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SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

TEORIA Y PROBLEMASDE

MECANICA TEORICAcon una introduccin a lasEcuaciones de Lagrange ya la Teora Hamiltoniana

POR

MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D.Profesor de Matemticas

Re nsselaer Poly technic Institute

TRADUCCION Y ADAPTACION

Joss ALssRro Porror

holexor Uniuersidod Nocionol d,e Cslombio

LIBROS MeGRAW-HILLMEXICO PANAMA MADRID BOGOTA SAO PAULO NUEVA YORK

AUCKLAND DUSSELDORF JOHANNESBURG LONDRES MONTREAL NUEVA LELHIPARIS SINGAPUR SAN FRANCISCO ST. LOUIS TOK I O TORONTO

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MECANICA TERICAProhibida la reproduccin ttal o parcial de esta obra,por cualquier medo, sn autorizacn escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS

Copyright @ ISZS, respecto a la edicin en espaol porLIBROS McGRAW-HILL DE MEXICO, S. A. de C. V.

Atlacomulco 499- sOi , Naucatpan de Jurez, Edo. de MxicoMiembro de la Cmara Nacional de la Ind. Edtoral. Reg. nm.4650-07-091877-5Traducido de la primera edicin en ingls de

THEORICAL MECHANCScopyrisht @ tsez, by McGRAW-HILL BOOK, Co., lNC" U.S.A.

2345678901 CC-76 7123,5d}87lmpreso en Mxico Printed in Mexico

Esta obrs se termin en abril de 1977en Offset Rebosn, S. A.,Zacahuitzco 40, Mxico. D. F.Se tiraron 2 0(X) eiemplares

PrlogoEn el siglo 17, Sir Isaac Newton, formul sus famosas leyes de Ia mecnica. Estas le-yes, de una maravillosa sencillez, sirvieron para describir y predecir los movimientosde Ios objetos visibles en el universo, incluyendo los de los planetas de nuestro sistema

solar.A comienzos del siglo 20 se descubri que varias de las conclusiones tericas deduci-das de las leyes de Newton, no estaban de acuerdo con algunas conclusiones deducidastanto de Ia teora del electromagnetismo como de los fenmenos atmicos, igualmentebien fundamentados en hechos experimentales. Estas discrepancias dieron lugar a la

mecnica relatiuista de Einstein que revolucion los conceptos de espacio y tiempo, ya la mecnica cuntico. Sin embargo, para objetos que se mueven con velocidades muchomenores que la de la luz y cuyas dimensiones son grandes comparadas con las de los to-mos y molculas, la mecnica newtoniana, tambin llamada clsica, sigue siendo com-pletamente satisfactoria, y por esta razn mantiene su importancia fundamental en lasciencias y la ingeniera.

EI propsito de este libro es presentar la mecnica newtoniana y sus aplicaciones.El Iibro est orientado de manera que puede usarse como suplemento a todos los textosde uso corriente, o como texto en un curso formal de mecnica. Tambin ser til a losestudiantes que siguen cursos de fsica, ingeniera, matemticas, astronoma, mecnicaceleste, aerodinmica y en general cualquier campo que requiera en su formulacin losprincipios bsicos de la mecnica.

Cada captulo comienza con una presentacin clara de las definiciones, principiosy teoremas junto con ilustraciones y material descriptivo, seguido de grupos graduadosde problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilus-trar y ampliar la teora, haciendo nfasis en aquellos puntos sutiles sin dominar, los cua-Ies el estudiante no se siente nunca seguro, y permiten la repeticin de los principiosbsicos, que es tan importante para un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltosse incluyen muchas demostraciones de teoremas y deducciones de resultados bsicos.Un gran nmero de problemas propuestos, con sus respuestas, sirve como un repaso muycompleto del material de cada captulo.

En los temas tratados se incluyen Ia dinmica y esttica de una partcula, sistemasde partculas y cuerpos rgidos. Se introducen desde el comienzo y se usan a lo largo deltexto los mtodos vectoriales, que se prestan tan bien para la notacin concisa y las in-terpretaciones fsicas y geomtricas. En el primer captulo se hace una exposicin sobrevectores que puede estudiarse al comienzo o bien utilizarse como referencia cada vezque sea necesario. Adems estn los captulos sobre las ecuaciones de Lagrange y Iateora hamiltoniana, que dan lugar a formulaciones equivalentes de Ia mecnica newto-niana y que son de gran utilidad prctica y terica.

Se ha incluido mucho ms material del que se puede ver por lo general en un cursocorriente; y esto se ha hecho para dar al libro mayor flexibilidad, hacerlo ms til comoobra de consulta, y estimular el inters en los temas.

Aprovecho esta oportunidad para agradecer al personal de la Schaum Publishing Com-pany su magnfica colaboracin.

M. R. Sprncnl

Captulo I

TABLA DE MATERIASPgina

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION IMecnica, cinemtica, dinmica y esttica. Fundamentos axiomticos de lamecnica. Modelos matemticos. Espacio, tiempo y materia. Escalares y vec-tores. Algebra vectorial. Leyes del lgebra vectorial. vectores unitarios.Vectores unitarios rectangulares. componentes de un vector. producto esca-lar o producto punto. Producto vectorial o producto cruz. productos triples.Derivacin de vectoes. Integracin de vectores. Velocidad. Aceleracin. ve-locidad y aceleracin relativas. Aceleracin nomal y tangencial. Movimientocircula. Notacin para derivadas con respecto al tiempo. Gradiente, dive-gencia y rotacional. Integrales de lnea. Independencia de la trayectoria.Vectores libes, deslizantes v fiios.

Captulo 2 LEYES DE NEWTON SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO,ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTOLeyes de Newton. Definicin de fuerza y masa. unidades de fueza y masa.Sistemas inerciales de diferencia. Movimiento absoluto. Trabajo. potencia.Energa cintica. campo de fuerza conservativo. Energa potencial o potencial.conservacin de la energa. Impulso. Momento de una fuerza y momentum an-gular. conservacin del momentum. conservacin del momentum angular.Fuerzas no conservativas. Esttica o equilibrio de una partcula. Estabilidaddel equilibrio.

33

Captulo 3 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME. CAIDA DECUERPOS Y PROYECTILEScampos uniformes de fuerza. Movimiento unifomemente aceleado. peso yaceleracin debidos a la gravedad. Sistema gravitacional de unidades. supo-sicin de que la Tiena es plana. cuerpos en cada libre. proyectiles. potencialy energa potencial en un campo uniforme de fuerza. Movimiento en un medioresistente. Sistemas aislados. Movimiento sometido a constricciones. Rnza-miento. Esttica en un campo gravitacional uniforme.

62

Captulo 4 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLEoscilado armnico simple. Amplitud, perodo y fecuencia del movimiento ar-mnico simple. Energa de un oscilador armnico simple. oscilador armnicoamortiguado. Movimiento sobreamortiguado, crticamente amortiguado y bajo-amortiguado. oscilaciones forzadas. Resonancia. Pndulo simple. osciladoarmnico en dos y tres dirnensiones.

86

Captulo o FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO . I16Fuezas centrales. Algunas propiedades importantes de los campos de fuerzacentral. Ecuaciones del movimiento para una partcula en un campo cental.Ecuaciones importantes deducidas de las ecuaciones del rnovimiento. Energapotencial de una partcula en un campo cental. conservacin de la energa.Determinacin de la rbita debida a una fueza central. Deteminacin de lafuerza central conocida la rbita. secciones cnicas, elipse, parbola e hiprbole.Algunas definiciones en astronoma. Leyes de Kepler del movimiento planetario.Ley de la gravitacin universal de Newton. Atracciones de esferas y otros obje-tos. Movimiento en un campo de fuerza dependiente del inverso del cuadrado.

Captulo 6

TABLA DE MATERIAS

SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTOSSistemas coordenados no inerciales. sistemas coordenados en r

CaptuIo

TABLA DE MATERIAS

1 I EcuAcroNES DE LAGRANGEMtodos generales de la mecnica. coodenadas generalizadas. Notacin.Ecuaciones de tasformacin. Clasificacin de los sistemas mecnicos. Siste-mas escleronmicos y reoimicos. Sistemas holonmicos y no-holonmicos.Sistemas conservativos y no-.conservativos. Energa cintica. Velocidadesgeneralizadas. Fuezas generalizadas. Ecuaciones de Lagrange. Momentageneralizados. Ecuaciones de Lagrange para sistemas no-holonmicos. Ecua-ciones de Lagrange con fuerzas impulsivas.

Pgina

282

caprulo 12 TEORIA HAMILTONIANA . 3I1Mtodos hamiltonianos. La hamiltoniana. Ecuaciones de Hamilton. La ha-miltoniana cclicas o ignorables. Es-pacio de fa variaciones. principio deHamilton. Condiciones para que unatrasfomaci Ecuaciones de Hamilton-Jacobi. soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. caso en que lahamiltoniana es independiente del tiempo. Integrales de fase. Vaiables an-gulares y de accin.

APENDICE A UNIDADES Y DIMENSIONES 339APENDICE B DATOS ASTRONOMICOS 342

APENDICE C SOLUCIONES DEESPECIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES 344

APENDICE D INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES 356INDICE 36r

Coptulo I

Vectores, velocidod y ocelerocin

MECANICA, CINEMATICA, DINAMICA Y ESTATICALa mecnica es una rama de la fsica que trata del movimiento o cambio de posicin

de los cuelpos. Algunas veces se subdivide en:1. cinemtica, la cual trata del estudio de la geometa del movimiento.2. Dinmica, la cual trata de las causas fsicas del movimiento.3. Esttica, la cual trata de las condiciones con las cuales no hay movimiento aparente.

FUNDAMENTOS AXIOMATICOS DE LA MECANICAUn desarrollo axiomtico de la mecnica, como para cualquier ciencia, debe contenerlos siguientes elementos bsicos:

1. Trminos o conceptos no definidos. Es clara su necesidad ya que en ltimo trminocualquier definicin debe basarse en algo que no est definido.

2. Afirmacones no comprobadas. Hay enunciados fundamentales corrientemente expre-sados en forma matemtica, de los cuales se espera que lleven a descripciones vlidas deun fenmeno en estudio. En general, estos enunciados, llamados axiimas o postulados,se basan en observaciones experimentales o abstracciones de ellas. En tal caso son llama-dos leyes.

3' Trminos o conceptos definidos. En estas definiciones se emplean Ios trminos oconceptos no definidos.

4. Afirmaciones demostradas, Son llamadas teoremas y se demuestran a partir de defi-niciones y axiomas.Un ejemplo de la "forma de pensamiento axiomtico" est dado por la geometra eucli-diana en la que punto y recta son conceptos no definidos.

MODELOS MATEMATICOSUna descripcin matemtica de un fenmeno fsico se simplifica generalmente rempla-

zando los objetos fsicos reales por modelos matemticos apropiados. por ejemplo, en Ia es-cripcin de la rotacin de la Tierra alrededor del Sol podemos, para nuestros propsitos,tratar la Tierra y el Sol como puntos.

ESPACIO, TIEMPO Y MATERIAPor la experiencia tenemos alguna idea del significado de cada uno de estos trminos o

conceptos. No obstante, tendremos ciertas dificultades para formular definiciones completa-mente satisfactorias, por lo cual tomaremos estos conceptos como no definidos.1' Espacio- Este concepto est estrechamente relacionado con los de punto, posicin, direc-

cin y desplazamiento. Las medidas en el espacio involucran los ctncepts de longtud odistancia, con los cuales nos familiarizaremos. Las unidades de longitud son el pie, el

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION tcAP. 1

metro, la milla, etc. En este libro supondremos que el espacio es euclidiano, es decir elespacio de la geometra de Euclides.

2. Tiempo. Este concepto se deriva de nuestra experiencia cuando consideramos dos euen-os que tienen lugar uno antes, o despus, del otro, o simultneamente. La medida deltiempo se realiza mediante el uso del reloj. Las unidades de tiempo son el segundo, lahora. el ao. etc.

3. Materia. Los objetos fsicos se cornponen de "pequeas cuentas de materia" tales comolos tomos y las molculas. Basados en lo anterior llegamos al concepto de objeto materialllamado partcula que ocupa un punto en el espacio y que se puede mover cuando eltiempo trascurre. Una medida de Ia "cantidad de materia" asociada con la partcula seIlama su rnoso. Las unidades de masa son gramos, kilogramos, etc. A menos que se digalo contrario consideramos que Ia masa de una partcula no cambia con el tiempo.La longitud, la masa y el tiempo frecuentemente se llaman dimensiones, a partir de las

cuales se pueden obtener otras cantidades fsicas. Vase el apndice A sobre unidades y di-mensiones.

ESCALARES Y VECTORESVarias cantidades fsicas, tales como longitud, masa y tiempo requieren para su especifi-

cacin un solo nmero real (adems de las unidades cie medida que se usan generalmente),tales cantidades son llamadas escalqres y el nmero real se llama la magnitud de la cantidad.Un escalar se representa analticamente por una letra tal como t, m, etc.

