ruido en imágenes de tomografía computarizada

“Aplicación de los algoritmos de variación total para la reducción del

ruido en imágenes de tomografía computarizada”

Autor: Alejandro Javier Llópiz Pérez

Tutor: MSc. Yakdiel Rodríguez-Gallo Guerra

, Juniode 2018

Departamento de Telecomunicaciones y

Electrónica

, Junio de 2018

Año

Cotutor: Dr. C. Rubén Orozco Morales

Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las

Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui Gómez

Lubian” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica de la mencionada

casa de altos estudios.

Se autoriza su utilización bajo la licencia siguiente:

Atribución- No Comercial- Compartir Igual

Para cualquier información contacte con:

Dirección de Información Científico Técnica. Universidad Central “Marta Abreu” de Las

Villas. Carretera a Camajuaní. Km 5½. Santa Clara. Villa Clara. Cuba. CP. 54 830

Teléfonos.: +53 01 42281503-1419

Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central

“Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de

Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, autorizando a que el mismo sea utilizado

por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y

que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la

Universidad.

Firma del Autor

Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de

la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo

de esta envergadura referido a la temática señalada.

Firma del Tutor

Firma del Jefe de Departamento

donde se defiende el trabajo

Firma del Responsable de

Información Científico-Técnica

i

PENSAMIENTO

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.

Isaac Newton.

ii

DEDICATORIA

A mi familia, por todo el apoyo que me han brindado en los buenos y en los malos

momentos a lo largo de toda mi vida.

iii

AGRADECIMIENTOS

A toda mi familia, que siempre me han apoyado con constancia y han estado junto a mí

durante todos estos años.

A mi tutor, por la ayuda que me ha ofrecido y por su contribución en mi formación durante

la carrera.

A todos los profesores, durante estos cinco años, de quienes he podido aprender, gracias a

sus conocimientos y experiencias.

A todos mis amigos, con quienes he tenido el privilegio de compartir y que me han

brindado su apoyo incondicional en todo momento.

En fin, a todos con quienes he compartido durante estos magníficos años de universidad.

iv

TAREA TÉCNICA

Para lograr la confección del presente trabajo, dar cumplimiento a los objetivos trazados y

obtener los resultados esperados, se desarrollan las siguientes tareas técnicas:

1. Revisión bibliográfica de las características de los algoritmos de variación total para

la reducción del ruido en imágenes de tomografía computarizada.

2. Exposición de investigaciones acerca de los algoritmos de variación total para la

reducción del ruido en imágenes de tomografía computarizada realizadas en los

últimos años.

3. Caracterización de los algoritmos de variación total para la reducción del ruido en

imágenes de tomografía computarizada.

4. Identificación de la herramienta de simulación para el diseño de los algoritmos.

5. Implementación de los algoritmos de variación total para la reducción del ruido en

imágenes de tomografía computarizada con apoyo del MATLAB.

6. Elaboración del informe final del Trabajo de Diploma.

Firma del Autor Firma del Tutor

v

RESUMEN

La contaminación por ruido en las imágenes es un fenómeno que afecta su calidad haciendo

que se vean de una forma distorsionada y cambiando los valores reales de los píxeles. Una

de las preocupaciones primarias del procesamiento digital es aumentar la calidad y moderar

la degradación introducida. Las técnicas de restauración están enfocadas en reconstruir o

recuperar una imagen que ha sido deteriorada y los modelos de variación total han sido

extremadamente exitosos en esta amplia variedad de problemas, por lo que siguen siendo una

de las áreas de investigación más activas en procesamiento de imágenes. En el presente

trabajo se abordan las características y aspectos generales de los algoritmos de variación total,

la tomografía computarizada y la reducción del ruido. Se realiza la implementación de tres

algoritmos de variación total basándose inicialmente en modelos para imágenes que no son

del cuerpo humano y luego se modifican. Se muestran las imágenes que fueron manipuladas,

evidenciándose mejores valores en su proceso de adquisición. Además, para la obtención de

todos los resultados se trabajó con el programa de simulación MATLAB. Finalmente se

realiza una comparación de los resultados obtenidos.

vi

TABLA DE CONTENIDOS

PENSAMIENTO ..................................................................................................................... i

DEDICATORIA .................................................................................................................... ii

AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii

TAREA TÉCNICA ................................................................................................................ iv

RESUMEN ............................................................................................................................. v

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1

CAPÍTULO 1. CARACTERÍSTICAS DE LOS ALGORITMOS DE VARIACIÓN

TOTAL Y SU APLICACIÓN EN TOMOGRAFÍA COMPUTARIZADA PARA REDUCIR

EL RUIDO.............................................................................................................................. 6

1.1 Características fundamentales de la variación total ................................................. 6

1.1.1 La aproximación bayesiana para el restablecimiento de imágenes ....................... 6

1.1.2 Propiedades principales ......................................................................................... 7

1.1.3 Aplicaciones de la variación total .......................................................................... 9

1.2 Aspectos generales de la tomografía computarizada ............................................. 13

1.3 El ruido en las imágenes y la contribución de la variación total para su reducción..15

1.4 Investigaciones acerca de la variación total en la tomografía computarizada ....... 16

1.5 Conclusiones parciales ................................................................................................ 19

CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE VARIACIÓN TOTAL PROPUESTOS Y

CARACTERÍSTICAS DE LAS IMÁGENES UTILIZADAS ............................................. 20

2.1 Características principales del algoritmo 1 ................................................................. 20



2.4 Caracterización de la herramienta de simulación MATLAB ..................................... 26

2.5 Adquisición de las imágenes ....................................................................................... 27

vii

2.6 Análisis de la imagen .............................................................................................. 28

2.6.1 Métricas utilizadas para la evaluación ................................................................. 29


CAPÍTULO 3. EVALUACIÓN DE LOS ALGORITMOS DE VARIACIÓN TOTAL

PARA LA REDUCCIÓN DEL RUIDO EN IMÁGENES DE CT ...................................... 31

3.1 Parámetros utilizados en la aplicación de los algoritmos ........................................... 31

3.2 Resultados del procesamiento de imágenes utilizando diferentes métricas de calidad

objetiva .............................................................................................................................. 32

3.3 Media y desviación estándar de los algoritmos .......................................................... 36

3.4 Evaluación de calidad subjetiva de los radiólogos ..................................................... 36

3.5 Gráficos del tiempo con respecto al número de iteraciones de cada algoritmo .......... 40


CONCLUSIONES ................................................................................................................ 45

RECOMENDACIONES ....................................................................................................... 46

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 47

INTRODUCCIÓN 1

INTRODUCCIÓN

Las imágenes han sido utilizadas por el hombre desde hace varios millones de años,

empezando por las primeras personas que habitaron el planeta que las utilizaban para dejar

plasmadas en las cuevas sus experiencias del mundo exterior, para representar figuras de

personas o deidades en esculturas que se hacían de materiales sólidos dándoles un aspecto

tridimensional y palpable; y en pinturas que se creaban en papel o lienzo donde se utilizaron

pigmentos para dar colores y así dar una sensación de realismo. Con la invención de la

fotografía a mediados del siglo XIX se logró captar imágenes debido a la acción de la luz,

estas eran iguales a las mostradas en la vida real. Al pasar los años aparecieron las imágenes

digitales a partir de una matriz numérica usando ceros y unos.

En la actualidad se utilizan las imágenes para varios propósitos, como la tomografía. Este

método es utilizado en ciencias como: Arqueología, Biología, Geofísica, Oceanografía y

Medicina [1], [2], [3], [4], [5]. En esta última se utiliza para mostrar el interior del cuerpo

humano. Existen diferentes tipos de tomografía [6], pero esta investigación se centrará en la

computarizada y su aplicación en la Medicina.

El término “tomografía” tiene su origen en la palabra griega tomos, que significa corte y en

grafía, que significa representación gráfica. El propósito de esta técnica es la obtención de

imágenes correspondientes a cortes del interior de un objeto, sin necesidad de realizar

ninguna incisión en él. El procedimiento por el que se obtienen estas imágenes, a partir de

las proyecciones tomadas por un escáner, se denomina reconstrucción de imágenes

tomográficas [7].

Una imagen médica, es aquella que proviene del conjunto de técnicas y procesos usados para

crear imágenes del cuerpo humano o parte de él, con propósitos clínicos, es decir,

procedimientos médicos que buscan revelar, diagnosticar, examinar enfermedades con

propósitos científicos y médicos tales como el estudio de la anatomía física y metabólica [8].

En Medicina, el diagnóstico basado en la tomografía computarizada (CT) es fundamental

para la detección de anomalías. El inicio de la investigación en las imágenes médicas se

INTRODUCCIÓN 2

remonta al año 1895 cuando Wilhelm Conrad Rontgen descubrió los rayos X. Él mostró que

los huesos podrían ser visualizados al ser atravesados por los rayos X y en consecuencia de

este descubrimiento recibió el primer premio Nobel de Física en 1901. Así apareció la

radiografía que es una de las modalidades principales para la obtención de imágenes médicas.

Desde entonces fueron inventadas diferentes modalidades médicas de obtención de imágenes

[9].

En 1971, Godfrey N. Hounsfield presentó el primer escáner de imágenes de tomografía

computarizada en el Hospital Atkinson Morley en Wimbledon. En 1972, este escáner fue

empleado para realizar la primera medida en un paciente, cuya intervención quirúrgica

posterior confirmó el diagnóstico obtenido a partir de la imagen [10]. Las imágenes de CT se

emplean habitualmente como prueba con valor diagnóstico y constituyen un procedimiento

indicado en caso de hemorragias internas, fracturas de huesos, cáncer, localización de

coágulos y búsqueda de cardiopatías. Aunque el examen de CT es de naturaleza no invasiva,

no se trata de una prueba inocua puesto que implica la exposición del sujeto a una dosis de

radiación ionizante, que en exceso puede provocar efectos nocivos en la salud.

Desde su invención, se han realizado avances tecnológicos que han conducido a escáneres

más rápidos, a la exposición de una menor dosis de radiación y a una mayor calidad de la

imagen. Una parte importante del éxito conseguido por esta técnica reside en el desarrollo de

nuevos y eficientes algoritmos de reconstrucción. Aunque el problema de la reconstrucción

de la imagen en su forma matemática pura fue resuelto por Johan Radon en 1917, la evolución

continua en este campo de estudio ha dado lugar a la aparición de múltiples algoritmos.

La reconstrucción de imágenes en CT es un proceso matemático que genera imágenes

tomográficas a partir de los datos de proyección de rayos X adquiridos en ángulos diferentes

alrededor del paciente. Para una dosis de radiación dada es deseable reconstruir imágenes

con el menor ruido posible sin sacrificar la precisión de la imagen y la resolución espacial.

Reconstrucciones que mejoran la calidad de la imagen se puede traducir en una reducción de

la dosis de radiación porque las imágenes de la misma calidad pueden ser reconstruidas a una

dosis menor [11].

En las dos últimas décadas el procesamiento digital de imágenes ha ganado importancia

dentro de distintas áreas de la ciencia, debido a que cada día la información visual es más

INTRODUCCIÓN 3

importante y abundante. El procesamiento digital de imágenes es un conjunto de modelos y

algoritmos que se aplican a imágenes, con el objetivo de mejorar su calidad y facilitar la

extracción de algún tipo de información ya sea para la interpretación humana o de máquinas

autónomas [12].

A lo largo de los últimos años se han desarrollado varios enfoques para abordar el

procesamiento digital de imágenes. Se pueden mencionar los principales métodos basados

en: la teoría del filtro, el análisis espectral, o en algunos conceptos básicos de probabilidad y

estadística. Otro tipo de herramientas se basa en modelos estocásticos, en ecuaciones con

derivadas parciales y en métodos variacionales. Este trabajo se enfocará en los métodos

basados en el cálculo de variaciones. Varios modelos basados en métodos variacionales y en

ecuaciones con derivadas parciales han sido planteados para el problema del ruido en las

imágenes, entre ellos se destaca el modelo de variación total (cuyo acrónimo en idioma inglés

es TV debido a su denominación total variation) propuesto por Rudin, Osher y Fatemi

(ROF). Este método se presenta como un tipo de algoritmo numérico de optimización

restringida para reducir el ruido de las imágenes. Esta técnica no es invasiva pues preserva

los bordes de la imagen [13]. El objetivo de aplicar este modelo en las imágenes médicas es

contribuir a la obtención de un diagnóstico de mayor certeza a partir de la interpretación de

imágenes con mayor precisión.

