Resumen Capítulos 12, 13 y 14 - IntegralMultiple_ResumenForo

7/24/2019 Resumen Captulos 12, 13 y 14 - IntegralMultiple_ResumenForo

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AMPLIACION DE CALCULO. Calculo Integral

Indice

1. Introduccion. 1

2. La integral multiple de Riemann. 2

3. Herramientas para calcular integrales multiples. 9

3.1. La integral y los conjuntos de contenido cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2. Teorema de Fubini y Teorema del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Apendice: Algunos conceptos del calculo diferencial 22

El equipo docente de Ampliacion de Calculo ha elaborado este resumen sobre algunos aspectos correspondientes a los los captulos 12,13, 14 del primer bloque del libro (Calculo Integral).

En este resumen se ha intentado evitar el rigor y la precision, en las notaciones y en la terminologa propiosde las matematicas, por lo que este documento no debera sustituir el estudio de los captulos 12,13 y 14del texto base.

Nota. Se incluyehipertexto(aparece recuadrado en rojo) para facilitar la navegacion por el documento. Recuerde que en la mayora de los visualizadores de pdf puede avanzar o retroceder en las paginas consultadamediante la combinacion de teclas Alt y Alt respectivamente.

1. Introduccion.

En un primer curso de Calculo se estudia la integral de Riemann de funciones reales de una variable readefinidas en un intervalo. Para el alumno que necesite repasar conceptos basicos sobre integracion y calculode integrales de una variable remitimos al curso cero:

http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema8.pdf

En el curso de Ampliacion de Calculo, comenzaremos estudiando la integral multiple de Riemann enrectangulos n-dimensionales. Este primer punto, que veremos en la Seccion2, extendera a cualquier dimension el concepto bien conocido de integracion de funciones acotadas definidas en un intervalo (dimensionuno). En el libro esto correspondera a las secciones 1 y 2 del Captulo 12. Como uno puede imaginar

Estibalitz Durand y Juan Peran 1
http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema8.pdfhttp://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema8.pdf


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en el plano o en el espacio, nos aparecen conjuntos mucho mas generales que los rectangulos (notese queen la recta tenamos basicamente los intervalos). A continuacion, se extiende la integracion a conjuntondimensionales mas generales y se da la definicion de funcionintegrable en un conjunto acotado. Dichadefinicion nos va a proporcionar de manera natural una nocion de volumen (contenidoomedida deJordan) de un conjunto en cualquier dimension. En el libro, esto correspondera a las secciones 1 y 2 de

Captulo 13.

Los conjuntos de volumen cero (ocontenido ceroomedida de Jordan cero) son especialmente relevanteen la teora. Veremos que se pueden caracterizar geometricamente usando recubrimientos finitos (ver Proposicion 13.2. del libro). Son importantes, porque nos sirven para caracterizan los recintos de integracionun conjunto acotado tiene volumen (o es medible Jordan o tiene contenido o es un recinto de integraci onsi y solo si su frontera tiene contenido cero. Esto quiere decir que, si seguimos la teora de integracionde Riemann, la clase de conjuntos mas grande donde se puede integrar esta formada por aquellos cuyafrontera tiene contenido cero.

Se estudia tambien el concepto demedida cero, que aparece en la seccion 3 del Captulo 12 del libro. Es unanocion parecida a la de volumen o contenido cero, puesto que dichos conjuntos tambien se caracterizangeometricamente usando recubrimientos, pero, esta vez, los recubrimientos van a ser numerables. Loconjuntos de medida cero son claves para caracterizar las funciones integrables como veremos en el Teoremade Lebesgue: una funcion es integrable si y solo si el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medidacero. La caracterizacion de los recintos de integracion arriba mencionada es un corolario inmediato deteorema de Lebesgue.

En la Seccion 3 estudiaremos, en primer lugar, como afectan los conjuntos de contenido cero a la horade calcular integrales. En segundo lugar, dos herramientas fundamentales para el calculo de integralemultiples: el Teorema de Fubini y el Teorema del cambio de variable.

