Rlg Book Topicos Deio Usil

8/12/2019 Rlg Book Topicos Deio Usil

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Tpicos De IO Dr. (c). Ricardo Lpez GuevaraUSIL

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Introduccin

La Investigacin de Operaciones ha participado durante y despus de la Segunda GuerraMundial en la Toma de Decisiones del gobierno y empresas muy activamente. Despus de

la Segunda Guerra Mundial, los Gerentes han sufrido los cambios sobre todo en lorelacionado a tecnologa y mtodos o procesos de trabajo, haciendo ms compleja la tomade decisiones, solo basta ver todo lo que implica trabajar a travs del Internet.

Como consecuencia de ello, la Investigacin de Operaciones ha evolucionado de tal maneraque ha permitido a los gerentes valerse de nuevas herramientas para la toma de decisiones.La mayora de los enfoques formales en la toma de decisiones en la industria eran aplicadosa casos muy especiales, a problemas operacionales repetitivos orientados al control de la

produccin y asignacin de recursos.

Con la evolucin de la tecnologa computacional digital, muchas empresas privadasdesarrolladoras de software han visto realizar sus sueos al crear o plasmar su software dedesarrollo de Problemas de Investigacin de Operaciones. Hoy en da existe una enormecantidad de software que permite que se planteen problemas que antes eran imposibles deejecutarse en equipos considerados grandes y hasta cientficos. Las PC denominadasPentium 3 y 4 con procesadores muy potentes permiten ahora correr software quesolucionan problemas de Investigacin de Operaciones.

El mismo desarrollo computacional, ha permitido que las grandes empresas de softwarepresenten soluciones para el manejo integral de las operaciones de las empresas, de all queexisten los ERP, tales como SAP, JD Edwards, People Soft, etc. Estas herramientas se hanorientado a solucionar la complejidad de los mtodos de trabajo y especialmente colaborana la Toma de Decisiones; pero ello no se ha estacionado all, estas empresas siguentrabajando para facilitar la Toma de Decisiones y a sus software les estn agregandocomponentes de optimizacin utilizando las herramientas de la Investigacin deOperaciones, convirtiendo los ya conocidos y aceptados ERP en ERO por el agregado deoptimizacin.Una de las definiciones ms simples de la Investigacin de Operaciones lo hace como elmtodo cientfico aplicado a la solucin de problemas y a la toma de decisiones por lagerencia.En resumen, la Investigacin de Operaciones se ocupa de la Toma de Decisiones ptima ydel modelado de sistemas determinsticos y probabilsticos que se originan en la vida real.Estas aplicaciones, que ocurren en el gobierno, en los negocios, en las industrias, en laingeniera, en la economa, y en las ciencias naturales y sociales, se caracterizan, en gran

parte por la necesidad de asignar recursos escasos.La Investigacin de Operaciones adopta el mtodo cientfico como estructura para lasolucin de los problemas, dando mayor nfasis al juicio objetivo que al juicio subjetivo.

En su sentido ms amplio la Investigacin de Operaciones, puede ser caracterizada como laaplicacin de mtodos cientficos, tcnicas cientficas e instrumentos cientficos a

problemas que involucran operaciones de sistemas, de modo que provean a los tomadores


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de decisiones(Ejecutivos) responsables de las operaciones, soluciones ptimas para losproblemas.

El enfoque de la Investigacin de Operaciones, incorpora el enfoque sistemtico alreconocer que las variables internas en los problemas de decisiones son interdependientes e

interrelacionadas.Entonces, podramos concluir que la Investigacin de Operaciones es la aplicacin de

mtodos, tcnicas e instrumentos cientficos a los problemas que envuelven las operacionesde un sistema, de modo que proporcione, a los que controlan el sistema, soluciones ptimas

para el problema observado1.

Definicin Toma de Decisiones.- Es un proceso de elegir entre diferentes cursosalternativos de accin para obtener metas y objetivos.

Metodologa Cientfica.- Como es obvio, el enfoque principal de un estudio deInvestigacin de Operaciones es en la Toma de Decisiones. Es decir el resultado que derivedel anlisis, debe tener consecuencias directas y no ambiguas para el tomador dedecisiones.

El mtodo cientfico aplicado a la toma de decisiones en un proceso de IO, se inicia con laobservacin cuidadosa y la formulacin del problema; para luego construir un modelocientfico que trate de abstraer la esencia del problema real. De este modelo se obtendrnlas conclusiones y soluciones que tambin son vlidas para el problema real; por lo que enforma iterativa el modelo se llega a verificar con la experimentacin adecuada.

Posteriormente se trata de encontrar una solucin, la mejor o la ptima, y para ello se defineuna medida de efectividad que considere las metas. Esta medida servir para comparar loscursos de accin alternos.

Los pasos a seguir normalmente son:

1. Construccin de un modelo que extrae los elementos del problema de decisin delmundo real.

2. Realizar el examen y anlisis de las relaciones que determinan las consecuencias dela decisin.

3. Y por ltimo desarrollar una tcnica de solucin que produzca un valor ptimobasado en los objetivos del tomador de decisiones.

Elementos de un proceso de decisin.-Los elementos de una decisin constan de:

1. Un tomador de decisiones ( que puede ser un individuo, grupo, organizacin o lasociedad misma)

2.

Un conjunto posible de cursos de accin que pueden tomarse para resolver elproblema de decisiones.

3. Un conjunto posible de estados que pueden ocurrir.


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4. Un conjunto de consecuencias asociadas a cada curso de accin y estado posible quepueda ocurrir.

5.

La relacin entre las consecuencias y los valores del tomador de decisiones.

Cabe destacar que en una situacin real de toma de decisiones, la definicin y generacinde alternativas, estados y consecuencias; son los aspectos ms difciles en un problema dedecisiones.

El Proceso de la Investigacin de Operaciones

Segn Moskowitz, define 5 pasos principales:1. Formulacin y definicin del problema2. Construccin del modelo3.

Solucin del modelo4. Validacin del modelo5.

Implementacin de resultados

En la Fase 1 de Formulacin y Definicin del problema, se requiere (1) una descripcinprecisa de las metas u objetivos del estudio, (2) identificar las variables de decisincontrolables y no controlables del sistema de decisin y (3) reconocer las limitaciones orestricciones en las variables del sistema.

En la Fase 2 de Construccin del Modelo, se detalla el proceso. Primero, el investigadorde operaciones debe decidir el modelo ms adecuado para representar el sistema. Estemodelo debe especificar las relaciones cuantitativas para el objetivo y las restricciones del

problema en trminos de las variables de decisin. Debe proporcionar estimados de losparmetros, obtenidos bien sea a partir de datos histricos o subjetivos o formalmenteestimados por medio de algn mecanismos estadstico. Se debe escoger un horizonte detiempo. Tambin se debe determinar s el sistema es determinstico o probabilstica. Elmodelo puede ser matemtico, de simulacin o heurstico, dependiendo de la complejidad y

posibilidad de solucin de las relaciones matemticas.

En la Fase 3 de la Solucin del Modelo, el modelador debe, junto a los parmetrosespecificados por datos histricos, tecnolgicos o prcticos, calcular o derivar una solucinmatemtica. S el modelo se acomoda a uno de los modelos matemticamente bienconocidos como el de programacin lineal, se puede obtener una solucin ptima utilizandoestas tcnicas. Si por lo contrario, las relaciones matemticas del modelo son muycomplejas para permitir una solucin analtica, entonces el mtodo de simulacin puede serlo ms apropiado. S se utilizan modelos heursticos o metaheurstcos o de simulacin, la

bsqueda de la optimalidad debe reemplazarse por la bsqueda de buenas soluciones.En la solucin del modelo, se deben realizar anlisis de sensibilidad, para determinar elcomportamiento del sistema ante cambios en las especificaciones y parmetros del sistema.Es una prctica importante, toda vez que los datos de entrada (parmetros) nonecesariamente son precisos o estables y las suposiciones estructurales del modelo puedeque no sean vlidas.


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En la Fase 4 de Validacin del Modelo, requiere que se determine s tal modelo puedepredecir confiablemente el comportamiento del sistema. Tambin comprende la prueba delas suposiciones estructurales del modelo (variables, relaciones funcionales, etc.) para

determinar su validez. Una prctica importante es comparar el desempeo del modeloactual con datos de entrada histricos. El modelo ser vlido, si bajo condiciones similaresde entrada, puede reproducir razonablemente el comportamiento pasado del sistema. Esimportante resaltar, que no hay garanta de que el comportamiento futuro del sistemacontine duplicando la historia pasada.

En la Fase 5 de la Implementacin debe empezar realmente al iniciar el estudio deInvestigacin de Operaciones. Es importante que quienes participen en la toma dedecisiones como resultado del estudio analicen el problema. De esta forma el proyecto tomavalidez real y no sea considerado un mero ejercicio acadmico.

