sebastian fisica

8/14/2019 sebastian fisica

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LA ALTURA Y LA VELOCIDAD DE LOS PROYECTILES PUEDEN CALCULARSEFACILMENTE.

Un proyectil es un objeto que es lanzado en el aire y que se mueve predominantementebajo la influencia de la gravedad. Al estudiar el movimiento de los proyectiles haremos dossimplificaciones: a) se despreciar la variacin de la de la direccin o magnitud de laaceleracin gravitacional, lo cual implica no tomar en cuenta la curvatura terrestre, y por lomismo, ser vlido en proyectiles cuyos movimientos verticales y horizontales sonpequeos comparados con el radio terrestre; b) se despreciar la resistencia del aire; enobjetos pesados que se mueven relativamente despacio, es despreciable, pero en objetosmuy ligeros que se muevan a poca o a mucha velocidad o en los muy pesados que semuevan a gran velocidad, la resistencia del aire tiene gran influencia sobre el movimiento.Para describir el movimiento de un proyectil, es conveniente escoger un sistema decoordenadas en el cual el eje de las y es verticalmente hacia arriba, siendo el eje de las xhorizontal y en la direccin de la componente horizontal de la velocidad inicial del proyectil.Por lo que analizaremos el movimiento solo en dos dimensiones, en el plano x-y. Adems, lanica aceleracin ser la de la gravedad, cuando el objeto sea lanzado:hacia arriba en forma vertical o con cierta inclinacin, en forma horizontal, o hacia abajo con

cierta inclinacin. Cuando el objeto sea lanzado hacia abajo en forma vertical o se dejecaer:

Cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, la velocidad inicial es positiva mientras que laaceleracin de la gravedad es negativa. Todos los vectores con sentido hacia arriba sonpositivos y los que van hacia abajos son negativos. Por ejemplo, supongamos que una

pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de Qu alturatendr para diferentes valores del tiempo si despreciamos la resistencia del aire? En este

caso , mientras que ; la expresin que nos permite calcular laaltura para cualquier tiempo es Para obtener los diferentes valores de laaltura con respecto al tiempo, utilizamos el Matematica con la instruccin:

Observamos que a los 2 segundos se alcanza la altura mxima de 19.6 metros, y que a los4 segundos la pelota pasa por el mismo nivel de lazamiento y al continuar descendiendo lasalturas son negativas por estar abajo del nivel del lanzamiento. Para conocer las diferentes

velocidades de la pelota en funcin del tiempo, utilizamos la expresin ;sustituyendo los valores: ; graficando en el Mathematica :


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Grfica de la velocidad:

Se observa que a los 2 segundos la velocidad de la pelota es cero, lo cual indica quealcanz la altura mxima que en este caso es de 19.6m, y a los 4 segundos la velocidad es

de lo cual significa que la pelota pasa por el mismo nivel de lanzamiento con lamisma velocidad con la que fu lanzada pero en movimiento hacia abajo.

Cuando una pelota se deja caer desde cierta altura, al mismo tiempo en que otra pelota eslanzada horizontalmente del mismo punto con una velocidad de , se observa que al


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calcula con la expresin , que es equivalente a debido a quecos(0)=1; siendo la componente horizontal de la velocidad. Por lo que

sustituyendo valores tenemos:

. Se observa que la distanciahorizontal que recorre la pelota se calcul de manera independiente al desplazamientovertical, sin embargo, el resultado de los dos movimientos independientes combinados: un

movimiento horizontal con rapidez constante de y un movimiento vertical que iniciacon velocidad vertical cero, producen un camino curvo que se llama trayectoria del proyectily la forma de la curva descrita es una parbola. A grandes velocidades la resistencia del airetiene importancia, pero para fines prcticos consideraremos que la resistencia del aire esdespreciable cuando se trete de un cuerpo pesado cayendo a unos 200 metros o menos.

Tambin con el Mathematica se puede obtener la grfica de la altura con respecto aldesplazamiento horizontal, de la pelota que se lanza en forma horizontal con velocidad

inicial de , obteniendo primero la expresin que nos relaciona la altura con el

desplaxamiento horizontal: como , pues no hay componente

vertical de la velocidad inicial, se tiene en esta expresin sustitumos a t por

siendo la componente horizontal de la velocidad inicial y debido a que la

velocidad de salida es puramente horizontal, entonces ; por lo quesustituyendo se tiene

La grfica de esta expresin es:

Grfica de la altura en funcin del alcance:

Para graficar la expresin que nos relaciona la altura con el tiempo de la pelota lanzada

horizontalmente, partiendo de ; como pues no hay componente

verical, entonces graficamos la expresin mediante la instruccin:


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ECUACIONES DE TIRO PARABOLICO

2.2.1 ...(1)

2.2.2 ;sustituyendo


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se tiene: ..(1)

2.2.3

..(3)

..(4) 8)

2.2.4. Cuando y es mxima

..(5)

..(6) ; ..(7)

2.2.5.