Para el diseño y la implementación de algoritmos se ha utilizado el MATLAB, programa que

realiza cálculos numéricos con vectores y matrices, y por tanto se puede trabajar también con

números escalares (tanto reales como complejos), con cadenas de caracteres y con otras

estructuras de información más complejas [14].

En Cuba son insuficientes las investigaciones sobre los algoritmos de variación total para la

reducción del ruido en imágenes médicas, por lo que para su perfeccionamiento es necesario

realizar nuevos estudios.

En la Universidad Central de Las Villas las investigaciones sobre este tema no abundan, solo

dos profesores de la Facultad de Ingeniería Eléctrica lo investigan. De esta manera, la

implementación de algoritmos de variación total para la reducción del ruido en imágenes de

CT puede brindar información de apoyo para otras investigaciones.

INTRODUCCIÓN 4

Teniendo en cuenta todo lo antes expuesto, se enuncia el siguiente problema científico:

¿Cómo implementar algoritmos de variación total para la reducción del ruido en imágenes

de tomografía computarizada?

Esta investigación tiene como objeto de estudio los algoritmos de variación total y el campo

de acción lo constituye la aplicación de diferentes algoritmos de variación total para la

reducción del ruido en imágenes de tomografía computarizada.

Para dar cumplimiento al problema de investigación se propone el siguiente objetivo

general: Desarrollar algoritmos de variación total para la reducción del ruido en imágenes

de tomografía computarizada.

Para resolver el problema científico y dar cumplimiento al objetivo general se plantean los

siguientes objetivos específicos:

1. Caracterizar algoritmos de variación total para la reducción del ruido en imágenes de

tomografía computarizada.

2. Exponer algoritmos desarrollados utilizando variación total para la reducción del ruido en


3. Implementar algoritmos utilizando variación total para la reducción del ruido en imágenes

de tomografía computarizada.

4. Evaluar los algoritmos desarrollados utilizando variación total para la reducción del ruido

en imágenes de tomografía computarizada.

De los objetivos específicos propuestos surgen las siguientes interrogantes científicas:

1. ¿Qué particularidades presentan los algoritmos de variación total?

2. ¿Cuáles son los algoritmos de variación total?

3. ¿Cómo implementar un algoritmo de variación total para la reducción del ruido en

imágenes de tomografía computarizada?

4. ¿Cuál es la evaluación de los algoritmos desarrollados utilizando variación total para la

reducción del ruido en imágenes de tomografía computarizada?

INTRODUCCIÓN 5

Los resultados de esta investigación permitirán un mejor conocimiento de los algoritmos de

variación total en Cuba, debido a su novedad en el mundo. Además, ofrecerá información

detallada de los algoritmos para las personas interesadas en el tema, así como un nuevo

método para la reducción del ruido en imágenes de tomografía computarizada para ser

utilizado en Medicina.

El presente trabajo está estructurado de la siguiente forma: resumen, introducción, capítulos,

conclusiones, recomendaciones y referencias bibliográficas.

En el primer capítulo se exponen aspectos generales de los algoritmos de variación total

para la reducción del ruido en imágenes de tomografía computarizada así como sus

características y particularidades.

En el segundo capítulo se discuten y describen los distintos algoritmos de variación total

utilizados. Se caracteriza la herramienta de simulación utilizada y se describe el proceso de

adquisición y análisis de las imágenes utilizadas.

En el tercer capítulo se muestran los principales parámetros que se pueden emplear para

estudiar el desempeño de los algoritmos de variación total, comparación de los resultados

obtenidos para cada uno de los algoritmos utilizados y discusión de los mismos.

CAPÍTULO 1. CARACTERÍSTICAS DE LOS ALGORITMOS DE VARIACIÓN TOTAL Y SU

APLICACIÓN EN TOMOGRAFÍA COMPUTARIZADA PARA ELIMINAR EL RUIDO 6

CAPÍTULO 1. CARACTERÍSTICAS DE LOS ALGORITMOS DE

VARIACIÓN TOTAL Y SU APLICACIÓN EN

TOMOGRAFÍA COMPUTARIZADA PARA REDUCIR

EL RUIDO

La tomografía computarizada es una modalidad para representar imágenes por lo que es de

gran seguridad en aplicaciones médicas e industriales. Extensos esfuerzos se han realizado

para mejorar la calidad de la imagen con fines prácticos [15], [16]. Con base en la teoría de

detección de compresión (cuyo acrónimo en idioma inglés es CS debido a su denominación

compressed sensing) [17], [18], se desarrollaron algoritmos para reducir el ruido en imágenes

para varios problemas de CT, lo que permite una mejor visualización y reducción de la dosis

de radiación. Ejemplo de esto es la regularización de la variación total [19], [20].

En este capítulo se describen las principales características de la variación total. Además se

presentan las particularidades de la tomografía computarizada y el ruido en las imágenes.

También se exhiben investigaciones acerca de la TV en la CT.

1.1 Características fundamentales de la variación total

La TV fue introducida para la reducción del ruido y la reconstrucción de imágenes por

primera vez en el artículo de 1992 por Rudin, Osher y Fatemi [21]. Desde entonces se han

creado y mejorado nuevos algoritmos para perfeccionar la calidad de las imágenes

reconstruidas mediante este método.

1.1.1 La aproximación bayesiana para el restablecimiento de imágenes

Primero se considera una situación discreta, donde la imagen g = (gi, j) con i ≥1 y j ≤N,

limitado por (gi, j ∈ [0,1] o 0,…,255) para señales 2D. La idea general para resolver

problemas lineales es considerar:

1. El siguiente modelo que es la señal perfecta inicial:

𝑔 = 𝐴𝑢 + 𝑛, 𝑢 ∈ ℝ𝑁𝑥𝑁 (1.1)



donde A es alguna transformación (borrosidad, muestreo o un operador lineal más general

como la transformada de Radon para la tomografía); n = (ni, j) es el ruido: en situaciones

simples se considera normal o Gaussiano con valor medio cero y desviación estándar σ.

2. Una función de densidad probabilística de partida para señales originales perfectas:

𝑃(𝑢)~𝑒−𝑝(𝑢)𝑑𝑢 (1.2)

Que representa la idea de que se tienen datos perfectos (en otras palabras, el modelo para los

datos).

Entonces, la probabilidad conjunta para una nueva variable aleatoria g, dado que se observa

la variable aleatoria u, según la regla de Bayer, es el producto de la probabilidad condicional

P(g|u) multiplicada por la probabilidad marginal de u, P(u); esto es:

𝑃(𝑢|𝑔)𝑃(𝑔) = 𝑃(𝑔|𝑢)𝑃(𝑢) (1.3)

Desde que la densidad para la probabilidad de g conociendo u es la densidad para n = g – Au

es:

𝑒−

1

2𝜎2 ∑ |𝑔𝑖,𝑗−(𝐴𝑢)𝑖,𝑗|2

𝑖,𝑗 (1.4)

y se deduce de (1.3) que la densidad para P(u|g), la probabilidad de u conociendo la

observación g es:

1

Z(g)e−p(u)e

−1

2σ2 ∑ |gi,j−(Au)i,j|2

i,j (1.5)

con Z(g) como factor de renormalización:

𝑍(𝑔) = ∫ 𝑒−(𝑝(𝑢)+

1

2𝜎2 ∑ |𝑔𝑖,𝑗−(𝐴𝑢)𝑖,𝑗|2

𝑖,𝑗 )

𝑢𝑑𝑢 (1.6)

La idea de máxima reconstrucción de la imagen es encontrar la mejor imagen para aumentar

esta probabilidad o resolver el problema mínimo [21]:

𝑚𝑖𝑛𝑢

𝑝(𝑢) +1

2𝜎2∑ |𝑔𝑖,𝑗 − (𝐴𝑢)𝑖,𝑗|

2 𝑖,𝑗 (1.7).

1.1.2 Propiedades principales

La siguiente definición fué tomada de la referencia [21].

Definición 1.1 La TV de una imagen se define por la dualidad: para 𝑢 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐1 (Ω) está dado

por:



𝐽(𝑢) = 𝑠𝑢𝑝− ∫ 𝑢𝑑𝑖𝑣 𝜙 𝑑𝑥 ∶

Ω 𝜙 ∈ 𝐶𝑐

∞(Ω; ℝ𝑁), |𝜙(𝑥)| ≤ 1 ∀𝑥 ∈ Ω (1.8)

Semi-continuidad inferior

La definición 1.1 tiene algunas ventajas. Puede ser introducida por cualquier función

integrable local (sin requerir ninguna regularidad o derivabilidad). Pero también J(u) se

escribe como el supremo de formas lineales:

𝐿𝜙: 𝑢 ↦ − ∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑖𝑣 𝜙(𝑥)

Ω 𝑑𝑥 (1.9)

que es continuo con respecto a una topología muy débil.

Por ejemplo, si un u en Lp (Ω) para cualquier p ∈ [1,+∞), o incluso Lp (Ω’) para cualquier

Ω’ ∁∁ Ω, entones Lϕun →Lϕu. Pero se escribe de la siguiente manera:

𝐿𝜙𝑢 = 𝑙𝑖𝑚𝑛

𝐿𝜙 𝑢𝑛 ≤ 𝑙𝑖𝑚𝑛

𝑖𝑛𝑓 𝐽(𝑢𝑛) (1.10)

y tomando después el supremo sobre todos los campos ϕ con |ϕ(x)| ≤ 1 en cualquier lugar,

se deduce que [21]:

𝐽(𝑢) ≤ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑖𝑛𝑓 𝐽(𝑢𝑛) (1.11).

Convexidad

Esta es la segunda propiedad fundamental de J que se deduce de la Definición 1.1 donde para

cualquier u1, u2 y t ∈ [0,1]:

𝐽(𝑡𝑢1 + (1 − 𝑡)𝑢2) ≤ 𝑡𝐽(𝑢1) + (1 − 𝑡)𝐽(𝑢2) (1.12)

Al ser J el supremo de las funciones lineales (por lo tanto convexas) se tiene que:

𝐿𝜙(𝑡𝑢1 + (1 − 𝑡)𝑢2) = 𝑡𝐿𝜙(𝑢1) + (1 − 𝑡)𝐿𝜙(𝑢2) ≤ 𝑡𝐽(𝑢1) + (1 − 𝑡)𝐽(𝑢2) (1.13)

Y tomando el supremo en los prductos del lado izquierdo de (1.12) [21].

Homogeneidad

Se plantea por definición que por cada u y t > 0:

J(tu) = tJ(u) (1.14)



esto quiere decir que J es uni-homogénea [21].

1.1.3 Aplicaciones de la variación total

Reducción de borrosidad y escalamiento de imágenes

El modelo estándar ROF puede ser extendido para reducción de borrosidad y escalamiento

en imágenes:

minu

∫ |Du|

Ω+

λ

2 ∫ (Au − f)2

Ω dx (1.15)

donde Ω ∁ ℝ2 es el dominio de la imagen y A es un operador lineal. En el caso de reducción

de borrosidad, A es la borrosidad de kernel. En el caso de escalamiento de imágenes, A

describe el proceso de reducción de muestreo, que a menudo se supone que es un núcleo

difuminado seguido de un operador de submuestreo [21]. La figura 1.1 muestra un ejemplo

de reducción de borrosidad mientras que la figura 1.2 muestra uno de escalamiento.

Figura 1.1 Reducción de borrosidad usando variación total. (a) y (b) muestran la imagen

limpia y una versión degradada conteniendo borrosidad de aproximadamente 30 píxeles y

ruido Gaussiano de desviación estándar σ = 0.02. (c) es el resultado del filtrado estándar de

Wiener. (d) es el resultado de la variación total basado en el método de reducción de

borrosidad [21].



Figura 1.2 Escalamiento de imágenes usando variación total. (a) muestra la imagen original

y por un factor de 4 versión rebajada. (b) es el resultado del escalamiento por un factor de 4

usando interpolación bicúbica. (c) es el resultado de la TV basado en el modelo de

escalamiento [21].

Variación Total con un término de fidelidad de datos L1

El modelo de TV L1 está definido por:

minu

∫ |Du| + λ ∫ |u − f|

Ω

Ωdx (1.16)

La figura 1.3 muestra la restauración de una imagen contaminada por ruido impulsivo. Como

es de esperar el modelo ROF no puede restaurar la imagen sin perder detalles de fina escala.

