Resumen Libro Fundamento matemáticos para las ciencias sociales.

Fundamentos Matemáticos de las ciencias sociales Grado Turismo Curso 1º

1

Capítulo 1: Cálculo matricial

MATRICES

� Definición de matriz

Se conoce con el nombre de matriz a un conjunto de m x n elementos dispuestos en m filas y n columnas.

A= �11 �12… �1��21 �22… �2��31 �32… . �3�

A ij es el elemento de la fila i y de la columna j

� Tipos de matrices

Un único elemento se puede considerar una matriz 1x1

Ejemplo: A = a; o bien A = (a)

Una matriz de dimensiones 1xn, se conoce con el nombre de vector fila (o matriz fila).

Ejemplo: A = (a11, a12, …. A1n) o bien ( a1, a2…an)

Si una matriz en de dimensiones mx1, se denomina vector columna (o matriz columna)

Ejemplo: A = �11�21��1

o bien A = �1�2��

Una matriz, rectangular o cuadrada, tal que todos sus elementos son iguales a cero se denomina matriz cero; se suele representar 0:

Ejemplo: 0 = 0 00 00 0

Si en una matriz cuadrada se cumple, para todo par de subíndices i, j que aij = aji la matriz se denomina matriz simétrica. Como podemos ver los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son iguales

Ejemplo:

A = �11 �12 �13�12 �22 �23�13 �23 �33

Si una matriz, para todo par de i,j de subíndices se verifica:

A ij = - aji. La matriz se denomina hemisimetrica.

Diagonal principal

Diagonal segundaria


2

Ejemplo:

Observar que en una matriz hemisimetrica los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son iguales en valor absoluto pero con distinto signo. Además los elementos de esa diagonal principal son todos nulos ya que:

A ii = - aii ⇒ aii = 0

Una matriz simetrica se llama matriz diagonal si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero o que, al menos, un elemento de la diagonal principal sea distinto a cero.

Ejemplo:

A = 3 0 00 1 00 0 5

; A = 4 0 00 0 00 0 3

Una matriz diagonal, tal que todos los elementos de su diagonal principal son iguales, es una matriz escalar.

Ejemplo:

A = 4 0 00 4 00 0 4

Una matriz escalar tal que sus elementos no nulos son iguales a la unidad, se denomina matriz unidad o matriz identidad.

Ejemplo:

A = 1 00 1 ; A =

1 0 00 1 00 0 1

Si en una matriz cuadrada todos los elementos situados a un lado de la diagonal principal son ceros la matriz se denomina matriz triangular

Ejemplo:

A = 3 0 04 1 02 5 3

; 4 0 05 0 03 2 1

� Operaciones con Matrices

Suma de matrices

Si A = (aij)mxn y B = (bij)mxn

A + B = (aij + bij)mxn


3

Producto por un escalar

λ * A = λ(A) �11 �12 �21 �22 �31 �32

Producto de matrices

Pasos

1. Primera columna: multiplicar la primera columna de la matriz A por el primer elemento de la primera fila de la matriz B, sumarle el resultado de multiplicar la segunda columna de la matriz A por el primer elemento de la segunda fila de la matriz B y, por último, sumarle el resultado de multiplicar la tercera columna de la matriz A por el primer elemento de la tercera fila de la matriz B.

2. Segunda columna: multiplicar la primera columna de la matriz A por el segundo elemento de la primera fila de la matriz B, sumarle el resultado de multiplicar la segunda columna de la matriz A por el segundo elemento de la segunda fila de la matriz B y, por último, sumarle el resultado de multiplicar la tercera columna de la matriz A por el segundo elemento de la tercera fila de la matriz B.

3. Tercera columna: multiplicar la primera columna de la matriz A por el tercer elemento de la primera fila de la matriz B, sumarle el resultado de multiplicar la segunda columna de la matriz A por el tercer elemento de la segunda fila de la matriz B y, por último, sumarle el resultado de multiplicar la tercera columna de la matriz A por el tercer elemento de la tercera fila de la matriz B.)

� Transposición de matrices

Si una matriz A se cambian las filas por las columnas (y viceversa) se obtiene otra matriz que se llama matriz traspuesta de la dada y se suele representar At .

Propiedades

a) Si A es de dimensiones mxn, las dimensiones de At son de nxm

b) La transpuesta de la traspuesta de una matriz A, es la misma matriz, o sea:

(At)t = A

c) La transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas:

(A+B)t = At + Bt

d) La transpuesta del producto de dos matrices es el producto de las transpuestas pero en orden inverso.

(A*B) t = Bt*A T

X


4

DETERMINANTES

� Determinantes de orden 2 • •• • Con signo +

• •• • Con signo -

� Determinantes de orden 3

Con signo + • • •• • •• • •

• • •• • •• • •

• • •• • •• • •

Con signo – • • •• • •• • •

• • •• • •• • •

• • •• • •• • •

� Propiedades de los determinantes a) El valor de un determinante no varía si se cambian las filas por las columnas

b) Si se cambian entre si dos líneas (filas o columas) paralelas, el determinante no varía en valor absoluto pero cambia de signo.

c) Si en un determinante dos líneas paralelas (filas o columnas) son iguales, el determinante es nulo

d) Si se multiplican (o se dividen) todos los elementos de una línea, de un determinado determinante por un número , el valor del determinante queda multiplicado o dividido por dicho número.

e) Si dos líneas paralelas de un determinante son proporcionales, el determinante es nulo

f) Si una línea se obtiene como combinación lineal de los elementos de otras líneas, el determinante es nulo.

� Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea:

Teorema: el valor de un determinante es igual a la suma de los elementos de una línea cualquiera, multiplicados por sus adjuntos respectivos

Pasos:

1. Elegimos la columna o fila que tenga más ceros.

2. Ponemos el desarrollo del determinante: a11A11+a21A21+a31A31…

3. Una vez descartados los elementos nulos haremos los adjunto del resto de elementos

4. En el desarrollo del terminante sustituiremos Aij por el adjunto que nos haya dado y así tendremos el determinante


5

� Producto de determinantes

El producto de dos determinantes adopta la misma forma que el producto de matrices. El determinante del producto de dos matices cuadradas del mismo orden es igual al producto de sus determinantes.

Suma de determinantes

� Suma de determinantes

Dos determinantes del mismo orden son sumables si tienen iguales respectivamente todas las filas menos una o todas las columnas menos una. Para sumarlos lo que tenemos que hacer es sumar sólo las líneas (filas o columnas) que no son iguales y nos dará una determinante que tiene las líneas iguales de ambos y en el lugar de la línea desigual, el resultado de la suma de las líneas desiguales de los determinantes.

� Multiplicar un número por un determinante

Se multiplica número por la fila o la columna del determinante que nosotros queramos sin que esto afecte al resultado

� Obtener el rango de la matriz:

Pasos

1. Buscamos un elemento que sea distinto de cero. Si lo hay, automáticamente el rango de la matriz es de 1

2. Orlamos una fila y una columna a ese elemento para ver si encontramos algún determinante de orden 2 que sea no nulo. Si lo hay, el rango de la matriz pasa a ser, automáticamente, de 2.

