Resumen Terico de 62.01 Fsica I Autor: Bernardo Ortega2 ndice: SISTEMAS DE PARTICULAS.5 Cinemtica de un Centro de Masa .....5 Energa de un Centro de Masa ...5 Choque (Colisiones)....6 Momento Cintico...7 CUERPO RGIDO.8 Cinemtica del Cuerpo Rgido8 Energa del Cuerpo Rgido..9 Momento de Inercia9 Teorema de Steiner10 Dinmica del Cuerpo Rgido.10 Dinmica Incursiva10 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE12 Primer caso12 Demostracin del clculo de la pulsacin.13 Demostracin del clculo de la Amplitud y la Fase Inicial..13 Segundo caso.15 Calculo de la solucin particular...15 Demostracin del clculo de la Amplitud y la Fase Inicial...16 Aplicacin del movimiento armnico simple a un pndulo ideal.17 Mtodo fasorial..18 3 Teorema del coseno...19 Primer caso....19 Segundo caso.20 Tercer caso.20 ONDAS.22 Clasificacin de ondas...22 Propiedades y Caractersticas22 Expresin matemtica...23 Ecuacin de onda...23 Sentido de propagacin.24 Ondas que se propagan en cuerdas24 Ondas que se propagan en varillas24 Interferencia (1ra Parte).....25 Principio de superposicin.25 Ondas estacionarias...26 Tubos.28 Tubos abiertos28 Tubos cerrados...28 Energa de ondas...29 Intensidad de ondas (sonido).30 Ecuacin de la intensidad..30 Nivel de intensidad30 Rango de audicin humana31 4 Interferencia (2da Parte)32 Resonancia.32 Batido.32 Efecto Dppler......33 Interferencia (3ra Parte).34 Experiencia de Young...35 Interferencia de N fuentes sincronizadas...37 Difraccin..39 Principio de Huygnes.39 Difraccin de Fraunhoffer..39 Difraccin de Fresnel.39 Difraccin de 1 ranura...40 Difraccin de 2 ranuras..41 PTICA GEOMTRICA.42 Reflexin...42 Principio de Hern (Siglo II A.C.)42 Refraccion.43 Fermat (1657) Principio de mnima accin...43 Ley de Snell...44 5 Sistemas de Partculas Cinemtica de un Centro de Masa: Vector posicin:1ni iicmTmrrM==, con n Vector velocidad: 1iCMniiTmvvM==, con n Vector aceleracin:1iCMniiTmaaM==, con n Energa de un Centro de Masa: Energa Cintica: 21 2c T cmMV = 6 Choque (Colisiones): Existen tres tipos distintos de colisiones: 1)Choque Plstico o Inelstico 2)Choque Perfectamente Elstico 3)Choque Explosivo Observacin: En los Choques (Colisiones) la cantidad de movimiento se conserva es decir f ip p =, ,siempre y cuando la extF 0 = 1) Choque Plstico o Inelstico: Es aquel choque que tiene la mxima prdida de energa. 0c < Valor del coeficiente de restitucin:0 e = Formula del choque plstico: 1 21 2 1 2 ( )fmv mv m m v + = +, , , 2) Choque Elstico Es aquel choque en el que se conserva la energa cintica. 0c = Valor del coeficiente de restitucin:1 e =Nota: El coeficiente de restitucin es calculado como rivev= 7 Frmula del choque elstico: 1 2 1 11 2 1 2 i i f fmv mv mv mv + = +, , , , 3) Choque Explosivo Es aquel choque en el que hay un incremento de la energa 0c > Valor del coeficiente de restitucin: NO PUEDE DEFINIRSE!!!! Momento cintico: ( )SpinOrbitalL L LAB CM CMTM r v = + , , , ,_ 8 Cuerpo Rgido: El cuerpo rgido puede realizar 3 tipos de movimientos: 1)Traslacin Pura:Puede moverse sin girar, las velocidades de c/punto del cuerpo rgido es la misma 2)Rotacin Pura:Puede girar sin moverse, las velocidades de c/punto del cuerpo rgido son distintas 3)Rototraslacin Pura: Es la rotacin efectuada a un eje que se desplaza Proposicin: Un