Otras cantidades fsicas, tales como el desplazamiento, requieren para su especificacintanto de direccin como de magnitud. Tales cantidades se llaman uectores. Un vector se repre-senta analticamente por una letra en negrilla, como A en la figura 1-1. Geomtricamente serepresenta por una flecha PQ donde P se llama eI origen y Q el extremo. La magnitud olongitud del vector se denota por lAl o A.

f ig. l-l Fig.l-2 Fig.l-3

ALGEBRA VECTORIALLas operaciones de suma, sustraccin y multiplicacin comunes en el lgebra de los n-

meros reales pueden, con una definicin apropiada, extenderse al lgebra de vectores. Lassiguientes definiciones son fundamentales.1. Dos vectores A y B son iguales si tienen Ia misma magnitud y direccin prescindiendo de

sus puntos de origen. As, A : B se ilustra en la figura 1-2'2. Un vector cuya direcci n e s opue sta a la del vector A pero con la mi sma Iongitud se denota

por -

A como en la figura 1-3.3. La suma o resultante de los vectores A y B de la figura 1-4(o) es un vector C el cual se

forma colocando el origen de B en el extremo de A y uniendo el origen de A con el extremode B Ifigura 1-4()]. Escribimos C : A + B. Esta definicin es equivalente a laley del paralelogramo para la suma de vectores como se indica en Ia figura 1-4(c).

AaA

-A

cAP. 1l

(b)

J"

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

"r_C=A*B

Fis.l-1

La extensin a sumas de ms de dos vectores es inmediata. Por ejemplo, la figura1-5 indica cmo obtener la suma o resultante E de los vectores A, B, c y D.

/,

Fig.l-5

4. La dferencia de los vectores A y B, representada por A -

B es un vector C, el cual su-mado a B da A. fuualmente, A

- B puede definirse como A + (-B). si A : B,

entonces A -

B se define como el uector cero o uector nulo representado por O, que tieneuna magnitud cero pero que su direccin no est definida.

5. Elproducto deunvectorAporunescalarpesunvectorpAoApconmagnitud lpl vecesla magnitud de A y una direccin igual u opuesta a la de A segn que p sea positivo onegativo. Si p : 0, pA : O, el vector nulo.

LEYES DEL ALGEBRA VECTORIALSi A"ByC sonvectores,y pyq escalaresentonces

1. A+B=B*A Leyconmutativaparalasuma2. A+(B+C) = (A+B) +C Leyasociativaparalasuma3' p(q[) = (pq)A = q(pL) Ley asociativa para la multiplicacin4. (p + q)e : pfi * eA Ley distributiva5. p(A + B) = pA * pB Ley distributiva

Obsrvese que en estas leyes slo est definida la multiplicacin de un vector por uno oms escalares. En las pginas siguientes definiremos los productos de vectores.

VECTORES UNITARIOSLos vectores que tienen longitud igual a la unidad son

A es un vector con longitud A > 0, entonces A/A : a esmisma direccin de A y A : Aa.

C=A*E --

i:-B+ c+D

llamados uectores unitarios. Siun vector unitario que tiene la

VECTORES UNITARIOS RECTANGULARESLos vectores unitarios rectangulares i, j y k son vectores unitarios perpendiculares entre

s, que tienen la direccin positiva de los ejes r, y y z respectivamente de un sistema coorCe-nado rectangular (figura 1-6). Usamos un sistema coordenado rectangular dextrgiro, a

VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION IcAP. 1

no ser que se especifique uno diferente. Un sistema tal derivasu nombre del hecho de que un tornillo de rosca derecha querota 90" de O a Oy avanzar en la direccin positiva de z'En general, de tres vectores, A, B y C, cuyos orgenes coin-cidan y no sean coplanarios, se dice que forman un sisernodextrgiro si un tornillo de rosca derecha que recorra unngulo menor que 180" de A a B avanza en la direccinde C (figura 1-7).

Fig. 1-6

(At,44 As)

Fig.1.7

COMPONENTES DE UN VECTOR

Fig.l-8

Cualquier vector A en 3 dimensiones puede ser representado con su punto inicial en elorigen O de un sistema coordenado rectangular (figura 1-8). Sean (Ar, Az, A) las coor-denadas rectangulares del extremo del vector A con su origen en O. Los vectores Ari, A2iy Ak se Ilaman componentes rectangulares uectoriales o simplemente componentes de Aen Ias direcciones x, y y z, respectivamente. Ar, A, y At se llaman componentes rectan'gulares o simplemente componentes de A en las direcciones x, J Y z, respectivarnente'

La suma o resultante de Ari, Ari y Atk es el vector A y por tanto podemos escribir(r)(2)La magnitud de A es

En particular, el uector de posicin o radio uector r de O al punto (x, y, z) se escriber = ri *ai*zk

y tiene magnitud r - lrl =

(3)

A: Ari+rj+A3k.4:lAl :1/fiT$TT"

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTOEl producto escalar o producto punto de dos vectores A y

A punto B) se define como el producto de las magnitudes decomprendido. En smbolos,

A'B : AB cos?, O l0 f ,Obsrvese que A . B es un escalar y no un vector.

B denotadopor A'B (laseA y B y el coseno del ngulo

12*y2*22.

(4)

cAP. ll VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

Las siguientes leyes son vlidas:1. A.B __ B.A Ley conmutativa para el prodcto escalar2. A'(B + C) = e. B + A. C Ley distributiva3. p(A.B) = (pA).B = A.(pB) = (A.B)p, donde p es un escalar.4. i.i = j.j = k.k = 1, i.j = j.k = k.i = 05. Si A=ri+Azi+Ask y B=Bi*Bzi*Brk, entonces

A.B = AtBt*AzBzIAsBzA.A=Az=A?+AZ+A3B.B=Br=B?+83+Bz

6. Si A'B:0 y AyB nosonvectoresnulos,entonces AyB sonperpendiculares.

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZEl producto vectorial o producto cruz de Ay B es un vector C : A X B (lase AcuzB)' Lamagnitudde A X B sedefinecomoelproductodelasmagnitudesde AyB yelseno

del ngulo comprendido. La direccin del vector C : A X B es perpendiculai al plano deA y B y tal que A, B y c forman un sistema dextrgiro. En smbolosAxB = ABsendu, 0

VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. I

DERIVACION DE VECTORESSi a cada valor tomado por una variable escalar u le corresponde un vector A(u), o abre-

viadamente A, entonces el vector A(u) se llama una funcin (vectorial) de u. La derivada deA(u) se define como dA A(u+.rz) - A(z)m = ^'lg a" (8)

(10)

con la condicin de que este lmite exista' Si A(u) : At (u)i * Az@li * A (u)k' entoncesdA ilAt. iIAz. iIAta : #i * ffii +;|u (e)

En forma similar podemos definir derivadas de orden superior. Por ejemplo, la segunda deri-vada de A(u), si existe, se da por

d2a d2At. dzAz. d2As,W = dur'+ rzl * dur*

Ejemplo. Si [ = (Lfi-32)i* Scos j-Bsenuk, entoncesdA &A = ( zr-3)i-Ssenui-Bcoszk, # = 4i-Scoszj*3senk

Las reglas de diferenciacin comnmente usadas en el clculo pueden extenderse a losvectors, aunque el oden de los factores en los productos es importante. Por ejemplo, si d (u)es una funcin escalar en tanto que A(u) y B(u) son funciones vectoriales, entonces

ft

delpunto Qeneltiempo + A es r * Ar : r(t+ A).llamada uelocidad instantnea) de la partcula en p es

d,rv: a = lin#= li* *f-CI e7)

y es un vector tangente a C en P.Si r = r(i = n(t)i+a(t)j+z(t)k= ri*yj-rzk,

podemos escribirdr dt. du . dzv = m = i+ffii+ffiu (r8) *

La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se da por

,.,=1.,t =l#l=w=#donde s es la longitud del arco a lo largo de C medida desde el origen hasta p.

_ dv ,._- v( + a)

- v()a = al = llli aii--

En trminos de r : i * yj I zk la aceleracin es_

d,zr _

dtfi, , dra . dzz,a : M = dtzr+ d;Fi+Uky su magnitud es

(L = ral = l(#)'.(#)'.(#)'

ACELERACIONSi v : dt/dt es la velocidad de la partcula, definimos la aceleracin (tambin llamada

aceleracin instantnea) de la partcula en el punto p como

cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVASSi dos partculas Pt y Pz se mueven con velocidades v, y v,

respectivamente, los vectoes

ACELERACION NORMAL YTANGENCIAL

Supongamos que la partcula P con vec-tor de posicin r : r() se mueve a lo largode la curva C (figura 1-10). Podemos consi-derar un sistema de coodenadas rectangu-lares que se mueve con la partcula y definidopor el uector unitario tangente T, el uectornormal unitario principal N y el binormalunitario B a la curva C donde

tot

Fig. 1.9

y aceleraciones ar y a2,

(23)

(1e)

(20)

(211

(22)

VP2/P|= Vz-Vr y Ap2/p, =82-8rse llaman, respectivamente, uelocidad relatiua y aceleracin relatiua de P, con respecto a pr.

Entonces laz

Fig. r-r0

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION IcAP. r

n^_ 4! r 'rT^-ls,.I=Rdr-, B=TxN Q4)donde s es Ia longitud del arco desde algn punto inicial a P, y R el radio de curuatura deC en P. El inverso del radio de curvatura se llama curuatura y se da pot x : UR.

Podemos mostrar [vase el problema 1.35] que la aceleracin a lo largo de C se da por

a: ffir*fiN w)El primero y segundo trminos de la derecha son llama dos aceleracin tangencial y aceleracincentrpeta o normal, respectivamente.

MOVIMIENTO CIRCULARSupongamos que la partcula P se mueve sobre

un crculo C de radio R. Si s es la longitud del arcomedido a lo largo de C desde A hasta P y d es elcorresponriiente ngulo subentendido en el centro O,entonces s : R0. La magnitud de la velocidadtangencial y aceleracin tangencial se dan, respecti-vamente, por

u = b: Rdo = R^,: K= H' Q6lda lzs d.zAv ;t:ffi=Rffi=Ra Q7)

Llamamos a ,^, dT/dt y d. d2.0/dt2 la uelocidad angular y aceleracin angular,respectivamente. La aceleracin normal como vimos en (25) se da por u2/R : ,2R.

NOTACION PARA DERIVADAS CON RESPECTO AL TIEMPOEncontraremos que algunas veces es conveniente usar puntos colocados sobre un smbolo

para denotar derivadas con respecto al tiempo , un punto para la primera derivada, dos pun-io. p"r" la segunda, etc., por ejemplo, i : dr/dt, f -- d2r/dt', I : v/t, etc.

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONALSi a cada punto (x, y, z) de un sistema de coodenadas rectangulares hacemos correspon-

der un vector A, decimos que A : A(, y, z') es una funcin uectorial de x, y, z. Tambinllamamos a A(x, y, z) ln catnpo uectorial. Similarmente, llamamos la funcin (escalar)G, y, z) un campo escalar.

Es conveniente considerar un operador diferencial vectorial llamado nabla dado por

v:,**ift+u-fi e8)Flmpleando esto definimos las siguientes importantes cantidades

r. Grd,iente v+ = (t*.th*u*)r = rH*ift+ua$ Qs)Este es un vector llamado gradiente de d Y que se escribe grad .

z. Diversenca v.a = (r# * fh* u*)' (.4,i +A,i +Ask) (30)|At 0A: d.als: a- w EEste es un escalar llamado diuergencia de A y que se escribe div A'

Fig.1-11

U

o A

cAP. 1l

3. Rotaeional

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

vxA = (r** th* n*) "(A,i+,j+Ask)

ijkaadAa AU AzAt Az As

/ lAs A\,-

tl\a oz/'

(3r)

Este es un vector llamado rotacionalDos identidades importantes son

div rot A =rot grad 6 =

.(#-#)'.(#-#).de A y que se escribe rot .{.

V.(Vxa) - 0VX(V) _ O

(32)(3q)

INTEGRALES DE LINEASea r() : ()i * y()i * z()k, donde r() es el vectorde posicin d,e (x, y, z), que definela curva C que une los puntos Pt y Pz correspondientes a t : tt y t : 2, respectiva-

mente. Sea A : A(, y, z) : Ari + Azi * A3k una funcin vectorial de posicin (campovectorial). La integial de la componente tangencial de A a lo largo de C e P, hasta p2,escrita como

?Pzffl- A.d = f_e.a, = |.+ra,*Azitu*Asdz (a)J' Pr .rc sl ces un ejemplo de :una integral de lnea.

Si C es una curva cerrada (la cual supondremos que es una curva simplemente cerrada,es decir, una curva que no se intersecta consigo misma en ninguna partef la integral e me-nudo se denota por

fPJ e.dr = I Ld,x I Azds * Atitz (35)

En general, una integral de lnea tiene un valor que depende de la curva. Para mtodos deevaluacin vanse los problemas 1.89 y 1.40.

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIALa integral de lnea (34) ser independiente de la trayectoria que une a Pt y pz si y

slo si A: v@ o,loqueesequivalente, v x A: 0. En lal caso su valor se a-" po,f Pt ?Pl^ A'il =

-l^ + = +(P) - O(Pr) : e(nz,uz,zz) - (nt,ut,zt) (J6)tpr Jhconsiderando que las coordenadas de pr V pz son (r, , !t, 2t) y kz, !2, zz), res-pectivamente, mientras (, y, z) tenga derivadas parciales continuas. La integral (J5) eneste caso es cero.

VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y FIJOSHasta ahora hemos tratado con vectores que estn especificados solamente por su mag-

nitud y direccin. Tales vectores se llaman uectores libres. Dos vectoes libres son igualescuando tienen la misma magnitud y direccin Ifigura l_12(o)].

10 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. I

(o) Vectores libres iguales (b) Vectores deslizantes iguales (c) Vecto fijoFis. l-12

Algunas veces es importante tener en cuenta la lnea de accin de un vector, caso en elcual dos vectores son iguales si y slo si tienen la misma magnitud, direccin y lnea de ac-cin. Tales vectors se llaman uectores deslizantes Ifigura 1-12(b)].

Algunas veces es importante especificar eL punto de accin de un vector. Tal vector[figura 1-12(c)] se llama uector fijo. En este caso dos vectores son iguales si y slo si sonidnticos.

En la mayora de los casos trataremos con vectores libres. En los casos en que tratemoscon vectores deslizantes o con vectores fijos seremos muy explcitos en el contexto.

Proble mas resueltosALGEBRA VECTORIAL1.1. Demostrar que la adicin de vectores es conmutativa, esto es, A * B': B * A (figura

1-13). OP+PQ-Oe o A*B=Cy OR+BQ-OQ o B*A=CEntonces A*B = B+A.

1.2. Demostrar que Ia adicin de vectores es asociativa, esto es, A * (B + C) : (A + B) + C(figura 1-14).

OP+PQ=OQ=(A+B)Puesto que OP+PB = OB =

OQ+QB = OR =

y PQ*QR = P3 = (B*C)I), i.e. A+(B+C)

- D

D, i.e. (A+B)*C = Dtenemos A+(B*C) = (A+B)+C.

Los resultados de los problemas 1.1 y 1.2 muestan que el resultado de una suma de vectores es inde-pendiente del orden en que se tomen.

Fig.l-13 Fig. l-14

CAP. 1] VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION1.3. Dados los vectores A B y c Ifigura l-15(a) ] encontrar grficamente:

(o) A- B+2Q, (b)3C-i(z[-B).

l1

(o)

(c)

1.4. Demostrar que la magnitud A:Ari+Ari+sk es =(Vase la figura 1-16.)Po el teoema de Pitgoras,

oez = (oQ'l'+ (TPYdonde OP denota la magnitud del vector OP, etc. Simi-larmente (@rz = (O-n)2 + (fr-e)z.

Entonces (dFl, = (Tnz a (@z a 1{pz oAz = A?+ lf;+ 12", i.e. A = \M

1.5. Determinar el vector dados su origenP(xr, yr, zr)

y su extremo Q(xz, yz, z) y encontrar sumagnitud (figura t-12).El vector de posicin de P es rr = zrl * ,o - z1k.El vector de posicin de Q es 12 = 21*y2i*22k.r1*PQ = , oPQ = rz-rl =

Magnitud de PQ(rz- nt)2 * (yz- yrlz * (22- zllz

(a2i * y * z2k) -

(c1i * ylj * z1k)(r2- x)i * (az- y)l t (22- zllkPQ

Fig. l-16

Obsrvese que esta es la distancia entre los puntos P y e. Fig.l-U

12 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION IcAP. I

1.6. Determinar: (a) grfica, y (b) analticamente la suma o resultante de los siguientesdesplazamientos:A, 10 pies al noroeste; B,2O pies 30" al norte del este; C, 35 pies hacia el sur (figura1_ 18) .

Grficamente.En el extemo de A colocamos el origen de B. En el

extrrmo de B colocamos el origen de C.La resultante D se forma uniendo el origen de A con

elextremodeC,estoes, D: A+ B+ C.Se mide la resultante la cual tiene una magnitud de

4,1 unidades : 20,5 pies y una direccin de 60' al surdel este.

Analticamente.De la figura 1-18, si i y j son vectores unitarios en

las direcciones E y N tendemosA =

-10cos45o i + 10sen45o jB = 20 cos3Oo i + 20sen30o j s

Fig. l-lE

Undad:5pres

C = -35j

La resultante es, entonces,D = A+B+C = (-10cos45o+20cos30o)i*(10sen46o

= e6{, + 10\6)i + (5\/2 + 10 - 35)j =

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO1.7. Demostrar que la proyeccin de A sobre B es igual

a A . b, donde b es un vector unitario en la di-reccin de B.

A travs del origen de A hacemos pasar planos perpendi-culares a B en G y H, respectivamente, como se muestra enla figura 1-19; entonces

proyeccindeAsobre B : : trF : Acos0 : A . b

1.8. Demostrarque A. (B+ C) : A. B+ A. C.Sea a un vector unitario en la direccin de A (figura 1-20),

entonces,proyeccin de (B * C) sobre [ : proyeccin de B sobre A

* proyeccin de C sobe A(B*C).a = B'*C'a

Multiplicando por A,(B*C).Aa = B.Aa*C.Aa(B+C).A

Entonces por la ley conmutativa para el producto escalara'(B+c) = a'B+a'c

y la ley distributiva es vlida.

* 20 sen 30o -

35)ir0,%i

-

17,stj

Fig. l-19

tlrE F GA

As la magnitud de D er VIIF +-OTpSit : 20,65 pies y la direccin estan-t 17,93/10,25 : tan-t 1,749 : 60"45' al su del este

Obsrvese que los resultados grfico y analtico concuedan bastante bien, el resultado analtico es dehecho ms exacto.

BH

Fig.1-20

cAP. ll VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

1.9. Calcular cada uno de los siguientes productos.(o) i.i : lil lil cos0o = (1)(t)(1) = 1() i. k = lil lkl cos g0o = (1)(t)(0) = 0(c) k. j = lkl ljl cos e0" = (1)(l)(0) = 0(d) j.(2i-Bj+k),= 2j.i-gj.j+ j.k = 0-B+0 = _B(e) (2i-j).(3i+k) = 2i.(si+k)

- i.(si+k) = 6i.i + 2i.k _ Bi.i _ j.k= 6*0-0-0 = 6

r.1o. Si A A'i + A"i + Ark y B B,i + Bri + B3k, demosrrar queA.B ArB, + ArB, + ArBr.A. B = (Ai+ A2j + Ask). (Bri + B2j + Bsk)

= Ari.(8ri+B2j+8sk) * Azi.(Bi+B2i+Bsk) + Ask. (B+B2i+Bsk)= AtBi.i+ Apzi. j + rBBi.k+ AzBi.i+ A2B2i.i + AzBti.k

+ AsBrk . i + AsBzk. i + 43.B3k. k= AtBt+ A2B2+ ABB

puestoque i' i : i' j : k . k : I y todos los otos productos escalares soncero.l.ll. si A = Arl+A2i+Aak, demostra que .A = /.A = \/A1T4+ A"".

A. A : (XA) cos 0o = 42. Entonces , = t[.-e,.Tambin, A.A = (Ai+A2i+Ask).(ri+ A2i+Ask)

= (Ar)(r) + (Az)(A2) + (s)(B) = A1+ err+ e?"para el problema l.l0, tomemos B : A_

Entonces 4 = \/I-'e = ,ET 4+ll es la magnitud de A. Algunas veces A . A se escri-be ^{.1.12. Determinar el ngulo agudo entre las diago_

nales de un cuadriltero que tiene los vrticesen (0, 0, 0), (3, 2, 0), (4,6, 0), (1, g, 0) (figurar-2r).

Tenemos OA = Bi+Zi, OB = 4i*6i, OC = i*Bjpo tantoCA = OA_OC = 2i_j

Entonces OB. CA = lOBl lCAl cos aesto es.

(4i + 6i) . (2i -

j) = \/@T@ y'iDrTlIlF "o.

e

por tanto cosr = 2/(r/62{1, = O,tZlO y e = 82069,.PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZf.13. Demostrar AX B:

-BX A.

Fig. r-22Ax B: C tienenmagnitudABsencydireccintalque AByC formanunsistemadextrgiro

Ifigura 1-22(a)].

13

I (4,6,0)

AXB = C

BXA__I)

l4 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. r

BX A: D tienemagnitudBAsen0ydircccintalque BAyD formanunsistemadextrgirolfigura r-22(b)1.

EntoncesDtienelamismamagnituddeCperodireccinopuesta,estoes,C:-DoAXB:-BX A"

La ley conmutativa no es vlida para el producto vectorial'

1.14. Demostrar queAX(B+C) = AXB+AXC

para el caso en el cual A es perpendi-culara ByaC.

Si Aesperpendicular a B,A X B es unvector perpendicular al plano de A y B y conuna magnitud AB sen 90" : AB o magnitudde AB. Esto es equivalente a multiplicar el vec-tor B por A y rotar el vecto resultante un ngu-lo de 90' a la posicin mostrada en la figurar-23.

Similamente, A X C es un vectorque seobtiene multiplicando C por A y rotando elvector resultante un ngulo de 90" a la posicinmostrada.

De la misma manera, A X (B * C) es elvector obtenido al multiplicar B * C por A yrota el vecto rtsultante un ngulo de 90" a laposicin mostrada.

Puesto que A X (B + C) es la diagonaldel paralelogramo que tiene como lados A x By A x C tenemosque

Ax(B*C) = AxB+AxC.1.15. Demostrar que

Fig. l-23

Ax(B+C):AxB+AxCen el caso general en que A BV C no soncoplanarios (figura 1-24).

Descomponemos B en dos vectores compo-nentes, uno perpendicular a A y otro paralelo aA, y los denotamos por B1 y Bt t, respectivamen-te. Entonces B:B * B.

Si d es el ngulo ente A y B, entoncesB I : B sen d. As, la magnitud de A x Btes AB sen 0, la misma magnitud de A x B. Tam-bin, la direccin de A X Ba es la misma direc'cinde A X B. Poresto, A X Ba: A X B.

Similarmente, si C se descompone en dosvectoresC VC',paraleloyperpendicularrespectivamenteaA,entoncesAXCl:AXC.

Tambin, puesto queB + C = 81 + B + CI + C = (81 +Cr) + (B *C) por consiguienteAX(Ba+Cr) = Ax(B+C)

Ahora bien, B, v c1 son vectores perpendiculares a A y segn el problerna 1.14'Ax(Ba+Cr) = AxBr+AxCl

Entonces AX(B+C) - AxB+AxCy la ley distributiva ser vlida. Multiplicando por -1, y empleando los resultados del problema 1.13'il"g"-o.a (B* C) X A: BX A+ C X A. Obsrvesequeelordendelosfactoresesimportanteenelpructo vectorial. Las leyes usuales del lgebra se aplican slo si es mantenido el orden apropiado.

Fig. l-24

cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

f.16. Si A= A1.i*Azi+Ask y B=Bri*Bzj+Bsk,demostrarqueAXB =

15

ijkAt Az AsBt Bz Bs

AX B = (A+ Azi+Ask) x (Bri+B2i+B3k)= Arix (Bli+B2i+Bsk) + Ax (Bi+ B+Bak) + Ask x (BLi+ B2i+Bsk)-

ALB xi +r8zixi + rBsixk + A2Brj xi+ AzB2ixi + 2B3jxk+ AsBrk x i + A3B2k x i + A3B3k x k

- (AzBs- AsBz)i + (ABt_ ArBs)i + (Apz_ A2B1\k =

r.r7. siA:3i-j*2ky 3j-k,hallarAxB.AxB =

B:2i+iik3-1 22 3

-1

l-1= ill3=

-5i+

322-L

iikAr A2 AsBL 82 B3

3-123

,l-rl7i+

_J +k1lk

1.f8. Demostrar que el rea de un paralelogramocon lados Ay B es lA X Bl.

Area del paralelogramo = lBl= lAlsen c lBl= laxBl

Obsrvese que el rea del tringulo con lados A y Bes ilAx Bl.

1.19. Determinar el rea del tringulo con vrtices en p(z,g,5), e(4,2,-!), R(g,6,4\.PQ = (4-2)i+ (z-s)j+(-l-)k =:2i- j-6kPR = (3-z)i+ (6-a)i+(4-b)k = i*Bj-k

Area del tringuro = +lpexpBl = ltz-i-6k)x(i+sj-k)l

BFig.l-25

BFig. l-26

= +l

= +/i1eFl=FTIt)t = +{426

i j kl2

-r -ull = +llei-4i+?kl1 3

-1 I

PRODUCTOS TRIPLESL.2O. Demostrar que A . (B X C) es igual en va_

lor absoluto al volumen del paraleleppedocon lados A, B v C.

Sea n una nomal unitaria al paralelogramo I quetiene la direccin de B X C, y sea h la altua del extre_mo de A sobre el paralelogramo f.

volumen del paraleleppedo : (altura h)(rea del paralelogramo /)= (A. n)flB x cl)-

e'{lBxCln} = a.(BxC)si A,Byc noformanunsistema dettrgiro, A. n < 0 yelvolumen: lA. (Bx c)1.

