Perspectiva microeconòmica del risc

Ricard TorresUniversitat de Girona

Presentat en el marc del curs AVALUACIÓ DE RISCOS AMBIENTALS

→ Temari:

• Risc, incertesa i elecció individual.– Estats de la natura i plans contingents.– Utilitat additiva en els estats.

• Utilitat esperada.– La teoria de Savage.– La teoria de von Neumann y Morgernstern.– Inconsistència dinàmica i l’axioma de substitució.– Notes històriques.– Crítiques a la teoria de la utilitat esperada.

• Repartiment òptim de riscos.– Optimalitat de Pareto.

• Utilitat sobre riquesa i aversió al risc.– El coeficient d’aversió absoluta al risc.– El coeficient d’aversió relativa al risc.

• Funcions de distribució i risc.– Dominància estocàstica de primer ordre.– Dominància estocàstica de segon ordre.

• Aversió al risc i mercats d’assegurança.• Asimetries informatives i risc.• Referències bibliogràfiques.

RISC, INCERTESA I ELECCIÓ INDIVIDUAL

– En un llibre escrit a principis del segle XX, Frank Knight va establir una distincióentre risc i incertesa.

• En una situació de risc, tots els agents implicats podrien posar-se d’acord sobreles probabilitats dels esdeveniments aleatoris en qüestió. És a dir, se’ls podenassociar probabilitats objectives.

• En una situació d’incertesa no hi ha aquesta possibilitat d’acord, degut potser adiferències en la informació que uns i altres tenen en relació als esdevenimentsincerts, o potser simplement a diferents estimacions que els agents fan de lesprobabilitats dels mateixos. En aquest cas, ens trobem que els agents tenenprobabilitats subjectives.

– Per exemple, tots podem estar d’acord en les probabilitats d’esdeveniments quees deriven d’una ruleta sense manipular.

– Ara bé, la cosa canvia quan considerem la probabilitat que les accions d’unacompanyia pugin per sobre d’un cert nivell en un període donat. O bé la pro-babilitat que una competició esportiva tingui un determinat resultat.

– Les teories més bàsiques d’elecció en condicions d’incertesa es basen en pro-babilitats objectives: l’objecte d’elecció són distribucions de probabilitat. Te-ories més sofisticades es basen en probabilitats subjectives, o una combinaciód’ambdues. Abans de descriure aquestes teories, començarem mirant la sevarelació amb el model d’elecció del consumidor que hom estudia en els cursosde microeconomia.

→ Model clàssic d’elecció individual:

• Objecte d’elecció: X (combinacions de consum, indexades per localització,temps, etc.)

• Preferències: � (relació binària reflexiva, transitiva i completa)

• Sota condicions molt generals, les preferències són representables mitjançantuna funció d’utilitat u : X → R

x � y ⇐⇒ u(x) ≥ u(y)

– Arrow, Debreu: el model clàssic pot ser molt general, sempre que suposem queels béns estan indexats pel temps i la localització.

→ Estats de la natura i plans contingents

→ La incertesa també es pot incorporar dins d’aquest model, si usem els estats dela natura com a variable addicional d’indexació.

• Un estat de la natura és una descripció completa d’un dels possibles resultatsde (tota) la incertesa que hi ha en el model en consideració. Anomenarem S elconjunt de tots els estats de la natura.

– D’aquesta manera, la resolució de la incertesa que hi ha en el model dónalloc a una sèrie d’estats de la natura que exhaureixen totes les possibilitats isón mútuament exclusius. És en aquest sentit que es tracta d’una descripciócompleta.

• Exemple: imaginem una economia de producció agrària en què la nostra decisióde sembrar, i el tamany de la collita, dependran de si el temps és bo o dolent.En aquest cas, tindrem dos estats de la natura:

S ={“bon temps”, “mal temps”

}– Suposem ara que en el model hi ha una font addicional d’incertesa, posem per

cas que la qualitat intrínseca de la llavor sigui bona o dolenta. Llavors tindremquatre estats de la natura:

S = { “bon temps i bona llavor”, “bon temps i mala llavor”,“mal temps i bona llavor”, “mal temps i mala llavor” }

→ Podem veure com un estat de la natura descriu el que pot passar tenint encompte tota la incertesa que hi ha en el model.

• Quan en un model econòmic hi incorporem els estats de la natura com a va-riable addicional d’indexació de les mercaderies, diem que estem tractant ambmercaderies contingents.

– Notem que els plans de compra de mercaderies per part dels consumidorssón plans contingents. Els consumidors planegen les seves compres tenint encompte la possible resolució de la incertesa:

“Si fa mal temps voldré 10 kilos de llavor per sembrar, si el temps és bo envoldré 30.”

→ Per tal que aquests plans contingents es tradueixin en compres, necessitem quehi hagi mercats per cada una de les mercaderies contingents: bàsicament, mer-cats de futurs. Quan no hi són tots els mercats contingents, diem que estem enuna economia amb mercats incomplets.

• Exemple: Considerem una economia amb dos estats de la natura (fret, calor) idues mercaderies bàsiques (roba de cotó, roba de llana).

– Les combinacions de consum dels consumidors tenen els següents elements:

x1 : quantitat de roba de cotó quan fa fretx2 : quantitat de roba de cotó quan fa calory1 : quantitat de roba de llana quan fa frety2 : quantitat de roba de llana quan fa calor

– Les preferències dels consumidors estan definides sobre combinacions de con-sum (vectors) amb els quatre elements (x1, x2, y1, y2).

– Hi haurà un preu per cada una d’aquestes mercaderies, i cada consumidor de-cidirà la combinació (x1, x2, y1, y2) que prefereix, donats els quatre preus i laseva riquesa total.

– El problema de maximització d’un consumidor serà de la forma

maxx1,x2,y1,y2

u(x1, x2, y1, y2)

s.a. p1 x1 + p2 x2 + q1 y1 + q2 y2 ≤ R

→ Notem com els mercats contingents permeten transferir riquesa entre diferentsestats de la natura.

– En general, ens esperarem que els consumidors valorin més la roba de cotó quanfa calor i la de llana quan fa fret, i els preus d’equilibri reflecteixin aquestespreferències.

→ Notem també que les estimacions que els consumidors puguin fer de les proba-bilitats respectives dels dos estats es troben subjacents en la seva funció d’utilitat.Més endavant veurem més en detall la relació entre utilitat i probabilitat subjec-tiva.

– Suposem que tenim dos consumidors similars en tot, excepte en la pondera-ció que cada un d’ells dóna a la probabilitat que faci fret o calor. Llavors enshauríem d’esperar que el consumidor que creu més probable que faci fret, des-tini una proporció més alta de la seva riquesa als consums en l’estat en què fafret.

→ Utilitat additiva en els estats

– Un cas particular de funció d’utilitat és aquell en què els consumidors valorencombinacions de consum d’acord amb el valor esperat d’una utilitat additiva enels estats.

• Diem que un consumidor té unes preferències representables mitjançant unautilitat additiva en els estats si hi ha funcions d’utilitat v1(x1, y1) i v2(x2, y2),una per cada estat, tals que la utilitat del consumidor pot ser escrita com

u(x1, x2, y1, y2) = π v1(x1, y1) + (1 − π) v2(x2, y2),

on π i 1−π són les probabilitats que el consumidor atorga a cada un dels estats.

– Suposem que les preferències són representables mitjançant una utilitat additivaen els estats. Un consumidor que maximitza iguala les seves taxes marginals desubstitució a les relacions de preus. Així

TMSx1,x2 =π (∂v1/∂x1)

(1 − π) (∂v2/∂x2)=

p1

p2⇒

∂v1/∂x1

∂v2/∂x2=

p1/π

p2/(1 − π)

– Podem veure que, si dos consumidors coincideixen en v1 i v2, però difereixen enles probabilitats (π i 1 − π ), llavors és com si s’enfrontessin a preus diferents: lainversa de cada probabilitat actua com una ponderació sobre el preu respectiu.

→ Aquell consumidor que té una π més petita, veurà que la relació de preus pon-derats per les probabilitats té un pendent més gran, i per tant el seu consum dex1 es redueix en relació al de x2, si els comparem amb els de l’altre consumidor.

– Observem que, dins d’un mateix estat, les taxes marginals de substitució d’aquestsdos consumidors serien les mateixes. És a dir, la diferència en les seves probabi-litats subjectives afectaria la manera com els consumidors distribueixen la sevariquesa entre estats diferents, però no els seus patrons de despesa dins de cadaestat.