2.2.6. ..(8) ;

..(9)

PROBLEMA 2.3.1.- Una manguera arroja agua en A formando un ngulo de

con la horizontal. a) Si la manguera arroja agua con una velocidad inicial de ,determinar a qu distancia cae el chorro de agua; verificar que el agua rebasa el

borde de la azotea( que ). b) Determinar las velocidades


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mxima y mnima de la salida del agua para que esta caiga sobre la azotea,esto es,para que

Paso1. Cuando la distancia del chorro de agua sea de , la altura debe ser de y=7-1.5=5.5m.

Paso 2. Sabiendo que

; sedebe calcular el tiempo que tarda el chorro en alcanzar la altura de 5.5m, y posteriormentecon ese tiempo calcular la distacia

Paso 3. Utilizando la ecuacin considerando que la altura y espositiva, que g es negativa.

Sustituyendo los datos se tiene: ;

Paso 4. Con el tiempo de 0.12 seg, la distancia horizontal que se recorre es de:

.

Resulta , que es el resultado correcto, lo que indica que cuando y=5.5m,

Resp.


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Con el tiempo de 0.528 seg , se obtiene , y no llega al punto B de la azotea.

Paso 5. Otra forma de resolver el problema consiste en utilizar una expresin que relacione

a x,y: partiendo de sustituyendo el valor de

t, de

simplificado: sustituyendo valores :

; despejando:

;

Siendo el resultado x=15.94m, lo cual significa que cuando la altura del chorro es

de 5.5m, la distancia horizontal correspondiente es de 15.94m.Resp.

Mientras que en x=3.96m no llega al borde B de la azotea.

Paso 6. Para verificar que el chorro s rebasa el borde B de la azotea, nos

debemos asegurar que cuando la distancia horizontal recorrida por el chorro

sea de 5, su altura sea mayor de 5.5m. Por lo que el tiempo empleado en

recorrer horizontalmente los 5m es: ; en este

tiempo la altura del chorro es de:

con lo que resulta y=6.44m, por lo que s rebasa el borde B de la azotea. Resp.

Grfica de la altura con respecto al alcance:


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Paso 7. Para determinar la velocidad de salida que debe tener el chorro de agua para quepegue justo en el borde D de la azotea, que en este caso ser la velocidad mxima, se debeencontar primero el tiempo necesario para que el chorro de agua recorra horizontalmente ladistancia de 25m y verticalmente la altura de 5.5m, y luego calcular la velocidad de salidacon stos valores obtenidos.

Paso 8. Tiempo en recorrer horizontalmente los 25m, xD=25, es: ; en estetiempo se debe alcanzar la altura de 5.5m, y=5.5 , en la expresin:

Se desconocen txD , y vo ; por lo que sustitumos el valor de vo

: ; simplificando:

sustituyendo valores: ; ;

con este tiempo, la velocidad inicial es de: Resp.

Paso 9. Para calcular la velocidad de salida que debe tener el chorro de agua para quepegue justo en el punto B de la azotea, se debe considerar que esto se logra cuando ladistancia horizontalmente recorrida sea de 5m, xB=5, y la altura sea de 5.5m, y=5.5m, paraello, se debe realizar un anlisis semejante al anterior:

; sustituyendo:

; sustituyendo valores y despejando el tiempo:

Velociad inicial para que el chorro alcance justo en el punto B, es:

Resp.

Grfica de la velocidad con respecto al alcance:


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Problema 2.3.2.- Un hombre sobre un puente a 10 m sobre el agua lanza una piedra endireccin horizontal. Sabiendo que la piedra golpea el agua en un punto situado a 30 m apartir del punto sobre el agua directamente debajo del hombre. Determinar : la velocidadinicial de la piedra, la velocidad de la piedra al llegar al agua,el ngulo con el cual la piedrahace contacto con el agua.

Paso 1. La ecuacin de movimiento que se debe utilizar de acuerdo con los datos delproblema, es :

; pero como el lanzamiento fu de manera horizontal, entonces lacomponente vertical de la velocidad de salida es cero, por lo que la ecuacin se reduce a:

Con esta expresin se calcula el tiempo que tard la piedra en descender los10m, tomando en cuenta que el nivel de referencia es el punto de lanzamiento:


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; este tiempo es el que trada es descender 10m y enrecorrer horizontalmente los 30m; por lo que la velocidad horizontal de salida es:

; y esta velocidad se mantiene constante en toda la treyectoria.Resp.