I

PI

I

VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. l

1.21. (o) sia=Ari*Azj*Ask, B = 8ri*Bzj*Bk, c = Cri*Czi*Ckdemostrar

A.(B x C) =At Az AsBt Bz BsCt Cz Cs

(b) Dar un significado geomtrico de A ' (B X C) : 0.It i k(a) A.(BxC) = e'lBr Bz 8slc, c2 cs

- (Ari + Azj+ 3k). [(B2Ca - Bsozll + (B3Cl - B]psli + (Bp2- B}Cr)kl

- At(BzCs- BsC) + A(B}C.- BtCi + As(Bpz- B2Ct', -

Ar A2 A8Br 82 Bscr c2 c8

(b) Segnelproblemal.20,si A. (BX C):0 entonces AByC soncoplanarios,estoes,estnenelmismoplano, e inversamente si A, ByC soncoplanariosentonces' A' (B x C) - 0.

1.22. Determinar el volumen del paraleleppedo con ladosA=3i-i, B-i+zk, C=i*6i+4k.

Il3 -r 0lSegnlosproblemasl.20yl.Zlelvolumendelparaleleppedo = lA'(BxC)l = ll0 I 2ll

Ir 6 4l= l-201 = 20.

1.23. Si A = i*i, B = 2i-3i+k, c = Ai-Sk,hallar (o) (axB) x c, (b) Ax (Bxc).ik iik

(o) Axn = l1 1 0l= t-j-6k. Entonces (AxB)xC = | I -1 -6 = 281*3j+4k.2-3 I 0 4

-3rik

(b) Bxc=12 -8 I

0 4-9

rik= 6i*6i+8k. Entonces Ax(BxC) =l 1 1 0 | - 8i-8i+k.

6n8Se sigue que, en general, (AxB)XC * AX(BxC).

DERIVADAS E INTEGRALES DE VECTORESr.24. si r = (t4+2tli-3e-2t!*2sen5k, hauar rq#,(b) l#l , @\#, @',|#len =0.

. d.r L. 't 'tta) fi = ;Us+zt\i+fr|-s"-ztli+;i@sen6)k - (stz+2)i + u"-zti* 10cos6kEn = 0, illtlt = 271' 6i + 10k.

(b) De (o), litlihtl = \rej4(e)-tTliott = /10 = zt/s6 en =0... t\ d /,t,\ .t.k);i = ftl=o) = fr{(8t2+2)i+ ur-zt* 10cos6k} = 6i-72e-2ti -50sen6k

En =0, *rlr, = -12i.(d) De (c), lilzrld'tzl - ll en t=0.

cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION t7

1.26. Demostrar que *g.B) = O'..ff*#.U,donde A y B son funciones diferen-ciales de u. u'

Mtodo r. ftW,ul = Jf.W,. A.AB + AA.B + AA.AB

= *-. t"'ff * #'" . #'^") = *ffi + ffi*Mtodo2. SeanA = Ari+A2i+Ask, B = Bri+B2j+Bsk. Entonces

.1 )(A.B) = h@pt+ A2Bz+A3Bs)

/ dBr , ^ dBr, ^ dBs\ /dAt _ dAr_ dr4._ \= (o,T; a A,+ ,d)+ ( drB, * t,+ 8, )- dB + da.R= A'du du -

1.26. Si (, y,z): rtyz y A:32yi * yzri -

xzk, hallar*ttnl enelpunto(r, -

2, -

l). da ctzgA = (rzgz)(3*gi* yz2i- rzk) = SraA2zi + r2y2zsi

-

rlyz*da*@A) = fi(\du2zi* r\2zsi- ssyz2k\ - g'ay2i + 3r2a2z2i - 2rlyzk

a2eW u@ll = !@du2i + 3xzu2z2i - 2rtvzkl - 6raai + 6x2az2i - 2rszkSi : 1, y :

-2, z : -1, de donde -l?l - l2j+ Zk.21.27. Calcular | .e(z)d.u si A(z)= (Bur-L\i+(2u-B)j+(6u2-4u)k./ u=l

La integral dada es igual a72| {(S", - 1)i + (2u- 3)i * (6yz - 4ulk\ du

./ u:r lz= (yt - u\i * (uz - Sulj 4 (2us - Zu2\k lu=,= {(8-2)i + (4-6)j + (16-S)k}

- {(1-l)i + (1-3)i + (2-2)k}

= 6i+8k

VELOCIDAD Y ACELERACION1.28, Una partcula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramtricas son

x:3e-2', !:4sen3, z: S cosB dondeeseltiempo.(o) Hallar su velocidad y aceleracin en cualquier tiempo.(b) Hallar las magnitudes de la velocidad y aceleracin en : 0.(o) El vector de posicin r de la partcula es

r = ri1.yjtzk = 3-2ti*4sen3i.*6cos3kEntonces la velocidad es-

dr/d.t = -6e-2ti* 12 cos3 j - 16 sen3 k

y la aceleracin esa = dvld.t = d2t/I2 = L2e-zti

-

86 sen S i -

46 cos B k

18 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

() En=0, y=ilrldt= -6i+12j y a=ilzldt2 =12i-45k. Entonces

la magnitud de la velocidad en f : 0 es VIT)ZTliry = 6y'5la magnitud de la aceleracin en : 0 es = g{

(o)

Integrando,

VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVAS1.30. Si un avin vuela en direccin nor-

oeste a I25 mi/h con un viento di-rigido al oeste a 50 mi/h. ambosmovimientos con respecto a la Tierra,hallar: (o) grfica, y () analtica-mente qu tan rpido y en qu direc-cin estara viajando el avin si nohubiera viento.(o ) Grficamente.

Sean W = velocidad del vientoVo = velocidad del avin

con vientoVu = velocidad del avin

sin viento Fig,.l-27Entonces(figural-2?) Vo: Vu*Wo Vu = V.-![ = Vr+(-W).Va tiene 6,5 unidades de longitud : 163 mi,/h y direccin 33" al norte del oeste.

[cAP. I

L.29. Una partcula que se mueve tiene una aceleracin dada pora = 2e-'i* Scosj-3senk

Si la partcula est localizada en (1, -3,21 en el tiempo t : 0 y se mueve con una

rapidez dada por 4i -

3j + 2k, hallar: (o) la velocidad, (b) el desplazamiento de lapartcula para cualquier tiempo > 0.

&r dva = W = A = 2e-tiI Scosj-3senkf

v = | e"',i*5cosj-3sentk)d.t

= -2e-ti * Sseni + 3costk * c,Puesto que v : 4i

- 3j + 2k en : 0, tenemos

4i-3j*2k: -2i*3k*c1 o cr :6i-3i-k

Entonces v = -2e-ti*5senj+8cosk*6i-3j-k (I)= (6-2e-t)i * (5 sen - 3)j + (3 cost - l)k

() Remplazando v por dr/dt en (t) e integrando, tenemosr = I t(6-ze-t)i + (5sen-B)j + (3cos-l)kldJ

= (6t*2e-t)i - (5 cos + 3)j * (3 sen - )k * c2Puestoquelapartculaestlocalizadaen (1,

-3,2) en f:0, tenemos r: i - 3j+ 2k en t - 0'demodoque i-sj+2k = 2i-5j*cz o cz- -i+2i+2kAs, r = (6t+2e-t-l)i+(2-5cos-3)i* (3sent-t+2\k Q)

() Analticamente.Sean iyj vectores

vemos queItYd

unitarios en las direcciones E y N, rtspectivamente; de la figura

-l25cos45oi + 125sen45oi v W = 50i

cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

EntoncesVu = Vo-W - (-12cos46o-60)i*12bsen46"i - -l8g,Agi+88,99i.

Por tanto, la magnitud de V es \4=J38l-5t-+ (E8-Jg-tt : rc4,2 mi,/h y Ia direccin estan-t 88,89,/138,99 : tan-t 0,638? :92.84' al norte del oeste.

1.3f. Dos partculas tienen vectores de posicin dados por rr : 2ti -

t2i + (gt2 -

4)k y12 : (5t2

-

Lzt + 4)i + 3j -

3tk. Hallar: (o) la velocidad relativa, y (b) la acele-racin relativa de la segunda partcula con respecto a la primera en el tiempo t : 2.(a) Las velocidades de laspartculas en t : 2 son, nspectivamente,

vr = ir = 2i-Zti+$t-4)kl = 2i-4j+8kIt=2

vz = ]z= (10-12)i+3z-3kl = 8i+12i-3kLa velocidad relativa de la particula 2 con respecto

" t" oi'.]r'"rr" ,

-

y2 v1 = (8i+lzi- 8k) - (2i-4i+8k) = 6i * 16j - 11k() Las aceleraciones de las partculas en : 2 son, respectivamenle,

I

ar = r - ii = -2i+ohl : -2j+6ktt'='az = iz= i; = 10i+Oil = 10i+12i

La aceleracin relativa de la partcula 2 con respecto , ," ,"rr"t" ,-

a2 a' = (10i+t2i\- (-2j+6k) = 10i*14i-6k

ACELERACION NORMAL Y TANGENCIAL1.32. Dada una curva C en el espacio con vector de posicin

r = 3cos2i + 3sen2 j + (8-4)k(a) Hallar un vector unitario T tangente a la curva.(b) Si r es el vector de posicin de la partcula que al tiempo se mueve sobre la curva

C, verificar que en este caso v : uT.(o) Un vecto tangente a la cuva C es

d,ld.t = -6 sen2i * 6coszj + 8kLa magnitud de este vector es

liHafl=ihldt= @=roEntonces un vector tangente unitao a C es

a -_

I/4!-. -

IEliIt ilt -6sen2i * 6cos2 j * 8k

rdt/dtr m=ds=--**"2ti + t cos2 j * f,k

(b) Esto se deduce de (o) ya quey = itttitt = il,:T:: Lii{"1"*r,,'1 *n, = ,,r

Obsrvese que en este caso la velocidad de la partcula a lo largo de la curva es constante.

f.33. Si T es un vector tangente y unitario a una curva C en el espacio, demostrar quedT/ds es normal a T.

l9

20 VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION lcAP. 1

PuestoqueTesunvectorunitario, T. T: l. Difercnciandoconespectoa sobtenemosr.4! + 4I .n 'r'r' r 'r.fl

- n

- IB de - = zr.fr = 0 c - dslo cual establece que dT/ds es normal, esto es, perpendicular a T.

Si N es un vector unitaio en la direccin d,e ilT/ds tenemosdflds = rN

y a N lo llamamos normol printipol rnitaria de ('. Al escalar x : ldTids I se le llama curLtatura y aR : l,/x radio de curuatura.

1.34. Hallar: (o) la curvatura, (b) el radio de curvatura, y (c) la normal principal uni-taria N en un punto cualquiera de la curva en el espacio del problema 1.32.(o) Segn el problema 1.32, T =

-i?sen 2i * $ cos?t i + +k. Entoncesf, dTldt (-615) cos 2 i

-

(6/5) sen 2 jils dsldt 10

= -# cos 2 i - ft,sen2t iAsi,racurvaturaes x: l#l = @" = *

() El adio de cuwatura = R = Llrc = 2513(c) De (), (b) y el problema 1.33,

N = :# = R# = -cos2i -sen2 j

f.35. Demostrar que la aceleracin a de una partcula que viaja a lo largo de una curvaen el espacio con rapidez v se da por

da. -

a2ndt' R ^'

donde T es el vector tangente unitario a la curva en el espacio, N su normal principalunitaria y R es el radio de curvatura.

Velocidad v : magnitud de v multiplicada por el vecto tangente unitario T, ov:aT

Diferenciando, a = + = fior = #r*r#Pero

Entonces

Esto muestra que la componente de la aceleracin en la direccin tangente a la trayectoria es du/dt y12/R en la dieccin de la normal principal a la trayectoria. Esta ltima aceleracin a metrudo se llamaotele'racin cen trot,ta t ort'lerotn normor.

MOVIMIENTO CIRCULAR1.36. Una partcula que se mueve tiene un vector de posicin dado por r : cos

CAP. II VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

dr(o) v = E = -" sen rd i * ur cosro j, Entonces

= (ft

VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION

() Hallar una funcin escalar tal que A = V.ijk

(o) VxA = | alar dlas 0/02 =02ry*23 r2*2g 3nz2-2

() Mtodo l. Si A = Vo = #r+fri+ffx entonces tendremos(t) #=rru*"" (2) #=r'*r, (3) #=gr"'-z

Integrando, encontramos(4) i'= u2Alnzs*Ft(A,z) (5) O = 2A*U2 *'F2(r,zl(6) = rz3-2zlFs@,u)

Comparndolas, tenemos Fr(y, z'l : y2 -

22, FzG, z\ : xzs -

22, FQ, y) : r2y * y2 ytambin : t2! I xzr I )''

-

22.

Mtodo 2. Si A = V, tenemosA'dr = (#' *fu .tfu)' @ri * dui * dzk\

= fra" + #oo * #0" = itquna diferencial exacta. Para este caso.

d6 = A'dr

=T ;t'.:"""r!:ii':t'"I"1'1""?no1 '0" ,

= d(rzA * xzs * A2 - 2zlEntonces : rl' * .r3 * !'" -- 2r. Obsrvese que una constante abitraria puede sumarse a O.