Los principales campos de aplicacin de la Investigacin de Operaciones son entre otros3:

a)

Relativa a Personas1.

Organizacin y Gerencia2.

Ausentismo y relaciones de trabajo3. Economa4. Decisiones individuales5.

Investigaciones de mercadob) Relativa a personas y mquinas

1. Eficiencia y productividad2. Organizacin de flujos en fbricas3.

Mtodos de control de calidad, inspeccin y muestreo4.

Prevencin de accidentes5. Organizacin de cambios tecnolgicos

c) Relativa a movimientos1.

Transporte2. Almacenamiento, distribucin y manipulacin3. Comunicaciones


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MODELOS DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES

PROGRAMACIN

NO LINEAL

MTODOS

DE BSQUEDA

MTODOS

CLSICOS

OPTIMIZACION

NO LINEAL

REDES

PROGRAMACIN

ENTERA

Y BINARIA

TRANSPORTE

Y ASIGNACIN

PROGRAMACIN

LINEAL

OPTIMIZACION

LINEAL

DETERMINISTICOS

HEURSTICAS

METAHEURSTICAS

PERT CPM

SIMULACIN

INVENTARIOS

PROGRAMACIN

DINMICA

HIBRIDOS

TEORA

DE DECISIONES

Y JUEGOS

PROCESOS

ESTOCSTICOS

COLAS

PROGRAMACIN

ESTOCSTICA

ESTOCASTICOS

MODELOS DE

INVESTIGACION DE OPERACIONES

Programacin Lineal

El objeto de la programacin lineal es optimizar (minimizar o maximizar) una funcin

lineal de n variables sujeto a restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Msformalmente, se dice que un problema de programacin lineal consiste en encontrar elptimo (mximo o mnimo) de una funcin lineal en un conjunto que puede expresarsecomo la interseccin de un nmero finito de hiperplanos y semiespacios en Rn.

Antes de pasar a los planteamientos de problemas ejemplo, es necesario desarrollar unaestructura general para los modelos de PL. Algunas caractersticas generales de los modelosde PL son: Una sola funcin objetivo, maximizacin(minimizacin) de una funcinobjetivo sujeta a disponibilidad de recursos, proporcionalidad de la funcin objetivo y delas restricciones con respecto al nivel de produccin de cada artculo, etc. Remarcaremosestos aspectos, ms tarde.

Si se expresan estas condiciones en forma ligeramente modificada y se consideran ms deacuerdo con el orden en el cual se relacionan con el planteamiento del modelo, entonces es

posible enunciar que n problema puede resolverse a travs de la PL si satisface lossiguientes requerimientos.

1.

Puede plantearse una funcin objetivo para el problema en trminos de variablesde decisin, es decir, como x1, x2, x3, ......... xn


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2.

Las variables del problema deben estar interrelacionadas para generar elresultado total, es decir, puede dejarse de fabricar un producto (variable) parafabricar o utilizar una mayor cantidad de otro producto(variable).

3.

Las restricciones relacionadas con la disponibilidad o uso de los recursos, la

satisfaccin de los requerimientos o surtimiento de la demanda deben ser deforma lineal.

4.

Los valores de las variables en la solucin pueden ser fraccionarios, pero debenser mayores o iguales a cero.

Expresado en forma matemtica general, el modelo de PL es de la siguiente forma:

Maximizar(minimizar) Z = c1x1+ c2x2+ c3x3+ ............+ cnxn

Sujeto a:a11x1 + a12x2+ ......................+ a1nxn [ , , = ] b1

a21x1 + a22x2+ ......................+ a2nxn [ , , = ] b2

a31x1 + a32x2+ ......................+ a3nxn [ , , = ] b3... ... ... .. .... ... ... .. .... ... ... .. .... ... ... .. .am1x1 + am2x2+ ......................+ amnxn [ , , = ] bm

x1, x2,.. xn 0

en donde x1, x2......................xn representan las variables de decisin

a11, a12 ,......................a1n representan los coeficientes de la tasa fsica de sustitucin a21, a22 ,......................a2n (uso); por ejemplo, podran describir la tasa de uso de laa31, a32 ,......................a3n materia prima i (en donde i vara de 1 a m) en la produccin. . . . de la variable j ( en donde j vara de 1 a n). . . .. . . .. . . .am1, am2 ,......................amn

c1, c2 ,......................cn representan los coeficientes de contribucin.b1,b2 ,......................bm representan los recursos disponibles de materias primas.


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Planteamiento de Problemas

La habilidad para transformar un problema del mundo real en un modelo de PLdebidamente planteado es un arte. Al plantear los problemas, se han encontrado que lossiguientes procedimientos son muy tiles:

1.

Debe concentrarse en identificar la funcin objetivo general. Cul es el objetivofinal del problema, maximizar utilidades, minimizar costos, minimizar las materias

primas que se requieren, maximizar el uso de la fuerza de trabajo, etc.

2. Debe plantearse el objetivo en forma verbal, incluyendo en la expresin la forma enque el objetivo se relaciona con los diversos factores (variables de decisin) sobrelas cuales tiene control quien toma las decisiones.

3. Se debe identificar y plantear en forma verbal cada restriccin.

4.

Otros consideran en primer lugar reunir todos los datos del problema.

Luego de haber descrito el problema en forma verbal, el siguiente paso es transformarlas descripciones verbales en una estructura matemtica apropiada. Un procedimientofuncional que puede utilizarse en esta etapa del proceso de planteamiento de problemases:

1.

Identificar y definir las variables de decisin (las xj) asociadas con el problema,incluyendo en la definicin las unidades de medicin asociadas con cada una de lasvariables.

2. Identificar los coeficientes de contribucin (los cj) asociados con cada variable,

incluyendo en la definicin la unidad de medicin asociada.}3. Plantear la funcin objetivo y verificar que existe consistencia en las unidades de

medicin.4.

Identificar la tasa fsica de los coeficientes de sustitucin (los a ij), incluyendo en ladefinicin las unidades de medicin relacionadas con el coeficiente respectivo.

5. Identificar los recursos o requerimientos disponibles, es decir los coeficientes delsegundo termino (los bi), que son los valores que aparecen en lado derecho del signode igualdad en las ecuaciones de restriccin, incluyendo en la definicin lasunidades de medicin asociadas con los recursos.

6. Plantear las restricciones relacionadas con cada uno de los respectivos recursos orequerimientos y verificar que haya consistencia en las unidades de medicin para

cada restriccin.7. Definir las condiciones de No Negatividad asociadas con las variables de decisin.

Variables Continuas y Variables Discretas

Los valores de las variables en la solucin pueden ser fraccionarios o continuos. Nosiempre es prctico en la vida real. Puede evitarse este problema en la programacinlineal redondeando los valores continuos para que sean discretos; sin embargo, esto no


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siempre da como resultado una solucin factible. Existen algoritmos que proporcionanvalores discretos ptimos en las soluciones, pero se deja para despus su anlisis.

Problema de Mezcla de Productos

Una empresa produce 2 tipos de Televisores, el LED y el PLASMA. Hay 2 lneas de produccin,uno para cada tipo de televisor, y 2 departamentos que intervienen ambos en la produccin de cadaaparato.La capacidad de la lnea de produccin LED es de 70 televisores diarios y la lnea de PLASMA esde 50 televisores por da.

En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento los televisores LEDrequieren 1 hora de trabajo y los de PLASMA 2. Actualmente, en el departamento A se puedeasignar un mximo de 120 horas de trabajo por da a la produccin de ambos tipos de televisor. Enel departamento B se construye el chasis. En este departamento, los televisores LED requieren 1hora de trabajo, igual que los PLASMA. En la actualidad se puede asignar un mximo de 90 horasde trabajo diarias al departamento de B para la produccin de ambos tipos de televisores. Lautilidad por cada tipo de televisor es de US$ 20 y US$ 10 respectivamente, para cada LED yPLASMA. Ver cuadro.

S la empresa puede vender todos los televisores que se produzcan, Cul debe ser el plan deproduccin diaria de cada tipo de televisor? Plantear este problema como un programa lineal.

DATOS

Utilizacin de TrabajoPor tipo de TV(hrs)

Disponibilidad diaria Dpto A Dpto B Utilidad

LED 70 1 1 $20

PLASMA 50 2 1 $10

Disponibilidad Total 120 90

Solucin

X1 = Produccin diaria de TV Led (aparatos por da)X2 = Produccin diaria de TV Plasma (aparatos por da)

Mximizar 20 X1+ 10 X2

Sujeto a :X1 70

X2 50X1 + 2 X2 120X1 + X2 90X1, X2 0


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Problema de Mezclas

Una bolsa de 16 onzas de alimentos para perros debe contener protenas, carbohidratos y grasas enlas siguientes cantidades mnimas: protenas, 3 onzas; carbohidratos, 5 onzas; grasas, 4 onzas. Sevan a mezclar cuatro tipos de alimento en diversas proporciones para producir una bolsa de

alimento para perro que satisfaga los requerimientos.

