S - P1 y P2 (2006)

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Estudios MatemÆticos Nivel Medio ExÆmenes de muestra: prueba 1 y prueba 2 Banco de ejemplos de preguntas: prueba 1 y prueba 2 Primeros exÆmenes: 2006 p IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI

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HJ

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Estudios Matemáticos Nivel Medio

Exámenes de muestra: prueba 1 y prueba 2 Banco de ejemplos de preguntas: prueba 1 y prueba 2

Primeros exámenes: 2006

p IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI

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ÍNDICE Examen de muestra de Estudios Matemáticos Nivel Medio: prueba 1 Esquema de calificación: prueba 1 (en ingles) Banco de ejemplos de preguntas: prueba 1 Examen de muestra de Estudios Matemáticos Nivel Medio: prueba 2 Esquema de calificación: prueba 2 (en ingles) Banco de ejemplos de preguntas: prueba 2

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IB DIPLOMA PROGRAMMEPROGRAMME DU DIPLÔME DU BIPROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI

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ESTUDIOS MATEMÁTICOS NIVEL MEDIO PRUEBA 1 EJEMPLO 1 hora 30 minutos INSTRUCCIONES PARA LOS ALUMNOS � Escriba su número de convocatoria en las casillas de arriba. � No abra esta prueba hasta que se lo autoricen. � Conteste todas las preguntas en los espacios provistos para ello. � Salvo que se indique lo contrario en la pregunta, todas las respuestas numéricas deberán ser

exactas o con tres cifras significativas.

16 páginas

0 0 Número de convocatoria del alumno

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Se otorgará la máxima puntuación a las preguntas correctas. Aun cuando una respuesta sea errónea, se pueden otorgar algunos puntos siempre que aparezca el método empleado y éste sea correcto. Donde sea necesario puede utilizar para los cálculos el espacio debajo del cuadro. En los resultados obtenidos con calculadora de pantalla gráfica, deberá reflejar por escrito el proceso seguido para su obtención, p. ej.: cuando deba utilizar gráficas para hallar soluciones, deberá dibujar esas gráficas en la respuesta. 1. Se observa la edad en meses a la que un niño comienza a andar por primera vez entre un

grupo de niños elegido al azar de una ciudad de Brasil. Los resultados son

14,3; 11,6; 12,2; 14,0; 20,4; 13,4; 12,9; 11,7; 13,1.

(a) (i) Halle la media de las edades de estos niños. (ii) Halle la desviación típica de las edades de estos niños.

(b) Halle la edad mediana.

Operaciones: Respuestas: (a) (i) (ii) (b)

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2. Un campo tiene 91,4 m de largo y 68,5 m de ancho.

(a) Calcule el área del campo en 2m .

(b) Calcule el área del campo en 2cm .

(c) Exprese su respuesta al apartado (b) en la forma 10ka × donde 1 10a≤ < y k∈Z .

Operaciones: Respuestas: (a) (b) (c)

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3. La siguiente figura muestra un punto P, a 12,3 m de la base de un edificio de altura h m. Desde P se ve el punto más alto del edificio bajo un ángulo de 63! .

(a) Calcule la altura h del edificio.

Considere la fórmula 24.9h t= , donde h es la altura del edificio y t es el tiempo en segundos en caer al suelo desde lo alto del edificio.

(b) Calcule cuánto tiempo tardaría en caer al suelo una piedra desde lo alto del edificio.

Operaciones: Respuestas: (a) (b)

h m

63!P

12,3

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4. Se dan las dos siguientes proposiciones lógicas. :p Paula come bombones. :q Paula mira la televisión. Escriba con palabras (a) p q∧¬ , (b) p q∨ , (c) q p⇒ ¬ .

Operaciones: Respuestas: (a) (b) (c)

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5. El siguiente histograma muestra los precios de las casas en miles de dólares australianos (AUD) de una muestra aleatoria de casas de cierta ciudad de Australia.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

(a) ¿De cuántas casas se compone la muestra? (b) Escriba la clase modal de los precios de las casas. (c) Halle la probabilidad de elegir una casa al azar que cueste menos de 60 000 AUD o más

de 240 000 AUD. (d) Suponiendo que una casa cuesta más de 120 000 AUD, halle la probabilidad de que

cueste entre 180 000 y 240 000 AUD.

Operaciones: Respuestas: (a) (b) (c) (d)

0 60 120 180 240 300 Miles de dólares

Frecuencias

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6. Un investigador preguntó a 500 hombres y mujeres por el color de su coche para ver si era independiente del género. Los colores eran rojo, verde, azul, negro y plateado. Se aplicó la prueba de 2χ al nivel de significación del 5 % y el valor hallado resultó ser 8,73.

(a) Escriba la hipótesis nula. (b) Halle el número de grados de libertad de esta prueba. (c) Escriba el valor crítico de esta prueba. (d) ¿Es el color del coche independiente del género? Justifique claramente su respuesta.

Operaciones: Respuestas: (a) (b) (c) (d)

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7. El siguiente diagrama de tallos y hojas ofrece las alturas en cm de 39 escolares. Tallos Hojas Clave 13 2 representa 132 cm.

13 2, 3, 3, 5, 8, 14 1, 1, 1, 4, 5, 5, 9, 15 3, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 16 1, 2, 2, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 17 4, 4, 4, 5, 6, 6,

18 0,

(a) (i) Establezca la altura correspondiente al primer cuartil. (ii) Establezca la altura correspondiente a la mediana. (iii) Establezca la altura correspondiente al tercer cuartil. (b) Dibuje un diagrama de caja y bigotes para estos datos, utilizando la cuadrícula siguiente.

120 130 140 150 160 170 180 190altura en cm

Operaciones: Respuestas: (a) (i) (ii) (iii)

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8. (a) Represente la función 22 5, donde { 2, 1, 0,1, 2, 3}y x x= − ∈ − − mediante un diagrama de flechas.

x y

(b) Enumere los elementos del dominio de esta función. (c) Enumere los elementos del recorrido de esta función.

Operaciones: Respuestas: (b) (c)

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9. Una progresión geométrica tiene todos sus términos positivos. El primer término es 7 y el tercer término es 28.

