Resumen de Mecánica ClásicaAlf

29 de diciembre de 2016

Sobre este resumen Este resumen fue escrito por un alumno mientras cursaba la materia. Es por ello que pueden habererrores, cosas mal interpretadas, etc. En caso de notar efectos adversos suspender de inmediato su uso y consultar con suprofesor de cabecera. Se comparte con la comunidad con la esperanza de que le sea útil a alguien, como le fue al alumno quelo escribió en su momento.

Índice1. Cálculo de variaciones 2

2. Reformulación de la mecánica newtoniana 22.1. Definiciones y principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.0.1. Vínculos holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.0.2. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.0.3. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.0.4. Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.0.5. Coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.0.6. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.0.7. Momento generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. La reformulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Simetrías y conservaciones 33.0.0.1. Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1. Simetría de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2. Simetría temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4. Mecánica hamiltoniana 34.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2. Lagrange vs. Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3. Transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3.1. Transformaciones infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3.1.1. Evolución temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3.1.2. Traslación espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3.1.3. Rotación espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4. Formalismo simpléctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.5. Reformulación en términos de los corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.5.1. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.6. Reformulación de en términos de los corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5. Sistemas no inerciales 11

6. Cuerpo rígido 126.1. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.3. Tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3.1. Ejes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.4. Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.5. Ecuación de Euler para el cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

2 REFORMULACIÓN DE LA MECÁNICA NEWTONIANA

1. Cálculo de variacionesEl cálculo de variaciones es una rama de la matemática que estudia las condiciones que debe cumplir una función

f = f (y, y, x)

x Variable independientey = y(x) Variable dependiente

y = dy

dx

tal que

S =x2ˆ

x1

f (y, y, x) dx

alcance un extremo. Resulta que para que esto ocurra se debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange que es

∂f

∂y= d

dx

(∂f

∂y

)Cuando se tiene más de una variable dependiente, es decir f

(y, y, x

)con y = y1, . . . , yn, entonces se debe satisfacer

una ecuación de Euler-Lagrange para cada variable de y, esto es

S =x2ˆ

x1

f(y, y, x

)dx alcanza un punto estacionario ⇐⇒ ∂f

∂yi= d

dx

(∂f

∂yi

)i ∈ 1, . . . , n

2. Reformulación de la mecánica newtonianaCuando ves esto te das cuenta que tipos como Lagrange, Hamilton, etc. eran grosos y estaban a otro nivel.

2.1. Definiciones y principios2.1.0.1. Vínculos holónomos Se habla de vínculos holónomos1 en aquellos casos en que estos vínculos se pueden expresarde la forma

f (r, t) = 0→ Vínculos holónomos

donde r = r1, . . . , rn son las posiciones (vector) de cada una de las partículas.

2.1.0.2. Coordenadas generalizadas Dado un sistema de N partículas donde las posiciones de las partículas están dadaspor r = r1, . . . , rN, entonces el conjunto q = q1, . . . , qn (nótese que n T N) son coordenadas generalizadas cuando n esel mínimo número que permite establecer relaciones de la forma

rj = rj (q, t) j ∈ 1, . . . , N (1)

y también la inversaqi = qi (r, t) i ∈ 1, . . . , n (2)

2.1.0.3. Principio de Hamilton El camino que sigue una partícula en ir del punto 1 al 2 entre dos tiempos t1 y t2 es talque la cantidad S, definida como

Sdef=

t2ˆ

t1

L dt

alcanza un punto estacionario2. L es el lagrangiano del problema.

2.1.0.4. Lagrangiano Sea q un sistema de coordenadas generalizadas. Se define el lagrangiano como

L(q, q, t

)= T − U

donde T es la energía cinética y U la energía potencial.1Ver más detalles y ejemplos en [2, sec. 1.3]. Hay varios ejemplos de vínculos que no son holónomos como el caso de la rueda sobre el piso, etc.2Un punto estacionario de una función S es tal que S alcanza un máximo, un mínimo o un punto silla (por ejemplo el punto x = 0 para x3).

En clase, no sé bien por qué, dijimos que esto no implica que la derivada de S se anula sino que su apartamiento diferencial se anula.

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2.2 La reformulación 4 MECÁNICA HAMILTONIANA

2.1.0.5. Coordenadas naturales Las coordenadas q se dicen naturales si las relaciones (1) y (2) no dependen del tiempo[1, sec. 7.3].

2.1.0.6. Grados de libertad Es el número de coordenadas que pueden ser variadas en forma independiente en pequeñosdesplazamientos. Esto es, el número de direcciones en que me puedo mover a partir de una configuración dada.

2.1.0.7. Momento generalizado Se define el momento generalizado pi asociado a la coordenada generalizada qi como

pidef= ∂L

∂qi

2.2. La reformulaciónCombinando todas estas cosas anteriores se termina obteniendo que:

Dado un problema en que la energía cinética está dada por T y la energía potencial por U con coordenadasgeneralizadas q = q1, . . . , qn, entonces la evolución temporal de estas coordenadas q(t) es tal que la cantidad

S =t2ˆ

t1

L(q, q, t

)dt

alcanza un punto estacionario. Este punto estacionario se alcanza ⇐⇒ se satisfacen

∂L

∂qi= d

dt

(∂L

∂qi

)i ∈ 1, . . . , n → Ecs. de Euler-Lagrange (3)

y se puede mostrar que todo esto es 100% equivalente a las leyes de Newton. Es decir: leyes de Newton ⇐⇒ vale todoesto.

