Salvador Alejandro Juan Antonio 7b

7/25/2019 Salvador Alejandro Juan Antonio 7b

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UNIVERSIDAD TECNOL GICA DE

ING. EN MECATRNICA

4UNIDAD

:

INTRODUCCIN ALMODELADO

CALCULOAPLICADO

M.C. ROBERTO CARLOS CANTO CANUL

7

B

SEPT y DIC-2015

INTEGRAN

TES:

SALVADORALEANDRO UAN

ANTONIO


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INTRODUCCION

El modelo matemtico que se desarrolla a partir de un sistema no es nico, debido a

lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso

Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra !mbas contienen

informaci"n complementaria por lo que se debe encontrar aquella que proporcione la

informaci"n de inter#s para cada problema en particular

Dentro de este conte$to, por lo general se emplea la representaci"n en %&ariables de

estado% aunque no por ello el m#todo de %relaci"n entrada'salida% de(a de ser

interesante a pesar de proporcionar menor informaci"n de la planta

)ara uniformi*ar criterios respecto a las denominaciones que reciben los elementos

que conforman un sistema de control es necesario tener en mente las s iguientes

definiciones+

)lanta Cualquier ob(eto fsico que -a de ser controlado

)roceso Operaci"n o secuencia de operaciones, caracteri*ada por un

con(unto de cambios graduales que lle&an a un resultado o

estado final a partir de un estado inicial

.istema Combinaci"n de componentes que actan con(untamente /cumplen un ob(eti&o determinado

)erturbaci"n Es una se0al que tiende a afectar ad&ersamente el &alor de la

salida de un sistema

.er&omecanismo .istema de control realimentado cu/a salida es una posici"n

mecnica

.istemas de control de la*o abierto / la*o cerrado

.istema de la*o ab ierto

Un sistema de la*o abierto es aqu#l donde la salida no tiene efecto sobre la acci"n de

control 1a e$actitud de un sistema de la*o abierto depende de dos factores


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a2 1a calibraci"n del elemento de control

b2 1a repetiti&idad de e&entos de entrada sobre un e$tenso perodo de tiempo en

ausencia de perturbaciones e$ternas

Un esquema tpico de un control de la*o abierto se puede apreciar en la figura 33

En esta se muestra que para que la temperatura del agua en el tanque permane*ca

constante es necesario que las temperaturas en las tomas de agua fria / caliente no

sufran cambios Otro factor que incide sobre el estado final de la salida es la

temperatura de operaci"n del proceso .i por cualquier moti&o esta cambia, entonces la

salida cambia en casi la misma proporci"n

.istema de la*o cerrado

Un sistema de control de la*o cerrado es aqu#l donde la se0al de salida tiene efecto

sobre la acci"n de control 1a figura 34 d un panorama general de un sistema de

la*o cerrado donde se puede apreciar que la salida es medida / retroalimentada para

establecer la diferencia entre en &alor deseado / el &alor obtenido a la salida, / en

base a esta diferencia, adoptar acciones de control adecuadas


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En las figuras de la 35 / 36 se dan dos e(emplos para sistemas de control de la*o

cerrado

En cada una de estas figuras se puede apreciar que la parte fundamental para el

control de la planta en cuesti"n es la red de retroalimentaci"n que sensa el estado de

la salida En estos e(emplos se -a pretendido establecer que la naturale*a de las

se0ales en un la*o de control no necesariamente en la misma, esto es, pueden estar

in&olucradas diferentes tipos de se0ales por e(emplo, mecnicas, el#ctricas, t#rmicas,

-idrulicas, etc, dentro del mismo la*o


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No cabe duda de que las

matemticas son la -erramienta imprescindible para el estudio de cualquier sistema fsico

! la -ora de abordar cualquier anlisis o dise0o del mismo, ser pre&iamente necesarioelaborar un modelo matemtico que se a(uste lo ms fielmente al sistema real a estudiar,

utili*ando para ello las le/es fsicas aplicables de que dispongamos o, en su defecto,

resultados e$perimentales debidamente tratados 7eneralmente, lo que obtendremos

ser un con(unto de ecuaciones diferenciales 8no necesariamente lineales ni in&ariantes

en el tiempo2 9ue podremos tratar mediante alguno de los m#todos /a conocidos+

a2 usando las funciones de transferencia 8solamente si el sistema es lineal e

in&ariante con el tiempo2b2 Utili*ando las ecuaciones de estado 8que tambi#n pueden aplicarse a los sistemas

no lineales2

El procedimiento -abitual ser establecer primeramente las &ariables que inter&iene en el

proceso, para posteriormente, interrelacionarlas entre s, mediante las le/es fsicas que

regulan esas situaciones

En este traba(o, &amos a reali*ar una peque0a introducci"n al procedimiento indicado, sin

profundi*ar e$-austi&amente en el mismo 8este proceso debe ser reali*ado en detalle por

el ingeniero de control, que no es al que &a enfocado este te$to2 .ir&a solamente para

tomar algunos conceptos intuiti&os al respecto, sin ma/ores e$pectati&as

.istemas Un sistema es una combinaci"n de componentes que actan con(untamente

para alcan*ar un ob(eti&o especfico Una componente es una unidad particular en su

funci"n en un sistema De ninguna manera limitado a los sistemas fsicos, el concepto de

sistema se puede ampliar a fen"menos dinmicos abstractos, tales como los que se

encuentran en la economa, el transporte, el crecimiento de la poblaci"n / la biologa


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Un sistema se llama dinmico si su salida en el presente de pende de una entrada en el

pasado: si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso, el sistema se

conoce como esttico 1a salida de un sistema esttico permanece constante si la entrada

no cambia / cambia solo cuando la entrada cambia En un sistema dinmico la salidacambia con el tiempo cuando no est en su estado de equilibrio

;odelos matemticos Cualquier tentati&a de dise0o de un sistema debe empe*ar a partir

de una predicci"n de su funcionamiento antes de que el sistema pueda dise0arse en

detalle o construirse fsicamente Tal predicci"n se basa en una descripci"n matemtica

de las caractersticas dinmicas del sistema ! estas descripciones matemticas se le

llama modelo matemtico )ara los sistemas fsicos, la ma/ora de los modelos

matemticos que resultan tiles se describen en t#rminos de ecuaciones diferenciales

1a dinmica de sistemas trata del modelado matemtico / el anlisis de la repuesta de los

sistemas dinmicos

Ecuaciones diferenciales lineales / no lineales 1as ecuaciones diferenciales lineales

pueden clasificarse en ecuaciones diferenciales lineales, in&ariantes en el tiempo /

ecuaciones lineales &ariantes en el tiempo

Una ecuaci"n diferencial lineal in&ariante en el tiempo es aquella en la cual una &ariable

de pendiente / sus deri&adas aparecen como combinaciones lineales El siguiente es une(emplo de esta clase de ecuaci"n

d2

x

dt2 +5

dx

dt+10x=0

)uesto que los coeficientes de todos los t#rminos son constantes, una ecuaci"n

diferencial lineal in&ariante en e3 tiempo tambi#n se denomina ecuaci"n diferencial lineal

de coeficientes constantes

En el caso de una ecuaci"n diferencial lineal &ariante en el tiempo, la &ariable

dependiente / sus deri&adas aparecen como combinaciones lineales, pero algunos de los

coeficientes de los t#rminos pueden in&olucrar a la &ariable independiente El siguiente es

un e(emplo de este tipo de ecuaci"n diferencial


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Es importante recordar que con ob(eto de que sea lineal, la ecuaci"n no debe contener

potencias, productos u otras funciones de las &ariables dependientes / sus deri&adas