→ Això és degut a la propietat d’additivitat entre estats: el que passa dins d’un estatparticular no es veu influït pel que passa dins d’un altre estat. Tornarem a parlarmés endavant d’aquesta propietat d’independència entre estats.

• Quan les funcions d’utilitat en els diferents estats (v1 i v2, en el nostre exemple)són iguals, llavors diem que les preferències del consumidor tenen la propietatde la utilitat esperada.

• Exercici. Siguin

v1(x1, y1) = a log(x1) + (1 − a) log(y1)

v2(x2, y2) = b log(x1) + (1 − b) log(y1)

on 0 < a < 1/2 < b < 1. Considereu el programa de maximització del consu-midor.

(i) Mostreu que es compleix

p1 x1

a π=

q1 y1

(1 − a) π=

p2 x2

b (1 − π)=

q2 y2

(1 − b) (1 − π)

(ii) Usant les relacions anteriors, deriveu la funció de demanda de cada un delsbéns.

(iii) Mostreu que la proporció de la riquesa que el consumidor es gasta en x1 ésa π . Trobeu les proporcions de la riquesa que es gasta en cada un dels demésbéns. Discutiu si la solució us sembla intuïtivament raonable.

UTILITAT ESPERADA

– Abans ja hem parlat de la propietat de la utilitat esperada. Ara la introduiremformalment.

– Sigui X el conjunt de les combinacions de consum de les mercaderies bàsiques,i S el conjunt dels estats de la natura.

– L’objecte d’elecció dels consumidors són vectors de la forma

(xs)s∈S, on cada xs ∈ X

és a dir, per cada estat s ∈ Sel consumidor tria una certa combinació de consumxs ∈ X. (Això no és més que una forma compacta d’expressar el que hem vistabans.)

• Les preferències dels consumidors tenen la propietat de la utilitat esperada sisón representables mitjançant una funció d’utilitat de la forma

u((xs)s∈S

)=

∑s∈S

πs v(xs)

on

→ πs ≥ 0 és la probabilitat (subjectiva) de l’estat s. Per tant,∑s∈S

πs = 1.

→ La funció v : X → R és una funció d’utilitat que serveix al consumidor pervalorar les combinacions de consum a cada estat. Notem que, a diferènciadel cas més general d’una utilitat additiva entre estats, aquí v és la mateixafunció a tots els estats.

NOTA: Hem suposat que hi ha un nombre finit d’estats. El cas més general s’obtéreemplaçant la suma per una integral.

– La diferència que hi ha entre una utilitat additiva entre estats i una utilitat espe-rada, és que en el segon cas hi ha una única funció que serveix per valorar lescombinacions de consum a cada estat, mentre que en el primer cas permetemuna funció diferent a cada estat.

→ Com a conseqüència, quan hi ha una utilitat esperada les taxes marginals desubstitució entre dues mercaderies són sempre les mateixes, sigui quin siguil’estat.

– Aquest darrer punt ens permet jutjar en quines circumstàncies el supòsit d’unautilitat esperada és o no una bona aproximació a la realitat.

– En l’exemple que hem discutit abans, on l’estat diu si fa fret o calor i les mer-caderies són roba de cotó o de llana, una utilitat esperada sembla poc realista.Ara bé, això es pot solucionar redefinint convenientment les mercaderies (e.g.,el grau d’adequació de la roba a l’entorn).

– Una teoria de l’elecció en condicions d’incertesa té dos objectius

• Tractar d’aproximar el comportament real dels agents econòmics (teoria posi-tiva).

• Mostrar als agents econòmics cóm hauríen de prendre les seves decisions(teoria normativa).

– És important distingir bé entre aquests dos aspectes. Per exemple, veurem que,encara que en moltes circumstàncies la teoria de la utilitat esperada no és gairerealista des d’un punt de vista positiu, segueix tenint un valor normatiu impor-tant.

→ De fet, quan hom parla de la teoria de la utilitat esperada, es refereix més aviata les aportacions que mostren el valor normatiu d’aquesta forma d’elecció.

– Històricament, von Neumann i Morgernstern varen ser els primers en mostrarque, sempre que les preferències dels consumidors satisfacin una sèrie de reque-riments, llavors necessàriament aquestes preferències són representables mit-jançant una utilitat esperada.

– Més endavant veurem que el marc de von Neumann i Morgenstern és més sen-zill que el que hem estat analitzant fins ara.

– El marc que hem estat considerant aquí, basat en probabilitats subjectives, esderiva de l’aportació de Savage, i els autors que posteriorment l’han desenvolu-pada.

→ La teoria de Savage

– Partim del supòsit que els consumidors tenen definida una relació de preferènciasobre el conjunt de mercaderies contingents (mercaderies indexades pels estatsde la natura). Recordem que anomenem X el conjunt de mercaderies bàsiquesi S el conjunt dels estats de la natura.

→ Savage mostra que si aquestes preferències compleixen una sèrie de requeri-ments, llavors tenen la propietat de la utilitat esperada. Més concretament, exis-teix una funció d’utilitat sobre mercaderies bàsiques v : X → R, i una probabi-litat subjectiva sobre estats (πs)s∈S, tals que les preferències són representablesper la funció d’utilitat:

u((xs)s∈S

)=

∑s∈S

πs v(xs)

→ Notem que, en el marc de Savage, la probabilitat subjectiva (πs)s∈S es deriva deles preferències.

– Un exemple ens permetrà veure intuïtivament per què això té sentit.

• Suposem que ens donen a triar entre les dues següents alternatives:

– Guanyarem un milió si les accions de Telefònica valen la meitat que ara dinsd’un any, i res altrament.

– Guanyarem un milió si surt cara en el llançament d’una moneda sense biaix,i res altrament.

→ La nostra elecció entre les dues alternatives ens dóna informació sobre les pro-babilitats subjectives que atorguem als dos esdeveniments.

– L’exemple anterior ens permet apreciar que la construcció de la probabilitatsubjectiva és molt més senzilla quan hi ha elements amb probabilitats objectivesque ens permeten fer comparacions.

– En general, en totes les teories de la utilitat esperada els requeriments sobrepreferències que es posen han d’incloure’n un que impliqui la propietat d’inde-pendència entre estats que hem comentat abans que ha de complir una funciód’utilitat additiva entre estats. En el marc de Savage, aquest requeriment adoptala següent forma:

• Axioma d’independència (“Sure thing principle”): Suposem que un pla con-tingent que és estrictament preferit a un altre. Suposem que hi ha un conjuntd’estats A en el qual tots dos plans coincideixen. Llavors el primer pla segueixessent preferit al segon si canviem tots dos plans sobre els estats del conjunt A,de tal forma que hi segueixen coincidint.

x yi

x yi

Ac

coincideixen

A

difereixen

x preferit a y

L’axioma de Savage ens diu que el que fa que preferim un pla x sobre un altre ydepèn de les seves respectives prescripcions en estats diferents dels que es troben aA. La forma com ambdós plans coincideixin sobre A no hauria d’importar. Notemque això implica la independència entre estats.

– Més endavant veurem una forma més senzilla de l’axioma d’independència, enun context més especialitzat.

– La complicada formulació de l’axioma d’independència de Savage es deu a quède fet estem parlant de probabilitats condicionals. És a dir, la formulació deSavage ens permet veure com el consumidor modifica les seves probabilitatsquan rep nova informació.

– Matemàticament, la teoria de Savage és la més complicada de totes les teoriesde la utilitat esperada. Entre d’altres requeriments, es necessita que hi hagi unnombre infinit d’estats, per tal de poder fer particions de S suficientment finesperquè es puguin precisar les probabilitats subjectives (en la teoria de Savage laprobabilitat subjectiva del consumidor és única).

→ La teoria de von Neumann i Morgenstern

– En la teoria de Savage, la distribució de probabilitat subjectiva de l’individu iun pla de consum contingent originen una distribució de probabilitat sobre lesmercaderies bàsiques X. El model se simplifica considerablement si prenemcom a objecte primitiu aquestes distribucions de probabilitat sobre mercaderiesbàsiques.

• Una loteria és una distribució de probabilitat sobre el conjunt X de mercaderiesbàsiques. Denotarem les loteries amb lletres com p, q, r .