Paso 2. La velocidad vertical con la cual la piedra llega al agua, se determina con la

ecuacin: ; como no hay componente vertical en la velocidad e salida, se

reduce a: esta es la velocidad vertical conla cual la piedra golpea al agua, y la velocidad con la cual la piedra llega al agua, es:

Resp.

Paso 3. El ngulo con el cual la piedra llega al agua, es:

Resp.

Grfica de la altura con respecto a alcance:


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PROBLEMA 2.3.3.- Sale agua de un tanque a presion por A, con una velocidad horizontalVo. Para qu intervalo de valores Vo el agua pasar por la abertura BC?

Paso 1. El Chorro de agua simultneamente recorre 2m horizontalmente y desciende 1m alpasar por el punto B, en la abertura BC. La ecuacin que se utiliza para determinar la

velocidad de salida horizontal, es: ; pero como la salida es horizontal, la

velocidad no tiene componente vertical, por lo que la ecuacin se reduce a: ; pararealizar el clculo ms rpido, sustitumos el tiempo por la relacin : ; siendo en estecaso x=2m , y la velocidad horizontal de salida que se mantiene constante en toda la

trayectoria; por lo que se tiene: ; despejando: ; sustituyendo

valores y considerando que la altura que desciende el chorro as como la

aceleracin de la gravedad son negativas: Resp.

Paso 2. Para que el chorro pase por el punto C de la abertura BC, la velocidad


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horixontal de salida se determina con la misma expresin: ;

por lo que sustituyendo valores:

Resp.

Por lo que el intervalo de valores que se pide, es:

Resp.

Trayectoria del chorro de agua al pasar por el punto B:

Trayectoria del chorro de agua al pasar por el punto C:


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PROBLEMA 2.3.4.- Un proyectil se dispara con una velocidad de y con ciertongulo, se observa que tiene un alcance horizontal de 3000m, como lo indica la figura.Determinar la altura mxima alcanzada y el ngulo de disparo.

Paso 1. Primero se debe determinar el ngulo de disparo, utilizando la ecuacin:

; en la cual se sustituye el tiempo de la componente horizontal de la

velocidad en x: ;

; simplificando: ; una formade r esolver la e cuacin para , consiste en multiplicarla por :

; sustituyendo los valores del problema:

; con lo cual se obtiene: ;

aplicando la identidad: , se tiene:Resp.

Paso 2. La otra forma de resolver la ecuacin para ; consiste

en sustituir por , y aplicar la identidad : :

;

sutituyendo los valores del problema: ;

resolviendo la ecuacin


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; se obtiene

siendo la respuesta cualesquiera de los dos ngulos.

Grficas de la ecuaciones y=200Sen23.56o t -4.9t2 ; x=200Cos23.65o t

PROBLEMA 2.3.5.- Una pelota se deja caer verticalmente sobre el punto A de un planoinclinado a con la horizontal, la pelota rebota formando un ngulo de con la vertical.Sabiendo que el prximo rebote tiene lugar en el punto B, calcular: a) la velocidad con lacual rebota la pelota en A; b) el tiempo necesario para que la pelota se mueva de A a B.


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Paso 1. Determinamos la altura YB que desciende :

Paso 2. Determinamos ahora el tiempo que tarda en descender 1.73m que es el tiempo que

tarda en recorrer horizontalmente los 3m: como se desconoce lavelocidad inicial, sustitumos esta de la ecuacin

Paso 3. Sustituyendo valores, y notando que la pelota forma un ngulo de 40o con lahorizontal, as como la altura YB que desciende es negativa por estar abajo del nivel delrebote en A: con lo que resulta: t=0.93 seg. Resp.

Paso 4. Para calcular la velocidad con la cual rebota la pelota en A, utilizamos la ecuacinde la componente horizontal del movimiento parablico:

Resp.

Grfica de la ecuacin que nos indica la trayectoria de la

pelota al desplazarse de A a B.

Grfica de la velocidad con respecto al alcance:


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PROBLEMA 2.3.6.- Una banda transportadora arroja grava en A la cual cae en el motculoB. Determinar: a) el alcance horizontal x cuando desciende una altura , si la

velocidad de salida de la grava es de y el ngulo de la banda con respecto a laorizontal es de ; b) calcula el ngulo de salida para que la grava saliendo con una

velocidad de tenga un alcance de x=8m, descendiendo YB =4m.