Una ecuaci"n diferencial se denomina no lineal cuando no es lineal

Entre los e(emplos de ecuaciones diferenciales no lineales se inclu/en

.istemas lineales / sistemas no lineales )ara sistemas lineales, las ecuaciones que

constitu/en el modelo son lineales En este libro trataremos con sistemas lineales que

puedan representarse por ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales e in&ariantes en el

tiempo

1a propiedad ms importante de los sistemas lineales consiste en que se les puede

aplicar el principio de superposici"n Este principio establece que la respuesta producida

por la aplicaci"n simultnea de dos funciones de e$citaci"n diferente o entrada, es la

suma de dos respuestas indi&iduales En consecuencia, en los sistemas lineales la

respuesta a &arias entradas puede calcularse tratando una entrada cada &e* / despu#s

sumando los resultados

Como resultado del principio de superposici"n, las complicadas soluciones de lasecuaciones diferenciales lineales se pueden obtener de la suma de soluciones simples

En una in&estigaci"n e$perimental de un sistema dinmico, si la causa / el efecto son

proporcionales, eso implica que el principio de superposici"n se mantiene / se conclu/e

que el sistema se puede considerar lineal

1os sistemas no lineales, por supuesto, son aquellos que se representan mediante

ecuaciones no lineales

!unque las relaciones fsicas con frecuencia se representan mediante ecuaciones

lineales, en muc-os casos las relaciones reales puede que no sean del todo lineales De

-ec-o, un estudio cuidadoso de los sistemas fsicos re&ela que los llamados sistemas

lineales son realmente lineales dentro del rango de operaci"n limitado )or e(emplo,

muc-os de los sistemas -idrulicos / neumticos in&olucran relaciones no lineales entre

sus &ariables

En los sistemas no lineales, la caracterstica ms importante es que el principio de

superposici"n no es aplicable En general, los procedimientos para encontrar la soluci"n


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de problemas que in&olucran tales sistemas son e$tremadamente complicados ! causa

de la dificultad matemtica que representan los sistemas no lineales, con frecuencia es

necesario linealidad los alrededor de una condici"n de operaci"n Una &e* que un sistema

no lineal se apro$ima mediante un modelo matemtico lineal, se deben usar t#rminoslineales para prop"sitos de anlisis / dise0o

E1!


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que pueden estar presentes en el sistema fsico .i los efectos que estas propiedades

ignoradas tienen en la respeta son peque0os, entonces los resultados del anlisis del

modelo matemtico / los resultados del estudio e$perimental del sistema fsico sern

satisfactorios El que cualquiera de las caractersticas particulares sea importante puedeno ser ob&io en algunos casos, / en otros, puede requerir de penetraci"n fsica e intuici"n

En relaci"n con lo mencionado, la e$periencia es un factor importante

Cuando se resuel&e un problema nue&o, usualmente con&iene construir primero un

modelo simplificado para obtener una idea general en torno a la soluci"n )osteriormente

puede construirse un modelo matemtico ms detallado / usarlo para un anlisis ms

completo

Obser&aciones sobre la elaboraci"n de modelos matemticos 8modelado matemtico2Ningn modelo matemtico puede representar cualquier componente o sistema fsicos

con precisi"n .iempre se in&olucran apro$imaciones / suposiciones Tales

apro$imaciones / suposiciones restringen el ni&el de &alide* del modelo matemtico 8El

grado de apro$imaci"n puede determinarse solamente mediante e$perimentos2 !s pues,

al -acer una predicci"n acerca del funcionamiento del sistema, debe tenerse presente

cualquier apro$imaci"n o suposici"n in&olucrada en el modelo

)rocedimiento para la elaboraci"n de modelos matemticos 8modelado matemtico2 El

procedimiento para obtener un modelo matemtico de un sistema puede resumirse como

sigue

Dibu(ar un diagrama esquemtico del sistema / definir las &ariables

Utili*ando le/es fsicas, escribir ecuaciones para cada componente, combinndolos de

acuerdo con el diagrama del sistema / obtener un modelo matemtico

)ara &erificar la &alide* del modelo, la predicci"n acerca del funcionamiento obtenida al

resol&er las ecuaciones del modelo, se compara con resultados e$perimentales 81apregunta sobre la &alide* de cualquier modelo matemtico puede contestarse solamente

mediante e$perimento2 .i los resultados e$perimentales se ale(an de la predicci"n en

forma considerable, debe modificarse el modelo Entonces se obtiene un nue&o modelo /

las nue&as predicciones se comparan con los resultados e$perimentales El proceso se

repite -asta que se obtiene una concordancia satisfactoria entre la predicci"n / los

resultados e$perimentales

!N!1I.I. > DI.ENO DE .I.TE;!. DIN!;IC?O.


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Esta secci"n e$plica bre&emente lo referente al anlisis / dise0o de los sistemas

dinmicos

!nlisis El anlisis de sistemas constitu/e, en condiciones especificadas, la in&estigaci"n

del funcionamiento de un sistema cu/o modelo matemtico se conoce

El primer paso al anali*ar un sistema dinmico consiste en obtener su modelo

matemtico )uesto que cualquier sistema est formado por componentes, el anlisis

debe iniciarse obteniendo un modelo matemtico de cada componente / combinando

esos modelos con el ob(eto de construir un modelo del sistema completo Una &e*

obtenido el modelo final, se puede formular el anlisis de tal manera que los parmetros

del sistema en el modelo se -acen &ariar para producir &arias soluciones Entonces, el

ingeniero compara estas soluciones e interpreta / aplica los resultados de su anlisis a sutarea bsica

.iempre debe tenerse presente que la obtenci"n de un modelo ra*onable del sistema

completo constitu/e la parte bsica de todo el anlisis

Una &e* que se dispone de tal modelo, pueden usarse para el anlisis diferentes t#cnicas

analticas / por computadora 1a manera en que el anlisis se lle&a a cabo es

independiente del tipo de sistema fsico que se trate+ mecnico, el#ctrico, -idrulico,

etc#tera

Dise0o El dise0o de sistemas se refiere al proceso de encontrar un sistema que satisfaga

una tarea especfica En general, el procedimiento de dise0o no es directo / requiere de

ensa/o / error

.ntesis )or sntesis se entiende el uso de un procedimiento e$plcito para encontrar un

sistema que funcione de manera especificada !qu, las caractersticas deseadas del

sistema se postulan al principio / despu#s se usan diferentes t#cnicas matemticas para

sinteti*ar un sistema que tenga esas caractersticas En general, tal procedimiento escompletamente matemtico desde el principio -asta el fin del proceso de dise0o