– En el model de von Neumann i Morgenstern, els consumidors tenen preferènciesdefinides sobre loteries. És sobre aquestes preferències que imposarem requeri-ments. A part de condicions de continuïtat, el requeriment paral.lel a l’axiomad’independència de Savage és ara l’axioma de substitució.

→ Notem que el fet de prendre les loteries com a punt de partida implica que, enlloc de tractar amb probabilitats subjectives, suposem que hi ha probabilitatsobjectives.

– En un món amb probabilitats subjectives, un mateix esdeveniment incert té asso-ciades diferents distribucions de probabilitats per part de diferents consumidors.Aquí, cada loteria es correspondria amb un esdeveniment donat, i per tant lesprobabilitats que els diferents individus associen amb aquest esdeveniment hande coincidir.

• Axioma de substitució: Suposem que p � q. Sigui r una loteria qualsevol i α unnúmero estrictament entre 0 i 1. Llavors s’ha de complir

α p + (1 − α) r � α q + (1 − α) r

→ El teorema de von Neumann i Morgernstern diu que una preferencia sobre lo-teries que satisfà aquestes condicions es pot representar en forma d’utilitat es-perada: hi ha una funció d’utilitat sobre mercaderies bàsiques v : X → R talque

p � q ⇐⇒

∑x∈X

p(x) v(x) ≥

∑x∈X

q(x) v(x)

on p(x) i q(x) són les probabilitats respectives que p i q posen sobre la merca-deria x.

→ Inconsistència dinàmica i l’axioma de substitució

– Un dels motius principals pels quals els axiomes d’independència (o substitu-ció) tenen un valor normatiu és que, en la seva absència, les eleccions delsconsumidors en contextos dinàmics són inconsistents. Il.lustrarem això amb unexemple.

• Exemple: Suposem que p � q, però que:

1

2q +

1

2r �

1

2p +

1

2r

– Sigui s una loteria que està en mig de les dues anteriors (això és possible percontinuïtat):

1

2q +

1

2r � s �

1

2p +

1

2r

– Suposem ara que hem de fer eleccions d’acord amb l’arbre de decisió següent.

s

r

p

q

c

1/2

1/2

d

a

b

– Aquí, a, b, c i d denoten alternatives entre les que hem de triar, mentre queels números denoten una tria aleatòria (per exemple, algú llença una moneda al’aire).

– Els diferents plans d’actuació donen lloc a les següents loteries:a −→ s,

bc −→12 p +

12 r,

bd −→12 q +

12 r.

Donades les preferències que hem escrit més amunt, quan planifiquem la nostraacció decidirem triar l’alternativa “bd”. Ara bé, una vegada hagin llençat la mo-neda, si surt creu el nostre pla d’acció ens diu que hauriem de triar “d” i obtenir q,però resulta que nosaltres preferim p i triarem “c”, per la qual cosa si ho tornem amirar tot des del principi hauria estat millor triar l’alternativa “a”.

→ Notes històriques

→ En els inicis de la teoria de la probabilitat, la creença comú era que les situacionsde risc que involucraven guanys o pèrdues monetaris havien de ser avaluatsd’acord amb el seu valor esperat.

→ Un exemple que va fer posar en dubte aquesta visió és l’anomenada paradoxade Sant Petersburg, proposada per Nicolas Bernoulli.

→ En la discussió subseqüent per tratar de superar aquesta paradoxa, Gabriel Cra-mer i Daniel Bernoulli van suggerir que el que importava era avaluar les cosesd’acord amb la seva esperança moral, que no és altra cosa que una utilitat espe-rada.

– La paradoxa de Sant Petersburg consisteix en el següent joc: es va llençant unamoneda sense biaix a l’aire fins que surt cara. Si surt cara en la tirada n-èsima,llavors la loteria dóna un guany de 2n euros.

– Calculem l’esperança de guany d’aquesta loteria:

1

22 +

1

44 +

1

88 + · · · +

1

2n 2n+ · · · = 1 + 1 + 1 + · · · = +∞

→ Com que l’esperança de guany és infinita, un individu que es guiés pel valoresperat hauria d’estar disposat a pagar qualsevol quantitat que li demanessinper participar en aquest joc. Això sembla ben lluny de la realitat.

→ Crítiques a la teoria de la utilitat esperada

– La teoria de la utilitat esperada ha rebut nombroses crítiques. La pràctica totalitatd’aquestes crítiques es basa en els defectes d’aquesta teoria en tant que teoriapositiva: nombrosos experiments han mostrat que el comportament de la genten situacions d’incertesa sol estar ben lluny de les prediccions de la teoria.

– De fet, ens podríem remuntar una mica més i criticar el que hi ha a la base dela teoria: és fàcil dissenyar experiments en els quals els subjectes mostren unspatrons d’elecció que no són transitius, i per tant no poden respondre a unarelació de preferència com les que els economistes postulen.

– En els nombrosos experiments que s’han realitzat, s’han mostrat patrons de com-portament que és molt important de prendre en compte quan es fan estudispràctics (com ara una avaluació de riscos mediambientals) on es vulgui esbrinardirectament l’avaluació que els individus fan de diferents situacions.

→ Per exemple, un d’aquests patrons de comportament és el que Kahneman iTversky anomenen efectes marc (framing effects).

• Exemple: S’està estudiant com combatre una malaltia a resultes de la quals’espera que moriran 600 persones si no es pren cap mesura. Primer ens do-nen a triar entre les dues alternatives següents

– A: 200 persones se salvaran.– B: amb probabilitat 2/3 no se salvarà ningú, i amb probabilitat 1/3 se salvaran

totes 600 persones.

• En una elecció subseqüent, ens demanan de triar entre les dues alternativessegüents

– C: 400 persones moriran amb certesa.– D: amb probabilitat 2/3 moriran 600 persones, i amb probabilitat 1/3 no mo-

rirà ningú.

→ Kahneman i Tversky van trobar que un 72% dels individus varen preferir A a B,mentre que un 78% varen preferir D a C.

– No cal fixar-s’hi massa per veure que la tria és sempre la mateixa, encara queestà plantejada de manera diferent.

– Com deiem, això té un valor pràctic, però el seu valor teòric és una mica mésqüestionable. I del valor normatiu no cal ni parlar-ne!

• Un altre exemple famós és la paradoxa d’Allais.

– En primer lloc, hem de dir quina de les dues loteries següents preferim:Loteria 1. Guanyem 5 milions d’euros amb seguretat.Loteria 2. Obtenim 25, 5 o 0 milions, amb probabilitats 0.1, 0.89 i 0.01.

– A continuació ens fan triar entre:Loteria 3. Guanyem 5 milions o 0, amb probabilitats 0.11 i 0.89.Loteria 4. Obtenim 25 milions o 0, amb probabilitats 0.1 i 0.9.

– Una majoria sol preferir 1 a 2 i 4 a 3. Sembla ser que fins i tot Savage va caureen el parany!

• Exercici. Mostreu que el patró d’elecció comú és incompatible amb una utilitatesperada.

→ Per tal de raonar per què hauríem de voler triar d’acord amb els postulats dela utilitat esperada (el seu axioma d’independència), Savage va refer l’exempleinterpretant les probabilitats com a extraccions d’una urna de boles que tenen unnúmero pintat a dalt. Les dues alternatives que ens han presentat correspondriena:

Número de boles1 10 89

Loteria 1 5 5 5Loteria 2 0 25 5

Número de boles1 10 89

Loteria 3 5 5 0Loteria 4 0 25 0

REPARTIMENT ÒPTIM DE RISCOS

– Fins ara hem estat mirant el risc des d’un punt de vista individual. Ara conside-rarem la influència del risc en la interacció dels agents econòmics.

– Per tal de poder representar gràficament les coses, considerarem una economiaamb una sola mercaderia bàsica (diem, blat) i dos estats de la natura, bon i maltemps.

– En primer lloc començarem treballant amb una funció d’utilitat general, u(x, y),i després especialitzarem el nostre estudi a funcions d’utilitat que tenen la pro-pietat de la utilitat esperada.

– Suposem que la probabilitat (subjectiva) d’un individu pels dos estats de la na-tura és π i 1 − π , respectivament.

– Sigui k una quantitat de blat donada. Considerem tots els plans de consum (x, y)

que tenen valor esperat k:

π x + (1 − π) y = k

→ Tots els plans de consum que tenen un mateix valor esperat formen una rectaque té pendent π/(1 − π).