3. Simetrías y conservaciones3.0.0.1. Simetría Una simetría es una es una transformación de coordenadas tal que las ecuaciones no se modifican3.

3.1. Simetría de coordenadasSupongamos un problema descripto por el lagrangiano L

(q, q, t

). Si hay simetría para la coordenada qi, entonces

∂L

∂qi= 0 ⇐⇒ ∃ simetría para la coordenada qi

ya que ∂L∂qi

es justamente el cambio en L al variar qi. Debido a que se satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange (3)entonces necesariamente

pi = ∂L

∂qi= 0⇒ se conserva pi

donde pi es el momento generalizado (ver definición en esta página) asociado a la coordenada qi.

3.2. Simetría temporalCuando ∂L

∂t = 0 la cantidad que se conserva se conoce como hamiltoniano H .

4. Mecánica hamiltonianaDefinición (hamiltoniano). Dado un sistema cuyo lagrangiano es L , entonces su hamiltoniano se define según

Hdef=

n∑i=1

piqi −L (4)

donde qi son las coordenadas generalizadas y pidef= ∂L

∂qison los momentos generalizados, o bien pi es el momento conjugado

de qi.3Un ejemplo de simetría sería la transformación x→ −x para un problema regido por la ecuación x = µx− x3.

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4.1 Ecuaciones de Hamilton 4 MECÁNICA HAMILTONIANA

Propiedades de H

Conservación Si ∂L∂t = 0, es decir que L = L

(q, q)6= L

(q, q, t

)(o sea que no depende explícitamente del tiempo),

entonces dHdt = 0, es decir que el hamiltoniano se conserva.

Energía Una propiedad interesante de H es el hecho de que si q = q (x) 6= q (x, t) donde x = [x, y, z] son las coordenadasrectangulares [1, sec. 13.3] entonces H = E = T + U . O sea, si las coordenadas generalizadas q son naturales entoncesH = E.

Coordenadas cíclicas Si un problema con coordenadas generalizadas q posee una coordenada qi cíclica4 entonces H 6=H (qi). Esto implica que, de acuerdo a las ecs. de Hamilton (ver sec. 4.1), pi = cte y entonces H 6= H (pi). No lo terminéde entender del todo, lo leí de [1, sec. 13.4].

Derivadas de H respecto al tiempo Se satisface [1, sec. 13.3] siempre

∂H

∂t= dH

dt

lo cual significa que si H depende del tiempo, esta dependencia es explícita y no implícita a través de q y p.

4.1. Ecuaciones de HamiltonLas ecuaciones de Hamilton permiten obtener las ecuaciones de movimiento en la mecánica hamiltoniana. Éstas son

Hamilton’s eqs.→

∂H

∂pi= qi

∂H

∂qi= −pi

A continuación voy a obtenerlas en función de cómo lo hace [1]. Sea un sistema con coordenadas generalizadas q =q1, q2, . . . , qn. Entonces su lagrangiano será

L = L(q, q, t

)= T

(q, q)− U (q)

Definimos ahora el hamiltoniano según (4) donde los momentos generalizados p se definen según

pidef=∂L

(q, q, t

)∂qi

i ∈ 1, . . . , n

Estas n ecuaciones son de la forma p = p(q, q, t

). Por lo tanto las podemos invertir (o al menos eso asume [1], ver nota al

pie5) para obtener q = q (q, p, t). Metiendo esto en la definición del hamiltoniano se obtiene

Hdef=

n∑i=1

piqi −L(q, q, t

)=

n∑i=1

piqi (q, p, t)−L(q, q (q, p, t) , t

)= H (q, p, t)

4En [1, sec. 13.4] lo llaman ignorable coordinate. La definición es: qi es una coordenada cíclica ⇐⇒ L no depende de qi.5Una forma de invertirlas (creo) es usando que la energía cinética depende de q y q según [1, eqs. (7.94) y (7.95)]

T(q, q)

=12

n∑j,k=1

Ajk (q) qj qk

=qA (q) q

2

donde A es la matriz cuyos elementos son Ajk. Entonces el lagrangiano de este sistema tendrá la forma

L(q, q, t

)=qA (q) q

2− U (q)

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4.2 Lagrange vs. Hamilton 4 MECÁNICA HAMILTONIANA

Ahora hay que calcular las derivadas parciales de H respecto a cada una de las variables qi y pi. Esto es, para qi

∂H

∂qi= ∂

∂qi

[n∑i=1

piqi (q, p, t)−L(q, q (q, p, t) , t

)]

= pi∂qi∂qi−(∂L

∂qi+ ∂L

∂qi

∂qi∂qi

)∂L

∂qi

def= pi → = −∂L

∂qi

Euler-Lagrange eqs.→ = − d

dt

∂L

∂qiPrimera eq. de Hamilton→ = −p

y para pi

∂H

∂pi= ∂

∂pi

[n∑i=1

piqi (q, p, t)−L(q, q (q, p, t) , t

)]

Segunda eq. de Hamilton→ = qi +

pi∂qi∂pi−∂L

∂qi

∂qi∂pi

Finalmente se han obtenido las ecuaciones de Hamilton.