Enfoque bsico del dise0o de sistemas El enfoque bsico en el dise0o de cualquier

sistema dinmico necesariamente inclu/e procedimientos por tanteo Te"ricamente es

posible la sntesis de sistemas lineales / el ingeniero puede determinar sistemticamente

las componentes necesarias para alcan*ar el ob(eti&o dado En la prctica, sin embargo,

el sistema puede estar su(eto a muc-as restricciones o puede ser no lineal: en tales


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casos, no se dispone en el presente de m#todos de sntesis ;s an, las caractersticas

de las componentes pueden no ser conocidas con precisi"n Casi siempre se necesita de

las t#cnicas de tanteo

)rocedimientos de dise0o Con frecuencia, el dise0o de un sistema ocurre como sigue El

ingeniero comien*a el procedimiento de dise0o a partir de las especificaciones que deben

satisfacerse / la dinmica de las componentes, las cuales inclu/en los parmetros de

dise0o )uede ser que las especificaciones est#n dadas en t#rminos de &alores

num#ricos precisos acompa0ados de &agas descripciones cualitati&as 81as

especificaciones en ingeniera normalmente inclu/en declaraciones sobre factores tales

como el costo, la confiabilidad, el espacio, el peso / la factibilidad de mantenimiento2 Es

importante notar que pueden cambiarse las especificaciones a medida que el desafo

progresa, porque el anlisis detallado puede re&elar que es imposible satisfacer ciertos

requerimientos ! continuaci"n, el ingeniero aplicar las t#cnicas de sntesis cuando est#n

disponibles, as como otros m#todos, para construir un modelo matemtico del sistema

Una &e* que el problema de dise0o se -a formulado en t#rminos de este modelo, el

ingeniero lle&a a cabo un dise0o matemtico que produce una soluci"n a la &ersi"n

matemtica del problema de dise0o Con el dise0o matemtico terminado, el ingeniero

simula el modelo en una computadora con el ob(eto de probar el efecto de diferentes

entradas / perturbaciones en el comportamiento del sistema resultante .i laconfiguraci"n inicial del sistema no es satisfactoria, el sistema debe redise0arse / lle&arse

a cabo el anlisis correspondiente Este proceso de dise0o / anlisis se repite -asta

encontrar un sistema satisfactorio Entonces se puede construir un sistema fsico

prototipo

N"tese que este proceso de construcci"n de un prototipo es el in&erso de la elaboraci"n

de modelos matemticos El prototipo es un sistema fsico que representa al modelo

matemtico con e$actitud ra*onable Una &e* construido el prototipo, el ingeniero lo

prueba para &er qu# tan satisfactorio resulta

.i se satisface, el dise0o qued" terminado .i no, debe modificarse el prototipo / debe

probarse de nue&o Este proceso contina -asta que se obtiene un prototipo satisfactorio


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DE.!RRO11O

.I.TE;!. ;EC@NICO.

.istemas de unidades Es ob&ia la necesidad de alcan*ar un conocimiento claro de los

diferentes sistemas de unidades para el estudio cuantitati&o de la dinmica de los

sistemas En el pasado, la ma/ora de los clculos de ingeniera en Estados Unidos de

!m#rica se basado en el .istema Ingl#s de

;edidas de Ingeniera 8


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1a diferencia principal entre los sistemas %absolutos% de unidades / 3As sistemas

%gra&itacionales% de unidades consiste en optar por la masa o a fuer*a como dimensi"nprimaria En los sistemas absolutos 8.I, / el m#trico / el ingl#s absolutos2 se escoge a la

masa como dimensi"n primaria r la fuer*a es una cantidad deri&ada In&ersamente, en los

sistemas gra&itacionales 8m#trico de ingeniera e ingl#s de ingeniera2 de unidades la

fuer*a los una dimensi"n primaria / la masa es una cantidad deri&ada )or otra parte, en

este ltimo sistema la masa de un cuerpo se define como la relaci"n entre la magnitud de

la fuer*a aplicada al cuerpo / la aceleraci"n de la gra&ead 8!s, la dimensi"n de la masa

es fuer*aBaceleraci"n2

;asa 1a masa de un cuerpo es la cantidad de materia que contiene, la cual se supone

constante sicamente, la masa es la propiedad de un cuerpo que da su inercia: esto es,

la resistencia a arrancar / parar Un cuerpo es atrado por la Tierra / la magnitud de la

fuer*a que la Tierra e(erce sobre #l se llama peso

uer*a 1a fuer*a puede definirse como la causa que tiende a producir un cambio en el

mo&imiento de un cuerpo sobre el que acta Con ob(eto de mo&er un cuerpo debe

aplicrsele una fuer*a a/ dos tipos de fuer*a capaces de actuar sobre un cuerpo+

fuer*as de contacto / fuer*as de campo 1as fuer*as de contacto son aquellas que se


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establecen en contacto directo con el cuerpo, en tanto que las fuer*as de campo, tales

como la fuer*a gra&itacional / la fuer*a magn#tica, actan sobre el cuerpo, pero no se

ponen en contacto con #l

Comentario 1as unidades del .I de fuer*a, masa / longitud son el neton

8N2, el Filogramo masa 8Fg2 / el metro 8m2 1as unidades mFs de fuer*a, masa / longitud

son las mismas unidades del .I .imilarmente, las unidades cgs de fuer*a, masa /

longitud son la dina 8d/n2, el gramo 8g2 / el centmetro 8cm2 / las correspondientes

unidades


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.istemas mecnicos de traslaci"n

1os sistemas mecnicos de traslaci"n estn integrados por el con(unto de elementos

bsicos resumidos en la tabla 33


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En este caso las &ariables in&olucradas son despla*amientos, &elocidades,

aceleraciones / fuer*as 1a disposici"n que guardan estos elementos entre s da

lugar a dos configuraciones denominadas arreglos mecnicos en serie / arreglos

mecnicos en paralelo

Elementos mecnicos en serie

En un elemento mecnico en serie, la fuer*a aplicada f8t2 es igual a la suma de las

fuer*as actuantes en cada elemento / todos los elementos tienen el mismo

despla*amiento 8ig 32

1a ecuaci"n de equilibrio para el arreglo de la figura 3 es+


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> su transformada de 1aplace considerando condiciones iniciales iguales a cero es+

donde la impedancia mecnica es+

Elementos mecnicos en paralelo

En este tipo de arreglo la fuer*a aplicada f8t2 se transmite a tras de todos loselementos !dems, la deformaci"n o corrimiento total es la suma de los

despla*amientos de cada elemento 1a figura 3J muestra un e(emplo de este tipo de

!rreglo en el que considerando las ecuaciones /a transformadas el despla*amiento

total est dado porla relaci"n fuer*a a despla*amiento queda com


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donde la impedancia mecnica es+

Un comentario importante respecto al comportamiento de una masa es que esta no

puede estar en paralelo con otros elementos a menos que sea el ltimo de los

elementos )ara ilustrar lo anterior &eamos que en la figura 3K'a, la masa, al ser el

ltimo elemento, participa como si estu&iera en paralelo dando la ecuaci"n que

relaciona la fuer*a con el despla*amiento de la forma+

mientras que en la figura 3K'b al estar la masa colocada como un elemento intermedio,