(a) Halle la razón común. (b) Halle la suma de los 14 primeros términos.

Operaciones: Respuestas: (a) (b)

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10. Sea Z el conjunto de los enteros, Q el conjunto de los números racionales, R el conjunto de los números reales.

(a) Escriba un elemento que pertenezca a ∩R Z .

(b) Escriba un elemento que pertenezca a ′∩Q Z .

(c) Escriba un elemento que pertenezca a ′Q . (d) Utilice un diagrama de Venn para representar los conjuntos Z, Q y R.

Operaciones: Respuestas: (a) (b) (c) (d)

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11. La siguiente tabla indica la cantidad de combustible que queda en el depósito de un coche junto con el número de kilómetros recorridos después de llenarlo.

Distancia recorrida (km) 0 220 276 500 680 850

Cantidad de combustible en el depósito (litros)

55 43 30 24 10 6

(a) En el diagrama de dispersión que aparece a continuación, marque los puntos que faltan.

0

20

40

60

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distancia en km

Combustibleen litros

La distancia media recorrida es 421 km ( )x , y la cantidad media de combustible en el depósito es 28 litros ( )y . Este punto está marcado en el diagrama de dispersión.

(b) Dibuje de forma aproximada la recta de ajuste óptimo. Un coche recorrió 350 km. (c) Utilice la recta de ajuste óptimo dibujada para estimar la cantidad de combustible que

queda en el depósito.

Operaciones: Respuesta: (c)

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12. Dada la recta l: 2 4 0x y+ + = . (a) Escriba la pendiente de l. (b) Halle la pendiente de una recta perpendicular a l. (c) Halle la ecuación de una recta perpendicular a l que pase por el punto (5, 3). Exprese la

respuesta en la forma a b d 0, con a , b, dx y+ + = ∈Z .

Operaciones: Respuestas: (a) (b)

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13. Los sucesos A y B tienen probabilidades P( ) 0,4A = , P ( ) 0,65B = , y P ( ) 0,85A B∪ = . (a) Calcule P( )A B∩ . (b) Establezca si los sucesos A y B son independientes. Justifique la respuesta. (c) Establezca si los sucesos A y B son incompatibles. Justifique la respuesta.

Operaciones: Respuestas: (a) (b) (c)

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14. Un banco en Canadá ofrece el siguiente tipo de cambio entre dólares canadienses (CAD) y Euros (EUR). El banco vende 1 CAD por 1,5485 EUR y compra 1 CAD por 1,5162 EUR. Un cliente desea cambiar 800 dólares canadienses a Euros.

(a) Calcule cuántos Euros recibirá el cliente. (b) El cliente tiene que cancelar su viaje y cambia posteriormente de nuevo su dinero cuando

los tipos de cambio son �venta 1 CAD = 1,5546 EUR, compra 1 CAD = 1,5284 EUR�. Utilice la información de �venta� para calcular cuántos dólares canadienses recibe.

(c) ¿Cuántos dólares canadienses ha perdido en la transacción?

Operaciones: Respuestas: (a) (b) (c)

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15. Se cree que un chiste se difunde en un colegio siguiendo un modelo exponencial 0,44 (1,356) tN = × , 0t ≥ ; donde N es el número de personas que han oído el chiste, y t es el

tiempo en minutos desde que se ha contado el chiste por primera vez. (a) ¿Cuántas personas conocían el chiste inicialmente? (b) ¿Cuántas personas conocen el chiste después de 16 minutos? Hay 1200 personas en el colegio. (c) Estime cuánto tiempo pasará hasta que todos conozcan el chiste en el colegio.

Operaciones: Respuestas: (a) (b) (c)

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c

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SPEC/5/MATSD/SP1/ENG/TZ0/XX/M

MARKSCHEME

SPECIMEN

MATHEMATICAL STUDIES

Standard Level

Paper 1 7 pages

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This markscheme is the property of the International Baccalaureate and must not be reproduced or distributed to any other person without the authorization of IBCA.

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QUESTION 1 (a) (i) Mean = 13.7 (M1)(A1) (G2) (ii) sd = 2.52 (M1)(A1) (G2) (b) For attempting to put their numbers in order (M1) 13.1 (A1) (G2) QUESTION 2

(a) For multiplying 2 lengths (M1) 6260.9 sq m (accept 6260 or 6261) (A1) (C2) (b) For multiplying each length by 100 (M1) Award (M0)(A0) if multiplying their (a) by 100). 9140× 6850 = 62609000 (accept 62,600,000 or 62,610,000) (A1) (C2) (c) 6.26× 107 For 6.26 (A1) For 107 (A1) (C2) QUESTION 3

(a) For using tan (M1) h = 12.3 × tan 63 For using tan something (A1) h = 24.1 (A1) (G3) (b) 24.1 = 4.9t2 For substituting for h in the formula and attempting to solve (M1) For taking a square root (can be implied) (M1) 2.22 sec (A1) (C3) QUESTION 4

(a) Paula eats chocolates and does not watch television For �and� (A1) For the rest correct (A1) (C2) (b) Paula eats chocolates or watches television but not both For correct�or� (A1) For �but not both� (A1) (C2) (c) If Paula watches television then she does not eat chocolates for if�.then (A1) for antecedent and consequent both correct (A1) (C2)

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QUESTION 5

(a) 109 (A1) (C1) (b) 60�120 thousand dollars (A1) (C1)

(c) 32109

For correct numerator (A1)

For correct denominator (A1) (C2)

(d) 1039

For correct numerator (A1)

For correct denominator (A1) (C2) QUESTION 6

(a) Colour of car and gender are independent (A1) (C1) (b) (2 1)(5 1)− − (M1) 4= (A1)

OR

4 (A2) (C2) (c) 2 9.488χ = (A1) (C1) (d) Yes. Test statistic is smaller than the critical value. (A1)(R1) (C2) QUESTION 7

(a) (i) 145 (A1) (ii) 157 (A1) (iii) 167 (A1) (C3) (b) For median in correct place (A1) For both quartiles in the correct places (A1) For correct 2 whiskers (A1) (C3)

Heights/cm 130 140 150 160 170 180

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QUESTION 8

(a) �2 For six single lines going to correct y (M1) �1 �3 (y-value can be repeated) 0 �5 Correct diagram (y-values not repeated) (A1) (C2) 1 2 3 3 13 (b) x ∈{�2, �1, 0, 1, 2, 3} (A2) (C2) Award (A1) if one value omitted. (c) y ∈{�3, �5, 3, 13} (A2) (C2) QUESTION 9

(a) For obtaining an equation in r2, can be implied (M1) 228 7r= (A1) r = 2 (A1) (C3) (b) For using their value of r in the GP sum formula (M1) For obtaining 114681 (accept fewer sig fig up to 115000) (M1)(A1) (C3) QUESTION 10

(a) For example, 2, �3 etc (A1) (C1)

(b) For example, 3 6not5 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(A1) (C1)

(c) For example, 2,π (A1) (C1) (d) U For ⊂Z Q (A1) For ⊂Z R (A1) For ⊂Q R (A1) (C3) Accept R as U.