4.2. Lagrange vs. Hamilton“[...] it is usually not an advantage to use the Hamiltonian formalism instead of the Lagrangian formalism when solving

specific problems in mechanics. The advantages with the Hamiltonian formalism are of a more fundamental kind, namelythat the coordinates q and the momenta p are considered to be independent variables on the same level. This is quite animportant point, especially in statistical mechanics and in quantum mechanics.”, Introduction to Lagrangian and HamiltonianMechanics, Jacob Linder & Iver Brevik.

Cada una de estas formulaciones de la mecánica se puede resumir en lo siguiente

Función Ecuaciones

Lagrange→ L = L(q, q, t

) ∂L

∂qi= d

dt

(∂L

∂qi

)

Hamilton→ H = H (q, p, t)

∂H

∂qi= −pi

∂H

∂pi= qi

La primera diferencia importante radica en el hecho de que Lagrange nos da n ecuaciones de segundo orden en tanto queHamilton nos da 2n ecuaciones de primer orden. Es más, las ecuaciones de Hamilton se pueden condensar [1, eq. (13.45) ynota al pie 8] en

z = h (z, t)→ Eqs. de Hamilton condensadas

donde z = [q, p]. Este tipo de problema suele ser más fácil de resolver que uno con la mitad de ecuaciones pero de segundoorden cada una. Esta igual no es la diferencia importante, sino la otra.

Utilizando esto se obtiene el momento generalizado

pi =∂L

∂qi

=∂

∂qi

[12

n∑j,k=1

Ajk (q) qj qk

]

=12

[2Aii (q) qi +

n∑k=1

Aik (q) qi +n∑

j=1

Aji (q) qi

]

= qi

[Aii (q) +

12

n∑k=1

Aik (q) +12

n∑j=1

Aji (q)

]De aquí se puede despejar fácilmente q = q (q, p).

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4.3 Transformaciones canónicas 4 MECÁNICA HAMILTONIANA

La diferencia más importante para la física teórica, está en las variables que cada uno usa. Obsérvese que tenemos losiguiente [1, sec. 13.1]

q ∈ configuration spaceLagrange→ y =

[q, q]∈ state space

Hamilton→ z = [q, p] ∈ phase spaceTanto Lagrange como Hamilton mantienen sus ecuaciones ante cambios de coordenadas en el espacio de configuración. Esdecir que tanto las ecuaciones de Lagrange como las de Hamilton son invariantes frente a cambios de coordenadas en elespacio de configuración. Hamilton, sin embargo, es mucho más poderoso porque mantiene esta invarianza para algunoscasos especiales de cambios de coordenadas en el espacio de fases, cosa que Lagrange no [1, sec. 13.5]. Es decir que tenemoslo siguiente:

Transformación en Fórmula Invariantes

Espacio de configuración q → Q (q) Eqs. de Lagrange y eqs. de Hamilton

Espacio de estado[q, q]→[Q(q, q), Q(q, q)]

-

Espacio de fase [q, p]→[Q (q, p) , P (q, p)

] En algunos casos (canonical transformatios) laseqs. de Hamilton y los corchetes de Poisson

Aquellas transformaciones en el espacio de fases tales que las ecuaciones de Hamilton son invariantes se conocen comotransformaciones canónicas.

Otra ventaja de Hamilton sobre Lagrange, aunque no tan importante como la anterior, radica en el hecho de que cadacoordenada cíclica elimina un par (qi, pi) del problema, reduciendo así la dimensionalidad del mismo. Esto está bien detalladoen [1, sec. 13.4].

4.3. Transformaciones canónicasLas transformaciones canónicas son aquellas transformaciones (en el espacio de fase) de la pinta

Phase space transformation→q → Q (q, p)p→ P (q, p)

tales que se satisface lo siguiente:

Problema original Problema transformado

H (q, p)∂H

∂qi= −pi

∂H

∂pi= qi

→ Transformación canónica→

K(Q,P

)∂K

∂Qi= −Pi

∂K

∂pi= Qi

donde K es el hamiltoniano transformado. Es decir que, dado un problema de mecánica planteado en la formulaciónhamiltoniana, el problema transformado satisface las ecuaciones de Hamilton ⇐⇒ la transformación es canónica.