Mientras que el modelo de TV L1 le da demasiado peso a los valores atípicos y por lo tanto

conduce a resultados mucho mejores. Esto muestra la importancia de usar un término de

datos que coincide con el modelo de ruido esperado [21].



Figura 1.3 Reducción de ruido en la imagen en el caso de ruido impulsivo. (a) muestra la

imagen limpia y (b) es la versión de ruido que ha sido corrompido por 25% de ruido. (c) es

el resultado del modelo ROF. (d) es el resultado del modelo de TV L1. Se nota que este último

modelo es capaz de remover el ruido mientras se preservan algunos detalles pequeños [21].

Modelos variacionales con posibilidad de términos no convexos en los datos

Regularización cuadrática: Si h(p) = |p|2/2, entones h*(q) = |q|2/2 y se necesita saber cómo

proyectar 𝑞0 = (𝑞0𝑥 , 𝑞0

𝑡) hacia 𝐾 = 𝑞 = (𝑞𝑋, 𝑞𝑡): 𝑞𝑡 ≥ |𝑞𝑥|2/2.

Si q0 no satisface la restricción, o sea, 𝑞0𝑡 < |𝑞0

𝑥|2/2, se necesita proyectar q0 hacia el

paraboloide 𝑞𝑡 = |𝑞𝑥|2/2. Se necesita resolver el siguiente problema de optimización sin

restricciones:

min𝑞

|𝑞−𝑞0|2

2− 𝜆 (𝑞𝑡 −

|𝑞𝑥|2

2) (1.17)



donde λ es un multiplicador Lagrange para la restricción de igualdad 𝑞𝑡 − |𝑞𝑥|2/2 = 0. Las

condiciones óptimas de la ecuación (1.17) están dadas por:

𝑞𝑥 − 𝑞0𝑥 + 𝜆𝑞𝑥 = 0

𝑞𝑡 − 𝑞0𝑡 − 𝜆 = 0

𝑞𝑡 −|𝑞𝑥|2

2= 0. (1.18)

Después de eliminar qt y qx, se arriba a la siguiente ecuación cúbica para λ:

𝜆3 + 𝜆2(𝑞0𝑡 + 2) + 𝜆(2𝑞0

𝑡 + 1) + 𝑞0𝑡 −

|𝑞0𝑥|2

2= 0. (1.19)

En lugar de utilizar una ecuación cúbica para resolver (1.19) se utiliza un método de Newton.

Se escoge como punto de partida 𝜆0 = 𝑚𝑎𝑥0, −(2𝑞0𝑡 + 1)/3 + 1 y para cada n ≥ 0:

𝜆𝑛+1 = 𝜆𝑛 −(𝜆𝑛)3 + (𝜆𝑛)2(𝑞0

𝑡 + 2) + (𝜆𝑛)(2𝑞0𝑡 + 1) + 𝑞0

𝑡 −|𝑞0

𝑥|2

2

3(𝜆𝑛)2 + 2(𝜆𝑛)(𝑞0𝑡 + 2) + 2𝑞0

𝑡 + 1 (1.20)

Después de computar la solución de (1.19) la solución de la proyección está dada por: [21]

q = (𝑞0

𝑥

1+𝜆, 𝑞0

𝑡 + 𝜆) (1.21).

Regularización de TV: En el caso que h(𝑝) = |𝑃|, entones h*(q) = 0 para |𝑞| ≤ 1 y el resto

para +∞, y la proyección de q0 hacia 𝑞 = (𝑞𝑥, 𝑞𝑡): 𝑞𝑡 ≥ 0, |𝑞𝑥| ≤ 1 esta dado por:

q = (𝑞0

𝑥

𝑚𝑎𝑥1,|𝑞0𝑥|

, max0, 𝑞0𝑡) (1.22).

Regularización Lipschitz: Una ventaja de esta aproximación es que es bastante fácil de que

se cumpla. Se considera que h(p) = 0 si |p| ≤ L y el resto para +∞. Entonces el conjugado

convexo de h es simplemente ℎ∗(𝑞) = 𝐿|𝑞| y se necesita saber cómo proyectar q0 hacia el

cono convexo 𝑞𝑡 ≥ 𝐿|𝑞𝑥|. Esta proyección está dada por:

q = (𝜇𝑞0

𝑥

𝑞0𝑥 , 𝜇𝐿) (1.22)

donde μ está dada por:

μ =𝑚𝑎𝑥0,|𝑞0

𝑥|+𝐿𝑞0𝑡

1+L2 . (1.23).



La figura 1.4 muestra la imagen original y la figura 1.5 muestra la aplicación de diferentes

términos de regularidad convexa.

Figura 1.4 Par de imágenes estéreo rectificadas y la disparidad de verdad del suelo, donde

los píxeles negros corresponden a valores de disparidad desconocidos [21].

Figura 1.5 Aplicación de diferentes términos de regularidad convexa. Primera columna:

regularización cuadrática, segunda columna: regularización de TV, tercera columna:

regularización Lipschitz [21].

1.2 Aspectos generales de la tomografía computarizada

Un tomograma es la imagen de un plano o corte dentro del cuerpo. Una radiografía

convencional es bidimensional, pero no es un tomograma porque sus datos no provienen de



un solo plano. La tomografía computarizada es extremadamente popular porque genera

imágenes de cortes del cuerpo, eliminando así los artefactos de las estructuras superpuestas

que dominan las radiografías convencionales. Un escáner de CT típico se muestra en la

Figura 1.6 [22].

Figura 1.6 Escáner típico de CT [22].

El advenimiento de la tomografía computarizada a mediados de la década de 1960 y su

desarrollo hasta el presente ha producido un cambio profundo en el papel de la imagen para

el diagnóstico en medicina. Hay una gran variedad de condiciones médicas visibles en



imágenes de CT que no son visibles en las radiografías convencionales. Por lo tanto, el

diagnóstico y la monitorización de muchas enfermedades son posibles solo a través de la CT;

esto ha reducido la cantidad de cirugía exploratoria previamente requerida para estas

enfermedades. Como dispositivo de medición, el escáner de CT también ha recorrido un largo

camino desde sus orígenes. Ahora, a través de los procedimientos de calibración estándar,

los escáneres de CT miden los números en unidades de Hounsfield, que son constantes que

se utilizan en el escaneo y en diferentes escáneres. Por lo tanto, el análisis cuantitativo es

posible y es una práctica común en la actualidad [23].

1.3 El ruido en las imágenes y la contribución de la variación total para su reducción

Una de las preocupaciones primarias del procesamiento digital de imágenes es aumentar la

calidad de la imagen y moderar la degradación introducida por los sensores y dispositivos de

adquisición. Las técnicas de restauración están enfocadas en reconstruir o recuperar una

imagen que ha sido degradada. Cuando obtenemos una imagen digital y se ve un poco

distorsionada, se dice que la imagen tiene ruido. Esto sucede en el proceso de adquisición,

transmisión o almacenamiento cuando la señal sufre una perturbación, y es un defecto de las

imágenes no deseado que produce contaminación. Se manifiesta de forma general en píxeles

aislados que toman valores distintos de los reales.

Los modelos variacionales han sido extremadamente exitosos en una amplia variedad de

problemas de restauración, y siguen siendo una de las áreas de investigación más activas en

procesamiento de imágenes matemáticas y visión por computadora. Por ahora, su alcance

abarca no solo el problema fundamental de la reducción del ruido en imágenes, sino también

otras tareas de restauración como reducción de borrosidad, deconvolución ciega y

recoloración. Los modelos variables muestran la solución de estos problemas como

minimizadores funcionales elegidos de forma apropiada. La técnica de minimización de

elección para tales modelos implica rutinariamente la solución de ecuaciones diferenciales

parciales no lineales derivando para las condiciones de optimización que sean necesarias

[25].

Quizás el problema más básico de restauración de imágenes sea la reducción del ruido.

Constituye un paso preliminar significativo en muchas tareas como detección y



reconocimiento de objetos. También es uno de los problemas más difíciles de resolver desde

el punto de vista matemático. Una gran preocupación en el diseño de diferentes modelos de

restauración conservan características importantes de la imagen, como aquellos más fáciles

de detectar por el sistema visual humano al eliminar el ruido. Una característica importante

de la imagen son los bordes; estos son lugares donde hay un cambio brusco en sus

propiedades. Se han investigado muchos modelos para reducir el ruido y preservar los bordes.

Recientemente también ha sido de gran esfuerzo preservar otras características de la imagen

como la textura. Todos los modelos exitosos de reducción de ruido aprovechan el hecho de

que hay una regularidad inherente que se encuentra en las imágenes naturales; así es como

intentan distinguir el ruido y la información real de la imagen. Los modelos variacionales

hacen que sea particularmente fácil imponer reglas geométricas de regularidad en las

soluciones obtenidas por lo que esta es una de las razones principales de su éxito [25].

1.4 Investigaciones acerca de la variación total en la tomografía computarizada

En el año 2008 los autores Emil Y. Sidky y Xiaochuan Pan publican “Image reconstruction

in circular cone-beam computed tomography by constrained, total-variation minimization”

[26] donde se desarrolla un algoritmo iterativo, basado en el trabajo reciente en detección

compresiva para la reconstrucción de imágenes a partir de una exploración circular con haz

de cono. El algoritmo minimiza la variación total de la imagen sujeta a la restricción de que

los datos de proyección estimados se encuentran dentro de una tolerancia especificada de los

datos disponibles y que los valores de la imagen no son negativos. Las restricciones son

impuestas por el uso de la proyección en conjuntos convexos (POCS) y el objetivo de la TV

se minimiza por la inclinación de descenso con un paso adaptable. El algoritmo se conoce

como adaptive-steepest-descent-POCS (ASD-POCS). Parece ser robusto contra los

artefactos de haz de cono, y puede ser particularmente útil cuando el rango angular es

limitado o cuando la frecuencia de muestreo angular es baja. El algoritmo ASD-POCS se

prueba con el disco Defrise y los maniquíes computarizados de la mandíbula. Algunas

comparaciones se realizan con los algoritmos POCS y los algoritmos de maximización de

expectativas (EM). Aunque el algoritmo se presenta en el contexto de la reconstrucción de

imágenes circulares con haz de cono, también se puede aplicar al escaneo de geometrías que

involucran otras trayectorias de fuente de rayos X.



En septiembre del 2012 se publica “Low-Dose X-ray CT Reconstruction via Dictionary

Learning” [27] por los autores Qiong Xu, Hengyong Yu, Xuanqin Mou, Lei Zhang, Jiang y

Ge Wang. En este artículo se presenta un algoritmo basado en la TV en detalle y se evalúa

en diferentes experimentos. En este algoritmo, la restricción escasa en términos de un

diccionario redundante se incorpora a una función objetivo en un marco de reconstrucción

iterativa estadística. El diccionario puede estar predeterminado antes de una tarea de

reconstrucción de imagen o definido de manera adaptativa durante el proceso de

reconstrucción. Un esquema de minimización alternativo es desarrollado para minimizar la

función objetivo. El enfoque se evalúa con proyecciones de dosis bajas de rayos X recogidas

en estudios con CT humana y animal, y la mejora asociada con el aprendizaje del diccionario

se cuantifica en relación con la retroproyección filtrada y las reconstrucciones basadas en

TV. Los resultados muestran que el enfoque propuesto produciría mejores imágenes con

menor ruido y características estructurales más detalladas en casos seleccionados. Sin

embargo, no hay pruebas de que esto sea cierto para todo tipo de estructuras.

En el año 2013 los autores Zhiqiang Chen, Xin Jin, Liang Li y Ge Wang en la publicación

“A limited-angle CT reconstruction method based on anisotropic TV minimization” [28]

presentan un algoritmo de reconstrucción inspirado en detección comprimida (CS) para

tomografía computarizada de ángulo limitado pues actualmente se realiza minimizando la

variación total (TV) de una imagen de CT sujeta a la consistencia de los datos. Una clave

para obtener una alta calidad de la imagen es optimizar el equilibrio entre el suavizado basado

en TV y la fidelidad de los datos. En el caso del problema de CT de ángulo limitado, la fuerza

de la consistencia de los datos es angularmente variable. Sin embargo, el proceso de

minimización de TV es isotrópico, lo que sugiere que no es apto para CT de ángulo limitado.

Aquí se presenta un método anisotrópico de minimización de TV para enfrentar este desafío.