Pendent = 1 − π

π

x + ( 1 − ) y = kππ

x

y

x = y

k

k

– Ara volem veure com es manifesten les actituds envers el risc del consumidoren la forma de les seves corbes d’indiferència.

→ Diem que un consumidor té neutralitat envers el risc si és indiferent entre totesles combinacions de consum que tenen un mateix valor esperat.

• En conseqüència, si un consumidor té neutralitat envers el risc, les seves corbesd’indiferència són línies rectes amb pendent π/(1 − π).

Pendent = 1 − π

π

x

y

x = y

Corbes d’indiferència d’un consumidor amb neutralitat envers el risc

– Un concepte molt important des del punt de vista de la interacció dels individusen condicions d’incertesa és el d’aversió al risc. La interpretació intuïtiva ésque el risc afecta negativament la utilitat dels individus. Anem a definir aquestconcepte amb precisió.

• Diem que una combinació de consum sense risc és aquella que està sobre larecta de 45 graus: l’individu consumeix el mateix en els dos estats. En lescombinacions sense risc el consumidor gaudeix d’una assegurança completacontra l’aleatorietat.

• Diem que un consumidor té aversió al risc si valora menys una combinació deconsum (x, y) que aquella combinació sense risc que li dóna en cada estat elseu valor esperat π x + (1 − π) y.

– Com a conseqüència de la definició, les corbes d’indiferència d’un individuamb aversió al risc tenen la forma habitual de les corbes d’indiferència que homestudia en la teoria del consumidor.

– Considerem una combinació de consum amb risc, (x, y), on, diem, y > x. Siguik = π x + (1 − π) y el valor esperat de la combinació de consum.

→ Hi haurà una quantitat de blat z tal que la combinació (x + z, y) serà indiferenta la combinació sense risc (k, k).

→ Com més gran sigui l’aversió al risc del consumidor, major serà la quantitat zque haurem de donar-li per tal que sigui indiferent al valor esperat sense risc.

• Per tant, com més gran és l’aversió al risc del consumidor, més gran és la corba-tura de les corbes d’indiferència (més s’allunyen de les línies rectes que corres-ponen a la neutralitat envers el risc).

45o

x + ( 1 − ) y = kππ

x

y

k

k

( x, y ) ( x + z, y )

→ Notem també com, per construcció, les corbes d’indiferència del consumidoramb aversió al risc són tangents a la recta que indica el valor esperat sobre lalínia x = y de les combinacions sense risc.

– És a dir, en una combinació sense risc, el pendent d’una corba d’indiferènciaés sempre π/(1 − π), on π indica la probabilitat subjectiva que el consumidoratorga al primer estat (bon temps).

– Tot això que hem vist fins ara es compleix en particular quan les preferències delconsumidor tenen la propietat de la utilitat esperada, és a dir, són representablescom a

u(x, y) = π v(x) + (1 − π) v(y)

on v denota la seva funció d’utilitat per la mercaderia bàsica (blat).

– La taxa marginal de substitució entre el blat en els dos estats de la natura serà

TMSx,y =∂u/∂x

∂u/∂y=

π v′(x)

(1 − π) v′(y)

– En les combinacions de consum sense risc (x = y) tindrem

TMSx,y∣∣x=y =

π v′(x)

(1 − π) v′(x)=

π

1 − π

• Exercici. Prenent y com a funció de x, diferencieu dues vegades la identitat queindica una corba d’indiferència

π v(x) + (1 − π) v(y) ≡ u

per tal d’obtenir d2y/dx2. A continuació, mostreu que en les combinacionssense risc es compleix

d2y

dx2

∣∣∣∣∣x=y

=π

(1 − π)2r A(x)

on r A(x) és el coeficient d’aversió absoluta al risc, definit per:

r A(x) = −v′′(x)

v′(x)

Per tant, la corbatura de les corbes d’indiferència al voltant de les combinacionssense risc és més gran com més gran sigui el coeficient d’aversió absoluta al risc.

→ Optimalitat de Pareto

– Volem ara considerar una economia d’intercanvi amb dos consumidors. Analit-zarem aquelles combinacions que són òptimes en el sentit de Pareto utilitzantcaixes d’Edgeworth.

→ La idea bàsica del que veurem és senzilla: en una economia amb incertesa, lescondicions d’optimalitat requereixen que els individus intercanviïn risc fins aigualar les seves valoracions marginals per al mateix, tal com farien amb qual-sevol altre bé.

• Aquest intercanvi de riscos l’anomenem el repartiment òptim dels riscos.

– En general, hi haurà una transferència de riscos d’individus amb més aversió alrisc cap a individus amb un grau d’aversió menor.

– El motiu intuïtiu és senzill: un individu amb aversió al risc està disposat a inter-canviar risc per riquesa. I la quantitat de riquesa que està disposat a sacrificara canvi de lliurar-se del risc és tant més gran com major sigui la seva aversió alrisc.

– Suposem que tenim dos individus: un neutral envers al risc i l’altre avers. Enla caixa d’Edgeworth, les combinacions òptimes són aquelles con les corbesd’indiferència dels dos individus són tangents.

→ Farem el supòsit que les probabilitats subjectives dels dos individus pels dosestats de la natura són les mateixes. Aquí aquest supòsit no és molt restrictiu jaque la informació és simètrica.

O 2

O 1 x = y22

x = y1 1

Pendent = π

1−π

– Com que les corbes d’indiferència de l’individu neutral envers el risc tenen sem-pre pendent π/(1−π), la tangència entre les corbes d’indiferència dels dos indi-vidus es dóna quan les de l’individu amb aversió tenen aquest mateix pendent:sobre la recta de combinacions sense risc de l’individu amb aversió al risc.

→ Quan hi ha un individu amb aversió al risc i un altre amb neutralitat, el reparti-ment òptim de riscos té lloc quan el segon absorbeix tot el risc. L’individu ambaversió aconsegueix assegurança completa.

– La intuïció és senzilla: l’individu amb aversió està disposat a pagar a canvi dedesprendre’s de risc, mentre que l’altre és indiferent al risc.

– Considerem ara dos individus aversos al risc.

O 2

O 1 x = y22

x = y1 1

– En aquest cas, les combinacions òptimes es troben entre les rectes de combina-cions sense risc dels dos individus: cap dels dos rep una assegurança completa.

→ En general, si un dels dos individus té un grau d’aversió al risc superior, lescombinacions òptimes es trobaran més properes a la seva recta de combinacionssense risc.

– Notem, però, que el fet que l’aversió al risc d’un individu sigui inferior a la del’altre, no significa que el primer absorbeixi tot el risc.

→ Remarquem, finalment, que amb mercats contingents complets i sota els supò-sits habituals de la teoria de l’equilibri general, aquestes assignacions òptimespodrien ésser implementades amb un mecanisme de mercats competitius.

UTILITAT SOBRE RIQUESA I AVERSIÓ AL RISC

• Donat que el risc afecta negativament la utilitat d’un individu que n’hi té aversió,tindrem que un individu amb aversió al risc està disposat a sacrificar riquesa acanvi de desprendre’s de risc.

– Podem donar caracteritzacions més precises de l’aversió al risc si especialitzemuna mica el marc, en relació al que hem estat veient fins ara. En particular,en lloc de suposar que X és un conjunt de vectors de consum de mercaderiesbàsiques, suposarem que X està format per nivells de riquesa, mesurats en uni-tats monetàries. Aquest marc més especialitzat és suficient per a analitzar moltsproblemes econòmics d’interès, com ara determinats problemes d’asseguranceso d’inversió en actius incerts.

– Una loteria p serà, doncs, una distribució de probabilitat sobre nivells de ri-quesa. Denotarem per Ep(v) el valor esperat d’una funció d’utilitat v definidasobre nivells de riquesa.

– Si hi ha un nombre finit de possibles nivells de riquesa, llavors

Ep(v) =

∑x∈X

v(x) p(x)

– D’altra banda, si els possibles nivells de riquesa són tots els nombres reals dinsd’un cert intèrval, anomenarem f p(x) la funció de densitat de probabilitat de ladistribució p, de tal manera que la utilitat esperada és

Ep(v) =

∫X

v(x) f p(x) dx

– Donada una loteria p, denotem amb xp el valor esperat (o mitjana) de la ma-teixa. En el cas discret

xp =

∑x∈X

x p(x)

i en el cas continu

xp =

∫X

x fp(x) dx

– Si tenim una loteria que posa probabilitat 1 en un nivell de riquesa x i probabi-litat 0 en la resta, llavors el seu valor esperat és x, i la seva utilitat esperada ésv(x). Diem que aquesta loteria dóna x amb certesa.