2. La integral multiple de Riemann.

Denotemos porA= [a1, b1][a2, b2]...[an, bn] un rectangulo cerrado de Rn y porfa una funcion acotadade A en R. Los rect angulosde Rson los intervalos, losrect angulosde R2 son los rectangulos propiamentedichos y los rect angulos de R3 son los prismas rectangulares. Aunque toda la teora se puede planteapara cualquier dimension n, en las aplicaciones nos restringiremos generalmente a los casos n = 1, 2, 3Recordemos que una funcionf esacotadasi existe M >0 tal queM f(x)Mpara todo xM. Laestrategia a seguir es la misma que en una dimension.

1. Hacemos primero una particion P de nuestro rectangulo A que determinan una coleccion de subrectangulos que cubrenA.

2. Calculamos la suma superior y la suma inferior de Riemann asociada a dicha particionP:

S(f, P):=

M(f, Q)|Q| s(f, P):= m(f, Q)|Q|,



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donde M(f, Q) denota el supremo de la funcion f en Q, m(f, Q) denota el nfimo de la funcion fen Q y|Q| el area (o volumen) de Q. Si Aes un rectangulo de la forma [a1, b1] [a2, b2], su area secalcula multiplicando base por altura, esto es,|A|= (b1 a1) (b2 a2). Recordemos que P es unaparticion de A y la suma recorre todos los subrectangulos Q de P.

3. Hacemos la particion P cada vez mas fina, es decir, los subrectangulos que cubren A los hacemocada vez mas pequenos.

Sin ser rigurosos, una funcion f : A R es (Riemann) integrable sobre un rectangulo A si y solo ladiferencia entre la suma superior y la suma inferior de Riemann

S(P) =S(f, P) s(f, P) = [M(f, Q) m(f, Q)] |Q|se puede hacer suficientemente pequena. Dicho de otra forma, si escogiendo particiones P de nuestrorectangulo cada vez mas finas (una malla cada vez mas tupida), el valorS(P) se hace cada vez mas pequenoDe manera mas rigurosa decimos que fes integrable en A si la integral inferior de Riemann (supremo delas sumas inferiores) coincide con la integral superior de Riemann (nfimo de las sumas superiores). A estevalor se le llama integral de f enA y se representa por

A

f(x1, , xn)dx1dx2 dxn.

En los libros encontraran diferentes notaciones para la integral y lo que es importante es saber interpretarlo que representa cada una de ellas. La que nosotros utilizaremos para denotar las integrales de funcionesuna, de dos y tres variables definidas sobre conjuntos de la recta, del plano y del espacio respectivamentesera

Af(x)dx

A

f(x, y)dxdyA

f(x,y,z)dxdydz.

Observe que para representar graficamente funciones f : Rn R se necesitan n+ 1 dimensiones, potanto, podremos realizar representaciones graficas siempre que n2.



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En el caso particular en el que f=A, la cantidadAfes precisamente la longitud de un segmento enla recta, el area de un rectangulo en el plano, el volumen de un cubo en el espacio... Recordemos quela funcion caracterstica de un conjunto M Rn se define por

M(x) =

1 sixM0 six /M.

Vemos por tanto que la integral sobre un rect angulo nos proporciona una nocion de volumen de unrectangulo que coincide perfectamente con nuestra intuicion.

Una vez entendido el concepto de funcion integrable sobre un rectangulo, surge de manera natural lasiguiente pregunta:

Como definimos la integral en conjuntos mas generales? Y el volumen de objetos que no son rectangulos?

En el espacio sabemos calcular el volumen de objetos mas generales como por ejemplo de una esfera, deun cono, de un cilindro... Es posible determinar el volumen de cualquier conjunto en R3? Dicho de otramanera, es posible dar una nocion de volumen que sea valida para cualquier conjunto acotado de R3 (ode la recta, o del plano...)?