Los contenidos y precios de 16 onzas de cada alimento se pueden ver el cuadro siguiente.

DATOS

Alimento Contenido Contenido de ContenidoProtenas (oz) Carbohidratos (oz) Grasas(oz) Precio

1 3 7 5 $4

2 5 4 6 $63 2 2 6 $34 3 8 2 $2

Formule este problema como un programa lineal.Sugerencia: Designe con Xi la proporcin del alimento i que habr en una bolsa de 16onzas de alimento para perro, i = 1,2,3,4.

Solucin

Minimizar 4X1+ 6X2+ 3X3+ 2X4Sujeto a:

3 X1+ 5 X2+ 2 X3+ 3 X4 37 X1+ 4 X2+ 2 X3+ 8 X4 55 X1+ 6 X2+ 6 X3+ 2 X4 4X1 + X2 + X3 + X4 = 1

X1, X2,X3, X4 0

5.

La Pro-Shaft Company fabrica y vende tres lneas de raquetas de tenis: A, B y C: Aes una raqueta estndar, B y C son raquetas profesionales. El proceso de

manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones de produccin;todas las raquetas pasan a travs de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3horas de tiempo de produccin en la operacin 1. En la operacin 2 la raqueta Arequiere 2 horas de tiempo de produccin; la raqueta B requiere 4 horas y la C, 5.La operacin 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de produccin y la operacin 2tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de


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mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la raqueta estndarno ser de ms de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidadsimilar, se ha pronosticado que la demanda combinada para stas ser, en total, dediez o ms, pero no ms de 30 por semana. La venta de la raqueta A da comoresultado $7 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades

de $8.00 y $8.50, respectivamente, Cuntas raquetas del tipo A, B y C debenfabricarse por semana, si la compaa busca maximizar sus utilidades? Plantee elproblema como un problema estndar de PL.

SOLUCION

Objetivo (verbal)El objetivo es determinar cuntas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse porsemana, si la compaa busca maximizar sus utilidades.

Restricciones (verbales)1. La operacin 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de produccin2.

La operacin 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana.3.

La demanda de la raqueta estndar no ser de ms de 25 por semana.4. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que

la demanda combinada para stas ser, en total, de diez o mas, pero no mas de30 por semana

Variables (estructuramatemtica)

Se requieren tres variables, puesto que existen tres clases de raquetas.

X1= nmero de raquetas tipo A (estndar) a producir

X2= nmero de raquetas tipo B a producir

X3= nmero de raquetas tipo C a producir.

Funcin objetivo (estructura matemtica)La funcin objetivo debe expresarse en dlares ya que se desea maximizar lasutilidades. Los coeficientes de la misma deben ser el aporte de las utilidades de cadauna de las raquetas.

cA= 7,0 ; cB= 8,0 ; cC = 8,5

De donde la funcin objetivo ser.

MAXIMIZAR Z = 7 xA+ 8 xB+ 8.5 xC


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Restricciones (estructura matemtica)1. Restricciones por tiempo de produccin

La operacin 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de produccin3 xA+ 3 xB+ 3 xC 50

y la operacin 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana.2 xA+ 4 xB+ 5 xC 80

2. Restriccin por el departamento de mercadotecniaEl grupo de mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de laraqueta estndar no ser de mas de 25 por semana.

xA 25Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado quela demanda combinada para stas ser, en total, de diez o mas, pero no mas de30 por semana

xB+ xC 10xB+ xC 30

Planteamiento matemticoMAXIMIZAR Z = 7 xA+ 8 xB+ 8.5 xCSujeta a

3 xA+ 3 xB+ 3 xC 502 xA+ 4 xB+ 5 xC 80

xA 25xB+ xC 10xB+ xC 30

xA, xB, xC 0

Se obtiene que se deben fabricar 0 raquetas del tipo A, 3.33 raquetas del tipo B y13.3 raquetas del tipo C y que la utilidad que se va a obtener es 140 dlares

max 7 xa + 8 xb + 8.5 xcst3 xa + 3 xb + 3 xc < 502 xa + 4 xb + 5 xc < 80

xa < 25xb + xc > 10xb + xc < 30


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Problema.- Empresa de MueblesLa empresa de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos ysecretariales. La empresa tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1,que es una planta antigua, opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2 es una

planta ms nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo, y dado que losadministradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de laplanta 1, se ha encontrado operadores para que trabajen los dos turnos. En estos momentos,cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. No se paga ninguna prima adicionala los trabajadores del segundo turno. La tabla siguiente, muestra el tiempo de produccin(en horas por unidad) y los costos estndar (en US$ por unidad) en cada planta.

La empresa ha competido con xito en el pasado asignado un precio de US$ 350 a losescritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la empresa tendr que reducir el precio delos escritorios secretariales a US$ 275 con el objeto de estar en posicin competitiva. Laempresa ha estado experimentando excesos de costos en las ltimas ocho o diez semanas;

por lo tanto, los administradores han fijado una restriccin presupuestaria semanal sobre loscostos de produccin. El presupuesto semanal para la produccin total de escritoriosejecutivos es de US$ 2,000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales esde US$ 2,200. A los administradores les gustara determinar cul es el nmero de cadaclase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar lasutilidades.

SOLUCIN

Tabla de tiempos (horas) y costos(US$) de la empresa de muebles

Tiempo de produccin Costos Estndar(horas / unidad) (US$/unidad)

Planta1 Planta2 Planta1 Planta2

Escritorios Ejecutivos 7.0 6.0 250 260

Escritorios Secretariales 4.0 5.0 200 180

Objetivo (Verbal)

La empresa necesita determinar el nmero de escritorios ejecutivos y secretariales quedeben fabricarse en la planta 1 y los que deben fabricarse en la planta 2 con el objeto demaximizar las utilidades. La utilidad por unidad en las respectivas plantas es la diferenciaentre el precio de venta y los costos estndar.


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Restricciones (verbales)

1.

No se dispone de ms de 80 horas para la produccin combinada de escritorios en laplanta 1.

2.

No se dispone de ms de 50 horas para la produccin combinada de escritorios en laplanta 2.3.

Los costos asociados con la produccin combinada de escritorios ejecutivos en lasdos plantas, no debe exceder de US$ 2,000.

4. Los costos asociados con la produccin combinada de escritorios secretariales en lasdos plantas, no debe exceder de US$ 2,200.

Variables (Estructura matemtica)

Dado que es necesario determinar la cantidad de cada tipo de escritorio que va a fabricarseen la planta 1 y en la planta 2, se requieren cuatro variables:

X1 : nmero de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1

X2 : nmero de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 1

X3 : nmero de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2

X4 : nmero de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2

Coeficientes de la funcin objetivo (estructura matemtica)

La funcin objetivo se expresar en US$, puesto que el objetivo es maximizar lasutilidades; por lo tanto, los coeficientes Cjse expresarn en US$ por unidad, dado que lasXj estn expresadas en unidades. Los coeficientes Cj se determinan encontrando ladiferencia entre el precio de venta de un determinado tipo de escritorio y los costos estndarimplicados en la fabricacin de ese escritorio en la planta especfica. Por lo tanto:

C1 = 350250 = $100 / escritorio ejecutivo fabricado en la planta 1

C2 = 275200 = $75 / escritorio secretarial fabricado en la planta 1

C3 = 350260 = $90 / escritorio ejecutivo fabricado en la planta 2

C4 = 275180 = $95 / escritorio secretarial fabricado en la planta 2

Funcin Objetivo (Estructura matemtica)

Maximizar Z = 100 X1 + 75 X2 + 90 X3 + 95 X4


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Restricciones (Estructura matemtica)

Es posible identificar y verificar la consistencia de las unidades de medicin de los

coeficientes aijy de los valores del segundo trmino al mismo tiempo que se desarrolla laestructura matemtica de las restricciones. Puesto que las unidades de medicin puedendiferir de una restriccin a otra, se considera cada una de ellas en forma separada.

1. Lmite del tiempo de produccin en la planta 1( 80 horas)(7.0 horas por unidad) x ( X1unidades) + (4.0 horas por unidad) x (X2unidades) 80 horas

2. Lmite del tiempo de produccin en la planta 2 ( 50 horas)(6.0 horas por unidad) x ( X3unidades) + (5.0 horas por unidad) x (X4unidades) 50 horas

3.

