Técnicas Experimentales III. Segundo Semestre. Curso 2013/2014

Se recomienda encarecidamente haber cursado/estar cursando la asignatura Mecánica Cuántica debido a que los fundamentos teóricos son totalmente necesarios para el entendimiento de los procesos físicos que se van a estudiar. Asimismo, los alumnos deberán documentarse, estudiar y preparar el guión de la práctica que van a realizar y que conocerán de antemano. Se valorará este hecho pues repercute directamente en saber que se está haciendo en las diferentes prácticas.

Prácticas a realizar:

1) Detección de partículas γ usando centelladores de NaI(Tl)

2) Detección de radiación usando un detector Geiger-Müller

3) Espectros atómicos de sistemas con un electrón: átomo de Sodio

4) Espectros atómicos de sistemas con dos electrones: átomo de Mercurio

5) Espectros atómicos de sistemas con dos electrones: átomo de Helio

6) Serie de Balmer y determinación de la constante de Rydberg

7) Determinación del “cuanto de acción” de Planck a partir del efecto fotoeléctrico

8) Experimento de Franck-Hertz

La evaluación constará de dos partes, sobre las que se realizará una media aritmética:

a) Los alumnos redactarán un informe por cada práctica realizada. Éste deberá enviarsea través de la página de la asignatura en el Campus Virtual, en formato PDF. Con el fin de no amontonar el trabajo y poder mejorar el informe tras una primera corrección por parte del profesor, el plazo máximo para subir el informe será de dos semanas tras la realización de la práctica (ver calendario). Se valorará (según cuadro del Campus V.):

-Presentación: ortografía, redacción, claridad en la exposición, facilidad de lectura, uso de herramientas informáticas, estructura del informe (Índice, Objetivos, Introducción, Fundamentos Teóricos, Desarrollo, Resultados, Discusión, Conclusiones, Bibliografía,….)

-Entendimiento: madurez del texto, grado de comprensión del fenómeno físico en cuestión, discusión de los resultados, curiosidad por entender las diferencias experimentales respecto a las teóricas

-Objetivos: tratamiento estadístico y de errores, respuesta a las preguntas formuladas en el guión, documentación acerca del dispositivo experimental y proceso físico a estudiar

b) Al final del curso (23 Mayo) se realizará un examen individual que consistirá enpreguntas acerca de la puesta a punto y toma de datos de los experimentos, y cuestiones acerca del entendimiento de la práctica y los procesos físicos involucrados, etc.

BIBLIOGRAFIA. Física Cuántica y Nuclear • http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quacon.html#quacon

• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuccon.html#c1

• http://pdg.lbl.gov/2012/reviews/rpp2012-rev-passage-particles-matter.pdf • http://pdg.lbl.gov/2012/reviews/rpp2012-rev-commonly-used-radioactive-sources.pdf • http://pdg.lbl.gov/2012/AtomicNuclearProperties/index.html • Hey & Walters: El Universo Cuántico, Alianza Editorial. • Eisberg & Resnick: Física Cuántica, Ed. LIMUSA.

Física Atómica y Molecular

• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/atomstructcon.html#c1

• Bransden, B. H. y Joachain, C. J. “Physics of atoms and molecules” (Longman Scientific & Technical, Essex 1991).

• W. Demtröder. “Atoms, Molecules and Photons” (Springer-Verlag, Berlin, 2006) • Woodgate, G. K. “Elementary atomic structure” (Clarendon Press, Oxford 1992) • Haken, H. y Wolf, H. “The physics of atoms and quanta” (Springer Verlag, Berlín

1993). • Cowan, R. D. “The theory of atomic structure and spectra” (University of California

Press, Berkeley 1981). • Haken, H. y Wolf, H. “Molecular physics and elements of quantum chemistry”

(Springer Verlag, Berlín1995).

Detectores y estadística • G. F. Knoll. “Radiation detection and measurements”. John Wiley and Sons(2000) • W.R. Leo. “Tecniques for Nuclear and particle physics experiments”, Second edition,

Springer Verlag • K. Kleinknecht, “Detectors for particle radiation”, Cambridge, 1990 • G. Cowan, “Statistical Data Analysis”, Clarendon Press, Oxford, 1998.

1. Detección de γ usando un centelleador de NaI(Tl)

Objetivo: La finalidad de esta práctica, es familiarizarse con: a) características de los detectores de centelleo, de sus componentes, y de la cadena de lectura de la señal. b) interacción de los γ con la materia, deposición de energía en los materiales y su dependencia con las propiedades del material, y con Eγ c) interpretación de un espectro de γ d) tratamiento estadístico de datos experimentales. Se recomienda repasar los conceptos relacionados con los distintos aspectos del presente experimento, el proceso de centelleo, sus aplicaciones en detección, y en particular el uso de compuestos inorgánicos como el Na I(Tl), las propiedades más importantes de los fotomultiplicadores, y la forma de recogida y tratamiento de la señal (amplificador y ADC sobre todo). Asimismo es conveniente repasar en detalle los procesos que pueden sufrir los fotones al interaccionar con la materia (efecto fotoeléctrico, efecto Compton y producción de pares), así como aquellos que pueden inducir los productos de estos procesos, pues todos ellos darán lugar a las propiedades de la señal que se detecta. 1. Descripción del dispositivo experimental: El detector en su conjunto, está

compuesto por un centelleador cilíndrico de NaI dopado con Tl, acoplado ópticamente a un fotomultiplicador (PM). Todo ello está protegido por una coraza de Al y µ-metal en el PM para eliminar parte del ruido externo al sistema, y la acción de campos magnéticos que distorsionarían la señal en el fotomultiplicador. Además la parte sensible del sistema, se rodea por un castillete de Pb para eliminar el resto de posibles fuentes externas de señal que enmascararían la de la fuente que se está estudiando. Un esquema del detector puede observarse en la figura 1. El PM se alimenta con una fuente de alta tensión que posee un rango entre 0 y 1280 voltios, (se recomienda no pasar de los 1100 voltios). La señal del PM pasa por un discriminador y un amplificador hasta llegar a un ADC de tipo Wilkinson, llegando finalmente a un analizador multicanal, cuya salida se muestra en la pantalla de un ordenador. Además de mostrarse la señal, desde dicho ordenador, se pueden controlar todos los parámetros del resto de dispositivos, a través de una tarjeta conectada a una ranura ISA del mismo.

2. Estudio del dispositivo experimental. Hacer un esquema de los componentes del

sistema de espectroscopía, describir su funcionamiento y sus parámetros principales. Entre estos, se encuentran la tensión de alimentación del PM. Estudiar la dependencia de las propiedades del espectro respecto a este parámetro, mencionando su incidencia en las propiedades finales de la señal, esto fijará el voltaje de trabajo para el resto de las medidas. Realizar un estudio del programa de adquisición de datos y control del sistema antes de comenzar el experimento. Observar el modo de funcionamiento de las regiones de interés, el mecanismo de calibración de energía (conversión de unidades del multicanal a unidades de energía), el buffer donde puede almacenarse el espectro de background que puede sustraerse posteriormente de un espectro dado, canal por canal, así como el número de cuentas bruto y neto.

Figura 1. Esquema del detector utilizado.

3. Estudio de los procesos que sufren los γ en la materia Describir los posibles procesos que pueden tener lugar al interaccionar los γ en el rango de energías que se dan en las transiciones en las fuentes de que se dispone (entre 0.05 y 2 MeV aproximadamente) con los diferentes componentes del dispositivo de medida, centelleador, blindaje de plomo, y PM. 4. Calibración de la energía de los γ Utilizando la fuente de 137Cs, colocarla a distancia adecuada del centelleador y medir su espectro durante el tiempo necesario. Teniendo en cuenta que la energía del fotopico es 0.662 MeV determinar a partir de esta curva la energía a que corresponde a cada canal. Hacer lo mismo con otras fuentes para representar la energía nominal de cada una en función del canal correspondiente al fotopico, determinando a partir de la misma el cociente de calibración del dispositivo por medio de un ajuste de mínimos cuadrados teniendo en cuenta las incertidumbres en la determinación del máximo de los fotopicos. Se puede usar asimismo el procedimiento de calibración seleccionable automaticamente en el programa ICS 10 para el que se requieren 2 (lineal) o 3 (cuadrático) valores de energía conocidos (137Cs+60Co). Comparar los resultados obtenidos. 5. Medida del fondo radiactivo Estudiar el espectro en energía del fondo radiactivo presente en el laboratorio. Para ello medir durante un intervalo de tiempo adecuado la respuesta del detector en ausencia de fuentes con y sin coraza de Pb. ¿Qué factor de reducción de fondo supone la coraza de Pb? ¿En qué situaciones será relevante este fondo? ¿Importa el tiempo de medida?

