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Revista de Edificación. RE • Nº 13 • Marzo 1993 41 Diferencial y derivada FAUSTINO N. GIMENA RAMOS, DR. ARQUITECTO RESUMEN. El cálculo diferencial se basa en los concep- tos de diferencial y derivada. La definición de diferen- cial no es clara, ya que aunque tenemos en la mente que un diferencial es un elemento infinitesimal, por su definición es finito. Definiendo el diferencial como límite de un incremento, no hay confusión. El diferencial es un infinitesimal. Con esta definición se puede deducir todo el cálculo dife- rencial y para su deducción nos apoyamos en el álgebra. De esta forma dos materias separadas de las matemáti- cas como el álgebra y el cálculo diferencial se unen. SUMMARY. Differential calculus is based on the con- cepts of differential and derivitive. The definition of dif- ferential is not cIear because although we keep in mind that a differential is an infinite element, by being defi- ned it is finite . Defining the differential as a limit to an increase elimi- nates any confusion. The differential is infinitesimal. With this definition all differential calculus can be dedu- ced and its deduction can be backed by algebra. Thus, two separa te mathematical subjects such as alge- bra and differential calculus are fu sed. INDICE GENERAL 1. Introducción 2. Definiciones 3. Deducciones 4. Conclusiones 1. INTRODUCCION S e define derivada de una función y = g(x) con res- pecto a variable como límite cuando incremento de la variable tiende a cero, del incremento de la función entre el incremento de la variable. Se define diferencial de una función y = g(x) co- mo el producto de la derivada de la función respec- to a la variable por el incremento de la variable. Estas definiciones, aunque son definiciones lle- van a una equivocación, confundir lo que es infini- tesimal con lo que es finito. Según la definición de diferencial, el diferencial de la variable es igual a su incremento , de esta for- ma estamos identificando cosas infinitesimales con cosas finitas. Este artículo pretende definir el diferencial como diferencia infinitamente pequeña de una variable y a partir de esta definición deducir los demás con- ceptos del cálculo diferencial. 2. DEFINICIONES Dada la función F = F (x 1 , .. ., Xi""'X n ) se define dife- rencial parcial de F respecto a las variables Xi ' . . . , X; en el punto P (X 1 ""'Xi , ... ,x n ) como el límite cuando un punto PI tiende a P, de la función F incrementada en la variables, Xi , ... ,X; menos la función F sin incremen- tar. d F = lim 6 F o, ... ,x¡, ... ,x¡, ... . o P ,->P o ..... x¡ •... ,x¡ ... . ,o Cuando incrementamos todas las variables de la función se llama diferencial total. d F = dF XI ""Xi " "X u 3. DEDUCCIONES Así definido el diferencial podemos determinar cual es el diferencial total de cada variable. Este di-
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Revista de Edificacin. RE N 13 Marzo 1993 41
Diferencial y derivada FAUSTINO N. GIMENA RAMOS, DR. ARQUITECTO
RESUMEN. El clculo diferencial se basa en los concep-tos de diferencial y derivada. La definicin de diferen-cial no es clara, ya que aunque tenemos en la mente que un diferencial es un elemento infinitesimal, por su definicin es finito. Definiendo el diferencial como lmite de un incremento, no hay confusin. El diferencial es un infinitesimal. Con esta definicin se puede deducir todo el clculo dife-rencial y para su deduccin nos apoyamos en el lgebra. De esta forma dos materias separadas de las matemti-cas como el lgebra y el clculo diferencial se unen.
SUMMARY. Differential calculus is based on the con-cepts of differential and derivitive. The definition of dif-ferential is not cIear because although we keep in mind that a differential is an infinite element, by being defi-ned it is finite . Defining the differential as a limit to an increase elimi-nates any confusion . The differential is infinitesimal. With this definition all differential calculus can be dedu-ced and its deduction can be backed by algebra. Thus, two separa te mathematical subjects such as alge-bra and differential calculus are fu sed.
