Revista Iberoamericana de Matemática Numero 1

7/21/2019 Revista Iberoamericana de Matemtica Numero 1

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Revista Escolar de la Olimpada Iberoamericana de Matemtica

Nmero 51 (junio 2014 diciembre 2014)

ISSN 1698-277X

NDICE

Artculos, Notas y lecciones de preparacin deOlimpiadas (51)

Bellot, F.: A l g u n o s p r o b l e m a s t i en e n s i e t e v i d a s

Problemas para los ms jvenes(51)

Cinco problemas de Olimpiadas rumanas para jvenes

Problemas de nivel medio y de Olimpiadas(51)

Cinco problemas de un manual ingls de 1962

Problemas(51)

Problemas propuestos

Problemas 256-260

Problemas resueltos

Soluciones a problemas de nmeros anteriores

Despus de la aparicin del vol. 50 de la REOIM, se han

recibido dos soluciones a problemas propuestos

anteriormente:

Al problema 231, de Gabriel Chicas Reyes, San Salvador (ElSalvador).


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Al problema 245, de Ricardo Largaespada, Managua,Nicaragua.

Problema 246

Recibidas soluciones de : Florentino Damin ArandaBallesteros, Crdoba (Espaa); Javier Cornejo Tejada,Lima (Per); Marcos Martinelli, Brasilia (Brasil); BrunoSalgueiro Fanego, Vivero (Espaa); Cristbal Snchez-Rubio Garca, Benicassim (Espaa); y de los proponentes.

Presentamos la solucin de Snchez-Rubio.

Problema 247

Recibida hasta el momento solamente la solucin del

proponente. Mantenemos el problema abierto a la

consideracin de los lectores.

Problema 248

Recibidas soluciones de: Marcos Martinelli, Brasilia (Brasil);Paolo Perfetti, Departamento de Matematica, Universitdegli Studi Tor Vergata, Roma (Italia); Neculai Stanciu,Buzau, y Titu Zvonaru, Comanetzi, (Rumania). Presentamos

la solucin de Martinelli.

Problema 249

Recibidas soluciones de: Devis Alvarado, Tegucigalpa(Honduras) y Marcos Martinelli, Brasilia (Brasil).Presentamos la solucin de Alvarado.

Problema 250

Recibidas soluciones de: Devis Alvarado, Tegucigalpa

(Honduras); D.M. Batinetzu-Giurgiu (Bucarest), N. Stanciu(Buzau), y T.Zvonaru (Comanetzi), conjuntamente,(Rumania); Javier Cornejo Tejada, Lima (Per); AndreaFanchini, Cant (Italia); Marcos Martinelli, Brasilia (Brasil);y Bruno Salgueiro Fanego, Vivero (Espaa). Presentamos lasolucin de Salgueiro.

Problema 251


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Recibidas soluciones de: Devis Alvarado, Tegucigalpa(Honduras); Marcos Martinelli, Brasilia (Brasil); PaoloPerfetti, Depto.Matemtica, Universit degli Studi TorVergata, Roma (Italia); Bruno Salgueiro Fanego (dossoluciones), Vivero (Espaa); Neculai Stanciu (Buzau) y TituZvonaru (Comanestzi) (conjuntamente), Rumania; y DanielVacaru, Pitesti (Rumania). Presentamos la solucin deSalgueiro.

Problema 252

Solucin con correccin del enunciado recibida de MarcosMartinelli, Brasilia (Brasil), que presentamos. El editor

presenta excusas por no haber modificado el enunciadooriginal.

Problema 253

Recibidas soluciones de: Devis Alvarado, Tegucigalpa(Honduras); Marcos Martinelli, Brasilia (Brasil) y PaoloPerfetti, Depart. Matematica, Universit degli Studi TorVergata, Roma (Italia). Presentamos la solucin de Alvarado.

Problema 254

Como han sealado varios lectores, as como el propio

proponente, el enunciado es incorrecto (no existen tringulos

donde el dimetro del crculo inscrito sea mayor que el radio

del circunscrito). El problema queda anulado.

Problema 255

Recibidas soluciones de: Marcos Martinelli, Brasilia (Brasil);Paolo Perfetti, Depto. Matematica, Universit degli StudiTor Vergata, Roma (Italia); Bruno Salgueiro Fanego,

Vivero (Espaa); y Daniel Vacaru, Pitesti (Rumania).Presentamos la solucin de Martinelli.

Noticia de Congresos, comentario de pginas web yresea de libros (51)

Divertimentos Matemticos (51)

Capturado en Internet (51)


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Rectificacin del editor

En la necrolgica de Madame Deledicq, incluida en el nmero

50 de la REOIM, se escribi su nombre equivocadamente. Suhijo Jean Philippe ha indicado al editor que su nombre correcto

es Hlne, lo que hacemos constar ahora con nuestras

disculpas y nuestro agradecimiento por la observacin.