La ventaja de este enfoque se demuestra en la simulación numérica que se hace con imágenes

de maniquíes e imágenes de CT reales, relativas a la reconstrucción basada en TV.

En mayo del 2014 los autores Yi Zhang, Weihua Zhang, Yinjie Lei y Jiliu Zhou publican

“Few-view image reconstruction with fractional-order total variation” [29]. Este trabajo

presenta un nuevo algoritmo de reconstrucción en la tomografía computarizada para el

problema de pocas proyecciones basado en el cálculo fraccional. Para superar las desventajas



del método de minimización de variación total, se propone un algoritmo de reconstrucción

de imágenes basado en la variación total de orden fraccional en lugar de la variación total

tradicional. Este algoritmo se obtiene al considerar más vóxeles de imagen vecinos, de modo

que el peso correspondiente puede ser determinado de manera adaptativa por el modelo,

suprimiendo así el efecto de suavizado excesivo. Los experimentos numéricos y clínicos

demuestran que el método logra un mejor rendimiento que los métodos de reconstrucción

existentes, incluida filtred back projection (FBP), las proyecciones de variación total basadas

en el método de conjuntos convexos (TV-POCS) y el soft-threshold filtering (STH).

En marzo del 2016 en el artículo “Statistical iterative reconstruction using adaptive fractional

order regularization” [30] los autores Yi Zhang, Yan Wang, Weihua Zhang, Feng Lin, Yifei

Pu y Jiliu Zhou donde plantean un modelo de orden fraccional basado en un marco de

reconstrucción iterativa estadística. Para mejorar el rendimiento del modelo propuesto, se

presenta una estrategia de selección de orden adaptativa, determinando el orden fraccional

píxel por píxel. Los experimentos, incluidos los casos numéricos y clínicos, ilustraron

mejores resultados que varios métodos existentes, especialmente, en preservación de

estructura y textura.

En febrero del 2017 se publica “Low-dose CT via convolutional neural network” [31] por

los autores Hu Chen, Yi Zhang, Weihua Zhang, Peixi Liao, Ke Li, Jiliu Zhou y Ge Wang.

En este documento se propone un nuevo algoritmo de reducción de ruido para dosis bajas de

CT a través del aprendizaje profundo sin acceder a los datos de proyección originales. Aquí

se usa una red neuronal convolucional profunda para mapear imágenes de CT de baja dosis

hacia sus contrapartes correspondientes de dosis normales en forma de parche por parche.

Los resultados cualitativos demuestran un gran potencial del método propuesto sobre la

reducción de artefactos y la preservación de la estructura. En términos de métricas

cuantitativas, el método propuesto ha mostrado una mejora sustancial en PSNR (Peak Signal

to noise ratio), RMSE (Root Mean Squared Error) y SSIM (Structural Similarity Index) que

los principales métodos existentes. Además, su velocidad es un orden de magnitud más

rápido que la reconstrucción iterativa y los métodos de reducción de ruido en imágenes

basados en parches.



1.5 Conclusiones parciales

En este capítulo se profundizó en las características de la variación total, desde su

aproximación bayesiana, propiedades principales y aplicaciones. También fueron expuestos

los aspectos generales de la tomografía computarizada, así como la formación y la calidad de

las imágenes mediante este método. Además, fueron abordadas las particularidades del ruido

en las imágenes y cómo la variación total contribuye al mejoramiento de imágenes que están

contaminadas con dicho fenómeno. Finalmente se presentaron varias investigaciones que se

han realizado sobre la variación total y la aplicación en la tomografía computarizada para

mejorar imágenes.

CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE VARIACIÓN TOTAL PROPUESTOS Y CARACTERÍSTICAS DE

LAS IMÁGENES UTILIZADAS 20

CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE VARIACIÓN TOTAL

PROPUESTOS Y CARACTERÍSTICAS DE LAS

IMÁGENES UTILIZADAS

Desde su introducción en el artículo clásico de Rudin, Osher y Fatemi [13], los modelos de

minimización de variación total se han convertido en una de las metodologías más populares

y exitosas para la restauración de imágenes. Recientemente ha habido un resurgimiento e

interés por crear nuevos métodos para eliminar el ruido y restaurar las imágenes. Estos

modelos ofrecen mejoras en la preservación del contraste, la geometría y la textura.

En el presente capítulo se proponen algoritmos de variación total y para su mejor

comprensión se describen de una forma matemática. También se caracteriza la herramienta

de simulación MATLAB. Además, se aborda sobre el proceso de adquisición y análisis de

cada una de las imágenes que se utilizaron.

2.1 Características principales del algoritmo 1

A lo largo de este algoritmo, Ӿ e ϒ son dos espacios de Hilbert reales. El objetivo principal

es resolver el problema de optimización primario:

Find ∈ 𝑎𝑟𝑔 min𝑥∈Ӿ

[𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝐻(𝐿𝑥)], (2.1)

donde:

1. F: X → ℝ es convexo, diferenciable en Ӿ y su gradiente ∇F es β- Lipschitz

continuo, para algunos β ∈ [0, + ∞ ]; es decir:

‖∇𝐹(𝑥) − ∇𝐹(𝑥′)‖ ≤ 𝛽‖𝑥 − 𝑥′‖, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 (𝑥, 𝑥′) ∈ Ӿ2. (2.2)

2. G ∈ Ӿ y H ∈ ϒ son simples, en el sentido de que sus operadores de proximidad tienen una

representación cerrada, o al menos pueden resolverse de manera eficiente con alta precisión.

3. L: Ӿ → ϒ es un operador lineal limitado con L* adjunto y norma inducida:

‖𝐿‖ = 𝑠𝑢𝑝‖𝐿𝑥‖ ∶ 𝑥 ∈ Ӿ , ‖𝑥‖ ≤ 1 < +∞. (2.3)



4. El conjunto de minimizadores de (2.1) se supone que no está vacío [32].

La formulación dual correspondiente del problema primario (2.1) es:

Find ∈ 𝑎𝑟𝑔 min𝑦∈ϒ

[(𝐹 + 𝐺)∗(−𝐿∗𝑦) + 𝐻∗(𝑦)], (2.4)

donde se nota que (𝐹 + 𝐺)∗(−𝐿∗𝑦) = min𝑥′∈Ӿ

[𝐹∗(−𝐿∗𝑦 − 𝑥′) + 𝐺∗(𝑥′)] es una convolución

ínfima. Sin más suposición, el conjunto de soluciones de (2.4) puede estar vacío.

Este algoritmo propuesto es primario-dual, en el sentido de que resuelve el problema primario

y dual; (2.1) y (2.4) conjuntamente. Otra formulación de estos dos problemas de

minimización más comunes es combinarlos en la búsqueda de un punto en común de la forma

[32]:

Find(, ) ∈ 𝑎𝑟𝑔 min𝑥∈Ӿ

max𝑦∈𝑑𝑜𝑚(𝐻∗)

[𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) − 𝐻∗(𝑦) + ⟨𝐿𝑥, 𝑦⟩]. (2.5)

La teoría clásica de Karush-Kuhn-Tucker afirma que, si el par (𝑥, ) es una solución a la

inclusión variacional monótona:

Find (, ) ∈ Ӿ ∗ ϒ tal que (00

) ∈ (𝜕𝐺() + 𝐿∗ + ∇𝐹()

−𝐿 + 𝜕𝐻∗()), (2.6)

entonces es una solución de (2.1), es una solución de (2.4) y (, ) es una solución de

(2.5). Lo contrario no se cumple en general y el conjunto de soluciones de (2.6) puede estar

vacío. Sin embargo, si la siguiente condición de calificación se sostiene:

0 ∈ sri (𝐿(dom(𝐺)) − dom(𝐻)), (2.7)

entonces el conjunto de soluciones de (2.4) no es vacío y para cada solución primaria de

(2.1) y solución dual de (2.4) entonces (, ) es una solución de (2.6).

Por lo tanto, a continuación se supone que el conjunto de soluciones a las inclusiones (2.6)

no es vacío, teniendo en cuenta que (2.7) es una condición suficiente para que esto se

mantenga [32].

La ventaja en la solución de (2.6) en lugar de la inclusión 0 ∈ ∇𝐹() + 𝜕𝐺() + 𝐿∗𝜕𝐻(𝐿)

asociado a (2.1) es doble: (i) la función compuesta H L se ha dividido; (ii) se obtiene no

sólo la solución primaria , sino también la solución dual ; y el algoritmo propuesto en



realidad utilizan sus propiedades entrelazadas para actualizar el primario y el dual de

variables de forma alternativa y eficiente.

Se observa que hay espacio en la inclusión dual de (2.6) para un término adicional ∇𝐾∗(),

que produce una formulación más simétrica de los problemas primarios y duales. Las

inclusiones variacionales obtenidas caracterizan al siguiente problema primario, que incluye

una convolución ínfima:

Find ∈ arg min𝑥∈Ӿ

inf𝑦′∈ϒ

[𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝐻(𝐿𝑥 − 𝑦′) + 𝐾(𝑦′)], (2.8)

donde la función adicional K ∈ ϒ es tal que K* es diferenciable en ϒ con un gradiente

continuo β ' -Lipschitz, para algunos β ' ≥ 0 [32].


La mayoría de las formulaciones matemáticas de los problemas inversos, en particular de los

problemas inversos de imágenes, se presentan de la forma:

min𝑢

𝐹(𝑢) + 𝑅(𝑢) , (2.9)

donde F representa la fidelidad de los datos y R el término de regularización. Si G denota al

operador de modelo directo, entonces el término de fidelidad más común es de la forma:

𝐹(𝑢) =1

2‖𝐺(𝑢) − 𝑧‖2, (2.10)

donde z representa los datos posiblemente propensos a errores y ‖𝐺(𝑢) − 𝑧‖ denota una

norma de Hilbert elegida de una forma apropiada. Del mismo modo, el término de

regularización elegido con mayor frecuencia viene dado por:

𝑅(𝑢) =∝

2|𝑢|2, (2.11)

donde ∝ es el parámetro de regularización y |𝑢| denota una norma de Hilbert.

Por lo que se propone y analiza el término de regularización de la forma:

𝑇𝐺𝑉𝛼𝑘(𝑢) = 𝑠𝑢𝑝 ∫ 𝑢 𝑑𝑖𝑣𝑘𝑣 𝑑𝑥 | 𝑣 ∈ 𝐶𝑐

𝑘

Ω(Ω, 𝑆𝑦𝑚𝑘(ℝ𝑑)), ‖𝑑𝑖𝑣𝑙‖ ∞ ≤ 𝛼𝑙, 𝑙 = 0, … , 𝑘 −

1, (2.12)



donde 𝑆𝑦𝑚𝑘(ℝ𝑑) denota el espacio de tensores simétricos de orden k con argumentos en ℝd

y 𝛼𝑙 son parámetros fijos positivos. Se refiere a 𝑇𝐺𝑉∝𝑘 como la variación total generalizada

del orden k con el peso ∝∈ ℝ𝑘. A partir de esta definición queda inmediatamente claro que

implica derivados de u de orden i = 1…, k, y que el núcleo de 𝑇𝐺𝑉∝𝑘 es el conjunto de

polinomios de grado menor que k. Además, es invariante de forma rotativa y para k = 2. La

variación total generalizada de la función de indicador de un conjunto Ω’cc Ω es igual a

𝛼1𝑃𝑒𝑟Ω′ = 𝛼1 TV(XΩ’) donde 𝑃𝑒𝑟Ω′ denota el perímetro de Ω’ [33].

Como una vista previa adicional se señala que en la dimensión 1, con Ω [0, 𝐿], 𝑘 =

2, ∝0, ∝1> 0, tenemos para:

𝑢(𝑥) = ∑ 𝑝𝑖2𝑖=1 (𝑥)𝑋Ω𝑖, con 𝑝𝑖(𝑋) = 𝑎𝑖𝑥 + 𝑏𝑖, para cada 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 ∈ ℝ y Ω1 =

[0, 𝑐], Ω2 = [𝑐, 1] (2.13)

entonces:

𝑇𝐺𝑉∝2(𝑢) =∝1 |𝑝2(𝑐) − 𝑝1(𝑐)| +∝0 |𝑝1

′ (𝑐) − 𝑝2′ (𝑐)| (2.14)

siempre que el punto de salto c no esté cerca del límite, es decir, 𝑐 ∈ [∝0

∝1, 𝐿 −

∝0

∝1] . En

particular, 𝑇𝐺𝑉∝2(𝑢) no penaliza la derivada de orden l = 0,1 a menos que salte en c [33].