/ tener el mismo despla*amiento /8t2 en la parte superior e inferior, la situa en serie

tanto con F3 como con F4 / < respecto al despla*amiento /8t2 mientras


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que no tiene nada que &er con los despla*amientos $8t2 / *8t2 que afectan al

comportamiento de los elementos F3 / F4'< respecti&amente

)ara el caso de la figura 3Kb las ecuaciones de equilibrio en cada despla*amiento

son+


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L en $8t2+

L en /8t2+

L en *8t2+

1a determinaci"n de la funci"n de transferencia sigue los pasos e$puestos con

anterioridad

Representaci"nsilla a tierra

Cuando en un sistema mecnico de traslaci"n se me*clan arreglos serie / paralelo, el

planteamiento de las ecuaciones de equilibrio puede resultar de difcil &isuali*aci"n En

este caso, / sobre todo cuando e$isten masas intercaladas en el arreglo, es

posible recurrir a la denominada representaci"n silla a tierra Esta representaci"n busca

identificar los elementos conectados a cada despla*amiento del s istema considerando

que las masas nicamente estn referenciadas a tierra, / que los dems elementos

pueden estar entre dos diferentes despla*amientos


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El procedimiento para obtener la representaci"n es el siguiente+

32 Dibu(ar las coordenadas tal que la fuer*a est# arriba / la tierra aba(o

42 Identificar los despla*amientos / dibu(ar lneas -ori*ontales para cada uno de

ellos

52 Insertar cada elemento 8resortes / amortiguadores2 en su orientaci"n correcta

entre los despla*amientos que le correspondan

M2 Insertar las masas en su despla*amiento correspondiente / re&erenciarlas a tierra

mediante una silla

62 Escribir las ecuaciones de equilibrio para cada despla*amiento donde inter&enga

mas de un elemento

.istemas de orden cero

.upongamos que tenemos un sistema como el siguiente 8ig 3332


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ig 333' .istema mecnico de orden cero

Un resorte de dure*a est su(eto por un e$tremo a un soporte rgido, /

restringido por guas, de manera que s"lo se puede mo&er en la direcci"n &ertical

Estas guas estn e$entas de fricci"n El -ombre representado aplica una fuer*a C al

resorte, estirndolo en una cantidad / , la cual medimos en la escala de la derec-a

Cuando no se aplica ninguna fuer*a 8 H A2 el resorte est en la posici"n de reposo

correspondiente al A en la escala ! pesar que por su simplicidad utili*aremos los

smbolos e / en &e* de 8t2 e /8t2, se sobreentiende que en general e / debern

ser funciones del tiempo t En t#rminos de anlisis de sistemas, nuestra entrada

8input2 es , nuestra salida 8output2 es /, / nuestro problema consiste en obtener

la le/ del sistema que las relaciona

)ara obtener esta ecuaci"n del mo&imiento, aplicaremos un principio

fundamental de la mecnica, que e$presa que en cada instante del tiempo la

fuer*a aplicada es igual en magnitud / opuesta en direcci"n a la suma de las

fuer*as que se oponen / son generadas por el mo&imiento, En este caso, el

sistema posee solamente un componente, el resorte, / #ste generar una sola

fuer*a opositora, De acuerdo con la le/ de ooFe, ser directamente

proporcional al despla*amiento / +

8432


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donde es la dure*a del resorte, la propiedad fundamental de este sistema De aqu

podemos deducir la ecuaci"n del mo&imiento que describe la le/ de este sistema +

36 .istemas El#ctricos

Otro de los sistemas que con frecuencia aparecen en los la*os de control son los que

in&olucran &ariables el#ctricas !unque el nmero de componentes el#ctricos es

inmenso, por lo general se puede considerar un con(unto bsico compuesto por los

elementos que aparecen en la tabla 35 en donde tambi#n se inclu/e las e$presiones

que relacionan las &ariables de &olta(e / corriente en los dispositi&os 1asecuaciones de equilibrio que gobiernan el comportamiento de los sistemas el#ctricos

son conocidas como las le/es de irc--off de &olta(e / corriente 81 / 1C2 las

cuales establecen lo siguiente+

1e/ de olta(e de irc--off 812

%1a suma algebraica de las caidas de tensi"n a lo largo de un tra/ectoria cerrada es

cero%

1e/ de corrientes de irc--off 81C 2

%1a suma algebraica de las corrientes en un nodo es igual a cero%

!mbas le/es pueden ser usadas de manera combinada para determinar el con(unto

de ecuaciones integro'diferenciales necesarias para predecir el comportamiento de

un sistema el#ctrico Normalmente cuando se anali*a un circuito el#ctrico en serie se


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usa la 1 mientras cuando se trata de un circuito el#ctrico en paralelo se emplea la

1C En cualquier te$to de anlisis de circuitos se pueden encontrar las

particularidade s de cada uno de los

circuitos mencionados !qunicamente mencionaremos que

en un circuito el#ctrico en serie

circula la misma corriente por

todos los elementos del arreglo mientras que el &olta(e se encuentra repartido entre

los

elementos

8figura

334a2)or otro

lado, en un

circuito

el#ctrico en

paralelo

todos los

elementos

tiene elmismo

&olta(e en

sus

terminales

mientras

que la

corriente se

distribu/e

entre

todos los

elementos 8figura 334b2 En la figura 334 las P?s pueden ser cualquiera de los

elementos dados en la tabla 35 / cumplen con las relaciones &olta(e'corriente

indicadas


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.istemas el#ctricos en serie

Como /a se indic" un sistema el#ctrico en serie est formado por elementos a trasde los cuales circula la misma corriente En la figura 335 se -a retomado el

esquema propuesto en la figura 334a sustitu/endo los bloques de impedancia por

elementos R, 1 / C de la tabla 35 .i aplicamos la 1 tenemos que

.ustitu/endo las relaciones de la tabla 35 de acuerdo al elemento tenemos+

el &olta(e de salida ser+

Cabe mencionar que el anlisis puede -acerse planteando las ecuaciones

diferenciales como en los pasos anteriores o empleando directamente las

impedancias comple(as deri&adas de transformar las relaciones &olta(e'corriente de


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la tabla 35 !plicando la transformada de 1aplace a las dos ecuaciones precedentes

obtenemos las ecuaciones algebraicas en el dominio de la &ariable comple(a s


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despe(ando la corriente I8s2 de 833Q2 / sustitu/endo en 83362 obtenemos una

e$presi"n que in&olucra nicamente a las &ariables de inter#s o8s2 / 8s2

de la cual /a podemos relacionar la salida con la entrada / por lo tanto obtenemos la

funci"n de transferencia

.istemas el#ctricos en paralelo

En un sistema el#ctrico en paralelo como /a se -a mencionado, la corriente se

encuentra distribuida en todos los elementos que forman el circuito mientras que el