¿Qué deben satisfacer las transformaciones para ser canónicas? Esto lo explica bien [2, sec. 9.1]. El principio de Hamiltonimpone6, tanto para H como para K , lo siguiente

Hamilton’s principle→

δ

t2ˆ

t1

(n∑i=1

piqi −H (q, p, t))dt = 0

δ

t2ˆ

t1

(n∑i=1

PiQi −K(Q,P , t

))dt = 0

Esto se satisfará [3, §45] sólo si los integrandos son iguales, salvo una derivada total respecto al tiempo de una funciónF = F

(q, p,Q, P , t

), es decir

n∑i=1

piqi −H =n∑j=1

PjQj −K + dF

dt

donde F es tal que F (t1) = F (t2) = 0 y se denomina función generadora de la transformación. Lo que sigue mucho no loentiendo la verdad, pero parece que se obtiene que existen cuatro tipos de funciones generadoras básicas que son [2, table9.1]

6Esto lo imponemos porque queremos que valgan las ecuaciones de Hamilton en ambos sistemas de coordenadas.Los resueltos de

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4.3 Transformaciones canónicas 4 MECÁNICA HAMILTONIANA

Función generadora DerivadasF = F1

(q,Q, t

)∂F1∂qi

= pi∂F1∂Qi

= −PiF = F2

(q, P , t

)−∑ni=1 QiPi

∂F2∂qi

= pi∂F2∂Pi

= Qi

F = F3(p,Q, t

)+∑ni=1 qipi

∂F3∂pi

= −qi ∂F3∂Qi

= −PiF = F4

(p, P , t

)+∑ni=1 (qipi −QiPi) ∂F3

∂pi= −qi ∂F4

∂Pi= Qi

La relación entre H y K es siempre [3, §45]

K(Q,P

)= H c(Q,P) + ∂F

∂t

⌋(Q,P)

Preguntar: dada una función generadora de una transformación F = F(q, p,Q, P

), ¿cómo se encuentran las ecuaciones

de transformaciónQ = (q, p)P = (q, p)

?

4.3.1. Transformaciones infinitesimales

De toda la bibliografía que consulté, el que mejor me pareció que explique esto (al menos el más entendible) fue [5, sec.4.4.1].

Considérese una transformación canónica de la formaQi = qi + αfi (q, p)Pi = pi + αgi (q, p)

donde fi y gi por el momento son “cualquier función” y α ∈ R es un parámetro. Se puede mostrar [5, sec. 4.4.1] que latransformación anterior es canónica ⇐⇒

fi = ∂G

∂pigi = −∂G

∂qi

con G = G (q, p) una función cualquiera. La transformación infinitesimal entonces queda de la formaQi = qi + α

∂G

∂pi

Pi = pi − α∂G

∂qi

|α | → 0

El análisis de las transformaciones infinitesimales en términos de las funciones generadoras es como sigue (esto lo vimosen clase):

F = F2 =n∑i=1

qiPi

Entonces las ecuaciones de transformación están dadas por (no sé por qué, así lo vimos en clase)pi = ∂F2

∂qi⇒ pi = Pi

Qi = ∂F2

∂Pi⇒ Qi = qi

⇒

P = p

Q = q

por lo tanto F genera la transformación identidad. Entonces

F2def=

n∑i=1

qiPi − εG(q, P

)| ε | → 0

es una transformación infinitesimal [2, eq. 9.62]. En este caso, haciendo las mismas cuentas que antes, la transformación decoordenadas está dada por

Transformación infinitesimal→

Pi = pi − ε

∂G

∂qi

Qj = qj + ε∂G

∂pj

≡

Pi = pi + δpi

Qj = qj + δqi→

δpi

def= −ε∂G∂qi

δqidef= ε

∂G

∂pi

(5)

donde se usó que ∂G∂Pj

= ∂G∂pj

∂pj

∂Pj= ∂G

∂pj(1 + ε× algo) ≈ ∂G

∂pja primer orden (en clase hicimos esto).

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4.3 Transformaciones canónicas 4 MECÁNICA HAMILTONIANA

Transformaciones infinitesimales y los corchetes de Poisson El cambio en una función u = u (q, p) producido por unatransformación infinitesimal se puede expresar mediante los corchetes de Poisson como

δu = ε [u,G] (6)

La demostración de esto es

δu =n∑i=1

∂u

∂qiδqi + ∂u

∂piδpi

=n∑i=1

∂u

∂qi

(ε∂G

∂pi

)+ ∂u

∂pi

(−ε∂G

∂qi

)= ε [u,G]

donde en el segundo paso se usó (5).

Interpretación activa Todo esto motiva una nueva interpretación de las transformaciones canónicas: la interpretación activa,tal como se ilustra en la figura 1.

q

p

A(q,p)

Q

P

A'(Q,P)

Canonicaltransformation

Old phase space New phase space

q

p

A(q,p)

Phase space

A'(q+δq,p+δp)Canonical

transformation

Passive interpretation Active interpretation

Figura 1: Diferentes posturas a la hora de interpretar una transformación canónica. La interpretaciónpasiva considera que es un cambio de coordenadas en el sentido tradicional: nos lleva de un espacio a otro.En la interpretación activa se considera que la transformación describe una evolución del sistema en elmismo espacio de fases original.

Considerando la transformación desde el punto de vista activo de las transformaciones infinitesimales se pueden estudiartres casos de interés:

Evolución temporal.

Traslación espacial.

