sión suficiente, con medios modestos. Ver en la secciónsiguiente el modo de determinar los focos a partir de losejes.

2.3.2 Modo de determinar los focos

El modo de determinar los focos a partir de los ejes, o uneje a partir de otro y los focos, se basa en la definición.Dibujados los dos ejes principales, se toma con el compásla medida a de la mitad del eje mayor. Haciendo centroen un extremo del eje menor, el compás cruza por el ejemayor en los focos.Dado el eje mayor con los focos, la medida a aplicada a

Page 17: Secciones cónicas

2.3. DIBUJO DE LA ELIPSE 13

Focos de la elipse, y dimensiones principales

cada foco nos da arcos que se cruzan en los extremos deleje menor.Dado un eje menor y la distancia de los focos, primerodebemos hallar la recta sobre la que está el eje mayor,luego dibujar los focos a la distancia dada, y desde ellostomar la distancia a los extremos del eje menor, que es lamitad del eje mayor.

2.3.3 Método de radios vectores

También denominado “por puntos"; con este método di-bujamos un número suficiente de puntos mediante elcompás. Como en el método tradicional visto antes usa-mos los radios vectores y la propiedad de que la suma delos radios vectores de un punto es igual a la medida deleje mayor.Dados dos ejes principales y determinados los focos, setoman puntos al azar sobre el eje mayor entre el centro Oy uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y prefe-riblemente cerca del foco por comodidad del dibujo.Tomamos con el compás la distancia de un extremo deleje mayor (A) a cada uno de los puntos del eje (1). Ha-ciendo centro en cada foco trazamos arcos con esa medi-da. A continuación tomamos el resto de la medida del ejemayor, desde el punto (1) al otro extremo (B), y con esamedida, haciendo centro de nuevo en los focos, cruzamoslos arcos trazados antes. Las cruces nos dan puntos quepertenecen a la elipse.Repitiendo la operación tantas veces como sea necesarioobtenemos puntos de la elipse. Se completa el dibujo amano o mediante plantillas de curvas.

2.3.4 Método de la tarjeta, compás de Ar-químedes

Se puede dibujar la elipse mediante una regla de medir,un juego de escuadra y cartabón y un lápiz. Dibujamoslos ejes principales con sus medidas, y determinamos losfocos. Tomamos con la regla graduada, desde el 0, la dis-tancia del centro al extremo del eje mayor, y después des-de la marca del extremo del eje mayor, restamos la mitaddel eje menor (ver dibujo). Apoyando el 0 de la regla encualquier punto del eje menor y la diferencia calculadaen el eje mayor, marcamos la medida del eje mayor. Paramás claridad véase el dibujo.

Animación de los principios del Compás de Arquímedes oelipsógrafo

Esta misma operación se puede hacer con una tarjeta, yde ahí su nombre tradicional, haciendomarcas en el bordecon las medidas dadas.Para construirla con reglas y compás marcamos puntosarbitrarios en el eje menor. Tomando con el compás lamedida de la mitad de la diferencia entre el eje mayory el menor, hacemos centro en los puntos y señalamospuntos correspondientes en el eje mayor, a ambos lados.Dibujamos rectas desde los puntos del eje menor a sus co-rrespondientes del eje mayor, prolongándolas. Sobre esasrectas, con el compás y desde cada punto del eje mayor,

Page 18: Secciones cónicas

14 CAPÍTULO 2. ELIPSE

tomamos la medida de la mitad del eje menor, marcán-dola sobre la línea, lo que nos da los puntos de la elipse.Existe una máquina sencilla (un elipsógrafo) hecha a basede guías o raíles y barras y llamada compás de Arquíme-des, que se basa en este principio.

2.3.5 Construcción por afinidad

Partimos de las rectas de los ejes principales. Se dibujandos circunferencias concéntricas cuyos diámetros sean losde la elipse. Para hallar un punto trazamos un radio cual-quiera de la circunferencia mayor fuera de los ejes. Desdeel extremo del radio trazamos una recta auxiliar, paralelaal eje menor, hacia dentro de la circunferencia. Desde elpunto donde el radio corta la circunferencia menor traza-mos una recta auxiliar paralela al eje mayor, que cruce lalínea auxiliar que acabamos de hacer. El punto donde secortan las dos auxiliares pertenece a la elipse.Repitiendo la operación se obtienen todos los puntos quesean necesarios; la elipse se completa a mano o con plan-tillas. Normalmente por comodidad el dibujo se sistema-tiza; en lugar de los radios dibujamos diámetros comple-tos, los trazos auxiliares verticales y horizontales se hacende una vez mediante paralelas a los ejes.

En este método se puede considerar una de las circunfe-rencias como una doble transformación afín de la otra, ylos puntos unidos por el mismo radio serían entonces afi-nes. Una de las líneas auxiliares es la recta de afinidad de

dos puntos (uno en la circunferencia, otro en la elipse),mientras la otra línea auxiliar da la reducción que corres-pondeTambién se puede considerar la relación de las dos cir-cunferencias una homología en la que el centro de homo-logía coincide con el centro de una circunferencia, mien-tras su homóloga pertenece a un plano paralelo y tam-bién es concéntrica; estas homologías con rectas límiteimpropias son homotecias.

Por afinidad, a partir de conjugados

A partir de dos diámetros conjugados (A-B y C-D) sepuede realizar la siguiente construcción, en la que hace-mos afines los extremos del diámetro conjugado menor(C y C', la línea de afinidad en azul) con el de una circun-ferencia auxiliar de diámetro igual al mayor y perpendi-cular a él (en rojo), mientras el diámetro mayor es el ejede afinidad. Cada punto de la circunferencia es afín a otrode la elipse.

Por afinidad, dentro de un paralelogramo

Una construcción corriente para dibujar una elipse o unarco de elipse en un paralelogramo es hacerlo afín a otroortogonal en el que podamos trazar un arco de circunfe-rencia o una circunferencia completa. Esto es útil en par-ticular para elipses proyectadas en axonométrica u otraproyección cilíndrica.Como se ve en el dibujo hacemos que dos puntos sean afi-nes, así como dos rectas que se corten en otra que hará deeje de afinidad. El resto consiste en ir trasportando puntos

Page 19: Secciones cónicas

2.3. DIBUJO DE LA ELIPSE 15

y rectas mediante otras rectas afines conocidas, normal-mente los lados de los paralelogramos o sus diagonales(véase el dibujo).En el cubo de la derecha se aprecia el principio que seaplica. Es importante señalar que en axonométrica este“truco” no equivale en general a un abatimiento.

2.3.6 Por haces proyectivos

Construcción por haces proyectivos, o del paralelogramo.En la variante tradicional ponemos tantos puntos en el ejemenor como en los lados del rectángulo paralelos al ejemenor; unimos estos desde los extremos del eje menor (Cy D). Luego pasamos rectas desde esos extremos hasta lospuntos del eje mayor, hasta cortar la recta correspondien-te. Los puntos de cruce pertenecen a la elipse.En la segunda imagen vemos el mismo procedimientoaplicado a dos diámetros conjugados; el rectángulo se ha-ce romboide, pero sigue funcionando la construcción co-mo una proyección afín de la otra.