cuerpo rgido tiene 6 grados de libertad, 3 para el CM y otros 3 de rotacin. Lema: El campo de velocidades de un Cuerpo Rgido que realiza una rotacin pura, esta ntegramente determinado por el eje de rotacion y la, (es decir, el campo de velocidades no dependen del origen de coordenadas.) Aclaracin: Campo de velocidadesV( ) resV r = , , Cinemtica del Cuerpo Rgido: Dados 2 puntos de un cuerpo rgido A yBdistanciados por un vectorr,, podemos definir que: ( )Velocidad de RotacionV VB Ar = + , , , ,_ Entonces podemos deducir que ( )VVBABart t = + ,, , , Entonces ( ) A B B AA Ba a r r = + + , , , , , , , 9 Por lo tanto la formula de Ba, me queda como: ( ) A B B AA Ba a r r = + + , , , , , , , Energa del Cuerpo Rgido: Energa Cintica: 2 2Ede EdelRotacin Centro de Masa1 1E I 2 2C TC CcmM v = +_ _ Energa Potencial Gravitatoria: pgE CMm g h = Momento de Inercia: Propiedad: Una de las propiedades mas importantes del Momento de Inercia de un Cuerpo Rgido es, La Propiedad Aditiva 1 2I I I = + Radio de giro baricntrico: 2II mk km= => = Distintos momentos de inercia: 1)Barra:Barra2I12ML= 10 2)Disco y Cilindro:discocilindro2I2MR= 3)Esfera:esfera22I5 MR = 4)Anillo:anillo2I MR = Teorema de Steiner: Sea un punto A que dista a una distanciaadel centro de masa de un cierto cuerpo rgido, entonces podemos calcular el momento de inercia AIde la siguiente manera: A CM2I I ma = + Dinmica del Cuerpo Rgido: FCMma =, , Dinmica Incursiva: Sea una fuerzaFpt=,, entonces F dt d p = , , entonces podemos transcribirla como ( )TraslacinJCMf CMimv v = , , ,_

Si adems al impulso podemos escribirlo como J F dt =, ,, multiplicamos ambos miembros por el vectorr, entonces nos queda J F dt r r = , , , , comor, pertenece a una fraccin muy chiquita de tiempo entonces 11 momentocinticoTorque LFJ F dtrtr r = = ,, ,, , , ,_ por lo tanto nos queda dLJdtr =,, ,dt EntoncesJ L r = , , , si sabemos que ( )L I o = , , , entonces la formula nos queda: RotacinJ I r = , , ,_ 12 Movimiento Armnico Simple PRIMER CASO Si 0x x l = 0 en elsist.elegido, entonces aplicando la 2da ley de Newton y despreciando todo tipo de rozamiento nos queda que F . ma = entonces nos queda k x ma = , ahora si a la 22txa= entonces se retranscribe en la ecuacin de newton y nos queda 22 txk x m = se la iguala a 0 y nos queda una Ecuacin Diferencial Lineal Homognea de Segundo Orden de este estilo: 22 0txm k x+ = dividimos por la masa y nos queda que 220tx k xm+ =. 13 La resolucin de esta ecuacin diferencial se la va a obviar ya que no es tema de estudio en la materia, as que la solucin de esta ecuacin es:( )(t) Asen t x = + Aclaraciones: : Son las pulsaciones ( frecuencia angular), es decir es la frecuencia propia o caracterstica del sistema, tambin conocida como autofrecuencia.2f =, conf = frecuencia : Fase Inicial A: Amplitud Demostracin del clculo de la pulsacin Si ( )V A cos ttx = = + Si ( )222a A sen ttx = = + Ahora si sabemos que 2a x = y quecte =entonces podemos decir que a ctex =esta es la relacin caracterstica de un Movimiento Armnico Simple. Ahora si reemplazamos esto en la Ec. Diferencial nos queda que A ( )2 sen t + Akm+( ) sen t + 0 = entonces 20km + =