3. Volvemos a orlar una fila y una columna los elementos para ver si encontramos un determinante de orden 3 no nulo. SI lo hay, automáticamente, el rango de la matriz pasa a ser Rango 3

4. Continuamos hasta que no nos queden filas y columnas para orlar

� Matriz inversa:

Pasos:

1. Primero hay que comprobar que el determinante es ≠ 0. Si lo es la matriz admite inversa.

2. Hay que calcular todos los elementos adjunto de la matriz para poder formar la matriz adjunta de A (adj (A))

3. Con la matriz adjunta podemos obtener la matriz adjunta de A traspuesta.

4. A la matriz adjunta de A traspuesta la dividimos por el determinante que nos haya dado y ya tendremos la matriz inversa.


6

Método Gauss-Jordan

Pasos:

1. Escribir la matriz A seguida de la matriz identidad: (A|I)

2. Operamos las filas A|I hasta conseguir transformar A en I

3. La matriz I , se ha transformado en A-1

4. (A|I) Transformaciones elementales (I\A-1)


7

Capítulo 2: Métodos de Resolución de sistemas de ecuaciones Sean n incógnitas que deben verificar m condiciones (ecuaciones). Se dice entonces que se ha planteado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Si todas las ecuaciones son lineales, se trata de un sistema de ecuaciones lineal.

� Sistema de ecuaciones lineales

Su expresión es:

Los aij (i= 1, 2, …..m; j= 1,2,…..n) son los coeficientes; los ci (i= 1,2….m) son los términos independientes.

Cada conjunto de valores x1, x2,…xn que satisfacen a todas las ecuaciones del sistema se llama solución. Si un sistema admite alguna solución recibe el nombre de sistema compatible; si no existe ninguna solución se trata de un sistema incompatible. Si un sistema lineal admite un única solución es compatible determinado y, si admite infinitas soluciones, es compatible indeterminado.

Una ecuación de un sistema es combinación lineal de otras varias, si se obtiene como suma miembro a miembro de éstas, previamente multiplicadas por números cualesquiera. Si en un sistema de ecuación es combinación lineal de otras, se puede suprimir, obteniéndose un sistema equivalente al lado, esto es, que tienen las mismas soluciones.

� Método Gauss-Jordan

Consiste en lo siguiente:

1. Eliminar la primera incógnita entre la segunda ecuación y cada una de las m-1 ecuaciones restantes, sustituyendo cada una de estas por cada resultado de la eliminación.

2. Suprimir la segunda incógnita entra la tercera ecuación y cada una de las m-2 siguientes ecuaciones, sustituyendo cada una de éstas por la ecuación que resulta de la eliminación correspondiente.

3. Se continúa hasta lograr que resulte una ecuación en la que solo exista una incógnita con coeficiente distinto de cero.

El coeficiente de la incógnita que se va a eliminar, en la primera ecuación (de la segunda ecuación etc., en eliminaciones posteriores) se conoce como pivote y se suele recuadrar

Pasos para resolver el sistema:

1. Lo primero que haces es meter en una caja las ecuaciones más los términos independientes y señalamos en termino pivote:


8

2. Después procedemos a eliminar la primera incógnita (X1).

Para ello multiplicamos la primera ecuación por el termino X1 de la segunda ecuación. Y multiplicamos la segunda ecuación por el pivote y simplificamos el resultado, en el caso de que se pueda. Realizamos este paso para eliminar X1 de la tercera ecuación.

3. Pasamos las dos ecuaciones nuevas al diagrama y señalamos el nuevo término pivote, en este caso lo debemos señalar en la segunda ecuación y procedemos a eliminar la segunda incógnita (X2).

Para eliminar X2 debemos multiplicar en la segunda ecuación por el término X2

de la tercera ecuación. La tercera ecuación la multiplicamos por el pivote

4. Una vez hecho estas operaciones nos quedara un sistema equivalente triangular pero con una sola incógnita y lo único que deberemos hacer es resolver cada ecuación con los datos que tenemos.

� Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Sistema de Cramer.

Si el sistema [1] se hace:

Dicho sistema se puede escribir matricialmente como: AX = C

El Sistema se Cramer:

Cuando el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones, la matriz de los coeficientes es cuadrada, y además |A| es distinto de cero, el sistema se conoce como Cramer.

Solución del sistema Cramer por inversión de la matriz de los coeficientes

Sea el sistema Cramer

AX = C

Como |A| es distinto de cero, la matriz A admite inversa A-1

(A-1 A)X = A -1 C

Y, como (A-1 A) = I (matriz identidad) e IX = X, resulta

X = A-1 C

Pasos:

1. Comprobamos que |A| ≠ 0


9

2. Calculamos la matriz adjunta de la matriz de los coeficientes

3. Una vez que tenemos la matriz adjunta tendremos que:

a. En una matriz de una columna pondremos las incógnitas

b. En otra matriz pondremos la matriz inversa

c. En otra matriz de una columna pondremos los términos independientes de las ecuaciones y resolveremos.

Para resolverlo multiplicaremos los términos independientes por las columnas de la matriz inversa y después sumaremos las filas. El resultado de estas sumas la dividiremos entre |A| y lo que nos salga será el valor de las incógnitas.

Regla de Cramer

Sea el sistema de Cramer

Los valores de las incógnitas son:

� Teorema de Rouche-Frobenius

En el sistema

Se forman las matrices

La matriz B se obtiene orlando la matriz A con la columna de los términos independientes. Designando por r(A) y r(B) los rangos de ambas matrices, puede suceder:

R(A) = r(B) Sistema compatible (se puede resolver)


10

R(A) < r(B) Sistema incompatible (no se puede resolver)

En el caso de compatible, siendo n el número de incógnitas:

R(A) = r(B) = n sistema compatible determinado (solución única)

R(A) = r(B) < n sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)

Nota: Para la resolución de sistemas compatibles, conviene tener en cuenta las observaciones siguientes:

a) El número de ecuaciones es mayor que r(A): se toma r = r(A) ecuaciones, es decir las ecuaciones que nos han dado el rango de A; el resto de las ecuaciones se eliminan, por ser combinación lineal de las otras.

b) El número de incógnitas es mayor que r(A). Se dejan en el primer miembro de cada ecuación sólo las incógnitas que nos han dado el rango de A; las demás las pasamos al segundo miembro

� Sistemas homogéneos

Un sistema en el que todos los términos independientes son nulos, es decir 0, se llama sistema homogéneo.

Si r(A) = n, sólo admite la solución trivial: x1= x2=…=xn = 0

Si r(A) < n, el sistema admite infinitas soluciones: sistema compatible indeterminado

� Discusion de un sistema

Discutir un sistema es clasificarlo según los distintos valores del parámetro. (Ver ejemplos páginas 62 y 63-libro nuevo-)


11

Capítulo 3: Funciones de una variable � Concepto de dependencia:

Una variable se dice que es función de otra variable x, cuando la primera depende de la segunda.

FUNCIONES

� Definición y tipos

Función: La variable y es función de x en un dominio X, si a cada valor de x de este conjunto le corresponde un solo valor de y perfectamente determinado.

La palabra función se usa también para designar la ley de correspondencia entre las variable x e y. se suele representar con una letra: y =f(x), donde f es la llamada característica e indica el conjunto de operaciones que hay que realizar con x para obtener y.