6. Interpretación de espectros de diferentes emisores de γ Una vez fijado el rango de energías a analizar, se trata de obtener la curva del espectro de los emisores de γ de los que se dispone, es decir obtener la distribución de energías detectadas. La interpretación consiste en identificar las diferentes componentes, fotopicos, Compton, backscattering, etc. Comprobar, en base a la calibración realizada en el apartado anterior, si el borde Compton y el pico de backscattering se encuentran a la distancia en energía esperada teóricamente (θ = π y θ = 0 respectivamente). Para determinar las energías de los diferentes picos, han de ajustarse a gaussianas considerando la desviación estándar como la incertidumbre del canal del máximo. Estimar el comportamiento del fondo y restar la pendiente Compton al fotopico donde sea posible (cuentas brutas y netas). Tener en cuenta los esquemas de desintegración y las intensidades relativas de los isótopos en la identificación de fotopicos. ¿Qué ocurre en el Na? ¿Y el KCl+NaCl (sal de mesa)? ¿Qué es la muestra desconocida? Comparar los resultados de las diferentes muestras normalizando los espectros respecto al pico de intensidad máxima teniendo en cuenta los tiempos muertos del detector y usando tiempos de medida adecuados para cada una. Medir el 137Cs con y sin coraza de Pb.¿Cómo afecta la coraza de Pb al fotopico, borde Compton y pico de back-scattering del 137Cs? ¿Hay rayos X detectados? ¿Qué ocurre con el 137Cs al alejar la muestra? 7. Resolución en energía en función de la tensión aplicada al PM Se debe determinar la resolución (R = FWHM / H = %) en energía en función de la tensión suministrada al PM (no superar los 1200V!!). La resolución caracteriza la capacidad del detector para separar dos picos. Tras determinar los parámetros necesarios para estimar esta resolución (en general es suficiente con la anchura a media altura FWHM y la posición del pico H), el desplazamiento y evolución del fotopico del 137Cs puede servir para determinar esta resolución. Repetir el procedimiento para el 60Co 8. Resolución en función de la energía. Del mismo modo, se puede estudiar la resolución en energía en función de la energía del γ incidente. Usar todas las fuentes para determinar la resolución del detector (reutilizar las medidas hechas en apartados anteriores). 9. Muestras β en un centellador. Comprobar (pidiendo prestadas las muestras de Sr y Tl a los compañeros de la práctica del GM) si es posible detectar partículas β en este dispositivo. Estudiar los espectros de esos dos isótopos. ¿Coincide con lo esperado? 10. Determinación de antigüedades. Determinar la actividad total de las fuentes de 137Cs, 133Ba y 22Na (con y sin coraza de Pb) en base al espectro. Estimar la antigüedad de la misma a partir de la expresión N = N0 exp (-λt), derivando para obtener la actividad actual (dN/dt) en cps y sabiendo que N0λ es la actividad a t=0 que declara el fabricante en la pastilla (Nota: 1 Ci = 3.7 × 1010 desintegraciones por segundo; λ = 1 / τ ; τ = t 1/2 / ln 2). Asumir radiación isótropa y tener en cuenta el ángulo sólido medido por detector, así como el diagrama de desintegración y las vidas medias de los subproductos del isótopo.

Figura 2. Espectro detallado del 133Ba

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2. Detección de radiación usando un detector Geiger-Müller. Objetivo: La finalidad de esta práctica, es el conocimiento de los métodos de medida de radiación, en entornos de baja radiación mediante detectores de ionización de tipo Geiger-Muller. Estudio de la emisión radiactiva y sus propiedades, los efectos producidos sobre las radiaciones al pasar a través de la materia, y la utilización de métodos estadísticos estándar en Física Experimental. Se recomienda estudiar el paso de partículas a través de la materia, y consultar la bibliografía que describe el funcionamiento y modo de operación de los detectores de ionización. En particular, estudiar el gas de llenado, y su papel en el desarrollo de la señal, así como su modo operación en el plateau, y los tiempos típicos que caracterizan su funcionamiento. Estudiar asimismo su respuesta a diferentes tipos de radiación. NOTA: Comandos MS-DOS para crear una carpeta donde almacenar los archivos de datos (sólo hace falta la primera vez) e iniciar el programa de toma de datos: C:\> mkdir lablink\NombreApellido C:\> cd lablink\NombreApellido C:\lablink\NombreApellido> ..\lablink.exe 1. Estudiar el dispositivo experimental. Tratar de entender todos los aspectos que influyen en la detección de la radiación producida por la fuente, hasta su detección en el G-M incluyendo la lectura y transmisión electrónica de las señales. Realizar un esquema del funcionamiento del dispositivo en su conjunto. Considerar todos aquellos aspectos que puedan ser fuente de errores sistemáticos, y que deban ser considerados posteriormente. 2. Curva plateau: se trata de determinar esta curva, con el fin de obtener el voltaje óptimo de trabajo del detector. Para ello, se aumenta el voltaje progresivamente hasta que el detector comienza a registrar cuentas. Se debe utilizar todo el rango posible de tensiones aplicables, sin superar el voltaje de la zona de avalancha, pues puede dañarse el detector. Se suele tomar como tensión de trabajo la correspondiente a la zona central del plateau. Ajustar la región del plateau a una recta, determinando su pendiente. Caracterizar la anchura de esta zona y extraer las conclusiones pertinentes. Determinar el intervalo de tiempo en que deben recogerse cuentas para realizar una estimación óptima de los parámetros de esta curva. 3. Naturaleza estadística de la emisión radiactiva: Se pretende estudiar si el fondo radiactivo sigue o no una distribución de Poisson.

donde PP da la probabilidad de observación de x sucesos en un intervalo de tiempo Δt. Para este estudio, se realizarán medidas del número de cuentas en ausencia de fuente radiactiva en intervalos Δt cuya duración deberá determinarse. Tras realizar esta medida el número de veces necesario, representar la distribución de las medidas y estudiar si ésta sigue una distribución poissoniana. Probar a poner el casquete de Plomo de la práctica del centellador repitiendo una medida para ver el efecto sobre el fondo.

4. Ley de la inversa del cuadrado de la distancia. Muchas fuentes radiactivas son isótropas, lo que significa, que a medida que aumenta la distancia entre la fuente y el detector, el mismo número de partículas, se extiende por una superficie cuya magnitud varía con el cuadrado de la distancia. Utilizando las fuentes disponibles, ir variando la distancia entre la fuente y el detector, midiendo el número de cuentas durante intervalos de tiempo que debe considerarse si dependen de dicha distancia. Representar las distribuciones de número de cuentas obtenidas, y realizar un ajuste para determinar sus parámetros. Comparar y discutir los resultados. 5. Absorción de partículas β. La trayectoria de los e- en la materia no es una línea recta, especialmente a bajas energías. Esto hace que para electrones de la misma energía el espesor requerido de material para que queden completamente absorbidos no es el mismo. Además, la curva de transmisión de partículas β emitidas por una fuente radiactiva debido a su distribución continua en energía, difiere de la que se obtendría para un haz de electrones monoenergéticos. Esto significa que el rango ó alcance de este tipo de partículas es una cantidad que no está bien definida: usar la aprox. CSDA, espesor para el que el número de cuentas es compatible con fondo (cps~0). Se pretende en este apartado determinar la curva que da el rango de partículas β en función del espesor de absorbente. Utilizar la fuente de 90Sr. a) Determinar la actividad de la fuente (sin placa absorbente). Estimar la antigüedad de la misma a partir de la expresión N = N0 exp (-λt), derivando para obtener la actividad actual (dN/dt) en cps y sabiendo que N0λ es la actividad a t=0 que declara el fabricante en la pastilla (1 Ci = 3.7 × 1010 desintegraciones por segundo; λ = 1 / τ ; τ = t1/2 / ln 2). Asumir radiación isótropa y tener en cuenta el ángulo sólido medido por el detector, así como el diagrama de desintegración y los subproductos del 90Sr. Idem para 204Tl

b) Colocar diferentes espesores de Al y Pb, y medir el número de cuentas por unidad de tiempo. A partir de los datos obtenidos determinar experimentalmente el rango. c) Se conoce para un gran número de núcleos la relación entre energía máxima y rango. En el intervalo de energías de 0 a 2.5 MeV, la relación entre el rango (espesor mínimo para obtener cps compatible con fondo) del Al y la energía máxima de las β emitidas es lineal: R·ρ(g/cm2)=0.54·Emax(MeV)-0.15. A partir del rango obtenido experimentalmente para el 90Sr y 204Tl determinar la energía máxima de las β emitidas por este núcleo. Comparar con el valor conocido del isótopo.

6. Naturaleza estadística de la emisión radioactiva. Se pretende estudiar en este apartado la distribución de Gauss. Al objeto de estudiar esta distribución, se efectuarán varias medidas con una muestra radiactiva y se prepararán 3 histogramas diferentes, en el primero se tomarán las n/3 primeras medidas, en el segundo las n/2 primeras, y en el tercero todas ellas. Representar gráficamente estas distribuciones y estimar en cada una de ellas la media, y anchura de la distribución, y discutir si la distribución obtenida sigue una distribución gaussiana o no. 7. Detección de γ. Probar las muestras de Cs, Ba y Na de la práctica del centellador en este dispositivo. Estimar la antigüedad de las mismas y comparar con lo obtenido en la práctica del centellador. Suponiendo una antigüedad para las muestras de 20 años y asumiendo radiación isótropa, ¿cuál sería la eficiencia de detección de β ? ¿Y de γ?