En otra variante (ver imagen animada) dibujamos puntosa distancias iguales, proporcionales lado a lado, en un rec-tángulo exterior tangente a la elipse, que tiene los ladosparalelos al eje menor de doble tamaño. Vamos uniendoen orden cada punto correspondiente como se ve en laimagen, desde los extremos el eje mayor. Los puntosque se cortan de las rectas correspondientes pertenecen ala elipse.Existen métodos semejantes para trazar la parábola y lahipérbola.

2.3.7 La elipse como hipotrocoide

La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R= 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y rel radio de la circunferencia generatriz.En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contieneal punto generatriz, gira tangencialmente por el interior dela circunferencia directriz.

2.3.8 Anamorfosis de una circunferenciaen una elipse

Determinada trasformación del plano (al deformar elplano cartesiano), se denomina anamorfosis. El término

Construcción de la elipse según el método del paralelogramo

La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10,r = 5, d = 1.

anamorfosis proviene del idioma griego y significa tras-formar.Al transformar una circunferencia o una elipse medianteuna afinidad o una homología el resultado es otra elipse(o una circunferencia como caso especial de elipse).En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano sedivide en una red de cuadrados, cuando dicho plano se«deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la circun-ferencia se transforma en una elipse y los cuadrados enrectángulos. Este procedimiento era muy utilizado pararealizar perspectivas ilusionistas, anamórficas, llamadastrampantojos.

Page 20: Secciones cónicas

16 CAPÍTULO 2. ELIPSE

2.4 Ecuaciones de la elipse

2.4.1 En coordenadas cartesianas

−1 1

xx

1

−1

y

x2 + xy + y2 = 1

Forma cartesiana centrada en el origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas,con centro en el origen, es:

x2

a2 + y2

b2 = 1

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, dondesi a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de lasordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonceses vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF'].La distancia entre los focos FF' se llama distancia focaly vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semiejemayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), laecuación es:

(x−h)2

a2 + (y−k)2

b2 = 1

2.4.2 En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecua-ción de la elipse es:

(epc 1) r(θ) = 1√√√√ cos2 θa2

+sin2 θb2

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obli-ga a pre-calcular la excentricidad ε→

√1− b2

a2 ), es:

(epc 2) r(θ) = b√1−ε2 cos2(θ)

Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es elsemieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la(epc 2) ε es la excentricidad.

Si no se quiere pre-calcular la excentricidad ε→√

1− b2

a2

convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrarioutilizar la ecuación (epc 2).

Formas polares centradas en un foco

F1 BA

P

r

F2θ

d1 d2

C

Coord. polares sobre un foco.

En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, laecuación de la elipse es:

(501) r(θ) = a(1−ε2)1+ε cos θ

Para el foco F1:

(502) r(θ) = a(1−ε2)1−ε cos θ

Major axis

Min

or

axis

Semi-latus rectum

“Semi-latus rectum” (en verde) de la elipse.

Page 21: Secciones cónicas

2.5. LA ELIPSE COMO CÓNICA 17

En el caso un poco más general de una elipse con el focoF2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular φ, la forma polar es:

(503) r(θ) = a(1−ε2)1−ε cos(θ−φ) }

El ángulo θ de las ecuaciones (501),(502) y (503) es lallamada anomalía verdadera del punto y el numeradorde las mismas a(1−ε2) es el llamado semi-latus rectumde la elipse, normalmente denotado l . El semi-latus rec-tum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobreuna línea perpendicular al semieje mayor que pasa por elfoco.

2.4.3 Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en(h, k) y siendo a el semieje mayor y b el menor, es:

{x = h+ a cosαy = k + b sinα

con α ∈ [0, 2π) . α no es el ángulo θ del sistema decoordenadas polares con origen en el centro de la elipse,sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entreα y θ es

tg θ =b

atgα

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en(h, k) en la que el parámetro θ sea concordante con elángulo polar respecto al centro desplazado (h, k) es:

x = h+ 1√

cos(θ)2a2 +

sin(θ)2b2

cos θ

y = k + 1√cos(θ)2

a2 +sin(θ)2

b2

sin θ

con θ ∈ [0, 2π) . El parámetro θ es el ángulo de un siste-ma polar cuyo origen está centrado en (h, k) .

2.4.4 Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

Area = π · a · b

Siendo a y b los semiejes.[5]

2.4.5 Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculode integrales elípticas de segunda especie.Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expre-sión sencilla que se aproxima razonablemente a la lon-gitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenidamediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula,utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b)de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de unaelipse:

P ≈ π[3(a+ b)−

√(3a+ b)(a+ 3b)

]

2.4.6 Propiedades notables

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a suscomponentes, como se puede ver en Analogía de Michel-son y Morley.

2.5 La elipse como cónica

La elipse surge de la intersección de una superficie có-nica con un plano, de tal manera que la inclinación delplano no supere la inclinación de la recta generatriz delcono, consiguiendo así que la intersección sea una curvacerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola ouna parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidi-mensionales se las llama secciones cónicas o simplementecónicas.

la elipse como cónica.

Page 22: Secciones cónicas

18 CAPÍTULO 2. ELIPSE

2.6 Elipses semejantes

Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferen-cian sólo en el tamaño (pero no en la forma), de tal ma-nera que multiplicando todas las longitudes por un factordado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema deutilidad en Física[6] acerca de la intersección de una rectacon dos elipses semejantes y concéntricas.Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el ca-so particular en que las elipses dadas sean dos circun-ferencias concéntricas. Contrayendo o dilatando unifor-memente una de las direcciones coordenadas, medianteanamorfosis, podemos transformar cualquier caso en es-te caso particular, pues todos los segmentos con la mismapendiente cambian su longitud en la misma proporción.Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmen-tos de la recta tienen la misma longitud, la tenían ya alprincipio.No deben confundirse las elipses semejantes con laselipses cofocales.

2.7 La elipse en mecánica celeste

t0t1

t0

t1

P

Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, “en tiempos igua-les una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales”.

En mecánica celeste clásica, dos masas puntuales some-tidas exclusivamente a interacción gravitatoria describenuna órbita elíptica (o circular [7]) la una en torno a laotra cuando la órbita es cerrada. Un observador situadoen cualquiera de las masas verá que la otra describe unaelipse uno de cuyos focos (o centro) está ocupado por elpropio observador. La excentricidad y otros parámetrosde la trayectoria dependen, para dos masas dadas, delas posiciones y velocidades relativas. Los planetas yel Sol satisfacen la condición de masas puntuales congran precisión porque sus dimensiones son mucho máspequeñas que las distancias entre ellos. La cinemática dela órbita se rige por las leyes de Kepler.

En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distin-tos de una órbita elíptica que cumplen la segunda ley deKepler: “en tiempos iguales una masa en órbita barre consu radio vector áreas iguales”. Cuando el “planeta” estámás cerca de la “estrella” va más rápido y cuando está le-jos va más despacio, pero de tal manera que su velocidadareolar es la misma en ambos casos. Esto significa quelas áreas de los sectores elípticos amarillos son iguales ysus arcos t0 t1 se han recorrido en intervalos de tiempoiguales, Δt = t1 - t0. La “estrella” está situada en P, unode los focos de la elipse.

