Sandoya fernando métodos exactos y heurísticos para el vrp jornadas
47
1 “Métodos Exactos y Heurísticos para resolver el Problema del Agente Viajero (TSP) y el Problema de Ruteo de Vehículos (VRP) ” Fernando Sandoya Sánchez ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL Guayaquil, Ecuador Octubre 2007
Transcript of Sandoya fernando métodos exactos y heurísticos para el vrp jornadas
1
“Métodos Exactos y Heurísticos para resolver el Problema del Agente Viajero (TSP)
y el Problema de Ruteo de Vehículos (VRP) ”
Fernando Sandoya SánchezESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL
Guayaquil, EcuadorOctubre 2007
2
Indice
Introducción
Redes fisicas y grafos
El T.S.P.
El problema de ruteo de vehículos.
Clases de problemas VRP.
Métodos heurísticos para el VRP.
Heurística de Clarke Wright
3
Introducción
La distribución de bienes
El problema de distribuir productos desde ciertos depósitos a sus usuarios finales juega un papel central en la gestión de sistemas logísticos y su adecuada planificación puede significar considerables ahorros. Esos potenciales ahorrosjustifican en gran medida la utilización de técnicas de Investigación Operativa como facilitadoras de la planificación, dado que se estima que el inadecuado manejo de la logística y el transporte incide en el 40% y hasta el 80% del costo final de los bienes (Foro intenacional Logística y facilitación del Comercio y el transporte, Quito: Octubre 2007)
4
La distribución de bienes
La efectiva administración de la distribución presenta unavariedad de problemas de toma de decisiones a los tres niveles de decisión (estratégico, táctico y operativo).
-Decisiones relativas a la localización de instalaciones (plantas, almacenes o depósitos) son estratégicas,
-Los problemas de determinar el tamaño de la flota y sucomposición, son identificadas como tácticas.
-Finalmente, las decisiones operativas incluyen las relativas a la definición de las rutas y la programación de los vehículos.
Introducción
5
Pero el interés que reviste el área no es puramente práctico. Los Problemas de Ruteo de Vehículos son Problemas de Optimización Combinatoria y pertenecen, en su mayoría, a la clase NP-Hard. La motivación académica por resolverlosradica en que no es posible construir algoritmos que en tiempopolinomial resuelvan cualquier instancia del problema (a no ser que P = NP)
Introducción
6
En ese sentido, las últimas cuatro décadas han visto un enormeesfuerzo por resolver estos problemas.
•En 1959, Dantzig realizó por primera vez una formulacióndel problema para una aplicación de distribución de combustible.
•Luego, Clarke y Wright propusieron el primer algoritmo queresultó efectivo para su resolución: el popular Algoritmo de Ahorros.
Por último metaheurísticas: Recocido Simulado, Genéticos, Búsqueda tabú, Genéticos, Colonia de hormigas
Introducción
7
Estos modelos y algoritmos deben su éxito, en buena parte, a la evolución de los sistemas informáticos. El crecimiento en el poder de cómputo y la baja en sus costos, ha permitidodisminuir los tiempos de ejecución de los algoritmos.
Por otro lado, el desarrollo de los Sistemas de InformaciónGeográfica resulta fundamental para lograr una adecuadainteracción de los modelos y algoritmos con los encargados de realizar la planificación.
Introducción
8
REDES FISICAS Y GRAFOS
REALIDAD:
Red física,
Clientes, depósitos
Vías de comunicación: carreteras,
etc.
9
ABSTRACCION:
Red matemática: Grafo pesado (orientado)Nodos: Depósito y Clientes
Arcos (Aristas)
El peso asignado a cada arco cij = distancia más corta entre los nodos i, j en la red física (Dijkstra)
i
j
Cij
REDES FISICAS Y GRAFOS
Ver: floyd-Warshal.nb
10
El T.S.P.
Un problema que es base de gran parte de los problemas de distribución física de bienes es el problema del agente viajero (TSP por sus siglas en inglés).
El TSP se describe como sigue: un agente viajero desea programar visitas a sus clientes, por lo que desea viajar lo mínimo posible. Así, se encuentra en el problema de determinar una ruta que minimice la distancia total (o bien tiempo o costo)necesaria para visitar todas las ciudades en su zona.