3. Espectros atómicos de sistemas con un electrón: Na Principio y objetivo Se analizará el espectro del átomo de Na en el intervalo 300-650 nm y se identificarán las transiciones correspondientes a las líneas presentes en el espectro. Experimental El espectro del átomo de Na ha sido obtenido utilizando una lámpara de cátodo hueco de Na con Ne como gas de llenado, un monocromador de 0.3 m de distancia focal provisto de una red de difracción de 1200 líneas/mm y como detector un PMT. Problemas 1.- Analizar el espectro del Na y determinar las longitudes de onda de las líneas observadas 2.- Identificar las líneas reales del Na comparando los espectros Cu-Ne y Na-Ne. 3.- Dibujar el diagrama de Grotrian del Na con las líneas observadas 4.- Asignar a las diferentes líneas las transiciones que les correspondan. 5.- Utilizar como ayuda las líneas medidas del Na I filtrando la intensidad relativa:

http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/lines_form.html Teoría El sodio tiene de numero atómico Z=11. Las configuraciones electrónicas de los estados de menor energía corresponden a una estructura de capas cerradas más un electrón. Debido al acoplamiento del spin, s, y del momento angular orbital, l, para cada configuración se obtienen dos niveles de energía diferentes (excepto para las configuraciones con momento angular orbital cero) distinguiéndose cada nivel por el valor del número cuántico del momento angular total j. Esta estructura de parejas de niveles próximos que se diferencian únicamente por el valor de j se denomina dobletes. Del mismo modo, en el espectro se observarán parejas de líneas muy próximas que se diferencian únicamente en que la transición correspondiente parte (o llega) de (a) uno de los dos niveles del doblete siendo el otro nivel el mismo en las dos transiciones. En la tabla inferior se indican las energías de algunos niveles del Na. Estas energías están dadas respecto del potencial de ionización (en valor absoluto).

Nivel Energía (cm-1) Nivel Energía (cm-1) 3 2S1/2 41449,6 4 2F7/2, 5/2 6861,0 3 2P1/2 24493,3 5 2S1/2 8248,9 3 2P3/2 24476,1 5 2P1/2, 6406,6

3 2D5/2, 3/2 12276,6 5 2P3/2 6409,1 4 2S1/2 15709,6 5 2D5/2, 3/2 4412,8 4 2P1/2 11182,4 6 2S1/2 5077,0 4 2P3/2 11176,9 6 2D5/2, 3/2 3062,3

4 2D5/2, 3/2 6900,7 7 2S1/2 3437,6 Cuando un electrón está en un nivel excitado puede desexcitarse pasando a cualquier otro nivel siempre que se cumplan las siguientes reglas de selección: ∆l=±1 y ∆j=0, ±1 La luz emitida tendrá una longitud de onda inversamente proporcional a la diferencia de energías de los dos niveles, entre los que se realiza el salto del electrón. Si ponemos la energía en unidades cm-1, la inversa de la diferencia de energías da directamente la longitud de onda en cm.

4. Espectros atomicos de sistemas con dos electrones: Hg

Principio y objetivo Se analizará el espectro del átomo de Hg en el intervalo 250-600 nm y se identificarán las transiciones correspondientes a las líneas presentes en el espectro. Experimental El espectro del átomo de Hg ha sido obtenido utilizando una lámpara de alta presión de Hg de 80 W, un monocromador de 0.3 m de distancia focal provisto de dos redes de difracción de 1200 y 2400 líneas/mm intercambiables y como detector un PMT. Problemas 1.- Analizar el espectro del átomo de Hg y determinar las longitudes de onda de las líneas observadas. 2.- Dibujar el diagrama de Grotrian del Hg I con las líneas observadas 3.- Asignar a las diferentes líneas las transiciones que les correspondan. ¿Qué sucede con la regla de selección ∆S=0? 4.- Comparar los espectros e identificación de líneas para las medidas realizadas con las dos diferentes redes de difracción (1200 y 2400). 5.- Explicar las líneas no identificadas con el espectro teórico del Hg neutro (Hg I):

http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/lines_form.html (Filtrar intensidad relativa > 100)

Teoría El mercurio tiene de numero atómico Z=80. Las configuraciones electrónicas de los estados de menor energía corresponden a una estructura de capas cerradas más dos electrones. Estas configuraciones dan lugar a estados del mismo tipo que los del átomo de He. Es decir, el cálculo de los diversos términos se hace considerando únicamente los dos electrones fuera de capas cerradas y dan lugar a una estructura de singletes y tripletes (ver guión de la práctica del átomo de He) Sin embargo a diferencia de lo que sucede en el átomo de He, la interacción spin-órbita es relativamente pronunciada (acoplamiento j-j, sucede para elementos con Z>50), el desdoblamiento de los tripletes es pronunciado y únicamente el momento angular total

J = L +S es una constante del movimiento y por tanto J es un “buen” número cuántico. Ni el momento angular orbital total, L, ni el spin total, S, son ya constantes del movimiento. Como consecuencia de que S no es un buen número cuántico se obtiene que la regla de selección ∆S=0 no se aplica y se pueden observar en el espectro líneas correspondientes a transiciones en los que la designación del estado superior e inferior tienen distinto valor del número cuántico de spin. Por tanto, las reglas de selección a aplicar serán: ∆lj=∆L=±1; ∆J = 0, ± 1 estando prohibida la J=0→J´=0 y siendo en este caso J=j1+j2, j1+j2-1,j1+j2-2,….,|j1-j2| pudiendo ji tomar todos los valores posibles para cada electrón.

Niveles de energía de Hg I (respecto al estado fundamental E=0)

Configuración Término J Energía (cm-1)

5d106s2 6s2 1S 0 0.000

5d106s(2S)6p 6p 3P 0 1 2

37645.080 39412.300 44042.977

5d106s(2S)6p 6p 1P 1 54068.781

5d106s(2S)7s 7s 3S 1 62350.456

5d106s(2S)7s 7s 1S 0 63928.243

5d106s(2S)7p 7p 3P 0 1 2

69516.66 69661.89 71207.51

5d106s(2S)7p 7p 1P 1 71295.15

5d106s(2S)6d 6d 1D 2 71333.182

5d106s(2S)6d 6d 3D 1 2 3

71336.164 71396.220 71431.311

5d106s(2S)7d 7d 1D 2 77064.097

5d106s(2S)7d 7d 3D 1 2 3

77084.632 77107.917 77129.535

Ejemplo de diagrama de Grotrian para Hg I donde se denotan algunas líneas de emisión

5. ESPECTROS ATOMICOS DE SISTEMAS CON DOS ELECTRONES: He

Principio y objetivo Las líneas espectrales del helio son examinadas mediante una red de difracción. Las longitudes de onda de las líneas espectrales conocidas se determinan del montaje geométrico y de las constantes de la red de difracción.

Equipamiento

) Tubo espectral de helio ) Base trípode ) Soportes para tubos espectrales ) Base cilíndrica ) Cubierta para tubos espectrales ) Barra soporte ) Cable conexión, 50 kV ) Pinzas ángulo recto ) Soporte de la red de difracción ) Regla ) Red de difracción de 600 ) Cursores

líneas/mm ) Cinta métrica ) Fuente de alimentación de alto

voltaje, 0-10kV ) Soportes aislantes

Figura 1: Sistema experimental para la medida de los espectros de He.

Problemas 1.- Determinación de las longitudes de onda de las líneas espectrales más intensas de He. 2.- Dibujar el diagrama de Grotrian del He con las lineas observadas3.- Identificación de las transiciones correspondientes a las longitudes de onda medidas

del He (http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/lines_form.html )

Fuente de luz

Red de

Montaje experimental y procedimiento El montaje experimental se muestra en la Figura 1. El tubo espectral de He conectado a la fuente de alimentación de alto voltaje se utiliza como fuente de radiación. La fuente de potencia se ajusta a aproximadamente 5kV. La escala se fija directamente detrás del tubo espectral con el fin de minimizar los errores de paralaje. La red de difracción debería colocarse a aproximadamente 50 cm y a la misma altura que el tubo espectral. La red debe estar alineada de modo que sea paralela a la escala. El tubo capilar luminoso se observa a través de la red. La habitación debe estar oscurecida hasta un punto en el que todavía sea posible leer la escala. La distancia 2l entre líneas espectrales del mismo color a la derecha y a la izquierda de espectro de primer orden se leen sin mover la cabeza. La distancia d entre la escala y la red también debe medirse.

Las líneas individuales (primer orden) de la lámpara espectral se observan por medio de la red y con la escala métrica se mide la distancia 2l entre líneas iguales.