Rotación espacial.

4.3.1.1. Evolución temporal Supóngase una transformación infinitesimal como la dada por (5). Si se relaciona el cambiode coordenadas con la variación en el parámetro y además se hace ε = δt se obtiene

δqiδt

= ∂G

∂piδpiδt

= −∂G∂qi

Ahora se toma el límite cuando δt→ 0 (o sea se hace que la transformación sea efectivamente infinitesimal)lımδt→0

δq

δt= q

lımδt→0

δp

δt= p

por lo tanto se obtiene

Hamilton’s equations→

q = ∂G

∂pi

p = −∂G∂qi

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4.4 Formalismo simpléctico 4 MECÁNICA HAMILTONIANA

e inmediatamente esto nos recuerda a las ecuaciones de Hamilton. Es decir que G ≡H .Usando (6) se puede expresar

u (t+ dt)− u (t) = [u,H ] dt→ Evolución temporal

4.3.1.2. Traslación espacial Esto lo vimos en clase y no lo encuentro en ningún libro. No lo entendí mucho. Además meestoy quedando sin tiempo para resumir así que copio el resultado y en algún momento de mi vida lo veré mejor. O no. SiG = px entonces se genera la traslación en el eje x

∆r = ε [r, px]

donde se usó (6).

4.3.1.3. Rotación espacial Esto lo vimos en clase y no lo encuentro en ningún libro. No lo entendí mucho. Además meestoy quedando sin tiempo para resumir así que copio el resultado y en algún momento de mi vida lo veré mejor. O no. Latransformación infinitesimal generada por Lz genera las rotaciones alrededor del eje z:

ε [∆r, Lz] = ε (−yx+ xy + 0z)

donde se usó (6).

4.4. Formalismo simplécticoLas ecuaciones de Hamilton se pueden escribir en forma matricial según

η = J∂H

∂ηη

def=[qp

]J

def=[

0 1−1 0

]

donde η es la concatenación de q y p (con todos los elementos apilados verticalmente) y J es una matriz constante7. Lasmatrices 0 y 1 son la matriz con todas las entradas nulas y la identidad, respectivamente. En notación de índices sería así:ηi = Jij

∂H∂ηj

donde se asume una sumatoria en el índice j.

Si ahora aplicamos una transformación canónica de la formaQ = Q (q, p)P = P (q, p)

y definimos a ζ en forma idéntica que a η

pero usando las nuevas variables entonces las ecs. de la transformación canónica se pueden condensar en

ζ = ζ (η)→ Canonical transformation

Las ecuaciones de movimiento serán de la misma pinta ya que la transformación es canónica, es decir ζi = Jij∂H∂ζj

. Paraencontrarlas el procedimiento es como en [2, sec. 9.4]:

ζi = d

dtζi (η)

= ∂ζi∂ηj

∂ηj∂t

= ∂ζi∂ηj

ηj

Reemplazando ηi = Jij∂H∂ηj

(que no es más que las ecs. de Hamilton originales) se obtiene

ζi = ∂ζi∂ηj

Jjk∂H

∂ηk

Utilizando la transformación inversa, es decir η = η(ζ), se puede considerar a H = H

(ζ). De este modo ∂H

∂ηi= ∂H

∂ζj

∂ζj

∂ηiy

entonces las ecuaciones de movimiento quedanζi = ∂ζi

∂ηjJjk

∂ζ`∂ηk

∂H

∂ζ`

o bien, en notación matricial [2, eq. (9.54)]

ζ = MJMT ∂H

∂ζ

7Es interesante el hecho de que J es algo así como el análogo a la unidad imaginaria ya que satisface que J2

= −1 y∣∣∣ J ∣∣∣ = det J = 1 [2, eqs.

(8.38e) y (8.38f)].Los resueltos de

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4.5 Reformulación en términos de los corchetes de Poisson 4 MECÁNICA HAMILTONIANA

donde Mijdef= ∂ζi

∂ηjy M

Tes su transpuesta. Por otro lado sabemos que como la transformación canónica no depende del

tiempo, es decir ζ = ζ (η) 6= ζ (η, t), entonces H = K , es decir que el hamiltoniano se mantiene invariante. Entonces lasecuaciones de movimiento deben ser

ζ = J∂H

∂ζ

lo cual necesariamente implica que

MJMT

= J ⇐⇒ ζ = ζ (η) es una transformación canónica

o bien, reemplazando cada una de las cosas hasta llegar a q,Q, p y P las condiciones son

Q = Q (q, p)P = P (q, p)

es canónica ⇐⇒

(∂Qi∂qj

)q,p

=(∂pj∂Pi

)Q,P(

∂Qi∂pj

)q,p

=(∂qj∂Pi

)Q,P(

∂Pi∂qj

)q,p

= −(∂pj∂Qi

)Q,P(

∂Pi∂pj

)q,p

=(∂qj∂Qi

)Q,P

De acuerdo con [2, sec. 9.4 al final] se puede probar que toda transformción canónica satisface las ecuaciones anteriores,dependa o no del tiempo.