INTEGRALES DE LINEA E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIAr.39. Si A: (32

- 6yz)i't (2y lSxz)i -f (1

- 4xyz2)k, evaluar f e'drdesde(0,0,0) hasta (1, 1, 1) a lo largode las siguientes trayectorias C:

(a):t,J:t2,2:tt.(b) las lneas rectas desde (0,0,0) hasta (0,0, 1) luego a (0, 1, 1) y luego a (1, l, 1).(c ) la lnea recta que une los puntos (0, 0, 0) y (1, 1, 1).

frI e.ar = | {(a',-Gaz\i + (2a-llrz)i * (l-4ruz2)k}'(d'ui* dyi I dzk\Jc .tC= f ,tr, - 6yz) dr * (2a * 3rz) cly + (1 - Aryzzl ilzJ

(a) Si : t,y:t2, z: t3 lospuntos(0,0,0)y(1,1,1)correspondena t:0y : l, respec-tivamente. Entonces

f o.a, = '(B2-6(2)(s)'tdt+ {22+B()(rs)}d(t2')+ {1-4(X2X3)2}d(te)J J t=o?l

= | ,tr,-6s)dt +(4s*6s)dt+(gt2-r2rrdt = 2J ,=o

Otro mtodo.Alolargodelacurva C,A= (32-6t5)i+(2t2+34)j+(1

-4e)k v r = fi*ai*zk=ti+ t2i * 3k, dr = (i+ 2ti + 32k) d. Entonces

f ^.0" =

(' ,rrr-6sldt + (4ts6sld,t + (gtz-12rrlitt = gJc Jo '

() Alo larggde la lnea rectadesde (0, 0, 0) hasta(0, 0, 1), : 0,,v : 0, d : 0, dy : 0 dondezvaa de 0 a l. Entonces la integral sobre esta parte de la curva es

[cAP. l

cAP. tl VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

?l rl| {atol, - 6(0xz))0 + {2(o) + B(0Xa)}0 + lr - 4(ol(0)(z2l} dz = IJ z=O J z=OA lo largo de la lnea ecta desde (0, 0, 1) hasta (0, l, l), , : 0, z : .t, dx : 0,

vara de 0 a 1. Entonces la integral sobe esta parte de la trayectoria es

Sea ABCD el paralelogramo dado con diagonales quese intersectan en P, como se muestra en la figura l-2g.Como BD*a = b, BD = b-a. Entonces Bp = (b-a).Puesto que AC = a + b, AP = y(a * b).Pero AB = AP*PB = AP-Bp,i.e. a = y(a*b)-r(b-a) = (c*y)a* (u-r)b.

Como a y b no son colineales, segn el problema 1.41, Ax I y: I y y

- :0, i.e. x: y: { y p estenel

punto medio de ambas diagonales.

23

d=1dz :0 dondey

'l /'l| {alot, - o(y)(1)}0 * (2a + 3(0)(1)} ita * 0- a(0)(yxr)2}0 = r' 2a da = 1Jc=o a:oAlolargodelalnearectadesde (0,1,1) hasta (1,1,1), y : l, z: l, d,y:0, dz:0 donde

vara desde 0 a 1. Entonces la integral sobre esta parte de la trayectoria esfr

^LI lt"r-6(1)(1)) dr * {2(rl+Bc(1)}0 + {r-a(1)(1)2}0 = | (Brz-6)d,r = -6J z=o Jr=o'- 'Sumando, f o.o, = l*l-b =

-8.Jg(c) Alolargodelalncarcctaqueunelospuntos(0,0,0)y(1, l,l)tenemos x: t, !: t, z: . Entonces,

como d : dy _ dz : dt,.fff^A.dr = l_(Srt-6yz\dn I (Za*Brz)d,s + (1

-4ryz2)d.z.t C .tC?L

= | ,tt, - 6z) d.t + (2t + gz) itt * (L - 4tel atJ t:o= f' et+L-4t4)dt : 6/EJ t=o

Obsvese que en este caso el valor de la integral depende de la trayectoria en particular.

f1.4O. Si A: (2xy* z3)i+ (x, l2y)i-l(Bxz -

2)kdemostrarque: (a) le."Ces independie.te de la trayectoria c que une los puntos (1,

- l, ll y (2, 1,2), y (b)

encontrar su valor.Segnelproblemaf.3S, V x A: O o A.dr: do: d(x2y* xzt *y2

-

2e). lntonceslaintegrales independiente de la tayectoia y su valor es

(2,r,2) ?(2,r,2)I A.dr = | A@ra*xzs*a2-22)

" n, -r,l) " (1, -l,r)

= rzy * a2t * a2 -

r"1"'''" = 18t(1,-1,1)

PROBLEMAS VARIOS1.41. Demostrarque si ayb nosoncolineales, entonces ra + yb: o implica x: y : o.

supongamos l 0. Entonces a * yb : o implica s : -yb o a : - (y/x)b, esdecir, aybdeben ser paralelos a la misma lnea (colineales), contrariamente a la hiptesis. Asi, r : 0; entoncesyb

- O, de donde y : 0.

L.42. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisectan entre s.

Fig. l-2E

24 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. 1

1.43. Demostrar que para cualquier vector A,(a) e = (a'i)i+(a'i)i+(a'k)k(b) A

- A(cosoi*cosPj+cos7k)

donde a, p, "y son los ngulos que A forma con i, j, k, respectivamente, y cos a,cos p, cos 7 se llaman los cosenos directores de A(o) Tenemos A: Ari + A2i + .43k. Entonces

As,

A.i - (Ari+A2i+3k)ri - ArA.j - (Ari+A+Ask)'j - A2A.li = (A+ A2: + A3k) 'k = As

a = (a.i)i + (A.j)j + (A'k)kA.i = lAl lil cosa = AcoscA.j = lAlljlcosB = AcosPA.k = lAl lkl cosy = cosy

Entonces de (o),A = (A.i)i+ (A'i)i + (A'k)k = A(cosa i* cos j * cosvk)

L-44. Demostrar que V es un vector perpendicular a la superficie (x, y, z) : c,donde c es una constante.

Sea r : * yj f zk el vectorde posicin de cualquierpunto P(, y, z) sobe la superficie.Entonces dr : dxi * dyi + dzk esten el plano tangente a la superficie en P. Pero

. d. .a6, ,ao /a,,0,-^^ \a6=ia,*oo+ffd.2 =o . (#,+tt+#")'(d'ri+dvirdzk) = 0es decir g . dr : 0 as que V d es perpendicula a dr y por consiguiente a la superficie'

1.45. Encontrar un vector unitario normal a la superficie 2r2 * 4yz - 522 : - 10 en elpunto P(3,

-I,2).Segn el problema 1.44, un vector normal a la superficie es

9(212*4yz-6zz) = 4ri I4zi * (4a-L0z)k =Entonces un vector unitaio normal a la superficie en P es

,/@+@FT@ 7otro vecto unitario nornal a la superficie en P es

-

3i + 2j -

6k '

1.46. La escalera AB delongitud o descansa sobre l pared u"rti""t OA (figura 1-29). El pieB de la escalera se hace mover con rapidez constante uo. (o) Demostrar que el pun-to medio de la escalera describe un arco de circunferencia de radio a/2con centro enO. (b) Encontrar la velocidad y rapidez del punto medio de la escalera en el instante en que B est a una distancia b < a de la pared.(o) Sea rel vectordeposicindelpunto medio MdeA8.

Si el ngulo OBA: d, tenemosOB = ocose i' OA = osenc j

AB = OB-OA = ocosdl-d,senc jEntonces

r=OA*AM=OA++AB= .rsen C i + *@cos, i - osene j)- |o(cos, i * sen , i) .

Como lrl : *4, setenduncrculode ndoa/2concentro en O.

(b)

rzi+8i-24kLzi+8i-24k

en (3, -1,2)

3i+2j-6k

Fig. r-29

cAp. 1l vEcroREs, vELocIDAD Y ACELERACION

(b) La velocidad del punto medio M esd. fr = frtlt"(cosci*sendi)) = to(-.enai+cosoi

donde = ilelilt.

La velocidad del pie B de la escalera es

ooi = $1on) = *.@cosri) = -or"nai o osenc i = -o- clt' ctt'En el instante en el cual I est a una distancia b de la pared tenemos, de (2),

@ . -ao -asend =

" '

o = "*"t

= As, de (I) la velocidad de M en este instante es

d. /. .\ = tro\. ,_6rtl

y su rapidez ""

otrs/z\,.

1.47. Sean (r,0) las coordenadas polares que describen la posicin de una partcula.Si r, es un vector unitario en la direccin del vector de posicin r, ! Ct es un vec-tor unitario perpendicular a r en la direccin en que se incrementa 0 (figura 1-30),demostrar que

= cosdi*sendi, er = -sD0i*coa?i= cos0 rt-sender, i = sen 0 tt+ cos? 0t

(o) Si r es el vector de posicin de la partcula encualquier tiempo t, entonces fu/dr es un vec-tor tangente a la curva , : constante, es decir,un vector en la direccin de r (en que se incre-menta r). Un vecto unitario en esta dieccinse da por

11 = +/l+l u)dr/ larlComo

r = i+ai = rcosti*rsenc \2)como se ve en la figura l-30, tenemos

dr ldrl -

;; = cost r + send , laTl = ras que

11 = cosri*senrj (3) Fig.l-30Similamente, d/OC es un vecto tangente a la curva r : constante. Un vector unitario en

esta direccin se da por

Ahora, de (2), dEac

as (4) queda

(o) rr(b) i

25

u)

(2)

(4)0r

-rsenci+rcos,i, l#l ='o1 =

-senri * cosci

() Estos resultados se obtienen al rtsolver las ecuaciones simultneas (3) v (5) para i y j.(5)

26 VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION lcAP. I

1.48. Demostrar que: (o) ir=b|t (b) r= -.

(a) De (3), en el problemi ,.nr, ,.n.-o..

dtt 0r1 , 0r7 11 = = T,f .!"!:,r*cosajx) = c,

(b) De (5), en el problema 1.47, tenemos, t dar dt aar dctr = E = TE-TI

= loltil + (-cosai-sna jX) = -rt

I.49. Demostrar que en coordenadas polares: (a) la velocidad se da porv = ir, +ritot

y (b) la aceleracin se da pora : (;- rb\r, + 1rd +Zie,

a) Tenemos r : rrr de modo queiI ilr d\v = ii = #1+r = irr+ri, = ,'+160,

segn el problerra 1.48(o).(b) Segn la parte (o) y el problema 1.48, tenemos

ilv 1,. . !a = u

=f:iir,:::i,!ji't'i^,-*,,

Problemas propuestosALGEBRA VECTORIAL1.5O. Dados dos vectores cualesquiera Ay B, ilustrar geomtricamente la igualdad 4A { 3(B - A) : A + 38.1.51. Dados los vectores A, By C, obtener grficamente los vectores (a) 2A

- 38 + *C, (b) C

- *.A + tB.

1.52. Si A y B son dos vectores cualesquiera diferentes de cero que no tienen la misma direccin, demostrar quepA * qB es un vector sobe el plano determinado por A y B.

1.53. (o ) Determinar el vector que tiene como origen (2, -

1, 3) y ertrcmo (3, 2, -

4). (b) Hallar la distancia entrelos dos puntos en (a). Resp. (o) i * 3j

- 7k. () V59

1.54. Untingulotienevrticesenlospuntos A(2,L,-1),8(-1,3,2), C(L,-2, 1). Hallarlalongituddelamediana al ladoAB. Eesp. I V6-

f ,55. Un hombre viaja 2p millas al noreste,.15 millas al este y 10 millas al sur. Usando una escala apropiada de-terminar: (a) grficamente, y () analticamente la distancia y la direccin desde su posicin de partida.Resp. 33,6 millas, 13,2" al norte del este

cAP. 1l VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION

1.56. Hallarun vectorunitarioen ladireccindelaresultantedelosvectores A:2t -

i + k, B: i + i +2k,C : 3i

- 2j + 4k. Resp. i(6i

- 2i + 7k)/{89

PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALARr.67. Calcular l(A+B).(A- B)l si A:-Sj+5kyB:3i+j-2k. Resp. 241.58. Hallaodemodoque 2i

- 3j + 5k y 3i * aj

- 2k seanperpendiculares. 8esp. a:

-4/31.59. Si A: fi +j+ k, B: i-Zj+ 2k y C:3i- 4j* 2k, hallarlaproyeccinde A* C enladireccin

de B. Resp. ll/31.60. Los vrtices de un tringulo son los puntos A(2, 3, 1), 8(- 1, 1, 2), C(1,

-

2, 3). Determinarel ngulo agudoque forma Ia mediana al lado AC con el lado 8C. Resp. cos-t lg-t/t+

1.61. Demostrar la ley de los cosenos para el tringuloABC, es decir, c2 : a2 + b2 -

2ab cos C.[Sugerencia. Tomalosladoscomo ABC donde C: A- B. Luegousar C.C: (A- B).(A-B).1

1.62. Demostra que las diagonales de un rombo son perpendiculares entrc s.

PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO VECTORIAL1.63. Si A:2r- j+k y B: i+2i- 3k, hallar l(2A+ B) x (A- 2B)1. Resp. 25\/T1.64. Hallarun vectorunitarioperpendicularalplanode losvectores A: 3i

- 2i+ 4k y B: i + j

- 2k.