Despejamos y nos queda que: Demostracin del clculo de la Amplitud y la Fase Inicial Si 0(t 0) x x = = y V(t 0) 0 = = son las condiciones iniciales, entonces nos queda que km = 14 ( ) ( )( ) ( )0AsenIA cos 0IIx = = Entonces si de ( ) ( ) 3IIcos 0 ,2 2 = = entonces nos queda que2 = ahora reemplazamos en( )0 01IAsen A2x x| |= = |\ _ Por lo tanto nos queda que: 0FaseInicial(t) sen t2x x | | | |= + | |\ Nota: Si en el instante inicial 00 x =, La Fase Inicial tambien es 0 0V(t) cos t2x | |= + |\ 20a(t) sen t2x | |= + |\ 15 SEGUNDO CASO: Aplicando la 2da ley de Newton nos queda que 22 txm g k x m = despejamos un poco y tenemos una Ecuacin Diferencial Ordinaria de Segundo Orden No Homognea de la forma 22 txm k x m g+ = dividimos todo por la masa 22tx k xgm+ = como se ha mencionado anteriormente no se va a mostrar la resolucin de la ecuacin diferencial pero si su resultado. Nota: La solucin de una Ecuacin Diferencial Ordinaria de Segundo Orden No Homognea se expresa de la siguiente manera: ( ) (t) Asen t(t) Sol. Homogenea+ Sol. Particularxx = +=_ CALCULO DE LA SOLUCIN PARTICULAR: Si se piensa que cte x = entonces reemplazando en la Ec. Diferencial nos queda ctekgm= entonces eqSolucin Particularcte m gg xk= =_ Por lo tanto la Solucin de la Ec. Diferencial es:( )eq(t) Asen t x x = + + 16 Demostracin del clculo de la Amplitud y la Fase Inicial Si 0(t 0) x x = = y V(t 0) 0 = = son las condiciones iniciales, entonces nos queda que ( ) ( )( ) ( )eq 0AsenIA cos 0IIx x + = = Entonces si de ( ) ( ) 3IIcos 0 ,2 2 = = entonces nos queda que2 = ahora reemplazamos en( )eq 0 0 eq1IAsen A2x x x x| |+ = = |\ _ Por lo tanto nos queda que: ( )0 eq eq(t) sen t2x x x x | |= + + |\ en este caso eq0 x ( )0 eqV(t) cos t2x x | |= + |\ en este caso eq0 x ( )20 eqa(t) sen t2x x | |= + |\ en este caso eq0 x 17 Aplicacin del movimiento armnico simple a un pndulo ideal Planteamos la 2da ley de Newton:m ( ) sen g m =22tS entonces despejando nos queda ( )22 sen 0tSm m g + = Observacin: S l = Entonces aplicando la observacin tenemos que ( )22sen 0tgl+ = por propiedad se sabe que si es un ngulo muy chico entonces( )sen . Por lo tanto reemplazando en la Ec. Diferencial nos queda que 22 0tgl+ = y la solucin a esta ecuacin diferencial es( ) ( )t Asen t = + 18 Mtodo Fasorial Si( )(t) Asen t x = +, el mtodo fasorial consiste en tratar a (t) x como un fasor (vector). Nota: Un fasor o vector giratorio es una constante en nmero complejo que representa la amplitud compleja (magnitud y fase) de una funcin de tiempo sinusoide. Usualmente se expresa como una exponencial, como un nmero complejo o como un vector. Los fasores se utilizan en ingeniera para simplificar los clculos con sinusoides, ya que permiten reducir un problema de ecuaciones diferenciales a uno algebraico cuando la frecuencia del sistema es constante. 19 Si tenemos( )1 1 1(t) A sen t x = + y( )2 2 2(t) A sen t x = + Teorema del Coseno ( )2 21 2 1 2 2 1A A A 2A A cos = + + + ( )( ) ( )( ) ( )1 1 2 21 1 2 2A sen A senTgA cos A cos +=+ PRIMER CASO 1 2A , A y1 2 = Aplicamos el teorema del coseno. ( )2 21 2 1 2 2 10A A A 2A A cos = + + _ por lo tanto( )21 2A A A = + entonces nos queda que 1 2A A A = + ( )( ) ( )( ) ( )1 1 2 21 1 2 2A sen A senTgA cos A cos +=+ entonces ( )( ) ( )1 1 2sen A ATg+=( ) ( )1 1 2cos A A + entonces( ) ( )1Tg Tg = por lo tanto 1 = 20 SEGUNDO CASO 1 2A , A y1 2180 = Aplicamos el teorema del coseno. 