11
El T.S.P.
•El T.S.P. sería equivalente a encontrar el ciclo Hamiltoniano de costo mínimo: Partiendo de un depósito se debe recorrer todos los vértices y regresar al depósito con la menor distancia total recorrida.
12
{ }
1 1
1
1
. . 1; 1, 2,...,
1; 1, 2,...,
0,1
n n
ij iji j
n
ijj
n
iji
ij
Min z c x
s t x i n
x j n
x
= =
=
=
=
= =
= =
∈
∑∑
∑
∑
Formulación en PROGRAMACION ENTERA del TSP:
Datos:n: Número de ciudades a visitarcij: distancia (costo) de la ciudad i a la ciudad j
1 si el arco ( , ) está en el TOUR0 si noij
i jx
⎧= ⎨⎩
Pueden generarse subtours, no es la formulación para el TSP
,1; , 1
n
iji S j S
x S S V S∈ ∈
≤ − ∀ ⊂ >∑
Restricción de eliminación de subtoures
El T.S.P.
13
Formulación en PROGRAMACION ENTERA del TSP:
PROBLEMA: Complejidad NP de este problema, fenómeno de explosión combinatoria
Muy difícil aplicar técnicas exactas para encontrar la solución óptima, en su lugar se han desarrollado heurísticas para determinar “buenas soluciones”
El T.S.P.
14
Complejidad NP de este problema, fenómeno de explosión combinatoria:
Por ejemplo, por exploración exhaustiva del conjunto de soluciones:Cada solución (Un Tour o ciclo hamiltoniano) es una permutación del conjunto de vértices V={1, 2, …, n}En total se tendrían n! soluciones factibles posiblesCon n = 20 ciudades por visitar se requiere evaluar 20! Posibles tours, imposible de realizar en un tiempo razonable.
771.468 años20741.015 días183.63243 horas150.036288 segundos101.2 ×10-6 segundos5Tiempon
El T.S.P.
Ver: TSP exhaustivo.nb
15
HEURÍSTICAS PARA RESOLVER EL TSP
Las más sencillas están basadas en el sentido común, las principales son las heurísticas glotonas:
- Heurística del vecino más cercano- Intercambio de aristas Or-opt
Heurística del vecino más cercano: Se va construyendo el tour secuencialmente, a partir del depósito, eligiendo en cada paso como el nodo siguiente al nodo más cercano al nodo actual.
El T.S.P.
16
Heurística del vecino más cercano:
Paso 1. Seleccionar un nodo inicialPaso 2. Identificar al nodo más cercano al último agregado, siempre que no haya sido agregado.Paso 3. Repetir el paso 2 hasta incluir todos los nodos
La cota superior garantiza que la solución del TSP aplicando
este algoritmo es a lo más ┌½(log2 n) ┐+1/2
El T.S.P.
17
Problema del Agente Viajero (Traveling Salesman Problem TSP): Ejemplodatos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 250 0 15 18 22 25 21 11 21 26 32 25 34 15 11 32 30 29 30 16 32 32 18 27 36 30 341 15 0 33 15 32 32 25 21 32 18 16 26 17 26 47 45 42 41 23 28 16 29 39 46 28 382 18 33 0 34 20 24 16 36 36 47 43 50 23 9 21 13 25 33 27 47 49 10 12 23 35 303 22 15 34 0 25 43 34 35 45 15 29 40 11 32 53 47 51 52 35 43 22 27 36 40 14 274 25 32 20 25 0 41 32 46 51 40 47 57 16 25 41 29 45 51 40 57 46 10 14 15 18 105 21 32 24 43 41 0 10 21 14 50 34 35 35 16 20 29 11 10 11 30 46 32 36 47 50 516 11 25 16 34 32 10 0 21 20 42 30 35 25 7 22 25 18 20 11 32 40 22 28 39 40 417 21 21 36 35 46 21 21 0 12 36 14 15 34 27 40 46 32 25 10 11 29 39 47 57 47 548 26 32 36 45 51 14 20 12 0 48 26 24 41 27 33 43 23 14 10 18 41 42 48 59 56 609 32 18 47 15 40 50 42 36 48 0 25 35 25 43 64 60 60 58 40 40 