Teoría y evaluación

1. Si luz de longitud de onda l incide sobre una red de difracción con una constante de la red g, ésta se difracta. Los máximos de intensidad tienen lugar cuando el ángulo de difracción satisface la condición: n ⋅λ = g ⋅ senφ n=0, 1, 2…

De la figura 2 tenemos: l senϕ =

d 2 + l 2

y por tanto:

λ =g ⋅ l

d 2 + l 2

para el primer orden de difracción.

difr

Fuente de luz

Red de

g

Figura 2: Difracción de la luz de longitud de onda λ en la red

accióndifracción

2. La excitación del He se debe a colisiones con electrones. La diferencia de energía producida cuando los electrones pasan del estado excitado E1 al estado fundamental E0 se emite como un fotón con frecuencia ν.

hν = E1 − E0Donde h=6,63⋅10-34 J⋅s.El operador Hamiltoniano (no relativista) para los dos electrones 1 y 2 del átomo de He es:

h2 h2 2e2 2e2 e2H = − Δ1 − Δ 2 − − +r2m 2m 4πε0 r

r1 4πε 0 4πε0 r

r1 − r

r2r2

Donde ħ=h/2π, m y e representan la masa y la carga del electrón respectivamente d 2 d 2 d 2

Δ = + +i dxi

2 dyi2 dzi

2

Es el operador de Laplace y rri es la posición del electrón i-ésimo. La energía de la

interacción spin-órbita Z 4Eso ∝

4 ⋅ (137)2

ha sido ignorada en el hamiltoniano anterior a causa de que es pequeña cuando Z es pequeño.

2 Si se considera e como el término de la interacción electrón-electrón,

4πε0 r r1 − r

r2

entonces los valores propios del Hamiltoniano sin dicha interacción son los del átomo de hidrógeno:

En 0,m = −

8ε

me 2h

4

2 ⎜⎜⎛

⎝ n

12

+ m

12 ⎟

⎟⎞

⎠ n,m=1, 2, 3,…

0 Como la probabilidad de transición para la excitación simultánea de dos electrones es mucho menor que la de la excitación de un electrón, el espectro de energía del sistema sin interacción es:

En 0,m = −

8ε

me 2h

4

2 ⎜⎜⎛

⎝1+

m

12 ⎟

⎟⎞

⎠ m=1, 2,…

0 El término de interacción entre electrones elimina la degeneración con respecto al momento angular que tiene lugar en el espectro del hidrógeno puro y también la degeneración de intercambio. Hay por tanto un ajuste en la energía de los estados:

nlnlnlnlnl AC rr

eE ±= −

= ±±± αα φ

πεφ rr

10

21

4

En el que φnl ±

α son las funciones de onda antisimétricas de dos partículas que no interaccionan con componente espacial simétrica o antisimétrica, l es el número cuántico del momento angular orbital, y α es el conjunto de los demás números cuánticos requeridos. En el caso del He, el momento angular orbital del electrón excitado l es igual al momento angular total de los dos electrones L dado que solo se está considerando un electrón excitado y el segundo permanece en el estado fundamental (l=0).

Cnl y Anl son las energías de Coulomb y de intercambio respectivamente. Ambas son positivas. El acoplamiento del momento angular orbital L con el spin total S produce para S=0 una serie singlete y para S=1 una serie una serie triplete. Debido a la pequeña interacción spin-órbita el desdoblamiento dentro del estado triplete es

pequeño. Las funciones de onda perturbadas son funciones propias de S2 y como S2

conmuta con el operador dipolar, se obtiene la regla de selección: DS=0 resultado característico para los sistemas de 2-electrones con una carga nuclear pequeña (acoplamiento L-S, ver figura 3) luego están prohibidas las transiciones entre tripletes y singletes. Además, indepen diente de la i nteracción s pin-órbita, s e t iene l a r egla d e selección para el momento angular total, ΔJ=0, ±1 estando prohibida l a t ransición J=0 ->J’=0, donde J en este caso vale J=L+S, L+S-1, L+S-2,.....|L-S|.

Como la interacción spin-órbita es pequeña, entonces se verifica ΔL=0,±1 pero dado que hay un solo electrón excitado (L=lj + 0) al que se le aplica la regla de Laporte (Δlj=±1) y el otro permanece en el estado fundamental, la regla se reduce a ΔL=±1.

Niveles de energía del átomo de He I (respecto al nivel fundamental E=0)

Configuración Término J Energía cm-1

1s2 1S 0 0.00 1s.2s 3S 1 159856.08 1s.2s 1S 0 166277.54 1s.2p 3P 2

1 0

169086.87 169086.95 169087.93

1s.2p 1P 1 171135.00 1s.3s 3S 1 183236.89 1s.3s 1S 0 184864.93

1s.3p 3P 2 1 0

185564.66 185564.69 185564.96

1s.3d 3D 3 2 1

186101.65 186101.65 186101.70

1s.3d 1D 2 186105.07 1s.3p 1P 1 186209.47 1s.4s 3S 1 190298.22 1s.4s 1S 0 190940.33 1s.4p 3P

2 1 0

191217.14 191217.15 191217.26

1s.4d 3D 3 2 1

191444.58 191444.59 191444.60

1s.4d 1D 2 191446.56 1s.4p 1P 1 191492.82

Figura 5: Espectro de emisión del He

Figura 4: Diagrama de Grotrian del He

Figura 3: Esquema del acoplamiento L-S

6. SERIE DE BALMER Y DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DERYDBERG

Principio y objetivo Las líneas espectrales del hidrógeno y el mercurio se examinan mediante una red de difracción. Las longitudes de onda de las líneas espectrales de Hg se utilizan para determinar la constante de la red. Las longitudes de onda de las líneas visibles de la serie Balmer se medirán y de ellas se determina el valor de la constante de Rydberg.

Equipamiento

Tubo espectral de hidrógeno Tubo espectral de mercurio Soportes para tubos espectrales Cubierta para tubos espectrales Cable conexión, 50 kV Soporte para la red de difracción Red de difracción de 600 líneas/mm Fuente de alimentación de alto voltaje, 0-10kV

Soportes aislante Trípode Base cilíndrica Barra soporte Pinzas ángulo recto Regla Cursores Cinta métrica

Figura 1: Sistema experimental para determinar las líneas espectrales del átomo de hidrógeno

Problemas

1.- Determinación de la constante de la red de difracción utilizando el espectro del Hg. 2.- Determinación de las líneas visibles de la serie Balmer en el espectro de H. 3.- Estudiar las lineas del H, en particular la serie de Balmer ( http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/lines_form.html4.- Obtención de la constante de Rydberg y de los niveles de energía. 5.- Representar el diagrama de Grotrian para el Hidrógeno con las lineas identificadas

Red de difracción

Tubo espectralPantalla

Ojo

Red de difracción

Tubo espectralPantalla

Ojo

Montaje experimental y procedimiento El montaje experimental se muestra en la Figura 1. Los tubos espectrales de Hg o de He conectados a la fuente de alimentación de alto voltaje se utilizan como una fuente de radiación. La fuente de potencia se ajusta a aproximadamente 5kV. La escala se fija directamente detrás del tubo espectral con el fin de minimizar los errores de paralaje. La red de difracción debería colocarse a aproximadamente 50 cm y a la misma altura que el tubo espectral. La red debe estar alineada de modo que sea paralela a la escala.

El tubo capilar luminoso se observa a través de la red. La habitación debe estar oscurecida hasta un punto en el que todavía sea posible leer la escala. La distancia 2l entre líneas espectrales del mismo color a la derecha y a la izquierda de espectro de primer orden se leen sin mover la cabeza. La distancia d entre la escala y la red también debe medirse (ver Figura 2). En el espectro del Hg son claramente visibles tres líneas. La constante de la red g se determina por medio de las longitudes de onda dadas en la tabla 1.

Figura 2: Difracción en la red

Tabla 1: longitudes de onda observadas en el espectro de Hg

La constante de Rydberg, y la energía de los niveles en el hidrógeno, se determinan de las longitudes de onda medidas por medio de la fórmula de Balmer.