2 21 2 1 2 2 11801A A A 2A A cos | | | = + + |\ __ por lo tanto( )21 2A A A = entonces nos queda que 1 2A A A = TERCER CASO ( )1 1(t) A sen t x = + ( )2 2(t) A sen t y = + Aplicando el teorema del coseno llegamos a que ( ) ( )2 222 21 2 1 22 cos sen 0A A A Ax y x y = Nota: Considrese a 2 1 = = Fisicamente vamos a considerar en la ecuacin( ) ( )2 222 21 2 1 22 cos sen 0A A A Ax y x y =el signo+ 21 Algunos casos particulares: Si 0 = entonces 1 2 = quiere decir q tienen la misma fase inicial. Entonces nos queda: 2 22 21 2 1 22 0A A A Ax y x y+ = factorizamos 21 20A Ax y | | = |\ entonces 21AAy x = Si 0 = siguiendo el razonamiento del caso anterior nos queda que 21 20A Ax y| |+ = |\ entonces 21AAy x = Si 2 = siguiendo el razonamiento del caso anterior nos queda que 2 22 21 21A Ax y+ =

Observemos que esta es la ecuacin de una Elipse de Radio 1, ahora si vemos que la 1 2A A =obtendramos la ecuacin de una Circunferencia. 22 Ondas Definicin Una onda es un fenmeno fsico en el cual hay transferencia de energa y cantidad de movimiento sin desplazamiento de materia Clasificacin de ondas Existen 6 maneras diferentes de clasificar ondas: 1)Ondas Viajeras o Progresivas: son aquellas ondas que viajan hasta toparse con algn obstculo. Ejemplo: El sonido 2)Ondas Estacionarias: Esta confinada en un recinto, es decir esta limitada a una regin del universo. Ejemplo: Cuerda de guitarra 3)Ondas Mecnicas o Materiales: Son aquellas que necesitan un medio material (slido, liquido o gaseoso) para poder propagarse. Ejemplo: El sonido 4)Ondas Electromagnticas: Se pueden propagar en el vaco. Ejemplo: Luz, Radio, U.V, Rayos X, etc 5)Ondas Longitudinales: La direccin de propagacin de la onda y el movimiento de las partculas son paralelos entre si. Ejemplo: El Sonido 6)Ondas Transversales: La direccin de propagacin de la onda y el movimiento de las partculas son perpendiculares entre si. Ejemplo: Cuerdas de guitarra Propiedades y Caractersticas 1)Toda onda tiene una perturbacin de un estado de equilibrio. Ejemplo: Charco de Agua 2)Toda onda implica el movimiento de muchos puntos, estos puntos tienen que estar acoplados entre si 3)La influencia de los lmites, es decir que toda onda se propaga pero tiene lmites 4)Principio de superposicin: La onda resultante se puede pensar como la superposicin de ondas individuales pero cada onda individual no es afectada por las dems 23 Expresin matemtica Ecuacin de una onda Variables: -Eje x -Variable oscilando y, tambin puede reemplazar a la-Tiempo t 2 222 2Ecuacin de una ondaC ty yx = _

Esta ecuacin diferencial admite muchas soluciones, por ende la solucin que se va a utilizar es: ( )( , t) Asen t k yx x = + Aclaraciones: - C = Velocidad de propagacin: Depende del tipo de onda y del medio donde se propaga -22ty = Velocidad de oscilacin: siempre da una funcin peridica -si a( ) Asen t k y x = fijamosxnos queda un Movimiento Armnico Simple - = Pulsacin y2f =la f (frecuencia) de la onda y las partculas son iguales - A= Amplitud de la onda - k = Numero de onda y 2k=con = Longitud de onda Nota: -Lafyson inversamente proporcionales -si derivamos 2 veces a la funcin( , t) yxllegamos a queC f = 24 Sentido de propagacin Por convencin: Si( )( , t) Asen t k yx x = + la onda se propaga en sentido positivo con