11 41 51 55 27 4110 25 16 43 29 47 34 30 14 26 25 0 11 32 35 52 55 45 39 22 15 16 43 52 60 43 5311 34 26 50 40 57 35 35 15 24 35 11 0 42 41 55 61 46 38 25 7 25 51 60 69 54 6412 15 17 23 11 16 35 25 34 41 25 32 42 0 22 43 36 43 45 30 43 30 16 25 30 15 2113 11 26 9 32 25 16 7 27 27 43 35 41 22 0 21 20 21 25 18 38 43 16 21 32 36 3514 32 47 21 53 41 20 22 40 33 64 52 55 43 21 0 16 11 22 30 50 63 32 30 40 56 5115 30 45 13 47 29 29 25 46 43 60 55 61 36 20 16 0 25 35 36 57 62 21 16 25 46 3816 29 42 25 51 45 11 18 32 23 60 45 46 43 21 11 25 0 11 22 40 57 35 36 47 57 5517 30 41 33 52 51 10 20 25 14 58 39 38 45 25 22 35 11 0 18 32 53 41 45 56 60 6118 16 23 27 35 40 11 11 10 10 40 22 25 30 18 30 36 22 18 0 21 35 32 39 49 45 4919 32 28 47 43 57 30 32 11 18 40 15 7 43 38 50 57 40 32 21 0 30 50 58 68 56 6420 32 16 49 22 46 46 40 29 41 11 16 25 30 43 63 62 57 53 35 30 0 45 55 61 36 4921 18 29 10 27 10 32 22 39 42 41 43 51 16 16 32 21 35 41 32 50 45 0 10 18 25 2022 27 39 12 36 14 36 28 47 48 51 52 60 25 21 30 16 36 45 39 58 55 10 0 11 32 2223 36 46 23 40 15 47 39 57 59 55 60 69 30 32 40 25 47 56 49 68 61 18 11 0 32 1824 30 28 35 14 18 50 40 47 56 27 43 54 15 36 56 46 57 60 45 56 36 25 32 32 0 1525 34 38 30 27 10 51 41 54 60 41 53 64 21 35 51 38 55 61 49 64 49 20 22 18 15 0
TABLA DE DISTANCIAS Cij
El T.S.P.
18
Problema del Agente Viajero (Traveling Salesman Problem TSP): Ejemplo
0
1
2
3
4
5 6
7
8
910
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Ubicación de los clientes a visitar
El T.S.P.
19
Problema del Agente Viajero (Traveling Salesman Problem TSP): Ejemplo
0
1
2
3
4
5 6
7
8
910
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Solución por la heurística del vecino mas cercano: costo total = 369.7
TOUR obtenido:0, 6, 13, 2, 21, 4, 25, 24, 3, 12, 1, 10, 11, 19, 7, 18, 8, 5, 17, 16, 14, 15, 22, 23, 9, 20, 0
El T.S.P.
20
Problema del Agente Viajero (Traveling Salesman Problem TSP): Ejemplo
0
1
2
3
4
5 6
7
8
910
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Solución obtenida con una metaheurística: costo total = 316.9
El T.S.P.
21
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2627
28
29
30 31
3233
34
35 36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46 47 48
49
50
El T.S.P. Otro ejemplo
22
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2627
28
29
30 31
32
33
34
35 36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46 47 48
49
50
COSTO TOTAL DEL RUTEO POR EL VECINO MAS CERCANO = 675.736
H∗−−−−HEURISTICA DEL VECINO MAS CERCANO−−−−−−∗L
El T.S.P.
23
HEURÍSTICAS DE INTERCAMBIO DE ARISTAS
La efectividad de esta heurística está determinada por que permite disminuir la formación de “cruces” entre aristas en el tour.Heurística 2-opt: Una ruta es mejorada borrando dos arcos, dando la “vuelta” a uno de los caminos resultantes y luego reconectándolos hasta que no pueda obtenerse ninguna mejora adicional. Heurística 3-opt: similar a 2-opt pero con 3 aristas
El T.S.P.
24
EJEMPLO DE LA APLICACIÓN DE 2-OPT
RUTA 2-opt: (1 9 8 7 6 5 4 3 2 10 11 1)
F. O.: 118.203
RUTA Original: ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1)
F. O.: 135.63
1
2 3 4
56
789
1011
El T.S.P.