Función multiforme si a cada valor de x corresponde más de un valor de y, también se llama a y función de x.

Función de función o función compuesta si y es una función de u ( y = f(u)) y u, a su vez es una función de x ( u = g(x)), entonces se dice que y es una función compuesta o función de función de x. Se indica y =f [g(x)]. Ejemplo: Se sabe que la demanda de un bien varía según el precio y éste varia a lo largo del tiempo, luego la demanda es función de función o función compuesta del tiempo.

Función inversa de una función. Para obtener la función inversa de una función y =f(x):

1. Despejamos la variable independiente x

2. Una vez que hemos despejado la variable x intercambiamos la x por la y; y la y por la x

3. El resultado final es la función inversa que buscamos (f-1(x))

LIMITES

� Definición y tipos de limites

Limite finito. Se dice que la función y = f(x) tiene límite l cuando x tiende a x0

lim�→�� (�) = l

Si para cada número real � > 0 existe un � > 0, tal que para todo x (x≠x0) que cumpla

| x – x0 | < �

Se verifica

|f(x) – l| < � Limite por la derecha. Se dice que la función y = f(x) tiene límite l1 por la derecha en x0

lim�→�� (�)= l1

Si para cada � >0, existe un � > 0 tal que para todo x que se cumpla

X � (x0,x0+�)

se verifica


12

|f(x) – l1| < � Nota: el intervalo (x0,x0+�) es abierto, o sea x no puede tomar los valores extremos.

Limite por la izquierda. Se dice que la función y = f(x) tiene el límite l2 por la izquierda en x0

lim�→�� (�)= l2

Si para cada � >0, existe un � > 0 tal que para todo x que verifique:

X � (x0 – �, x0)

Se cumple

|f(x) –l2| < � Es inmediato observar que la función f(x) tiene límite x0 , tiene también límite por la derecha y por la izquierda y ambos son iguales.

Limite infinito para valor finito. La función y = f(x) tiene límite infinito en x = x0,

lim�→�� (�) = ∞

Si para todo k > 0 (todo lo grande que se desee) existe un � >0 tal que para todo x que se cumpla | x – x0 | < �, x ≠ x0 se verifica: (ver ejemplo página 86)

|f(x)| > k

Limite + ∞ = f(x) >K

Limite - ∞ = f(x) < K

Limite finito en el infinito. Se dice que la función y = f(x) tiene límite finito l cuando x tiende a infinito.

lim!→" �(�) = l

Si para cada número real � > 0 existe un número N > 0, tal que para todo x tal que |x| > N se cumpla:

|f(x) – l|<� Limite infinito en el infinito. se dice que la función f(x) tiende al infinito, cuando x tiende a infinito, es decir:

lim!→" �(�) = ∞

Si para todo k>0, existe un N>0, tal que si |x|>N se verifica |f(x)| > k

� Unicidad del límite:

El límite, si existe, es único

� Infinitésimos

Una función y = f(x) que tiene límite cero (para x →a o para x →∞) se llama infinitésimos.

Sean dos infinitésimos:

lim�→# �(�) = 0 , lim�→# $(�) = 0

Si:


13

lim�→# %(�)&(�)= 0 f(x)es de orden superior a g(x)

lim�→# %(�)&(�) = número finito ≠ 0 Son del mismo orden

lim�→# %(�)&(�) = ∞ f(x) es de orden inferior a g(x)

Dos infinitésimo del mismo orden tales que

lim�→# %(�)&(�) = 1

Se denominas infinitésimos equivalentes.

En el caso de que se tengas dos expresiones polifónicas, cuando x tiende a un número finito a, después de reducir la expresión a un coeficiente de polinomios, so resulta una indeterminación, esta será formada por 0/0, que se resolverá dividiendo, mediante la Regla de Ruffini, numerador y denominador por x-a

En conclusión, se pueden enunciar las siguientes propiedades de los infinitésimos:

a) La suma de un número finito de infinitésimos, es un infinitésimo

b) El producto de un infinitésimo por una constante cualquiera, es un infinitésimo

� Cálculo de límites indeterminados

Al tratar las operaciones con los límites, pueden presentarse, siete casos de indeterminación, cuyas formas simbólicas son las siguientes:

1. ∞ - ∞

2. 0*∞

3. ��

4. ""

5. 1∞

6. 00

7. ∞0

� Continuidad

Se dice que la función y = f(x) es continua en el punto x = a, cuando:

1. Existe f(a)

2. Existe lim�→# �(�) 3. lim�→# �(�) = f(a)

� Teorema de Bolzano

Si f(x) es continua en [a,b] y toma valores de signo contrario en a y en b, f(x) se anula por lo menos una vez en [a,b]

� Teorema de Darboux

Si la función f(x) es continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b), f(x) toma, al menos una vez, todos los valores del intervalo [f(a), f(b)]


14

� Discontinuidades

Para que f(x) no es continua en un punto x = a, es porque NO CUMPLE

1. No exista f(a)

2. No exista lim�→# �(�) 3. Que exista f(a) y lim�→# �(�), pero que f(a) ≠ lim�→# �(�)

En este caso se le denomina DISCONTINUIDAD, pero es posible diferenciar entre distintos tipos de discontinuidades que puede presentar una funcion.

La primera clasificación seria:

Discontinuidad evitable. Son originadas por una de las dos razones:

� 1ª) Porque la función no esté definida en el punto, es decir que no exista f(x), pero que si exista el limite de la función en ese punto (lim�→# �(�)), para así convertirla en continua.

� 2ª) Aunque la función esté definida en el punto de estudio, es decir, que exista f(a) y exista el límite, ambos valores no coincidan f(a) ≠ lim�→# �(�), en cuyo caso, cabe la posibilidad de redefinir la función al valor del límite para hacerlas continua y evitar así la discontinuidad.

Discontinuidad inevitable o evitable. Se clasifican en dos tipos, según los valores que fallen en el estudio de su continuidad. Así tenemos:

� Discontinuidades de primera especie, entre las que se distinguen:

� Discontinuidades de Salto finito, en las que aunque no exista el limite lim'→( f(x), si existen los limites laterales pero son distintos: lim�→#� �(�) ≠ lim�→# �(�)

� Discontinuidad de Salto Infinito, también llamada asintónica, si uno o los dos limites laterales en infinito

� Discontinuidad de segunda especie si lo que ocurre es que uno o los dos limites laterales no existe

FUNCIONES POLINOMICAS

� Otras peraciones con polinomios

Suma de polinomios

Se entre si los monomios que tengan el mismo grado

Resta de polinomios

Dados dos polinomios p(x) y q(x), se define el polinomio diferencial p(x)-q(x) como la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo, es decir:

P(x) – q(x) = p(x) + [-q(x)]

Producto de polinomios

Hay que multiplicar cada uno de los monomios del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio y después sumar los monomios que tienen el mismo grado.