Teoría y evaluación

1. Difracción en la redSi la luz de longitud de onda λ incide sobre una red con una constante g sedifracta. Los picos de intensidad ocurren cuando el ángulo de difracción αcumple la siguiente condición:n⋅λ=g⋅sen α n= 0, 1, 2, … (1)La luz es recogida por el ojo sobre la retina, por lo que la fuente de luz se ve delcolor de la línea espectral observada sobre la escala en la prolongación de loshaces de luz.Para la difracción en el n-ésimo orden se deduce la relación siguiente de laestructura geométrica (Figura 2):

22 ld

lgn+

⋅=⋅λ (2)

2. Espectro del HidrógenoDebido a colisiones el H2 pasa a hidrógeno atómico en el tubo espectral. Loselectrones de los átomos de H son excitados a niveles de energía más altos

Color λ (nm) Amarillo 578,0

Verde 546,1 Violeta 435,8

mediante colisiones con electrones. Cuando vuelven a niveles de energía más bajos los átomos emiten luz de frecuencia ν dada por la diferencia de energía entre los estados involucrados ΔE=h⋅ν (3) Donde h es la constante de Planck. Aplicando el modelo atómico de Bohr, la energía En de un orbital electrónico permitido está dado por:

2220

4 181

nh

meE e

nε

−= n=1,2,3… (4)

Donde ε0=8,8542⋅10-12 F⋅m-1 es la constante dieléctrica, e=1,6021⋅10-19 C es la carga electrónica y me=9,1091⋅10-31 kg es la masa en reposo del electrón. La luz emitida puede tener por lo tanto las siguientes frecuencias:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

22320

411

81

mnh

mee

nmε

ν n, m=1,2,3….(5)

Si el número de onda N=λ-1 es utilizado en lugar de la frecuencia ν sustituyendo c=λ⋅ν se obtiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2211

mnRyN th (6)

Donde 732

0

410097,1

81

⋅==ch

meRy e

thε

m-1

Aquí Ryth es la constante de Rydberg obtenida del modelo atómico de Bohr. De acuerdo al nivel inferior de la transición resultan las siguientes series: * n=1 serie Lyman. Rango espectral: ultravioleta* n=2 serie Balmer. Rango espectral: ultravioleta hasta el rojo* n=3 serie Parchen. Rango espectral: infrarrojo* n=4 serie Bracket. Rango espectral:infrarrojo* n=5 serie Pfund. Rango espectral: infrarrojo

La Figura 3 muestra el diagrama de niveles de energía y las series espectrales del átomo de H. Para m→∞ se obtienen los límites de las series; la energía asociada es, por tanto, la energía de ionización (o energía de enlace) para un electrón en la órbita n-ésima permitida. La energía de enlace puede ser calculada mediante la ecuación: En=-Ryth⋅h⋅c⋅n-2 Donde c=2,99795⋅108 m/s y h=6,6256⋅10-34 J⋅s = 4,13567⋅10-15 eV⋅s. El estado fundamental se encuentra a 13,6eV

Figura 3: Diagrama de niveles de energía del átomo de H Figura 4: Espectro de emisión del átomo de H

Niv

eles

de

ener

gía

Ene

rgía

de

ioni

zaci

ón 1

3,6

eV

Niv

eles

de

ener

gía

Ene

rgía

de

ioni

zaci

ón 1

3,6

eV

7. Determinación del “cuanto de acción” de Planck a partir del efecto fotoeléctrico Principio y objetivo Una fotocelda es iluminada con luz de diferentes longitudes de onda. El cuanto de acción de Planck o constante de Planck h se determina de los voltajes fotoeléctricos medidos. Equipamiento 1. Fotocelda 2. Red de difracción de 600 lineas/mm 3. Filtros de color de 580 nm y 525 nm 4. Soporte de diafragma 5. Rendija ajustable 6. Soporte de lente, f+100mm

7. Lámpara de alta presión de Hg (80W) 8. Cables de conexión rojo y azul 9. Cable BNC 10. Fuente de alimentación lámpara 11. Amplificador de medida 12. Multímetro digital

Sistema experimental y procedimiento Situar la red de difracción en el soporte con el diafragma y colocarlo en la unión de los dos bancos ópticos con la ayuda del soporte de la lente. Colocar la rendija a aproximadamente 9cm. Utilizando la lente convexa (localizada a aproximadamente 20cm), enfocar la rendija sobre la localización del diafragma de entrada a la fotocelda. Seleccionar la anchura de rendija tal que la anchura de la imagen de la rendija sea aproximadamente 1cm. Asegurarse de la correcta disposición del experimento y en especial que los frentes de onda lleguen paralelos a la red de difracción para obtener un patrón de interferencia adecuado donde las líneas estén lo suficientemente resueltas. Por comodidad se recomienda el orden interferencial 1 (el de la derecha mirando a la pared).

Figura 1: Sistema experimental para la determinación de h a partir del efecto fotoeléctrico

Girando el brazo del banco óptico, superponer las imágenes coloreadas de las rendijas sucesivamente sobre la entrada del diafragma y después de algunos segundos determinar el correspondiente valor estable del voltaje. Para evitar tener fracciones de luz UV procedentes del segundo orden de difracción que falseen los valores medidos para las

1 2

3

4 5

6

7

8 9

10 11

12

líneas, colocar filtros de color enfrente del diafragma de entrada con la ayuda del soporte ajustable al diafragma (vidrio coloreado 525nm para la líneas espectrales verdes y vidrio coloreado 580 nm para la línea espectral naranja). Discutir los resultados con y sin filtro teniendo en cuenta el comportamiento de este tipo de dispositivos ópticos. Antes de cada medida, descargar el condensador de entrada del amplificador y comprueba su cero con el diafragma cerrado. Cuando el amplificador ha estado encendido durante aproximadamente 10 minutos, está listo para ser usado. Los valores de los parámetros para llevar a cabo las medidas son los siguientes: multímetro en el rango de 2V DC y amplificador de medida con Electrómetro = Re>1013Ω, Amplificación = 100, Constante de tiempo = 0

Teoría y evaluación La mitad del interior de la fotocelda de alto vacío es un cátodo de potasio recubierto de metal. El ánodo anular es opuesto al cátodo. Si un fotón de frecuencia ν golpea el cátodo, entonces, si hay suficiente energía, un electrón puede ser expulsado desde el metal (efecto fotoeléctrico externo). Algunos de los electrones así expulsados alcanzan el ánodo, de modo que se establece un voltaje entre cátodo y ánodo, el cual alcanza un valor límite U. Los electrones pueden únicamente correr en contra del campo eléctrico establecido por el voltaje U si tienen una energía cinética máxima determinada por la frecuencia de la luz,

donde A es la función trabajo de la superficie del cátodo, v es la velocidad del electrón y m es la masa en reposo del electrón. Por tanto los electrones alcanzarán el ánodo únicamente cuando su energía en el campo eléctrico sea igual a la energía cinética, donde e es la carga del electrón: 1,602⋅10-19 C. Un potencial de contacto adicional φ tiene lugar debido a que las superficies del cátodo y del ánodo son diferentes:

Si asumimos que A y φ son independientes de la frecuencia, entonces hay una relación lineal entre el voltaje U (que se mide con una alta impedancia) y la frecuencia de la luz ν.

De la representación de U frente a ν se determina h mediante ajuste lineal. Las líneas características del Hg son (en nm): Naranja: 578.0 Verde: 546.1 Azul Verdoso: 535.4, 496.0 Azul-Violeta: 435.8, 407.8, 404.7

Los colores son puramente subjetivos al observador y no tienen que coincidir con los nombres dados anteriormente: LO QUE IMPORTA ES LA LONGITUD DE ONDA. Tener en cuenta que se superponen unas a otras en forma de una banda de color predominando las de mayor intensidad relativa: http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/lines_form.html Considerar todos los errores experimentales (sistemáticos, precisión, ambientales, etc…) presentes en este experimento y su influencia en la determinación de la constante h.

8. Experimento de Franck-Hertz

Objetivo de la práctica • Verificación de la separación finita entre niveles energéticos atómicos predichos por la teoría cuántica.• Medida de la separación energética entre el nivel fundamental y el primer excitado del átomo de Hg.

Fundamento teórico El experimento de Franck-Hertz proporciona una confirmación directa de que los diferentes estados en los que puede estar un átomo dado están cuantizados. Se dispone de un vapor de mercurio atómico y se hace incidir sobre dichos átomos un haz de electrones produciéndose colisiones electrón-átomo. La energía cinética que los electrones tienen en el momento de la colisión depende del potencial de aceleración al que se han visto sometidos. Cuando dicho potencial acelerador alcanza un cierto umbral la energía que tienen los electrones es suficiente para excitar los átomos de Hg desde el nivel fundamental hasta el primer nivel excitado, se produce una colisión inelástica con la correspondiente disminución en la energía cinética de los electrones. Al disponer de un electrodo colector de los electrones (ver descripción del sistema experimental), el experimento pone de manifiesto que con bajos potenciales de aceleración en el electrodo colector se mide una corriente que aumenta a medida que el potencial acelerador aumenta, sin embargo cuando el potencial acelerador alcanza el umbral de excitación atómica mencionado anteriormente se observa una importante disminución en la corriente medida en el electrodo colector debido a que la pérdida de energía cinética de los electrones en la colisión no les permite ya alcanzar el electrodo colector. Por tanto la fuerte disminución de la corriente de electrones medida en el electrodo colector pone de manifiesto la existencia de una determinada separación energética entre el nivel fundamental y el primer nivel excitado del átomo de Hg.

Dispositivo experimental El tubo de F-H es un triodo con electrodos plano paralelos: un cátodo C indirectamente calentado, un electrodo (rejilla) acelerador A y un electrodo colector S. La distancia entre el cátodo y la rejilla es grande comparada con la trayectoria libre media de los electrones en el vapor de Hg a la temperatura de funcionamiento de modo que la probabilidad de impacto es alta. En contraste la distancia entre la rejilla y el electrodo colector es corta. Los electrones son acelerados por el potencial U1 y en su recorrido colisionan con los átomos de Hg. Cuando las colisiones son elásticas el electrón después de la colisión tiene una energía cinética muy próxima a la que tenía previa a la colisión (debido a la gran diferencia de masa con el Hg). Por tanto los electrones siguen su recorrido y tendrán suficiente energía como para superar la barrera de potencial entre los electrodos A y S y alcanzar el electrodo colector (S), midiéndose una cierta corriente IA. Si se aumenta el potencial acelerador U1 se observará que la intensidad de corriente IA aumenta. A un determinado valor del potencial acelerador los electrones tendrán energía suficiente como para excitar al átomo de Hg a un nivel de energía superior al fundamental. El electrón pierde en la colisión la energía necesaria para excitar al átomo por lo que ya no tiene energía cinética suficiente para vencer la barrera de potencial y alcanzar el electrodo colector de modo que la corriente IAdisminuye considerablemente. Si se sigue aumentando U1 los electrones siguen teniendo colisiones inelásticas pero aumentará el número de ellos que pueden alcanzar el electrodo colector por lo que aumentará nuevamente la intensidad de corriente siempre que se supere el voltaje inverso U2.