• En el context present, diem que un consumidor té aversió al risc si qualsevolloteria p li dóna sempre menys utilitat que la loteria que li dóna el valor esperatxp amb certesa:

Ep(v) ≤ v(xp), per tota loteria p

– Notem com la definició que hem donat es tradueix en una propietat de la funciód’utilitat sobre nivells de riquesa v. De fet, una propietat matemàtica anome-nada desigualtat de Jensen ens assegura que:

→ Un consumidor té aversió al risc si, i només si, la utilitat sobre nivells de riquesav és una funció còncava.

– Recordem que, si v és diferenciable dues vegades amb continuïtat, és una funciócòncava si, i només si, v′′(x) ≤ 0, per tot x.

v(x )p

E (v)p

x px’ x’’

v(x’)

v(x’’)

C(p) Riquesa

Utilitatv(x)

En el gràfic, estem considerant una loteria p que posa probabilitats positives sobredos nivells de riquesa, x′ i x′′. El valor C(p), anomenat equivalent cert de laloteria, és aquell nivell de riquesa tal que v[C(p)] = Ep(v).

• Definim l’equivalent cert d’una loteria p com aquell nivell de riquesa C(p) talque v[C(p)] = Ep(v). És a dir, el consumidor és indiferent entre la loteria p i elnivell de riquesa C(p) amb seguretat.

→ L’equivalent cert representa el preu de reserva de l’individu per la loteria.

– Per exemple, imaginem que la loteria és un cert actiu financer, posem per casunes accions, que té un rendiment incert. Llavors l’equivalent cert és el preumínim que l’individu estaria disposat a acceptar a canvi de les accions.

– D’altra banda, si la loteria és el risc d’un sinistre, diem-ne un incendi, per al’individu, llavors l’equivalent cert és el preu màxim que l’individu estaria dis-posat a pagar a canvi d’adquirir una assegurança amb cobertura total del risc.

→ Com que suposem que v és una funció estrictament creixent, un consumidor ésavers al risc si, i només si, per cada loteria p es compleix que C(p) ≤ xp.

• Diem que un consumidor és neutral envers el risc, si sempre és indiferent entreuna loteria p i el seu valor esperat xp:

Ep(v) = v(xp) ⇐⇒ xp = C(p), per tota loteria p

→ La funció v d’utilitat sobre riquesa d’un consumidor neutral envers el risc, éssempre una línia recta, la qual cosa es tradueix en què v′′

= 0.

→ El coeficient d’aversió absoluta al risc

– Com que l’aversió al risc va associada amb la concavitat (corbatura) de la funcióv, és raonable esperar que una mesura de la intensitat d’aversió al risc vindràdonada pel grau de concavitat de la funció, que és mesurat per la seva derivadasegona. Per fer les coses independents de les unitats de mesura, normalitzemdividint per la derivada primera.

• El coeficient d’aversió absoluta al risc d’una funció d’utilitat sobre riquesa v és

r A(x, v) = −v′′(x)

v′(x)

– Es pot mostrar que, si el coeficient d’aversió absoluta al risc és sempre mésgran per a una funció d’utilitat que per a una altra, llavors la primera funcióés el resultat de “concavificar” la segona. Notem, però, que, per tal d’ordenarindividus d’acord amb els coeficients d’aversió absoluta al risc, és necessari queaquests coeficients estiguin ordenats per cada nivell de riquesa.

→ Moltes aplicacions pràctiques usen funcions que tenen aversió absoluta al riscconstant (en anglès, CARA), que són de la forma

v(x) = −e−r x

on r > 0 és el coeficient d’aversió absoluta al risc.

– Molts models econòmics també solen suposar que el coeficient d’aversió abso-luta al risc és decreixent (en anglès, DARA), és a dir, que com més elevat és elnivell de riquesa s’està més disposat a assumir riscos. Com a exemple, podeucomprovar que la funció v(x) = log(x) és d’aquesta classe.

• Exemple. Per entendre la significació del coeficient d’aversió absoluta al risc,discutirem un exemple senzill de decisió d’inversió.

– Un inversor avers al risc, amb una funció d’utilitat sobre riquesa v (on v′′ < 0),està decidint sobre com col.locar la seva riquesa inicial, W0, entre un actiu senserisc i un altre actiu amb risc.

– La taxa de rendiment de l’actiu sense risc és un número donat, r f . La taxa derendiment de l’actiu amb risc és una variable aleatòria r , que pren com a mínimdos valors diferents.

– Si inverteix x pessetes en l’actiu amb risc, llavors la seva riquesa final serà

W = (W0 − x) (1 + r f ) + x (1 + r ) = W0 (1 + r f ) + x (r − r f )

– Cercarem aquell patró d’inversió que faci màxima la utilitat esperada de l’inversor.Denotarem el valor esperat amb la lletra E.

maxx

E{v

[W0 (1 + r f ) + x (r − r f )

]}– Igualarem la derivada primera de la funció a zero (per simplificar, denotarem

l’argument de la funció com a W):

dU

dx= E

{(r − r f ) v′(W)

}= 0

– Notem que la solució d’aquesta equació indicarà un màxim global, ja que lafunció a maximitzar és còncava

d2U

dx2= E

{(r − r f )

2 v′′(W)}

< 0

– Notem en primer lloc que la solució x∗ és estrictament positiva sempre queE{r } > r f .

– Això és degut a què, quan x = 0, la derivada de la utilitat esperada és

dU

dx

∣∣∣∣x=0

= E{(r − r f ) v′

(W0 (1 + r f )

)}= v′

(W0 (1 + r f )

)E(r − r f ) > 0

– Com que la funció és estrictament creixent quan x = 0, vol dir que el seu valor(la utilitat esperada) creixerà si fem x una mica més gran.

– El que ara voldríem saber és còm canvia la solució òptima x∗ per diferents valorsde la riquesa inicial W0. Això ens ho dirà el signe de la derivada dx/dW0.

– Trobem aquesta derivada com és habitual en els estudis d’estàtica comparativa:diferenciem la condició de primer ordre (una identitat) amb respecte al paràme-tre W0, tenint en compte que x és funció de W0:

E

{(r − r f ) v′′(W)

[(1 + r f ) + (r − r f )

dx

dW0

]}= 0

Per tant

dx

dW0= −

(1 + r f ) E{(r − r f ) v′′(W)

}E

{(r − r f )

2 v′′(W)}

– Com que el denominador és sempre negatiu, tindrem que

signe(

dx

dW0

)= signe

(E

{(r − r f ) v′′(W)

})– Expressant això en termes del coeficient d’aversió absoluta al risc

signe(

dx

dW0

)= signe

(−E

{(r − r f ) u′(W) RA(W)

})→ Podem apreciar immediatament que, si RA és constant, llavors l’expressió de la

dreta és zero, degut a la condició de maximització (l’equació de la qual obtenimla x òptima). És a dir, si RA és constant, el consumidor vol invertir sempre lamateixa quantitat en l’actiu amb risc, sigui quina sigui la seva riquesa inicial.

→ Anem a mostrar que, si RA és decreixent, llavors el consumidor vol invertir mésen l’actiu en risc com més gran sigui la seva riquesa inicial. Això es corresponamb la nostra idea intuïtiva que un consumidor amb aversió al risc decreixentestarà més disposat a assumir riscos com més gran sigui la seva riquesa.

– Comencem per observar que, quan RA és decreixent, tenim

(r − r f ) RA(W) ≤ (r − r f ) RA[W0 (1 + r f )]

Això és degut a què W = W0 (1 + r f ) + x (r − r f ) > W0 (1 + r f ) si, i només si,(r − r f ) > 0.

– Per tant,

E{(r − r f ) u′(W) RA(W)

}< E

{(r − r f ) u′(W) RA[W0 (1 + r f )]

}= · · ·

· · · = RA[W0 (1 + r f )] E{(r − r f ) u′(W)

}= 0 ⇒

dx

dW0> 0

→ El coeficient d’aversió relativa al risc

– Si en l’exercici anterior ens preguntem què passa quan la riquesa inicial és mésgran amb la proporció de la riquesa que invertim en l’actiu amb risc, llavors enlloc de l’aversió absoluta necessitem el concepte d’aversió relativa al risc.