Restriccin de costos de los escritorios ejecutivos ( US$ 2,000)(250 US$ por unidad) x ( X1unidades) + (260 US$ por unidad) x (X3unidades) US$ 2,000

4. Restriccin de costos de los escritorios secretariales ( US$ 2,200)(200 US$ por unidad) x ( X2unidades) + (180 US$ por unidad) x (X4unidades) US$ 2,200

Planteamiento Matemtico

Maximizar Z = 100 X1 + 75 X2 + 90 X3 + 95 X4

Sujeto a:7.0 X1 + 4.0 X2 80

6.0 X3 + 5.0 X4 50

250 X1 + 260 X3 2,000

200 X2 + 180 X4 2,200

X1,X2,X3,X4 0

DISTRIBUDORES de COMBUSTIBLESLa Distribuidora comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal.Cada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presin mxima devapor aceptable y el octanaje mnimo. Los requerimientos de manufactura para las

gasolinas y el precio por barril se muestran en la tabla que sigue:

Presin PrecioOctanaje mxima de venta

Gasolina mnimo de vapor (por barril)

Normal 80 9 $ 21

Extra 100 6 $ 24


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Se utilizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas normal y extra. Lascaractersticas de las gasolinas base se muestran en la tabla que sigue:

Presin de Disponibilidad

Gasolina vapor mxima costo porBase Octanaje (barriles) por barril

Tipo 1 108 4 32,000 $ 22Tipo 2 90 10 20,000 $ 20Tipo 3 73 5 38,000 $ 19

La Empresa se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000 barriles degasolina normal por semana. No se tienen compromisos con respecto a la gasolina extra. Ala compaa le gustara determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolinaque maximice las utilidades.

SOLUCINObjetivo (verbal)

A la Empresa le gustara mezclar las dos gasolinas base (tipos 1,2 y 3) para fabricargasolinas extra y normal, de manera que las utilidades totales de las ventas de lascantidades (barriles) que se fabriquen sean mximas.

Restricciones (verbales)

1. La disponibilidad semanal mxima de gasolina base tipo 1 es 32,000 barriles. Eltipo 1 puede utilizarse para fabricar ambos productos finales.

2. La disponibilidad semanal mxima de la gasolina base tipo 2 es 20,000 barriles. Eltipo 2 puede usarse en la fabricacin de ambos productos finales.

3. La disponibilidad semanal mxima de gasolina base tipo 3 es 38,000 barriles. Eltipo 3 puede emplearse en la fabricacin de ambos productos finales.

4. La presin de vapor de la gasolina normal mezclada no debe exceder 9 unidades porbarril. [En este caso, las unidades podran ser libras por pulgada cuadrada, es decir,9 psi (de sus iniciales en ingls); sin embargo, puede utilizarse el trmino unidades.]

5. El octanaje de la gasolina normal mezclada debe ser cuando menos de 80 unidadespor barril.

6. La presin de vapor para la gasolina extra mezclada no debe exceder 6 unidades porbarril.

7. El octanaje de la gasolina extra mezclada debe ser cuando menos de 100 unidadespor barril.

8. Deben fabricarse cuando menos 30,000 barriles de gasolina normal para satisfacerlos pedidos que se han comprometido.


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Variables (estructura matemtica)

Este problema requiere el uso de seis variables, puesto que hay que determinar la cantidadde cada una de las gasolinas base que debe mezclarse para fabricar los dos productos

finales. Puede parecer que el uso de tantas variables es algo desorientador, puesto que elobjetivo del problema es determinar las cantidades de los dos productos finales que debenfabricarse, pero si no se sigue este mtodo, no habra manera de identificar cmo es que sefabricarn los productos finales. Por tanto, sean

X1= nmero de barriles de gasolina base tipo 1 que debe utilizarse para fabricar gasolinanormal

X2= nmero de barriles de gasolina base tipo 2 que debe utilizarse para fabricar gasolinanormalX3= nmero de barriles de gasolina base tipo 3 que debe utilizarse para fabricar gasolinanormalX4= nmero de barriles de gasolina base tipo 1 que debe utilizarse para fabricar gasolinaextraX5= nmero de barriles de gasolina base tipo 2 que 3 debe utilizarse para fabricar gasolinaextraX6= nmero de barriles de gasolina base tipo 3 que debe utilizarse para fabricar gasolinaextra

Las cantidades de gasolina normal y extra que se requieren para maximizar las utilidadespueden determinarse sumando X1, X2, y X3 por una parte, y X4, X5 y X6 por la otra,respectivamente, a la solucin ptima para el problema.

Coeficientes de la funcin objetivo (estructura matemtica)

La funcin objetivo (Z) se expresar en dlares, puesto que el objetivo es maximizarutilidades. Por tanto, los coeficientes cjse expresarn en dlares por barril, puesto que las xjse expresan en barriles. Para determinar la contribucin a las utilidades para las respectivasgasolinas bsicas, simplemente se determina la diferencia entre el precio de venta por barrily el costo por barril:

C1= 21 - 22 = -1 dlar por barril de gasolina base 1 utilizada en la normalC2= 21 - 20 = 1 dlar por barril de gasolina base 2 usada en la normalC3= 21 - 19 = 2 dlares por barril de gasolina base 3 empleada en la normalC4= 24 - 22 = 2 dlares por barril de gasolina base 1 utilizada en la extraC5= 24 - 20 = 4 dlares por barril de gasolina base 2 usada en la extraC6= 24 - 19 = 5 dlares por barril de gasolina base 3 empleada en la extra


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Funcin objetivo (estructura matemtica)

MAXIMIZAR: Z = - l X1 + 1 X2 + 2 X3 + 2.X4 + 4 X5 + 5 X6

Restricciones (estructura matemtica)1. Restriccin de la disponibilidad de gasolina base tipo 1:(X1barriles de gasolina base 1 utilizada en la normal) + (X4barriles de gasolina base 1 utilizada en la extra)32,000 barriles de gasolina base 1

2. Restriccin de la disponibilidad de gasolina base tipo 2:(X2barriles de gasolina base 2 utilizada en la normal) + (X5barriles de gasolina base 2 utilizada en la extra) 20,000 barriles de gasolina base 2

3. Restriccin de la disponibilidad de gasolina base tipo 3:(X3barriles de gasolina base 3 utilizada en la normal) + (X6barriles de gasolina base 3 utilizada en la extra)38,000 barriles de gasolina base 3

4. Presin de vapor para la gasolina normal:

Se estructura esta restriccin reconociendo que la presin de vapor de la gasolina normal sedetermina a travs de la proporcin de gasolina que es atribuible a la base respectiva y elvapor asociado con cada una de las gasolinas base especficas. La proporcin de base en un

barril de gasolina normal se determina dividiendo la cantidad (barriles) de cada gasolinabase que se usa en la gasolina normal entre el nmero total de barriles de sta. Puesto que lasuma X1X2y X3es el total de barriles de gasolina normal, las proporciones se expresan dela siguiente manera:

321

3

321

2

321

1 ,,XXX

X

XXX

X

XXX

X

Si se multiplican las proporciones respectivas por la presin de vapor asociada con cadagasolina base, los resultados sern la presin de vapor que cada base introduce en cada unode los barriles de gasolina normal. Los valores de estas presiones de vapor se expresan de lasiguiente manera:

321

3

321

2

321

1 5

,10

,4

XXX

X

XXX

X

XXX

X

Dado que la presin de vapor para la gasolina regular no debe ser mayor que 9 unidades porbarril, la restriccin es:

95104

321

3

321

2

321

1

XXX

X

XXX

X

XXX

X


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5. Octanaje de la gasolina normal:

Esta restriccin se estructura de la misma manera que la restriccin para la presin devapor, excepto que se utilizan octanajes en vez de presiones de vapor. .

807390108

321

3

321

2

321

1

XXX

X

XXX

X

XXX

X

6. Presin de vapor para la gasolina extra:

65104

654

6

654

5

654

4

XXX

X

XXX

X

XXX

X

7. Octanaje para la gasolina extra:

1007390108

654

6

654

5

654

14

XXX

X

XXX

X

XXX

X

Se puede verificar las unidades de medicin de las restricciones 4, 5, 6 y 7. Es fcil ver quelas restricciones se equilibran si reconocemos que los cocientes X1 / (X1+ X2 + X3) son

proporciones y no tienen unidades de medicin.

8. Pedidos comprometidos:

El nmero total de barriles de gasolina normal que se fabrica es la suma de X1,X2, y X3(esdecir, X1 + X2 + X3). Dado que la Empresa se ha comprometido a vender 30,000 barrilesde gasolina normal, la restriccin es

X1 + X2 + X3 30,000

Antes de poder expresar el modelo en forma general de PL, es necesario transformaralgebraicamente las ecuaciones 4 a 7. La restriccin 4 se expresa

9

5104

321

321

XXX

XXX

Multiplicando ambos trminos de la desigualdad por X1 + X2 + X3, se tiene

4 X1 + 10 X2 + 5X3 9(X1 + X2 + X3)


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Agrupando trminos, la restriccin 4 es

- 5 X1 + X2 - 4X3 0

Ahora, la restriccin queda expresada en forma general de PL. Pueden llevarse a cabooperaciones similares en las restricciones 5, 6 Y 7.

Planteamiento matemtico

MAXIMIZAR: Z = - l X1 + 1 X2 + 2 X3 + 2.X4 + 4 X5 + 5 X6

SUJETO A:

X1 + X4 32,000

X2 + X5 20,000

X3 + X6 38,000

-5 X1 + X2 - 4 X3 0

28 X1 + 10 X2 - 7 X3 0

- 2 X4 + 4 X5 - X6 0

X1 + X2 + X3 30,000X1,X2,X3,X4, X5,X6 0

Los resultados por computadora para la Empresa de deben realizar en Lindo. Utilizandoestos datos, se determina que la poltica ptima consiste en mezclar 0.0 barriles de gasolina

base tipo 1, 19,970.59 barriles de tipo 2 y 28,529.41 barriles de tipo 3, para fabricar48,500.00 barriles de gasolina normal y mezclar 32,000.00 barriles de gasolina base tipo 1,29.42 barriles de tipo 2 y 9,470.59 barriles de tipo 3 para fabricar 41,500.01 barriles degasolina extra. Eso da como resultado utilidades totales de $188,500.03.

PROBLEMA

La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Albany, N.Y., cultiva brcoli y coliflor en500 acres de terreno en el valle. Un acre de brcoli produce $500 de contribucin a lasutilidades y la contribucin de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentosgubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acres de brcoli. Durante la temporadade plantacin, habr disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acrede brcoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre.Plantee un problema de PL para determinar cuntos acres de brcoli y cuntos de coliflordeben plantarse para maximizar la contribucin a las utilidades.


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SOLUCION

Objetivo (verbal)El objetivo es determinar cuntos acres de brcoli y cuntos de coliflor debencultivarse para maximizar la contribucin a las utilidades

Restricciones (verbales)1. Se tiene un terreno de 500 acres .2. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acres de

brcoli3.

Durante la temporada de plantacin, habr disponibles 1200 horas-hombre detiempo de plantadores

Variables (estructuramatemtica)

Se requieren dos variables, puesto que existen dos clases de cultivos.

X1= acres de terreno sembrado de brcoli

X2= acres de terreno sembrado de coliflor


Con base en el planteamiento verbal del problema, se concluye que la funcinobjetivo debe expresarse en dlares, puesto que el objetivo consiste en maximizarlos ingresos esperados; Los coeficientes cj para el problema son los rendimientosesperados por acre sembrado

c1= 500 y c2= 1000Por lo que la funcin objetivo ser

MAXIMIZAR Z = 500 x1 + 1000 x2

Restricciones (estructura matemtica)1. Restriccin del rea de cultivo

Se tiene un terreno de 500 acres para sembrar brcoli y coliflor

x1+ x2 500

2. Restriccin por reglamentos gubernamentalesDebido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acresde brcoli

x1 200

3. Restriccin de la mano de obra


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Se tiene disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores

2.5 x1+ 5.5 x2 1200

Planteamiento matemtico

MAXIMIZAR Z = 500 x1 + 1000 x2sujeto ax1+ x2 500

x1 2002.5 x1+ 5.5 x2 1200

x1, x2 0

PROBLEMALa Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisin que se utilizan en losmotores de automviles de carreras. La pieza se fabrica en un proceso de forjado yrefinacin y son necesarias cantidades mnimas de diversos metales. Cada piezarequiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado. Existen 4 tipos demineral disponible para el proceso de acero forjado y refinacin. El mineral de tipo 1contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra demineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una librade mineral de tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Porultimo, el mineral de tipo 4 contiene onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acerocolado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es $ 20, $ 30, $ 60 y $ 50,respectivamente. A la Higgins le gustara mezclar los minerales de manera que sesatisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas.Defina las variables de decisin y plantee el apropiado modelo de PL.

SOLUCION

Objetivo (verbal)Fabricar piezas de metal de alta precisin que se utilizan en los motores deautomviles de carreras, mezclando los minerales de manera que se satisfagan lasespecificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas.

Restricciones (verbales)1. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado

Variables (estructuramatemtica)Se requieren seis variables, puesto que existen seis clases de inversiones.

X1= libras del mineral del tipo 1





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Con base en el planteamiento verbal del problema, se concluye que la funcinobjetivo debe expresarse en dlares, puesto que el objetivo consiste en minimizarlos egresos esperados. Los coeficientes cjpara el problema es el costo por libra de

los 4 tipos de mineralc1= 20 ; c2= 30 ; c3 = 60 y c4= 50

La funcin objetivo es:MINIMIZAR Z =20 x1+ 30 x2+ 60 x3+ 50 x4

Restricciones (estructura matemtica)1. Restriccin de requerimiento de metal

Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado4 x1+ 2 x2+ x3+ 0.5 x4 402 x1+ 6 x2+ 4 x3+ x4 48

2 x1+ 6 x2+ 4 x3+ 8 x4 60Planteamiento matemtico

MINIMIZAR Z =20 x1+ 30 x2+ 60 x3+ 50 x4Sujeto a

4 x1+ 2 x2+ x3+ 0.5 x4 402 x1+ 6 x2+ 4 x3+ x4 482 x1+ 6 x2+ 4 x3+ 8 x4 60

x1, x2, x3, x4 0

UN PROBLEMA DE ASIGNACIN DE PERSONAL

El hospital UCV ha decidido ampliar su servicio de urgencias (abierto las 24 horas) con laconsiguiente necesidad de nuevo personal de enfermera. La gerencia del hospital haestimado las necesidades mnimas de personal por tramos horarios para poder cubrir lasurgencias que se presenten. Se definieron 6 turnos o tramos de 4 horas. La necesidadmnima de personal en cada turno se indica en el Cuadro 1. Por otro lado, el departamentode recursos humanos ha informado a la gerencia, que los contratos laborales han de ser deocho horas seguidas, segn el Convenio firmado con los sindicatos, independientemente delos horarios de entrada y salida del personal.

El problema es encontrar el nmero mnimo de personal necesario para cubrir la demanda.

Cuadro 1: Necesidades de personal por turnos o tramos horarios.


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Formulacin del problema:En primer lugar, se tienen que definir las variables del modelo que queremos desarrollar.Como hemos de controlar en nmero de personal en cada turno, definimos Xj como lacantidad de personal que entra a trabajar en el turno j, en dondej=1,...,6. Es decir, hay unavariable para cada turno.

Las restricciones del modelo tienen que reflejar la necesidad de que la cantidad de personalque entren en el periodoj ms el nmero de personas que entraron a trabajar en el turno j-1sean suficientes para cubrir las necesidades del turnoj (Nj). Esta situacin queda reflejadaen el Cuadro 2. En esta tabla, un trabajador que entra a trabajar, por ejemplo, a las 4:00,trabajar en los turnos 2 y 3, y por tanto, contribuir a cubrir las necesidades de estos dosturnos. En otras palabras, el turnoj estar siendo atendido porXj-1 yXj. En consecuencia,tendremos queXj-1 +Xj (el personal que trabaja durante el turno j) tiene que ser, comomnimo, igual aNj, que es el nmero mnimo de personal de enfermera necesario para esteturno. En trminos matemticos la restriccin es la siguiente:

Xj-1 +Xj_Nj

Habr una restriccin para cada horario de entrada.El objetivo de la gerencia consiste en la minimizacin del nmero total de personal deenfermera necesario para cubrir las necesidades diarias. Este nmero ser igual aX1 +X2+X3 +X4 +X5 +X6 que representa la suma del nmero de personal que entra en cada

periodo.Finalmente, el modelo matemtico es el siguiente:

Cuadro 2: Necesidades de personal


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METODO GRAFICO - SOLUCION GEOMTRICA

Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teora del mtodo grfico

1- En el anlisis cuantitativo, una vez que se ha formulado y construido un modelo linealpara resolver un problema existente, en un sistema cualquiera, es necesario resolverlo.2- La solucin de un modelo lineal muestra siempre un conjunto convexo delimitado porlas restricciones del mismo y en el cual, si existe solucin posible, al menos uno de sus

puntos extremos es la solucin ptima. Un punto extremo existe en la interseccin de, almenos, dos rectas.3- El mtodo grfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra elconjunto convexo que constituye la denominada regin solucin y el(los) punto(s)extremo(s) que proporciona(n) la solucin del modelo.4- El Mtodo Grfico permite conocer la base matemtica de la solucin de modeloslineales, los conjuntos convexos, y observar grficamente situaciones que se presentan enmodelos de cualquier tamao. Esto ayuda a la comprensin de la Programacin Lineal.5- El proceso para trabajar con el Mtodo Grfico sigue los pasos siguientes:

a) Graficar las restricciones como igualdades y luego determinar el reacorrespondiente a la desigualdad, sombreando el espacio correspondiente.

b) Determinar el rea comn a todas las restricciones.c) Evaluar la Funcin Objetivo en cada punto extremo del espacio de soluciones

posibles. El punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor,determinarn la solucin del modelo.

6- Existe un procedimiento alterno al punto c), sealado en el Mtodo Grfico, para obtenerla solucin del modelo. Este procedimiento alterno consiste en graficar la Funcin Objetivocon un valor arbitrario dentro de la regin solucin. Luego se desplaza paralelamente en la

direccin que incremente su valor (si est maximizando) o decrezca su valor (si estminimizando). El punto o los puntos extremos que toque esa Funcin Objetivo antes desalir totalmente fuera de la regin de soluciones posibles determinarn el ptimo, osolucin del modelo.7- Al conjunto convexo de solucin se le llama regin de soluciones posibles, porque todoslos puntos de esa regin satisfacen TODAS las restricciones del modelo.8- Un modelo tiene solucin ptima UNICA cuando slo una combinacin de variables

proporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el grfico porque un nicopunto extremo provee el mejor valor del objetivo o un nico punto extremo limita el valorde la recta objetivo.9- Un modelo tiene soluciones ptimas ALTERNAS cuando ms de una combinacin de

variables proporciona el ptimo valor del objetivo. Se reconoce en el grfico porque ms deun punto extremo proporciona el ptimo valor del objetivo o ms de un punto extremolimita el valor de la recta objetivo. La recta objetivo al desplazarse dentro de la reginsolucin cae paralelamente sobre alguna restriccin antes de salir totalmente de la reginsolucin.10- Un modelo NO TIENE SOLUCIN POSIBLE cuando no hay alguna combinacin devariables que satisfaga todas las restricciones. Se debe a la presencia de restricciones


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inconsistentes en el modelo. Se reconocen en el grfico porque no existe ninguna regincomn para todas las restricciones.11- Un modelo tiene SOLUCIN CON VALOR INFINITO cuando hay combinaciones devariables que proporcionan valor infinito para el objetivo y no hay alguna combinacin quelimite el valor del objetivo a un valor finito. Esto se debe a la omisin de restricciones

importantes, del sistema, en el modelo. Estas restricciones limitaran las variables dedecisin a valores factibles. Se reconocen en el grfico porque el espacio de solucin esabierto, no acotado, no limitado y la Funcin Objetivo puede moverse dentro de esa reginhasta el infinito sin que un punto extremo, con valor finito, limite su valor.12- Un modelo tiene ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO y SOLUCION DEVALOR FINITO cuando existen combinaciones de variables que dan un valor infinito alobjetivo pero existe al menos una combinacin de variables que le proporciona un valorfinito. Se reconocen en el grfico porque la regin de soluciones posibles es abierta, nolimitada pero hay por lo menos un punto extremo que limita el valor del objetivo.13- Un modelo tiene SOLUCION DEGENERADA cuando existen combinaciones devariables que tienen ms de la cantidad normal (una por cada restriccin) de variables convalor cero. Esto se debe a la presencia de restricciones redundantes en el modelo. Ms de lacantidad normal de variables (una por cada restriccin del modelo) debe tomar valor cero

para satisfacer a mayor cantidad de restricciones en el punto ptimo. Se reconocen en elgrfico porque ms de dos restricciones cruzan sobre el punto extremo ptimo.14- Una restriccin redundante puede ser removida sin afectar la regin solucin. Cuandola restriccin redundante est sobre el punto extremo ptimo, la solucin es Degenerada.15- Los modelos lineales que son formulados en sistemas cuya solucin tiene valor infinitoy los que no presentan solucin posible son casos que no deben existir en el mundo real. Enlos modelos con solucin degenerada, una restriccin redundante en un perodo de

planificacin dentro de ese sistema, puede no serlo en otro perodo posterior, por lo tanto esrecomendable tener en cuenta esa consideracin.

Veamos algunos casos y ejemplos.

CASO 1. MODELOS CON SOLUCIN PTIMA NICA.El modelo es formulado por una empresa asesora de inversiones para elaborar la cartera de uncliente. Las variables X1 y X2 representan la cantidad de acciones Tipo 1 y 2 a comprar parasatisfacer el objetivo establecido de maximizar el retorno anual de esa inversin o compra deacciones.El monto total disponible para invertir es de $80.000. El riesgo es una medida relativa de las dosinversiones alternativas. La accin Tipo 1 es una inversin ms riesgosa. Limitando el riesgo total

para la cartera, la firma inversora evita colocar montos excesivos de la cartera en inversiones deretorno potencialmente alto pero de alto riesgo.

Tambin se limita el monto de acciones de mayor riesgo.

Max 3X1+ 5X2(Retorno anual en $)Sujeto a:25 X1+ 50 X2 80.000 $ de fondos disponibles0.5 X1+ 0.25 X2 700 riesgo mximo1 X1 1.000 acciones Tipo 1X1, X2 0


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En este caso 1, conteste lo siguiente:1.1 Qu representa el coeficiente de la variable X2 en la Funcin Objetivo y en la segundarestriccin?1.2 Qu Tipo de solucin presenta el modelo?, Por qu? y Cmo se reconoce en el grfico?1.3 Cul es la decisin que se recomendara con la solucin encontrada?

1.4 Analice las restricciones en el punto ptimo y presente la informacin que se obtiene.1.5 Qu efecto tendra sobre la solucin ptima encontrada un cambio en el retorno anual de cadaaccin Tipo 2. Suponga que cambia a 9. Explique y muestre sobre el grfico. Cmo se llama esteAnlisis que se hace?.

RESPUESTAS:1.1 En la Funcin Objetivo representa el retorno anual de cada accin Tipo 2 comprada, es decircada accin Tipo 2 que se compre proporcionar un retorno anual de $ 5. En la restriccin 2,Representa el riesgo medido para cada accin Tipo 2. Es decir, cada accin Tipo 2 tiene un riesgode 0.25.1.2 Solucin nica, porque hay una nica combinacin de acciones Tipo 1 y 2 a comprar quemaximiza el retorno anual de la inversin y se reconoce en el grfico porque un nico punto

extremo proporciona el mximo valor para el objetivo. En este caso, el punto b.1.3 Comprar 800 acciones Tipo 1 y 1.200 Acciones Tipo 2 para maximizar el ingreso anual en8.400 unidades monetarias ($)1.4 Restriccin 1: 25 (800) + 50 (1200) = 80.000 Se observa que se cumple exactamente, es decircomo una igualdad. Esto indica que con esa decisin ptima se utiliza totalmente el monto mximode presupuesto disponible para la compra.Restriccin 2: 0.5 (800) + 0.25 (1200) = 700 Se observa que se cumple exactamente, es decir comouna igualdad. Esto indica que con esa decisin ptima se tendr totalmente el monto mximorequerido de riesgo para la compra.


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Restriccin 3: 1 (800) = 800; 800 < 1.000 Se observa que se cumple como una desigualdad.Esto indica que con esa decisin ptima se compran 800 acciones Tipo 1, 200 menos del montomximo requerido. Recuerde que eso est permitido debido que la restriccin es menor o igual a.En el grfico puede observarse, como algo lgico, que las restricciones que se cumplen comoigualdades estn cruzando sobre el punto ptimo y las que se cumplen como desigualdades estn enla regin solucin alejadas del punto ptimo.

1.5 El anlisis se denomina Anlisis de Sensibilidad. Se realiza despus de haber obtenido lasolucin ptima. En este caso, se realiza para determinar el efecto que produce sobre la solucinptima, un cambio en un coeficiente de una variable en la Funcin Objetivo.La nueva Funcin Objetivo, 3X1 + 9X2, es graficada nuevamente.

Se observa sobre el mismo grfico 2 que la pendiente de la recta objetivo (f.o. 2) cambia. Ahora aldesplazarse, en crecimiento, el punto extremo que la limita es el de la interseccin de las rectas quecorresponden a la restriccin de fondos disponibles y a la ordenada o restriccin de no- negatividad,

punto extremo a. La nueva solucin es una solucin nica, con otros valores para las variables.

CASO 2. MODELOS CON SOLUCIONES PTIMAS ALTERNAS O MLTIPLES.

Max 6X1+ 2X2(Beneficio)Sujeto a:3 X1+ X2 4 8 horas de trabajo3 X1+ 4 X2 120 unidades de materia Prima3 X1+ X2 36 horas de supervisin.X1, X2 0

El modelo es formulado por una empresa que desea determinar la cantidad de unidades de producto1 ( X1) y producto 2 (X2) a fabricar para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el

beneficio. El monto total disponible de horas de trabajo para este perodo es de 48. Ladisponibilidad de materia prima es de 120 unidades y la cantidad mnima de horas disponibles parasupervisin es de 36 horas.


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Graficar las restricciones y obtener el espacio de solucin se efecta en forma similar al procesoefectuado en el caso 1.

Los puntos extremos del conjunto convexo son:A(16,0), B(8,24), C(8/3,28) y D(12,0).Dos puntos extremos proporcionan el mximo valor del objetivo, los puntos A y B. Esto permiteafirmar que existen soluciones ptimas Alternas para este modelo. Son ptimos todos los puntossobre el segmento de lnea AB que limita el conjunto convexo de solucin y corresponden a la

primera restriccin.Si Usted utiliza el mtodo de graficar la Funcin Objetivo con un valor arbitrario, 48 por ejemplo,

podr observar que la lnea es completamente paralela a la primera y tercera restriccin. Aldesplazarla paralelamente hacia su optimizacin, hacia arriba porque se est maximizando,finalmente caer completamente sobre la primera restriccin, de horas de trabajo, antes de salirtotalmente fuera de la regin solucin. Dos puntos extremos estaran limitando el crecimiento delobjetivo, el punto B y el punto A.Cualquier recta que tenga ratio de coeficientes igual al de otra recta, es paralela a esa otra recta.La ventaja que presentan los modelos con este Tipo de solucin es que se puede elegir cualquiera delas soluciones ptimas, porque todas presentan el mismo valor ptimo para el objetivo. Por ejemplo,si una de las soluciones tiene valores fraccionales para las variables y no puede trabajarse convalores fraccionales, el que toma la decisin seleccionar una solucin con valores enteros.

CASO 3. MODELOS SIN SOLUCIN POSIBLE

No se definirn los elementos del modelo porque no habr una solucin posible para tomar algunadecisin.Max 40 X1+ 30 X2Sujeto a:2/5 X1 + X2 201/5 X2 53/5 X1+ 3/10 X2 21X1 30,X2 15


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X1, X2 0

Puede observarse en el Grfico 4, que mientras las 3 primeras restricciones delimitan un espacio encomn, las 2 ltimas delimitan otro espacio comn para ellas. Por lo tanto, no hay una regin de

puntos comunes que satisfagan ambos conjuntos de restricciones y el modelo no tendr solucinposible. En estos casos es necesario determinar cules son las restricciones inconsistentes para elmodelo. Es decir, cules son realmente vlidas para el modelo.

Obsrvese que si las variables X1y X2toman el valor mnimo que pueden tomar en las dos ltimasrestricciones, es decir X1= 30 y X2= 15 entonces la tercera restriccin no se cumplira. Esto es unainconsistencia.Estos modelos no deben existir en el mundo real (14). Si el sistema modelado trabaja, entonces elmodelo debe representarlo de tal manera que permita obtener una solucin posible.

CASO 4. MODELOS QUE PRESENTAN SOLUCIN CON VALOR INFINITO

Max X1+ 2X2Sujeto a:-4 X1+ 3 X2 3X1- X2 3

X1, X2 0

No se definirn los elementos del modelo porque no habr una solucin para tomar alguna decisin.


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En el grfico 5 el conjunto convexo llamado regin solucin, que contiene todas las solucionesposibles, es un espacio abierto.Tiene tres puntos extremos A, B y C, pero ninguno delimita el crecimiento del objetivo. Estafuncin puede tomar valores infinitos ya que las variables conforman puntos con valores infinitosdentro de la regin solucin y ninguno de ellos le proporciona un valor finito ptimo. Por lo tanto,existiendo restricciones, no es lgico encontrar un objetivo de valor infinito.En estos casos debe buscarse dentro del sistema, la restriccin o las restricciones que se omitieronen el modelo y que limitaran las variables de decisin a valores factibles.

CASO 5. MODELOS CON ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO Y SOLUCION DEVALOR FINITO

Min 0.06 X1+ 0.05 X2( costos)Sujeto a:0.30 X1+ 0.20 X2 500 Protena0.15 X1+ 0.30 X2 300 GrasaX1, X2 0El modelo es formulado para una guardera de perros que se destaca por dar una alimentacin

balanceada a las mascotas. El alimento lo elabora mezclando 2 marcas conocidas de alimentos quellamaremos X1y X2.Se desea determinar la cantidad de gramos de X1y X2a mezclar en el alimento, con el objetivoestablecido de minimizar los costos de la mezcla. Esta, debe contener al menos 500 gramos de

protenas y al menos 300 gramos de grasa por da. Los porcentajes de contenido de grasa y protenade cada gramo de X1y X2se conocen y son usados en el modelo.


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El espacio de solucin obtenido se muestra en el Grfico 6. Se observa una regin abierta con lassoluciones posibles y puntos extremos A, B, C.

Esto indica que pueden existir combinaciones de cantidad de gramos de alimento X1y X2con valorinfinito, en este caso los costos seran infinitos. Esto es posible porque no se est limitandodirectamente la cantidad de X1y X2en alguna restriccin especfica y las restricciones existentesson todas de Tipo que.Pero, mientras exista al menos una combinacin con valor finito, en algn punto extremo que limiteel valor del objetivo, a esa combinacin se le considerar ptima. En los casos de regin abierta desoluciones posibles, es conveniente entonces encontrar el valor ptimo con el procedimiento degraficar la Funcin Objetivo.Al graficar la Funcin Objetivo, con un valor arbitrario de 120, se observa que al desplazarla

paralelamente hacia su optimizacin, hacia abajo porque se est minimizando, la lnea cae sobre elpunto B, antes de salir completamente de la regin solucin. A este punto se le considerar puntoextremo ptimo.

La solucin ptima es nica con los valores: X1= 1.500, X2= 250 F.O. = 102.5Conociendo la definicin del modelo, puede contestar preguntas similares a las hechas en el caso 1

CASO 6. MODELOS CON SOLUCION DEGENERADA

Min 2500 X + 2200 Y (costos)Sujeto a:X + Y 10 Empleados temporales300 X + 400 Y 3.400 cartas80 X + 50 Y 680 paquetesX, Y 0El modelo es formulado por una oficina de correos que puede contratar hasta 10 empleados para

manejar el correo. La oficina conoce que un empleado (hombre) puede manejar 300 cartas y 80paquetes por da y una empleada (mujer) puede manejar 400 cartas y 50 paquetes en un da. Nomenos de 3.400 cartas y de 680 paquetes se esperan por da. A cada empleado hombre (X), se le

paga S/. 2.500 por da y a una empleada mujer ( Y) se le paga S/. 2.200 por da.Se quiere determinar la cantidad de hombres (X) y mujeres (Y) que se deben contratar parasatisfacer las restricciones y lograr el objetivo establecido de minimizar los costos de la nmina.Graficar las restricciones y obtener el espacio de solucin se efecta en forma similar al hecho en elcaso 1 y por lo tanto no se repiten las instrucciones. El grfico obtenido es el Grfico 7.


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Se observa una regin de soluciones posibles de un solo punto comn para todas las restricciones ypor lo tanto un nico punto extremo A.Esto indica que existe una nica combinacin posible y adems ptima, de cantidad de empleadosX e Y que satisface las restricciones y optimiza el objetivo.

Conociendo la definicin del modelo, puede contestar preguntas similares a las hechas en el Caso 11.1 Qu representa el coeficiente de la variable Y en la Funcin Objetivo y en la segundarestriccin?1.2 Qu Tipo de solucin presenta el modelo?, Por qu? y Cmo se reconoce en el grfico?

1.3 Cul es la solucin y la decisin que se recomendara con la solucin encontrada?1.4 Analice las restricciones en el punto ptimo y presente la informacin que se obtiene.1.5 Qu efecto tendra, sobre la solucin ptima encontrada, un cambio en el nmero de cartasesperadas.Suponga que cambia a 2.400. Explique y muestre sobre el grfico. Cmo se llama este Anlisis?Respuestas:1.1

El coeficiente de la variable Y en la Funcin Objetivo representa lo que se le paga diariamente acada trabajadora (mujer), es decir, el costo de contratar una trabajadora al da es de S/. 2.200.En la segunda restriccin representa la cantidad de cartas que puede manejar al da cada mujercontratada, es decir, 400 cartas al da puede manejar cada mujer contratada.

