FACTORIZACIÓN

Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o más polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores:

(x + 1) (x + 3) = x2 + 4x + 3

Y si estos factores no se pueden descomponer en más factores se les denomina factores primos (Es aquel factor de grado diferente de cero que es divisible por la unidad y el mismo).

POLINOMIO FACTORIZADO# DE

FACTORES PRIMOS

P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z2x3

P(x, y, z) = x2y3w5

P(x, y) = (x + y)(x2 – xy + y2)x4

P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x

P(x, y) = x3y4(x - 2)(x - y)

P(x, y, z) = (xyz)2

P(x) = x3(x4 + 1)

P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz

P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

A. FACTOR COMÚN MONOMIO

Factor común monomio es el monomio cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable esta formada por las variables comunes con su menor exponente.

POLINOMIO FACTORIZACIÓN

MONOMIO COMÚN

P(x, y) = 15x + 25y

P(x) = abx2 – acx

P(x) = 2x2 – 4x + 6x3

P(x, y) = x2y3 – x4y + x3y3

P(x, y) = 5x3y4 – 15x4y5 + 2ax5y5

P(x) = abx2 – ax3 + bx

P(x, y) = x4 – x3 + x

P(x) = 2xn + xn+1 + xn+2

P(x) = 3xn + 6xn-2 – 12xn-1

P(x, y) = 12nxayb + 4nxa-1yb-2 –

8nxa+1yb+2

B. FACTOR COMÚN POLINOMIO

Factor común polinomio es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio.

POLINOMIO FACTORIZACIÓN

POLINOMIO COMÚN

(a - 2)x2 – (a – 2)

y2(x + y - z) + m2(x + y - z)

x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b)

a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)

a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)

multiplicación

factorización

C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Cuando TODOS los términos de un polinomio no tienen la misma parte variable, se agrupa los términos que si lo tienen y se hallan los respectivos factores comunes.

POLINOMIO FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

m2y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2

5a – 3b – 3bc5 + 5ac5

6x3 – 1 – x2 + 6x

7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2

d2m – 13c2n2 – d2n2 + 13c2m

D. IDENTIDADES

Aquí utilizamos dos diferentes productos notables ya estudiados.

POLINOMIO FACTORIZACIÓN IDENTIDADES

c2 – b2

x2 + 10x + 25

64 – x3

64x2 – 25

49x2 – 14x + 1

25m2 – 36n2

36n2 + 48xy + 16y2

36x2 + 84xy + 49y2

E. ASPA SIMPLE

Es un método que permite factorizar trinomios de la forma:

ax2 + bxy + cy2

Su método es:

ax2 + bxy + cy2

TRINOMIOFACTORIZACIÓN

ASPA SIMPLE

x2 + 7x + 12

x2 – 2x - 15

X2 + 8xy + 7y2

x2 + 2xy – 35y2

4x2 – 12xy + 5y2

12x2 - 8xy – 15y2

a2 – b2 = (a + b)(a - b)

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a - b)2

Los factores se escriben en

forma horizontal

Se descom-ponen en los

factores extremos

Se realiza un producto en aspa y los resultados se

adicionan, dicho resultado debe ser idéntico al término central del trinomio dado.

PARTE I

1. Indique el número de factores primos:F(a, b) = 5a9b3 + 15a6b7

2. Señale los factores primos de segundo grado:

G(a, b) = a(1 – b2) + b(1 – a2)

3. Indique el factor primo que más se repite en:E(x) =(x - 3)(x - 2)(x - 1) - (x + 2)(x - 1) - 1 + x

4. ¿Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión?P(x, y, z, w) = wy + wz – wyz – xy – xz + xyz

5. Factorizar:R(x) = 8x3 + 27;

indique el factor primo de mayor suma en sus coeficientes.

6. Calcular la suma de los factores primos de:T(x, y) = (xy + 1)2 – (x + y)2

7. Factorizar:P(x) = 9x2 – 18x + 8Q(x) = 12x2 + x - 6e indicar la suma de sus factores primos no comunes.

8. Factorizar:P(x) = x7 + c3x4 – c4x3 – c7;

indicar cuántos factores primos se obtienen:

9. ¿Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio?

P(x) = x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1

10. Indicar la suma de factores primos:F(a, b) = a3 – b3 + a2b – ab2

PARTE II

11. Factorizar:F(x; y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2

El factor primo de 2do grado es:

12. Factorizar:F(x; y) = x4y – x2y3 – x3y2 + xy4

El número de factores primos binomios es:

13. Factorizar:F(x) = (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4

E indicar la suma de los términos independientes de los factores primos.

14. Factorizar:F(x; y) = 12x2 + 6y2 + 17xy

e indicar la suma de los valores numéricos de sus factores primos para x = 3; y = 2.

15. Indique el número de factores primos en:P(x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

16. ¿Cuántos factores primos resultan en?P(x; y) = x9y – x3y7

17. Si un factor primo de:H(x) = x4 – 13x2 + 36

Toma la forma (ax + b), donde: a + b = -2Hallar el valor de a – b

18. Factorizar: F(x)=(x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 2) – (x - 1)

e indicar la suma de sus factores primos.

EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS

Tarea Domiciliaria

1. Factorizar:F(x; y) = x2y2 + x2y + xy2 + xy

El número de factores primos es:Rpta: 4

2. Factorizar:P(a; b; c) = a2 – abc – ac – ab + b2c + bc

Indicar el número de factores primos.Rpta: 2

3. Factorizar:F(x,y) = x4 y + 3x3 y + 3x2 y + xyEl factor que más se repite es:Rpta: x + 1

4. Factorizar:F(x) = (x + 1)4 – (x - 1)4

La suma de coeficientes del factor primo cuadrático es:Rpta: 2

5. Factorizar:(4x + 3y)2 – (x – y)2

e indicar la suma de los factores primos.Rpta: 5x + 6y

6. Al factorizar:P(x,y,a,b,c)= ac4x4y – ab4c4y

¿Cuántos factores primos se obtienen?Rpta: 6

7. Factorizar:x3y2 + y3z2 – x3z2 – y5

señalar un factor primo lineal.Rpta: x - y

8. Factorizar e indicar el factor primo cuadrático:

Q(x, y) = x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3

Rpta: x2 + 4y2

9. Factorizar:P(x; y) ≡ x5y4 + x5y2 + x3y4 + x3y2

e indicar un factor primo de mayor grado.Rpta: x

10. Indicar la cantidad de factores primos de:P(a; x) ≡ abx2 + aby2 + xya2 + xyb2

Rpta: 2

11. Factorizar: ( )P x x x x= − + −6 4 22 1

indicar la suma de coeficientes de un factor primo.

Rpta: 1

12. Factorizar:P(x) = x2 + 2(a + b)x + a2 + 2ab + b2

Indicando la suma de coeficientes de un factor primo.Rpta: a + b + 1

13. Factorizar:P(x) = x2 – (ac - b)x + abc

e indicar un factor primo.Rpta: (x – ac) y (x – b)

14. Factorizar: ( ) ( )2 2 2F x abx a b x ab= + + + ,

e indicar la suma de los T.I. de los factores primos.Rpta: a+b

15. Indicar los factores primos de:G(x) = x3 + 4x2 – 19x + 14

Rpta: x – 1 , x – 2 , x + 7