&olta(e aplicado a las terminales de cada uno de ellos es el mismo 1a figura 33M

muestra el esquema ms simple de un circuito paralelo en el cual la ecuaci"n de

equilibrio debe ser determinada para el nodo ba(o anlisis, que para nuestro e(emplo

es el nodo a dado que el otro nodo e$istente es la referencia o tierra )ara el caso de

circuitos en paralelo la le/ que gobierna el comportamiento del circuito es la

anteriormente citada le/ de corrientes de irc--off 81C2, de este modo la

condici"n de equilibrio para el nodo a ser+


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de las relaciones de la tabla 35 tenemos que+

aplicando la transformada de 1aplace considerando condiciones iniciales iguales a

cero tenemos que 833K2 tomar la forma+

Relacionando la &ariable de salida a8s2 con la &ariable de entrada I8s2 obtenemos la

funci"n de transferencia

3Q .istemas de Ni&el de 1,quidos

)ara iniciar el estudio de los sistemas de ni&el de lquidos es necesario definir los

conceptos de resistencia el flu(o / capacitancia en un tanque que almacena un fluido

1a resistencia el flu(o debida a una restricci"n es lineal cuando el flu(o es laminar / se

comporta como un sistema no lineal cuando el flu(o es turbulento En ambos

casos se define como el cociente de la diferencia de ni&eles en el recipiente entre el

cambio en el gasto


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para flu(o laminar el gasto es proporcional a la columna -idrosttica, es decir+ mientras

que para flu(o turbulento es proporcional a la rai* cuadrada de la columna

-idrosttica+

donde+

9 H gasto en m5BsegS

l H coeficiente de proporcionalidad para flu(o laminar m4BsegS

t H coeficiente de proporcionalidad para flu(o turbulentom46BsegS

H columna -idrosttica mS

de la definici"n de resistencia, para un sistema con flu(o laminar tenemos+

de igual forma para un flu(o turbulento la resistencia al flu(o debida a una restricci"n

estadadapor+

donde la diferencial del gasto es+


31/59

con lo cual la e$presi"n para la resistencia al flu(o turbulento queda como+

.iendo

entonces tenemos que+

Esta apro$imaci"n es &lida solo en el caso en que las &ariaciones en el gasto / en la

columna -idrosttica sean peque0as alrededor del punto de operaci"n

)or otro lado, la capacitancia de un tanque se define como el cociente de la &ariaci"n

del lquido acumulado entre el cambio en la columna -idrosttica


32/59

lo cual resulta en unidades de rea por lo que la capacitancia de un tanque se puede

considerar como la secci"n trans&ersal del tanque ba(o estudio

En los sistemas de ni&el de lquido la condici"n de equilibrio &iene declarada como+

%1a diferencia del gasto de entrada / el gasto de salida en una unidad peque0a de

tiempo es igual a la cantidad de lquido acumulado% : es decir+

en 834K2 el t#rmino de la i*quierda es la cantidad de lquido almacenado 1a

cantidad de gasto a la salida del tanque est definido en funci"n de la resistencia al

flu(o de la restricci"n como+

.ustitu/endo esta e$presi"n en la ecuaci"n anterior tenemos+

Transformando esta e$presi"n considerando condiciones iniciales cero tenemos+


33/59

Relacionando la &ariable de salida 8ni&el2 con la de entrada 8flu(o de entrada2

llegamos a la funci"n de transferencia+


34/59

diL = V

dt

Figura 1.17: Inercia Elctrica

Sistemas Elctricos

En esta secci"n se identificarn cada uno de los elementos que forman parte de los

sistemas el#ctricos segn la clasificaci"n mencionada en la sec 33, as mismo, se

mostrarn las ecuaciones generales que finalmente describirn sus comportamientos

uentes de Energa

.ern consideradas dos diferentes formas de fuentes de energa, aquellas que

proporcionan un flu(o de corriente / las que proporcionan una diferencia de &olta(e

!lmacenadores de Energa

.imilar a los sistemas antes mencionados, se tendrn dos elementos capaces de

almacenar energa, los cuales sern descritos a continuaci"n

Inercia

Una inductancia el#ctrica, cu/o esquema puede obser&arse en la fig 33, ser

identificada como un elemento capa* de almacenar energa .u parmetro caracterstico

1, conocido como inductancia, ser considerado siempre constante, por lo que la

e$presi"n que representa su dinmica puede ser escrita tal como se muestra en la ec36J, en la cual i, &ariable de estado, representa la corriente que circula a lo largo del

elemento / la cada de potencial entre sus e$tremos

Capacitor


35/59

C = idt

Figura 1.18: Capacitor Elctrico

Figura 1.19: Capacitor Elctrico

Un condensador o capacitor, cu/o esquema puede obser&arse en la fig 33J, ser

identificado como un elemento capa* de almacenar energa .u parmetro caracterstico C

, conocido como capacitancia, ser considerado siempre constante, por lo que la

e$presi"n que representa su dinmica puede ser escrita tal como se muestra en la ec

36K, en la cual i representa la corriente que circula a lo largo del elemento / C , &ariablede estado, la cada de potencial entre sus e$tremos

Resistencias

.on elementos que producen cadas de &olta(e / pueden ser representados

esquemticamente tal como se muestra en la fg 33K, en la cual R es conocida como la

resistencia del elemento, i representa la corriente que circula a lo largo del elemento /

la cada de potencial entre sus e$tremos 1a e$presi"n que representa su comportamiento

es la que se muestra en la ec 3QA

)ara la resoluci"n de problemas asociados a este tipo de sistemas es importante recordar

las 1e/es de corriente / &olta(e de irc-off, las cuales se0alan lo siguiente

1e/ de corriente 8le/ de nodos2, la suma algebraica de todas las corrientes que entran /

salen de un nodo es cero, o lo que es lo mismo, la suma de las corrientes que entran a

una nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo

1e/ de &olta(es 8le/ de mallas2, la suma algebraica de los &olta(es alrededor de cualquier

malla en un circuito el#ctrico es cero, o lo que es lo mismo, la suma de las cadas de

&olta(e es igual a la suma de las ele&aciones de &olta(e alrededor de una malla


36/59

Elaboraci"n De ;odelos ;atemticos

8;odelado2 > !nlisis De Circuitos

El primer paso en los problemas de anlisis de circuitos consiste en obtener modelos

matemticos de los circuitos 8!unque los t#rminos circuitos / red alguna &eces se usan demodo intercambiable, red implica una intercone$i"n ms complicada que circuito2 Un modelo

matemtico puede constar de ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales, ecuaciones

integra diferenciales / otras seme(antes Tal modelo puede obtenerse aplicando una o ambas

le/es de irc--off a un circuito dado 1as &ariables de inter#s en el anlisis de circuitos son los

&olta(es / las corrientes en diferentes puntos a lo largo del circuito

En esta secci"n e$ponemos t#cnicas de modelado matemtico e ilustramos soluciones de

problemas de circuitos simples !unque muc-os problemas importantes pueden resol&erse

utili*ando los m#todos dados, se entiende que las e$plicaciones son introductorias e ilustrati&as

ms que profundas

;#todo de nodos para la obtenci"n de modelos matemticos En el m#todo de nodos

formulamos ecuaciones por la aplicaci"n de la le/ de corrientes de irc--off 8le/ de nodos2 a

cada nodo del circuito

;#todo de mallas para la obtenci"n de modelos matemticos !l usar este m#todo, primero

identificamos las corrientes inc"gnitas / suponemos arbitrariamente las direcciones de las

corrientes alrededoi' de las mallas: luego escribimos las ecuaciones aplicando la le/ de &olta(esde irc--off 8le/ de mallas2