Resp. +(2i + kr/\E1.65. Hallar el dea del tringulo con vrtices (2,

-3, 1), (1, - L,2), (-L,2,31. Resp. +\61.66. Hallar la distancia rrnima del punto (3, 2, l) al plano determinado por (1, 1, 0), (3,

-

1, 1), (- 1, 0, 2).Resp. 2

1.67. Demostrar la ley de los senos para el tringulo ABC, es".r, t"n A -

sen B -

sen C- ;---6-- c'

fsugerencia. Consideraquelosladosson A,B,C donde A+ B + C : O yhacerelproductovectorialde ambos lados con A y B respectivamente.l

PRODUCTOS TRIPLESr.68. Si A = zi+j-3k, 3 = i-2i+k y C = -i+i-4k, hallar (o) A. (BxC), () C' (AxB),(c) Ax(BxC), (d) (AxB)xC. Resp. (a) 20, () 20, (c) 8i-19i-k, ( 25i-16j-10k1.69. Demostrarque A. (B X C): (A X B). C, esdecir,quelosproductospuntoycruzpuedeninter-

cambiarse.

1.7O. Hallarelvolumendeunparaleleppedocuyosladosestndadospor A:2i + 3i -

k, B: i- 2i+2kyC:3i-j-2k. Resp.3l

1.71. Hallarelvolumendeltetraedroconvrticesen (2, 1, 1), (1,-1,2), (0, 1,-1), (1,-2, 1). Resp. UB1.72. Probar que (o) A. (B x C) = B. (C X A) = C. (A X B),(b) Ax(Bxc) = B(a'c)-c(A.B).1.73. (o) Sean t1, 12, rs los vectores de posicin de los tres puntos P, Pz, Pa, respecttvamente. Demostiar

que la ecuacin (r -

rr) . [(r -

rz) X (r -

r)] : 0, donde r : i * yj * zk, representa unaecuacin para el plano determinado por Pt, Pz ! P3. () Hallar una ecuacin para el plano que pasapor los puntos (-1,2,

-3), (4, 1, 0). Resp. (bl 2x * y - 3z : IDERIVACION E INTEGRACION DE VECTORES1.74. Sea A:3ti-1z +)j+(ts

-2t2)k. Hallar (o) dA/dty (b) dr{/dt, en :1.Resp. () 3i

- 3j

- k, (b)

-2j + 2k

27

28 VECTORES, VE LOCIDAD Y ACELERACIOT.- lcAP. I

l'7. Si r: acosot * bsenot, donde ayb sonvectoresconstantescualesquieranocolinealesyoun escalar constante, demostrar que: (o) r x dt/dt : o(a X b), () d2t/d.t2 -F o2r : 0.

1.76. Si A: i- senrk y B:cosi* senj* k, hallar $t.n."1. Resp. -senrI'77. Demostra ou" ff{o x B) - n, ff*+ #, , donde A y B son funciones diferenciables cle u.1.78. SiA(u) :4(u-l)i-(2u+S)j+6u2k,calcular(o) f'n,r, du,(bt ftrr-2k) .A(u)du.

Resp. (o) 6i -

sj + 38k, (b) -28 2 rr

1.79. HallarelvectorB(u) tal que d2B/du2:6ui -

48u2j* l2k donde B:2i- 3k y dB/dtt:i*para u:0. Resp (u;i*u +2)i + (-cu

-4ur)j *(6ur -3)k1.8o. Demostrarque I

""ffh, = o>

cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

,2ab

1/a2sen2 6t * 2 cos2 o

29

l'91' Una partcula se mueve de manera que su vector de posicin en cualquier tiempo t sea r : ti + +tzi + *.Hallar: (o) la velocidad, () la rapidez, (c) la aceleacin, (d) la magnitud de la aceleracin, (e) la magnitudde la aceleracin tangencial, (/) l" magnitud de la aceleracin normal.Resp. (a) i + j + k, (U \/F+ z, (c) j, (d) t, (r) t/t/T-+ z, Ul \tr /\/p + z

l'92' Hallar: (o) la aceleracin tangencial, y () la aceleacin normal de una partcula que se mueve sobre laelipse r: ccos oti* b sen@tj.

. ,2(a2

-

b2) sn o cos o---';' ':' t-tsenro +-tcosro \4,

MOVIMIENTO CIRCULARl'93' Una partcula se mueve en una circunferencia de 20 cm de radio. Si su velocidad tangencial es 40 cm,/seg,halla: (o) su velocidad angular, () su aceleracin angular, (c) su aceleracin nomal.

Resp. (al 2 radianes,/seg, (b) 0 radianes,/seg2, (c) g0 cm,/seg21'94' Una partcula que se mueve sobre un crculo de radio R tiene una aceleracin angular constante c. Si lapartcula parte del reposo, demostrar que despus del tiempo f: (o) su velocidad angular es o : at, (b) lalongitud del arco ecorrido es s : IRo2.t'95' Una partcula se mueve sobre una cicunferencia de radio R con velocidad angular constante oe. En eltiempo f : 0 comienza a retadase de modo que su aceleracin angular es

-

a (o desaceleracin al.Demostrar que: (a) se detiene en el tiempo ts/o, y (b) que la distancia iecorrida ""

r!,/Zo.l'96' Si la partcula del problema 1.95 se mueve a 3600 evoluciones por minuto en una circunfeencia de 100 cmde radio y desacelera a razn de 5 adianes,/seg2: (o) cunto tiempo trascurrir para que llegue al reposo?y () qu distancia habr recorrido? Resp 75,4 seg, (b) 1,42 X 106 cm

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL1.97. Si A: xzi*(2x2

-,r)j- J,z2ky d:B2), lJ,rzs, halla: (o) V, () V.A y (c) VXAen el punto (1, -1, l). i?esp. (o) _6i + j + Sk, il 2, (c) _i + j + 4k

f.98. Si O: -y *-r,z I zt y A: z.r'i *lrzi + zk, hallar: (o) .{.V0, (b) V.A y (c) (V) XAenelpunto (3, -1,2). Resp. (o) 28, (b\ 2, (c) 56i _ BOj + 4?k

1'99' Demostra que si L,f, v', A, B tienen derivadas parciales continuas, entonces: (o) V(U +Vr) -

VU + VV,() v.(a+B) = v.A+v.B, (c) vx(a+B) = vxa+vxB.l.lOO. I)emostrarque VX (2r) :O donde r:i*t,j*ekyr: lrl.l.l0l. Probarque: (o) div rot A : 0, V () rot grad : O con condiciones dadas de A y .

: x2y -

3xz2 I 2ryz, demostra directamente que

Besp. -6ri * (62 - f)k

l'1o4. (o) Demostrar que v x (v x a) = -v2a+ v(v.a). (b) Verifica el resultado en (a) si A es el vectodado en el problema 1.103.1.105. Demostrarque:(o) Vx(UA) = (VU)xA+U(VxA). (b) V.(AxB) = B.(VxA)_A.(VxB).INTEGRALES DE LINEA E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

(0,0,0) hasta (1, l, l), donde C es la() la lnea recta que une esos puntos;

1) y luego hasta (1, I, l); (d) la curva

l'1O2. Si A : (2x2 -

yzli * (.r,' -

2xzlj I x2z3k y gdivrot A:0 yrotgrad 6:0.t.l03. Si A : 3xz2i

- )zi + G * 2z)k, hallar ot rot A.

r.106. SiF:(B-2.r,)i alcular f F.drd".deJ.trayectoria correspo : f, ],": 2, : 1.(c) la lnea recta de 1,0), luego hasta (0, l,x : zz, z : yr. 5/5, (c) O, (d) lB/gO

30 VBCTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. l

l.f67. Calcular (A,.a, donde A:3r2i !(2xz -y)j +zk alolargode:(a)lalnearectadesdeJ(0,0,0) hasta (2,1,3), (b)lacurvaenelespacio x:2t2,y: t, z:4t2 - desde t:0 hasta f:1,(c)lacurvadefinidapor x2 :4y,33 :82 desde :0 hasta :2. Resp. () 16, (b) 14,2, (c) 16

l.fg8. Hallar 6" .rt donde F : (t -

3y)i * (y -

Zxlj y Ceslacurvacerradaenelplano xy, x:2cost,JJ:3sent, z:0 desde :0 hasta t:2r. Resp. 6r

l.l09. (c)Si A : (4xy-3x222)i*(4yt2r2)i* (1-23e)k, demostrarque f n'0, esindependienteCde la curva C que une los dos puntos. (b) Calcular la integral en (o) si C es la curva desde los puntos(1,

-1, l) hasta (2, -2, -ll. Resp. (b) - 19l.1l0. Determinar sl J"A.dr es independiente de la trayectoria C que une dos puntos cualesquiera si: (a)

A:2xyzi * x2z! * x2yk, (b)2xzi * (r2 -

ylj * (22 -

2)k. Enelcasoqueseaindependientedeter-

l.lll. Calcula f""'0, donde E: rr.

minar el valor de tal que A : V.^Besp. (o) Independiente de la trayectoria, 0 : x2yz f ci () depende de la travectoria

0Pesp

PROBLEMAS VARIOS1.112. si Ax B:8i

- 14j+k v A* B:5i+3j*2k, hallar AvB'

iesp. A :2i+ i -

2k, B: 3i + 2j + 4kl.ll3. Sean lr, mt, nt y 12, nr2, n2 los cosenos diectores de dos vectores. Demostrar que el ngulo 0 entre

ellos es tal que cos d : ltlz I mtmz * ntnzl.l14. Demostrar que la lnea que une los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralela al tercer lado y

tiene la mitad de su longitud.

1.115. Demostrar que (A X B)'2 + (A 'B)' : A282.l.fl6. Si A,ByC nosonvectorescoplanarios(vectoresqueroestnsobreelmismoplano)Y rA* ytB* ztC:

zA * lzB I ezC, demostrarque necesariamente rt : rz, lt : !z' zr :22.

1,117. Sea ABCD cualquier cuadriltero y los puntos P, Q, n y S los puntos medios de los lados sucesivos.Demostar que: () PQRS es un paralelogramo, (b) el permetro de PQftS es igual a la suma de las longi-tudes de las diagonales de ABCD.

1.118. Demostrar que un.ngulo inscrito en una semicircunferencia es un ngulo recto.

1.119. Encontar un vecto unitario normal a la superficie f y -

2xz * tyt r' : 10 en el punto (2, l, -l).

rtesp- +(3i + 4j -

6k),/\6'i1.120. Demostrar que A' # = O#.l.12l. Si A(u) es una funcin diferenciable de u y lA(u) | : 1 demostrar que dA/du es perpendicular a A.1.122. Demosta que V '(OA) = (VO) 'A + O(V 'A).1.123. Si Ax B:Ax C, esnecesariamente B: C? Explicar.l.].}4. Un barco navega hacia el noeste a l5 millas por hora. Un hombre sobre este barco observa que otro barco

situado 5 millas al oeste parece que navegara hacia el sur a 5 millas por hora. () Cul es la velocidad realde este barco? (b) Cul ser su distancia minima?

1.I^2F,. Demostrarque (Ax B)' (C x D)+ (Bx C)' (Ax D)+ (C x A)'(Bx O) : O'f.126. Resolverlaecuacin d2r/dt2:

-gk dondegesunaconstanteysecumpleque r: O, dt/dt: uok en:0. i?esp. r:(ust-Lgt2\k

cAP. ll VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION

1.127. Si : (x'*y" * z2)-rtz, demostrarque Vzp = V.(Vd) = 0 entodoslospuntosaexcepcindelpunto (0, 0, 0).1'128' La velocidad de salida de una bala de can es de 60 mi,/h. Considerando que la bala se acelera uniforme-

mente, cunto tiempo tardar la bala en recorrer un can de 2,2 pies de longitud? Besp. 0,0b segl'129' La escalera AB de 25 pies de longitud reposa sobre la pared vetical OA como se muestra en la figura l-2g.Si el pie B de la escalera se hace mover alejndolo de la pared a 12 pies,/seg, hallar: (o) la velocidad, y (b)

la aceleracin del extremo superiorA de la escalera en el instante en que B est a 15 pies de la pared.Resp. (a) 9 pies,/seg hacia abajo. (b) 1L,25 pies,/segp hacia abajo

l'13o' Probarque(a) lA*Bl 5 tAl + lBl, () lA+B+cl s lAl + IBI + lcl. Darunainterpretacingeomtrica posible.l'l3l' Un tren parte del repo'so con aceleacin uniforme. Despus de l0 segundos tiene una rapidez d.e20mi/h.(o) Cunto ha recorido desde su punto de partida en un tiempo de lb segundos? (b) Cul ser la ra-pidez en mi,/h? Resp. (a) 830 pies, () g0 mi,zhr'132' Demostrar que la magnitud de la aceleracinde una patcula en movimiento curvilneo en el espacio es

!(tlAtz * ualfizdonde u es la rapidez tangencial y

.R es el radio de curvatua.