Si una quisiera dar una nocion razonablemente satisfactoria de volumen, habra que pedir al menos quefuera invariante por movimientos rgidos (traslaciones y rotaciones) y que el volumen de la union finita deconjuntos fuera la suma del volumen de cada conjunto.

El siguiente resultado, aunque resulte paradojico, es unos de los teoremas mas sorprendentes de las matematicas.



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Podemos cortar una naranja enpedazos y reagrupar los cachos para

obtener todas las que queramos??? Si deuna naranja salen dos, no duplicaramosel volumen?

Teorema de Banach-Tarski 1932. Es posible dividir una esfera maciza en un numero finito detrozos y reagruparlos, sin deformarlos, para obtener 2 esferas del mismo radio.

Fotograma de la serie Futurama

Desde un punto de vista matematico, parece que el teorema (paradoja en apariencia) pueda refutarse

basandose en el hecho de que comenzamos con una bola y acabamos con varias que multiplican el volumeninicial. La clave de esta paradoja esta justamente ah: los trozos en los que se divide la naranja sonextremadamente complicados (no va a bastar con cortarla en dos como en el dibujo), y hablando enterminos matematicos, dichos trozos no son medibles (no podemos calcular su volumen), y por tantono existe la contradiccion. Lo que prueba la paradoja es que no es posible definir el volumen de cualquierconjunto de puntos.

En la practica, un ingeniero no se va a encontrar con estos casos patol ogicos. Pero es interesante saberque en matematicas, los conjuntos raros estan a la orden del da. Esto ilustra tambien que ninguna teorade integracion o teora de la medida es suficientemente rica para poder abarcar todos los subconjuntode Rn. Nosotros nos centramos en la teora de Riemann, que va a ser suficiente para la mayora de la

aplicaciones.

Para dar una definicion de volumen de conjuntos mas generales volvamos a la integral de Riemann.

Sea ahora M un subconjunto acotado de Rn. Vamos a usar la definicion que ya sabemos de integral deRiemann de una funcion sobre un rectangulo para definir la integral sobre conjuntos acotados. Primeroescogemos un rectangulo A que contenga a M (notemos que dicho rectangulo siempre existe por ser econjunto M acotado). Diremos que f es integrable sobre un conjunto acotado M si la funcion f M e



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integrable sobre A y se representaM

f(x1, , xn)dx1dx2 dxn:=A

f(x1, , xn)Mdx1dx2 dxn.Es importante resaltar que la definicion es independientedel rectangulo escogido.

La definicion que acabamos de dar nos proporciona de manera natural una noci on de volumen paracualquier dimension. Notemos que si M Rn y f = M la region bajo la grafica de f es un cilindro debase My altura 1.

Diremos que M Rn tienevolumen n-dimensional(o esmedible Jordano tienecontenido) si la funcionf = M es integrable en M. En este caso el volumen es el numero

M

M(x1, , xn)dx1 dxn quedenotaremos por|M|.

Cuando Mes un subconjunto de la recta el volumen n-dimensional se llamalongitud, si es del plano sellamaareay si es un subconjunto del espacio se denominavolumen.

Usando la definicion de volumen se tiene por tanto que un conjuntoMde Rn tienevolumenn-dimensionacero (o medida de Jordan cero o contenido cero) si f = M es integrable y

|M

| = 0. Se puede probar

queMtiene contenido cero si y solo si para todo >0, M posee un recubrimiento finito de rectangulocerrados{Q1,...Qm}tales que

mi=1

|Qi|< .

Esta caracterizacion de conjuntos de contenido cero es puramente geometrica y veremos que puede resultamuy util en ciertos casos. Paremonos por un momento a entender esta caracterizacion:

Entendiendo la definicion:



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Lo primero es tener cuidado con la definicion de conjunto de contenido cero. No sirve solamente conque el conjunto se pueda recubrir por un conjunto numerable de rectangulos. Cualquier cosa en Rn

se puede recubrir!.

Por ejemplo en el plano, launion de las bolas de centrocero y radio n con n numero

natural es todo el plano y conese razonamiento podrarecubrir cualquier cosa.