2.8 La elipse en la vida cotidiana

La elipse es un lugar geométrico que se puede observarconstantemente en la vida cotidiana, como en las obras dearte. Referente al arte se puede observar en las cúpulas yen los portales.En la vida cotidiana se puede observar en los vasos deagua cuando los inclinamos para beber que se forma unaelipse. En las estaciones de metro alguna vez te habráspreguntado por qué se oye la conversación de algunas per-sonas que están en el otro andén como si estuviesen al la-do tuyo, éso es por el efecto de la elipse y significa quelas personas integrantes de esa conversación estáis cercade los focos de la elipse. Ésto ocurre porque las palabrasse transmiten por al aire mediante ondas y llegan a algúnlugar. Hay una propiedad de la elipse que dice que unalinea secante a una elipse rebota en uno de los puntos decorte conte ella y pasa por uno de sus dos focos y eso es loque pasa en las estaciones de metro ya que tienen formade elipse.

2.9 Véase también• Secciones cónicas

• Parábola• Hipérbola• Circunferencia

• Superelipse

• Leyes de Kepler

• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas

• Esferas de Dandelin

• Lemniscata

2.10 Referencias[1] Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de

revolución, es menor que el comprendido entre la ge-neratriz y el eje de revolución, la intersección será una

Page 23: Secciones cónicas

2.11. ENLACES EXTERNOS 19

hipérbola. Será una parábola si es paralelo al citado eje, yuna circunferencia si es perpendicular dicho eje.

[2] Diccionarios RIODUERO. Matemáticas 84-220-0832-7

[3] Weisstein, Eric W. «Elipse». En Weisstein, Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

[4] Ejemplos de excentricidad de una elipse, en geometriadi-namica

[5] Ejemplo en educaplus

[6] Ellipsoidal Figures of Equilibrium de S. Chandrasekhar,1969, Yale University.

[7] Según Platón y Aristóteles las órbitas de los planetas erancirculares. Claudio Ptolomeo en su Teoría geocéntrica ob-servó los epiciclos y Kepler vio que los planetas describíanelipses en torno al Sol.

2.11 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Elipse. Commons

• Weisstein, Eric W. «Elipse». En Weisstein, Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Ejercicios resueltos y video tutorial

• Actividad escolar para estudiar la elipse.

• Cálculo del perímetro de una elipse

• Animación de un plano seccionando un cono y de-terminando la curva cónica elipse.

• Cómo trazar una elipse de dimensiones prefijadas.

Page 24: Secciones cónicas

Capítulo 3

Hipérbola

F2 F1

D1D2

P

e·PD1

e>1

a−a

a/e

C

ae

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas disconti-nuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvasrojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la líneanegra que une los vértices es el eje transversal. La delgada líneaperpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado.Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (porlo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices,D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre lasdistancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno delos focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se en-cuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto alcentro.

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección có-nica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortandoun cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, ycon ángulo menor que el de la generatriz respecto del ejede revolución.[1]

3.1 Etimología. Hipérbole e hipér-bola

Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso),y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivalea exageración).

Secciones cónicas.

3.2 Historia

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descu-biertas por Menecmo, en su estudio del problema de laduplicación del cubo,[2] donde demuestra la existenciade una solución mediante el corte de una parábola conuna hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente porProclo y Eratóstenes.[3]

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fueApolonio de Perge en su tratado Cónicas,[4] consideradaobra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, ydonde se desarrolla el estudio de las tangentes a seccionescónicas.

3.3 Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de unahipérbola con centro en el origen de coordenadas (0, 0)y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

x2

a2− y2

b2= 1

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h, k)

20

Page 25: Secciones cónicas

3.4. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 21

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola inter-seca ambas ramas del cono.

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

Ejemplos:a)

(x)2

25− (y)2

9= 1

b)

(y)2

9− (x)2

25= 1

Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal;si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipér-bola siempre es mayor que uno.Ecuación de la hipérbola en su forma complejaUna hipérbola en el plano complejo es el lugar geomé-trico formado por un conjunto de puntos z , en el plano

ReIm ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condi-ción geométrica de que el valor absoluto de la diferenciade sus distancias |z − w1| − |z − w2| , a dos puntos fi-jos llamados focos w1 y w2 , es una constante positivaigual al doble de la distancia (o sea 2l ) que existe entresu centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.La ecuación queda: |z − w1| − |z − w2| = 2l

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el con-junto de los números complejos.

3.4 Ecuaciones en coordenadas po-lares

Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas cartesianas.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

r2 = a sec 2θ

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

r2 = −a sec 2θ

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

r2 = a csc 2θ

Page 26: Secciones cónicas

22 CAPÍTULO 3. HIPÉRBOLA

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

r2 = −a csc 2θ

Hipérbola con origen en el foco derecho:

r(θ) = a(ε2−1)1−ε cos θ

Hipérbola con origen en el foco izquierdo:

r(θ) = a(ε2−1)1+ε cos θ

3.5 Ecuaciones paramétricas

Imagen de sección cónica.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

x = a sec t+ hy = b tan t+ k

o x = ±a cosh t+ hy = b sinh t+ k

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

x = a tan t+ hy = b sec t+ k

o x = a sinh t+ hy = ±b cosh t+ k

En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centrode la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b esla longitud del semieje menor.

3.6 Elementos de la hipérbola

3.6.1 Eje mayor o real

El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecenlos focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y esperpendicular al eje imaginario

3.6.2 Eje menor o imaginario.

El eje menor o imaginario no tiene puntos en común conla hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que lasperpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con lasperpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayoren 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.

3.6.3 Asíntotas

Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbolay verifican que se acercan ramas de la misma tanto máscuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola.Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/ax

3.6.4 Vértices

Los vértices de una hipérbola son los puntos donde éstacorta a sus ejes.

3.6.5 Focos

Son dos puntos,F1 y F2 , respecto de los cuales permane-ce constante la diferencia de distancias (en valor absoluto)a cualquier punto, x , de dicha hipérbola.

|d(F1, x)− d(F2, x)| = cte

3.6.6 Centro

Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

3.6.7 Tangentes

La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curvaes bisectriz del ángulo formado por los radios vectores deese punto.

3.7 Véase también

• Geometría analítica

Page 27: Secciones cónicas

3.9. ENLACES EXTERNOS 23

• Sección cónica

• Recta

• Circunferencia

• Elipse

• Parábola

• Esferas de Dandelin

3.8 Referencias[1] Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de re-

volución, es mayor que el comprendido entre la generatrizy el eje de revolución, la intersección será una elipse.Será una parábola si es paralelo al citado eje, y unacircunferencia si es perpendicular al eje.

[2] Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathema-tics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra: Oxford Univer-sity Press. OCLC 2014918.

[3] Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (eninglés). Consultado el 2 de junio de 2008 de 2008.

[4] J. J. O'Connor y E. F. Robertson. «Apollonius of Perga»(en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.