25
EJEMPLO DE LA APLICACIÓN DE LA HEURISTICA DEL VECINO MAS CERCANO E INTERCAMBIOS 2-OPT:
Recorriendo óptimamente el Ecuador:
En el notebook de MATHEMATICA: TSPecuador.nb, se visualiza la aplicación de las heurísticas del vecino más cercano y de intercambio de aristas 2-opt al caso ecuatoriano (33 ciudades), las distancias vienen dadas en km., tomadas de las distancias en carretera.
El T.S.P.
Ver: TSPecuador.nb
26
El Problema de ruteo de vehículos
El VRP (Vehicle Routing Problem) es el m-TSP en el cual se ha asociado una demanda a cada ciudad, y cada vehículo tiene una cierta capacidad, y donde mgeneralmente es desconocido y se determina como una solución del problema.
27
El Problema de ruteo de vehículos
El Problema de Rutas de Vehículos o VRP puede ser descrito de la forma siguiente: Considérese un conjunto de puntos {2, 3, ..., n} en los que hay que entregar unas determinadas cantidades de mercancía q(i), i = 2, ..., n, desde un origen “1”.
Para cumplir estos requerimientos se dispone de una flota de vehículos de capacidad Q. Se ha de diseñar un conjunto de rutas, de distancia total mínima, de forma que cada ruta comience y finalice en el punto “1”; la carga que en cada momento ha de llevar cada vehículo no debe de superar su capacidad; Cada punto i, i = 2, ..., n, ha de ser visitado exactamente una vez.
28
El Problema de ruteo de vehículos
Figura 1: Solución para el VRP (4 rutas). representa un depósito
29
El Problema de ruteo de vehículos
Existen muchos algoritmos de solución para el VRP.
En los últimos años han tomado importancia el desarrollo de algoritmos basados en procesos denominados Metaheurísticos:
-Recocido Simulado-Genéticos-Búsqueda tabú-Meméticos-Colonia de hormigas
Gendreu y otros (1.991), Osman, (1.993), Campos y Mota (1.995), Kantoravdis (1.995), Laguna (2000)
30
Clases de problemas VRP
Entrega o recolección pura.El anterior pero con backhauling (primero entrega los productos y después efectúa la recolección).Combinación de recolección y entrega.Uno o varios depósitosCarga partida (varios vehículos pueden atender a un cliente)Con ventanas de tiempo (duras o suaves)Los clientes son fijos con demanda conocidaLa demanda de clientes es aleatoriaLos tiempos de viaje son estocásticosEl conjunto de clientes no es conocido con certeza. (Cada cliente tiene una probabilidad pi de estar presente.
31
Clases de problemas VRP
Flota homogénea (un solo tipo de vehículo)Flota heterogénea (múltiples tipos de vehículos)Clientes con prioridad.Se permite la satisfacción parcial de la demanda.Ubicación de la demanda (en los nodos, en los arcos, mixtas)Etc.Combinaciones de ellos, por ejemplo: El Problema de Ruteo de Vehículos con Ventanas de tiempo y con Carga y Descarga Simultánea con flota heterogénea
32
Por ejemplo el VRP con ventanas de tiempo (VRPTW) sería:
Si al VRP agregamos una ventana de tiempo para cada cliente, durante la cual el cliente debe ser servido por un vehículo, se tiene el Problema de Ruteo de Vehículos con Ventanas de Tiempo (VRPTW). Además de las restricciones de capacidad, ahora un vehículo tiene que visitar a un cliente dentro de cierto intervalo de tiempo.
El vehículo puede llegar antes del inicio de la ventana de tiempo del cliente, y en ese caso deberá esperar para realizar su servicio, pero ningún cliente puede ser servido luego del fin de su ventana de tiempo.
Clases de problemas VRP
33
Clases de problemas VRP
El Problema de los m Agentes Viajeros (m-TSP), m es fijado de antemano
34
Clases de problemas VRP
El VRP capacitado (o simplemente VRP)
35
Clases de problemas VRP
El VRP con flota heterogénea
36
Clases de problemas VRP
El VRPTW
37
El VRP y todas sus variante es un problema de optimización combinatoria duro, y puede resolverse con técnicas exactas, en un tiempo prudencial, sólo en casos relativamente pequeños.