• El coeficient d’aversió relativa al risc d’una funció d’utilitat sobre riquesa v és

r R(x, v) = −x v′′(x)

v′(x)

– Les funcions d’utilitat amb aversió relativa al risc constant, que són força usadestambé en models i estudis pràctics, tenen la forma v(x) = x1−a/(1 − a), ona > 0.

• Exercici. Comproveu que les funcions que hem caracteritzat com a d’aversióabsoluta al risc constant ho són efectivament.

• Exercici. Comproveu que les funcions que hem caracteritzat com d’aversió rela-tiva al risc constant ho són efectivament, tant quan 0 < a < 1, com quan a > 1.A continuació, mostreu amb un argument límit (regla de l’Hôpital) que, quana → 1, aquesta forma funcional tendeix al logaritme de x.

• Exercici. La funció d’utilitat sobre riquesa d’un individu és v(x) = log(x). Té 1milió de pessetes que pot invertir en: (a) el projecte A, que li dóna un rendimentsegur del 100%; o (b) el projecte B, on per cada pesseta invertida n’hi tornaran 3amb probabilitat π o bé 1 amb probabilitat 1− π . Anomeneu z la quantitat quel’individu inverteix en el projecte B, i per tant 1− z la que inverteix en A. Trobeuaquell valor π per dessota del qual z = 0, i aquell altre valor π per damunt delqual z = 1. ¿Què passa en els demés casos?

FUNCIONS DE DISTRIBUCIÓ I RISC

– Abans hem tractat de classificar els individus en termes de les seves actituds en-vers el risc. Ara el que farem és tractar de classificar distribucions de probabilitaten termes del grau de risc que impliquen.

→ Això no ho podem fer de manera totalment independent de les preferènciesdels individus que avaluaran aquestes distribucions. De fet, el que farem ésdefinir classes àmplies de preferències (totes les funcions d’utilitat creixents, obé totes les funcions d’utilitat còncaves), i ordenarem les distribucions nomésquan tots els individus d’una d’aquestes classes estiguin d’acord amb aquestaclassificació.

– Notem que aquest ordre és molt feble: per moltes parelles de distribucions, enstrobarem que ni la primera domina la segona ni la segona la primera.

→ Dominància estocàstica de primer ordre

– En primer lloc prendrem la classe de totes les funcions d’utilitat creixents. Lapregunta que ens formulem és: ¿quines condicions han de complir dues lote-ries (distribucions de probabilitat) per tal que tots els individus amb una funciód’utilitat creixent en prefereixin una a l’altra?

• Diem que una loteria p domina en el sentit de dominància estocàstica de pri-mer ordre una altra loteria q si tots els individus amb una funció d’utilitat crei-xent tenen una utilitat esperada més gran amb p que amb q. És a dir, per cadafunció d’utilitat v creixent, es compleix

Ep(v) ≥ Eq(v)

– Com que la definició és massa abstracta per tal de ser operativa, voldríem trobaruna manera equivalent de definir aquesta propietat que sigui fàcil de comprovar.Per això, recordarem el concepte de funció de distribució.

– La funció de distribució d’una loteria ens indica, per cada nivell de riquesa y,quina és la probabilitat que la loteria atorga a tots els nivells de riquesa iguals oinferiors a y.

• Donada una loteria p, definim la seva funció de distribució Fp com segueix

– En el cas discret, Fp(y) =

∑x≤y

p(x).

– En el cas continu, Fp(y) =

∫ y

−∞

f p(x) dx, on f p denota la funció de densitat

de p.

• La propietat que ens interessa de cara a comprovar les coses és: la loteria pdomina la loteria q en el sentit de dominància estocàstica de primer ordre si, inomés si, per cada nivell de riquesa y es compleix que Fp(y) ≤ Fq(y).

Fp

Fq

(y)Fq

(y)Fp

Riquesa

1

y

→ El fet que Fp(y) ≤ Fq(y) indica que la loteria p posa menys probabilitat queq en els nivells de riquesa iguals o inferiors a y, i, en conseqüència, posa mésprobabilitat en els valors de riquesa superiors a y.

– La dominància estocàstica de primer ordre implica en particular que el valoresperat de p és superior al de q, però és molt més restrictiva que això.

• Exemple: Suposem que p és una distribució normal amb mitjana µ1 i variànciaσ1, i q una altra distribució normal amb mitjana µ2 i variància σ2. Llavors p

domina q en el sentit de dominància estocàstica de primer ordre si, i només si,µ1 ≥ µ2 i σ1 = σ2. La igualtat de les variàncies és, òbviament, molt restrictiva:moltes distribucions normals no estàn relacionades entre sí per aquesta relacióde dominància.

• Exercici. (i) Sigui q la loteria que posa probabilitats 1/2 a cada un dels punts 10i 20, i p la que posa probabilitats respectives 1/3 i 2/3 en els mateixos punts.Comproveu que p domina q en el sentit de dominància estocàstica de primerordre.

(ii) Sigui q la loteria que posa probabilitats 1/2 a cada un dels punts 9 i 19, i p

la que posa probabilitats respectives 1/3 i 2/3 a 5 i a 20. Comproveu quel’esperança de p és més gran que la de q, però que p no domina q en el sentitde dominància estocàstica de primer ordre.

→ Dominància estocàstica de segon ordre

– El que ara volem és poder classificar distribucions d’acord amb el seu grau derisc. Per això, considerarem la següent qüestió: ¿quines condicions han decomplir dues loteries (distribucions de probabilitat) per tal que tots els individusamb aversió al risc en prefereixin una a l’altra? Com que l’aversió al risc ésequivalent a la concavitat de la funció d’utilitat sobre riquesa, fem la definicióque segueix.

• Diem que una loteria p domina en el sentit de dominància estocàstica de segonordre una altra loteria q si tots els individus amb una funció d’utilitat creixent icòncava tenen una utilitat esperada més gran amb p que amb q. És a dir, percada funció d’utilitat v creixent i còncava, es compleix

Ep(v) ≥ Eq(v)

– Com que la definició és molt abstracta, voldríem trobar condicions equivalentsque ens permetin entendre el seu significat i comprovar que es compleix. Perentendre què significa la dominància estocàstica de segon ordre, usarem el con-cepte de difusió de probabilitat.

• Diem que apliquem una difusió de probabilitat a una certa loteria quan a algunsdels seus possibles resultats els apliquem una nova distribució de probabilitat.

• Diem que una difusió de probabilitat manté la mitjana si la nova distribucióque apliquem a cada un dels resultats té mitjana zero. Si la nova distribució témitjana més gran que zero, llavors la difusió fa augmentar la mitjana.

• Exemple: Sigui p la distribució que posa probabilitat 1/5 en el punt 1, 3/5 en elpunt 3 i 1/5 en el punt 6.

– Suposem que al resultat 3 li apliquem la següent distribució de probabilitat:amb probabilitat 1/3 restem 1, amb probabilitat 1/3 el deixem igual, i ambprobabilitat 1/3 sumem 1. Això vol dir que, dels 3/5 de probabilitat que hihavia a 3, ara en tindrem 1/5 a 2, 1/5 a 3 i 1/5 a 4. Com que la difusió que hemaplicat a 3 tenia mitjana 0, la nova distribució tindrà la mateixa mitjana que p.

→ La nova distribució de probabilitat que obtenim, q, posa probabilitat 1/5 a cadaun dels punts 1, 2, 3, 4 i 6.

Una difusió de probabilitat mantenint la mitjana ("mean preserving spread")

Fp

+

−

Riquesa1 2 3 4 6 7 85

1/5

2/5

3/5

4/5

1

0

Fq

Riquesa1 2 3 4 6 7 85

1/5

2/5

3/5

4/5

1

0

→ Com que q és el resultat d’introduir més aleatorietat en els resultats de p, semblaintuïtivament clar que q hauria de tenir més risc que p.

→ Una loteria p domina una altra loteria q en el sentit de dominància estocàsticade segon ordre si, i només si, podem obtenir q a partir de p mitjançant unadifusió que mantingui o faci augmentar la mitjana.