3.9 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Hipérbola. Commons

• Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre hipér-bola

• Animación de un plano seccionando un cono y de-terminando la curva cónica hipérbola

• Apollonius’ Derivation of the Hyperbola atConvergence

• Unit hyperbola en PlanetMath

• Conic section en PlanetMath

• Conjugate hyperbola en PlanetMath

• Weisstein, Eric W. «Hipérbola». En Weisstein, EricW. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Page 28: Secciones cónicas

Capítulo 4

Parábola (matemática)

Secciones cónicas.

La trayectoria de una pelota que rebota es una sucesión de pa-rábolas.

Enmatemáticas, una parábola (del griego παραβολή) esla sección cónica de excentricidad igual a 1,[1] resultantede cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de in-clinación respecto al eje de revolución del cono sea igualal presentado por su generatriz. El plano resultará por lotanto paralelo a dicha recta.[2][nota 1][nota 2] Se define tam-bién como el lugar geométrico de los puntos de un planoque equidistan de una recta llamada directriz,[nota 3] y unpunto exterior a ella llamado foco. En geometría proyec-tiva, la parábola se define como la curva envolvente delas rectas que unen pares de puntos homólogos en unaproyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las cienciasaplicadas debido a que su forma se corresponde con lasgráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, sonparábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que semueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (vermovimiento parabólico y trayectoria balística).

4.1 Historia

La tradición indica que las secciones cónicas fueron des-cubiertas por Menecmo en su estudio del problema dela duplicación del cubo,[3] donde demuestra la existenciade una solución mediante el corte de una parábola conuna hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente porProclo y Eratóstenes.[4]

Sin embargo, el primero en usar el término parábola fueApolonio de Perge en su tratado Cónicas,[5] consideradaobra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, ydonde se desarrolla el estudio de las tangentes a seccionescónicas.

Si un cono es cortado por un plano a travésde su eje, y también es cortado por otro planoque corte la base del cono en una línea rectaperpendicular a la base del triángulo axial, ysi adicionalmente el diámetro de la sección esparalelo a un lado del triángulo axial, entoncescualquier línea recta que se dibuje desde lasección de un cono a su diámetro paralelo ala sección común del plano cortante y una delas bases del cono, será igual en cuadrado alrectángulo contenido por la línea recta cortadapor ella en el diámetro que inicia del vérticede la sección y por otra línea recta que está enrazón a la línea recta entre el ángulo del conoy el vértice de la sección que el cuadrado enla base del triángulo axial tiene al rectángulocontenido por los dos lados restantes deltriángulo. Y tal sección será llamada unaparábolaApolonio de Perge

24

Page 29: Secciones cónicas

4.2. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS 25

Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólicorefleja de forma paralela los rayos emitidos desde su fo-co, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales.La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nue-vamente en la búsqueda de una solución para un problemafamoso: la cuadratura del círculo, dando como resultadoel libro Sobre la cuadratura de la parábola.

4.2 Propiedades geométricas

Diferentes elementos de una parábola.

Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (ver-de), y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola(azul)

Aunque la identificación de parábola con la intersecciónentre un cono recto y un plano que forme un ángulo conel eje de revolución del cono igual al que presenta su ge-neratriz, es exacta, es común definirla también como unlugar geométrico:De esta forma, una vez fijados una recta y un punto sepuede construir una parábola que los tenga por directrizy foco respectivamente, usando el siguiente procedimien-to: Se toma un punto T cualquiera de la recta, se lo unecon el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz(o perpendicular por el punto medio) del segmento TF.

La intersección de la mediatriz con la perpendicular porT a la recta directriz da como resultado un punto P quepertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para di-ferentes puntos T se pueden hallar tantos puntos de laparábola como sea necesario.De la construcción anterior se puede probar que la pa-rábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a ladirectriz que pasa por el foco. Al punto de intersección dela parábola con tal recta (conocida como eje de la pará-bola) se le llama vértice de la parábola y es el punto cuyadistancia a la directriz es mínima. La distancia entre elvértice y el foco se conoce como distancia focal o radiofocal.

4.2.1 Lado recto

El lado recto mide 4 veces la distancia focal

Al segmento de recta comprendido por la parábola, quepasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conocecomo lado recto.Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las res-pectivas proyecciones sobre la directriz, denotando porW la proyección del foco F sobre la directriz, se observaque FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados midenFW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces elsegmento FV (la distancia focal).Las tangentes a la parábola que pasan por los extremosdel lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, con-secuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, jun-to con la construcción mencionada en la sección anterior.Además, tales tangentes se cortan en la directriz de formaperpendicular, precisamente en el punto de proyecciónWdel foco, propiedades que pueden ser aprovechadas paraconstruir una aproximación geométrica del foco y la di-rectriz cuando éstos son desconocidos.

4.2.2 Semejanza de todas las parábolas

Dado que la parábola es una sección cónica, también pue-de describirse como la única sección cónica que tieneexcentricidad e = 1 . La unicidad se refiere a que todas

Page 30: Secciones cónicas

26 CAPÍTULO 4. PARÁBOLA (MATEMÁTICA)

Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala laque crea la apariencia de que tienen formas diferentes.

las parábolas son semejantes, es decir, tienen la mismaforma, salvo su escala.Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las pará-bolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erró-neamente que los parámetros de la ecuación cambian laforma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha.La verdad es que todas las parábolas tienen la misma for-ma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay pa-rábolas de formas diferentes.Un argumento geométrico informal es que al ser la direc-triz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuarla construcción descrita arriba, se obtiene siempre la mis-ma curva, salvo su escala, que depende de la distancia delpunto a la directriz.

4.2.3 Tangentes a la parábola

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangenciay su proyección.

Un resultado importante en relación a las tangentes de unaparábola establece:Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cual-quiera de la misma y T a la proyección de este sobre ladirectriz. Sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cuales isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, comose ha visto. LuegoMP biseca al ángulo FPT, restando ve-rificar si es tangente a la parábola en el punto P.

Uso de las propiedades de las tangentes para construir una pa-rábola mediante dobleces en papel.

Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyecciónen la directriz. Puesto que FQ=QU y QU<QT, entoncesFQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro puntode la parábola, se concluye que toda la parábola está deun mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta,no hay otro punto de la parábola que toque a la rectaMP,esto quiere decir queMP es la tangente de la parábola enP.

4.3 Aplicaciones prácticas

Una consecuencia de gran importancia es que la tangenterefleja los rayos paralelos al eje de la parábola en direc-ción al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: lasantenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el prin-cipio concentrando señales recibidas desde un emisor le-jano en un receptor colocado en la posición del foco.La concentración de la radiación solar en un punto, me-diante un reflector parabólico tiene su aplicación en pe-queñas cocinas solares y grandes centrales captadoras deenergía solar.Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, en-viará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparasy faros tienen espejos con superficies parabólicas reflec-tantes para poder enviar haces de luz paralelos emanadosde una fuente en posición focal. Los rayos convergen odivergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

• La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelosal eje. Análogamente, un emisor situado en el foco,enviará un haz de rayos paralelos al eje.

• Los radiotelescopios concentran los haces de señalesen un receptor situado en el foco. El mismo principiose aplica en una antena de radar.

• Cocina solar de concentrador parabólico. El mismométodo se emplea en las grandes centrales captado-ras de energía solar.

Page 31: Secciones cónicas

4.4. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA 27

• Los faros de los automóviles envían haces de luz pa-ralelos, si la bombilla se sitúa en el foco de una su-perficie parabólica.