)uente de -eatstone El puente de -eatstone mostrado en la ig

5'44 consta de cuatro resistores, una batera 8o fuente de ba(o &olta(e de corriente directa2, / un

gal&an"metro 1a resistencia R, es una resistencia desconocida 1as resistencias R, / R, son

las ramas de relaci"n / pueden -acerse iguales 1as posiciones de la batera / el gal&an"metro

pueden intercambiarse

;ediante el uso de un puente como este, se pueden medir con precisi"n resistores desde una

fracci"n de o-m -asta de 3AA AAA o-ms o ms .e usan numerosas modificaciones del puente

para medir resistencias mu/ ba(as / &olta(es de ca En el diagrama el puente de -eatstone

tiene tres mallas Identifiqu#moslas como malla 3, malla 4 / malla 5 e identifiquemos a las

corrientes cclicas de cada malla como i,, i4 e i, 1a condici"n de equilibrio en un puente de

-eatstone es que la corriente a tras del gal&an"metro sea cero, o

i4 ' il H O Esta condici"n es equi&alente a la condici"n de e, H e,De modo que si el puente est

balanceado, tenemos


37/59

MODELO DE SISTEMA ROTACIONALES

1a segunda le/ de Neton establece que+

G H VT

G ;omento de Inercia de la carga Fg'm4 S

!celeraci"n angular de la carga radBs4 S

T )ar aplicado al sistema N'mS

Entonces+


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G H 'b WT L X X

b Coeficiente de fricci"n &iscosa N'mBradBsS

X elocidad angular radBsS

1a funci"n de transferencia resulta en+

D"nde+ Y8s2 / T 8s2 son las transformadas de 1aplace de la salida 8&elocidad

angular

X 2 / de la entrada 8par T aplicado2

1a unidad para la fuer*a en el sistema m#trico de ingeniera 8gra&itacional2 es el

Fgf, que es una dimensi"n primaria en el sistema !simismo, en el sistema

britnico de ingeniera, la unidad de fuer*a es la lbf Tambi#n es una dimensi"n

primaria en este sistema de unidades


39/59

Considere el sistema masa'resorte'amortiguador montado en un carro sin masa,Un amortiguador es un dispositi&o que proporciona fricci"n &iscosa o

amortiguamiento Est formado por un pist"n / un cilindro lleno de aceite El

aceite resiste cualquier mo&imiento relati&o entre la &arilla del pist"n / el cilindro,

debido a que el aceite debe fluir alrededor del pist"n 8o a tras de orificios en el

pist"n2 de un lado del pist"n al otro

El amortiguador esencialmente absorbe energa Esta energa absorbida se disipacomo calor / el amortiguador no almacena energa cin#tica ni potencial

Obtengamos un modelo matemtico de este sistema de masa'resorte'

amortiguador montado en un carro, suponiendo que #ste est inm"&il durante un t

Z A En este sistema, u8t2 es el despla*amiento del carro / la entrada para el

sistema

En t H A, el carro se mue&e a una &elocidad constante, o bien *A H constante Eldespla*amiento / 8t2 de la masa es la salida 8El despla*amiento en relaci"n con el

piso2 En este sistema, m representa la masa, b denota el coeficiente de fricci"n

&iscosa / F es la constante del resorte .uponemos que la fuer*a de fricci"n del

amortiguador es proporcional a A' *i / que el resorte es lineal: es decir, la fuer*a

del resorte es proporcional a / ' u )ara sistemas traslacionales, la segunda le/ de

Neton establece que+

En donde m es una masa, a es la aceleraci"n de la masa / [ es la suma de las

fuer*as que actan sobre la masa !plicando la segunda le/ de Neton al sistema

presente / considerando que el carro no tiene masa, obtenemos


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Figura sistema

rotatorio

Sistemas Mecnicos Rotacionales

En esta secci"n se identificarn cada uno de los elementos que forman parte de lossistemas mecnicos rotacionales segn la clasificaci"n mencionada en el sec 33,

as mismo, se mostrarn las ecuaciones generales que finalmente describirn sus

comportamientos

uentes de Energa

.ern consideradas dos diferentes formas de fuentes de energa, aquellas que

proporcionan un torque aplicado / las que proporcionan una &elocidad angular en

algn punto del sistema


Tal como se mencion" anteriormente, para los sistemas mecnicos la energa se

almacena en forma de energa cin#tica / potencial, lo que dar lugar a dos

elementos almacenadores de energa que sern descritos a continuaci"n

Inercia


41/59

Figura 1.8: Inercia Rotacional

H = J ddH

= ! = "J #dt dt

d ! = J

dt

El primer elemento identificado como almacenador de energa ser una masa

rotando, la cual almacena energa en forma de energa cin#tica Esquemticamente

es posible representarla como se muestra en la fig 3J, en donde \ es el torque

aplicado sobre la masa que gira, G es el &alor caracterstico de inercia / X la&elocidad angular a la cual gira 1a ecuaci"n de momentum respresenta

matemticamente a este elemento / se escribe tal como se muestra en la ec 345,

donde es la cantidad de mo&imiento angular de la inercia / su deri&ada

corresponde con el torque aplicado sobre la misma De all que, deri&ando la ec

345, se obtiene la ec 34M que representar la dinmica del elemento en cuesti"n

Representaci"n de .istemas sicos

Dic-a ecuaci"n representa, en forma general, la dinmica del elemento, en la cual

se pueden considerar &ariaciones en el parmetro caracterstico G )ara el caso

particular en el cual se considere constante la inercia del elemento, la ec 34M puede

ser reescrita, para ese caso lineal, como,


42/59

Figura 1.9: Re$orte %or$ional

d ! d= "&% #dt dt

d ! d '

= &% = &% dt dt

inalmente, se definir a la &elocidad angular X como la &ariable de estado del

elemento, pues, conocida la misma en todo momento, se conocer la energa

cin#tica almacenada en el elemento

Capacitor

El otro elemento identificado como almacenador de energa ser un resorte

torsional, el cual almacena energa en forma de energa potencial

Esquemticamente puede ser representado como se muestra en la fig 3K

donde ] es el despla*amiento relati&o entre los e$tremos, \ es el torque aplicado / T es

la constante de elasticidad del mismo, la cual puede ser fi(a o dependiente del &alor de ],

siendo en este caso la ecuaci"n que representa el comportamiento de este elemento la

siguiente

Deri&ando la ecuaci"n anterior se obtiene la ec 34, que describe la dinmica del

elemento, en la cual se pueden considerar &ariaciones en el parmetro caractersticoT

)ara el caso particular en el cual se considere constante dic-o parmetro, la ec 36

puede ser reescrita, para ese caso lineal, como sigue,


43/59

Figura 1.1(: Engrana)e$ o Rueda$

inalmente, se definir al torque \ como la &ariable de estado del elemento, pues,

conocido el mismo en todo momento, se conocer la energa potencial almacenada

en el elemento Cabe destacar que en este caso, el despla*amiento angular ]

tambi#n puede ser considerado como la ariable de Estado del elemento, dado que

ambas &ariables guardan una relaci"n entre s, tal como se obser&a en la ec 34Q

Resistencias

1as p#rdidas de energa que pueden reconocerse en este tipo de sistemas son las

p#rdidas por fricci"n, por e(emplo, el roce entre dos superficies / el roce o

resistencia al &iento, entre otras Este tipo de resistencias, son representadas a

tras de una relaci"n entre el torque que se produce debido al roce / la &elocidad

angular relati&a entre los cuerpos in&olucrados en el fen"meno, tal como se muestra

en la ec 34K Esta ecuaci"n puede ser una relaci"n lineal o no lineal dependiendo

de cada caso en particular

Transformadores de Energa

En la fig 33A se muestran un par de engrana(es o ruedas que mantienen contacto

entre s / entre los cuales no -a/ desli*amiento !ll se puede apreciar que la

primera rueda recibe un torque \3 / una &elocidad angular X3 / la segunda rueda

entrega un torque \4 / una &elocidad angular X4, los cuales estarn asociados a

tras de las siguientes relaciones de transformaci"n


44/59

.I.TE;!. IDR@U1ICO.