15

� División de polinomios

Dado dos polinomios, a(x) y b(x), podemos encontrar otros dos polinomios q(x) y r(x), tales que:

A(x) = b(x)*q(x)+r(x)

Y de forma que el grado de r(x) sea menor que el de b(x) y que simbolizamos:

B(x) Q(x)

Se dice: a(x) es el dividendo; b(x) es el divisor, q(x) es el cociente y r(x) es el resto

Luego: dividendo es igual al divisor multiplicado por el coeficiente y sumando el resto

Para que se sea posible la división entera de dos polinomios es preciso que el grado del dividendo sea mayor o igual al grado del divisor.

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a

Pasos a seguir:

1. Se ordena el polinomio de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en y se baja el coeficiente del término de mayor grado (nota: si es x-a se pone la a en positivo; si es x+a se pone la a en negativo)

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado por el que se ha colocado a la izquierda. El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso.

4. El último número se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.

Ejemplo:

(5x4-3x3+4x+6)÷(x-2)

+5 -3 0 +4 +6

+ + + +

2 10 14 28 64

+5 +7 +14 +32 +70

Coeficiente: 5x3+7x2+14x+32

Resto: 70

A(x) R (x)


16

Teorema del resto

El valor de un polinomio, p(x) para x=a coincide con el valor del resto de la división de este polinomio entre x-a.

Ejemplo anterior:

(5x4-3x3+4x+6)÷(x-2)

Por el teorema del resto:

P(2) = 5*24-3*23+4*2+6= 80-24+8+6 =70

� Descomposición factorial

Si un polinomio p(x) se anula para x=a1. Dicho polinomio es divisible por x=a1. Luego p(a1) = 0 supone que:

P(x) = (x-a1) * c1 (x)

Donde c1(x) es el coeficiente exacto.

� Descomposición factorial por la Regla de Ruffini

Por aplicación de la regla de Ruffini a un polinomio p(x) vamos buscando valores de x-ai que den un resto 0. El polinomio p(x) es igual al producto del polinomio cociente obtenido por x-ai.

Cuando no es posible encontrar x-ak que dé resto cero, al Ck(x) se le llama polinomio irreducible.

Vamos aplicando el proceso anterior hasta llegar a un polinomio irreducible. Por tanto: P(X)= (x-a1)*(x-a2)*…*(x-ak)*ck(x)


17

� Máximo común divisor (MCD)

Sean dos polinomios a(x) y b(x). Los descomponemos factorialmente:

A(x) = (x – a1)(x-a2)…(x-ak)*ck(x)

B(x) = (x – b1)(x-b2)…(x-bk)*ck(x)

El máximo común divisor es el producto de los divisores comunes elevados a los menores exponentes


18

� Determinación del mínimo común múltiplo (mcm)

Sean dos polinomios a(x) y b(x). El mínimo común múltiplo, resulta ser el producto de todos los divisores, comunes y no comunes, elevados a los mayores exponentes.

Aplicación del mínimo común múltiplo

La determinación del mínimo común múltiplo de polinomios nos proporciona un método de cálculo de fracciones de polinomios.

El proceso a seguir es:

1. Se determina el mínimo común múltiplo M(x) de los denominadores

2. Se divide M(x) por cada denominador y se multiplica por el numerador correspondiente

3. El numerador del resultado es la suma de los sumandos obtenidos en el paso 2 y el denominador es el mínimo común múltiplo.

FUNCIONES EXPONENCIALES

� introducción

La función: y = [f(x)]n, donde n es un número real, recibe el nombre de función potencial.

La función: y = a f(x) donde a es un número real positivo y distinto de 1, se conoce con el nombre de función exponencial.

La función: y = [f(x)]g(x) es la denominada función potencial-exponencial

� la función exponencial

Toda función de la forma y = a f(x) donde a es un número real positivo y distinto de 1, siendo f(x) una variable real, es la función exponencial.

Son funciones exponenciales:

Y = 2x y = (,-)

x+2

� Propiedades comunes 1. Para todo x es: ax >0

a. La función exponencial no se anula en ningún punto

b. La función ax nunca toma valores negativos

2. Sustituyendo x = 0 en la función: f(0) = a0 = 1; todas las funciones exponenciales y = ax son incidentes con el punto (o.1)

3. Haciendo x = 1 en la función: f(1) = a1 = a; las funciones exponenciales y = ax son incidentes con los punto (1,a).

La función y = ax; a > 1. Son propiedades particulares de y = ax, para a > 1

4. La función es monótona creciente en todo punto: es decir, a mayores valores de la x, se tienen mayores valores de f(x).

Si m > n am > an

Apoyándonos en las propiedades de los limites tenemos


19

5. lim�→." �� = + ∞

6. lim�→/" �� = 0

La función y = ax, 0 < a < 1, son propiedades particulares:

1. La función es monótona decreciente en todo punto. Es decir, a mayores valores de la x se tienen menores valores de f(x).

Por las propiedades de los límites tenemos

2. lim�→." �� = 0

3. lim�→/" �� = + ∞

� Continuidad de las funciones exponenciales.

Se recuerda que la función f(x) era continua si:

lim�→� �(�) = f(��) Para la Función exponencial y= ax se cumple:

lim�→� �� = �0123→� � = �� Que es el valor de la función exponencial en el punto x = x0. Luego, la función exponencial es continua para todo valor real de x

LOGARITMOS

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente y al que hay que elevar la base para obtener el número dado x.

La base de los logaritmos a siempre será un número real mayor de que cero y distinto de 1.

� Propiedades algebraicas de los logaritmos

Logaritmo de un producto: log#(�, ∗ �7) = log# �, + log# �7 Logaritmo de un cociente: log# �8�9 = log# �, - log# �7 Logaritmo de una potencia se obtiene como producto del exponente por el logaritmo base: log#(�!) = n*log# :

Logaritmo de una raíz se obtiene dividiendo el logaritmo por la cantidad subradical por

el índice de la raíz: log# √:< = log# �8< =

,! log# : =

0=>? �!

Logaritmos decimales son los de base 10. Se escriben sin indicar la base: log :. Luego:

Y = log � 10y = X

Antilogaritmo. Conocido como el logaritmo de y, de un numero x, y = log � , se llama antilogaritmo decimal de y al propio número X

� Cambio de base

En ocasiones, es necesario calcular un logaritmo en base distinta a base 10. Una vez conocidos los logaritmos en base a, calcularlos en otra base, b.

Sean:

Y = log# � , y´= log@ � Por definición:


20

X = ay ; x = by → ay =by

Tomamos logaritmos en base a:

log# �A = log# BA´ Por la propiedad del logaritmo de la potencia:

log# BA´ = y log# B log# �A = y log# B

Donde, como log# �A = y → y´log# B = y

Sustituyendo y e y por sus valores:

log# � = log@ �* log# B log@ � = 0=>? �0=>? @

En particular, si a = 10

log@ � = 0=> �0=> @

� Logaritmo Neperiano

Los logaritmos con base el número e reciben el nombre de logaritmos neperianos y se suele representar como logD , ln o L. Nosotros utilizaremos la anotación ln, que es la más divulgada. Luego:

Y = lnx = ey = x

� Función logarítmica

Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

Y = log#[F(�)] ay = F(x) siendo a un número real positivo distinto de 1 y donde µ(x) es una función real de la variable real

� Función logarítmica como función inversa de la función exponencial

Se recuerda que para obtener la inversa de y = f(x):

1. Se despeja x = f-1(y) 2. Se cambia x por y e y por x

Si en y = log# : se despeja x = ay = x; cambiando x por y e y por x resulta: ax = y, es decir, y = ax; luego:

F(x) = log# � ; f-1(x) = aX

La función logarítmica tiene por función inversa al a función exponencial, y viceversa

� Límites de logaritmos

Sean sucesiones de términos generales bn, log# B!, de límites respectivos:

lim!→" B! = b ; lim!→" log# B! = log# B

Se cumple:

lim!→" log# B! = log# lim!→" B!