1.133' Si T es el vector unitario tangente a la curva C y A es un campo vectorial, demostrar que

f o.o, = f o.ro"J Jdonde el parmetro s es Ia longitud del arco.

1.134. Si A : (2x -

y + 4)i + (by * 3 _ 6)j, calcular(0,0,0), (3,0,0), (3, 2, 0). Resp. L2l'r35' El conductor de un automvil parte de un punto A en una autopista y se detiene en un punto B despus

de viajar una distancia D en un tiempo ?. Duante el viaje alcanza una velocidad mrrima V. Suponiendoque el valor de la aceleracin es constante tanto al comienzo como al final del viaje, demostrar que el tiempodurante el cual se mantuvo la velocidad mxima se da por 2D/V _ T.

1'136' Demostrar que las medianas de un trirtrgulo: (o) pueden fomar un tringulo, () se encuentran en un pun-to que divide la longitud de cada mediana en la relacin dos a uno.

l'r37' Si una partcula tiene velocidad v y aceleracin a a lo largo de una curva en el espacio, demostrar que elradio de curvatua de su trayectoia se da numricamente por

n -",lvxal

1.f38. Demostraqueelreadeuntringuloformadoporlosvectores A,B v C es IlAx B+ BX C+Cx Al.1.139. (o) Demostrarquelaecuacin A x X: B puederesolverseparaXsiyslosi A.B:0 y A I o.() Demostrar que una solucin es X : B x A/A'. (c) hee encontrar la solucin general?

8sp. (c) X : B X A/A2 * IA donde I es un escalar.f.l40. Encontrar todos los vectores X tales que A . X : p.

Resp. X : pA/A, + V X A dondeV es un vector arbitrariol'141. Por un punto interno de un trirngulo se trazan tres lneas paralelas respectivarnente a cada uno de los tres

lados del tringulo. Cada lnea termina sobre los otros dos lados. Demostrar que la suma de las relacionesentre las longitudes de estas lneas y sus lados correspondientes es 2.

L'142. Si T'NyB: T X N sonlosvectorestangentesunitariosyseconsideraquelanormalprincipalylabinor-mal a la curva en el espacio r : r(u) son difeenciables, demostrar que

dT dB dN6=*N, =-tN, fr="8-*TEstas son las frmulas de Frenet-Serret. En estas frmulas r se llama la curuatura, r es la orsin y susinversos R : l/x, o : L/ se llaman el rad,io de curuatura y el radio de torsn.

3t

32 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION lcAP. l

1,143. En la figura 1-31, AB es una biela de pistn de longitud l. Si A se mueve a lo largo de una lnea horizontalCD, y B se mueve con velocidad angular constante o alededor del crculo de radio a con centro en f),encontrar: () la velocidad, v (b) la aceleracin de A.

P

Fis. r-31

e

Fig. l-32

1.144. Un bote sale de un punto P (figura 1.32) sobre la orilla de un ro y viaja con velocidad constante V dirigidohacia un punto Q sobre la otra orilla del ro, situado en direccin directamente opuesta a P. La distanciaentre los dos puntos es D. Si r es la distancia instantnea desde Q al bote, 0 es el ngulo entre r y PQ, ylas agas del ro se mueven con rapidez u, demostrar que la trayectoia del bote se da por

Dsecer= (seca*tana)u/Y1.f45. Si en el problerna 1.144 u : V, demostrar que la trayectoria es un arco de parbola.

1.f46, (o) Demostrar que en coordenadas cilndricas ( p, , z) (figura 1-33) el vector de posicin esr = pcosi * pseni * zk

(b) Expresar la velocidad en coodenadas cilndicas.(c) Expresar la aceleracin en coodenadas cilindricas.Resp. (b) v - ipt+p6Or+Lu

(c) a = (-piz)pr+(pt+zii)otI?u

Y,

r

I

I

DlItOr)l,/

Coodenadas cilndicasFig.l-33

Coordenadas esfricasFig.l-34

1.L47. (c) Demostra que en coordenadas esfricas (, ,, ) (figua l-34) el vector de posicin esr = rsenrcosOi+ rsenrsenQi*rcosAk

I : I :::: : :: [ :::il:::il'J":i:,T"1'"1'":'iil:l';.Resp. (b) v = h, + r'cc, * ri sen o 1

(c) = ('i - rbz - r2 sen2 c)q* Qi + ri - ri2""n, co!,)'r 1Zr'ci * 2ii se" e + r' senc)r1.f48, Demostra que si una partcula se mueve en el plarro ry los resultados de los problemas l.L46y 1.147

educen a los del problema 1.49.

Coptufo 2Leyes de Newton sobre movimiento. Troboio,

energo y contidod de movimientoLEYES DE NEWTON

Las tres leyes del movimiento enunciadas por Sir Isaac Newton son consideradas comolos axiomas de la mecnica:l' Toda partcula permanece en estado de reposo o de movimiento uniforme en lnea recta(es decir, con velocidad constante) a menos que acte una fuerza sobre ella.2' Si acta una fuerza F (externa) sobre una partcula de masa m y como consecuencia s-ta se mueve con velocidad v, entonces

F_dilo=*\tnv)=E(1)donde P : mv se llama momentum o cantid,qd de mouimieno. Si m es independien-te del tiempo , entonces

F=donde a es la aceleracin de la partcula.

3' Si una partcula l acta sobre una partcula 2 con una fuerza F,, en direccin de la linea que une las partculas, la partcula 2 acta sobre la partcula 1 con una f'uerza F2,,por tanto, Frt :

-Frz. En otras palabras, para toda accin existe unareaccin igualy opuesta.

DEFINICIONES DE FUERZAY MASALos conceptos de fuerza y mascr utilizados en los axiomas anteriores estn an sin definir,

a pesar de que intuitivamente tengamos alguna idea de masa como una medida de la ,.can-tidad de materia de un objeto" y de fuerza como una medida del "empuje o traccin sobreun objeto". Sin embargo, podemos usa los axiomas anteriores para desarrollar las definicio-nes (vase el problema 2.28).

UNIDADES DE FUERZA Y MASALas unidades patrn de masa son el gramo (g) en el sistema CGS (centmetro-gramo-se-gundo), elkilogramo (kg) en el sistema MKS (metro-kilogramo-segundo) y la libra (lb) en el

sistema PLS (pie-libra-segundo). Las unidades patrn de fuerza en estos sistemas sonla dina,el newton (nt) y el poundal (pdl), respectivamente.IJna dina es la fuerza que imparte unaaceleracin de I cm,/seg2 a I g. Un newton es aquella fuerza que imparte una aceleracinde 1 m,/seg'

" tl kg masa. IJn poundal es la fuerza que imparte a 1 libra masa una acele-acin de l pie,/seg2. Para las relaciones entre estas unidades vase el apndice A.

SISTEMAS INERCIALES DE REFERENCIA. MOVIMIENTO ABSOLUTODebe hacerse nfasis en que las leyes de Newton se postularon con la consideracin de que

todas las medidas u observaciones se hicieron con resplcto a un sistema coordenado de refe-rencia fijo en el espacio, es decir, en reposo absoluto. Este enunciado considera que tanto el es-

33

(2)d,v

*a:ma

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM lcAP. 2

pacio como el movimiento son absolutos. Sin embargo, una partcula puede esta en reposoo en movimiento uniforme en lnea recta con respecto a un sistema de referencia, pero con res-pecto a otro sistema de referencia puede estar movindose sobre una trayectoria curvilnea ytener aceleracin.

Podemos demostrar que si las leyes de Newton se cumplen en un sistema de referencia,tambin se cumplen en cualquier otro sistema de referencia que se mueva con velocidad cons-tante relativa al primero (vase el problema 2.3) . Tales sistemas de referencia se llamansistemas inerciales d.e referencia o sistemas newtonianos de referencia. Para todos Iosobservadores en estos sistemas inerciales, la fuerza que acta sobre una partcula ser lamisma, es decir, ser inuariane. Esto algunas veces se Ilama el princpio clsico de rela-tiuidad.

La Tierra no es exactamente un sistema inercial, pero para muchos propsitos prcticospodemos considerar que su movimiento tiene lugar con pequea rapidez. Usaremos los mto-hos del captulo 6 para sistemas no inerciales. Para velocidades comparables con la velocidadde la luz (186.000 mi/seg),las leyes de la mecnica de Newton deben remplazarse por lasleves de relatiuidad de Einstein o mecnica relatiustica'

TRABAJOSi una fuerza F acta sobre una part-

cula y la desplaza dr, entonces el trabajoefectuado por la fuerza sobre la partcula sedefine como

d,W = F' dr (3)puesto que solamente Ia componente de Fen la direccin del desplazamiento dr es laque realmente produce el movimiento.

El trabajo total efectuado por un cam-po de fuerzas F (campo vectorial) al mover ula partcula del punto P al punto P, a lolargo de la curva C de la figura 2-1 se expre-sa mediante la integral de lnea (vase elcaptulo 1).

r fPzw = )"r.'a, = J", "'donde rr y tz son los vectores de posicin de P1

Fig.2-l

frzdr = | r.arvrly Pr, respectivamente'

(4)

POTENCIALa variacin en el tiempo del trabajo efectuado sobre una partcula frecuentemente se

denomina potencia instantnea. o simplemente potencio aplicada a la partcula. Usando lossmbolos W y ? para trabajo y potencia, respectivamente, tenemos

si acta una fuerza F sobre una partcula cuya velocidad es v, tenemose = F'v (6)

ENERGIA CINETICASupongamos que las partculas anteriormente utiliaadas tienen masa constante y en los

tiempos tt ! tz estn localizadas en P1 y P2 (figura 2-I) y se mueven con velocidades

adwdt

(5)

cAP. 2l LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM

vr : drr/dt y vz : drz/dt, respectivamente. Podemos demostrar el siguiente(vase el problema 2.8).

Teorema 2.7. El trabajo realizado al mover la partcula a lo largo de la curvaP, hasta & se da por

35

teorema

C desde

(7\

(8)

w : f"t.a,Si llamamos a la cantidad T : imu2la energa cintica de la partcula, entonces el teorema 2.1 es equivalente a decir

trabajo total realizado desde P1 hasta & a lo largo de C: energa cintica en P2

-

energa cintica en P,o, en smbolos,donde Tt = lmo?, 7, = $maf,.

W:72-Tl

CAMPO DE FUERZA CONSERVATIVOSupongamos que existe una funcin escalar V tal que F :

- V V. Entonces podemos de-

mostrar el siguiente teorema (vase problema 2.15).Teorema 2.2. El trabajo total realizado al mover la partcula a lo largo de C desde p1

hasta P, se da por

(e)(10)

w = fr*,'r. o, =

f "t.a,

: o

v(Pi -

v(P,) (/r)

(131

En tal caso, el trabajo realizado es independiente de la trayectorio C que une los puntos P, y&. Si el trabajo realizado por un campo de fuerza al mover una partcula de un punto aotro es independiente de la trayectoria que une los puntos, entonces se dice que el campo defuerza es conseruatiuo.

Los teoremas siguientes son vlidos.Teorema 2.3. Un campo de fuerza F es conservativo si y slo si existe un campo esca-

larVdiferenciablecontinuamentetalque F: -VV o,equivalentemente, siyslosi

VxF - rot F = 0 idnticamente (12)Teorema 2-4- Un campo de fuerza F diferenciable continuamente es conservativo si y

slo si para cualquier curva cerrada C que no se intersecte consigo misma (curva cerradasimple),

es decir, el trabajo total realizado al mover la partcula sobre cualquier trayectoria cerrada escero.

ENERGIA POTENCIAL O POTENCIALEl escalar Vtal que F :

- VV se llama energapotencial,llamadodambinelpotencial

escalar o simplemente potencial de la partcula en el campo de fuerza conservativo F. En talcaso, la ecuacin (11) del teorema 2.2 puede escribirse

trabajo total realizado desde P1 hasta P2 a lo largo de C: energa potencial en P1

- energa potencial en P2 (14)

36 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, E.ERGIA Y MOMENTUM tcAP. 2

o, en smbolos, W Vt V2 (15)donde Vt : V(Pt), V, : V(Pr).

Debe notarse que el potencial se def ini sin sumar una constante arbitraria. Podemos ex-presar el potencial como

v = -f"r.a,uodonde suponemos que V : 0 cuando r : ro.

CONSERVACION DE LA ENERGIAPara un campo de fuerza conservativo tenemos de Ias ecuaciones (I0) y (15),

Tr-7, = Vr-Vz o Tr*Vt: Tz-lVzlo cual puede escribirse como )ma'l* Vt - L2mu2r+ VzLa cantidad E : T * V que es la suma de la energa cintica y energa potencial, se llamaIa energa total. De (t8) vemos que la energa total en P es la misma que en Pr. Podemosestablecer nuestros resultados en la siguiente forma.

Teorema 2.5. En un campo de fuerza conservativo, la energa total (es decir, la sumade energa cintica y energa potencial) es una constante. En smbolos, T + V : constan-te:8.

Este teorema se IIama frecuentemente el principio de conseruacin de La energa.