4.4 Ecuaciones de la parábola

Parábolas tipo y = ax2, con a = 4, 1, 1/4 y 1/10.

Prueba geométrica de la relación y = ax2.

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició unestudio de las formas geométricas basado en ecuacionesy coordenadas.Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coin-cide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de laforma y = ax2 donde el parámetro a especifica la escalade la parábola, incorrectamente descrita como la formade la parábola, ya que como se dijo antes, todas las pa-rábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro espositivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando esnegativo se abre «hacia abajo».Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posiblehasta el desarrollo de la geometría analítica, la relacióngeométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba

presente en los trabajos de Apolonio,[3] y se bosquejará acontinuación usando notación moderna.Tomando nuevamente la definición de parábola comosección de un cono recto de forma paralela a la direc-triz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular aleje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica yPV al valor y). Considerando la sección circular que pasapor Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, Kparalelos a B y C.Por el teorema de potencia de un punto:

QV 2 = HV · V K .

Al ser PM paralela a AC, los triángulosHVP,HKA y BCAson semejantes y así:

HVPV = HK

KA = BCAC .

Usando nuevamente los paralelismos:

V KPA = HK

HA = BCBA .

Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV²resulta en

QV 2 = HV · V K =(BC·PV

AC

) (BC·PA

BA

)=

(BC2·PABA·AC

)PV

.

Pero el valor de(

BC2·PABA·AC

)es una constante pues no de-

pende de la posición de V, por lo que haciendo

a = BA·ACBC2·PA ,

arroja la expresión moderna y = ax2.Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obte-ner ahora la ecuación de una parábola vertical para cual-quier posición de su vértice.agrupando los términos y reordenando se obtiene una for-ma equivalente:Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones simi-lares pero intercambiando y por x y viceversa. Así ten-dríamos:

4.4.1 Ecuación involucrando la distanciafocal

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismovértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación.Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una pa-rábola que los tiene por vértice y foco ya que la directrizqueda automáticamente fija como la perpendicular a la lí-nea que une el foco con el vértice y a esa misma distanciadel último.

Page 32: Secciones cónicas

28 CAPÍTULO 4. PARÁBOLA (MATEMÁTICA)

Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.

x

y

Ecuación de una parábola vertical.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0)y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta hori-zontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vérticey el foco se le llama distancia focal, de modo que en estecaso la distancia focal es igual a p. Con esta configuraciónse tiene:De forma alterna:Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la lon-gitud del lado recto de la parábola.Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales quese abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola quese abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo.

En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», seobtiene una ecuación similar intercambiando los roles dex, y:obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación delas parábolas hacia la izquierda.Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está enel centro se obtienen mediante una traslación. En el casocomún de la parábola vertical hacia arriba se tienemientras que para la parábola horizontal se intercambia xcon y:.

4.4.2 Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito solo parábolas con sus ejesparalelos a alguno de los ejes de coordenadas. De estaforma las fórmulas son funciones de x o de y. Pero unaparábola puede tener su eje inclinado con respecto a unpar de ejes de coordenadas ortogonales.Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar unsistema de referencia en el que la ecuación anterior se ex-prese mediante una fórmula algebraica de la forma ax’2+ bx’ + c = 0, donde a es distinto de cero.

4.5 Parábolas no cuadráticas

En matemáticas pueden definirse otras funciones cuyasrepresentaciones gráficas también suelen denominarseparábolas. Sin embargo sus formas no se correspondencon la de la figura geométrica de una parábola.

4.5.1 Parábola cúbica

La parábola cúbica esta definida por la ecuación

y = ax3

Su gráfica es simétrica con respecto al origen de coorde-nadas. Si a > 0 la gráfica es creciente. El punto (0,0) espunto de inflexión. Es derivable en todo su dominio.[6].

4.5.2 Parábola semicúbica

La parábola semicúbica queda definidad por la ecuación

y = ax32

y en forma paramétrica por

Page 33: Secciones cónicas

4.8. REFERENCIAS 29

x = t2, y = at3

En el punto de origen en las coordenadas tiene un puntode retroceso. No tiene asíntotas. La curvatura

K = 6a√x(4+9a2x)

32

toma todos los valores desde∞ hasta 0.La longitud de la curva desde el origen (0,0) hasta el puntoH(x, y) es

L = [(4+9a2x)32 −8]

27a2

[7]

4.6 Véase también

• Ecuación de segundo grado

• Completar el cuadrado

• Paraboloide

• Elipse

• Hipérbola

• Sección cónica

• Esferas de Dandelin

4.7 Notas

[1] Nótese que no cualquier plano paralelo a una generatrizdel cono producirá una parábola. Para que lo haga, el planode corte deberá además ser perpendicular al plano definidopor el eje de rotación y la generatriz de la cual el plano decorte es paralelo. La condición indispensable para que laintersección forme una parábola es que el ángulo entre elplano de corte y el eje de rotación o directriz del cono seaigual al que presenta cualquier generatriz con dicho eje.

[2] Si el ángulo que forma el plano de intersección con el ejede revolución o directriz del cono, es mayor que el com-prendido entre dicho eje y la generatriz, entonces la inter-sección será una elipse. Será una hipérbola si dicho ánguloes menor al citado, y una circunferencia si el plano es per-pendicular al eje.

[3] Nótese que aunque por directriz de un cono se reconocea su eje de revolución, en el caso de la parábola se tratade una recta exterior a ella, y perpendicular a su eje desimetría.

4.8 Referencias[1] Christopher Clapham. Diccionarios Oxford- Compluten-

se. Matemáticas. ISBN 84-89784-56-6

[2] Rey Pastor- Santaló- Balanzat. Geometría Analítica. Edi-ciones Eudeba

[3] Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathema-tics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra: Oxford Univer-sity Press. OCLC 2014918.

[4] Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (eninglés). Consultado el 2 de junio de 2008 de 2008.

[5] J. J. O'Connor y E. F. Robertson. «Apollonius of Perga»(en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.

[6] Granville y otros. Cálculo diferencial e integral

[7] Bronshtein-Semendiaev. Manual de matemáticas para in-genieros y estudiantes. Editorial Mir, Moscú (1982), cuar-ta edición

4.9 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Parábola. Commons

• Wikisource en inglés contiene el artículode la Encyclopædia Britannica de 1911 sobreParabola.Wikisource

• Animación de un plan seccionando un cono y deter-minando la curva cónica parábola.

• Apollonius’ Derivation of the Parabola atConvergence

• Weisstein, Eric W. «Parábola». En Weisstein, EricW. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Teoría, ejemplos y ejercicios resueltos sobre pará-bola

• Interactive parabola-drag focus, see axis of sym-metry, directrix, standard and vertex forms

• Archimedes Triangle and Squaring of Parabola atCut-the-Knot

• Two Tangents to Parabola at Cut-the-Knot

• Parabola As Envelope of Straight Lines at Cut-the-Knot

• Parabolic Mirror at Cut-the-Knot

• Three Parabola Tangents at Cut-the-Knot

• Module for the Tangent Parabola

• Focal Properties of Parabola at Cut-the-Knot

Page 34: Secciones cónicas

30 CAPÍTULO 4. PARÁBOLA (MATEMÁTICA)

• Parabola As Envelope II at Cut-the-Knot

• The similarity of parabola at Dynamic GeometrySketches

• Un método para dibujar una parábola con una cuer-da y tachuelas

• El artículo «Parabola» en la Wikipedia inglesa Eninglés. Muchos detalles.