respecto al eje x Si( )( , t) Asen t k yx x = + + la onda se propaga en sentido negativo con respecto al eje x Ondas que se propagan en cuerdas TC= Aclaraciones: - T= Tensin de la cuerda - =Densidad lineal de masa => Lm mx= = Ondas que se propagan en varillas C= Aclaraciones: - = Modulo de Young 25 Interferencia (1ra Parte) Solo hay interferencia cuando hay ondas. ( )( )1 12 2( , t) Asen t k Consecin( , t) Asen t k y x xy x x= + `= +) Principio de superposicin ( ) ( )1 2 1 2( , t) ( , t) A sen t k sen t k y x y x x x + = + + + + +( Propiedad trigonomtrica: ( ) ( ) sen sen 2sen cos2 2 + | | | |+ = ||\ \ Aplicando la propiedad trigonomtrica a la formula nos queda: ( ) ( )1 2 2 11 2 A sen t k sen t k 2Asen t k cos2 2x x x | | |+ | | + + + + + = + +( | | \ |\ entonces 1 2A' 2Acos sen t k2 2x + | | | | + + ||\ \ _ Ecuacin de la onda resultante. Algunos casos: Si 0 =entoncesA' 2A =es una interferencia constructiva Si =entoncesA' 0 =es una interferencia destructiva 26 Ondas estacionarias ( )( )1 12 2( , t) Asen t k ( , t) Asen t k y x xy x x= += + entonces 1 2( , t) ( , t) y x y x +aplicando la propiedad trigonomtrica nos queda 1 2 1 21 2Espacial TemporalA(x) depende de la posicin ( , t) ( , t) 2Asen k cos t2 2y x y x x+ | | | |+ = + + ||\ \ _ __ Nodos: Puntos que nunca oscilan, si A( ) 0 x = entonces 1 2 k 2nx n++ = despejamos nxy nos queda 1 2 k 2knnx+= si 2k= entonces nos queda ( )1 2 2 4nnx+= Posicin de un nodo Observacin: La distancia entre nodo y nodo tiene que darme media longitud de onda es decir ( )N 2 2 2n nx x n n n n = = Vientres: son aquellos puntos que tienen la mxima amplitud y el 1 2 sen k 12x+| |+ = |\ entonces A( ) 2A x = por lo tanto 27 ( )1 2 k 2 1 2 2vx n++ = + despejamos vx entonces nos queda ( ) ( )1 22 1 4 4vnx+ += Posicin de un vientre Observacin: La distancia entre vientre y vientre tiene que dar media longitud de onda es decir 2v vx x =( )N4n n 2N2= Observacin: La distancia entre vientre y nodo se puede calcular como: ( ) ( )N (es impar) 1 (2 1) 2 14 2 2 4 4v nn nx x n n n n | | | | = + => + => + + ||\ \ _ 28 Tubos Tubos abiertos Desde el punto de vista de la elongacin en ambos extremos del tubo se tiene un vientre Desde el punto de vista de la presin en ambos extremos del tubo se tiene un nodo En el estado fundamental se obtiene: La longitud de onda se expresa como: 2Lo = conL = a la longitud del tubo La frecuencia inicial de una onda se expresa como: C2Lof = La frecuencia de una onda se expresa como C2Lnf = Tubos cerrados Desde el punto de vista de la elongacin en el extremo inicial del tubo se tiene un vientre y en el extremo final se tiene un nodo Desde el punto de vista de la presin en el extremo inicial del tubo se tiene un nodo y en el extremo final se tiene un vientre En el estado fundamental se obtiene: La longitud de onda se expresa como: 4Lo = conL = a la longitud del tubo La frecuencia inicial de una onda se expresa como: C4Lof = La frecuencia de una onda se expresa como C4Lnf = 29 Energa de ondas La energa de ondas en el equilibrio se puede escribir como: 2M max1E V2 m = ahora para saber como es el valor de maxVse tiene que observar la ecuacin del Movimiento Armnico Simple. Si en un movimiento armnico simple la posicin es:( )(t) Asen t x = + entonces derivando esta expresin