Este experimento y sus implicaciones han sido revisados por Gerald Rapior, Klaus Sengstock, and Valery Baev en un artículo de libre acceso en la red (“New features of the Franck-Hertz experiment”, American Journal of Physics, May 2006, Volume 74, Issue 5, pp. 423). En el artículo se emplea la siguiente notación: U1= UH, U2=U1, U3=U2, A=S, G2=A.

Precaución: Como consecuencia de la producción de iones de mercurio durante el encendido del tubo de F-H se observa que se forma una descarga luminiscente a un voltaje de aceleración crítico. La corriente incrementa entonces súbitamente y puede exceder la máxima corriente del amplificador. Por tanto, cuando tiene lugar la descarga, el voltaje de aceleración deber ser inmediatamente reducido hasta que la descarga desaparece. Si se utiliza la unidad de control entonces la fuente de alimentación se apaga automáticamente después de 7s para evitar las descargas. Se recomiendan los siguientes parámetros: T = 175 ± 10 ºC ; U1

= 0….60 V ; U2

= 2.0 ± 0.5 V ; UH = 6,3 ± 0,5 V que implica una corriente de la fuente de

calentamiento ‹ 150 mA No poner el voltaje de calentamiento (UH) demasiado alto para evitar las descargas y el daño al tubo de mercurio. Si tiene lugar la descarga a voltajes de aceleración que son demasiado bajos, se debe incrementar la temperatura del horno o sino se debe disminuir el voltaje de calentamiento. Cuanto mayor es la temperatura del horno mayor es la temperatura a la que el tubo se enciende. También, la corriente media recogida, y correspondientemente el valor absoluto de su máximo disminuye al incrementar la temperatura del horno. El primer máximo en la curva corriente/voltaje puede encontrarse mejor a temperaturas bajas. Generalmente se utilizan temperaturas alrededor de 175 ºC. Sin embargo, en algunas circunstancias se pueden obtener mejores resultados experimentales a temperaturas más bajas (hasta 160 ºC) o a temperaturas más altas (hasta 190 ºC).

Para obtener el espectro característico de F-H se debe medir la dependencia de la corriente medida IA con el voltaje de aceleración U1 que se variará desde 0 a 60 V. La corriente medida debe ser menor a 1 mA, es decir, el tubo de Hg no debe estar nunca próximo a encenderse. Notas: • Debido a las variaciones de la temperatura del horno se pueden obtener valores ligeramente

diferentes de la corriente medida en las repeticiones de las medidas para el mismo voltaje deaceleración. Sin embargo las posiciones de los máximos no se ven afectadas.

• Las posiciones de los máximos para la corriente medida permanece sin cambios cuando cambia elvoltaje inverso pero la posición de los mínimos cambia un poco. El nivel de la corriente mediarecogida disminuye cuando se incrementa el voltaje inverso (U2).

Cuestiones 1.- Describir lo que sucede cuando se varía el potencial de aceleración. ¿Qué características presenta la curva IA=f(U1) obtenida? ¿Por qué se obtienen varios mínimos? 2.- Describir el efecto que tiene la variación del potencial de barrera 3.- Describir el efecto que tiene la variación del potencial del calentamiento del cátodo 4.- Determinar la separación energética entre estado fundamental y primer excitado 5.- ¿Es ΔVn=Vn-Vn+1

constante? (Vn es el voltaje al cual se produce el n-ésimo mínimo) En caso

negativo, ¿crece o disminuye con n? ¿concuerda este resultado con las observaciones de Rapior, Sengstock y Baev? 6.- Determinar la longitud de onda que emitirá el átomo al volver al estado fundamental. 7.- ¿Qué ocurre cuando U1 + UH - U2 < 4.67V?

New features of the Franck-Hertz experimentGerald Rapior, Klaus Sengstock, and Valery Baeva�

Institut für Laser-Physik, Universität Hamburg, Luruper Chaussee 149, 22761 Hamburg, Germany

�Received 29 September 2005; accepted 20 January 2006�

The fundamental properties of the signal structure in Franck-Hertz experiments are analyzed. Thecentral result is that the spacings between the minima in Franck-Hertz curves are not equidistant butincrease linearly with the number of minima. This increase is especially pronounced at low atomicpressure. We suggest that the increase of the spacings is caused by the additional acceleration ofelectrons over their mean free path after the excitation energy is reached. Our model accuratelyestimates the lowest excitation energies of mercury �4.67 eV� and neon �16.6 eV� atoms and themean free path of electrons in standard Franck-Hertz experiments. These results contradict the usualassumption that the spacings between successive minima or maxima are equal. We demonstrate thata standard Franck-Hertz apparatus can be upgraded to do more advanced experiments. © 2006American Association of Physics Teachers.

�DOI: 10.1119/1.2174033�

I. INTRODUCTION

The Franck-Hertz experiment on electron-mercury colli-sions is one of the key demonstrations of the quantum be-havior of atoms and provides a direct nonoptical demonstra-tion of the existence of discrete stationary energy levels inatoms. In 1925 Franck and Hertz received the Nobel Prizefor this work.1,2 It is widely used in undergraduate physicsteaching laboratories. Usually the experiment is limited tothe determination of the energy required to excite the firstenergy levels of mercury or neon atoms.

A typical arrangement of the Franck-Hertz experimentwith a Hg or Ne tube is shown in Fig. 1. The tube consists ofan indirectly heated cathode C, two grids G1 and G2 sepa-rated by a distance L, and an anode A. A small voltage U1can be applied between the cathode C and grid G1 to controlthe emission of electrons. The presence of this voltage is notcritical and in some tubes G1 is absent. An accelerating volt-age U2 is applied between the two grids, where electrons cangain enough energy to create inelastic collisions with atoms.A small retarding voltage U3 is applied between grid G2 andanode A so that an electron that has undergone an inelasticcollision close to G2 has insufficient energy to reach the an-ode. The mercury tube needs to be heated to a temperaturebetween 140 °C and 200 °C so that mercury pressure is suf-ficiently high.

When the electron energy is high enough to overcome theretarding potential U3, they reach the anode and are includedin the measured anode current I. Electrons with an energyless than eU3 are unable to reach the anode and are collectedby the grid G2 instead. For small accelerating voltages U2 theanode current characteristics of a Franck-Hertz tube are simi-lar to that of a triode. For greater voltages U2, electrons areaccelerated between the grids until they have enough energyto excite an atom. At this voltage the anode current decreasesand passes through a minimum when almost every electronhas suffered an inelastic collision. Subsequently the excitedatoms return to their ground state by the spontaneous emis-sion of a photon. At the voltage corresponding to the currentdip a light emission in the tube near the second grid can beobserved.3,4 A further increase of U2 leads to the additionalacceleration of electrons until they gain enough energy toexcite an atom again. As a result the anode current passes

through its second minimum, corresponding to two inelastic

423 Am. J. Phys. 74 �5�, May 2006 http://aapt.org/ajp

collisions of each of the free electrons with atoms. This pro-cess repeats with the increase of the voltage U2, and severalcurrent dips can be observed at nearly integer multiples ofthe excitation energy of the atoms in the current-voltage dia-gram �the Franck-Hertz curve�.

It is generally assumed that all the maxima or minimaspacings in Franck-Hertz curves are equal and correspond tothe first excitation energy of atoms.4–8 It is even suggestedthat the magnitude of the lowest excitation energy can becalculated by using the mean value of the maxima8 orminima9 spacings. Depending on the pressure in the tube andthe number of measured spacings, these determinations forHg atoms range from 4.8 to 5.1 eV. This result contradictsthe expected value10 of 4.67 eV for the lowest excitation inHg atoms, 6 1S0→6 3P0 �see Fig. 2�. Higher values for thelowest excitation energy of Hg atoms determined from theexperimental data have usually been identified with the tran-sitions to the second 6 1S0→6 3P1 �4.89 eV� or to the third6 1S0→6 3P2 �5.46 eV� excited levels, which are claimed tobe stronger.7

It is not generally realized that the spacings between themaxima and the minima in the experimental records are notequidistant, although the continuous increase of these spac-ings as a function of the order of the minima or maxima isusually visible.4–9 In this article we present data that demon-strates the increase of the spacings and introduce a modelexplaining this increase. Our model provides accurate deter-minations of the energies of the first excitation levels of mer-cury and neon atoms that compare well with published val-ues. In addition, we obtain information on the mean free pathof the electrons and on the cross section of inelastic colli-sions of electrons with atoms.