21

Capítulo 4: Calculo diferencial e integral con funciones de una variable.

CONCEPTO Y CÁLCULO DE DERIVADAS

� Derivada de una función

Se llama derivada de una función f(x) en el punto x = a, al límite, si existe, del incremento de la función dividido por el incremento de la variable, cuando éste tiende a cero.

F´(a) = lim∆�→� %(#.∆�)/(%(#)∆�

Nota: La derivada en un punto es un número

Interpretación geométrica

La derivada de la función y = f(x) en el punto x = a, o sea f´(a), representa la pendiente de la tangente geométrica de dicha curva en x = a

Derivada infinita

Si la función y = f(x), continua en x = a es tal que el límite de ∆H∆3, en dicho punto, es

infinito, admite tangente vertical en x = a

Relación entre la continuidad y la derivabilidad

Si una función f(x) es derivable, con derivada infinita en x =a, es continua en dicho punto, ya que ∆� → 0, también ∆A → 0

Sin embargo, si una función en continua en el punto x = a no necesariamente es derivable en dicho punto.

� Función derivada

Una función tal que en cada punto toma el valor de la derivada de y = f(x), se llama función de derivada y se representa por f´(x)

Obtención de funciones derivadas

Para obtener la función derivada de una función, se suele seguir la regla de los cuatro pasos

1. Incrementar: a partir de y = f(x) se obtiene y + ∆A = f(x + ∆�) 2. Hallar ∆A = f(x + ∆�) – f(x)

3. Dividir por ∆�, con lo cual se forma el coeficiente incrementar ∆A/∆� 4. Paso al límite, haciendo ∆� → 0


22

Tabla de derivadas

Nota: para más información sobre función derivadas ver de la página 148 a la 160 (libro nuevo), y de la 188 a la 200 (libro viejo)

� Diferencial de una función

Se llama diferencial, en un punto, de una función (que admite derivada finita en dicho punto) al producto de la derivada por un incremento arbitrario de la variable; o sea dy = y`*∆'. Como para la variable independiente ∆' = dx, resulta, en definitiva, dy = y´* dx

Reglas de diferenciación

Como la derivación y la diferenciación sólo difieren en el factor dx, todas las reglas obtenidas para la derivación son válidas para la diferenciación:

Dk = 0*dx = 0 ; d (ku) = kdu

D (u+v) = du + dv ; d(uv) = vdu + udv

D IJ =

JKI/IKJJ9 ; d(uM) = nuM/,*du

D(au) = auln adu ; d(lnu) = KII


23

APLICACIONES DE LA DERIVADA

� Función creciente y función decreciente

Si una función es creciente en un intervalo, tiene derivada positiva o nula en dicho intervalo.

Si una función es decreciente en un intervalo, tiene derivada negativa en dicho intervalo.

� Teorema de Rolle

Si la función f(x) es continua en [a,b], derivable en (a,b) y, además, f(a) = f(b), existe, al menos, un punto c ∈ (a,b) en el que f´(c) = 0

� Teorema de Cauchy

Sean las funciones f(x) y g(x), ambas continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Existe, al menos un punto c ∈ (a,b) en el que:

O(P)/O(()>(P)/>(() =

O´(Q)>´(Q)

� Calculo de límites indeterminados. Regla de L´Hôpital

Límites de la forma simbólica RR

Si el lim�→# �(�) = 0 y lim�→# $(�) = 0

0123→? %(�)0123→? &(�) =

%´(�)&´(�)

Límites de la forma simbólica ""

Si el lim�→# �(�) = ∞ y lim�→# $(�) = ∞

lim�→# %(�)&(�) = lim�→# %´(�)&´(�)

Si el lim�→# �(�) = ∞ y lim�→# $(�) = ∞

Que es la forma ��


24

Límite de la forma simbólica 0*∞

Sea lim�→# �(�) ∗ $(�), siendo

lim�→# �(�) = 0 y lim�→# $(�) = ∞

Como el límite propuesto se puede escribir en cualquiera de las formas

lim�→# �(�) ∗ $(�) = lim�→# %(�)8S(3)

lim�→# �(�) ∗ $(�) = lim�→# &(�)8T(3)

Que serán, respectivamente, de las formas 0 0U ó ∞ ∞⁄ , el límite se puede resolver por la aplicación de la regla de L´Hôpital.

Nota: es conveniente dejar en el numerador la función más complicada f(x) o g(x).

Si el lim�→# �(�) = 1 y lim�→# $(�) = ∞

lim�→#[�(�)]&(�) = Y0123→?&(�)[%(�)/,] Límites de la forma simbólica ∞ - ∞

Normalmente haciendo operaciones se suele reducir a las formas 0 0U ó ∞ ∞⁄ ; pero hay un procedimiento que de una forma general transforma el limite en uno calculable por la regla de L´Hôpital.

Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que ambas tienen límite infinito para x → a.

Como:

Resulta un límite de la forma 0 0U

� Derivadas sucesivas de una función

Sea y = f(x); la función derivada es y´= f´(x), a su vez, su derivada se escribe y´´ = f´´(x) y asi sucesivamente: y´´´, yiv, yv, …

� Diferenciales sucesivas de una función

La diferencial de y = f(x) es dy= f´(x) → f´(x) = ZAZ�

La diferencial de la segunda es d2y = f´´(x) → f´´(x) = ZH9Z�9


25

La diferencial de la tercera es d3y = f´´´(x) → f´´´(x) = ZH[Z�[

� Formula de Taylor

Sea la función f(x), derivable en x= a, n+1 veces; entonces:

Donde Tn(x) representa el resto o término complementario. La forma de Lagrange para el resto es:

� Formula de Mac-Laurin

Hacindo a = 0, en la fórmula de Taylor

Siendo:

� Concavidad y convexidad

Una función en cóncava en x0 (o su concavidad mira hacia la parte positiva del eje 0Y), cuando en un entorno x0, la curva está “ por encima” de la tangente en x0


26

Una función es convexa en x0 (o su convexidad mira hacia la parte negativa del eje 0Y), cuando en un encontró x0, la curva está “por debajo” de la tangente en x0

Si la curva es cóncava en x0 = f´´(x) > 0

Si la curva es convexa en x0 = f´´(x) < 0

Puntos de inflexión

Son aquellos puntos en los que la función cambia de concavidad. Por lo tanto, la segunda derivada cambiará de signo en tales puntos. Luego, si en x0 hay un punto de inflexión f´´(x0) = 0

La condición anterior es necesaria pero no suficiente. Si se cumple, además, f´´´(x) ≠ 0, si se puede asegurar la existencia de punto de inflexión en x = x0

� Extremos de una función

La función f(x) admite en x0 un máximo o un minino relativo si en dicho punto toma un valor mayor o menor que el que alcanza en cualquier punto del entorno de x0

Condiciones para la existencia de extremos relativos

Sea la función y = f(x). Si en x0 admite, por ejemplo un máximo, f(x0) será mayor que el valor que tome la función en un entorno de x0.