respecto del tiempo se obtiene q la velocidad es: ( )V(t) A cos t = +, ahora la maxV se obtienecuando el( )cos t 1 + = por lo tanto maxV A =. Entonces si se tena que: 2M max1E V2 m = entonces 2 2M1E A 2 m = si 2 f = reemplazando en la ecuacin nos queda que: 2 2 2M1E 4 A 2 m f = ahora para averiguar como esmtenemos q utilizar la siguiente expresin: ml= entonces m l = , ahora sic t l = entonces nos queda que c t m = . Si 2 2 2M1E 4 A 2 m f = reemplazando nos queda 2 2 2M1E c t4 A 2f = . Esta expresin es bastante incomoda para trabajar ya que tenemos ME yt , para deshacernos de ellos tenemos que trabajar con Potencia si la potencia se escribe como: MEPt= entonces: 2 2 2ME 1P c4 A t 2f = = 30 Intensidad de una onda (sonido) Observacin: Tienen que tener la misma fase, es decir el arg del Sen tiene que ser el mismo y tienen que estar a la misma altura. Ecuacin de la intensidad PIS= Aclaraciones: - I = Intensidad - P = potencia - S = Superficie aire2 2P 1I cA S 2 S = = Retranscribimos la ecuacin y nos queda que: 2 2aireP 1I cA S 2 = = Nivel de Intensidad 0INI 10logI| |= |\ 31 Aclaraciones: 0I = Intensidad mnima audible. 120 2wI 10cm= I = Intensidad medida El nivel de intensidad mnima audible es:NI 0db = 1db es el menor cambio que un odo humano puede escuchar. Aclaraciones: -AmplitudVolumen -FrecuenciaTono o Altura -TimbreNmero yCalidad de los Armnicos Rango de audicin humana intrasonidosultrasonidos20Hz ------------------------------ 20000Hz_ 32 Interferencia (2da Parte) Existen 2 tipos de interferencia, la Resonancia y el Batido. Resonancia Ocurre cuando dos sistemas fsicos tienen la misma frecuencia es decir 1 2f f = Batido Ocurre cuando dos sistemas fsicos tienen frecuencias parecidas es decir 1 22 f f = + con2 = Diferencia muy pequea entre 1f y 2f. Supongamos que tenemos 2 ondas( )1 1 1( , t) Asen t k y x x = + e ( )2 2 2( , t) Asen t k y x x = +. Ahora retranscribamos 1( , t) y x:( )1 1 1( , t) Asen 2 t k y x f x = +, como 1 22 f f = +, entonces nos queda que: ( ) ( )1 2 1 1( , t) Asen 2 2 t k y x f x = + + Ahora retranscribamos 2( , t) y x:( )2 2 2( , t) Asen 2 t k y x f x = +. Aplicamos la superposicin de ondas: 1 2( , t) ( , t) y x y x + y nos queda: 1 2 2Acos 2 t sen 2 tc 2 c 2x xy f+ | | | || | | |= + + ||||\ \ \ \

Onda Resultante 33 Aclaraciones: 1 22f f = 1 22f ff+= c = Velocidad de propagacin Efecto Dppler Definicin Es el cambio aparente de la frecuencia de una onda que es emitida por algn frente de ondas, se dice aparente, porque la fuente sigue emitiendo ondas a igual frecuencia, pero el receptor capta otra frecuencia. Frmula del efecto Dppler obsr efuenteccvf fv| | = |\ Aclaraciones: rf = Frecuencia del receptor (es decir la frecuencia captada por el mismo). ef =Frecuencia de la fuente emisora de la onda. obsv = Velocidad inicial del observador. fuentev= Velocidad inicial de la fuente. c = Velocidad de propagacin de la onda. 34 Interferencia (3ra Parte) Cuando 2 ondas son coherentes (es decir que tienen la misma frecuencia) y la diferencia de fases entre ambas es cte. en el tiempo. ( )( )1 1 12 2 2A sen t krSon M.A.S.A sen t kryy= `= ) Cuando 1 2r r entonces Interfieren. Como son 2 M.A.S. entonces al interferir podemos aplicar el Teorema del Coseno. 