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QUESTION 11

(a)

05

1015202530354045505560

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

DISTANCE

FUEL

For all 3 points correct (A2) (C2) If only 2 points correct award (A1). (b) For straight line with �ve gradient for passing through the mean (A1)(A1) For straight line intercept on y-axis between 50 and 55 (A1) (C3) (c) 32 (read answer from candidate�s line) (A1) (C1) QUESTION 12

(a) �2 (A1) (C1)

(b) gradient = 12

(A1) (C1)

(c) Using y mx c= + with their m to find c (M1)

12

c = (A1)

1 12 2

y x= + (A1)

2 1 0x y− + = (A1) (C4) QUESTION 13

(a) For solving for P( )A B∩ from the formula in their tables (M1) P( ) 0.2A B∩ = (A1) (C2) (b) Because 0.4 0.65 0.2× ≠ need to see the numbers, not just a statement (R1) Therefore no, not independent (A1) (C2) Cannot award (A1) if (R1) not awarded (c) Because P( ) 0A B∩ ≠ (R1) Not mutually exclusive (A1) (C2) Cannot award (A1) if (R1) not awarded.

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QUESTION 14

(a) 800 1.5162× for multiplying by 1.5162 (M1) 1212.96= EUR (accept 1213) (A1) (C2) (b) 1212.96 / 1.5546 (M1) = 780.24 (accept 780) (A2) (C3) (c) 19.76 CAD (A1) (C1) QUESTION 15

(a) 4 (A1) (C1) (b) For raising to a power of 6.4 (M1) 28 (A1) (C2) (c) 0.41200 4 (1.356) t= × (for substituting in the formula) (M1) 0.4300 (1.356) t= (A1) 46.8t = (by trial and error) (A1)

OR

46.8t = (G3) (C3)

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� 1 �

Banco de ejemplos de preguntas de Estudios Matemáticos � Prueba 1 1. (a) En el siguiente diagrama se muestran los resultados de los exámenes de 100 niños: (i) Halle el rango de los resultados. (ii) Halle el rango intercuartil. (iii) Escriba la mediana. (b) Los resultados de los exámenes de 100 niñas se muestran en el siguiente diagrama:

num

ber o

f girl

s cum

ulat

ive

freq

uenc

y

exam results

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

(i) Escriba la mediana. (ii) Halle el rango intercuartil. (c) Escriba el conjunto de resultados que está más disperso. Justifique su respuesta

0 10 20 30 40 50 60 70 80 10090

frec

uenc

ias a

cum

ulad

as d

el n

úmer

o de

niñ

as

resultados de los exámenes

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� 2 �

2. Escriba los valores de a, b, c, d, e y f de la tabla siguiente:

p q ¬p p ∧ q p ∨ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q T T a d T F b f F T c F F e

3. (a) Derive la siguiente función con respecto a x:

1( ) 2 9 25f x x x−= − − (b) Calcule las abscisas de los puntos donde la pendiente de la tangente a la curva es igual a 6. 4. Bob invierte 600 EUR en un banco que ofrece un interés compuesto anual del 2,75%.

El interés se suma al final de cada año. (a) Calcule cuánto dinero tiene Bob después de 4 años. (b) Calcule en cuántos años se duplica su inversión. Ana invierte 600 EUR en otro banco que ofrece un interés compuesto anualmente. Su inversión

se duplica en 20 años. (c) Halle la tasa de interés (tipo de interés) que ofrece este banco. 5. (a) Derive la función 2 3 2y x x= + − . (b) En un punto (x, y) de esta curva la pendiente es 5. Halle las coordenadas de ese punto.

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� 3 �

6. Tres puntos A(1, 3), B(4, 10) y C(7, -1) se unen para formar un triángulo. El punto medio de AB es D y el punto medio de AC es E.

(a) Sitúe los puntos A, B y C en el sistema de ejes dado a continuación.

(b) Calcule la distancia DE.

7. (a) Escriba 2

3x

en la forma 3 ax con a∈! .

(b) A partir de lo anterior derive 2

3yx

= dando su respuesta en la forma c

bx

con c +∈! .

8. (a) Dibuje aproximadamente la gráfica de la función 22 6 5y x x= − + . (b) Escriba las coordenadas del mínimo o máximo local de la función. (c) Halle la ecuación del eje de simetría de la función.

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� 4 �

9. Guillermo invierte $ 1200 durante 5 años al 3,75 % de interés compuesto anual. (a) Calcule la cantidad total de dinero que tiene Guillermo al final de los 5 años. (b) La tasa de interés (tipo de interés) baja entonces al 3,25 %. Halle cuánto dinero tendrá

después de otros 3 años, si decide dejar el dinero en el banco. 10. Dos estudiantes, Ana y Benjamín, juegan al GO. Cada vez que Ana pasa por GO, recibe $ 15.

Cada vez que Benjamín pasa por GO, recibe el 8 % de la cantidad de dinero que ya tiene. Ambos estudiantes comienzan con $ 100.

(a) ¿Cuánto dinero tendrá Ana después de haber pasado por GO 10 veces? (b) ¿Cuánto dinero tendrá Benjamín después de haber pasado por GO 10 veces? (c) ¿Cuántas veces tendrán que pasar los estudiantes por GO para que Benjamín tenga más

dinero que Ana?