Esta ecuación se basa en el hecho de que involucra y equilibra las derivadas de mayor orden

de u. Como consecuencia, reduce el efecto escalera de la función de variación limitada. El

uso de derivadas de orden superior con el objetivo de reducir las escaleras no es nuevo. La

función de convolución ínfima:

min𝑢1+𝑢2=𝑢

∫ |∇𝑢1|

Ω+∝ |∇(∇𝑢2)| 𝑑𝑥 (2.15)

se propone por ser prácticamente eficiente, eliminando el efecto staircasing, para los

problemas de reducción del ruido con imágenes que contienen varios niveles de gris, así

como bordes y esquinas. Esta idea fue seguida en una forma modificada donde el término de

regularización tiene la forma:

min𝑢1+𝑢2=𝑢

∫ |∇𝑢1|

Ω+∝ |∇𝑢2| 𝑑𝑥 (2.16)

es decir, la segunda derivada es remplazada por el Laplaciano y se deriva un método dual

para su realización numérica [33].



Según la función diferencial dada por:

∫ |∇𝑢|

Ω+∝ 𝛷(|∇𝑢|)(𝐿(𝑢)) 𝑑𝑥 (2.17)

donde Φ es una función de valor real que refleja la presencia de bordes en el sentido de que

su valor se acerca a 0 cuando el gradiente |∇𝑢| se es grande y L(u) es un operador elíptico.

En términos de regularización de la forma:

𝑅(𝑢) = ∫ |𝐷∇𝑙−1(𝑢)|

Ω (2.18)

donde ∫ |𝐷∇𝑙−1(𝑢)|

Ω denota la variación total de la derivada (l -1) de 𝑢 ∈ 𝑊𝑙−1,1 [33].


Para formular el problema de optimización de interés (2.20), primero se proponen algunas

definiciones clásicas de optimización convexa [34]. Una función g definida en un espacio

real de Hilbert X con valores en ℝ ∪ + ∞ es apropiado si su dominio dom (g) = x ∈ X; g

(x) <+ ∞ es no vacío.

g es convexa si g (ax + (1 - a) x' ) ≤ ag (x) + (1 - a) g (x' ) para cada x, x' ∈ X y a ∈ [0, 1].

g es semicontinua inferior en x ∈ X si, por cada v ∈[-∞, g (x) ], podemos encontrar una

vecindad Ω de x tal que f(Ω) ⊂[v, + ∞] [35].

El conjunto de funciones convexas, correctas, semicontinuas inferiores de X a ℝ ∪ + ∞ se

denota por Γ0(X). Se va a definir el operador de proximidad de Moreau para g ∈ Γ0(X) dado

por:

𝑝𝑟𝑜𝑥𝑔: 𝑋 ↦ 𝑋, 𝑥 ↦ arg min𝑥′∈ 𝑋

1

2‖𝑥 − 𝑥′‖2 + 𝑔(𝑥′). (2.19)

Existen expresiones explícitas simples para la proximidad de operadores de una gran clase

de funciones [36], [37]. Un algoritmo iterativo que tiene como objetivo minimizar una suma

de funciones por evaluaciones sucesivas de sus gradientes u operadores de proximidad se

llama algoritmo próximo [35].

En este algoritmo el objetivo es resolver el siguiente problema genérico de optimización,

formulado en espacios reales de Hilbert X y 𝑈𝑚𝑚=1𝑀 , para M ∈ ℕ:

Find ∈ arg min𝑥∈𝑋

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + ∑ ℎ𝑚𝑀𝑚=1 (𝐿𝑚𝑥), (2.20)



donde:

1- f, g ∈ Γ0(X), hm ∈ Γ0(U m).

2- Los operadores 𝐿𝑚: 𝑋 ↦ 𝑈𝑚 son lineales y acotados.

3- f es diferenciable en X y su gradiente ∇𝑓 es 𝛽- Lipschitz continuo, para la constante real

𝛽 > 0, es decir, ‖∇𝑓(𝑥) − ∇𝑓(𝑥′)‖ ≤ 𝛽‖𝑥 − 𝑥′‖.

4- El conjunto de minimizadores se supone que no está vacío.

5- Se cumple la siguiente restricción de calificación: (0, … ,0) ∈ sri (𝐿𝑚𝑥 −

𝑢𝑚)1≤𝑚≤𝑀 | 𝑥 ∈ dom(𝑔) y 𝑈𝑚 ∈ dom(ℎ𝑚), ∀𝑚 = 1, … , 𝑀 , donde sri el interior relativo

fuerte [35].

Se tiene en cuenta que al permitir que algunas de las funciones en (2.20) sean cero y un

operador lineal Lm puede ser el identificador de identidad. También se recuerda que, dado un

conjunto convexo cerrado no vacío Ω ⊂ X, se puede definir la función del indicador iΩ ∈ Γ0

(X): x ∈ X ↦ 0 si x ∈ Ω, + ∞ los demás. Tales funciones son convenientes para aplicar

restricciones duras a la solución: el problema de minimizar f ∈ Γ0(X) sobre Ω se puede escribir

como la minimización de f + iΩ en todo el espacio X. Dado que el operador de proximidad de

una función de indicador es simplemente la proyección en el conjunto, los algoritmos

próximos se pueden ver como generalizaciones de algoritmos para encontrar un elemento en

la intersección de conjuntos convexos por proyecciones sucesivas (POCS) [34], [36].

La principal dificultad para resolver (2.20) proviene del hecho de que los espacios X y Um

son típicamente de gran dimensión, por lo tanto se denomina optimización a gran escala. Por

ejemplo, si la solución solicitada es una imagen, la dimensión N de X es el número de

píxeles en la imagen. Para N = 106 y mayores valores, no es posible manipular, en cada

iteración de un algoritmo, matrices de tamaño N × N. Entonces, algoritmos próximos, que

solo explotan información de primer orden de las funciones, a menudo son la única forma

viable de resolver (2.20) [35].

Ahora se consideran problemas inversos en las imágenes. Entonces, primero hay que

colocarlos en el espacio X = ℝNh × Nv de imágenes en escala de grises de tamaño Nh columnas

multiplicadas por Nv filas, dotadas con el producto interno euclidiano habitual. Para restaurar

o reconstruir una imagen x se resuelve el siguiente problema:



Find ∈ arg min𝑥 ∈ Ω

1

2 ‖𝐴𝑥 − 𝑦‖2 + 𝜆. TV(𝑥) (2.21)

1- y representa el dato disponible.

2- A : X → Y es el operador lineal que modela el proceso de adquisición.

3- Ω es un subconjunto cerrado y convexo de X.

4- 𝜆 > 0 es un parámetro para sintonizar, dependiendo de las propiedades de A y el

nivel de ruido.

La variación total discreta, denotada por TV(x) en (2.21), se define como el operador de

gradiente discreto D: X → X2, que asigna una imagen x a un par de imágenes (uh, uv) para

todo kh = 1, …,Nh, Kv = 1,…,Nv,

𝑢ℎ = [𝑘ℎ, 𝑘𝑣] = 𝑥[𝑘ℎ , 𝑘𝑣] − 𝑥[𝑘ℎ − 1, 𝑘𝑣] si 𝑘ℎ ≥ 2, 0 para los demás,

𝑢𝑣[𝑘ℎ , 𝑘𝑣] = 𝑥[𝑘ℎ, 𝑘𝑣] − 𝑥[𝑘ℎ, 𝑘𝑣 − 1] si 𝑘𝑣 ≥ 2, 0 para los demás.

Entonces tenemos que:

TV(𝑥) = ‖𝐷𝑥‖1,2 = ‖(𝑢ℎ, 𝑢𝑣)‖1,2 = ∑ ∑ √𝑢ℎ[𝑘ℎ, 𝑘𝑣]2 + 𝑢𝑣𝑁𝑣𝑘𝑣=1

𝑁ℎ𝑘ℎ=1 [𝑘ℎ, 𝑘𝑣]2 (2.22).

2.4 Caracterización de la herramienta de simulación MATLAB

MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”, se originó en 1970 como un

asistente matemático para el uso en el álgebra de matrices y la computación numérica [38].

Como caso particular puede trabajar con números escalares, tanto reales como complejos,

con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Una de las

capacidades de esta herramienta es realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres

dimensiones. Para ciertas operaciones es muy rápido, por ejemplo, cuando puede ejecutar sus

funciones en código nativo con los tamaños más adecuados para aprovechar sus capacidades

de vectorización [39].

Su entorno utiliza un lenguaje de computación técnico de alto nivel para el desarrollo de

algoritmos, la visualización de datos y la computación numérica. Además, puede integrarse

bien con otros lenguajes y aplicaciones de terceros. También incluye un ambiente gráfico

llamado Simulink. Este es usado para la simulación con múltiples dominios y el diseño



basado en modelos. Además, provee interfaces de rutinas externas escritas en otros lenguajes

de programación [40].

En MATLAB, así como en cualquier otro conjunto de lenguaje interactivo, el tipo, el rango

y la forma de las variables son dinámicamente determinadas. Esta herramienta ofrece varias

rutinas especializadas a través de complementos de dominios específicos, llamados

“toolboxes” y una interfaz simplificada para bibliotecas de alto rendimiento como BLAS,

FFTV y LAPACK. Por ser una herramienta de alto nivel, el desarrollo de programas

numéricos con MATLAB puede requerir hasta un orden de magnitud menos de esfuerzo que

con lenguajes de programación convencionales, como Fortran, Pascal, C/C++, Java o Visual

Basic [41].

Tiene varias ventajas comparadas con los lenguajes de computación convencional para

resolver problemas técnicos. Entre ellas se pueden destacar la facilidad de uso, plataforma

independiente, funciones predefinidas, compilador, entre otras. Sin embargo, posee dos

desventajas fundamentales, la primera es que es un lenguaje interpretado y por eso se ejecuta

más lento que los compilados aunque este problema puede ser mitigado estructurando

correctamente el programa; la segunda es el costo: una copia completa del MATLAB es cinco

a diez veces más cara que un compilador C convencional o Fortran [39].

En este trabajo se utiliza la versión de MATLAB del año 2015.

2.5 Adquisición de las imágenes

Los datos de CT se obtuvieron para esta investigación de dos escáneres CT diferentes: un kV

on-board imaging (OBI) system integrated en un acelerador lineal médico TrueBeamTM

(Varian Medical System, Palo Alto, CA, USA) y un escáner Siemens SOMATOM Sensation

16 scanner CT utilizando la geometría de exploración helicoidal (Santa Clara, Cuba). Los

pacientes con empastes dentales se escanearon en un sistema kV OBI con un tipo de filtro

“Filtro corporal”, núcleo de convolución “estándar”, corriente del tubo 250mA y 120 kVp;

en el caso de pacientes con implantes de cadera y semilla, con "Filtro corporal", núcleo de

convolución "estándar", corriente del tubo de 150 mA y 120 kVp . Otros pacientes con

empastes dentales se escanearon en un Siemens SOMATOM Sensation 16 scanner CT y fue

utilizado un tipo de filtro “WEDGE_2”, convolución kernel “'H31s”, corriente del tubo 226



mA y 120 kVp. La matriz de imágenes reconstruidas es de 512 x 512 píxeles en ambos

escáneres. Los tamaños de píxeles correspondientes fueron de 1 mm X 1 mm para OBI y de

0.776 mm X 0.776 mm para Siemens SOMATOM Sensation. La distribución de conjuntos

de datos tomados de diferentes regiones anatómicas y CT es la siguiente: tres implantes de

semillas, tres implantes de cadera y tres implantes dentales adquiridos de OBI; y once

empastes dentales de Siemens SOMATOM Sensation.

2.6 Análisis de la imagen

Las imágenes clínicas obtenidas mediante el uso de los algoritmos de variación total fueron

evaluadas por dos observadores certificados de forma independiente, cada uno con más de 5

años de experiencia clínica, cegados a todos los datos de los pacientes y los parámetros de la

imagen. Las imágenes se visualizaron en las mismas condiciones; se muestra en orden

aleatorio y se revisa en la ventana de tejido blando (nivel de ventana 20 HU, ancho de ventana

400 HU) y ventana ósea (nivel de ventana 300 HU, ancho de ventana 2,500 HU). Las

imágenes se mostraron con un monitor de 23" con una resolución de 1920 X 1080. Los

observadores vieron los monitores desde una distancia de visión aproximada de 2-2.5 altura

de pantalla. Los experimentos fueron conducidos en luz ambiental atenuada (menos de 25

lux).