4.5. Reformulación en términos de los corchetes de PoissonToda la mecánica hamiltoniana puede ser reformulada en términos de los corchetes de Poisson [2, sec. 9.6]. La ventaja de

esto es que, gracias a que los corchetes de Poisson son invariantes ante las transformaciones canónicas, entonces también loserán las expresiones de la mecánica.

4.5.1. Corchetes de Poisson

Sean u y v dos funciones de las variables canónicas q y p. Entonces su corchete de Poisson se define [2, eq. (9.67)]

[u, v]q,pdef=

n∑i=1

(∂u

∂qi

∂v

∂pi− ∂u

∂pi

∂v

∂qi

)o bien, en notación simpléctica,

[u, v]η = ∂u

∂ηiJij

∂v

∂ηj

donde η y Jij son los definidos en la sección 4.4.Las siguientes relaciones son trivialmente válidas

[qi, qj ]q,p = 0[pi, pj ]q,p = 0[qi, pj ]q,p = δij

o en notación simpléctica → [ηi, ηj ]η = Jij

Por otro lado, supongamos la transformación dada por ζ = ζ (η, t). Entonces [2, eqs. (9.72) y (9.73)]

ζ = ζ (η, t) es una transformación canónica ⇐⇒

[ζi, ζj ]η = Jij

[ζi, ζj ]ζ = Jij⇐⇒ [u, v]η = [u, v]ζ

lo cual implica que los corchetes de Poisson son invariantes frente a transformaciones canónicas. Otra forma de decir lo mismoes [3, eq. (45.9)]

[f, g]p,q = [f, g]P,Q ⇐⇒ p, q y P ,Q se relacionan mediante una transformación canónica

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4.6 Reformulación de en términos de los corchetes de Poisson 5 SISTEMAS NO INERCIALES

Propiedades de los corchetes de Poisson

Sea ζ = ζ (η, t) una transformación canónica. Entonces [u, v]η = [u, v]ζ . Esto significa que los corchetes de Poissonson invariantes frente a transformaciones canónicas. Es por ello que no se anotan los subíndices cuando se trabaja contransformaciones canónicas.

[u, u] = 0.

Es antisimétrico: [u, v] = − [u, v]

Es lineal [au+ bv, w] = a [u,w] + b [v, w].

[uv,w] = [u,w] v + u [v, w].

[u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0.

4.6. Reformulación de en términos de los corchetes de PoissonLa mecánica hamiltoniana se puede representar completamente en términos de los corchetes de Poisson y, como éstos son

invariantes ante las transformaciones canónicas, las expresiones obtenidas también lo serán [2, sec. 9.6].La ecuación de movimiento generalizada para la función u es [2, eq. (9.94)]

du

dt= [u,H ] + ∂u

∂t→ Generalised equation of motion

Las ecuaciones de Hamilton son simplemente un caso particular de esta ecuación cuando se reemplaza u por qi o pi.

5. Sistemas no inercialesSupóngase el esquema de la figura 2 en el que una partícula es descripta por dos observadores cada uno en un sistema

inercial y no inercial respectivamente. Cada uno entonces planteará las leyes de Newton según

F cS = m rcS Newton según observador en SF cS′ = m r′cS′ Newton según observador en S ′

donde xcS se lee “la cantidad x según un observador en el sistema S”.

S: sistema inercial

S': sistema no inercialr

R

r'

Figura 2: Una partícula descripta por r desde un sistema inercial S y por r′ desde un sistema no inercialS ′.

La relación entre r y r′ es, de acuerdo con el esquema de la figura 2,

r = R+ r′

Usando eso buscamos una relación entre r′cS′ , r′cS y R⌋S para poder reemplazar en la ecuación que planteó el observador

en S y obtener

Esto es la fuerza posta← F cS = m× ( r′cS′ + otras cosascS)= F cS′ + otras cosas

y entoncesF cS′ = F cS + F ficticias

La relación que buscamos se puede derivar pero es bastante molesto, ver [4, sec. 10.2 and 10.3]. Dicha relación es

rcS = R⌋S + r′cS′ + ωcS × r

′ + ω × (ω × r′) + 2ω × r′cS′

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6 CUERPO RÍGIDO

donde ω es la velocidad angular instantánea. Al introducir esto en la expresión de Newton que plantea el observador en Sse obtiene

F cS = m R⌋S +m r′cS′︸ ︷︷ ︸

F cS′

+m ωcS × r′ +mω × (ω × r′) + 2mω × r′cS′

por lo tanto

F cS′ = F cS −m R⌋S −m ωcS × r

′ −mω × (ω × r′)− 2mω × r′cS′

= F posta + F ficticias

donde cada una de las fuerzas ficticias es−m R

⌋S Fuerza debida a la aceleración lineal

−mω × r′ Fuerza debida a la aceleración angular−mω × (ω × r′) Fuerza centrífuga− 2mω × r′cS′ Fuerza de Coriolis

Una expresión importante de sistemas no inerciales es la que relaciona las velocidades. Dado un vector Q cualquiera,entonces

dQ

dt

⌋Sinercial

= dQ

dt

⌋Sno inercial

+ ΩSno inercialcSinercial×Q (7)

donde ΩSno inercialcSinerciales “la velocidad angular del sistema no inercial medida en el sistema inercial ¿a través de un eje

que pasa por el origen de coordenadas del sistema no inercial?”.