11. (a) Dibuje aproximadamente la gráfica de 2

xyx

=+

para 10 10x− ≤ ≤ .

(b) A partir de lo anterior escriba las ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal. 12.

El diagrama muestra una función f, que aplica elementos de un conjunto A en elementos de

un conjunto B. (a) (i) Usando notación de conjuntos escriba todos los elementos del dominio de f. (ii) Usando notación de conjuntos escriba todos los elementos del recorrido de f. (iii) Escriba la ecuación de la función f. Una función g viene dada por la expresión 2( ) 1g x x= + . El dominio de g es R. (b) Escriba el recorrido de g.

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� 5 �

13. A continuación se muestra la gráfica de la función sen ( )y a b cx= + donde a, b y c son enteros positivos y x está medida en grados.

Find the values of a, b and c. 14. Los siguientes valores representan las alturas en centímetros de un grupo de girasoles. 180 184 195 177 175 173 169 167 197 173 166 183 161 195 177

192 161 165 Represente estos datos en un diagrama de tallo y hojas. 15. Tomás realiza una prueba de chi-cuadrado para ver si existe alguna relación entre el tiempo

que lleva prepararse para un tiro de penalti (poco tiempo, tiempo medio o bastante tiempo) y el resultado del mismo (marcar gol, no marcar gol). Realiza la prueba a un nivel de significación del 10 %.

(a) Escriba la hipótesis nula. (b) Halle el número de grados de libertad para esta prueba.

(c) El valor p para esta prueba es 0,073. ¿Qué conclusión puede sacar Tomás? Justifique su respuesta.

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� 1 �

Markscheme for bank of specimen questions for mathematical studies � Paper 1 QUESTION 1

(a) (i) 95 � 6 = 89 (A1) (ii) 73 � 50 = 23 (A1) (iii) 60 (A1) (C3) (b) (i) 62 (A1) (ii) 73 � 43 = 30 (A1) (C2) (c) The girls as the IQR is larger (R1) (C1) QUESTION 2

a = F (A1) b = F (A1) c = T (A1) d = F (A1) e = T (A1) f = F (A1) QUESTION 3

(a) 2( ) 2 25f x x−′ = + (A2) (C2) (b) 22 25 6x−+ = (M1) 225 4x= (M1)

2 254

x =

2.5x = ± (A1)(A1) (C4)

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� 2 �

QUESTION 4

(a) 42.75600 1 668.77

100⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(accept 669) (M1)(A1)

OR

669 (G2) (C2)

(b) 2.75600 1 1200100

n⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(M1)

25.6n = 26n = (A1)

OR

26 (G2) (C2)

(c) 20

600 1 1200100

r⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(M1)

1 1.03526100

r+ =

3.53 %r = (A1)

OR

3.53 % (G2) (C2) QUESTION 5

(a) 2 3x + (�1 for each extra term) (A2) (C2) If correct and an extra term included, award (A1) only. (b) Equating the gradient to 5 (2x + 3 = 5) (M1) For solving attempt (M1) For x = 1 (A1) Co-ordinates (1, 2) (A1) (C4)

Page 34: S - P1 y P2 (2006)

� 3 �

QUESTION 6

(a) (A2) (C2)

For 3 correctly plotted points. For 2 correctly plotted points award (A1) only. (b) Co-ordinates D are (2.5, 6.5), ft on their AB (A1) Co-ordinates E are (4, 1), ft on their AC (A1) Distance 2 2DE (1.5 5.5 )= + for using Pythagoras (M1) 5.70= (A1) (C4) QUESTION 7

(a) 23x− (A1) (C1) Award mark for �2. (b) 32 3x−− × (A1)(A1) Award (A1) for 2 3− × , (A1) for �3. 36x−= − (A1)

3

6x

= − (A1)(A1) (C5)

Award (A1) for positive power on denominator, (A1) for 3.

1234567891011

�1�2

1 2 3 4 5 67

8

Page 35: S - P1 y P2 (2006)

� 4 �

QUESTION 8

(a) (A3) (C3)

Award (A1) for point (0,5) indicated. Award (A2) for correct shape. (b) (1.5, 0.5) (A1)(A1) (C2) (c) 1.5x = (A1) (C1) QUESTION 9

(a) For attempting to find 5 years by compound interest formula or any alternative method. (M1)

For using (1.0375) (M1) $ 1442.52 accept 3 s.f. (A1) (G3) Accept $ 1440 or $ 1443. (b) For using answer in part (a) in an expression. (M1) For multiplying by 3(1.0325) (M1) $ 1587.79 accept $ 1588 or $ 1590 (A1) (G3) QUESTION 10

(a) 100 15 10+ × (M1) 250= (A1)

OR

250 (using table function of the GDC) (G2) (C2) (b) 10100(1.08) (M1) 215.89= (A1)

OR

215.89 (using table function of the GDC) (G2) (C2) (c) 100 15 100(1.08)xx+ = (M1) After 16 years (A1)

Candidate can use trial and error so not necessary to see the first line to award (A2).

OR

16 years (using table function of the GDC). (G2) (C2)

(0, 5)

Page 36: S - P1 y P2 (2006)

� 5 �

QUESTION 11

(a)

(A4) (C4) Award (A1) for correct scales. Award (A1)(A1) for two correct parts to the graph. Award (A1) if asymptotes are shown. (b) Horizontal asymptote 1y = . (A1) (C1) (c) Vertical asymptote 2x = − . (A1) (C1) QUESTION 12

(a) (i) {�3, �2, �1, 0, 1, 2, 3} (A1)(A1) Award (A1) for set brackets. Award (A1) for all and only correct numbers. (ii) {0, 1, 4, 9} (A1) Award (A1) for all and only correct numbers. If domain and range reversed, can follow through in (ii). (iii) 2( )f x x= (A2) (C5) Allow any other rule that works. (b) [1, )∞ or { | 1}x x∈ ≥! (A1) (C1) QUESTION 13

a = 5 (A2) b = 2 (A2) c = 3 (A2)

Page 37: S - P1 y P2 (2006)