– En el cas continu el concepte de difusió també existeix. Una manera d’expres-sar-lo és a través d’una funció. Per exemple, la funció g : X × [−1, 1] → X quefa g(x, t) = x + t dóna lloc a una difusió que manté la mitjana quan consideremla distribució uniforme sobre [−1, 1].

– De vegades no és obvi si una certa distribució ha estat obtinguda a partir d’unaaltra mitjançant una difusió de probabilitat. Per això, ens interessa també dispo-sar d’un criteri en termes de les funcions de distribució.

• Una loteria p domina en el sentit de dominància estocàstica de segon ordre unaaltra loteria q si, i només si, es compleix∫ y

−∞

Fp(x) dx ≤

∫ y

−∞

Fq(x) dx, per cada y ∈ X

– Notem que ara hem de comprovar, per cada nivell de riquesa y, que l‘àrea sotala funció de distribució és més gran per a q que per a p.

• Exemple: Suposem que p és una distribució normal amb mitjana µ1 i variànciaσ1, i q una altra distribució normal amb mitjana µ2 i variància σ2. Llavors p

domina q en el sentit de dominància estocàstica de segon ordre si, i només si,µ1 ≥ µ2 i σ1 ≤ σ2. Notem com aquesta ordenació és molt menys restrictiva queen el cas de dominància estocàstica de primer ordre.

• Exercici. Sigui p la loteria que pren els valors 2 i 8 amb probabilitats respectives1/2 i 1/2. Considereu la difusió que, a cada un dels possibles resultats (2 i 8) elssuma o resta 1 amb probabilitats respectives 1/2 i 1/2. Trobeu la nova loteria qque resulta d’aquesta difusió. A continuació representeu Fp i Fq i comproveugràficament que se satisfà la propietat de les integrals.

• Exercici. Mostreu que si p domina q d’acord amb la dominància estocàstica deprimer ordre, llavors també la domina d’acord amb la dominància estocàstica desegon ordre. Per tant, hi ha més loteries ordenades d’acord amb la dominànciaestocàstica de segon ordre que amb la de primer ordre.

• Exercici. Tenint en compte la trasllació de la dominància estocàstica de segonordre en termes de les funcions de distribució, dibuixeu les funcions de distri-bució de dues loteries que estan ordenades amb la dominància de segon ordre,però no amb la de primer ordre.

AVERSIÓ AL RISC I MERCATS D’ASSEGURANÇA

– El que acabem de veure és que en una economia amb mercats contingents com-plets, l’assegurança és una propietat de les combinacions de consum òptimes.

• L’assegurança no és més que un repartiment de la riquesa dels individus en-tre els diversos estats de la natura, de tal forma que s’assoleixi una assignaciósocialment òptima.

– En l’economia real no hi ha molts mercats contingents per a determinats estatsde la natura i/o períodes futurs. Això ha donat lloc al sorgiment d’institucionsque permeten compartir riscos entre els agents econòmics (mercats financers ialtres institucions com les companyies d’assegurances).

– Ara bé, hi ha un altre motiu que justifica l’existència de les companyies d’asse-gurances, i que està relacionat amb l’essència mateixa del risc.

→ Quan molts individus tenen riscos independents entre sí, la llei dels grans nom-bres ens assegura que, per l’agregat dels individus, les proporcions es corres-pondran amb les probabilitats.

• Entenem aquí com a independència la independència estocàstica, que significaque el fet que un individu determinat hagi patit un sinistre no altera la probabi-litat que d’altres el pateixin també.

• Exemple. Suposem que la probabilitat que al llarg d’un any hi hagi un incendia una casa en una regió determinada és d’un 1 per mil. Si a la regió hi ha10.000 cases i els esdeveniments són independents, ens hauríem d’esperar que,en mitjana, el nombre d’incendis anuals estigui al voltant de 10.

→ Això fa que, quan posem conjuntament riscos independents (risk pooling), lesincerteses individuals es transformen en magnituds col.lectives amb un graud’incertesa que disminueix amb el nombre d’individus. És això el que dónasentit econòmic a l’activitat de les assegurances.

→ Quan els riscos no són independents, les companyies d’assegurances podentenir problemes. Solucions: institucions públiques (e.g.: “zona de catàstrofe”),o bé ampliar l’escala (reassegurances).

• Exemple. Considerem el problema de compra d’assegurança d’incendis d’unindividu avers al risc. El valor de la seva propietat és M , i en cas d’incendi elvalor residual de la propietat seria R (on R < M ). La probabilitat que hi hagi unsinistre durant un any és π . Donada una prima d’assegurança γ (0 < γ < 1), potcontractar qualsevol cobertura X que estigui compresa entre 0 i M − R. Aixòvol dir que, si contracta una cobertura X, pagarà una quantitat γ X (tant si hi hasinistre com si no), i en cas d’incendi la companyia li donarà una quantitat X.

– Despreciant els costos de gestió, el cost esperat que l’assegurança suposaria ala companyia és el seu valor esperat π X i l’ingrés γ X. Diem que la prima ésactuarialment justa quan les dues quantitats són iguals: γ = π .

– El problema d’elecció individual és:

maxX π v[R + (1 − γ ) X] + (1 − π) v[M − γ X]s.a. 0 ≤ X ≤ M − R

– Si no hi hagués restriccions, la condició de maximització seria

π (1 − γ ) v′[R + (1 − γ ) X] − (1 − π) γ v′[M − γ X] = 0

(La derivada segona és sempre negativa, i per tant la solució d’aquesta condicióindica un valor màxim.)

– Podem expressar la condició d’optimalitat com

π

1 − π

v′[R + (1 − γ ) X]

v′[M − γ X]=

γ

1 − γ

– Per tant, si la prima és actuarialment justa (γ = π ), llavors tenim R+(1−γ ) X =

M − γ X ⇒ X = M − R, ja que la funció v és estrictament creixent. L’individuvoldria adquirir una cobertura total del seu risc.

(1−π) M + π Rv[ ]

(1−π) v(M) + π v(R)

M − π XR + (1−π) X(1−π) M + π R

Riquesa

Utilitatv(x)

M

v(M)

v(R)

R

Utilitat esperada amb assegurança parcial i completa quan γ = π .

Riquesaamb incendi

Riquesasense incendi

π

1−π

M

R

Recta d’assignacions sense risc

Assegurança completa

Assegurança parcial

Situació inicial

Utilitat amb assegurança parcial i completa quan γ = π .

ASIMETRIES INFORMATIVES I RISC

– Un dels motius principals que expliquen la manca de molts mercats contingentssón les asimetries informatives.

– Per exemple, si l’existència d’un determinat estat de la natura només és observa-ble per part d’un dels individus, llavors els dos individus no poden comprome-tre’s contractualment a fer determinades accions quan tingui lloc aquest estat dela natura, a menys que l’agent informat no obtingui cap guany de distorsionar laseva informació.

• En els mercats d’assegurances, es parla de problemes de risc moral quan elsindividus poden prendre accions, no observables públicament, que influenciïnla probabilitat d’un sinistre.

– Quan hi ha risc moral, els incentius dels individus a prendre accions preventiveses modifiquen una vegada han adquirit una assegurança. Això origina desvia-cions en relació a l’optimalitat (per exemple, pòlisses d’assegurança amb undeductible).

– La terminologia de risc moral s’ha extès del món de les assegurances a d’altressituacions econòmiques en què alguns agents poden prendre accions que nosón públicament observables.

→ Un dels camps en què això ha tingut una influència notable és en la teoria del’empresa. Les polítiques de second best dissenyades per fer front a problemesde risc moral s’usen per explicar moltes formes contractuals observades en elmón empresarial.

– Aquí discutirem com en els problemes de “principal i agent”, el risc hi juga unrol essencial.

– El marc típic de principal i agent consisteix en un agent que tria un esforç delqual depèn aleatòriament una certa variable de resultats que determina la utilitatdel principal.

→ Ara bé, només l’agent pot observar el seu propi esforç, per la qual cosa el prin-cipal no pot escriure un contracte que especifiqui un nivell d’esforç determinat.

• El que volem fer notar aquí és que, si l’agent no té aversió al risc, l’asimetriainformativa no té efectes negatius: es pot assolir una solució de first best si elprincipal traspassa tot el risc a l’agent.

→ La idea bàsica és senzilla, i de fet és un dels principis de decisió en situacionseconòmiques amb asimetries informatives: deixem que sigui la part informadaqui prengui les decisions (corrent amb les seves conseqüències, naturalment).