En esta secci"n, la cual introduce conceptos generales sobre sistemas -idrulicos,

presentamos bre&es descripciones de circuitos -idrulicos, unidades de potencia, actuadores,

&l&ulas / dispositi&os similares

Circuitos -idrulicos 1os circuitos -idrulicos son capaces de producir muc-as combinaciones

diferentes de mo&imiento / fuer*a .in embargo, en esencia son lo mismo, independientemente

de su aplicaci"n Tales circuitos estn formados por cuatro componentes bsicos+ un dep"sito

para guardar el fluido -idrulico, una bomba o unas bombas para for*ar al fluido a tras del

circuito, &l&ulas para controlar la presi"n del fluido / su flu(o, / un actuador o unos actuadores

para con&ertir la energa -idrulica en

energa mecnica para -acer el traba(o 1a figura M'3 muestra un circuito simple formado por un

dep"sito, una bomba, &l&ulas, un cilindro -idrulico, etc#tera

Unidad de potencia -idrulica Una unidad de potencia -idrulica inclu/e componentes tales

como un dep"sito, filtros, un motor el#ctrico para impulsar una bomba o unas bombas / una

&l&ula de control de presi"n m$ima


45/59

El dep"sito, que funciona como fuente de fluido -idrulico, debe ser lo suficientemente grande

para almacenar el ma/or &olumen de lquido que el sistema pueda necesitar !dems, debe

estar completamente cerrado con d ob(eto de mantener el fluido limpio Con frecuencia, el motor

el#ctrico, la bomba / las &l&ulas estn montados sobre el dep"sito

)ara remo&er partculas e$tra0as del fluido -idrulico, se utili*an re(illas, filtros / bu(as

magn#ticas, asegurando de ese modo la larga &ida / el funcionamiento sin dificultades del

sistema -idrulico 81as bu(as magn#ticas locali*adas usualmente en el dep"sito atraparn las

partculas de fierro o acero del fluido -idrulico2

Utili*adas para con&ertir energa mecnica en energa -idrulica, las bombas -idrulicas

pueden clasificarse como bombas de despla*amiento positi&o / bombas de despla*amiento no

positi&o 1a figura M'48a2 / 8b2 muestran diagramas esquemticos de cada una de ellas Una

caracterstica de la bomba de despla*amiento positi&o es que su salida no se &e afectada porlas &ariaciones de la presi"n del sistema a causa de la presencia de un sello interno positi&o

contra fugas Casi todas las bombas usadas en sistemas -idrulicos de potencia son del tipo de

despla*amiento positi&o 8Debido a la ausencia de un sello interno positi&o, la salida de una

bomba de despla*amiento no positi&o &ara considerablemente con la presi"n2

1as bombas de despla*amiento positi&o pueden clasificarse como unidades de despla*amiento

fi(o o &ariable En las primeras, con ob(eto de &ariar la salida &olum#trica, debe &ariarse la

&elocidad de la bomba 1a salida &olum#trica puede &ariarse en una bomba de despla*amiento

&ariable a(ustando las relaciones fsicas de las partes operati&as de la bomba


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!cumuladores El acumulador almacena fluido a presi"n pro&eniente de una bomba -idrulicaEsta componente se usa a menudo en circuitos -idrulicos para tener disponible el fluido a

presi"n ante la demanda / para sua&i*ar las pulsaciones en el flu(o

!ctuadores 1os actuadores -idrulicos reali*an la funci"n opuesta que las bombas -idrulicas

en el sentido de que con&ierten la energa -idrulica en energa mecnica con el ob(eto de

permitir el traba(o til

Enla*ado mecnicamente a la carga de traba(o, este dispositi&o es actuado por el fluido a

presi"n de la bomba 1os actuadores pueden clasificarse como lineales / rotatorios

!ctuadores lineales 1os actuadores lineales &ienen en la forma de un ariete o cilindro 1a figura

M'J8a2 / 8b2 muestra unos cilindros de doble acci"n

En un cilindro de doble acci"n la presi"n -idrulica puede aplicarse en cualquiera de los lados

de pist"n 8El pist"n puede mo&erse en una u otra direcci"n

El tipo mostrado en la ig M'J8a2 se llama cilindro diferencial porque el rea del pist"n a la

i*quierda es ma/or, proporcionando as una carrera de traba(o ms lenta / ms potente cuando

se aplica la presi"n por el lado i*quierdo 1a carrera de retorno es ms rpida debido al rea del


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pist"n ms peque0a 1a figura M'J8b2 muestra un tipo de cilindro no diferencial .e necesitan

fuer*as iguales en ambas direcciones

!ctuadores rotatorios 1os actuadores rotatorios inclu/en motores de pist"n, motores de aspas

/ motores de engranes ;uc-as de las bombas -idrulicas 8como las bombas de pist"n, las

bombas de aspas / las bombas de engranes2 pueden usarse como motores con unamodificaci"n peque0a o sin modificaci"n

1a figura M'K es un diagrama esquemtico de un motor de pist"n a$ial

El pist"n en el lado de alta presi"n es empu(ado -acia afuera por la fuer*a

)ropiedades De 1os idrulicos

1as propiedades del fluido -idrulico tienen un efecto importante en el funcionamiento de los

sistemas -idrulicos !dems de ser&ir como un medio para la transmisi"n de potencia, el fluido

-idrulico debe mantener al mnimo el desgaste de las partes m"&iles pro&e/endo una

lubricaci"n satisfactoria

En la prctica, los aceites basados en el petr"leo con los aditi&os adecuados son los fluidos

-idrulicos ms comnmente utili*ados porque ofrecen buena lubricaci"n para las partes

m"&iles en el sistema / son casi incompresible^


48/59

Es necesario el uso de aceite limpio de alta calidad para la operaci"n satisfactoria del sistema

-idrulico 1as pginas siguientes describen aquellas caractersticas fsicas de los fluidos

-idrulicos que son necesarias para e$plicar los sistemas -idrulicos

Densidad / &olumen especfico 1a densidad de masa p de una sustancia es su masa por

unidad de &olumen 1as unidades comnmente usadas son FgBm5, lbBff , slugBff , etc#tera )ara

el agua a la presi"n atmosf#rica estandar 83 O355 $ lo6 NBm4 abs, la cual es igual a 3 O554

