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Sec.

Prueba de

hipótesis para la

media poblacional

(𝝁)

10.3

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Para probar una hipótesis con respecto a la media

poblacional, cuando la desviación estándar

poblaciónal es desconocida, usamos una

distribución-t en vez de una distribución-Z.

El estadístico,

sigue una distribución-t de Student, con n –1

grados de libertad.

n

s

xt


Criterios para la prueba de hipótesis para la

media poblacional (𝝁)

Para hacer una prueba de hipótesis para la media poblacional (𝝁), la muestra debe cumplir los siguientes criterios:

Es una muestra aleatoria simple.

La muestra no contiene datos extremos

La población de donde se obtiene la muestra se distribuye normalmente o la muestra es suficientemente grande (n ≥ 30).

Los valores de la muestra son independientes entre si.


Paso 1: Determinar la hipótesis nula y la alterna

usando una de las siguientes formas:

Pasos para la prueba de hipótesis para la

media poblacional (𝝁)


Paso 2: Seleccionar un nivel de significancia,

α, basado en la gravedad de cometer un error

Tipo I.

Hipótesis No rechazar Rechazar

nula Ho Ho

Ho es cierta

Ho es falsa

Decisión

correcta Error

Tipo I

(a)

Error

Tipo II

(b)

Decisión

correcta

Nivel de significancia

es la probabilidad

máxima de cometer un

error de Tipo I. Los

niveles de significancia

que se utilizan con

mayor frecuencia son

0.01, 0.05 y 0.10.


Paso 3: Calcular el estadístico de prueba

que sigue una distribución-t de Student con n – 1

grados de libertad.

t0

x

0

s

n


Para tomar decisiones en base a una prueba de

hipótesis existen dos alternativas muy utilizadas:

a) Método tradicional o clásico: se basa en

utilizar el valor crítico del estadístico de

prueba (t0)

b) Un método más moderno emplea el valor p,

que es la probabilidad de que el valor del

estadístico calculado se deba al azar.

Paso 4: Formular la regla de decisión.


Método clásico o tradicional

Usar la Tabla VI para determinar el valor crítico.

Paso 4: Formular la regla de decisión (cont.)

Valor Crítico: Es el punto que divide la

región donde la hipótesis nula es

rechazada de aquella donde no se

rechaza.


El método clásico

Prueba bilateral o

de dos colas

Prueba unilateral a

la izquierda o de

una cola

Prueba unilateral a

la derecha o de

una cola


El método clásico

Comparar el valor crítico con el estadístico de

prueba.


La toma de decisión se basa en lo siguiente:

a) si el estadístico de prueba cae dentro de la

región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula.

b) si el estadístico de prueba está en la región de

aceptación, no se rechaza de hipótesis nula.


Paso 5: Enunciar la conclusión.

a) si la decisión es “rechazar la H0” diga así : “la

muestra aporta suficiente evidencia al nivel de

significancia 𝛼 para demostrar que… (se completa

con la expresión estadística correspondiente a la

hipótesis alternativa)”

b) si la decisión es “no rechazar la H0” diga así :

“la muestra no aporta suficiente evidencia al nivel

de significancia 𝛼 para demostrar que … (se

completa con la expresión estadística

correspondiente a la hipótesis alternativa)”


Ejemplo 1: Prueba de hipótesis para una media poblacional

(muestras grandes)

Supongamos que la razón metabólica en reposo (RMR) de los varones saludables y en completo silencio es 5710 kJ / día.

Los investigadores midieron el RMR de 45 hombres sanos que estaban escuchando música clásica tranquila y encontraron que su media RMR era 5708.07 con una desviación estándar de 992.05.

A un nivel de significancia de α = 0.05, ¿existe evidencia para concluir que la media de los hombres que escuchaban música clásica tranquila es diferente a 5710 kJ/día?


Solución

Consideraciones iniciales:

Se trata de una prueba de dos colas, ya que

estamos interesados en determinar si la RMR es

diferente a 5710 kJ / día.

Dado que el tamaño de la muestra es grande,

podemos asumir que la población se distribuye

normalmente.


Solución (cont.)

Paso 1: Determinar la hipótesis nula y la alterna

H0: μ = 5710 versus H1: μ ≠ 5710

Paso 2: Seleccionar un nivel de significancia, α,

el nivel de significancia es α = 0.05.

Paso 3: Calcular el estadístico de prueba

Con 𝒙 = 5708.07 y s = 992.05.

El estadístico de prueba es

0t ?


Solución (cont.)

Paso 4: Formular la regla de decisión.

Nivel de significancia de α = 0.05 con

n –1 = 45 – 1 = 44 grados de libertad.

–t0.025 = y t0.025 = .

Paso 5: Comparar t0 con t0.025 y – t0.025

.

? ?

Paso 6: Conclusión


Regla de decisión usando el valor p

Otro método que se puede usar para sacar una

conclusión de la prueba de hipótesis se basa en una

probabilidad llamada valor p.

