SECIONES CÓNICASLA CIRCUNFERENCIA, LA

PARÁBOLA, LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA.

MATEMÁTICAESCUELA DE ARQUITECTURA

Capitulo Nro. 01

Autores:

ING. SONIA LORENA GONZAGA V. (slgonzaga@utpl.edu.ec)ING. LAPO PAUTA CARMEN MIREYA. (cmlapo@utpl.edu.ec)ING. PINEDA PUGLLA EDGAR IVAN. (eipineda@utpl.edu.ec)

ING. IRENE ROBALINO PEDRO DANIEL. (pdriene@utpl.edu.ec)

Definiciones:• Se denomina sección cónica a la curva

intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

• Intersección de un plano y un cono de dos hojas.• Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección,

podemos crear un círculo, un elipse, una parábola o una hipérbola; o en el caso especial cuando el plano se pone en contacto con el vértice: un punto, una línea o 2 líneas intersectadas.

circunferencia

elipse

parabola

hiperbola

Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

• Algebraicamente las secciones cónicas se pueden definir en términos de la ecuación general de segundo grado.

• La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica.

• Conjunto de todos los puntos (x,y) que son equidistantes de un punto fijo (h,k).

• Forma canónica o estándar de la circunferencia.

022 FEyDxCyBxyAx

LA CIRCUNFERENCIA

x2 + y2 = r2

Con centro en (h, k)Con centro en el origen (0, 0)

LA PARÁBOLA

)(4)( 2 kyphx

La forma estándar o canónica de la ecuación de la parábola con vértice (h,k) y directriz y= k- p es:Y sus elementos son:Foco (h, k + p)Directriz y = k – pEje focal x = hSi p > 0 la parábola se abre hacia arriba.Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.

)()( kyphx 42 Eje vertical

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma:

(y - k)² = 4p(x - h) eje horizontal

Y sus elementos son los siguientes:• Foco (h + p, k)• Directriz x = h – p• Eje focal y = k• Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice.• Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha.• Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.

•Cuerda focal es el segmento de recta que pasa por el foco de una parábola y tiene sus extremos en la misma.• La cuerda focal perpendicular al eje de la parábola es el lado recto.

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACION

La forma canónica estándar de la ecuación de una elipse con centro (h,k) y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a>b, es

LA ELIPSE

• Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro.

• La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje Y esta dada por

• También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: 2b² / a y la excentricidad e = c / a.

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx

X

Y

L’

V V’F’F C

c

b

a

L

A

A’

CF CF

Con centro en (h, k) Con centro en el origen (0, 0)

Es el conjunto de todos los puntos (x,y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola . Tiene dos ramas separadas.

LA HIPERBOLA

X

Y

LF V V’C

A

L’

A’

F’

CF CF’

El valor absoluto de la diferencia entre las distancias es constante

Los elementos de una hipérbola son:

- F y F’, focos. - VV’, eje transverso- V y V’, vértices. - C, centro- L, eje focal. - L’, eje normal- AA’, eje conjugado- CF, lado recto

• La ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la forma:

• Sus focos son (h+c,k) y (h-c,k) y • Sus vértices son (h–a,k) y (h+a,k).

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

•Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es de la forma

• Sus focos son (h,k+c) y (h,k -c) y • Sus vértices son (h-a,k ) y (h+a,k ).

1)()(

2

2

2

2

b

hx

a

ky

Las intersecciones con el eje X, que también son los vértices son x=± a, y no hay intersecciones con el eje Y. Haga x=0 y despeje Y.

•Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:

• Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:

Asíntotas de hipérbola con centro (0,0)

La hipérbola se acerca a estas rectas asíntotas, en tanto un punto P(x,y) sobre la hipérbola se mueve hacia afuera del origen. Una forma fácil de dibujar las asíntotas es primero dibujar el rectángulo y luego trazar las diagonales de este rectángulo.

• Los vértices se encuentran a a unidades del centro, y los focos se encuentran a c unidades del centro con:

• La excentricidad de la hipérbola está dada por el cociente.

• En la hipérbola c>a, entonces resulta que e>1. Si la excentricidad es grande las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas son más puntiagudas

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACION