Ciclo de Seminários: ”Ensinar e aprender matemática: diálogos e conjunções numa perspectiva interdisciplinar””””

Rita Marques BrandãoRita Marques BrandãoRita Marques BrandãoRita Marques BrandãoDepartamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de Matemática

Universidade dosUniversidade dosUniversidade dosUniversidade dos AçoresAçoresAçoresAçores

Ponta Delgada, 19 de maio de 2012Ponta Delgada, 19 de maio de 2012Ponta Delgada, 19 de maio de 2012Ponta Delgada, 19 de maio de 2012

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Waiting_in_line_at_a_food_store.JPG

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http://parisalacarte.wordpress.com/2010/04/20/reabertura-parcial-dos-aeroportos-em-paris/

Fila de espera num aeroporto

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http://ansam518.wordpress.com/2009/10/20/pinkberry-waiting-lines/

Fila de espera numa loja da Pinkberry (gelados de yogurtes)

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http://abcnews.go.com/meta/search/imageDetail?format=plain&source=http://abcnews.go.com/images/Technology/ap_ipad_lines_waiting_wy_120316

Fila de espera na loja da Apple, em São Francisco. 1º dia do lançamento do novo iPad (março de2012)

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� dimensão da populaçãodimensão da populaçãodimensão da populaçãodimensão da população� infinita

� finita

� chegadas ao sistemachegadas ao sistemachegadas ao sistemachegadas ao sistema� individuais

� em grupo

� distribuição das distribuição das distribuição das distribuição das chegadaschegadaschegadaschegadas� determinística

� aleatória

� atitude dos clientesatitude dos clientesatitude dos clientesatitude dos clientes

� pacientes

� impacientes� recusa

� desistência

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� número filasnúmero filasnúmero filasnúmero filas� única

� múltipla

� comprimento da filacomprimento da filacomprimento da filacomprimento da fila� finito

� infinito

� disciplina da filadisciplina da filadisciplina da filadisciplina da fila� FIFO

� LIFO

� Prioridade

� reserva, idade, emergência …

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� cccconfiguração do serviçoonfiguração do serviçoonfiguração do serviçoonfiguração do serviço� nº de servidores

� nº de fases

� redes de filas de espera

� dimensão do serviçodimensão do serviçodimensão do serviçodimensão do serviço� simples

� em grupo

� distribuição distribuição distribuição distribuição do tempo de serviçodo tempo de serviçodo tempo de serviçodo tempo de serviço� constante

� aleatória

� taxa de serviço dependentedependentedependentedependente (µn) ou independenteindependenteindependenteindependente (µ) do

estado do sistema

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Fila simples (uma fila um servidor)Fila simples (uma fila um servidor)Fila simples (uma fila um servidor)Fila simples (uma fila um servidor)

Canais paralelos (múltiplos servidores)Canais paralelos (múltiplos servidores)Canais paralelos (múltiplos servidores)Canais paralelos (múltiplos servidores)

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Estádios múltiplos (rede de filas de espera)Estádios múltiplos (rede de filas de espera)Estádios múltiplos (rede de filas de espera)Estádios múltiplos (rede de filas de espera)

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� OtimizarOtimizarOtimizarOtimizar o funcionamento de sistemas de filas de espera, ou seja, encontrar soluções equilibradas entre dois extremos:

� Situações de congestionamentocongestionamentocongestionamentocongestionamento

� ↑tempo de espera na fila

� taxa de ocupação dos servidores ↑

� Situações de rarefaçãorarefaçãorarefaçãorarefação

� ↓tempo de espera na fila

� taxa de ocupação dos servidores ↓

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PPPPnnnn - probabilidade de se encontrarem exatamente n clientes no sistema

ssss - número de servidores

λλλλ - taxa de chegada (número médio de clientes que chegam por unidade de tempo)

- taxa de serviço (número médio de clientes que cada servidor tem capacidade de atender por unidade de tempo)

ρρρρ - taxa média de ocupação dos servidores

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� Comprimento médio da fila de espera − Lq

� Número médio de clientes no sistema − L

� Tempo médio de espera na fila − Wq

� Tempo médio de espera no sistema − W

� Taxa média de ocupação dos servidores − ρ=λ/(s µ)

Relações fundamentais Relações fundamentais Relações fundamentais Relações fundamentais (admitindo λ e µ constantes e independentes do estado do sistema):

L = λ W Lq = λWqW = Wq + 1/µ L = Lq + λ/ µ

nn PP

P

ρ

ρµλ

0

0 11

=

−=

−=

λµλ

λµµλ

−=

−=

L

Lq )(

2

λµµ

λµµλ

λ

−=+=

−==

11

)(

q

qq

WW

LW

� 1 servidor

� fila única

� chegadas poissonianas

� tempos de serviço exponenciais

� disciplina da fila - FIFO

� sem restrições para o comprimento da fila

� taxa de serviço > taxa de chegada

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( )

λµµλ

λρ

ρµλ

ρµλ

µλ

LLWLL

LWP

sL

Sn

P

q

qq

S

q

SnS

n

=+=+=

=−

=

−

+

=

∑−

=

1,

,1!

11

!1

!1

1

02

1

0

0

� s servidores

� fila única

� chegadas poissonianas

� tempos de serviço exponenciais

� disciplina da fila - FIFO

� sem restrições para o comprimento da fila

� ∑ taxa de serviço (s) > taxa de chegada

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� 1 cliente (MrMrMrMr BigBigBigBig) que necessita de um serviço cuja duração é bastante superior à duração média do atendimento

� quando o MrMrMrMr BigBigBigBig começa a ser atendido

� passamos a ter menos um servidor durante um certo período de tempo ⇒ diminuição na taxa de processamento

� todos os clientes são atendidos pela ordem de chegada

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� quando um cliente chega escolhe a fila aleatoriamente

� clientes com pouca sorte juntaram-se à fila do MrMrMrMr BigBigBigBig e ficam a aguardar que este seja atendido

� clientes que chegaram mais tarde e que escolheram outras filas são atendidos primeiro

� pode acontecer clientes da fila do MrMrMrMr BigBigBigBig ficarem à espera quando os outros servidores estão livres

� 3 filas paralelo (M/M/1)3 filas paralelo (M/M/1)3 filas paralelo (M/M/1)3 filas paralelo (M/M/1)

� s=1� λ=5� =6� ρ=5/6

L = 5

Lq =4.17

W W W W ====1 hora1 hora1 hora1 hora

Wq =0.83

� Fila única (M/M/3)Fila única (M/M/3)Fila única (M/M/3)Fila única (M/M/3)

� s=3� λ=15� =6� ρ=15/(3*6)=5/6

L = 6.01

Lq =3.51

W =W =W =W =0.400.400.400.40 hora (24 min)hora (24 min)hora (24 min)hora (24 min)

Wq =0.23

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� Fazendo variar a taxa de chegadaFazendo variar a taxa de chegadaFazendo variar a taxa de chegadaFazendo variar a taxa de chegada

ExemploFilasEspera.S8