El valor p es la probabilidad de encontrar un valor para

el estadístico de prueba tan improbable como el que se

ha calculado durante la prueba de hipótesis.

Usamos la Table VI para aproximar el valor p.


Usando el valor p


Usando el valor p

Paso 4: Formular la regla de decisión


El procedimiento es robusto, lo que significa que

desviaciones menores de normalidad no afectará

negativamente los resultados de la prueba. Sin

embargo, para muestras pequeñas, si los datos

tienen valores extremos, el procedimiento debe

no ser utilizado..


Ejemplo 1: Prueba de hipótesis para una media poblacional

(muestras grandes) 2do método

Supongamos que la razón metabólica en reposo (RMR) de los varones saludables y en completo silencio es 5710 kJ / día.

Los investigadores midieron el RMR de 45 hombres sanos que estaban escuchando música clásica tranquila y encontraron que su media RMR era 5708.07 con una desviación estándar de 992.05.

A un nivel de significancia de α = 0.05, ¿existe evidencia para concluir que la media de los hombres que escuchaban música clásica tranquila es diferente a 5710 kJ/día?


Solución: Usando valor-p


Como esta prueba es bilateral, el valor p es el área bajo

la distribución t (con 44 grados de libertad) hacia la

izquierda de –t0.025 = ? y hacia la derecha de t0.025 = ?

Esto es que: valor p = P(t < ?) + P(t > ?)

= 2 P(t > ?).

Usamos la tabla VI.

Buscamos en la fila donde los grados de libertad están lo

más cercano a 44,

y buscamos el valor en esa fila más cercano al

estadístico calculado.


valor p = 2 P(t > 0.013).

= ?

Paso 5:

Comparar 𝑡𝛼2 y 𝑡0

Solución: Usando valor-p (cont.)



Paso 6: La muestra aporta suficiente evidencia, a un

nivel de significancia de α = 0.05, para concluir que la

RMR media de hombres saludables que escuchan

música clásica tranquila difiere de 5710 kJ/día.


Ejemplo 2: Prueba de hipótesis para una muestra pequeña

De acuerdo con el fabricante de monedas en circulación de los Estados Unidos, pesetas pesan 5.67 gramos. Un investigador está interesado en determinar si el las pesetas conmemorativas a los estado tienen un peso diferente a 5.67 gramos. Se seleccionan al azar 18 pesetas conmemorativa, se pesan y se obtiene los siguientes datos.

5.70 5.67 5.73 5.61 5.70 5.67

5.65 5.62 5.73 5.65 5.79 5.73

5.77 5.71 5.70 5.76 5.73 5.72

A un nivel de significancia de α = 0.05, ¿existe evidencia para concluir que las pesetas conmemorativas tienen un peso diferente a 5.67 gramos?


Solución

Se trata de una prueba de dos colas, ya que estamos

interesados en determinar si el peso es diferente a 5.67

gramos.

Dado que el tamaño de la muestra es pequeño, hay que

verificar que los datos provienen de una población que

se distribuye normalmente y que no existen valores

atípicos antes de proceder a los pasos 1-6.


Parece razonable asumir normalidad.


No existen datos extremos.


Solución

Paso 1: Determinar la hipótesis nula y la alterna.

H0: μ = 5.67 vs H1: μ ≠ 5.67

Paso 2: Determinar nivel de significancia

α = 0.05.

Paso 3: Calcular el estadístico

𝒙 = s =

El estadístico:

?t0

? ?


Solución: Método tradicional

Paso 4: Nivel de significancia α = 0.05 con

n –1 = 18 – 1 = 17 grados de libertad.

–t0.025 = ? y t0.025 = ?

.

Paso 5: Encontrar el valor p. Comparar p con ∝

Paso 6: Conclusiones


Esto es que: valor p = ?



Cuando una muestra grande se utiliza en una

prueba de hipótesis, los resultados podrían

ser estadísticamente significativos a pesar de

que la diferencia entre el estadístico y la

media poblacional indicada en la hipótesis

nula no tenga importancia práctica.

Diferencia significativa


Ejemplo: Diferencia estadística vs. significado práctico

En 2003, la edad media de mujeres en el momento de

tener su primer hijo era 25.2. Para determinar si la edad

media ha aumentado, se toma una muestra aleatoria de

1200 mujeres con almenos un hijo, y se determina que la

edad media de la muestra es 25.5 con una desviación

estándar muestral de 4.8. Determine si la edad media ha

aumentado, a un nivel de significancia de α = 0.05.


Solución

Paso 1: Determinar la hipótesis nula y la alterna.

.

Paso 2: Determinar nivel de significancia

.

Paso 3: Calcular el estadístico


Paso 5: Comparar

Paso 6: Concluir


Comentarios:

Aunque hemos encontrado una diferencia estadística

significativa, no hay un significado práctico entre estas

edades. Esto puede ocurrir con muestras muy grandes.

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