6. Cuerpo rígido6.1. Momento angular

El momento angular de un cuerpo rígido respecto al punto O en un sistema inercial S se puede descomponer en

LOcS = Lorbital respecto a OcS + LespíncS

Esto se puede demostrar de la siguiente manera: en base al esquema de la figura 3 se tiene que

LOcS =∑∀i

ri ×mi ricS

es el momento angular del sistema de partículas (cuerpo rígido) medido en el sistema inercial S respecto del punto O.

S: sistema inercial

ri R

ri CM

Punto O

Cuerporígido Centro de masa

rO

Figura 3: Cuerpo rígido que describe un movimiento arbitrario.

Utilizando ri = R+ ri CM entonces

LOcS =∑∀i

(R+ ri CM )×mi

(R⌋S + ri CMcS

)=

∑∀i

miR× R⌋S +miR× ri CMcS +miri CM × R

⌋S +miri CM × ri CMcS

= R× R⌋S

(∑∀i

mi

)+R×

: 0

(∑∀i

mi ri CMcS

)︸ ︷︷ ︸

1

+

*

0(∑∀i

miri CM

)︸ ︷︷ ︸

2

× R⌋S +

∑∀i

miri CM × ri CMcS

= R× R⌋SM +

∑∀i

miri CM × ri CMcS

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6.2 Energía cinética 6 CUERPO RÍGIDO

donde 1 y 2 se cancelan porque el primero es la velocidad del centro de masa respecto del centro de masa y el segundo laposición del centro de masa respecto del centro de masa. Aquí ya identificamos

Lorbital respecto a OcS = R×M R⌋S

LespíncS =∑∀i

miri CM × ri CMcS

Obsérvese que Lespín no depende del punto que se considere para medir el momento angular (o sea de O), es intrínseco delcuerpo. Sí depende del sistema de referencia en el que uno lo mide, S. Por ejemplo si uno mide el espín de la Tierra paradosobre la tierra le va a dar cero.

6.2. Energía cinéticaAl igual que el momento angular, la energía cinética de un cuerpo rígido se puede descomponer en

TOcS = Torbital respecto a OcS + TespíncS

y la demostración es idéntica a la del caso del momento angular. Considérese nuevamente el esquema de la figura 3. Entonces

TOcS =∑∀i

mi

2 ( ricS)2

=∑∀i

mi

2(R⌋S + ri CMcS

)2

=(∑∀i

mi

2

)︸ ︷︷ ︸

M/2

(R⌋S

)2 +∑∀i

mi

2 ( ri CMcS)2 + R⌋S

: 0(∑∀i

mi ri CMcS

)

donde el último término se cancela por ser la velocidad del centro de masa respecto al centro de masa. Aquí ya se puedenidentificar los dos términos buscados:

Torbital respecto a OcS = M

2(R⌋S

)2

TespíncS =∑∀i

mi

2 ( ri CMcS)2

6.3. Tensor de inerciaEs un tensor que caracteriza la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un determinado eje que pasa por un punto.Sea el cuerpo rígido de la figura 4. Entonces su momento angular con respecto a cualquier punto se puede descomponer,

como se detalló en la sección 6.1, en uno orbital y uno de espín. El momento de espín en particular es

LespíncS =∑∀i

ri CM ×mi ri CMcS

Debido a que (se puede considerar) que el cuerpo realiza una rotación pura alrededor del centro de masa entonces ri CMcS =ωcS × ri CM por lo tanto

LespíncS =∑∀i

ri CM ×mi (ωcS × ri CM)

Ahora simplemente es cuestión de desarrollar el doble producto vectorial para constatar que

LespíncS = ICM ωcS

donde ICM es una matriz denominada tensor de inercia respecto al centro de masa y sólo depende de la geometría del cuerpoy su distribución de masa.

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6.4 Ángulos de Euler 6 CUERPO RÍGIDO

S: sistema inercial

ri

R

ri CM

CIR

Cuerporígido Centro de masa

rCIR

RCIRri CIR

Figura 4: Cuerpo rígido realizando un movimiento genérico.

El mismo análisis se puede realizar considerando el movimiento del cuerpo visto desde el centro instantáneo de rotación,el CIR. En este caso se tiene que

LCIRcS =∑∀i

ri CIR ×mi ri CIRcS

y, por definición de CIR, ri CIRcS = ωcS × ri CIR por lo tanto

LCIRcS =∑∀i

ri CIR ×mi (ωcS × ri CIR)

...= ICIR ωcS

Nuevamente se llegó a una expresión análoga al caso para el Lespín sólo que esta vez el tensor de inercia es respecto al CIR.Debido a que la expresión ri O = ω × ri O sólo vale cuando O es el centro de masa o el CIR, entonces lo anterior sólo es

aplicable a estos dos puntos. De esto no estoy seguro.Se puede mostrar que

TespíncS = 12 ωcS ICM ωcS

6.3.1. Ejes principales

Los ejes principales de un cuerpo rígido son aquellos tales que el momento angular es paralelo a la velocidad angular:

LOcS = λO ωcSResulta que todo cuerpo rígido tiene tres ejes principales [1, sec. 10.4] y están dados por los autovectores del tensor de

inercia I. Los autovalores son los momentos principales de inercia.