Los dos observadores clasificaron 210 imágenes tomográficas generadas (10 originales + 200

modificadas utilizando diferentes algoritmos y parámetros con el propósito de determinar las

más óptimas), tanto el ruido como la interpretación diagnóstica en una escala de clasificación

de cinco puntos. El grado de calidad en las imágenes se puntuó en una escala de 1 a 5 (1,

ruido muy severo; 2, ruido severo; 3, ruido moderado; 4, ruido mínimo; 5, sin ruido). La

calidad de la imagen diagnóstica se puntuó de manera similar en imágenes de TC en una

escala de 1 a 5 (1, calidad de imagen gravemente reducida, no diagnóstica; 2, calidad de

imagen marcadamente reducida, con interpretabilidad diagnóstica deteriorada; 3, calidad de

imagen aceptable e interpretabilidad diagnóstica; 4, buena calidad de imagen, con alta

confianza de diagnóstico; 5, excelente calidad de imagen, con interpretabilidad de

diagnóstico completo) [42], [43].

Con el propósito de evaluar el acuerdo entre observadores, se utilizó el kappa de Cohen. Los

valores κ de 0.01-0.20 se consideraron como un leve acuerdo, 0.21-0.40 por acuerdo justo,



0.41-0.60 por acuerdo moderado, 0.61-0.80 por acuerdo sustancial y 0.81-1.00 por acuerdo

casi perfecto. Los análisis estadísticos se realizaron con el software estadístico (SPSS,

versión 22.0; IBM, Chicago, IL, USA). Para todos los análisis estadísticos, se consideró que

los valores de p inferiores a 0,05 representaban diferencias estadísticamente significativas.

Una región de interés (ROI) se le aplicó a cada imagen de CT. Los tamaños utilizados fueron

100 x 100 píxeles con forma cuadrada para un total de 300 ROI. Las ROI se mantuvieron

para todas las mediciones.

2.6.1 Métricas utilizadas para la evaluación

Este estudio se aplica para cinco métodos de FR (Full Reference) utilizados en muchas

aplicaciones como compresión de imágenes, restauración de imágenes, transmisión

multimedia y campo de visión por computadora. La desviación de similitud de gradiente

(GMSD) [44] es la primera métrica. GMSD emplea mapas de calidad de imagen local

basados en la variación global de gradientes para la predicción general de calidad de imagen.

Los indicadores segundo y tercero evaluados son relación señal-ruido ponderada por

contenido de información (IW-PSNR) y ponderado por contenido de información (IWMSE),

propuesto por Wang y Li en [45]. IWPSNR e IWMSE emplean la transformada de pirámide

Laplaciana. La cuarta métrica probada es la relación señal / ruido ponderada (WSNR) [46].

Se seleccionó un modelo de selección de escala óptima (OSS) propuesto en [47] y se evaluó

el rendimiento de la relación pico señal / ruido (OSS-PSNR).

Las métricas analizadas no implican ningún proceso de capacitación. Todas las métricas se

implementan con MATLAB y los códigos fuente utilizados en este trabajo están disponibles

y programados en Internet por sus autores. Para obtener detalles completos de estos

algoritmos, consulte la literatura correspondiente.


En este capítulo se abordaron las características principales de los algoritmos de variación

total utilizados, así como las principales fórmulas matemáticas que utilizan los mismos, y se

explica con detalle cada una de las variaciones y despejes matemáticos que tienen. También

se caracteriza a la herramienta de simulación que se utiliza para procesar cada una de las

imágenes utilizadas. Además, se muestra cómo es el proceso puesto en práctica por los



evaluadores para la adquisición y análisis de las imágenes originales y resultantes

visualizadas. Por último se exhiben las métricas propuestas para la valoración de todas las

imágenes.

CAPÍTULO 3. EVALUACIÓN DE LOS ALGORITMOS DE VARIACIÓN TOTAL EN LA

ELIMINACIÓN DEL RUIDO EN IMÁGENES DE CT 31

CAPÍTULO 3. EVALUACIÓN DE LOS ALGORITMOS DE

VARIACIÓN TOTAL PARA LA REDUCCIÓN DEL

RUIDO EN IMÁGENES DE CT

En el presente capítulo se muestran los principales parámetros que se emplean para estudiar

el desempeño de los algoritmos de variación total. Se muestran los resultados del

procesamiento de imágenes utilizando diferentes métricas de calidad objetiva. Además, se

calcula la media y la desviación estándar de cada uno de los algoritmos propuestos. Se

presentan los resultados de los evaluadores de manera subjetiva. También se muestran los

gráficos con los parámetros introducidos en cada algoritmo. Finalmente se comparan los

resultados obtenidos.

3.1 Parámetros utilizados en la aplicación de los algoritmos

Para la implementación de los algoritmos de variación total se utilizaron diferentes

parámetros que fueron variando en cada uno de los algoritmos utilizados. El primero es el

número de iteraciones, que es la cantidad de veces que el algoritmo se repite. Mientras más

se itere una imagen con una de estas técnicas mejores serán los resultados obtenidos, pero

hay que tener cuidado pues hay un momento en que se comienzan a perder los detalles de las

imágenes.

Como segundo se tiene a lambda, que es un parámetro de regularización y tiene que ver con

la cantidad de ruido que se reduce, haciendo énfasis en los bordes de los objetos y detalles

de la imagen seleccionada. En cada notación puede haber más de una lambda y se recomienda

no sobrepasar a las doscientas como cifra para cada una.

Como tercero se posee a tau, que es el parámetro de proximidad. Esta influye en la velocidad

de convergencia y tiene que ser mayor que cero. Como norma tiene que oscilar entre cero y

uno, y hay casos en los que no es necesario que esté presente en un algoritmo.



3.2 Resultados del procesamiento de imágenes utilizando diferentes métricas de calidad

objetiva

Para realizar la evaluación de todas las imágenes en cuanto a calidad se realiza una prueba

objetiva mediante las cinco métricas que se mencionaron en el capítulo anterior. Las

siguientes tablas muestran cómo se comportan estos algoritmos, en los cuales se seleccionan

tres regiones del cuerpo que son cadera, pulmón y cabeza, y un maniquí de cabeza para ver

cuáles son los valores numéricos. Luego se toma el mejor y el peor valor que es el más

elevado y el más bajo respectivamente para cada una de las métricas, y los parámetros que

fueron utilizados para llegar al resultado final.

La tabla 3.1 muestra el comportamiento del primer algoritmo y como se puede observar todas

las métricas coinciden en cuanto a los valores de calidad para las diferentes zonas del cuerpo.

Los mejores resultados son para los parámetros número de iteraciones: 50, lambda: 5 y tau:

1, y la región del cuerpo con estos valores es el pulmón. Los peores resultados son para los

parámetros número de iteraciones: 200, lambda: 20 y tau: 1, y la región del cuerpo con estos

valores es la cabeza.

La tabla 3.2 muestra el comportamiento del segundo algoritmo y como se puede observar

todas las métricas coinciden en cuanto a los valores de calidad para las diferentes zonas del

cuerpo. Los mejores resultados son para los parámetros número de iteraciones: 50, lambda1:

45, lambda2: 5 y tau: 0.009, y la región del cuerpo con estos valores es la cadera. Los peores

resultados son para los parámetros número de iteraciones: 300, lambda1: 70, lambda2: 30 y

tau: 0.009, y la región del cuerpo con estos valores es la cabeza.

La tabla 3.3 muestra el comportamiento del tercer algoritmo y como se puede observar todas

las métricas coinciden en cuanto a los valores de calidad para las diferentes zonas del cuerpo.

Los mejores resultados son para los parámetros número de iteraciones: 50 y lambda: 5, y la

región del cuerpo con estos valores es la cadera. Los peores resultados son para los

parámetros número de iteraciones: 300 y lambda: 30, y la región del cuerpo con estos valores

es la cabeza.

CAPÍTULO 3. EVALUACIÓN DE LOS ALGORITMOS DE VARIACIÓN TOTAL EN LA ELIMINACIÓN DEL RUIDO EN IMÁGENES DE CT 33

Tabla 3.1 Evaluación de las métricas al ir variando los parámetros en el algoritmo 1.

GMSD iwmse iwpsnr WSNR OSS_PSNR

Mejor Peor Mejor Peor Mejor Peor Mejor Peor Mejor Peor

Cadera Valor 689.41 48.29 7508.48 267.91 36.88 22.41 58.51 42.88 43.53 28.57

Parámetros

Nbiter=100 Lambda=10 Tau=1










Pulmón Valor 935.81 60.11 7684.75 291.45 37.81 22.77 59.42 41.46 44.29 28.53

Parámetros











Cabeza Valor 711.27 42.06 6802.29 263.38 36.45 21.86 57.86 41.16 42.54 28.41

Parámetros











Maniquí Valor 288.49 60.54 6446.69 416.37 36.22 24.32 58.44 45.26 42.49 30.02

Parámetros















Cadera Valor 1684.22 60.21 2091.94 238.75 39.93 21.91 65.38 44.66 45.65 29.75

Parámetros

Nbiter=50 Lmbda1=45 Lmbda2=5 Tau=0.009










Pulmón Valor 1135.84 72.41 1715.46 277.35 39.69 22.56 63.43 42.72 45.61 28.97

Parámetros











Cabeza Valor 1562.17 59.66 2058.15 235.82 39.41 21.61 63.71 41.77 46.28 28.68

Parámetros











Maniquí Valor 698.31 74.06 2011.55 516.63 39.66 25.26 64.46 47.77 47.16 31.77

Parámetros















Cadera Valor 1885.86 60.58 3720.22 462.65 39.82 24.78 63.02 46.04 46.71 31.3

Parámetros Nbiter=50 Lambda=5

Nbiter=300 Lambda=30



Nbiter=50 Lambda=5


Nbiter=50 Lambda=5


Nbiter=50 Lambda=5


Pulmón Valor 1882.35 82.31 3706.93 480.86 39.46 24.95 60.74 44.24 46.42 31.03





Nbiter=50 Lambda=5


Nbiter=50 Lambda=5


Nbiter=50 Lambda=5


Cabeza Valor 1481.56 60.24 3516.79 412.03 39.38 24.75 60.74 44.14 45.56 30.85





Nbiter=50 Lambda=5


Nbiter=50 Lambda=5


Nbiter=50 Lambda=5


Maniquí Valor 577.11 65.58 3393.38 681.14 39.06 26.46 61.68 47.59 45.56 32.26





Nbiter=50 Lambda=5


Nbiter=50 Lambda=5


Nbiter=50 Lambda=5




Por lo tanto, en cuanto a la calidad de las imágenes de forma objetiva se puede llegar a la

conclusión de que los mejores resultados son para los algoritmos 1 y 3 pues presentan mejores

valores en las métricas para las regiones del pulmón y la cadera respectivamente. Mientras

que los peores resultados son para el algoritmo 2 pues no presenta valores muy buenos en las

métricas y es muy malo en la región de la cabeza. Además, tiene una mayor cantidad de

parámetros con respecto a los otros algoritmos.

3.3 Media y desviación estándar de los algoritmos

La tabla 3.4 muestra los valores de la media y la desviación estándar de los algoritmos que

se utilizaron para el procesamiento digital de las imágenes. Como se observa los mayores

valores para la media se obtienen en el maniquí, mientras que los valores más bajos lo

presenta el pulmón. En el caso de la desviación estándar los valores más altos lo presenta el

maniquí, mientras que los menores valores los presenta la cadera. Pero de manera general los

números de Hounsfield se mantienen estables para cada una de las diferentes regiones, lo que

es muy bueno pues esto evidencia que la calidad de la imagen es buena para los algoritmos.

Tabla 3.4 Media y desviación estándar de los algoritmos.

Algoritmo 1 Algoritmo 2 Algoritmo 3

ROI=100 Media Dev. Estándar Media

Dev. Estándar Media

Dev. Estándar

Cadera 104.87 197.02 104.93 196.82 104.89 197.82

Pulmón -147.77 415.63 -147.76 415.99 -147.77 197.82

Cabeza 157.11 263.14 157.10 263.83 157.10 263.90

Maniquí 241.61 434.93 241.65 435.72 241.62 435.46

3.4 Evaluación de calidad subjetiva de los radiólogos

Como ya se había dicho con anterioridad cada observador hizo su evaluación de forma

independiente y en igualdad de condiciones, dando valores desde 1 hasta 5 según su

apreciación de la calidad de la imagen. Luego se calculó el promedio y la desviación estándar

a cada uno de los valores de todas las imágenes de cada evaluador de forma independiente

como se muestra en la tabla 3.5.



