Resumen de Series

Convergencia y divergencia Series importantes Propiedades generales Series de terminos positivos

Series numericas (I)


1 Convergencia y divergencia

2 Series importantes

3 Propiedades generales

4 Series de terminos positivos


DefinicionSea {an} una sucesion de reales y sea la sucesion asociada{Sn} de sumas parciales, Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an.LLamaremos serie a la pareja formada por ambas sucesionesy la representaremos por

∑an.

Diremos que una serie∑

an es convergente si converge {Sn}y llamaremos suma de la serie al lımn Sn.

Diremos que una serie es divergente si no es convergente.







Serie geometrica

Llamaremos serie geometrica de razon K a la serie∑

K n, esdecir,

+∞∑n=0

K n = 1 + K + K 2 + K 3 + K 4 + · · · con K ∈ R

TeoremaLa serie geometrica de razon K es convergente si, y solo si,|K | < 1. En estos casos, su suma es

+∞∑n=0

K n =1

1− K

(Demostrar)


Serie armonica

Llamaremos serie armonica a la serie∑ 1

n , es decir,

+∞∑n=1

1n= 1 +

12+

13+

14+

15+

16+

17+ · · ·

TeoremaLa serie armonica es divergente.

Demostracion:

S2k = 1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+

1

7+ · · · +

1

2k=

= 1 +1

2+

( 1

3+

1

4

)+

( 1

5+

1

6+

1

7+

1

8

)+ · · · +

( 1

2k−1 + 1+ +

1

2k−1 + 2+ · · · +

1

2k

)≥

= 1 +1

2+

( 1

4+

1

4

)+

( 1

8+

1

8+

1

8+

1

8

)+ · · · +

( 1

2k+ +

1

2k+ · · · +

1

2k

)=

= 1 +1

2+

1

2+

1

2+ · · · +

1

2= 1 + k ·

1

2−→ +∞ cuando k → +∞. �


Serie armonica generalizada

Llamaremos serie armonica generalizada a la serie∑n≥1

1nα

=11α

+12α

+13α

+14α

+15α

+16α

+ · · · con α ∈ R.

Teorema ∑n≥1

1nα

converge ⇐⇒ α > 1

(Se vera mas adelante)


Series telescopicas (ejemplo)∑ 1

n(n+1)puede sumarse mediante “cancelacion telescopica”:

El termino general se descompone en suma de dos fracciones simples:

1

n(n+1)=

A

n+

B

n+1=

An + A + Bn

n(n+1)⇒ A = 1, B = −1 ⇒

1

n(n+1)=

1

n−

1

n+1

Esto permite calcular la suma de la serie:

Sn =1

1 · 2+

12 · 3

+1

3 · 4+

14 · 5

+ · · ·+ 1n(n+1)

=

=11− 1

2+

12− 1

3+

13− 1

4+

14− 1

5+− · · ·+ 1

n− 1

n+1=

11− 1

n+1

luego {Sn} es convergente a 1 y, ası, la serie es convergente y∑n≥1

1n(n+1)

= 1







Algebra de series

Sean∑

an,∑

bn dos series convergentes con sumas A, B,respectivamente. Entonces,

(i) la serie∑(an +bn) = (a1 +b1)+(a2 +b2)+(a3 +b3)+ · · ·

es convergente y suma A + B,(ii) la serie

∑(λan) = λa1 + λa2 + λa3 + · · · es

convergente y suma λA,(iii) la serie ap+1 + ap+2 + ap+3 + ap+4 + · · · es

convergente y suma A− (a1 + a2 + a3 + · · ·+ ap)


Cauchy para series

Criterio muy util en algunas demostraciones:∑an es convergente si, y solo si,

∀ε > 0, ∃N ∈ N : si m > n ≥ N entonces |an+1+an+2+· · ·+am| < ε

(Demostrar)


Primer criterio de divergencia

TeoremaSi

∑an es convergente, entonces la sucesion {an} converge a

cero.

Equivalentemente: si la sucesion {an} no converge a cero,entonces la serie

∑an es divergente.

Ejercicio: Estudiar la convergencia de la serie

∑ n2 + 42n3 − 2

.


Criterio 1o de comparacion

Sean an,bn tales que |an| ≤ bn para todo n.

Si∑

bn es convergente, entonces∑

an tambien esconvergente.(Por lo tanto, si

∑an es divergente, entonces

∑bn

tambien es divergente).

(Demostrar)


Criterio 2o de comparacion

Sean an,bn > 0 tales que

lımn

an

bn= λ ∈ R \ {0}.

Entonces:∑

an y∑

bn tienen el mismo caracter

Una utilidad: permite determinar, comparando con la seriearmonica generalizada, la convergencia o divergencia decualquier serie cuyo termino general sea un cociente depolinomios.







DefinicionUna serie

∑an es de terminos positivos si an > 0 para todo n.

Objetivo: Proporcionar criterios de convergencia especıficospara series de terminos positivos.Observaciones:

Aunque los criterios seran enunciados para series de terminospositivos, pueden aplicarse tambien cuando an > 0 a partir de un ciertotermino aN (es decir, se permite no ser positivos a una cantidad finitade an).

Como∑

an es convergente si y solo si (−1)∑

an lo es, los criterios deconvergencia para series de terminos positivos se pueden aplicartambien a series de terminos negativos.

Si∑

an es una serie de terminos positivos, an > 0 ∀ n, entonces lasucesion de sus sumas parciales {Sn}, es monotona creciente, luegobastara que {Sn} sea acotada superiormente para que {Sn}, y por lotanto la serie, sea convergente.


Criterio de D’Alembert

Teorema

Sian+1

an≤ q < 1 para todo n entonces

∑an converge.

Sian+1

an≥ 1 para todo n entonces

∑an diverge.

(Demostrar)

Corolario (Criterio de D’Alembert)

Sea lıman+1

an= α. Entonces:

Si α < 1 entonces∑

an converge.

Si α > 1 entonces∑

an diverge.

Si α = 1 entonces∑

an puede ser convergente o divergente.

Ejercicio: Estudia el caracter de la serie∑+∞

n=1n3

n!.


Criterio de la Raız n-esima o de Cauchy

Teorema

Sea∑

an una serie de terminos positivos.

Si n√

an ≤ q < 1 para todo n entonces∑

an converge.Si n√

an ≥ 1 para todo n entonces∑

an diverge.

(Demostrar)

Corolario (Criterio de la raız n-esima o de Cauchy)

Sea∑

an una serie de terminos positivos. Sea lım n√

an = β. Entonces:

Si β < 1 entonces∑

an converge.

Si β > 1 entonces∑

an diverge.

Si β = 1 entonces∑

an puede ser convergente o divergente.

Ejercicio: Estudiar el caracter de la serie∑+∞

n=11 + sin3 n

nn

Teorema: Si existe β = lım n√

an , entonces existe α = lıman+1

an= β

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