� 6 �

QUESTION 14

Unsorted Sorted stem leaf stem leaf

16 976115 16 115679 17 75337 17 33577 18 043 18 034 19 5752 19 2557

Key: 16 ⎢1 represents 161 cm For sorted diagram attempt (M2) For an unsorted diagram attempt award (M1) only. All entries correct (A2) For one error in entries award (A1) only. For key (A1) For correct key with units (A1) QUESTION 15

(a) Time to prepare is independent of outcome, or, there is no association between time to prepare and the outcome (A1) (C1)

(b) 2 (A1) (C1) (c) 0.073 < 0.10 For comparing 0.073 with 0.10 or 10 % (M1) For < or saying �less than� (M1) Reject H0 (A1) Time and outcome are not independent of each other or equivalent in words

relating to the question (A1) (C4)

Page 38: S - P1 y P2 (2006)
Page 39: S - P1 y P2 (2006)

j

IB DIPLOMA PROGRAMMEPROGRAMME DU DIPLÔME DU BIPROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI

22xx-xxxx

SPEC/5/MATSD/SP2/SPA/TZ0/XX

ESTUDIOS MATEMÁTICOS NIVEL MEDIO PRUEBA 2 EJEMPLO 1 hora 30 minutos INSTRUCCIONES PARA LOS ALUMNOS � No abra esta prueba hasta que se lo autoricen. � Conteste todas las preguntas. � Salvo que se indique lo contrario en la pregunta, todas las respuestas numéricas deberán ser

exactas o con tres cifras significativas.

8 páginas

Page 40: S - P1 y P2 (2006)

� 2 � SPEC/5/MATSD/SP2/SPA/TZ0/XX

22xx-xxxx

Empiece una página nueva para cada pregunta. Se recomienda que muestre todos los cálculos, siempre que sea posible. Aun cuando una respuesta sea errónea, se pueden otorgar algunos puntos siempre que aparezca el método empleado y éste sea correcto. En los resultados obtenidos con calculadora de pantalla gráfica, deberá reflejar por escrito el proceso seguido para su obtención, p. ej.: cuando deba utilizar gráficas para hallar soluciones, deberá dibujar esas gráficas en la respuesta. 1. [Puntuación máxima: 18] (i) Celia tiene $ 20 000 para invertir. Puede elegir entre las dos opciones

siguientes. Opción 1: La inversión crece cada año a un tipo del 3,5 % de interés

compuesto. Opción 2: El valor total de la inversión se incrementa en $ 800 al año. Va a invertir el dinero durante 15 años. (a) Copie y complete la siguiente tabla que muestra los valores de la

inversión, aproximados a las unidades en dólares, durante los cuatro primeros años. [3 puntos]

Año 0 1 2 3 4

Opción 1 20 000 20 700

Opción 2 20 000 20 800 (b) Calcule el valor de cada una de las posibles inversiones al final de

los 15 años. [4 puntos] (c) Si se elige la opción 1, halle el número total de años completos que

han de pasar hasta que el valor de la inversión sobrepase los $ 25 000. [2 puntos] (d) Si se elige la opción 2, calcule el aumento porcentual de la inversión

en el último año. [2 puntos]

(Esta pregunta continúa en la siguiente página)

Page 41: S - P1 y P2 (2006)

� 3 � SPEC/5/MATSD/SP2/SPA/TZ0/XX

22xx-xxxx Véase al dorso

(Pregunta 1: continuación) (ii) Celia dispone de dos opciones más. Después de 7 años puede cambiar

las condiciones de su inversión.

Opción 3: Si Celia ha elegido la opción 1, puede cambiar y recibir $ 800 cada año hasta el final de los 15 años.

Opción 4: Si Celia ha elegido la opción 2, puede cambiar y recibir el 3,5 % de interés compuesto anual.

¿Qué opción debe elegir Celia si desea recibir la máxima cantidad posible

de dinero al final de los 15 años? [7 puntos]

Page 42: S - P1 y P2 (2006)

� 4 � SPEC/5/MATSD/SP2/SPA/TZ0/XX

22xx-xxxx

2. [Puntuación máxima: 16]

Considere la función 2

3( ) 4f x xx

= + − .

(a) Calcule el valor de ( )f x cuando 1x = . [2 puntos] (b) Halle la derivada de ( )f x . [4 puntos] (c) Halle (1)f ′ . [2 puntos] (d) Explique qué representa (1)f ′ . [2 puntos] (e) Halle la ecuación de la tangente a la curva ( )f x en el punto donde 1x = . [3 puntos] (f) Determine la abscisa del punto donde la pendiente de la curva es cero. [3 puntos]

Page 43: S - P1 y P2 (2006)

� 5 � SPEC/5/MATSD/SP2/SPA/TZ0/XX

22xx-xxxx Véase al dorso

3. [Puntuación máxima: 20] (i) La siguiente figura muestra un campo ABCD con una valla BD que lo

atraviesa. AB 15m, AD 20 m y el ángulo BAD 110= = = ! , BC 22 m= y el ángulo BDC 30= ! .

(a) Calcule la longitud de BD. [3 puntos] (b) Calcule el valor del ángulo �BCD [3 puntos] Un alumno ha dado el resultado correspondiente al apartado (a) �con 1

cifra significativa� y utiliza esta respuesta para calcular el valor del ángulo �BCD .

(c) Escriba la longitud de BD aproximando a una cifra significativa. [1 punto] (d) Halle el valor del ángulo �BCD que ha calculado el alumno, dando

la respuesta redondeada a 1 cifra decimal. [2 puntos] (e) A partir de lo anterior, halle el error relativo, en porcentaje, cometido

por el alumno al calcular el valor del ángulo �BCD . [3 puntos]

(Esta pregunta continúa en la siguiente página)

22

15 figura no dibujada a escala

20

30!

110!