2 2 21 2 1 2A A A 2A A cos = + +, con ( )2 1 k r r = Interferencia Constructiva:cos 1 =entonces( )2 1 k r r 2n = =, con 0n .Entonces 2 =( )2 1 r r 2 = n por lo tanto nos queda 2 1r r n =. Mx = 2 1r r n = Superficies Ventrales. Interferencia Destructiva:cos 1 = entonces( ) ( )2 1 k r r 2n 1 = = +, con 0n .Entonces 2 =( ) ( )2 1 r r 2n 1 = + por lo tanto nos queda( )2 12n 1 r r2+ =. Mn = ( )2 12n 1 r r2+ = Superficies Nodales 35 Observaciones: -En el espacio se dan alternadamente las superficies Ventrales y Nodales. -Si 1 2A A =y la interferencia es constructiva, entonces 2 2 2 2 21 1 1 1A A A 2A 4A = + + = -Si 1 2A A =y la interferencia es destructiva, entonces 2 2 2 21 1 1A A A 2A 0 = + = -La interferencia se puede pensar como una onda estacionaria (formada por sucesiones de superficies Ventrales y Nodales) -Para que se de una interferencia las ondas deben ser coherentes. -Las fuentes de luz (cotidianas) varan su fase con el tiempo por lo que no es cte. es decir, no se ve Interferencia entre fuentes de luz convencionales porque no son coherentes. Experiencia de Young Si ( ) ( )2 1 2 12 k r r r r= = entonces a( )2 1r r lo podemos escribir como ( )dsen , entonces( ) ( )2 1r r dsen =, retranscribindolo en la ecuacin nos queda que: 2 =( )dsen 2= n , entonces( )dsen n =. ( )dsen n = es un mximo 36 de igual forma se deduce que: ( )( )2n 1dsen 2+= es un mnimo. En la pantalla se ven franjas brillantes y obscuras, con matices intermedias en las cuales no son ni mximos ni mnimos, en la figura que aparece a continuacin, se puede apreciar mejor este fenmeno: Observacin: -Si se tapa una ranura, se puede apreciar en la pantalla una luz brillante, ya que no hay interferencia. -Si las ranuras se alejan mucho de la pantalla el nguloes muy chico, por ende, podemos expresar al ( ) ( )ysen tg D =esto evita trabajar con el ngulo. 37 Interferencia de n fuentes sincronizadas Si ( )2 asen = entonces: MAXIMO: (los fasores son colineales) si 2n =entonces 2( )asen 2= n por lo tanto nos queda ( )asen n = MINIMO: El desfasaje total esN , entoncesN 2n' = , despejamos y nos queda que 2n'N=, entonces si 2( )2asen =n' N nos queda que ( )n'asen N= 38 Observacin: Para: N 3 = - Sin 0 =on' 0 =entonces se tiene un mximo - Sin' 1 =nos queda: 3 entonces se tiene un mnimo - Sin' 2 =nos queda 23 entonces se tiene un mnimo - Sin' 3 =nos queda queentonces se tiene un mximo Observacin: En general paraNnmeros de fuentes: -entre cada par de mximos hayN 1 mnimos. -entre dos mximos principales hayN 2 mximos (secundarios). -Para mayor nmero de fuentes hay ms mximos secundarios. 39 Difraccin Es la capacidad de las ondas de bordear un obstculo o de atravesar ranuras. Principio de Huygens Cada punto de un frente de ondas, se comporta como un emisor de ondas segundarias. Estas interfieren destructivamente entre si, anulndose, salvo en los puntos que determinan el nuevo frente de ondas. Nota: La interferencia y la difraccin son fenmenos similares, de hecho la difraccin proviene de la interferencia, sin embargo: - Difraccin: Resulta de la superposicin de ondas de frentes continuas. - Interferencia: Resulta de la superposicin de ondas de fuentes discretas. Difraccin de Fraunhoffer La Difraccin de Fraunhofer o tambin difraccin del campo lejano es un patrn de difraccin de una onda electromagntica cuya