II. EXPERIMENTS WITH A MERCURY TUBE

The Franck-Hertz experiment with Hg atoms has been per-formed with a commercial experimental apparatus.9 It issimilar to the apparatus shown schematically in Fig. 1 exceptthe grid G1 is absent. The distance between the cathode andgrid G2 is L=7 mm. Figure 3 shows a Franck-Hertz curvewith the Hg tube at the temperature T=170 °C. The anodecurrent increases and oscillates as the voltage U2 increasesand shows 12 dips of the anode current. The separation be-

tween the 4th and the 12th dip is 39.1 V. The first three dips

423© 2006 American Association of Physics Teachers

are not very well defined and are excluded from the dataanalysis. The mean spacing is �39.1 V� /8=4.89 V and islarger than the first excitation energy in mercury, 4.67 eV.An accurate evaluation of the individual spacings betweenthe minima as well as between the maxima reveals their sys-tematic increase. The spacing between the 4th and the 5thminimum is 4.78 eV, whereas the spacing between the 11thand the 12th minimum is 5.03 eV. We will show that thisincrease is due to the additional acceleration of electronsover the mean free path after the excitation energy has beenreached, but before inelastic collisions with atoms occur.

The observed increase of the spacing between the maximaand minima varies with the temperature of the Hg tube.Figure 4 shows that three spacings in the Franck-Hertz curveat 145 °C correspond to 3.25 spacings at 200 °C. This ob-

Fig. 1. Schematic diagram of the Franck-Hertz experiment.

Fig. 2. Lowest energy levels in Hg �Ref. 10�.

424 Am. J. Phys., Vol. 74, No. 5, May 2006

servation supports our model, because the mean free path ofthe electrons decreases with the atomic density and thereforewith the tube temperature.

III. MODEL OF INELASTIC COLLISIONS

Figure 5 shows the motion of an electron between twogrids in a Hg tube in the presence of the accelerating poten-tial U2. While it accelerates the electron gains energy andcollides with mercury atoms. If the electron energy is smallerthan the lowest excitation energy of the mercury atoms, thecollisions are elastic and the energy loss by the electron isvery small because of the large mass difference between thecolliding particles. If the electron energy reaches the excita-tion threshold of Hg atoms, inelastic collisions may occur.Before the inelastic collision takes place, an electron mustcome close to a mercury atom. The average distance that anelectron moves before the inelastic collision takes place isthe mean free path �. The electrons continue to gain energyover a distance equal to the mean free path and can excite notonly the lowest but also one of the higher energy states of the

Fig. 3. Typical Franck-Hertz curve recorded with Hg tube at 170 °C.

Fig. 4. Franck-Hertz curves recorded with Hg atoms at two different tubetemperatures. The curves are shifted horizontally so that two of the maxima

coincide.

424Rapior, Sengstock, and Baev

atoms. This phenomenon significantly modifies the Franck-Hertz curves and has to be taken into account when analyz-ing the experimental data.

Figure 6�a� shows the energy gain of a free electron mov-ing in the tube between the two grids. The potential U2 is setslightly above the first excited state of the atoms so thatelectrons, after reaching the lowest excitation energy Ea,move an additional distance � before they reach the secondgrid G2. Over this distance the electrons gain the additionalenergy �1 and with a high probability inelastically collidewith atoms. We assume that an electron loses most of itsenergy after an inelastic collision, corresponding to the idea

Fig. 5. Schematic of the energy transfer from electrons to atoms.

Fig. 6. Electron energy between grids G1 and G2 in a Franck-Hertz tubewith an accelerating voltage sufficient for one �a� and two �b� inelasticcollisions. Ea is the lowest excitation energy of atoms, and �1 and �2 are

additional energies gained by the electrons along the mean free path �.

425 Am. J. Phys., Vol. 74, No. 5, May 2006

that there are many other energy states in the atom above Eathat can be excited. This assumption is justified for both Hgand Ne atoms.

Figure 6�b� illustrates how an electron gains energy at ahigher accelerating potential in comparison to Fig. 6�a�. Be-cause the electric field is higher, electrons gain more energy��2��1� along the mean free path �. Electrons inelasticallycollide twice with atoms and their total energy gained in theelectric field between two grids is E2=2Ea+2�2. This casecorresponds to the second minimum in a Franck-Hertz curve.

For n inelastic collisions the energy gained by the elec-trons is

En = n�Ea + �n� . �1�

At typical tube pressures, the mean free path of the electronsis much less than the distance between two grids, ��L. Withthis assumption we have �n�Ea and

�n = n�

LEa. �2�

If we use Eqs. �1� and �2�, the spacing between two minimain a Franck-Hertz curve is given by

�E�n� = En − En−1 = �1 +�

L�2n − 1��Ea. �3�

Equation �3� shows that the spacing �E�n� between theminima increases linearly with the minimum order n. Thelowest excitation energy Ea derived from Eq. �3� is

Ea = �E�0.5� . �4�

This value corresponds to the minima spacing �E�n� ex-trapolated to n=0.5. As a consequence the lowest excitationenergy of atoms cannot be directly measured from Franck-Hertz curves as is usually suggested, because this energy issmaller than the first measured spacing at n=2, that is, be-tween the first and the second minimum. �The spacing forn=1 is usually not evaluated because it depends on tubeparameters.�

The mean free path of the electrons can also be derivedfrom Eq. �3�,

� =L

2Ea

d�E�n�dn

. �5�

We have assumed that the electric field between the grid G2and the anode is much stronger than the field between thetwo grids. In a typical Franck-Hertz experiment this condi-tion is satisfied because the distance between the two grids isusually much larger than the distance between the secondgrid G2 and the anode, but in the following we will give anexample where this condition is not satisfied.

IV. THE LOWEST EXCITATION ENERGYOF Hg ATOMS AND THE MEAN FREE PATHOF THE ELECTRONS

Our measured results for the Franck-Hertz experimentwith a mercury tube at different temperatures are shown inFig. 7. The measured spacings �E between the minima ofthe Franck-Hertz curves are shown as a function of the mini-mum order n for four temperatures 145 °C�T�190 °C ofthe tube, together with the linear fits according to Eq. �3�.

These results show a linear increase of the spacings with n

425Rapior, Sengstock, and Baev

for all temperatures according to Eq. �3�. We have not ob-served a decrease of the spacings as expected from the alter-native model, which takes into account the nonuniform dis-tribution of the electric field in the experiments.11 The slopeof the linear fits of �E�n� in Fig. 7 decreases with the tem-perature. This decrease is expected from our model becausethe mean free path of the electrons in the mercury tube de-creases with atomic density and therefore with the tube tem-perature.

Figure 7 shows that all the linear fits to the experimentaldata converge at approximately n=0.5 �dashed line�. Accord-ing to Eq. �4� the value of �E�0.5� corresponds to the lowestexcitation energy Ea of the atoms. The values of �E�0.5�obtained from the linear fits of the data for nine temperaturesin the range 140 °C�T�200 °C are shown in Fig. 8. Theerror bars show a lower limit because they only include sta-tistical errors obtained from the linear fits. Within the ex-pected accuracy the minima spacings show no dependenceon the temperature; their mean value 4.65±0.03 V corre-sponds to the lowest excitation energy, 4.67 eV, in Hg atoms�6 1S0→6 3P0�.10 To our knowledge, this experiment is thefirst determination of the lowest excitation energy of Hg at-oms made with a standard Franck-Hertz experiment. Notethat even the energy resolved measurements with more so-

Fig. 7. Spacings �E between the minima in the Franck-Hertz curves mea-sured with a Hg tube at four temperatures as a function of the minimumorder n. The corresponding linear fits �solid lines� according to Eq. �3� arealso shown.

Fig. 8. Lowest excitation energy in Hg-atoms determined with Eq. �4� byevaluating minima �filled square� or maxima ��� spacings as a function of

the tube temperature T.

426 Am. J. Phys., Vol. 74, No. 5, May 2006

phisticated versions of the Franck-Hertz experiment do notresolve the lowest excited state 6 3P0 in mercury.6,12

The determination of the lowest excitation energy of mer-cury is often performed by measuring the spacings betweenthe maxima in Franck-Hertz curves. To verify this approachwe determined the values of Ea from the spacings betweenthe maxima. Figure 8 shows that these values are lower thanexpected and vary with the tube temperature. The reason isthat the maxima correspond to inelastic collisions of rela-tively high energy electrons. The distribution of the electronenergy depends on various tube parameters and varies withthe maximum order. Moreover, the accuracy of the measure-ments of the positions of the maxima is affected by the over-lap of the oscillations and a rapid general increase of theanode current. Therefore, it is more appropriate to determinethe spacings between the minima of the current. The minimacorrespond to inelastic collisions of the electrons possessingthe most probable energy and hence to the local maxima ofthe light emission in the tube.4

The mean free path � of the electrons for inelastic colli-sions in the tube is determined according to Eq. �5� by theslope of the linear fit of �E�n�. The values corresponding tothe data in Fig. 7 are given in Table I. The mean free pathdecreases with the temperature and thus with the atomic den-sity N as10

� =1

N�=

kBT

p�, �6�

where � is the cross section for inelastic collisions, kB isBoltzmann’s constant, p is the pressure of the mercury vapor,and T is the tube temperature expressed in Kelvin. In thetemperature range from 300 to 500 K the mercury pressure p�in Pa� is approximated13

p = 8.7 � 10�9−�3110/T��. �7�

Figure 9 shows the values of the mean free path � deter-

Table I. The values of the mean free path � of the electrons in the Hg tubefor different temperatures.