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Otras informaciones

Formacin Docente

Especializacin en Educacin Matemtica (secundaria)

http://www.oei.es/cursomatematica/

Colaboracin docentes alumnos

Club Iberoamericano GeoGebra

http://www.ibertic.org/clubgeogebra.php

Realizado en el marco del Instituto Iberoamericano de Enseanza

de las Ciencias y la Matemtica (IBERCIENCIA)con la colaboracinde la Consejera de Economa, Innovacin, Ciencia y Empleo de laJunta de Andaluca


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ALGUNOS PROBLEMAS TIENEN SIETE VIDAS

Fr a n c i sc o B e l l o t R o s a d o

Una de las primeras tareas del Jurado Internacional de cualquier

competicin es tratar de descartar aquellos problemas de la listacorta (puesta a su disposicin por el Comit selector de problemas

de la competicin) que son conocidos, por ejemplo por haber

aparecido anteriormente en otro concurso. En algunos casos esto se

consigue con cierta rapidez. En otros, como es el caso del bellsimo

problema objeto de este artculo, el problema puede escapar a los

filtros y repetirse; o aparecer modificado y no ser fcilmente

detectado.

U n p r o b l em a d e l a O l im p i a d a r u s a d e 1 9 7 1 : l o s v a so s d eS h i r s h o v .

Se tienen tres jarros con agua, cada uno conteniendo un

nmero entero de litros. Se permite echar en cada jarro tanta

agua como ya contiene, procedente de otro de los jarros.

Demostrar que repitiendo esta operacin las veces necesarias,

es posible vaciar por completo uno de los jarros. (Se supone

que los jarros son suficientemente grandes: cada uno puede

contener toda el agua disponible).

En la recopilacin de problemas de la Olimpiada rusa (1961-1986) deVassiliev y Egorov (Ed. Nauka, Mosc 1988), en ruso, se seala quese propuso en la 5 Olimpiada de la URSS, celebrada en Riga, para laclase 9 (alumnos de 16 aos), el primer da de competicin. Por suparte, Titu Andreescu y Svetoslav Savchev, en su MathematicalMiniatures, MAA 2003, dan algunos detalles biogrficos delproponente, Alexei Shirshov.Titulado en Lengua rusa y literatura,dio clase en una escuela rural. Movilizado durante la Segunda Guerra

Mundial, sorprendentemente result atrado por las Matemticas enaquellos aos (1939 1945). Volvi a la Universidad a los 30 aos deedad, se gradu y doctor en Matemticas y sus resultados msimportantes son de lgebra. El problema del que hablamos tiene unasolucin realmente brillante, incluida en el libro ruso antes citado.Vamos a analizarla, partiendo de un ejemplo numrico para mayorsencillez. Es suficiente mostrar cmo obtener menos litros en uno delos jarros que los que contenga el menor nmero de litros, porquerepitiendo el proceso alguno se vaciar.


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Supongamos que los jarros contienen 3


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Ya que ,entonces 0a b q > . Vamos a ver cmo se pueden echar q.a

litros en A, con lo que en B quedarn r


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es posible que en otras competiciones de carcter regional o nacional

se hayan propuesto tambin. Pero hay que esperar a 1993 para que

el problema, con una formulacin diferente, se propusiera en la

famosa competicin americana y canadiense W i l l ia m L o w e l l

Pu t n a m .

P r o b l em a B 6 , Pu t n a m 1 9 9 3

Sea S un conjunto de tres enteros positivos, no

necesariamente distintos. Demostrar que se puede

transformar S en un conjunto que contiene al 0, mediante un

nmero finito de aplicaciones de la siguiente regla:

Seleccionamos dos de los tres enteros, digamos x e y , c o n x y ,

y l o s r e em p l a zam o s p o r 2 x e y - x .

El libro de Kiran Kedlaya, Bjorn Poonen y Ravi Vakil (T h eW i l l ia m L ow e l l P u t n a m M a t h e m a t i c a l Co m p e t i t i o n 1 9 8 5 - 2 0 0 0 ,

P r o b l e m s , So l u t i o n s an d Com m e n t a r y ) , MAA, incluye tressoluciones del problema, de las que en la primera, atribuida a GarthPayne (uno de los participantes) se pasa de la terna (d, e, f) a (2d, e,f-d) y reiterndola se transforma (a, b, c) en (b, r, c) con r el restode la divisin de b por a.

La segunda prueba el resultado por induccin fuerte en a + b + c,que es constante por aplicacin de la regla, y razonando porcontradiccin, suponiendo que S no se puede transformar en unconjunto conteniendo al 0. La tercera, de Dylan Thurston (otroparticipante) es similar a la segunda.

