8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

1/14

8.8 Más sobre polinomios ynúmeros cromáticos

Aplicaciones de la

Teoría de Grafos

a la vida real

 Alberto Conejero y Cristina Jordá

Depto. Matemática Aplicada

E.T.S. Ingeniería Informática

Universitat Politècnica de València

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

2/14

Unión de grafos

Sean dos grafos no dirigidos G y H.

Llamamos unión de los grafos G y H al grafo G  H = (V, G) tal queV = V(G)  V(H) y E = E(G)  E(H)

G H 

v1

v2

v3

v4

v5

v7 v

v6

v6

v7 v8

H 

v3

v4

Ejemplov1

G 

v4

v5

v2

v3

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

3/14

 b.2) G1  G2  y G3  tienen un único véen común. Obtenemos G1  G2 

Unión de grafos con sólo un vértice en común

b.1) G1 y G2 tienen un único vértice en común.Obtenemos G1  G2 

G1 G2  G3

v5

v5

v4

v3

v2

v4

G1  G2 

v5

v3

v2

v4

v1

G1  G2 

v3

v2

v4

v5

v3

v2

v4

v5v7

v6

G se puede expresar como unión de

G

v1

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

4/14

Unión de grafos con sólo una arista en común

Sean dos grafos no dirigidos G y H con una única arista en común

v1

H v5

v4

v6G  H 

v3

v4

v1

v2

v5

G

v2

v4

v5

v3

v5

v5

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

5/14

Propiedades

1.- Si G y H tienen un único vértice en común, v, se verifica que

v

Consideramos una coloración cualquiera con k colores

Supongamos que v tiene el color a.

De las PG(k) formas de colorear G hay PG(k)/k en las q

tiene color a.

Luego para cada coloración de H (en la que v tiene un

concreto, a u otro) hay PG(k)/k formas diferentes de co

Por tanto, el número de coloraciones posibles de GHGH

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

6/14

Propiedades

u

Consideramos una coloración cualquiera con k colores.

Supongamos que u tiene el color a y v  el color b.

De las PG(k) formas de colorear G hay PG(k)/k en las qu

tiene color a.

De las PG(k) /k formas de colorear G teniendo u color a

( PG(k)/k )/(k-1) formas de que v  tenga color b.

Luego para cada coloración de H (en la que u y v  tienen

concretos, a y b  u otros) hay ( PG(k)/k )/(k-1) formas dife

de colorear G.

Por tanto, el número de coloraciones posibles de GH e

2.- Si G y H tienen una única arista en común, e = (u, v), se verifica que

v

GH

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

7/14

Recordemos

1.- PLn(k) = k . (k-1)n-1, siendo Ln el grafo lineal de n vértices

2.- PNn(k) = kn, siendo Nn el grafo vacío de n vértices

3.- PKn(k) = k.(k-1). ... (k-(n-1)), siendo Kn el grafo completo de n vértices 

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

8/14

Ejemplo

v3

v2

v4

v5v7

v6

v1

v8

¿Cuál es el índice cromático del grafo G? Obténlo a partir del polinomio cro

Se puede considerar G como unión de G1 y G

2, grafos con un único vértice en

v3

v2

v4

v1

v8

v5v7

v6v4

G1

G2

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

9/14

Ejemplo

v5

v2

v4

v3

v1

v8

G1 se puede expresar como la

unión de G11 y G12

v3

v4

v3

v2

v4

v1

v5v

v5

v4

v4

v8

G2 se puede expresar como

unión de G21 y G22

G21 G22 G11 

G12 

G1 G2 

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

10/14

Ejemplo

v2

v4

v3

v1

v8 v3

v4

v3

v2

v4

v1

v8G11 

G12 

G1 

PG1(k)=PG11(k).PG12(k)

k.(k-1)

PG11(k)=k.(k-1)

PG12(k)=k.(k-1

k.(k-1).(k-2).(k-3).k

k.(k-1)=

P K  n

(k) = k.(k-1). ... (k

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

11/14

Ejemplo

v2

v4

v3

v1

v8 v3

v4

v3

v2

v4

v1

v8G11 

G12 

G1 

PG1(k)=PG11(k).PG12(k)

k.(k-1)

PG11(k)=k.(k-1)

PG12(k)=k.(k-1

v5v7

v6

v5G21 

G22 

v5v7

v6v4

G2 

PG21(k)=k.(k-

PG22(k)=k.(k

PG2(k)=PG21(k).PG22(k)

k

k.(k-1).k.(k-1)2

k=

= (k-2).(k-3).k.(k-1).

P Ln(k) = k . (

P K  n

(k) = k.(k-1). ... (k

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

12/14

Ejemplo

v2

v4

v3

v1

v8 v3

v4

v3

v2

v4

v1

v8G11 

G12 

G1 

PG1(k)=PG11(k).PG12(k)

k.(k-1)

PG11(k)=k.(k-1)

PG12(k)=k.(k-1

v5v7

v6

v5G21 

G22 

v5v7

v6v4

G2 

PG21(k)=k.(k-

PG22(k)=k.(k

PG2(k)=PG21(k).PG22(k)

kk.(k-1)3=

= (k-2).(k-3).k.(k-1).

P Ln(k) = k . (

P K  n

(k) = k.(k-1). ... (k

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

13/14

Ejemplo

v2

v4

v3

v1

v8

G  se puede expresar como la unión de G1 y G1

v5v

v4

G1 G2 

PG2(k)= k.(k-1)3PG1(k) = (k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2)

PG(k) =(k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2).k.(k-1)3PG1(k) . PG2(k)

k=

k

= (k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2).(k-1)3 = (k-3).(k-2)2.(k-1)4.k

Luego  (G) = 4

P Ln(k) = k . (k-1)n-1

P K  n

(k) = k.(k-1). ... (k

8/19/2019 S8 8 Más Sobre Polinomios Números Cromáticos

14/14

Ejemplo

v2

v4

v3

v1

v8

G  se puede expresar como la unión de G1 y G1

v5v

v4

G1 G2 

PG2(k)= k.(k-1)3PG1(k) = (k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2)

PG(k) =(k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2).k.(k-1)3PG1(k) . PG2(k)

k=

k

= (k-2).(k-3).k.(k-1).(k-2).(k-1)3 = (k-3).(k-2)2.(k-1)4.k

Luego  (G) = 4

P Ln(k) = k . (k-1)n-1

P K  n

(k) = k.(k-1). ... (k