– El que limita aquest principi és precisament el fet que en moltes situacionsd’interès el principal és neutral envers el risc mentre que l’agent és avers alrisc, per la qual cosa transferir tot el risc a l’agent no és la millor solució.

→ En els contractes òptims de second best amb asimetries informatives, s’han decontrapesar dues tendències que apunten en direccions oposades: el reparti-ment òptim de riscos i la necessitat de donar incentius als agents.

• Considerem el següent model d’agència: l’agent decideix sobre el seu nivelld’esforç e, de tal forma que el producte x depèn aleatòriament del nivell d’esforç,d’acord amb la funció de probabilitat π(x|e). L’agent té una funció d’utilitatv(w)−c(e), on w és el salari que rep i c(e) representa el cost de l’esforç. La sevautilitat de reserva és U .

– El guany del principal el consisteix el que n’obté pel producte, x, menys el quepaga a l’agent, w. El principal és neutral envers el risc: només li interessa el seuguany net en termes esperats.

– L’asimetria informativa ve donada pel fet que el principal no pot observar l’esforçde l’agent.

– Suposem que tots els nivells de producte són possibles donat qualsevol nivelld’esforç: π(x|e) > 0, per tot x i per tot e. D’aquesta manera, observant eltamany del producte no es pot inferir l’esforç. Anomenarem X el conjunt de totsels nivells de producte possibles, i E el de tots els nivells d’esforç.

• El primer que farem és considerar quina seria la solució del problema en absèn-cia d’asimetria informativa, és a dir, si el principal pogués observar l’esforç.Aquest és l’anomenat contracte de first best.

→ És convenient dividir el problema de determinar la política òptima de compen-sació en dues parts:

– Per cada nivell d’esforç e, trobarem quina seria la política de salaris que mini-mitzaria el cost per al principal d’implementar e.

– Triarem aquell nivell d’esforç e que maximitzi el guany net del principal.

• Donat un nivell d’esforç e, el principal ha de triar una política de salaris w(x, e)

tal que l’agent prefereixi treballar amb ell a no fer-ho i guanyar la seva utilitat dereserva U :

minw(x,e)

∑x∈X

w(x, e) π(x|e)

s.a.∑x∈X

{v[w(x, e)] − c(e)} π(x|e) ≥ U

– Notem que, en l’òptim, la restricció es complirà com a igualtat, ja que en cascontrari el principal podria reduir una mica el salari en cada estat i sortir-higuanyant, tot respectant la restricció.

→ La condició de minimització és

π(x|e) − λ v′[w(x, e)] π(x|e) = 0, per cada x

on λ és un multiplicador de Lagrange associat a la restricció. Per tant

λ =1

v′[w(x, e)], per cada x

→ Com que λ no depèn de x, tindrem que w(x, e) = w(e), per cada x.

→ Quan no hi ha asimetria informativa, la política de salaris que minimitza el costd’implementar un nivell d’esforç determinat només depèn de l’esforç, no delnivell de producte.

• El motiu és senzill: donat que el principal és neutral envers el risc i l’agentés avers, el principal absorbeix tot el risc (i a canvi li paga un salari menor al’agent).

– Notem que el nivell òptim de salari es determina en base a la restricció:

v[w(e)] − c(e) = U → w(e) = v−1 [c(e) + U

]on v−1(·) denota la inversa de la funció d’utilitat (que existeix ja que aquesta ésestrictament creixent). En particular, si l’agent és neutral envers el risc, llavorsv(w) = w, i per tant w(e) = c(e) + U .

→ El nivell òptim de salari depèn del nivell d’esforç e que volem implementar. Defet, com menor sigui l’esforç més petit serà el salari requerit, ja que tant c(·) comv−1(·) són funcions estrictament creixents.

• Una vegada coneixem w(e), el nivell òptim d’esforç és la solució de

maxe

{∑x∈X

x π(x|e)

}− v−1 [

c(e) + U]

• Considerem ara el problema en presència d’asimetria informativa: el principalno pot observar el nivell d’esforç de l’agent.

– Com que el principal no pot observar e, no pot fer un contracte basat en el valord’aquesta variable, que és el hem fet en el contracte de first best.

→ En el contracte de second best, el principal pot fer dependre el salari w del nivellde producte observat x, però no de l’esforç e.

– El principal voldrà triar un menú de salaris w(x) que faci màxim el seu guanynet esperat E{x−w(x)}, amb la restricció que el menú de salaris indueixi l’agenta triar un nivell d’esforç que permeti obtenir un nivell de producte x elevat.

– El problema d’optimització que ha de resoldre el principal per tal de determinarel contracte òptim de second best és

max(w(x))x∈X

∑x∈X

[x − w(x)] π(x|e)

s.a.∑x∈X

{v[w(x)] − c(e)} π(x|e) ≥ U∑x∈X

{v[w(x)] − c(e)} π(x|e) ≥

∑x∈X

{v[w(x)] − c(e′)

}π(x|e′), ∀e′

→ Aquest problema d’optimització és molt més complicat que en el cas del con-tracte de first best. La diferència entre un i altre contracte consisteix en què aquíhem afegit les restriccions de compatibilitat d’incentius, que diuen que l’utilitatde l’agent ha de ser més gran si tria el nivell d’esforç e que no pas qualsevol altrenivell d’esforç e′.

– Tal com hem fet en el cas del first best, la manera més senzilla d’analitzar el con-tracte de second best consisteix en trencar el problema d’optimització en duesparts: primer es determina el cost mínim d’implementar un cert nivell d’esforç idesprés es troba el nivell òptim d’esforç.

→ En general, els contractes de second best són força complicats, ja que tracten decompensar les dues tendències de donar incentius a l’esforç, però també limitarla transferència de risc a l’agent, per tal de poder pagar-li menys salari en termesesperats.

• Hi ha un cas, però, en què el contracte de second best no es diferencia del defirst best: això passa quan l’agent és neutral envers el risc.

– Suposem que l’agent és neutral envers el risc, de forma que la seva utilitat pelsalari és v(w) = w, la qual cosa implica que també v−1(w) = w.

→ Suposem que el principal ofereix un contracte amb transferència de tot el risc al’agent, de la forma w(x) = x −α, on α és una quantitat fixa que no depèn de x.

– Si l’agent rep un contracte d’aquest tipus, llavors triarà el aquell nivell d’esforçque maximitzi la seva utilitat esperada:

maxe

∑x∈X

[(x − α) − c(e)] π(x|e)

– Ara bé, el programa d’optimització de l’agent és equivalent a

maxe

{∑x∈X

x π(x|e)

}− [c(e) + α]

→ Notem que, si el principal fixa α = U , llavors el problema de maximització del’agent esdevé el mateix problema que usa el principal per tal de determinarl’esforç en el contracte de first best (quan l’agent és neutral envers el risc). Pertant, la solució és la mateixa en ambdós casos.

• Per tant, en el cas particular en què l’agent és neutral envers el risc, el contractede second best proporciona a principal i agent els mateixos nivells d’utilitat queel contracte de first best.

REFERÈNCIES BIBLIOGRÀFIQUES

– Qui vulgui ampliar el material que presentem aquí, trobarà detalls, exemples,demostracions i problemes en les següents referències. Els llibres estan per ordrealfabètic, no d’importància, i en general els diferents llibres són substituts mésque complements. Tingueu en compte que el nivell és més alt que el nostre entots ells.

• Hirshleifer, Jack i John Riley: The Analytics of Uncertainty and Information,Cambridge University Press, Cambridge, 1992. Capítols 1 a 4.

• Huang, Chi-fu i Robert Litzenberger: Foundations for Finantial Economics, North-Holland, New York, 1988. Capítols 1 i 2.

• Kreps, David: Curso de teoría microeconómica, McGraw-Hill, Madrid, 1995.Capítols 2 i 3.

• Kreps, David: Notes on the Theory of Choice, Westview Press, Boulder, 1988.

• Laffont, Jean-Jacques: Économie de l’incertain et de l’information, Economica,Paris, 1991. Capítols 1, 2 i 3.

• Mas Colell, Andreu, Michael Winston i Jerry Green: Microeconomic Theory,Oxford U.P., New York, 1995. Capítols 1, 6 i 19.

• Savage, Leonard: The Foundations of Statistics, Dover, New York, 1972. Capítols2, 3, 4 i 5.