Page 35: Secciones cónicas

4.10. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 31

4.10 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

4.10.1 Texto• Circunferencia Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia?oldid=86000098 Colaboradores: AstroNomo, Youssefsan, Joseape-

rez, Moriel, Cdlfd, Rosarino, Crescent Moon, Sms, Tano4595, Balderai, Laminitania, Dat, Kordas, Elsenyor, Boticario, Airunp, Taichi,Magister Mathematicae, Alhen, Superzerocool, Pertile, Jekter, Yrbot, Maleiva, Vitamine, .Sergio, Icvav, GermanX, Wewe, Beto29, Ar-min76, JAGT, Gaijin, The Photographer, YoaR, Bichologo, Docorreas, Banfield, Kepler Oort, Götz, Maldoror, Er Komandante, Alex-quendi, Sigmanexus6, Jorgechp, Juan Marquez, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Jorgelrm, Laura Fiorucci, JMCC1, Alexav8,Marianov, Retama, Santhy, Roberpl, Davius, Rastrojo, Scorge, Escarlati, Ingenioso Hidalgo, Fsd141, Alvaro qc, Srengel, Cansado, Maha-deva, Escarbot, Yeza, RoyFocker, IrwinSantos, Egaida, Martin Rizzo, Arcibel, Gusgus, Mpeinadopa, JAnDbot, Hosg, Rafa3040, Gsrdzl,TXiKiBoT, Mercenario97, Huzzlet the bot, Elisardojm, Humberto, Netito777, Nicozk, Nioger, Amanuense, Pólux, Jmvkrecords, Biasoli,VolkovBot, Technopat, C'est moi, Galandil, Raystorm, Matdrodes, DJ Nietzsche, BlackBeast, Lucien leGrey, Muro Bot, Bucho, Rige-nea, Drinibot, Bigsus-bot, BOTarate, Mel 23, Belb, Tirithel, XalD, Javierito92, HUB, Sonsaz, Nicop, Makete, Eduardosalg, Electronvolt,Leonpolanco, Charly genio, Botito777, Poco a poco, BetoCG, Ener6, Juan Mayordomo, Raulshc, Julian leonardo paez, Shini kahn, Cami-lo, UA31, Shalbat, Ucevista, AVBOT, Elliniká, David0811, MastiBot, Angel GN, Ialad, Diegusjaimes, Genio01, Kokokiki~eswiki, JAnDudík, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Ptbotgourou, Dangelin5, Barteik, Joarsolo, SuperBraulio13, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Ricar-dogpn, Artur12345~eswiki, Kismalac, Muro Bot 2, Botarel, RubiksMaster110, Liberman~eswiki, Sanmaz, Itsukki, KES47, MAfotBOT,Gusbelluwiki, Llsalcedo, Hprmedina, FAL56, Roberto Beroiza, Jerowiki, Boehm, Paloma 9729, PatruBOT, KamikazeBot, Fran89, Hum-befa, Tarawa1943, Uriel kamikaze, Proferichardperez, CentroBabbage, Foundling, Axvolution, Edslov, EmausBot, Savh, ZéroBot, SergioAndres Segovia, Africanus, Grillitus, Maria413, Emiduronte, ChuispastonBot, Khiari, Waka Waka, WikitanvirBot, Seba.barra97, Omar-tinezmon 96, MerlIwBot, JSGASPAR, Sebrev, NICO EL GRANDE II, CameraPsx, Jorgexx97, Acratta, LlamaAl, Érico Júnior Wouters,Hecobra78, Megajackdark, Helmy oved, Baticonsola, Adolfobrigido, Addbot, Balles2601, PierreAndroid, Machana349, Josue Tellez Nava,Macofe, Dubanhoy, Meavisz, Jarould, Mihermano2000, Gionel~eswiki, Ivaneschido, Solisdaniela y Anónimos: 697

• Elipse Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse?oldid=85956652 Colaboradores: Zuirdj, Joseaperez, Sabbut, Moriel, Sauron, Cdlfd,Rosarino, Dodo, Pybalo, Xgarciaf, Tano4595, Porao, Balderai, Ecemaml, Kordas, Digigalos, Deleatur, Airunp, Taichi, Rembiapo pohyiete(bot), Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Alhen, Chobot, Yrbot, FlaBot, Vitamine, YurikBot, GermanX, Gaijin, KnightRider, ThePhotographer, No sé qué nick poner, C-3POrao, Psychophanta, Götz, Er Komandante, Cheveri, Tomatejc, BOTpolicia, Ricard DelgadoGonzalo, CEM-bot, Laura Fiorucci, JMCC1, Davius, Rosarinagazo, Antur, Snow white dntwry, Fsd141, Thijs!bot, Cansado, RoyFocker,Csoliverez, Malguzt, Cratón, Isha, MSBOT, JAnDbot, Hosg, Wybot, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Xosema, Alephcero~eswiki, R2D2!,Geolugh, Humberto, Netito777, Rei-bot, Pólux, BL, Jmvkrecords, Jtico, Bucephala, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, Ela-bra sanchez, Synthebot, Carcediano, BlackBeast, AlleborgoBot, IIM 78, NudoMarinero, Muro Bot, Srbanana, SieBot, THINK TANK,Cobalttempest, Drinibot, Buisqui, Fismaner, Yix, Tirithel, Javierito92, Antón Francho, Mandarria, Nicop, Makete, Eduardosalg, Electron-volt, Leonpolanco, Charly genio, Mar del Sur, Alecs.bot, Petruss, Açipni-Lovrij, Osado, Ravave, SilvonenBot, UA31, Galois76, AVBOT,David0811, Louperibot, MastiBot, Diegusjaimes, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Roinpa, FariBOT, Vic Fede, DSisyphBot, Em-manuele, SuperBraulio13, Xqbot, Jaimeag, Jkbw, Ricardogpn, Mctpyt, Kismalac, Botarel, Felgest, MAfotBOT, Gusbelluwiki, Hprmedina,Boehm, PatruBOT, Humbefa, Nachosan, Proferichardperez, Foundling, Moran-Tao, Edslov, GADESTEC, ZéroBot, ChessBOT, Fargue,ChuispastonBot, Palissy, SaeedVilla, MerlIwBot, UAwiki, Jcuadra2, Imperius, Acratta, Alberto Uecke, Legobot, Seroto, Balles2601, Chu-papene21, Marinero Vakulinchuk, JacobRodrigues, Bel.1D, Jarould, Egis57, Luis.Ampliacion y Anónimos: 320