INDICE GENERAL
1. Introduccin 2. Definiciones 3. Deducciones 4. Conclusiones
1. INTRODUCCION
Se define derivada de una funcin y = g(x) con res-pecto a variable como lmite cuando incremento de la variable tiende a cero, del incremento de la funcin entre el incremento de la variable.
Se define diferencial de una funcin y = g(x) co-mo el producto de la derivada de la funcin respec-to a la variable por el incremento de la variable.
Estas definiciones, aunque son definiciones lle-van a una equivocacin, confundir lo que es infini-tesimal con lo que es finito.
Segn la definicin de diferencial, el diferencial de la variable es igual a su incremento, de esta for-ma estamos identificando cosas infinitesimales con cosas finitas.
Este artculo pretende definir el diferencial como diferencia infinitamente pequea de una variable y a partir de esta definicin deducir los dems con-ceptos del clculo diferencial.
2. DEFINICIONES
Dada la funcin F = F (x 1, .. . , Xi""'Xn) se define dife-rencial parcial de F respecto a las variables Xi ' . . . , X; en el punto P (X 1""'Xi , ... ,xn) como el lmite cuando un punto PI tiende a P, de la funcin F incrementada en la variables, Xi , ... ,X; menos la funcin F sin incremen-tar.
d F = lim 6 F o, ... ,x, ... ,x, ... . o P ,->P o ..... x ... ,x ... . ,o Cuando incrementamos todas las variables de la
funcin se llama diferencial total. d F = dF
XI " " X i " "X u
3. DEDUCCIONES
As definido el diferencial podemos determinar cual es el diferencial total de cada variable. Este di-
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ESTRUCTURAS Y CIMENTACIONES 42
ferencial es el lmite cuando un punto PI tiende a P del incremento de la variable.
dx = lim ~ x PI--,;P
Los diferenciales de F con la operacin interna suma sobre un cuerpo K tiene estructura de espacio vectorial (su demostracin es inmediata).
Esto permite definir una aplicacin f tal que ca-da diferencial parcial de F respecto a una variable x le corresponde un vector de componentes (O, ... ,dx , ... 0).
f [do, ... ,X, ... ,o] = (O, ... , dx, ... , O) Esta aplicacin es una aplicacin lineal (su de-
mostracin es inmediata). Por tanto:
f[dO" " 'X""' O F]=(O 1 O) dx , ... , , ... , Al solo incrementar la variable x el punto p es-
t en la lnea P(x, ... ,x, ... ,x,J y px(x, ... ,x+ ~, ... ,xn) luego:
do . F Ji~ ~o, ... x , ... ,o F , X
"
, _ --'1'---'; ____ _
~ F ~ F = lim O, ... x , ... ,O lim O, ... x , ... ,O
PI--,;P ~ x Plx--';p ~ x A este ltimo lmite se le llama derivada parcial
de la funcin respecto a la variable Xi: ~ F o/ ... /X; , ,0 d F
d x
Revista de Edificacin. RE NQ 13 Marzo 1993
La imagen de la derivada parcial de F respecto a X es el vector unitario (0, ... ,1, ... ,0).
Podemos de esta forma determinar el valor del diferencial total de F, apoyndonos en la aplica-cin lineal.
f[dF] = (dxl, .. ,dxn) = (I,O, .. ,O)dx I + .. +(O, .. ,O,I)dxn =
Por tanto: d F d F dF =-- dX I + ... +-- dx d Xl d X
n n
4. CONCLUSIONES
Definido as el diferencial de una funcin no hay confusin si es infinitesimal o finito.
Unicamente se necesita una definicin para deducir el clculo diferencial.
Los determinantes de las matrices de cam-bio de base de la aplicacin lineal son los jaco-bianos.
De forma anloga se puede hallar el valor de los diferenciales de orden superior de una funcin.
El diferencial de orden superior de una varia-ble no es nulo.
Hay una clara diferencia en lo que es el co-ciente entre diferenciales a la derivada parcial.
Se une por esta definicin lo que es el clculo con el lgebra.
El mtodo de enseanza del clculo diferen-cial es ms sencillo.