B

C

D

A

Page 44: S - P1 y P2 (2006)

� 6 � SPEC/5/MATSD/SP2/SPA/TZ0/XX

22xx-xxxx

(Pregunta 3: continuación) (ii) Se ha decidido tomar una muestra al azar de 10 alumnos para ver si

existe una relación lineal entre la altura y la talla de los zapatos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

Altura (cm) (x) Talla de zapatos (y)

175 8

160 9

180 8

155 7

178 10

159 8

166 9

185 11

189 10

173 9 (a) Escriba la ecuación de la recta de regresión de la talla de los zapatos (y)

sobre la altura (x), expresando la respuesta en la forma y mx c= + . [3 puntos] (b) Utilice la ecuación del apartado (a) para predecir la talla de los zapatos de

un alumno que mide 162 cm de altura. [2 puntos] (c) Escriba el coeficiente de correlación. [1 punto] (d) Describa la correlación entre la altura y la talla de los zapatos. [2 puntos]

Page 45: S - P1 y P2 (2006)

� 7 � SPEC/5/MATSD/SP2/SPA/TZ0/XX

22xx-xxxx Véase al dorso

4. [Puntuación máxima: 17] (a) Dibuje aproximadamente la gráfica de la función : 1 2senf x x+" , donde

x∈R , 360 360x− ≤ ≤! ! . [4 puntos] (b) Escriba el recorrido de esta función para el dominio dado. [2 puntos] (c) Escriba la amplitud de esta función. [1 punto] (d) Sobre el mismo diagrama, dibuje aproximadamente la gráfica de la función

: sen 2g x x" , donde x∈R , 360 360x− ≤ ≤! ! . [4 puntos] (e) Escriba el período de esta función. [1 punto] (f) Utilice las gráficas que ha realizado para hallar el número de soluciones

de la ecuación ( ) ( )f x g x= en el dominio dado. [1 punto] (g) A partir de lo anterior, resuelva la ecuación 1 2sen sen 2x x+ = para

≤ ≤xo o0 360 . [4 puntos]

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� 8 � SPEC/5/MATSD/SP2/SPA/TZ0/XX

22xx-xxxx

5. [Puntuación máxima: 19] Se ha construido un juguete combinando una semiesfera de 3 cm de radio y un

cono circular recto de generatriz l, según se muestra en la siguiente figura. (a) Compruebe que el volumen de la semiesfera es 318π cm . [2 puntos] El volumen del cono es dos tercios el de la semiesfera. (b) Compruebe que la altura del cono es 4 cm. [4 puntos] (c) Calcule la longitud de la generatriz del cono. [2 puntos] (d) Calcule el ángulo entre la generatriz del cono y la superficie plana de la

semiesfera. [3 puntos] (e) El juguete está hecho de una madera de densidad 0,6g por 3cm . Calcule

el peso del juguete. [3 puntos] (f) Calcule la superficie total del juguete. [5 puntos]

figura no dibujada a escala

3 cm

l

Page 47: S - P1 y P2 (2006)

c

IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI

SPEC/5/MATSD/SP2/ENG/TZ0/XX/M

MARKSCHEME

SPECIMEN

MATHEMATICAL STUDIES

Standard Level

Paper 2 7 pages

Page 48: S - P1 y P2 (2006)

� 2 � SPEC/5/MATSD/SP2/ENG/TZ0/XX/M

This markscheme is the property of the International Baccalaureate and must not be reproduced or distributed to any other person without the authorization of IBCA.

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� 3 � SPEC/5/MATSD/SP2/ENG/TZ0/XX/M

QUESTION 1

(i) (a) 0 1 2 3 4

Option 1 20000 20700 21425 22174 22950

Option 2 20000 20800 21600 22400 23200 (A3) Award (A2) for Option 1 all correct. Award (A1) for Option 2 all correct.

[3 marks] (b) A 1520000(1.035)= (A1) Option 1 33507= (A1) A 20000 15 800= + × (A1) Option 2 32000= (A1)

OR

Option 1 33507= (G2) Option 2 32000= (G2)

[4 marks] (c) 7 years (from reading the table from GDC) (G2)

[2 marks]

(d) 800 10031200

× (M1)

Award (M1) for candidate�s difference divided by their original times 100. = 2.56 % (A1)

[2 marks] (ii) Option 3: 720000 (1.035) 800 8× + × (M1)(A1) = $ 31845.59 (A1) Option 4: 8(20000 7 800) (1.035)+ × × (M1)(A1) =$33710.31 (A1)

OR

$ 31845.59 (G3) $ 33710.31 (G3)

She should choose Option 4 (R1)

[7 marks]

Total [18 marks]

Page 50: S - P1 y P2 (2006)

� 4 � SPEC/5/MATSD/SP2/ENG/TZ0/XX/M

QUESTION 2

(a) 2

3(1) 1 41

f = + − (M1)

0= (A1)

OR

(1) 0f = (G2)

[2 marks]

(b) 3

6( ) 1f xx

′ = − + (A4)

Award (A2) for 2

3x

correctly differentiated and (A1) for each other term correctly

differentiated. [4 marks]

(c) 6(1) 11

f ′ = − + for substituting ( )f x′ (M1)

5= − (A1)

OR

(1) 5f ′ = − (G2)

[2 marks] (d) The gradient of the curve where 1x = . (A2) Award (A1) for gradient and (A1) for 1x = or at point (1, 0) .

[2 marks] (e) 0y = , 1x = , 5m = − for using y mx c= + with their correct values of m ,x and y. (M1) 0 5 1 c= − × + 5c = (A1) 5 5y x= − + (A1)

OR

5 5y x= − + (G3)

[3 marks] (f) ( ) 0f x′ =

3

61 0x

− = (M1)(A1)

3 6x = 3 6 (1.82)x = (A1)

OR

1.82 (G3)

[3 marks]

Total [16 marks]

Page 51: S - P1 y P2 (2006)

� 5 � SPEC/5/MATSD/SP2/ENG/TZ0/XX/M

QUESTION 3

(i) (a) 2 2 2BD 15 20 2 15 20 cos110= + − × × × ! (M1)(A1) Award (M1) for using the cosine rule, award (A1) for correct substitution. 2BD 830.212= BD 28.8= (A1) OR BD 28.8= (G3)

[3 marks]

(b) 28.81 22sin C sin30

= ! (M1)(A1)

C 40.9= ! (G1) OR C 40.9= ! (G3)

[3 marks] (c) BD = 30 (A1)

[1 mark]

(d) 30 22sin C sin30

= ! (M1)

C 43.0= ! (A1) OR C 43.0= ! (G2)

[2 marks]

(e) Percentage error = 43.0 40.9 10040.9−

× (M1)(A1)

= 5.13 % (A1) [3 marks]

(ii) (a) 0.070 3.22y x= − (G3) Award (G1) for correct m value, (G1) for 3.22, (G1) for negative sign. Accept 0.07x .