La función f(x) tiene derivadas sucesivas continuas en un entorno de x0. La función f(x), a la izquierda de x0 será creciente así que admitirá derivada positiva f´( x0 - ∈) > 0, mientras que a la derecha será decreciente por lo que su derivada será negativa f´( x0 + ∈) < 0. La continuidad de f´(x) en x0 se debe cumplir f´( x0) = 0


27

En el caso de mínimo en x0, el mismo razonamiento, a la izquierda derivada negativa y a la derecha derivada positiva conducen al mismo resultado f´( x0) = 0

La condición necesaria para la existencia de extremo relativo ya sea máximo o mínimo en un punto x = x0, es la nulidad de dicho punto.

Para precisar ese minimo o máximo, se obtiene el desarrollo de Taylor en el punto considerado y suponiendo f´´´(x) ≠ 0, se puede escribir:

Caso en el que se anulen las r-1 primeras derivadas

Se pueden presentar dos casos:

a) R par: entonces según que el signo de fr(x0) sea positivo o negativo, f(x0 + h) – f(x0) será también positivo o negativo, o sea:

fr(x0) > 0, f(x0 + h) – f(x0) > 0, en x0 mínimo

fr(x0) < 0, f(x0 + h) – f(x0) < 0, en x0 máximo

b) R impar: entonces, según que h<0 (a la izquierda de x0) o h> 0 (a la derecha de x0), f(x0 + h) – f(x0) no mantiene signo constante. En x0 no puede existir un extremo relativo y en este caso, lo que existe es un punto de inflexión con tangente horizontal

Estudio de los máximos y mínimos relativos a partir de f´(x)

Cuando se anulan en x0 varias derivadas sucesivas, f´(x), f´´(x),…, se puede llegar a los mismos resultados, determinando el signo de f´(x) para x = x0 - ∈ y x = x0 + ∈ (∈ ≠0)

Extremos absolutos

Para hallar los extremos absolutos de la función f(x), en el intervalo [a,b],

1. Se calculan los entremos relativo en [a,b] 2. Se calculan los valores de f(a) y f(b) que toman la función de los extremos del

intervalo

El mayor de los valores obtenidos será el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto. Hay que tener en cuenta que la función puede alcanzar un extremo absoluto en más de un punto.


28

INTEGRACIÓN

� Definición y propiedades de la integral

Se llama función primitiva de una función f(x) a toda F(x), tal que su derivada sea f(x), o sea que, también se puede escribir F´(x) = f(x)

El conjunto de todas las primitivas de f(x) es F(x) + c y se llama intengral indefinida de f(x) y se escribe:

\�(�)]� = _(�) + a Propiedades

I. db f(x)dx = f(x) + c. La derivada de la integral de f(x) es la propia función de f(x)

II. b]�(�)]� = �(�) + a. La integral de la derivada de la función f(x), es la función f(x)

III. b a�(�)]� = a b �(�)]� siendo c ∈ ℝ

IV. b �(�) + $(�)]� = b �(�)]� +b$(�)]�

Para calcular la integral de una función hemos de intentar identificarla con la derivada de alguna función conocida.

Tabla de integrales inmediatas


29

Integración por sustitución o cambio de variable

Se hace x = f(t), dx = f´(g)]g. Entonces:

\�(�)]� = \�[f(g)]f`(g)]g Eligiendo fde forma que resulte una expresión más sencilla.

Integración por partes

Cuando en el integrado aparece un producto de función aplicamos el método de integración por partes. Siendo u y v funciones de x, y aplicando la fórmula de la derivada de un producto se tiene d(uv) = udv + vdu donde udv = d(uv) – vdu. Integrando esta expresión nos queda:

\i]j = ij −\j]i

Esta expresión también se puede escribir:

\i(�) ∗ j´(�)]� = i(�) ∗ j(�) −\ j(�) ∗ i´(�)]�

Para aplicar este método se distinguen varios casos:


30

Integración de funciones racionales

Para cada raíz real simple tendremos una integral de la forma: Para calcular integrales

de la forma b l(�)m(�)dx siendo P y Q polinomios en x, actuaremos de la siguiente forma:

• Si grado (P)≥grado (Q), efectuaremos el coeficiente.

• Si grado (P) < grado (Q), hacemos la descomposición en suma de fracciones

A continuación procedemos a integrar las fracciones simples a las que hemos reducido la integral. Estas pueden tener las siguientes formas:

A. Si las raíces de Q son reales y distintas Q(x) = (x-a1)(x-a2)*…*(x-an) tenemos las siguiente descomposición en suma de fracciones

o(�)p(�) =

q,(� − �,) +

q7(� − �7) + ⋯+

q!(� − �,)

\ q� − � ]� = q\

1� − � ]� = q log � − � + a

B. Si las raíces de Q son reales y multiples, por ejemplo a es una raíz con multiplicidad k tememos en la descomposición las siguientes fracciones asociadas a a.

q,(� − �) +

q7(� − �)7 +⋯+

qs(� − �s)


31

Para cada fracción tenemos:

b t(�/#)u ]� = vb(� − �)/w]� = v

(�/#) u/w., + x = − t

w/, ,

(�/#)u 8+C,

(h≥k)∧(h≠ 1

Para cada par de raíces complejas de forma α±βi obtenemos una expresión de la forma:

b |�.}(�/~)9.�9 ]� =

|7 ln [(x-α)2+β

2] + |~.}� arc tg

�/#� +C

Donde se obtiene este resultado fácilmente hacienda x-a = βt

INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE ÁREAS

Sea una curva de ecuación y = f(x) positiva, tal que en el intervalo (a,b) no corta el eje 0X. El área A limitada por y = f(x), el eje 0X y las coordenadas x = a, x = b, viene dada por la integral definida.

Formula de Barrow

Siendo F(x) una primitiva de f(x), el cálculo de la integral definida se realiza mediante la fórmula de Barrow:

\ f(x)dx = F(b) − F(a)(

P

Si la función es negativa en el intervalo (a,b), el área limitada por dicha curva, el eje 0X y las coordenadas x = a, x= b, se obtendrá como:

A = -b �(�)]�@#

Si tenemos dos funciones f, g: [a,b] → R, continuas y supongamos que ahora nos interesa hallar el área de la región limitada por sus graficas entre x= a y x = b. Según lo dicho anteriormente si f(x)≥g(x), ∀x ∈ [�, B], es claro que:

A = b ��(�) − $(�)�]�@#


32

Capítulo 5: Progresión, sucesiones y series

SUCESIÓN

� Concepto y tipos de sucesiones

Conjunto de números en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales. A cada número natural le corresponde un término de sucesión.