• Hipérbola Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola?oldid=85754645 Colaboradores: AstroNomo, Joseaperez, Sabbut,Moriel, Carlos Castañeda Girón, Cdlfd, Interwiki, Sms, Tano4595, Ecemaml, Renabot, Richy, Boticario, Rembiapo pohyiete (bot), Heliox,Magister Mathematicae, RobotQuistnix, LarA, Alhen, Chobot, Akhram, Yrbot, BOT-Superzerocool, FlaBot, GermanX, LoquBot, Gaijin,KnightRider, M0m0, C-3POrao, Eskimbot, Banfield, Götz, Er Komandante, Tomatejc, BOTpolicia, Ricard Delgado Gonzalo, CEM-bot,JMCC1, Especiales, Marianov, Dorieo, FrancoGG, Fsd141, Thijs!bot, Mahadeva, Ángel Luis Alfaro, Gavaro, Arcibel, JAnDbot, Hosg,TXiKiBoT, Dhcp, Netito777, Pedro Nonualco, Pececito, Pólux, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, Elabra sanchez, Allebor-goBot, Muro Bot, Gerakibot, SieBot, PaintBot, Mauricio fdez, Victor darkdemon90, Bigsus-bot, Mel 23, OboeCrack, Tirithel, Jarisleif, Doncoprofia, DragonBot, Leonpolanco, Charly genio, Alecs.bot, Petruss, Takashi kurita, UA31, Ente X, AVBOT, Diegusjaimes, DumZiBoT,Arjuno3, Luckas-bot, Dangelin5, Volt4, Xqbot, Jkbw, -Erick-, Botarel, RubiksMaster110, Gusbelluwiki, RedBot, DixonDBot, Jerowi-ki, AnselmiJuan, PatruBOT, Jorge c2010, EmausBot, Ganiserb, Savh, MercurioMT, Kmnm70, Antonorsi, Jcuadra2, Imperius, Acratta,LlamaAl, Rotlink, Alan, Addbot, Balles2601, SharksShade, Jarould, Egis57, BenjaBot, Visemend y Anónimos: 153

• Parábola (matemática) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)?oldid=85696274 Colaboradores:Andre Engels, Youssefsan, Oblongo, Fibonacci, Moriel, Cdlfd, Vivero, Paz.ar, Dodo, Tostadora, B1mbo, Tano4595, Dianai, Jag2k4, Porao,Ecemaml, Kordas, Renabot, Airunp, Yrithinnd, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Platonides, Superze-rocool, Chobot, Yrbot, FlaBot, .Sergio, YurikBot, Mortadelo2005, Icvav, GermanX, JAGT, The Photographer, No sé qué nick poner,INYCA, Banfield, Götz, Maldoror, Angel.F, Er Komandante, Carlos Alberto Carcagno, Tomatejc, BOTpolicia, Ricard Delgado Gonzalo,CEM-bot, Chuffo, 333, JMCC1, Xexito, Baiji, Zerosxt, Gafotas, Fsd141, Thijs!bot, Cansado, Escarbot, Yeza, IrwinSantos, Idealis~eswiki,Botones, Isha, Hanjin, MSBOT, Gusgus, JAnDbot, Johns, Kved, Hosg, TXiKiBoT, Mercenario97, HiTe, Gustronico, Humberto, Rei-bot,Chabbot, Felipebm, Pólux, Cinevoro, VolkovBot, Technopat, Galandil, Matdrodes, Elabra sanchez, BlackBeast, Lucien leGrey, Isb1009,AlleborgoBot, 3coma14, Muro Bot, Racso, BotMultichill, Gerakibot, SieBot, Ctrl Z, PaintBot, Cobalttempest, Drinibot, Bigsus-bot, Bar-mes, Marcelo, STBot~eswiki, Tirithel, Javierito92, Antón Francho, Nicop, PixelBot, Makete, Leonpolanco, Charly genio, DrCapi, Raulshc,Kadellar, Camilo, UA31, AVBOT, David0811, LucienBOT, MastiBot, Diegusjaimes, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Ptbotgourou,Jotterbot, Vic Fede, Dangelin5, Barteik, Draxtreme, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Carlos Molina Fisico, -Erick-, Ricardogpn, Igna, CarlosM199, Botarel, RubiksMaster110, Gusbelluwiki, Hprmedina, TobeBot, Proferichardperez, Foundling, Bolt58, Ivanpares, Miss Manzana,Axvolution, EmausBot, Hulp, Sergio Andres Segovia, Africanus, Rubpe19, DOwenWilliams, Emiduronte, Antonorsi, Pedro abraham ra-mirez, MerlIwBot, TeleMania, Deivis, Sebrev, Jcuadra2, Travelour, Invadibot, Acratta, Helmy oved, Rotlink, Addbot, JacobRodrigues,Manuel Balarezo, Jarould, Crystallizedcarbon, BenjaBot, X2y3 y Anónimos: 307

4.10.2 Imágenes• Archivo:Angulos_del_circulo1.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/69/Angulos_del_circulo1.svg Licencia:

CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Artista original:

Page 36: Secciones cónicas

32 CAPÍTULO 4. PARÁBOLA (MATEMÁTICA)

No machine-readable author provided. Magister Mathematicae assumed (based on copyright claims).• Archivo:Angulos_inscritos.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/Angulos_inscritos.svg Licencia: Public

domain Colaboradores: ? Artista original: ?• Archivo:Animación_elipse.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8a/Animaci%C3%B3n_elipse.gif Licencia:

CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio, translation from File:Ellipse Animation Small.gif Artista original: NoPetrol, uploaded toCommons by Darsie, translation by UAwiki

• Archivo:Archimedes_Trammel.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ee/Archimedes_Trammel.gif Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Alastair Rae

• Archivo:Borchardt-ellipse-Louxor.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Borchardt-ellipse-Louxor.jpgLicencia: Public domain Colaboradores: Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde (Berlin/Leipzig), Journal of the EgyptianLanguage and Archeology, Vol. 34, 1896, p.75-76 Artista original: Ludwig Borchardt

• Archivo:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Bouncing_ball_strobe_edit.jpg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:MichaelMaggs Edit by Richard Bartz

• Archivo:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2e/Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: User 345Kai on en.wikipedia

• Archivo:Cercle_mediatrice_corde.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Cercle_mediatrice_corde.pngLicencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: réalisé avec un programme de dessin vectoriel par Cdang Artista original: Christophe Dang NgocChan Cdang at fr.wikipedia

• Archivo:Circulo_001_tt.JPG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Circulo_001_tt.JPG Licencia: Public do-main Colaboradores: Dibujo de mi autoría Artista original: Think Tank

• Archivo:Circulo_002_ttt.JPG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Circulo_002_ttt.JPG Licencia: Public do-main Colaboradores: Dibujo de mi autoría Artista original: Think Tank

• Archivo:Circulo_triang_rect.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/Circulo_triang_rect.png Licencia: Pu-blic domain Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Circunferências.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Circunfer%C3%AAncias.png Licencia:CC BY 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Merrill

• Archivo:Cirklo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/Cirklo.svg Licencia: Public domain Colaboradores: ?Artista original: ?

• Archivo:Commons-logo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licencia: Public do-main Colaboradores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions usedto be slightly warped.) Artista original: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version,created by Reidab.