[3 marks] (b) 0.070 162 3.22y = × − (M1) 8.12= Therefore shoe size 8 or 9 (8.12). (A1) OR 8 or 9y = (G2)

[2 marks] (c) 0.681r = (A1)

[1 mark] (d) Moderately strong, positive correlation. (A1)(A1)

[2 marks]

Total [20 marks]

Page 52: S - P1 y P2 (2006)

� 6 � SPEC/5/MATSD/SP2/ENG/TZ0/XX/M

QUESTION 4

(a)

-4-3

-2-10

12

34

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360x

f(x)

x-axis from 360 to 360− ! ! (A1) 2 maxima at 3y = (A1) 2 minima at 1y = − (A1) Correct shape of graph with reasonable axes intercepts. (A1)

[4 marks]

(b) Range 1 3y− ≤ ≤ or [ 1, 3]− (A2) Award (A1) for �1 to 3.

[2 marks]

(c) Amplitude = 2 (A1) [1 mark]

(d)

-4-3-2-101234

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360x

f(x)

Correct maximum (A1) Correct minimum (A1) Correct period (A1) Correct shape with reasonable axes intercepts. (A1)

[4 marks]

(e) Period 180! (A1) [1 mark]

(f) 4 solutions (A1) [1 mark]

(g) 195x = ! (G2) 296x = ! (G2) If more than two solutions given award (A2).

[4 marks] Total [17 marks]

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� 7 � SPEC/5/MATSD/SP2/ENG/TZ0/XX/M

QUESTION 5

(a) 31 4V π2 3

r= × For using 34 π3

r (with or without 12

) (M1)

32 π 33

= × × For using 12

(their sphere formula) (M1)

318π cm= (AG) [2 marks]

(b) 2V 18π3

= × For using 23

× their answer to (a) (M1)

12π= (A1)

2112π π 33

h= × × For equating the volumes (M1)

36π9π

h= 113.09728.27

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(A1)

4 cmh = (AG) [4 marks]

(c) 2 2 24 3l = + For using Pythagoras theorem (M1) 5l = (A1)

[2 marks] (d) For identifying the correct angle (M1)

4tan3

θ = or 4sin5

θ = or 3cos5

θ = (M1)

53.1θ = ! (0.927 radians) (A1) [3 marks]

(e) For summing volume of cone and hemisphere. (M1) Volume 12π 18π= + 330π cm= 3(94.2 cm ) For multiplying the volume by 0.6 (M1) Weight 0.6 30π= × = 56.5g (A1)

[3 marks] (f) Surface area of cone πrl= π 3 5 15π= × × = (M1)(A1)

Surface area of a hemisphere 21 4π2

r= ×

21 4 π 32

= × × ×

18π= (M1)(A1) Total surface area 15π 18π= + 103.67= 2104 cm= (A1)

[5 marks]

Total [19 marks]

Total for paper [90 marks]

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� 1 �

Banco de ejemplos de preguntas de Estudios matemáticos � Prueba 2 1. [Puntuación máxima: 15] (a) En el mismo sistema de ejes dibuje aproximadamente las curvas 2y x= e

13yx

= − para valores de x desde 0 hasta 4 y valores de y desde 0 hasta 4.

Muestre las escalas en los ejes. [4 puntos] (b) Halle los puntos de intersección de estas dos curvas. [4 puntos]

(c) (i) Halle la pendiente de la curva 13yx

= − en función de x.

(ii) Halle el valor de esta pendiente en el punto (1,2). [4 puntos]

(d) Halle la ecuación de la tangente a la curva 13yx

= − en el punto (1, 2). [3 puntos]

2. [Puntuación máxima: 16] Las funciones yf g están definidas por

4: , , 0xf x x xx+

∈ ≠! "

: , g x x x∈! " (a) Dibuje aproximadamente la gráfica de f para 10 10x− ≤ ≤ . [4 puntos]

(b) Escriba las ecuaciones de la asíntota vertical y horizontal de la función f. [4 puntos] (c) Dibuje aproximadamente la gráfica de g en el mismo sistema de ejes. [2 puntos] (d) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo halle las soluciones de

4x xx+

= . [4 puntos]

(e) Escriba el recorrido de la función f. [2 puntos]

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� 2 �

3. [Puntuación máxima: 8] La figura dada a continuación muestra las gráficas de las funciones 2y x= e

2xy = para valores de x entre �2 y 5. Los puntos de intersección de las dos curvas están marcados como B, C y D.

(a) Escriba las coordenadas del punto A. [2 puntos] (b) Escriba las coordenadas de los puntos B y C. [2 puntos] (c) Halle la abscisa del punto D. [1 punto] (d) Escriba, usando notación de intervalo, todos los valores de x para los

cuales 22x x≤ . [3 puntos]

Page 57: S - P1 y P2 (2006)

� 3 �

4. [Puntuación máxima: 16] En el circo, un payaso se balancea desde una cuerda. Un estudiante decide

estudiar el movimiento del payaso. Los resultados se pueden mostrar mediante la gráfica de la función ( ) (0,8 )(5sin100 )xf x x= , donde x es la distancia horizontal en metros.