Paso 1. Para determinar el alcance x, utilizamos la ecuacin anteriormente obtenida:

sustituyendo valeres y despejando:

;

resulta: ; ; se

obtiene que x=2.77m es la respuesta.

Paso 2. Tambin se puede determinar el alcance encontrando primero el tiempo


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que tarda en descender los 4m, con la expresin :

;

3) En este tiempo, la distancia horizontal recorrida :

Resp.

Paso 4. Para calcular el ngulo de salida, con los datos proporcionados, la

expresin que se utiliza es:

; se sabe que:

; por lo que sustituyendo esta identidad: ;

sustituyendo valores:

;

; con lo que resulta:

;

con lo cual se tiene que el resultado,es : con respecto a la horizontal. Resp.

Grfica de las ecuaciones

que nos indica la altura y la distancia horizontal en funcin de tiempo:


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PROBLEMA 2.3.7.- Un proyectil es disparado con una velocidad inicial de .Encontrar: a) el ngulo del disparo para que el proyectil golpee a un blanco situado a3000m, sobre el mismo nivel; b) la altura mxima alcanzada.

Paso 1. Cuando el proyectil se encuentre situado a 3000m medidos horizontalmente, sualtura debe ser de cero metros, esto es, x=3000m ; y=0. 2 ) Utilizando la frmula:

; sustituyendo el tiempo por la expresin ; resulta:

;

simplificando: ; sustituyendo :

; sustituyendo valores:

; simplificando:; ;

resolviendo:

donde ; siendo el resultado cualesquiera de los dos ngulos.Resp.

Los valores de los ngulos tambin se pueden obtener con la instruccon:

Los valores de a son en radianes.


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Los valores de a son en radianes.

Grfica de la altura con respecto al alcance:

Resolver los siguientes problemas de tiro parablico:

Problema 2.4.1.- Se lanza un chorro de agua con cierto ngulo desde una altura de 1.2m a

una velocidad de y recorre una distancia horizontal de 10m para chocar con un muro.Determinar: a) la altura mxima que el chorro alcanza al golpear al muro; b) el ngulomnimo para que el chorro de agua llegue a la base delmuro. Resp.( 4.12m; ) .


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Ecuacin de la parbola:

Problema 2.4.2.- Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de y a un ngulo decon la horizontal. Determinar la altura mxima y la distancia horizontal mxima que se

alcanza.

Grfica de la parbola:

Problema 2.4.3.- Una pelota de golf se golpea con una velocidad de . Determinar: a)la distancia mxima alcanzada x ; b) la velocidad con la que golpea al suelo en el punto B.Resp. (53.5m; 21m/seg)

(Grficas de )


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Problema 2.4.4.- Se golpea una pelota en el punto A y sale con cierta velocidad formandoun ngulo de con la horizontal. Si toca al suelo en el punto B que est a 3m abajo de lahorizontal del punto de lazamiento y a 10m medidos horizontalmente del punto delanzamiento, determinar: a) la velocidad con la cual fu golpeada la palota; b) la velocidadcon la cual llega al suelo en el punto B.

Resp. ; (Grfica de )

Problema 2.4.5.- Se lanza un proyectil como lo indica la figura. Encuentra:a) la distanciahorizontal que se alcanza. b) la velocidad con la cual golpea al piso y su ngulo de contacto.

Resp.


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Problema 2.4.6.- Si se laza un proyectil con una velocidad horizontal como lo indica lafigura, determina: a) la altura desde la cual fu disparado, b) la velocidad con la cual lleg alsuelo y su ngulo de llegada.

Resp.

Problema 2.4.7.- Se lanza un proyectil en forma horizontal con velocidad desconocida, perose sabe que la altura desde la cual fu lanzado es de 2m y que su alcance horizontal es de5m. Determinar: a) la velocidad de salida; b) la velocidad con la cual lleg al piso y sungulo de llegada con respecto a la horizontal. Resp.

Problema 2.4.8.- Se lanza un proyectil como lo indica la figura. Determina: a) la distanciahorizontal alcanzada; b) la velocidad con la que golpea al piso y su ngulo que forma con

respecto a la horizontal.


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Resp.

Figura 3.11Sin gravedad el proyectilseguira una trayectoriarectilnea (lnea de puntos).

Pero a causas de la gravedad,cae por debajo de esta lnea lamisma distancia vertical quecaera si fuera liberado desdeel reposo. Compara lasdistancias cadas con aquellas

indicadas en la tabla 2.3 del

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