U n p r o b l e m a p r o p u e s t o p o r M a ce d o n ia e n l a I M O 1 9 9 4

En la Olimpiada Internacional de 1994 (HongKong), Macedoniapropuso el siguiente problema:

C-3 (Combinatoria)

Pedro tiene tres cuentas en un banco, cada una con un

nmero entero de dlares. Solamente se le permite transferir

dinero de una cuenta a otra de manera que la cantidad de

dinero en sta ltima se duplique.

a)Probar que Pedro siempre puede transferir su dinero a

dos de las cuentas.

b)

Puede siempre transferir su dinero a una sola cuenta?


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Ni el comit selector de problemas ni el Jurado Internacionalapreciaron la semejanza del problema con el de Shirshov ni conel de la Competicin Putnam del ao anterior (y si alguno de losmiembros lo apreci, no dijo nada). Fue elegido como problema

6, pero el primer da de competicin lleg como observador (deNueva Zelanda) Arkadi Slinko, que en cuanto lo vi advirti alJurado que era, c por b, el problema de Shirshov y cit lafuente del libro ruso de Vassiliev y Egorov: reuninextraordinaria del Jurado y el problema se cambi se podradecir que al Jurado lo salv la campana.En 1987, en el N ew s le t t e r o f t h e W o r l d Fe d e r a t i o n o fN a t i o n a l M a t h em a t i cs Com p e t i t i o n s , n r . 6 , el belga RenLaumenpublic Th e A r t o f Bo r r o w i n g Pr o b l e m s ,artculo en

el que analiza el problema de los enunciados que se alquilande una competicin a otra. Con la extensin actual de losresultados y problemas por Internet, ese peligro deberadisminuir. Pero nunca se sabe

B ib l i o g r a f a

[1]N.V. Vassiliev, A.A. Egorov: Pr o b l e m a s d e l a O l im p i a d a

M a t em t i c a URSS 1 9 6 1 - 1 9 8 6 ( e n r u s o ) . Nauka, Mosc,

1988.[2] Svetoslav Savchev, Titu Andreescu: Ma t h em a t i ca lM i n i a t u r e s . MAA 2003.[3] Kiran S. Kedlaya, Bjorn Poonen, Ravi Vakil : T h eW i l l ia m L o w e l l Pu t n a m M a t h e m a t i c a l Co m p e t i t i o n 1 9 8 5 -

2 0 0 0 . Pr o b l e m s , So l u t i o n s a n d Com m e n t a r y . MAA 2002.[4] Shortlisted Problems for the 35th International

Mathematical Olympiad. HongKong Mathematical Society,1994.

Valladolid, diciembre 2014.Francisco Bellot Rosado


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Problemas para los ms jvenes 51

Cinco problemas de Olimpiadas rumanas para jvenes

PMJ51-1Los nmeros reales positivos x;y;z son tales que xyz(x+y+z) = 1a) Demostrar ques

x2 + 1

y2

y2 +

1

z2

z2 +

1

x2

= (x+y) (y+z) (z+x) :

b) Determinar una terna de nmeros que verique la hiptesis.

PMJ 51-2x;y;z son nmeros naturales tales que x < y < z:Si x;y; z son directamente

proporcionales a tres nmeros naturales consecutivos, de cuntas maneras dis-

tintas se puede escribir el nmero 180 en la forma x+y+z?

PMJ51-3Los nmeros naturales no nulos a;b; ccumplen la condicin

a+b

bc =

b+c

ca =

c+a

ab :

Demostar que a= b = c:

PMJ51-4El tringulo issceles ABC tiene como base AC = a y el ngulo B es de

70o. En los segmentos AB y AC se eligen puntos D y E, respectivamente, demanera que DA+AE = a. En los segmentos AC y BC se eligen puntos F yG, respectivamente, de modo que FC+CG=a. Los puntos E y F son distintos.Calcular la medida del ngulo agudo que forman las rectas DF y EG.

PMJ51-5Determinar los nmeros enteros x; y tales que

2

x y =x + 3:

1


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Problemas de nivel medio y de Olimpiadas (51)Cinco problemas de un manual ingls de 1962

PM51-1El polinomioax3 + bx2 + cx + dtoma el valor 3 cuando x es igual a 1 2;

y toma el valor 0 cuando x es 1 12 :Descomponerlo en factores de primer grado.

PM51-2Si u= x +y+z; x+u = b+c; y+u = c +a; z+u= a +b; se pide:1) hallar x, y, z en funcin de a,b,c.2) hallar a, b, c en funcin de x,y,z.

PM51-3Probar que (xa)(xb)

xc toma todos los valores reales cuando x vara, si a

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