T �°C� 145 160 175 190

d�E /dn �V� 0.091 0.049 0.039 0.02� �mm� 0.097 0.052 0.041 0.022

Fig. 9. Dependence of the mean free path � on the tube temperature. The

curve represents the fit of the experimental data to Eq. �6�.

426Rapior, Sengstock, and Baev

mined in the experiment as a function of the temperature.The curve is the fit of the experimental data using Eqs. �6�and �7�. The cross section for inelastic collisions obtainedfrom this fit is �= �2.1±0.1��10−19 m2. This value agreeswith the cross section for the electron excitation of the mer-cury state 6 3P0 given in Ref. 7.

V. EXPERIMENTS WITH A NEON TUBE

We also performed Franck-Hertz experiments with neon.This experimental setup �Leybold Didactic GmbH, model555870� is similar to the setup shown in Fig. 1. The curvesmeasured with a neon tube at different values of the retardingpotential U3 are shown in Fig. 10. The minima of thesecurves reveal a systematic substructure. We explain this sub-structure by the excitation of additional energy levels of neonatoms above the lowest excited state. Figure 11 shows thatthe first 14 excited levels in neon are divided into twogroups, Ea1 and Ea2, with a spacing of about �E=1.7 eV.14

According to our model, electrons gain additional energyover the mean free path and excite not only the lowest en-

Fig. 10. Franck-Hertz curves recorded with a Ne tube at several retardingvoltages U3.

Fig. 11. Selected energy levels of neon �Ref. 14�.

427 Am. J. Phys., Vol. 74, No. 5, May 2006

ergy level Ea1 of Ne atoms, but also one of the higher excitedstates, for example, Ea2. Therefore, the minima in theFranck-Hertz curves are divided into local dips correspond-ing to the energy separation between Ea1 and Ea2. The num-ber of the dips increases with the minimum order, becausethe electrons exciting Ea2 and Ea1 levels have different initialconditions for the next inelastic collision. The evidence forthe excitation of Ea2 levels in neon is provided by the visiblelight emitting zones inside the Franck-Hertz tube in the rangefrom 540 to 744 nm. This emission corresponds to the spon-taneous transition in neon atoms from Ea2 to Ea1 levels. Wesee that a standard commercial Franck-Hertz experiment al-lows us to resolve different energy states in neon, which canbe easily incorporated into the observations by undergradu-ate students.

The presence of local dips in Franck-Hertz curves offersan alternative way of evaluating the mean free path of elec-trons. Figure 10 shows that the second local dip in the thirdminimum of the Franck-Hertz curves becomes dominant,which means that the mean free path is large enough forelectrons to gain the additional energy of �E=1.7 eV. There-fore, the value of � can be estimated as:

� =�E

eU2L . �8�

With �E=1.7 eV, U2=60 V �third minimum�, and L=6 mm, the mean free path of the electrons for inelasticcollisions in the neon tube is �=0.17 mm.

The mean free path of the electrons in the neon tube canbe estimated in the same way as for the mercury tube byusing Eq. �5�, assuming a homogeneous distribution of thelower excited levels in atoms, and neglecting the local dipsubstructure in Franck-Hertz curves. The spacing betweenthe main minima in the Franck-Hertz curves for the neonatoms is shown in Fig. 12 as a function of n. Similar to themercury tube, the spacings increase linearly with n. Accord-ing to Eq. �4� the energy of the lowest excited level of neonatoms can be determined from the linear fit of �E�n� asEa1=�E�0.5�=16.5±0.2 eV. This value compares well withthe data in Fig. 11. The slope of the linear fit of �E�n� in Fig.

Fig. 12. Spacings between minima in the Franck-Hertz curve measured witha Ne tube as a function of the minimum order n. The corresponding linear fit�solid line� according to Eq. �3� is also shown.

12 is d�E /dn=1 V. From this slope and Eq. �5�, the mean

427Rapior, Sengstock, and Baev

free path of the electrons in the neon tube is �=0.18 mm.This value is in good agreement with our estimate fromEq. �8�.

Figure 10 shows that an increase in the retarding potentialU3 shifts the Franck-Hertz curves to the right, which meansthat a higher accelerating voltage U2 is required to reach thesame minima in the Franck-Hertz curve. The reason is thatthe excitation of neon atoms occurs not only in front of thegrid G2, but also behind this grid, especially if the electricfield between G2 and the anode is less than the field betweenthe two grids, as is shown in Fig. 13�a�. At high values of U3�see Fig. 13�b�� the excitation occurs mostly before the gridG2, which corresponds to the approximation of our model.For many minima, the influence of the retarding potential U3is important for the last excitation only and Eq. �3� becomesaccurate for both cases.

VI. SUMMARY

We have discussed a new observation for the Franck-Hertzexperiment for mercury and neon tubes; that is, the spacingsbetween the minima in a Franck-Hertz curve increase lin-early with the number of minimum. To explain this effect wehave taken into account the additional acceleration of theelectrons over their mean free path after the excitation en-ergy is reached. The model is consistent with experimentaldata and allows an accurate estimate of the lowest excitation

Fig. 13. Electron energy E between the grid G1 and anode A at �a� low and�b� high values of the retarding potential U3. Ea is the lowest excitationenergy of the atoms and �1 is the additional energy gained by the electronalong the mean free path �.

energy of the atoms and the mean free path of the electrons.

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We also presented the first accurate determination of the en-ergy of the first excited levels in mercury and neon using astandard Franck-Hertz experiment. Franck-Hertz curves ob-tained with a mercury tube at different temperatures show areciprocal dependence of the mean free path of the electronson the atomic density and permit us to determine the crosssection of inelastic collisions of electrons with atoms. Ourapproach upgrades a typical Franck-Hertz experiment from ademonstration to an experiment well suited for advanced un-dergraduate laboratories.

ACKNOWLEDGMENTS

The authors appreciate the support of Phywe SystemeGmbH & Co. KG, which supplied a new version of theFranck-Hertz apparatus.

a�Electronic mail: baev@physnet.uni-hamburg.de1J. Franck and G. Hertz, “Über Zusammenstöße zwischen Elektronen undMolekülen des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung des-selben,” Verh. Dtsch. Phys. Ges. 16, 457–467 �1914�.

2Nobel Lectures, Physics, 1922–1941 �Elsevier, Amsterdam, 1965�, pp.98–129.

3J. S. Huebner, “Comment on the Franck-Hertz experiment,” Am. J. Phys.44, 302–303 �1976�.

4W. Buhr and W. Klein, “Electron impact excitation and UV emission inthe Franck-Hertz experiment,” Am. J. Phys. 51, 810–814 �1983�.

5D. R. A. McMahon, “Elastic electron-atom collision effects in theFranck-Hertz experiment,” Am. J. Phys. 51, 1086–1091 �1983�.

6F. H. Liu, “Franck-Hertz experiment with higher excitation level mea-surements,” Am. J. Phys. 55, 366–369 �1987�.

7G. F. Hanne, “What really happens in the Franck-Hertz experiment withmercury,” Am. J. Phys. 56, 696–700 �1988�.

8W. Fedak, D. Bord, C. Smith, D. Gawrych, and K. Linderman, “Automa-tion of the Franck-Hertz experiment and the Tel-X-Ometer x-ray machineusing LABVIEW,” Am. J. Phys. 71, 501–506 �2003�.

9M. Brai, R. Butt, A. Grünemaier, K. Hermbecker, and O. Schenker,“Laboratory experiments: Physics,” PHYWE series, LEP 5.1.03. See�http://www.fizika.org/skripte/of-prakt/5_1_03.pdf�.

10H. Haken and H. C. Wolf, The Physics of Atoms and Quanta, 6th ed.�Springer, Heidelberg, 2000�, p. 305.

11 F. Sigeneger, R. Winkler, and R. E. Robson, “What really happens withthe electron gas in the famous Franck-Hertz experiment?,” Contrib.Plasma Phys. 43, 178–197 �2003�.

12P. Nicoletopoulos, “Critical potentials of mercury with a Franck-Hertztube,” Eur. J. Phys. 23, 533–548 �2002�.

13A. N. Nesmeyanov, Vapor Pressure of the Chemical Elements, edited byR. Gary �Elsevier, Amsterdam, 1963�.

14C. E. Moore, Atomic Energy Levels �National Bureau of Standards, Wash-

ington, D.C., 1949�, Vol. I, p. 76.

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