Tabla 3.5 Promedio y derivación estándar de los valores obtenidos por cada observador.

Observador 1 Observador 2

Promedio 2.57 2.62

Dev. Estándar 1.33 1.35

Como se puede observar en la tabla 3.5 los valores como promedio oscilan entre 2.57 y 2.62

para la calidad de las imágenes y la desviación estándar tiene un valor muy bajo pues los dos

evaluadores dieron resultados bastante parecidos.

Con la intensión de asegurar la relación entre los observadores fue utilizado el método de

Cohen’s kappa. El valor de k es 0.908 lo que demuestra una concordancia perfecta entre los

evaluadores. Por otra parte el valor de p se encuentra por debajo de 0.05 al ser menor que

0.0001 y es considerado representante estadístico de diferencias significativas.

Según lo observado por los radiólogos al aplicar el primer algoritmo la mejor región resultó

ser el pulmón y los mejores valores de los parámetros fueron número de iteraciones: 50,

lambda: 5 y tau: 1. En la figura 3.1 se ilustra una imagen de pulmón procesada con este

algoritmo. La región con los resultados más malos fue la cabeza y los valores de los

parámetros fueron número de iteraciones: 200, lambda: 20 y tau: 1. La figura 3.2 muestra

una imagen de cabeza utilizada para este algoritmo.

(a) (b)

Figura 3.1 Imagen de pulmón en ventana de L: 50 y W: 375. (a) Imagen original. (b) Imagen

procesada por el primer algoritmo con número de iteraciones: 50, lambda: 5 y tau: 1.



(a) (b)

Figura 3.2 Imagen de cabeza en ventana de L: 50 y W: 375. (a) Imagen original. (b) Imagen

procesada por el primer algoritmo con número de iteraciones: 200, lambda: 20 y tau: 1.

Al aplicar el segundo algoritmo a las imágenes este provocó un exceso de borrosidad

haciendo que se pierdan las estructuras finas en la imagen, la resolución y el contraste. En la

figura 3.3 se puede ver un ejemplo claro de cómo se ven afectadas imágenes de cadera y en

la figura 3.4 a imágenes de cabeza. De esta forma se considera que este algoritmo es uno de

los más malos.

(a) (b)

Figura 3.3 Imagen de cadera en ventana L: 200 y W: 1000. (a) Imagen original. (b) Imagen

procesada por el segundo algoritmo con número de iteraciones: 100, lambda1: 50, lambda2:

10 y tau: 0.009.



(a) (b)

Figura 3.4 Imagen de cabeza en ventana L: 50 y W: 375. (a) Imagen original. (b) Imagen

procesada por el segundo algoritmo con número de iteraciones: 100, lambda1: 50, lambda2:

10 y tau: 0.009.

El tercer algoritmo luego de ser evaluado obtuvo buenos resultados para la zona de la cadera

y en específico con los parámetros número de iteraciones: 50 y lambda: 5. La figura 3.5

muestra la aplicación de este algoritmo a la zona de la cadera. Los peores resultados fueron

en la cabeza con los parámetros número de iteraciones: 300 y lambda: 30. La figura 3.6

muestra un ejemplo de la aplicación de este algoritmo a la zona de la cabeza.

(a) (b)

Figura 3.5 Imagen de cadera en ventana L: 200 y W: 1000. (a) Imagen original. (b) Imagen

procesada por el tercer algoritmo con número de iteraciones: 50 y lambda: 5.



(a) (b)

Figura 3.6 Imagen de cabeza en ventana L: 40 y W: 80. (a) Imagen original. (b) Imagen

procesada por el tercer algoritmo con número de iteraciones: 300 y lambda: 30.

Como se observó en las imágenes anteriores queda claro que el segundo algoritmo es el más

malo pues provoca mucha borrosidad en las imágenes lo que afecta de forma severa su

calidad reduciendo el contraste y la textura. Además, este algoritmo presenta cuatro

parámetros lo que hace que tenga que pasar por una cantidad mayor de iteraciones. El primer

algoritmo es muy bueno y principalmente en la zona del pulmón donde conserva grandes

detalles con respecto a la imagen original. El tercer algoritmo también es muy bueno para

restaurar imágenes y de forma específica en la región de la cadera. Este último algoritmo

presenta solo dos parámetros lo que facilita su trabajo.

3.5 Gráficos del tiempo con respecto al número de iteraciones de cada algoritmo

Las siguientes figuras muestran el comportamiento de los algoritmos con los diferentes

parámetros introducidos donde el eje de las x es el tiempo en segundos que se demora en

procesar cada imagen y el eje de las y es el número de iteraciones. Cada una de las líneas son

los diferentes valores que toma lambda y se muestran cuales son en la leyenda de la parte

inferior de la gráfica con diferentes colores. Como se observa a medida que aumentan las

iteraciones el tiempo también lo hace, por lo que es mejor mantener la menor cantidad de

iteraciones posibles para ahorrar más tiempo.

La simulación se realizó en una laptop marca DELL con un procesador core i5 de cuarta

generación a 1.70Ghz y una memoria RAM de 8GB.



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Algoritmo 1

lambda=45 lambda=40 lambda=35 lambda=30 lambda=25

lambda=20 lambda=15 lambda=10 lambda=5

x(t seg)

y(Iteraciones)

Para el primer algoritmo como se observa en la figura 3.7 el mejor tiempo fue de 2.56

segundos para un valor de lambda: 5 y 50 iteraciones. El peor tiempo fue de 17.65 segundos

para un valor de lambda: 45 y 450 iteraciones. La tabla 3.6 muestra todos los resultados del

tiempo para diferentes parámetros.

Figura 3.7 Gráfico del tiempo con respecto al número de iteraciones del algoritmo 1.

Tabla 3.6 Tiempo de demora del algoritmo 1 para diferentes parámetros.

Iteraciones lambda=5 lambda=10 lambda=15 lambda=20 lambda=25 lambda=30 lambda=35 lambda=40 lambda=45

50 2.56 2.61 2.59 2.63 2.61 2.63 2.61 2.65 2.59

100 4.64 4.47 4.47 4.51 4.46 4.51 4.54 4.52 4.47

150 6.52 6.35 6.34 6.37 6.33 6.42 6.47 6.38 6.33

200 8.41 8.25 8.21 8.23 8.19 8.29 8.41 8.25 8.21

250 10.29 10.12 10.07 10.11 10.06 10.16 10.33 10.12 10.08

300 12.16 11.99 11.94 11.97 11.92 12.05 12.26 11.98 11.95

350 14.04 13.85 13.81 13.83 13.79 13.93 14.19 13.84 13.84

400 15.91 15.72 15.66 15.71 15.65 15.8 16.12 15.719 15.77

450 17.61 17.61 17.62 17.62 17.62 17.63 18.63 17.65 17.65



La figura 3.8 muestra el comportamiento para el segundo algoritmo. Como se observa el

mejor tiempo fue de 6.06 segundos para un valor de lambda1: 45, lambda2: 5 y 50 iteraciones.

El peor tiempo fue de 50.01 segundos para un valor de lambda1: 85, lambda2: 45 y 450

iteraciones. La tabla 3.7 muestra todos los resultados del tiempo para diferentes parámetros.



Iteraciones lmbda1=45 lmbda2=5

lmbda1=50 lmbda2=10

lmbda1=55 lmbda2=15

lmbda1=60 lmbda2=20

lmbda1=65 lmbda2=25

lmbda1=70 lmbda2=30

lmbda1=75 lmbda2=35

lmbda1=80 lmbda2=40

lmbda1=85 lmbda2=45

50 6.06 6.07 6.07 6.09 6.12 6.17 6.19 6.23 6.25

100 11.43 11.45 11.42 11.47 11.45 11.55 11.48 11.63 11.42

150 16.81 16.81 16.76 16.83 16.81 16.91 16.83 16.98 16.79

200 22.17 22.19 22.11 22.23 22.17 22.29 22.19 22.37 22.15

250 27.53 27.61 27.46 27.59 27.57 27.65 27.57 27.91 27.53

300 32.88 32.96 32.81 32.95 32.93 33.05 32.95 33.24 32.89

350 38.24 38.32 38.16 38.31 38.28 38.46 38.33 38.61 38.25

400 43.61 43.67 43.51 43.68 43.64 43.83 43.68 43.93 43.62

450 49.36 49.05 48.85 49.03 49.01 49.21 49.02 49.29 50.01

0 10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Algoritmo 2

lmbda1=85lmbda2=45

lmbda1=80lmbda2=40

lmbda1=75lmbda2=35

lmbda1=70lmbda2=30

lmbda1=65lmbda2=25

lmbda1=60lmbda2=20

lmbda1=55lmbda2=15

lmbda1=50lmbda2=10

lmbda1=45lmbda2=5

y(Iteraciones)

x(t seg)



La figura 3.9 muestra el comportamiento para el tercer algoritmo. Como se observa el mejor

tiempo fue de 6.62 segundos para un valor de lambda: 5 y 50 iteraciones. El peor tiempo fue

de 50.03 segundos para un valor de lambda: 45 y 450 iteraciones. La tabla 3.8 muestra todos

los resultados del tiempo para diferentes parámetros.



Iteraciones lambda=5 lambda=10 lambda=15 lambda=20 lambda=25 lambda=30 lambda=35 lambda=40 lambda=45

50 6.62 6.65 10.29 6.79 7.14 6.89 6.75 6.68 6.69

100 11.91 11.86 17.76 12.26 12.23 11.99 11.93 11.98 11.92

150 17.53 16.85 25.68 17.49 18.17 17.58 17.69 17.39 17.35

200 22.32 22.45 32.81 22.67 22.63 22.51 22.76 22.53 22.82

250 27.52 26.92 37.14 28.41 28.32 27.78 27.89 28.15 28.21

300 32.55 32.13 34.32 33.31 33.35 33.58 34.05 33.28 33.31

350 37.87 36.93 38.62 38.81 39.79 39.22 39.15 39.17 38.64

400 43.26 42.61 43.69 44.32 45.78 44.12 44.55 43.67 43.88

450 49.38 48.42 49.07 50.65 50.24 49.41 49.63 49.93 50.03

0 10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Algoritmo 3

lambda=45 lambda=40 lambda=35 lambda=30 lambda=25

lambda=20 lambda=15 lambda=10 lambda=5

y(Iteraciones)

x(t seg)



Como se pudo observar en las gráficas anteriores al aumentar en número de iteraciones

también aumenta el tiempo que se demora en procesar una imagen. Por lo que se exhorta a

mantener la menor cantidad posible de iteraciones para obtener más rápidos los valores

deseados. Además, como se pudo ver en cuanto a rapidez el primer algoritmo es el mejor

pues los valores oscilan de 2 a 18 segundos, mientras que los peores algoritmos son el

segundo y el tercero pues demoran de 6 a 50 segundos.


En este capítulo se expusieron los resultados obtenidos al aplicarle los algoritmos de

variación total a diferentes imágenes de tomografía computarizada. Se concluyó que el

algoritmo más malo es el segundo pues provoca mucha borrosidad en las imágenes afectando

su calidad. También presenta un mayor número de parámetros y puede tardar en ejecutarse

hasta 50.01 segundos con los parámetros número de iteraciones: 450, lambda1: 85, lambda2:

45 y tau: 0.009. Mientras que el mejor es el primero pues presenta un menor tiempo de

ejecución y la región que mejor calidad de imagen presentó fue el pulmón. Los mejores

resultados para este algoritmo se obtuvieron para los parámetros número de iteraciones: 50,

lambda: 5 y tau: 1, y el tiempo transcurrido fue de 2.56 segundos. Cómo máximo puede

demorar 17.65 segundos para los parámetros número de iteraciones: 450, lambda: 45 y tau:

1. El tercero también es bueno para la zona de la cadera y los mejores resultados se obtuvieron

para número de iteraciones: 50 y lambda: 5, a pesar de contar con menos parámetros puede

llegar a tardar 50.03 segundos con los parámetros número de iteraciones: 450, lambda: 45 y

tau: 1.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 45

CONCLUSIONES

Con el desarrollo de este trabajo se abordaron aspectos relacionados con los algoritmos de

variación total, la tomografía computarizada y la reducción del ruido. Además, se

implementaron varios algoritmos y se evaluaron las imágenes procesadas con elementos de

simulación como el MATLAB. Con la realización del trabajo se ha podido llegar a las

siguientes conclusiones:

1. Los algoritmos de variación total son métodos que se utilizan para restablecer

imágenes que han sido contaminadas con algún tipo de ruido, y al ser procesadas

mediante este método se muestran mejorías en las imágenes resultantes.