Fg,Bcm4 abs o 3M lbGBin4 abs2 / temperatura estandar 8436 que es igual a MOC o

5KPA2, la densidad de masa es

p H 3AAA FgBm5 H Q4M5 lbBft5 H 3KM slugBft5

)ara los aceites basados en petr"leo, la densidad de masa es apro$imadamente

p H J4AFgBm5 H 6343bBft5 H 36KslugBft5

El &olumen especfico & es el recproco de la densidad p Es el &olumen ocupado por una

unidad de masa del fluido, o bien

)eso especfico / densidad especfica El peso especfico / de una sustancia es su peso por

unidad de &olumen 1as unidades comnmente usadas son NBm5, FgfBm5, etc#tera )ara el

agua a la presi"n atmosf#rica / temperatura estndar,

/ H KJA $ lo5 NBm5 H 3AAA FgfBm5 H Q4M5 lbfBft5

)ara los aceites basados en petr"leo, el peso especfico es apro$imadamente

/ H JAM $ lo5 NBm5 H J4A Fg,Bm5 H 634 lb,Bft5

El peso especfico / / la densidad de masa p estn relacionados por donde g es la aceleraci"n

de la gra&edad

1a densidad especifica de una sustancia es la relaci"n de su peso con respecto al peso de un

&olumen igual de agua a la presi"n atmosf#rica / temperatura estndar

1a densidad p de un lquido es funci"n de la presi"n / la temperatura

)uede escribirse

) H pol W a8p ')O2 ' ' JA23

donde p, p, / J son la densidad de masa, la presi"n / la temperatura, respecti&amente 8.e

supone que la densidad del lquido es po cuando la presi"n es po / la temperatura C_2 s

&alores de a / b son positi&os !s pues, la densidad de masa de un lquido se incrementa

cuando la presi"n se incrementa / decrece cuando la temperatura se incrementa 1os


49/59

coeficientes a / b se llaman m"dulo de compresibilidad / coeficiente de e$pansi"n cbica,

respecti&amente

;"dulos de compresibilidad / de dispersi"n 1a compresibilidad de un lquido se e$presa por

medio de su m"dulo de dispersi"n El m"dulo de dispersi"n de un lquido / el m"dulo de

compresibilidad son recprocamente in&ersos .i la presi"n de un lquido de &olumen se

incrementa por dp, estocausar un decrecimiento en el &olumen d El m"dulo de dispersi"n

se define por 8N"tese que d es negati&o, de modo que ' d es positi&o2 El m"dulo de

dispersi"n del agua a la temperatura / presibn ordinarias es apro$imadamente 43 $ 3A NBd , lo

cual es igual a 43 7)a 8gigapascal2, 43M $ l8r Fg,Bcm4, o 5 $ los lb,Bin4

E1!


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.imilar a los sistemas mecnicos antes mencionados, para este tipo de sistemas se tendrn

dos elementos capaces de almacenar energa, los cuales sern descritos a continuaci"n

Inercia

En este caso, el fluido que transita a lo largo de una tubera ser considerada como una inercia

/ las relaciones que representan su dinmica sern seme(antes a las mostradas para los casos

anteriores En la fig 333 se puede obser&ar un esquema del elemento, en la cual se pueden

identificar las &ariables / parmetros in&olucrados en el mismo 9 corresponde con el caudal

que flu/e a lo largo de la tubera, )3 / )4 son las presiones en los e$tremos de la misma, ! el

rea trans&ersal de la tubera, 1 su longitud / ` la densidad del fluido


51/59

PNDULO INVERTIDO

Un p#ndulo in&ertido montado en un carro mane(ado por un motor aparece en la

igura 5'68a2 Este es un modelo del control de posici"n de un propulsor primario

espacial para despegues 8El ob(eti&o del problema del control de posici"n es

conser&ar el propulsor primario espacial en una posici"n &ertical 8Ogata, 4A3A22


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El p#ndulo in&ertido es inestable porque puede girar en cualquier momento / en

cualquier direcci"n, a menos que se le aplique una fuer*a de control con&eniente!qu se considera s"lo un problema en dos dimensiones, en el cual el p#ndulo

s"lo se mue&e en el plano de la pgina .e aplica al carro la fuer*a de control u

.up"ngase que el centro de gra&edad de la barra del p#ndulo est en su centro

geom#trico Obt#ngase un modelo matemtico para este sistema .ea - el ngulo

de la barra respecto de la lnea &ertical .ean adems las coordenadas 8$, /2 del

centro de gra&edad de la barra del p#ndulo 8$7, /72

85,K2

)ara obtener las ecuaciones de mo&imiento para el sistema, consid#rese el

diagrama de cuerpo libre que aparece en la igura 5'68b2 El mo&imiento

rotacional de la barra del p#ndulo alrededor de su centro de gra&edad se describemediante

85,3A2

donde I es el momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gra&edad

El mo&imiento -ori*ontal del centro de gra&edad de la barra del p#ndulo se

obtiene mediante+

85,332

El mo&imiento &ertical del centro de gra&edad de la barra del p#nduloes+


53/59

85,342

El mo&imiento -ori*ontal del carro se describe mediante


54/59

en ocasiones, se a0ade el ob(eti&o de conseguirlo en una posici"n Xc del carro

determinado

Ejemlo !e n!"lo in#erti!o$

Considere el sistema de p#ndulo in&ertido que se muestra en la igura 5'Q Como

en este sistema la masa se concentra en lo alto de la &arilla, el centro de gra&edad

es el centro de la bola del p#ndulo )ara este caso, el momento de inercia del

p#ndulo respecto de su centro de gra&edad es peque0o, / se supone que IHA en

la Ecuaci"n 85'32 Entonces el modelo matemtico para este sistema es el

siguiente+

1as Ecuaciones 85'3J2 / 85'3K2 se pueden modificar como+


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85,352

Como se debe mantener el p#ndulo in&ertido en posici"n &ertical, se puede

suponer que A8t2 / A8t2 son peque0os, de forma que

Entonces, las Ecuaciones 85'K2 a 85'332 se lineali*an del modo siguiente+

! partir de las Ecuaciones 85'342 / 85'3M2, se obtiene+

! partir de las Ecuaciones 85'352, 85'3M2 / 85'362, se obtiene+


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O bien+

1as Ecuaciones 85'3Q2 / 85'32 describen el mo&imiento del sistema del p#ndulo

in&ertido en el carro Constitu/en un modelo matemtico del sistema

No obstante, solo el segundo punto de equilibro es estable 8da lugar a sistema

lineal apro$imado estable2

.in embargo, el otro punto se puede con&ertir en estable aplicado en la fuer*a de

entrada alguna le/ de control realimentado

De -ec-o, este sistema 8p#ndulo in&ertido2 se utili*a tradicionalmente en el rea

de ingeniera de control como plataformas e$perimentales de pruebas de le/es de

control, buscando con&ertir es estable el primero de los puntos anteriores


57/59

iliogra5-a

;gata0 &. "ER?;@ EABCI;@. &B;0 . C. "199#. Sistemas De ControlAutomatico.

eDico0AF: >HH >RE@%ICE HLL.

Riera0 C. . "


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Salvador Alejandro Juan Antonio 7b

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