fuente (al igual que la pantalla) se encuentran infinitamente alejadas del obstculo, por lo que sobre ste y sobre la pantalla incidirn ondas planas. La difraccin de Fraunhofer es, de esta manera, un caso particular de la difraccin de Fresnel, y que tambin resulta ms sencillo de analizar. Este tipo de fenmeno es observado a distancias ms lejanas que las del campo cercano de la difraccin de Fresnel y ocurre solamente cuando el nmero de Fresnel es mucho menor que la unidad y se puede realizar la aproximacin de rayos paralelos. Difraccin de Fresnel La Difraccin de Fresnel o tambin difraccin del campo cercano es un patrn de difraccin de una onda electromagntica obtenida muy cerca del objeto causante de la difraccin (a menudo una fuente o apertura). Ms precisamente, se puede definir como el fenmeno de difraccin causado cuando el nmero de Fresnel es grande y por lo tanto no puede ser usada la aproximacin Fraunhofer (difraccin de rayos paralelos). 40 Nota: El numero de Fresnel es: 2FaL= . Aclaraciones: - a =es el tamao (por ejemplo el radio) de la apertura. - = es la longitud de la onda. - L =es la distancia que hay entre la apertura y la pantalla Difraccin de 1 ranura Interferencia Mxima: ( )intasen n = Difraccin Mnima: ( )difbsen n = 41 Difraccin de 2 ranuras Interferencia Mxima: ( )intasen n = Difraccin Mnima: ( )difbsen n' = Con dif int > 42 ptica Geomtrica I)Propagacin rectilnea II)Reversibilidad del camino III) Aproximacin de rayos paraxiales (ngulos pequeos) IV) Principio de mnima accin Reflexin Principio de Hern (Siglo II A.C.) La trayectoria seguida de la luz para desplazarse desde un punto S a un punto P, pasando por una superficie reflectora es la mas corta posible. Observacin: -i = Angulo de Incidencia - r= Angulo de Reflexin -i = r , es decir que el ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin -El rayo incidente, el refractado y la normal a la superficie estn en un mismo plano 43 Refraccin Fermat (1657) Principio de mnima accin La luz al propagarse de un punto S a un punto P, sigue la ruta que le insuma el menor tiempo posible. Nota: -La velocidad de la luz en una superficie refractora puede escribirse como luzCVn= - Ces la velocidad de propagacin de la luz, es decir kmC 300.000seg= - nes el ndice de refraccin, varia segn la superficie en donde se este trabajando, ejemplo: -vacion 1 =-airen 1 -aguan 1, 33 -El rayo incidente, el refractado y la normal a la superficie estn en un mismo plano 44 Ley de Snell Si aplicamos el Principio de Fermat (segn el tiempo), tenemos que 1 2t t t = +. Si a 1t lo podemos escribir como11SotV= y a 2tcomo22oPtV=, entonces nos queda que 1 2So oPtV V= +, aplicando Pitgoras para los segmentosSo yoP nos queda que: 2 2So h x = + y ( )22oP b a x = + , entonces retranscribo la ecuacin dety nos queda que ( )222 21 2b ahtV Vxx+ += +, comox es variable, para hallar el mnimo tiempo tengo que derivar e igualar a cero a la funcin( )t x. Entonces ( )( )2 2 2212at0V hV b axxxxx= =++ Observacin: -( )2 2sen ihxx=+ -( )( )( )22a sen rb axx=+ Retranscribo la ecuacin y nos queda que ( )( )1 2sen i sen rt0V V x= =, despejando nos queda que( )( )2 1 V sen i Vsen r =, si11CVn= y22CVn= entonces nos queda que C( )2Csen in=( )1 sen rn por lo tanto:( )( )1 2 n sen i n sen r = Ley de Snell