2. Los algoritmos de variación total son notaciones matemáticas representadas en la

ecuación 𝑔 = 𝐴𝑢 + 𝑛 que es la señal perfecta inicial donde A es alguna

transformación, 𝑢 ∈ ℝ𝑁𝑥𝑁 y n es el ruido introducido.

3. Al implementar un algoritmo de variación total teniendo en cuenta los tres parámetros

fundamentales que son el número de iteraciones, lambda y tau, se logra mejorar la

calidad de la imagen y reducir el tiempo de procesamiento lo mejor posible.

4. La evaluación del primer algoritmo es muy buena, pues las imágenes procesadas

tienen buena calidad en la región del pulmón y lo hace en un tiempo mínimo de 2.56

segundos; la del segundo es mala, pues las imágenes presentan borrosidad con una

calidad marcadamente reducida y el tiempo mínimo es de 6.06 segundos y la del

tercero es buena, al presentar buena calidad de las imágenes en la región de la cadera

aunque en un tiempo de demora de 6.62 segundos como mínimo.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 46

RECOMENDACIONES

Se considera que las siguientes recomendaciones pueden ser de utilidad para enriquecer el

estudio realizado y los resultados obtenidos:

1. Seguir investigando acerca de otros métodos para la eliminación del ruido en


2. Profundizar en el estudio de los algoritmos de variación total con el fin de

implementar nuevos algoritmos que permitan optimizar su desempeño en el

procesamiento digital de imágenes.

ANEXOS 47

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] E. Bosch O, «Sir Godfrey Newbold Hounsfield y la tomografía computada, su

contribución a la medicina moderna», Rev. Chil. Radiol., vol. 10, n.o 4, pp. 183-185,

2004.

[2] J. A. P. Benito, «Caracterización de cavidades en el subsuelo mediante la interpretación

de perfiles de tomografía eléctrica: aplicación al yacimiento arqueológico de Clunia»,

http://purl.org/dc/dcmitype/Text, Universidad de Burgos, 2003.

[3] Ó. C. Piedrafita, «Contribución a la obtención de imágenes paramétricas en tomografía

de impedancia eléctrica para la caracterización de tejidos biológicos»,

http://purl.org/dc/dcmitype/Text, Universitat Politècnica de Catalunya, 2007.

[4] E. Aracil Ávila, U. Maruri Brouard, J. Vallés Iriso, P. Martínez Pagán, P. Benito, y J.

Angel, «Evaluación de problemas medioambientales mediante tomografía eléctrica»,

2003.

[5] Y. A. Bonet, F. M. González, M. Á. N. Aranda, T. S. Horneros, y L. V. Gálvez,

«Prospección geofísica marina al servicio de la Arqueología», en Arqueología

subacuática española: Actas del I Congreso de Arqueología Naútica y Subacuática

Española, Cartagena, 14, 15 y 16 de marzo de 2013, Vol. 2, 2014, ISBN 978-84-9828-

487-4, págs. 263-266, pp. 263-266.

[6] «Tomografía, 2010 - EcuRed». Disponible en:

https://www.ecured.cu/Tomograf%C3%ADa.

[7] R. A. Brooks y G. Di Chiro, «Theory of Image Reconstruction in Computed

Tomography», Radiology, vol. 117, n.o 3, pp. 561-572, dic. 1975.

[8] C. Tinoco Yurivilca, «Implementación de un algoritmo basado en el dominio de las

frecuencias y procesamiento en paralelo para la generación de una imagen médica en

super resolución», Univ. Nac. Ing., 2014.

[9] L. A. Flores, «Algoritmos paralelos de reconstrucción de Imágenes TAC», abr. 2014.

[10] M. Mora y M. T. Cibeles, «Métodos de reconstrucción volumétrica algebraica de

imágenes tomográficas. Aplicación a un TAC de pequeños animales y a un simulador-

TAC.», Riunet, ago. 2008.

[11] «Image Reconstruction Techniques - Image Wisely - Image Wisely». [En línea].

Disponible en: https://www.imagewisely.org/imaging-modalities/computed-

tomography/medical-physicists/articles/image-reconstruction-techniques. [Accedido:

21-mar-2018].

[12] H. Terán y M. Kateryn, «Optimización binivel del parámetro de regularización con

dependencia espacial del modelo de variación total generalizada para el filtrado de ruido

en imágenes», jun. 2017.

ANEXOS 48

[13] L. I. Rudin, S. Osher, y E. Fatemi, «Nonlinear total variation based noise removal

algorithms», Phys. Nonlinear Phenom., vol. 60, n.o 1, pp. 259-268, nov. 1992.

[14] «Manual Básico de MATLAB», Scribd. Disponible en:

https://es.scribd.com/doc/90457953/Manual-Basico-de-MATLAB.

[15] S. Ha y K. Mueller, «Low dose CT image restoration using a database of image

patches», Phys. Med. Biol., vol. 60, n.o 2, p. 869, 2015.

[16] I. A. Elbakri y J. A. Fessler, «Statistical image reconstruction for polyenergetic X-ray

computed tomography», IEEE Trans. Med. Imaging, vol. 21, n.o 2, pp. 89-99, feb. 2002.

[17] E. J. Candes, J. Romberg, y T. Tao, «Robust uncertainty principles: exact signal

reconstruction from highly incomplete frequency information», IEEE Trans. Inf.

Theory, vol. 52, n.o 2, pp. 489-509, feb. 2006.

[18] «Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements - Candès - 2006

- Communications on Pure and Applied Mathematics - Wiley Online Library».

Disponible en: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/cpa.20124.

[19] Sidky Emil Y., Duchin Yuval, Pan Xiaochuan, y Ullberg Christer, «A constrained, total‐variation minimization algorithm for low‐intensity x‐ray CT», Med. Phys., vol. 38, n.o

S1, pp. S117-S125, jul. 2011.

[20] J. Tang, B. E. Nett, y G.-H. Chen, «Performance comparison between total variation

(TV)-based compressed sensing and statistical iterative reconstruction algorithms»,

Phys. Med. Biol., vol. 54, n.o 19, p. 5781, 2009.

[21] M. Fornasier, Theoretical Foundations and Numerical Methods for Sparse Recovery.

Walter de Gruyter, 2010.

[22] «Medical Imaging Signals and Systems, 2nd Edition». Disponible en:

https://www.pearson.com/us/higher-education/program/Prince-Medical-Imaging-

Signals-and-Systems-2nd-Edition/PGM60718.html.

[23] P. Suetens, Fundamentals of medical imaging. Cambridge University Press, 2002.

[24] «Physical Principles of Medical Imaging : Perry Sprawls : 9780944838549».

Disponible en: https://www.bookdepository.com/Physical-Principles-Medical-

Imaging-Perry-Sprawls/9780944838549.

[25] «Recent Developments in Total Variation Image Restoration - Semantic Scholar».

Disponible en: /paper/Recent-Developments-in-Total-Variation-Image-Chan-

Esedoglu/1ca878414854dbec619a3d0b684b6972e7d0152b.

[26] E. Y. Sidky y X. Pan, «Image reconstruction in circular cone-beam computed

tomography by constrained, total-variation minimization», Phys. Med. Biol., vol. 53, n.o

17, p. 4777, 2008.

[27] Q. Xu, H. Yu, X. Mou, L. Zhang, J. Hsieh, y G. Wang, «Low-Dose X-ray CT

Reconstruction via Dictionary Learning», IEEE Trans. Med. Imaging, vol. 31, n.o 9, pp.

1682-1697, sep. 2012.

[28] Z. Chen, X. Jin, L. Li, y G. Wang, «A limited-angle CT reconstruction method based

on anisotropic TV minimization», Phys. Med. Biol., vol. 58, n.o 7, p. 2119, 2013.

ANEXOS 49

[29] Y. Zhang, W. Zhang, Y. Lei, y J. Zhou, «Few-view image reconstruction with

fractional-order total variation», JOSA A, vol. 31, n.o 5, pp. 981-995, may 2014.

[30] Y. Zhang, Y. Wang, W. Zhang, F. Lin, Y. Pu, y J. Zhou, «Statistical iterative

reconstruction using adaptive fractional order regularization», Biomed. Opt. Express,

vol. 7, n.o 3, pp. 1015-1029, mar. 2016.

[31] H. Chen et al., «Low-dose CT via convolutional neural network», Biomed. Opt.

Express, vol. 8, n.o 2, pp. 679-694, feb. 2017.

[32] L. Condat, «A Primal–Dual Splitting Method for Convex Optimization Involving

Lipschitzian, Proximable and Linear Composite Terms», J. Optim. Theory Appl., vol.

158, n.o 2, pp. 460-479, ago. 2013.

[33] K. Bredies, K. Kunisch, y T. Pock, «Total Generalized Variation», SIAM J. Imaging

Sci., vol. 3, n.o 3, pp. 492-526, ene. 2010.

[34] H. H. Bauschke y P. L. Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in

Hilbert Spaces. Springer, 2011.

[35] L. Condat, «A Generic Proximal Algorithm for Convex Optimization

#x2014;Application to Total Variation Minimization», IEEE Signal Process. Lett., vol.

21, n.o 8, pp. 985-989, ago. 2014.

[36] C. Chaux, P. L. Combettes, J.-C. Pesquet, y V. R. Wajs, «A variational formulation for

frame-based inverse problems», Inverse Probl., vol. 23, n.o 4, p. 1495, 2007.

[37] P. L. Combettes y J.-C. Pesquet, «Proximal Splitting Methods in Signal Processing»,

en Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering, Springer,

New York, NY, 2011, pp. 185-212.

[38] K. Somsai, A. Oonsivilai, A. Srikaew, y T. Kulworawanichpong, Optimal PI controller

design and simulation of a static var compensator using MATLAB’s SIMULINK.

WSEAS Sep 15-17. 2007.

[39] S. J. Chapman, MATLAB Programming for Engineers. Cengage Learning, 2015.

[40] H. Moore, MATLAB for Engineers (5th Edition), 5th ed. Pearson, 2017.

[41] S. J. Chapman, MATLAB Programming for Engineers (2Nd Edition), 2nd ed. Pacific

Grove, CA, USA: Brooks/Cole Publishing Co., 2001.

[42] R. Guggenberger et al., «Metallic artefact reduction with monoenergetic dual-energy

CT: systematic ex vivo evaluation of posterior spinal fusion implants from various

vendors and different spine levels», Eur. Radiol., vol. 22, n.o 11, pp. 2357-2364, nov.

2012.

[43] P. Bannas et al., «Prior Image Constrained Compressed Sensing Metal Artifact

Reduction (PICCS-MAR): 2D and 3D Image Quality Improvement with Hip Prostheses

at CT Colonography», Eur. Radiol., vol. 26, n.o 7, pp. 2039-2046, jul. 2016.

[44] W. Xue, L. Zhang, X. Mou, y A. C. Bovik, «Gradient Magnitude Similarity Deviation:

A Highly Efficient Perceptual Image Quality Index», IEEE Trans. Image Process., vol.

23, n.o 2, pp. 684-695, feb. 2014.

ANEXOS 50

[45] Z. Wang y Q. Li, «Information Content Weighting for Perceptual Image Quality

Assessment», IEEE Trans. Image Process., vol. 20, n.o 5, pp. 1185-1198, may 2011.

[46] J. Mannos y D. Sakrison, «The effects of a visual fidelity criterion of the encoding of

images», IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 20, n.o 4, pp. 525-536, jul. 1974.

[47] K. Gu, M. Liu, G. Zhai, X. Yang, y W. Zhang, «Quality Assessment Considering

Viewing Distance and Image Resolution», IEEE Trans. Broadcast., vol. 61, n.o 3, pp.

520-531, sep. 2015.

ruido en imágenes de tomografía computarizada

Documents

Transcript of ruido en imágenes de tomografía computarizada