6.4. Ángulos de EulerMe gustó la explicación de [4, sec. 11.8]. Esto no tiene mucha ciencia, básicamente es la definición de los ángulos de Euler

de la figura 5.

x

y

z

x3

x1

x2θ

N

φ ψ

C: Ejes principales

φ

ψ

θ

S: sistema no rotante

Figura 5: Ángulos de Euler y direcciones de las velocidades angulares vectoriales.

La transformación de coordenadas que nos lleva del sistema (inercial) S cuyos ejes son x, y y z al sistema fijo al cuerpoC cuyos ejes son x1, x2 y x3 se puede expresar en forma matricial como

xC = λxSLos resueltos de

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6.5 Ecuación de Euler para el cuerpo rígido 6 CUERPO RÍGIDO

donde xS son las coordenadas del vector x en el sistema S, ídem para xC y λ es una matriz de transformación. Esta matrizse puede descomponer como el producto de tres matrices, una representando cada rotación:

λ = λψλθλφ

donde cada matriz es

λφ =

cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0

0 0 1

λθ =

1 0 00 cos θ sin θ0 − sin θ cos θ

λψ =

cosψ sinψ 0− sinψ cosψ 0

0 0 1

(todo esto lo estoy sacando de [4, sec. 11.8]).

Lo bueno de estos ángulos es queω = φ+ θ + ψ

donde cada uno de los vectores son los que se muestran en la figura 5. Estos vectores tienen componentes, en los ejesprincipales de inercia,

φ =

x1 φ sin θ sinψx2 φ sin θ cosψx3 φ cos θ

θ =

x1 θ cosψx2 − θ sinψx3 0

ψ =

x1 0x2 0x3 ψ

y de aquí se pueden obtener las coordenadas de ω en los ejes principales del cuerpo X. Esto es bueno porque permite calcularla energía cinética usando los ejes principales del cuerpo en los que el tensor de inercia es diagonal.

6.5. Ecuación de Euler para el cuerpo rígidoDe la bibliografía que consulté ninguno me terminó de convencer. El que más me gustó fue [1, sec. 10.7] pero hasta ahí.

La ecuación de Euler para el cuerpo rígido es

IO ωcC + ωcS × (IO ωcS) = ΓOcS

donde C es un sistema de coordenadas fijo al cuerpo rígido, S es un sistema inercial y Γ es el torque aplicado sobre el cuerpo.O es un punto cualquiera del espacio (nota8 importante).

La ecuación de Euler para el cuerpo rígido puede obtenerse de la siguiente manera: sea un cuerpo rígido, entonces lavariación de su momento angular satisface (por Newton)

LO⌋S = ΓOcS

donde Γ es el torque. Utilizando la relación de sistemas no inerciales (7) entonces

LO⌋S = LO

⌋C + ωcS × LOcS

donde C es un sistema de coordenadas fijo al cuerpo rígido.Si ahora se recurre al tensor de inercia9 entonces10

IO ωcC + ωcS × (IO ωcS) = ΓOcS

Si los ejes de C, además, coinciden con los ejes principales del cuerpo entonces IO = diag λ1, λ2, λ3 y al desarrollar cadaproducto lo que se obtiene es

λ1ω1 − (λ2 − λ3)ω2ω3 = Γ1

λ2ω2 − (λ3 − λ1)ω3ω1 = Γ2

λ3ω3 − (λ1 − λ2)ω1ω2 = Γ38De esto no estoy seguro. Nadie lo aclara. En [1, sec. 10.7] en la introducción del tema dice “the two situations to which our discussion will

principally apply are these: (1) A body that is pivoted about one fixed point [...] and (2) a body without a fixed point [...] whose rotational motionabout the center of mass we have chosen to examine.”. Esa palabra principally dice como que nos van a interesar generalmente esos casos, perose podría aplicar siempre. El problema que le veo es que la expresión L = Iω sólo vale (creo) para cuando el L (y el I) se refieren o al centroinstantáneo de rotación o al centro de masa. Fuera de eso me parece que no vale, ver sección 6.3.

9Acá no estoy seguro si tenemos que restringir a que O sea el centro de masa y/o el centro instantáneo de rotación para que valga L = Iω. Versección 6.3.

10Esto me genera una duda: ωcC?= 0. Porque en el sistema C, fijo al cuerpo, el cuerpo no rota...

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REFERENCIAS REFERENCIAS

Referencias[1] Classical Mechanics, Taylor.

[2] Classical Mechanics, Goldstein.

[3] Mechanics, Landau & Lifshitz.

[4] Classical Dynamics of Particles and Systems, Thornton & Marion, 5th edition.

[5] Lectures on Classical Dynamics, David Tong.

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