(16)

(17)(18)

IMPULSOSupongamos que la

tt y t. con velocidadesdada por

partcula en la figura 2-1 est localizada en Pr y P2 en Ios instantesvr y v2, respectivamente. La integral en el tiempo de la fuerza F

ntzI nat!1

(19)

se llama eI mpulso de Ia fuerza F. Los siguientes teoremas pueden demostrarse (vase el pro-blema 2.18).

Teorema 2.6. El impulso es igual al cambio de momentum; o, en smbolos,ft,

J. Fdt = mv, - nLvt : p, - p, Qol.t

Este teorema es vlido aunque la masa sea variable y la fuerza no sea conservativa.

MOMENTO DE UNA FUERZA Y MOMENTUMSi r es el vector de posicin de una partcula

que se mueve en un campo de fuerza F (figura2-2). definimos

A = rXF (21)como el momento de la fuerza F con respecto a O.La magnitud de A es una medida del "efecto degiro" producido por la fuerza sobre Ia partcula.Podemos demostrar (vase el problema 2.20\

Teorema 2.7.rxF : Lwxv)\ Q2) rdt'

ANGU LAR

Fie.2-2

CAP' 2] LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUMLa cantidad

A = m(r Xv) = n

37

(23)se llama el momentum angular o momento del momentum con respecto a o. En otros trmi-nos' el teorema establece que el momento que acta sobre una partcula es igual a la tasa devariacin en el tiempo de su momentum angular, es decir.

da^- . e4)

Este teorema es vlido aun sea la masa rn variable o Ia fuerza no conservativa.CONSERVACION DEL MOMNNTU

Si hacemos F : O en la segunda ley de Newton, encontramosd.r(mv)=0 o ,rnv =constante (%\

lo cual lleva alTeorema 2'8' Si la fuerza neta externa que acta sobre la partcula es cero, su momen-tum ser constante.Este teorema se llama el principio d'e conseruacin d,el momentum. para el caso de masaconstante, equivale a la primera ley de Newton.

CONSERVACION DEL MOMENTUM ANGULARSi hacemos

^ : 0 en (24), encontramos

ftWtxv))=0 o m(rxv) =constantelo cual nos lleva al

Teorema 2'9' Si el momento externo neto que acta sobre una partcula es cero, elmomentum angular permanecer constante.Este teorema se llama generalmente el principio de conser uacin del montentum angular.

FUERZAS NO CONSERVATIVASue F =

-VZ (o, equivalentemente, si V X?rza no conseruatiuo. Los resultados (7), (20) yL todos los tipos de campos de fuerza, conserva-(17) o (18) se cumplen solamente para campos

ESTATICA O EQUILIBRIO DE UNA PARTICULAUn caso de especial importancia de movimiento de una partcula ocurre cuando la part-cula est, o parece estar, en reposo o en equilibrio con respecto a un sistema inercial de coor-denadas o sistema de referencia. Una .orrdi"in ,r"ces"ri" y suficiente, de la segunda ley deNewton, es

F=0 Q7)es decir, la fuerza neta (externa) que acte sobre la partcula debe ser cero.

Si el campo de fuerza es conservativo con potencial v, entonces una condicin necesariay suficiente para que la partcula est en equilibrio en un punto es

(26)

en el punto.Y7=0, i.e. u*{=#={=o

38 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM ICAP. 2

ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIOsi una partcula en equilibrio es desplazada ligeramente de un punto P y tiende a volver

a P, entonces P se llama in punto de estabilidad o punto estable y se dice que el equilibrio esestable. De otra manera, dirmos que el punto es de dnesobilidad y que el equilibrio esinesta-bJe. El teorema siguiente es fundamental'

Teorema 2.Io. Una condicin necesaria y suficiente para que un punto en equilibriosea un punto de estabilidad, es que el potencial v en el punto sea un mnimo.

P roble ma s re sueltosLEYES DE NEWTON2.1. Debido a un campo de fuerza, una partcula de 5 unidades de masa se mueve a lo lar-

go de una curva en el espacio cuyo vector de posicin se da como funcin del tiempo por

r -

(2t"+ )i + (gt4 -

t2+ 8)i -

12'zk

Hallar: (o) la velocidad, (b) el momentum, (c) la aceleracin, y (d) el campo defuerza en cualquier tiemPo .

= t = (62+l)i + (tzts-zt)i-zltkdtmv = 5v = (30z+5)i+(60s-10)i-120k0,

= # = r2ti+ (s62 -z)i - zut*

(d) Fuerza = F = # - *# = 60i+ (1802-10)i- 120k

2.2. una partcula de masa rn se mueve en el plano ry de manera que su vector de posi-cin es

r : ocosoi + bsenoj

siendo a, b y o constantes positivas y a > . (o) Demostrarque la partcula se mue-ve en una elipse. (b) Demostrar que Ia fuerza que acta sobre la partcula est dirigi-da siempre hacia el origen.(o) EI vector de Posicin es

r = ri+ai = cosoi*bsenojas que r : o cos @t' Y : b sen of son las ecu:ciones paramtricas de una elipse con semieje mayory semieje menor de longitudes o y , respectivamen-te (figura 2-3).

Por tanto,(r/a\z I (a/Oz

- cos2o *sen2ot = 1

que es la ecuacin de la elipse, ya que x"n2 *v'/b2 -- l'

(b) Considerando la partcula de masa constante m' Ia fuerza que acta sobe ella esdv d2r ,,- .--

't:F = m7; = *# = *fr\t" coso)i * ( seno)il= ml-oza cos ot i - o2b sen o i]:

-mrzle cosot i * seno il = -rno2rlo cual demuestra que la fuerza se dirige hacia el origen'

(o)

(b)

(c)

Velocidad: v

Momentum =

Aceleracin =

p=a=

a

b

Fis.2-3

cAP. 2l

2.3.

LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM 39

Dos observadores O y O,, fijos con rela_cin a dos sistemas coordenad.os Oxyzy O'x'y'z', respectivamente, observan elmovimi.ento de una partcula p en elespacio (figura 2-4). Demostrar que pa_ra ambos observadores acta la mismafuerza sobre la partcula si y slo si lossistemas coordenados se mueven convelocidad relativa constante ente s.

Sean los vectorcs de posicin de la partculaen los sistemas coordenados Oxyz y O'x,y;2,, r y I

,

respectivamente, y sea el vecto de posicin de O;con respecto a O, R : r _ r,.

.. 1t|'

Fig.2-4Para los observadores o y o' las fuerzas que actan sobre p de acuedo con las leyes de Newton seerpresan, respectivamente, por

La diferencia en las fuerzas obsevadas es

F_F' =y sta ser cero si y slo si

F=m#, ,,=*ffi

=*#*ffi{, -,,)

ffi=,.# = constantees decir' que los sistemas coodenados estn movindose a velocidad constante uno con relacin al otro.Estos sistemas se llaman sistemas coordenados inerciales.

El resultado es, algunas veces, llamado el principo clsico de ta relatiuidad.

2'4' una partcula de masa 2 se mueve en un campo de fuerza dependiente del tiempo yexpresado medianteF = Z4t2i + (S6t_ 16)j _ fZt

Suponiendoquepara :0 lapartculaestlocalizadaen ro : Bi _ j + 4k ytienevelocidad vo : 6i + 15i -

8k, hallar: (o) la u"to"i", y () la posicin para cual-quier tiempo .(o) De acuerdo con la segunda ley de Newton.

2dvldt = Z4t2i+ (S6_16)j _tltkdvldt = t2t2i+ (18_8)j_6k

Integrando con respecto a y llamando c, ra constante de integracin, tenemos

como v=v0=6i+16i-; ""=,:: :i"--'l: =.,:;-'ru

"".,v = (43+6)i + (92_8+16)j _ (32+8)k(b) Como v : d/dt, tenemos, de la parte (o),

dr = (4E+6) + (9t2_8+16)i _ (32+8)k

Integrando con respecto a f y llamando c, la constante de integracin

40 LEYES SOBRE MOVIMIENTO' TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM ICAP' 2

r = (4+64i + (Sf -4t2+160i - (8+8)k + c2

Como r - to = 3i-j+4ken : 0, tenemos cz = 3i-j+4k yr = (4+6+3)i + (}ts-4t2+16-l)i + (4-e-8)k

2.6. una fuerza F constante que acta sobre una partcula de masa m cambia la veloci-dad de vr e v2 en el tiempo r'(o) Probar que F : n(vz - vr)/r'(b) El resultado obtenido en (o) se mantendr si la fuerza vara? Explique'(o) De acuerdo con la segunda ley de Newton

---dv _ - ^ 4y - F (r)mA-I e ih-m

Entonces, si F y m son constantes' tenemos al integrar

v = (Flm)ttc,En=0,V=Vraseuec1 =v1,i.e.

v = (F/m)t*t, e)En =r, v=vz as que Y2 = (Flm'r I v1

o sea. F = rn(v2-v1)lt (3)

Otro mtodoEscribi(I) como mdv: Fd' Como v: vr Paa t:0 y v - v2 paa t: r tenemos

fv2 fJ|' *dt = | I"at o tn(vz-v1) = FrJ ",

of

que es el resultado deseado'(b)No,engeneralelresultadonosemantienesiFnoesconstante,puestoqueentalcasonopodamos

obtener el resultado de la integracin conseguido en (o)'

2.6. Hallar la fuerza constante necesaria para acelerar una masa de 10.000 g en movimien-to a lo largo de una recta desde una rapidez de 5 km,/h a 108 km'lh en 5 minutos'Expresarla: (o) en el sistema CGS, y (b) en el sistema MKS'

consideremos el movimiento en Ia dieccin positiva del eje r' Entonces si v' y v' son las velocida-des,tenemosdelosdatosdadosvt:54ikrrr'/h'vz:108ikn/h'm:10'0009't:5min'(o) En el sistema CGS

m:10a B, vr :54ikm,/h:1,5 x t03icm,/seg. tz = 3,0x103icm/seg' = 300seg/v.,

-

v,\ /1,5 X 103i cm/seg \Entonces Ir = ma, = *\?) = (10r s) \- Bxlgr*s i

= 0,5X 105i gcm/seg2 = 5X104idinas

Lamagnituddelafuerzaesde50.000dinasenladireccindelejepositivor.lb) En el sistema MKS

m = lkg, vr = $4ikm/h = 15i m/seg, v, = 30im/seg' = 300 seg/v.-v,\ /15im/seg\

Entonces F = rna = ^\-) = (10ks)\ g00*- /= 0,5i kg m/seg2 = 0,5i newtons

Demodoquelamagnitudes0,Sntenladireccinpositivadelejer.Esteresultadotarnbinsehabra podido obtene de la parte () considerando que t nt : 105 dinas o sea que I dina

: 10-5nt'

cAP. 2l LEYES SOBRE MOVIMIENTO, TRABAJO. ENERGIA Y MOMENTUM

En este problema el vecto unitario i se omite algunas veces, se sobentiende que la fuerza F tendla direccin positiva del eje r. Sin embargo, es prctico utilizar el vector unitario en problemas similarcspara hacer nfasis en el carcter vectorial de la fierza, de la velocidad, etc. Esto ea impottante en los casosen los que las velocidades cambien sus direcciones. Vase, por ejemplo, el problema 2.46.

2.7. Qu fuerza se necesita para detener en 4 segundos una masa de 2000 lb que se muevecon una rapidez de 0O mi,/h?

Supondremos que el movimiento se realiza a lo largo de una lnea recta que hacenos coincidir con ladireccin

;"-l ffi: ::": ffi 111H, -":;'='T;::;"" - 4 *sEntonces F = tna = ,o f "'; "t) = (2000lb) -aei e/seg )\ / \ 4seg /

= -4r4 x l0ti p lb,/seg2 = -4,4 x 10li poundals

De modo que la fuerza tiene una magnitud de 4,4 X 1 poundals en la direccin negativa del eje r, osea que se opone al movimiento, como era de esperarae.

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA CINETICA2.8. Una partcula de masa constante zr se mueve en el espacio bajo la influencia de un

campo de fuerza F. Suponiendo que en los tiempos tt y tz las velocidades son v, yv2, espectivamente, demostrar que el trabajo dado es igual al cambio de energacintica, esto es,

4l

t._l

trabajo realiza,j' = '-tt

ntz

Jq

F.dr =

t .fiat

^fi' , a'r^ l,::d(v . v)

gmal -

gmal

= fo r."o,= * !,1,,, ".

n"

= r^*l[i, = f,tnof, - ltnt!2.9. Hallar el trabajo realizado al mover un objeto a lo

largo del vector r : 3i + 2j -

5k si la fuerza apli-cadaes F:2i

-

j -

k (figura2-5).trabajo ealizado : (magnftud de la fuerza en la direccin

del movimiento) (distancia recorida)-

(f' cos a)(r) -

F. r

= (2i-j-k).(3i+2i-6k)-

6-2*6 = 9

flI

Fig.2

2.1O. Refirindonos al proble ma 2.2; (o) hallar la energa cintica de la partcula en los pun-tos A y B, (b) hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza al moverse la part-cula de A a B, (c) ilustrar el resultado del problema 2.8 en este caso, y (d) demostrarque el trabajo total rcalizado por el campo sobre la partcula que se mueve sobre unaelipse es cero.

42 LEYES SOBRE MOVTMIENTO. TRABAJO, ENERGTA y MOMENTU