• Archivo:Conicas1.PNG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/12/Conicas1.PNG Licencia: CC-BY-SA-3.0 Cola-boradores: pt.wikipedia Artista original:Marcelo Reis

• Archivo:Conjugate_Diameters.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Conjugate_Diameters.svg Licencia:Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Jim.belk

• Archivo:Cono_-_hipérbola.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Cono_-_hip%C3%A9rbola.svg Licen-cia: GFDL Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Cono_y_secciones.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/76/Cono_y_secciones.svg Licencia: GFDLColaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Construccion_de_la_parabola.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Construccion_de_la_parabola.svg Licencia: GFDL Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Drawing_an_ellipse_via_two_tacks_a_loop_and_a_pen.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Drawing_an_ellipse_via_two_tacks_a_loop_and_a_pen.jpg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio (Texto original:«I created this work entirely by myself.») Artista original: Dino de Wikipedia en inglés

• Archivo:Drini-conjugatehyperbolas.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Drini-conjugatehyperbolas.png Licencia: CC BY-SA 2.0 Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Ecuación_de_parábola_vertical.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Ecuaci%C3%B3n_de_par%C3%A1bola_vertical.svg Licencia: GFDL Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Elipse1.0.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Elipse1.0.jpg Licencia:CCBY 3.0 Colaboradores:Esquema deducido personalmente de la inforamción contenida en el artículo de la Elilpse de Wikipedia Artista original:Moran-Tao

• Archivo:ElipseAfinidad.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a3/ElipseAfinidad.svg Licencia: CC BY-SA3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseAfinidadAxonometrica3.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/ElipseAfinidadAxonometrica3.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseAfinidad_2c.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/ElipseAfinidad_2c.svg Licencia: CCBY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseAnamorfosis2.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/ElipseAnamorfosis2.png Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseAnamorfosis3.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/ElipseAnamorfosis3.png Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseAnamorfosis4.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/ElipseAnamorfosis4.png Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

Page 37: Secciones cónicas

4.10. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 33

• Archivo:ElipseAnimada.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/ElipseAnimada.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: El Totti

• Archivo:ElipseArquimedes.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/69/ElipseArquimedes.svg Licencia: CCBY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseDiametrosConjugadosIII.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3a/ElipseDiametrosConjugadosIII.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseDimensionesDefinicion_b.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/ElipseDimensionesDefinicion_b.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Marinero Vakulin-chuk

• Archivo:ElipseFocosb.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/ElipseFocosb.svg Licencia: CC BY-SA 3.0Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseHacesProyectivos2.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/ElipseHacesProyectivos2.svgLicencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseLineasNotables.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/ElipseLineasNotables.svg Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseRadiosVectores.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/ElipseRadiosVectores.svg Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:ElipseRectaDirectriz.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/ElipseRectaDirectriz.svg Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Marinero Vakulinchuk

• Archivo:Ellipse_Polar.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Ellipse_Polar.svg Licencia: Public domainColaboradores: Trabajo propio Artista original: Inductiveload

• Archivo:Ellipse_Properties_of_Directrix.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/62/Ellipse_Properties_of_Directrix.svg Licencia: Public domain Colaboradores:

• Ellipse_Properties.svg Artista original: Ellipse_Properties.svg: Inductiveload• Archivo:Ellipse_Properties_of_Directrix_and_String_Construction.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/

6/65/Ellipse_Properties_of_Directrix_and_String_Construction.svg Licencia: Public Domain Colaboradores:• Ellipse_Properties.svg Artista original: Ellipse_Properties.svg: Inductiveload• Archivo:Ellipse_as_hypotrochoid.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Ellipse_as_hypotrochoid.gif Li-cencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores:Wikipedia Ingles Artista original: Dino

• Archivo:Ellipse_construction_-_parallelogram_method.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Ellipse_construction_-_parallelogram_method.gif Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Cmapm

• Archivo:Elps-slr.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Elps-slr.svg Licencia: Public domain Colaborado-res: Transferido desde en.wikipedia a Commons. Artista original:Mikm de Wikipedia en inglés

• Archivo:Giperbola-ravnoboch.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Giperbola-ravnoboch.png Licencia:Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Tosha

• Archivo:Hyperbola2.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b5/Hyperbola2.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Co-laboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Hyperbola_(PSF).png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Hyperbola_%28PSF%29.png Licencia:Public domain Colaboradores: Archives of Pearson Scott Foresman, donated to the Wikimedia Foundation Artista original: Pearson ScottForesman

• Archivo:Hyperbola_properties.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Hyperbola_properties.svg Licencia:Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Inductiveload

• Archivo:Las_parábolas_son_cuadráticas.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/04/Las_par%C3%A1bolas_son_cuadr%C3%A1ticas.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Lineas_del_circulo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Lineas_del_circulo.svg Licencia: Pu-blic domain Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Orbitas-Kepler-segunda-ley-01.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/Orbitas-Kepler-segunda-ley-01.svg Licencia: CC0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Gusbelluwiki

• Archivo:Parabola_focus_directrix.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Parabola_focus_directrix.svgLicencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Pirateer

• Archivo:Parametric_ellipse.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/57/Parametric_ellipse.gif Licencia: CCBY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: 09glasgow09

• Archivo:Partes_de_una_parábola.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Partes_de_una_par%C3%A1bola.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Parábola-lado_recto.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/44/Par%C3%A1bola-lado_recto.svg Li-cencia: GFDL Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Parábola_con_foco_y_directriz.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2f/Par%C3%A1bola_con_foco_y_directriz.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Image:Parabola with focus and directrix.svg Artista original: originally, Kief,modified by Drini

• Archivo:Parábola_origámica.ogv Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/Par%C3%A1bola_orig%C3%A1mica.ogv Licencia: GFDL Colaboradores: This image was uploaded under a Creative Commons license, as detailed below. This impliesthat you're freely allowed to reuse and make derived works from this image provided (section 4c of license): Artista original: Pedro Sánchez

Page 38: Secciones cónicas

34 CAPÍTULO 4. PARÁBOLA (MATEMÁTICA)

• Archivo:Parábola_y_tangente-prueba.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Par%C3%A1bola_y_tangente-prueba.svg Licencia: GFDL Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Parábolas_centradas.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Par%C3%A1bolas_centradas.svgLicencia: GFDL Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Parábolas_similares.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Par%C3%A1bolas_similares.svg Li-cencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Parábolas_verticales.svgFuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Par%C3%A1bolas_verticales.svg Li-cencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:PotenciaPunto.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/PotenciaPunto.svg Licencia:CCBY-SA 3.0Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Drini

• Archivo:Rotated_ellipse.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Rotated_ellipse.svg Licencia: CC BY-SA3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Georg-Johann

• Archivo:Unit_circle_es.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Unit_circle_es.svg Licencia: CC BY-SA 3.0Colaboradores: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unit_circle.svg Artista original: Derivative work of File:Unit circle.svg

• Archivo:Wikisource-logo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Rei-artur Artista original: Nicholas Moreau

• Archivo:Wikiversity-logo-Snorky.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Wikiversity-logo-en.svg Licen-cia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Snorky

• Archivo:Área_del_círculo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f4/%C3%81rea_del_c%C3%ADrculo.svgLicencia: Public domain Colaboradores: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle_Area.svg Artista original: Derivative work ofFile:Circle Area as.svg

4.10.3 Licencia del contenido• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0