Para determinar una sucesión puede hacerse:

a) Por enumeración. Expresando los primeros términos de la sucesión 1, 1 2U , 1 4U … de las imágenes de los números naturales.

b) Definiendo el término general an. Expresando an como una función de n:

An = f(x), n = 1, 2, 3…

c) Dando los primeros términos y la relacion que liga al termino general con el

anterior o anteriores. Ejemplo: √2, �√2, ��√2,… puede definirse por:

A1 = √2, an = �2�!/,, n> 1

Tipos de sucesiones

Dada la sucesión {an} diremos que:

I. La sucesión {an} es monótona creciente si an ≥a n-1 para cada n ∈ ℕ

II. La sucesión {an} es monótona decreciente si an ≤ an-1 para cada n ∈ ℕ

III. La sucesión {an} es estrictamente creciente si an > an-1 para cada n ∈ ℕ

IV. La sucesión {an} es estrictamente decreciente si an < an-1 para cada n ∈ ℕ

V. La sucesión {an} es constante si an = a para cada n ∈ ℕ

� Propiedad

Toda sucesión tiene primer elemento, todo termino tiene siguiente (no hay último); existe una ley que permite conocer un término sabiendo el lugar que ocupa

� Sucesiones convergentes

Si consideramos la progresión geométrica dada por a1 = 3, r = ,7 cuyos términos son: 3,

-7, -�, -�, … vemos que es una sucesión cuyos términos son cada vez menores, se puede

decir que se acercan a cero. Formalmente se dice que la sucesión converge a cero. En general diremos que una sucesión {an} converge al número real L o que tiene por limite L y se escribe lim!→" �!= L si para cada número � >0, existe un n0 ∈ ℕ tal que para cada todo n ≥ n0 se cumple:

|an – L| < � Es decir, si para cada � > 0 existe un término de la sucesión tal que todos los términos de {an} a partir de él, pertenecen al intervalo ( L - �, L + �)


33

Propiedades de los límites de sucesión

Consideramos dos sucesión {an} y {b n} tales que limM→" aM= L y limM→" bM= K

1. lim!→"(�! +B!) = limM→" aM + limM→" bM = L + K

2. lim!→"(�! ∗ B!) = limM→" aM * limM→" bM = L * K

3. lim!→"(� ∗ �!) = p * limM→" aM = p * L, siendo p ∈ ℝ

4. lim!→" #<@< =

012�→� (�012�→� P� =

��, siempre que K ≠ 0

5. lim!→"( �)!@<= (limM→" aM)012�→� P� = LK

Si L y K son cero, infinito o uno, podemos obtener siete expresiones indeterminadas como las siguientes:

(∞-∞); (��);(

""); (0*∞), (0�); (∞�); 1∞

PROGRESIONES

� Progresiones aritméticas

Se llama progresión aritmética si cada termino se obtiene del anterior sumándole un número fijo al que se denomina diferencia o razón.

En una progresión aritmética finita, de primer término a1 y de último am; se cumple que la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de estos.

A2 = a1+d am-1= am – d

De donde:

A2+am-1 = a1+am

A3 = a1 + 2d am-2 = am – 2d

Donde:

a3 - am-2 = a1+am

Suma

Para obtener la suma de los n primeros términos Sn:

Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 + an

Se escribe el segundo miembro de la igualdad “del revés”:

Sn = an + an-1+an-2+…+a3+a2+a1

Y sumando miembro a miembro:

2Sn = (a1+an)+ (a2+an-1) + (a3+an-2)+…+ (an-2+a3) + (an-1+a2) + (an+a1)

Quedando los paréntesis, que por la propiedad anterior, son iguales a a1 +an

2Sn = (a1 + an)*n

O sea:

Sn = ((8.(�)

7 ∗ n


34

� Progresiones geométricas

Se llama progresión geométrica, si cada termino se obtiene del anterior multiplicándole por un número fijo r denominado razón.

Al igual que en las progresiones aritméticas finitas, se comprueba que en una progresión geométrica finita, el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de estos.

Se tendrá:

A2 = a1 * r y am-1 = #��

De donde:

A2 * am-1 = a1*am

Al igual:

A3 = a1 * r2 Y am-2 =

#��9

De donde:

A3 * am-2 = a1 * am

Producto

Para obtener un producto de los n primeros términos de una progresión geométrica

Pn = a1*a2*a3…*an-2*an-1*an

Y escribiendo el segundo término de la igualdad “del revés”

Pn = an*an-1*an-2*…*a3*a2*a1

Y multiplicando miembro a miembro:

P2n = (a1*an)*(a2*an-1)*(a3*an-2)*…*(an-2*a3)*(an-1*a2)*(an*a1)

Y como todos los paréntesis, por la propiedad anterior, son iguales, se obtiene:

P2n = (a1*an)

n Pn = �(�, ∗ �!)!

Suma

Para obtener la suma de los n primeros términos Sn:

Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 + an

Se multiplica la igualdad anterior por r

Sn *r = a1*r + a2*r+ a3*r+…+ an-2*r+ an-1*r+ an*r

Y como:

A1*r = a2; a2*r = a3;… an-2*r = an-1; an-1*r = an

Resulta

Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 + an

Sn *r = a1*r + a2*r+ a3*r+…+ an-2*r+ an-1*r+ an*r

Y restando de la segunda la primera:

Sn*r - Sn = -a1+an*r


35

O bien, Sn (r-1) = an * r-a1

Sn = #<�∗/#8�/,

Progresiones geométricas ilimitadas decrecientes

Si |r| < 1, la progresión geométrica, en valor absoluto, es decreciente. Pero si el número de términos crece indefinidamente, el termino n-ésimo tiende a cero. Por tanto, si n → ∞, an = 0 (sólo si la razón es |r|<1)

En este caso, llamando S a la suma de los infinitos términos de la progresión lineal ilimitada decreciente

S = lim!→" �! = lim!→" #<∗�/#8�/, =

#8,/�

SERIES

Dada una sucesión de números reales cualesquiera:

U1, u2, u3,…, un,…

Se llama serie a la sucesión:

U1, U2, U3,…, Un,…

Siendo:

U1 = u1

U2= u1 + u2

U3 = u1 + u2 + u3

………..

Un = u1+u2+u3+…+un

Entonces se puede representar tres casos:

a) Si lim!→"�! = U (finito), la serie {Un} es convergente

b) Silim!→"�! = ∞, la serie {Un} es divergente

c) Si lim!→"�! = no existe, la serie {Un} es oscilante

Condición necesaria para la convergencia

Si la serie Un es convergente:

lim!→" �! = U

Pero la unicidad del límite:

lim!→" �!/, = U

De donde:

lim!→" �! - lim!→" �!/, = lim!→"(�! −�!/,) = lim!→"�! = 0

Si una serie es convergente, el límite del termino general es cero

Esta condición es una condición necesaria pero no suficiente.


36

Condición necesaria y suficiente de convergencia

La condición necesaria y suficiente para que una serie sea convergente es que el resto de la serie tiene que ser, en valor absoluto tan pequeño como se quiera, desde un valor n en adelante, o sea:

|un+1 + un+2+…+un+h+…|< ε � Series de términos positivos

a) Una serie de términos positivos es convergente o divergente pero nunca oscilante.

b) Un serie cuyos términos son menores o iguales (mayores o iguales) que los correspondientes de otra serie que es convergente (divergente) es también convergente (divergente)

c) Sean dos series {un} y {v n} de las que se sabe que la primera es convergente

(divergente). Si se forman las razones �<�<, y éstas, a partir del valor de n se

conservan inferiores (superiores) a un número positivo I, la serie {vn} es también convergente (divergente)

� Series de términos positivos. Criterios de convergencias.