(a) Dibuje aproximadamente la gráfica de ( )f x for 0 10x≤ ≤ y 3 ( ) 5f x− ≤ ≤ . [5 puntos] (b) Halle las coordenadas del primer punto máximo local. [2 puntos] (c) Halle las coordenadas de un punto donde la curva corta al eje y. [1 punto] Otro payaso sale disparado por un cañón. El payaso pasa por los puntos dados

en la siguiente tabla:

Distancia horizontal (x) Distancia vertical (y)

0,00341 0,0102

0,0238 0,0714

0,563 1,69

1,92 5,76

3,40 10,2 (d) Halle el coeficiente de correlación, r, y comente las características de

este valor. [3 puntos] (e) Escriba la ecuación de la recta de regresión de y sobre x. [2 puntos] (f) Dibuje aproximadamente esta recta sobre la gráfica de ( )f x del apartado (a). [1 punto] (g) Halle las coordenadas de uno de los puntos donde esta recta corta a la

curva. [2 puntos]

Page 58: S - P1 y P2 (2006)

� 4 �

5. [Puntuación máxima: 15] Una caja cerrada tiene una base cuadrada de lado x y su altura es h. (a) Escriba una expresión para el volumen, V, de la caja. [1 punto] (b) Escriba una expresión para la superficie total de la caja, A. [1 punto] El volumen de la caja es 1000 3cm (c) Exprese h en función de x. [2 puntos] (d) A partir de lo anterior compruebe que 1 24000 2A x x−= + . [2 puntos]

(e) Halle ddAx

. [2 puntos]

(f) Calcule el valor de x que minimiza la superficie total. [4 puntos] (g) Find the surface area for this value of x. [3 puntos] 6. [Puntuación máxima: 7] Se anotan el color de ojos y el género de 500 estudiantes y los resultados se

indican en la siguiente tabla:

Azul Marrón Verde Hombre 18 152 50 Mujer 40 180 60

Se cree que en una escuela de Banff el color de ojos está relacionado con el

género. Se decide contrastar esta hipótesis usando la prueba de 2χ a un nivel de significación del 5 %.

(a) Escriba la hipótesis nula para este experimento. [1 punto] (b) Compruebe que el número de grados de libertad es 2 [1 punto] (c) Escriba el valor crítico de 2χ para este número de grados de libertad. [1 punto] (d) Calcule el estadístico 2χ para estos datos. [2 puntos] (e) ¿Sugiere la evidencia que el color de ojos está relacionado con el género

en esta escuela? Justifique claramente su respuesta. [2 puntos]

Page 59: S - P1 y P2 (2006)

� 1 �

Markscheme for bank of specimen questions � paper 2 1. (a)

For correct axes from 0 to 4. (A1) For correct curve 2y x= . (A1)

For correct curve 13yx

= − . (A1)

For two intersections. (A1) [4 marks]

(b) (0.347, 0.121) or x = 0.347, y = 0.121 (by GDC) (G1)(G1) (1.53, 2.35) or x = 1.53, 2.35y = . (G1)(G1)

[4 marks]

(c) (i) 2

d 1dyx x= for losing the constant. (A1)

For attempting to write 1x

as a power (can be implied). (M1)

For correct answer 2

1x

or 2x− . (A1)

(ii) 1 (A1)

[4 marks]

(d) For using y = mx + c or equivalent with their m, to find c. (M1) 1c = (A1) 1y x= + (A1)

[3 marks]

Total [15 marks]

Page 60: S - P1 y P2 (2006)

� 2 �

2. (a)

For x-axis from �10 to 10. (A1) For �4 marked. (A1) For correct shape of graph. (A1)(A1)

[4 marks]

(b) Horizontal asymptote (A1) 1y = (A1) Vertical asymptote (A1) 0x = (A1)

[4 marks] (c) Line drawn on sketch (A2)

[2 marks]

(d) (2.56, 2.56) (�1.56, �1.56) (A1)(A1)(A1)(A1) [4 marks]

(e) Range , 1y y∈ ≠R (A1)(A1)

[2 marks]

Total [16 marks]

�4

y

x

Page 61: S - P1 y P2 (2006)

� 3 �

3. (a) A = (0,1) For parentheses (A1) For numbers (A1)

[2 marks] (b) B = (2,4), C = (4,16) For 2,4 (A1) For 4,16 (A1)

[2 marks]

(c) At D, 0.767x = − (A1) [1 mark]

(d) 0.767x ≤ − (A1) 2 4x≤ ≤ For inequalities (A1) For numbers (A1)

OR

( , 0.767] [2, 4]−∞ − ∪ (A3) [3 marks]

Total [8 marks]

Page 62: S - P1 y P2 (2006)

� 4 �

4. (a)

1

2

3

4

5

�1

�2

�3

1 2 3 4 5 6 8 9 10

For labels and scales. (A1) 3 maxima drawn. (A1) 2 minima drawn. (A1) General shape (A2)

[5 marks] (b) (0.827, 4.12) (G2)

[2 marks]

(c) 0, 1.8, 3.6, 5.4, 7.2, 9 (for any one of these answers). (G1)

[1 mark]

(d) 1r = (G2) Perfect positive correlation. (R1)

[3 marks]

(e) 3y x= (accept 3 0.000274y x= + ) (G2) [2 marks]

(f) line on graph (A1)

[1 mark] (g) (0, 0) or (1.16, 3.48) (G1)(G1)

[2 marks]

Total [16 marks]

Page 63: S - P1 y P2 (2006)

� 5 �

5. (a) 2V x h= (A1)

[1 mark] (b) 22 4A x xh= + (A1)

[1 mark] (c) 21000 x h= (M1)

2

1000hx

= (A1)

[2 marks]

(d) 22

10002 4A x xx

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

(M1)

2 40002A xx

= + (A1)

2 12 4000x x−= + (AG)

[2 marks]

(e) 2d 4 4000dA x xx

−= − (A2)

[2 marks]

(f) 24 4000 0x x−− = (M1) 34 4000 0x − = (M1) 34 4000x = 3 1000x = (A1) 10x = (A1)

OR

10x = (G4)

[4 marks]

(g) 1000 10100

h = = (A1)

2(100) 4(10)(10)A = + (M1) 200 400 600= + = (A1)

OR

A = 600 (G3)

[3 marks]

Total [15 marks]

Page 64: S - P1 y P2 (2006)

� 6 �

6. (a) Eye colour and gender are independent.

OR

There is no relationship (association) between eye colour and gender. (A1)

[1 mark] (b) (2 1)(3 1)− − (M1) 2= (AG)

[1 mark] (c) 5.991 (5.99) (A1)

[1 mark] (d) 4.48 (G2)

[2 marks] (e) For comparing 2χ test statistic with 2χ critical value (A1) No, eye colour is not related to gender 2χ test statistic 2χ< critical value (R1)

OR

For comparing their p-value with 0.05 No, eye colour is not related to gender (A1) p-value of 0.106 > 0.05 (R1)

[2 marks]

Total [7 marks]