Sec 13.4 y 13.5 Cadena y Taylor

7/18/2019 Sec 13.4 y 13.5 Cadena y Taylor

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UNCIONES COMPUESTASY REGLA DE LA CADENA

Ing. Luis Fernan

Ing. Edon S!i"e



REGLA DE LA CADENA.

Sean x = x(t) e y = y(t) diferenciables en t, y sea

diferenciable en ( x(t), y(t))

Teorema A

dF f dx f dy

dt x dt y dt

∂ ∂= +

∂ ∂



REGLA DE LA CADENA.

Suponga que , donde y . Determ3 z x y= 2 x t =

2 y t =

dz z dx z dy

dt x dt y dt

∂ ∂= +

∂ ∂

2 3

2 2 3

4

(3 )(2) ( )(2 )

6(2 ) ( ) 2(2 ) ( )

40

x y x t

t t t t

t

= +

= +

=



REGLA DE LA CADENA.

udimos !aber resuelto el e"emplo anterior sin usar

la cadena. or una sustituci#n.

De modo que . Sin embargo, el m$todo de

directa no siempre est% disponible o no es co

obser&emos el siguiente e"emplo.

3 3 2

(2 ) z x y t t t = = =

440dz dt t =



REGLA DE LA CADENA.

*l calentar un cilindro circular recto s#lido, su radio

h aumenta' por lo tanto, tambi$n lo !ace el %rea de

superficie. Suponga que en el instante en que

cent+metros y ! -00 cent+metros, r esta creciendo a

0.2 cent+metros por !ora y h aumenta a 0. cent+me

1u$ tan r%pido crece S en ese instante



REGLA DE LA CADENA.

a f#rmula para el %rea total de la superficie de un cili

*s+

5n r -0 y h -00,

22 2S rh r π π = +

dS S dr S dh

dt r dt h dt

∂ ∂= +

∂ ∂

(2 4 )(0.2) (2 )(0.h r r π π π = + +

(2 -00 4 -0)(0.2) (2 -0)(0.)dS

dt

π π π = + + centimπ =



REGLA DE LA CADENA. )*.+

Suponga que , donde y . 5nton

sentido preguntarse por , .

Suponga que y tienen primeras deri&ad

en y sea diferenciable en . 5ntonces tien

deri&adas parciales dadas por

Teorema

B

( , ) z f x y= ( , ) x x s t = ( , ) y y s t =

z s∂ ∂ z t ∂ ∂

( , ) x x s t = ( , ) y y s t =

( , ) s t ( ( , ), ( , )) x s t y s t

-.s

z z x z y

x s y s

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂2.

z z x

t x t

∂ ∂ ∂ =

∂ ∂ ∂



FORMULA DE TAYLOR YTEOREMA DEL )ALORMEDIO



Suposición es continuo y tiene un mínimo “m” y máximo “intervalo

$. FORMULA DE TAYLOR

* partir de

Se 7btiene la 8ormula de 9aylor

'

•

FormaIntegral

ForLag




Se puede escribir que:

En donde el error de la aproxiaci!n est" dado por

:a 8#rmula de 9aylor es una apro;imaci#n, la apro;imaci#n de una f

f(;) por un polinomio de grado finito, con que nos permite se<alar los

error incurrido.=>.?reenberg.

•

TérminoDesconocido




Si se suone !ue se tiene"•

Serie de Taylor

de f en elpunto a• Serie #onver $a en un

intervalo x• Función a la cual

converge la serie

Igualar f(x) enalg%n intervalo I

reresenta a f en I




ProblemaCon el fn derepresentara sobre unintervalo x

Expandir un(x) en una

serie deTaylor en unpunto x=a

No garantizaque la serie

Converja

Es pon(x)

!

Con el fn derepresentara sobre unintervalo x

Expandir un(x) en una

serie deTaylor en unpunto x=a

No garantizaque la serie

Converja

Es pon(x)

!

Se Garantiza

en unIntervalo x




"ig# $# Conse!uen!ia delas su%as par!iales de

&'sta serie reresenta a la(unci)n tal !ue se uedaescri*ir"



$.*. TEOREMA DEL )ALOR MEDI

Si ( es continua en unintervalo cerrado ydi(erencia*le en el intervaloa*ierto + 'ntonces existe unn%mero en , tal !ue"

•

"ig# &# epresenta!idel teore%a del va

para la deriva

-



*. E,TENSI-N A FUNCIONES DEDE UNA )ARIA/LE

'n las series de Taylor se conoce todo so*re (-x. en x/a, i+e+ (0

&Se uede considerar en más varia*les2

"ig# # *untos de

+nter,s

Suposición:

• Se conocen todos los valore(xx, (yy13asta el término “n”

Se tiene

-




•

Si F es di(erencia*le se uede escri*ir la ()rmula Taylor como"

TérminosDesconocidos

-




•

Reemplazando en:

• aciendo t!"# F(")!f(xo# $o)# Se %btiene:

F45M6L7 D' T78L95': D9S ;75I7<L'S



FORMULA DE TAYLOR Y TEOREDEL )ALOR MEDIO

( -)2 @@( ) ( )

( ) ( ) @( )( ) ( ) ... ( 2A ( -)A

n f a f a f x f a f a x a x a x

n

−

= + − + − + + −

−

2 , , B 2, 2C x

e a−

= −

2@( ) 2 x f x e−= −

2@@( ) 4 x

f x e−=

2@@@( ) x f x e−= −

2(0)( ) f a e−

=

-0 -0 -0 2 -0 34 ( ) 2 ( ) ( ) ( )

2A 3A

f x e e x e x e x− − − −= − − + − − − +



FORMULA DE TAYLOR Y TEOREDEL )ALOR MEDIO

.T/.0

%%%%%Función Real%%%%%

x1 = -3:0.1:3;

y1 = 1./(4+x1);

syms x;

f = inline('1/(4+x)');

fi = fiu!e();

se"(fi#'c$l$!'#'&i"e')

l$"(x1#y1#'inei"&'#3);

!i $n;

xla*el('x');

yla*el('y');

%%%%%ayl$!%%%%%%%%

, = "ayl$!(f(x)##0);

&$l $n;

&=el$"(,#-3#3);

se"(&#'c$l$!'#'!'#'lines"yle'#'--')

se"(&#'inei"&'#2);

leen('Funci$n Real'#'xansi$n e a



/I/LIOGRAF0A

-. ?55EF5?, Gic!ael. *d&anced 5ngineering Gat!em5dition. rentice Hall. Ini&ersity of DelaJare, DelaJare.

2. LH**, Ste&en' L*E*5, aymond. G$todos num$

ingenieros, ta. 5dici#n, Gc?raJ Hill, 200M.

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