Criterio de D’Alambert

L < 1 Convergente

Si lim!→" �<�< 8 = l l = 1 Dudoso

L > 1 Divergente

Criterio de Cauchy

L < 1 Convergente

Si limM→" √uM� = l l = 1 Dudoso

L > 1 Divergente

Criterio de Raab

L > 1 Convergente

Si limM→"(1 − �<�< 8)= l l = 1 dudoso

L > 1 divergente


37

Capítulo 6 Números combinatorios

VARIACIONES

Variaciones sin repetición

Dados elementos distintos, se denominan variaciones n-airas de dichos m elementos, a las diferentes agrupaciones que se pueden formar con n elementos (tomados de los m) diferenciándose dos variaciones, bien un algún elemento o, caso de tener los mismos, en el orden.

Su número es:

Vmn = m(m-1)…(m-n+1)

O sea, n factores decrecientes de unidad en unidad, a partir de m:

V7,3 = 7*6*5 = 210 ; V6,4 = 6*5*4*3= 360

Variaciones con repetición

Si se admite que todo elemento se puede repetir ilimitadamente resultan variaciones con repetición que también difieren unas de otras, bien en algún elemento, bien en el orden.

Su número es:

VRm,n = mn ; VR5,3 = 53 = 125 ; VR3,5 = 35 = 243

Formación de las variaciones

Para formas las Vm,n+1 se parte de las Vm,n y a cada una de ellas se le agrega al final cada uno de los elementos que no figuran en ella. (ver ejemplo pagina 293 – libro nuevo-)

La formación de variaciones con repetición es análoga, pero agregando a cada elemento VRm,n no solo los elementos que no figuren en ella sino cada uno de los m elementos, es decir, TODOS.

PERMUTACIONES

Permutaciones sin repetición

Se denomina permutaciones de n elementos a las agrupaciones de n elementos que difieran unas de otras solo en la ordenación de los elementos, puesto que en cada agrupación entran todos los n elementos.

Su número es:

P = n!

El símbolo !,que se lee factorial, quiere decir que hay que formar el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el número que precede a !. Ejemplo:

6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

Inversión de una permutación

Si en el conjunto de las permutaciones n-arias se toman como principal (si son los elementos letras, generalmente siguen el orden alfabético; si son numero el orden natural) en una permutación cualquiera dos elementos forman sucesión, si su posición relativa es la misma que en la permutación principal; en el caso contrario se dice que forman una inversión.

Ejemplo:


38

Sean cinco primeros números naturales. La permutación principal, según se ha dicho, seria: 1, 2, 3, 4, 5

En la permutación 3, 5, 1, 4, 2 los elementos 3 y 4 forman sucesión; sin embargo, los elementos 2 y 5 forman inversión

Según que el número de inversiones de una permutación sea par o impar, se dice, respectivamente, que dicha permutación es de clase par o de clase impar.

Teorema. En una permutación se cambian entre si dos elementos cualesquiera, la permutación cambia de clase. Para su demostración, primero se supone que ambos elementos eran contiguos; entonces, si formaran sucesión, al cambiarlos formaran inversión y viceversa. Luego, habrá una inversión más o una inversión menos, por tanto, cambia de clase.

Formación de las permutaciones

Para la formación de las permutaciones se sigue el siguiente proceso: Para encontrar la permutación que sigue a una cierta permutación, se busca, empezando por el final, los dos primeros elementos contiguos que forman sucesión y en el lugar del primero de ellos se escribe su siguiente (en la permutación principal, no escrito todavía) y los restantes se escriben por su orden natural (en el que figuran en la permutación principal)

Ejemplo:

La siguiente permutación de la 4 5 2 3 1 sería 4 5 3 1 2, puesto que los dos primeros que forman sucesión son 2 3; el siguiente, en orden natural, de 2 es 3, y los que quedan sin escribir son el 2 y el 1 se escriben en orden natural 1 2

Permutaciones con repeticiones

Las permutaciones con repetición limitada son aquellas que cada elemento se repite un número de veces prefijado, al contrario que las variaciones con repetición y combinación con repetición.

Siendo el número total de elementos que entran en cada permutación n, de los cuales el primero se repite α veces, el segundo β veces, el tercero γ veces, el número de permutaciones buscado es:

PRM�,�,� = M!

�!�!�! Cumpliéndose α + β + γ = n

Ejemplo:

¿Cuántas permutaciones se pueden formar con los elementos a, b, c teniendo en cuenta que a se repetirá tres veces, b dos veces y c no se repite?

Α + β + γ = 3+2+1 = 6 = n

o� -,7,, = !

,∗7∗-∗,∗7∗, = �∗¡∗ 7 = 60


39

COMBINACIONES

Combinaciones sin repetición

Se denomina combinaciones n-arias de m elementos a las distintas agrupaciones de n elementos, elegidos entre los m, diferenciándose una combinación de otra, al menos en un elemento.

El número de combinaciones n-arias de m elementos es:

Cmn,= ¢�<l< =

£!!!∗(£/!)! = �£!�

Números Combinatorios

Al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se llama también número combinatorio y se escribe �2M� El número m recibe el nombre de índice y el número n recibe el nombre de orden.

Cmn,= �2M�= 2!

M!∗(2/M)!

Propiedades de los números combinatorios

Los números combinatorios presentan las siguientes propiedades


40

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición, al igual que las variaciones con repetición, los son de repeticiones ilimitadas. Se calculan:

CRm,n = Cm+n-1,n = (�+ � − 1� )

Por ejemplo:

CR7,3 = C7+3-1,3 = C9,3 = ¢¤,[l[ =

¥∗¦∗�-! =

¡�� = 84

Formación de las combinaciones

El método es similar al seguido para formar las variaciones. Para formar Cm+n-1 se parte de los Cmn y a cada una de ellas se le agrega al final cada uno de los elementos posteriores al último que en ella figuen.

Para formar las combinaciones con repetición se sigue el mismo procedimiento, pero agregando no sólo los eleméntenos posteriores al último, sino también el ultimo que figura.

POTENCIAS DE BINOMIOS Y POLINOMIOS

Potencias de un binomio.

La conocida expresión del Binomio de Newton es:

Donde, el primero y el ultimo coeficientes son iguales a la unidad; el segundo y el penúltimo iguales a n (grado de la potencia) y los demás, se pueden calcular como números combinatorios, o bien, formando el triángulo de Pascal o de Tertulia:

Donde los números de los extremos de cada fila son iguales a la unidad, puesto que son:

�!�� ó �!!� Y cada uno de los otros números es igual a la suma de los dos que tiene encima.


41

Potencia de un polinomio

El problema de obtener la potencia de un polinomio lo resuelve la formula de Leibnitz:

(a+b+c+…+h)m = ∑ £!~!�!¨!…©!*a

αbβ*cγ*…*h λ

Siendo α+β+γ+…+λ = km

Resumen Libro Fundamento matemáticos para las ciencias sociales.

Documents

Transcript of Resumen Libro Fundamento matemáticos para las ciencias sociales.