Puesto que los enfoques exactos son en general inadecuados, en la práctica se usan comúnmente las heurísticas.
MÉTODOS HEURÍSTICOS PARA EL VRP
38
MÉTODOS HEURÍSTICOS PARA EL VRP(cont...)
Atributos de buenas heurísticas para el VRPPrecisión, Velocidad, Simplicidad, Flexibilidad
Heurísticas Clásicas: Clarke & Wright, Jaikumar, de barrido
Meta-heurísticas: Genéticos, colonia de hormigas, Simulated annealing, tabú, GRASP
39
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT
Es La heurística clásica más significativas para el VRP. Esta heurística es un procedimiento simple que realiza una exploración limitada del espacio de búsqueda y da una solución de calidad mas o menos aceptable en tiempo de cálculo moderado.
Las soluciones luego pueden ser mejoradas con los algoritmos de mejora del TSP (como 2-opt)
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT
40
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT
Si en una solución dos rutas diferentes (1, . . . , i, 1) y (1, j, . . . ,1) pueden ser combinadas formando una nueva ruta (1, . . . , i, j, . . . , 1) como se muestra en la Figura, el ahorro (en distancia) obtenido por dicha unión es:
sij= ci1+ c1j – cij
Pues en la nueva solución los arcos (i, 0) y (0, j) no serían utilizados y se agregaría el arco (i, j). Se parte de una solución inicial en la cual todos los clientes son servidos por un solo vehículo
41
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT
Paso 1 (inicialización). Para cada cliente i construir la ruta (1, i, 1).
Paso 2 (cálculo de ahorros). Calcular sij para cada par de clientes i y j.
Paso 3 (mejor unión). Sea si∗j∗ = max sij , donde el máximo se toma entre los ahorros que no han sido considerados aún. Sean ri∗ y rj∗ las rutas que contienen a los clientes i∗ y j∗respectivamente. Si i∗ es el último cliente de ri∗ y j∗ es el primer cliente de rj∗ y la combinación de ri∗ y rj∗ es factible, combinarlas.
Paso 4 Eliminar si∗j∗ de futuras consideraciones. Si quedan ahorros por examinar ir a 3, si no terminar.
42
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT
Se ha observado que utilizando la definición original de ahorro suele generarse algunas rutas circulares (ver Figura) lo cual puede ser negativo. Para solucionar este problema algunos autores proponen redefinir el ahorro como:
sij= ci1+ c1j – λcij
Donde λ es el parámetro de forma.
Ver: VRP_ClarkeWright distacia restringida.nb
43
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2627
28
29
30
Ruteo inicial Ruteo generado por Clarke Wright
44
Solución final: 1307.06
Solución inicial: 19794.74
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHTPor último, se puede efectuar un proceso de post-optimización de cada ruta individual creada con Clarke Wright con los algoritmos de TSP, por ejemplo con 2-OPT.
45
Conclusiones …
Este tipo de métodos y su implementación en la computadora pueden servir de núcleo para la generación de software de interés comercialSe puede enriquecer el procedimiento planteado haciendo modificaciones para bajar el tiempo de computación, específicamente en la forma de generación de la solución inicial, lo cual permitiría efectuar más iteraciones del método tabú.El modelo no considera otras restricciones posibles que pueden aparecer en aplicaciones reales, se puede enriquecer el modelo considerando otro tipo de restricciones o condiciones del problema
46
Conclusiones …
En el mercado existen algunos productos comerciales para computadoras personales que construyen rutas, su costo es muchas veces elevado. El número y capacidad de esos productos cada vez es mayor conforme los nuevos equipos de cómputo reducen su precio y aumentan de capacidad.Algunos avances recientes en bases de datos geográficas hacen que el diseño de rutas sea un área de aplicación de un gran impacto real. Son sistemas de navegación y mapas digitalizados. Un auto o camión utiliza un terminal instalado en el vehículo para accesar un mapa. El usuario teclea la localización de sus destinos y el monitor flashea las localizaciones. Dispositivos electrónicos que usan GPS ubican al vehículo a medida que se mueve, por lo que es muy simple elegir una ruta.Las bases de datos geográficas ubican la localización de calles y carreteras por lo que es simple la selección de rutas más cortas.
GRACIAS