1.2

nica y Degenerada. Normalmente la solucin de un modelo contiene una variable (Estructuralo de holgura) con valor mayor que cero por cada restriccin del modelo. En este caso, ms

variables de las normales toman valor cero, para poder satisfacer mayor numero derestricciones, en el punto ptimo.Hay entonces menor cantidad de variables con valor mayor que cero con relacin al nmero derestricciones. Por eso se le llama Solucin Degenerada en contraposicin a la Solucin Normal.Adems es nica porque una sola combinacin de empleados, hombres y mujeres, proporciona elmnimo costo.Se debe a la presencia de restricciones redundantes en el modeloy se reconoce en el grfico

porque ms de dos restricciones cruzan sobre el punto ptimo. Del total de restricciones que cruzanel punto ptimo, slo dos son necesarias para calcular sus coordenadas. En este caso slo hay una


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restriccin redundante, por ello la Solucin es Degenerada. Se reconoce que es nica porque hayun solo punto extremo que proporciona el valor ptimo del objetivo.1.3 La solucin es X = 6, Y = 4, F.O. = 23.800. La decisin sera contratar 6 empleados hombres y4 mujeres para minimizar los costos diarios de contratacin en 23.800 unidades monetarias:2.500(6) + 2.200 (4) .1.4 Restriccin 1

X + Y 106 + 4 = 10 Con esta decisin se contrata el mximo de empleados que se estaba dispuesto acontratar.Restriccin 2300 X + 400 Y 3.400300(6) + 400(4) = 3.400 Con esta decisin se manejar el mnimo de cartas que se espera.Restriccin 380 X + 50 Y 68080(6) + 50 (4) = 680 Con esta decisin se manejar el mnimo de paquetes que se espera.1.5 El anlisis a efectuar se denomina Anlisis de Sensibilidad.Sobre el grfico est graficada la nueva restriccin 300X + 400 Y 2.400

Se observa que no cambia el espacio de soluciones posibles y por lo tanto la solucin ptimaseguir siendo la misma.En general, disminuir la cantidad del lado derecho de una restriccin Tipo , es relajar larestriccin y hacerla ms fcil de satisfacer.


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OTROS EJEMPLOS

Tenemos una empresa que se dedica a producir diversos productos qumicos. En un procesode produccin en particular se utilizan tres materias primas para elaborar dos productos: unaditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a

empresas petroleras y se utiliza en la produccin de gasolina y otros combustiblesrelacionados. La base disolvente se vende a varias empresas qumicas y se utiliza tanto paraproductos de limpieza del hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustibley la base disolvente se mezclan las tres materias primas, como aparece en la siguiente tabla:

Necesidades de Materia Prima por tonelada

Producto m. prima 1 m. prima 2 m. prima 3

Aditivo para combustible 2/5 0 3/5

Base disolvente 1/2 1/5 3/10

Esta tabla, muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 2/5 detonelada de la materia prima 1 y 3/5 de tonelada de la materia prima 3. Una tonelada de

base disolvente es una mezcla de 1/2 tonelada de la materia prima 1, 1/5 de tonelada de lamateria prima 2 y 3/10 de tonelada de la materia prima 3.

La produccin de la empresa, est limitada por la disponibilidad de las tres materias primas.Para el periodo de produccin actual, la empresa tiene disponibles las cantidades siguientesde cada una de las materias primas:

Cantidades disponiblesMateria prima para la produccin

Materia prima 1 20 toneladasMateria prima 2 5 toneladasMateria prima 1 21 toneladas

Debido al deterioro y la naturaleza del proceso de produccin, cualquier materia prima queno se utilice para la produccin actual resulta intil y debe descartarse.

El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de produccin, asignandotodos los costos correspondientes, y para ambos productos lleg a precios que resultarn en

Utiliza tonelada de MP 1en cada tonelada dedisolvente


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una contribucin a la utilidad (margen de contribucin por tonelada) de US 40 por cadatonelada de aditivo para combustible producida y de US$ 30 por cada tonelada de basedisolvente producida. La Gerencia de la empresa, despus de una anlisis de la demanda

potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarn la venta de todo el aditivopara combustible y de toda la base disolvente que se produzca.

El problema de la empresa es determinar cuntas toneladas de cada producto deberproducir para maximizar la contribucin total a la utilidad.

Funcin Objetivo

Cuntas toneladas de aditivo para combustible y cuntas toneladas de base disolvente producir la empresapara el periodo actual de produccin.

Variables

X1 = nmero de toneladas de aditivo para combustible

X2 = nmero de toneladas de base disolvente

Restricciones

2/5 X1 + 1/2 X2 20 toneladas necesarias de la materia prima 1

0X1 + 1/5 X2 5 toneladas necesarias de la Materia prima 2

3/5X1 + 3/10 X2 21 toneladas necesarias de la Materia prima 3

X1 0 , X2 0

Implementacin

Mx 40 X1 + 30 X2

Sujeto a:

2/5 X1 + 1/2 X2 20

0X1 + 1/5 X2 5

3/5X1 + 3/10 X2 21

X1, X2 0

Ahora la tarea es encontrar la mezcla de productos(es decir la combinacin de X 1y X2) quesatisfaga las restricciones, y al mismo tiempo, nos de un valor de la funcin objetivo quesea mayor o igual al valor dado por cualquier otra solucin factible. Al hacerlo, habremosencontrado la solucin ptima al problema.

Deben establecerse hiptesis necesarias para que un modelo de programacin lineal seaapropiado: la ley de la proporcionalidad, la ley general de la adicin y la ley general de ladivisin.


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La proporcionalidad significa que la contribucin a la funcin objetivo y el monto de losrecursos utilizados son proporcionales al valor de cada variable de decisin.

La adicin significa que se puede determinar el valor de la funcin objetivo y de losrecursos totales utilizados, sumando la contribucin de las funciones objetivo y los recursos

utilizados para todas las variables de decisin.La divisibilidad significa que las variables de decisin son continuas. La hiptesis de ladivisibilidad ms las restricciones de no negatividad significan que la variables de decisin

pueden asumir cualquier valor mayor que o igual a cero.

Anlisis de Sensibilidad (Anlisis de Post Optimalidad)

Es el estudio de la forma en que los cambios en los coeficientes de programa lineal afectana la solucin ptima.El anlisis de sensibilidad entre otras ayuda a responder lo siguiente:

1. Cmo afectar un cambio en un coeficiente de la funcin objetivo a la solucinptima?

2. Cmo afectar un cambio en el valor del lado derecho de una restriccin a lasolucin ptima?

El anlisis de sensibilidad entonces solo se inicia cuando se ha obtenido la solucin ptimadel problema original de PL.

El anlisis de sensibilidad es importante para la toma de decisiones, debido a que losproblemas reales se presentan en un entorno cambiante. Cambian los precios de las MP,

cambia la demanda de los productos, las empresas adquieren maquinarias nuevas, fluctanlos precios de los valores, hay rotacin de personal y as muchas otras cosas ms.

El anlisis de sensibilidad nos da la informacin necesaria para responder a estasmodificaciones. Las tres hiptesis necesarias para que un modelo de PL sea apropiado, sonla proporcionalidad, la ley general de la adicin y la ley general de la divisin.

a) La proporcionalidad significa que la contribucin a la funcin objetivo y el monto delos recursos utilizados son proporcionales al valor de cada variable de decisin.

b) La adicin significa que se puede determinar el valor de la funcin objetivo y de los

recursos totales utilizados, sumando la contribucin de la funcin objetivo y losrecursos utilizados para todas las variables de decisin.

c) La divisibilidad significa que las variables de decisin son continuas. La hiptesis dedivisibilidad ms las restricciones de no negatividad significan que las variables dedecisin pueden asumir cualquier valor mayor que, o igual a cero.

En el problema de la gasolinera (ver pgina 31), vemos


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Mx 40 X1 + 30 X2

Sujeto a:

2/5 X1 + 1/2 X2 20 MP1

0X1 + 1/5 X2 5 MP2

3/5X1 + 3/10 X2 21 MP3

X1, X2 0

La solucin ptima x1 = 25 TM de aditivo para combustible y x2 =20 TM de basedisolvente, se bas en las cifras de contribucin a la utilidad de US$ 40 x TM de aditivo

para combustible y US$ 30 x TM de base disolvente.Sin embargo, supongamos que posteriormente, nos enteramos que una reduccin en el

precio hace que la contribucin a la utilidad para el aditivo para combustible se reduce de

US$ 40 a US$ 35 x TM. Se utiliza el anlisis de sensibilidad para determinar si el programade produccin que incluye 25 TM de aditivo para combustible y 20 TM de base disolventesigue siendo el mejor.


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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS:

1. ANDERSON, D.; SWEENEY, D.; Mtodos Cuantitativos para los Negocios.

International WILLIAMS, T. Thomson Editores,Sptima, Mxico, 2010.2. GALLAGHER, Ch.; WATSON, H. Mtodos Cuantitativos para la Toma de

Decisiones Editorial McGraw Hill, Espaa, 2010.(658.5/G21)

3. HILLIER, F.; HILLIER, M.; Mtodos Cuantitativos para Administracin Unenfoque de modelos y casos de estudio, con hojade clculo. Editorial McGraw Hill InteramericanaEditores, S.A. de C.V., Mxico 2006.

7. TAHA, Hamdy Investigacin de Operaciones Edit. Alfa omega,Mxico, 2008.

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