La clave esta en que la suma de las areas de los rectangulos que forman dicho recubrimiento es tanpequeno como uno quiera. Y ah es donde esta la dificultad. Por ejemplo, intenten probar con la

definicion que: si un conjunto tiene longitud en la recta, o area en el plano, o volumen en el espacioentonces no puede tener contenido cero.

La definicion de contenido cero depende del espacio ambiente en el que estemos trabajando. Porejemplo, un segmento considerado como subconjunto del plano R2 o del espacio R3 tiene contenidocero (tendra area y volumen cero respectivamente). Pero como subconjunto de R no tiene contenidocero (tiene longitud mayor que cero).

En el libro aparece tambien el concepto de medida cero, que en general no coincide con el de contenidocero pero que estan ntimamente relacionados. Un conjunto Hde Rn tienemedida cerosi para todo >0

Hposee un recubrimiento numerablede rectangulos cerrados{Qm} tales que

m=1

|Qm|< .

Es claro ver que si un conjunto tiene contenido cero entonces tiene medida cero (si uno puede recubrir unconjunto con un numero finito de rectangulos en particular lo puede recubrir con un conjunto numerable)El recproco no es cierto. El conjunto [0, 1] Q tiene medida cero pero no contenido cero. Es importanteno confundir los conjuntos de medida cero con los conjuntos de contenido cero. En el caso de los conjuntode medida cero se pide que el conjunto se pueda recubrir por un conjunto numerable de rectangulos y

para contenido cero exigimos que el recubrimiento sea finito. Por otra parte, si el conjunto con el quetrabajamos es un conjunto compacto los conceptos de medida y contenido cero son equivalentes.

Los conjuntos de medida cero son claves para responder la siguiente pregunta:

Existe alguna manera rapida de saber cuando una funcion es integrable en un rectangulo?

La respuesta nos la da el teorema de Lebesgue:



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Caracterizacion de funciones integrables (Teorema de Lebesgue)Una funcion acotadaf :ARes integrable (Riemann) en un rectanguloA Rn si y solo si su conjunto de puntosde discontinuidad (en A) tiene medida cero.

El teorema nos dice que basta con estudiar el conjunto de puntos donde la funci on no sea continua. Si econjunto de puntos donde la funcion es discontinua es despreciable desde el punto de vista de la medidaentonces la funcion sera integrable. Notese que en general, comprobar que una funcion es integrable usandola definicion resulta mas complicado que estudiar sus puntos de continuidad.

Observemos que en este teorema no podemos cambiar medida por contenido. Por ejemplo, la funcionf : [0, 1] Rdefinida por f(x) = 0 six es irracional yf(x) = 1/qcuandox = p/qconp y qprimos entres es integrable y el conjunto de puntos de discontinuidad son los racionales que tienen medida (pero nocontenido!) cero.

De acuerdo con el Teorema de Lebesgue, dado un conjunto acotado M Rn la funcion f = M eintegrable sobreA si y solo si su conjuntos de puntos de discontinuidad tiene medida cero. El conjunto dediscontinuidades de la funcion caracterstica es la frontera deM. Como la frontera de un conjunto acotadoes un conjunto compacto, tener medida cero o contenido cero son propiedades equivalentes en este casoAs tenemos el siguiente corolario del teorema de Lebesgue:

Caracterizacion de recintos de integracionUn conjunto acotado M Rn tiene volumen (es unrecinto de integracion) si y solo si su frontera tiene contenido cero.

Observese que al haber seguido la teora de integracion de Riemann, la clase de conjuntos mas grandepara la que se puede determinar el volumen son aquellos cuya frontera tiene contenido cero. Y por tantolos trozos en los que dividimos los conjuntos en la paradoja de Banach-Tarski no pueden pertenecer a estaclase de conjuntos, no son medibles siguiendo la teora de Riemann.

Como conclusion, si se nos plantea el problema de calcularM

f(x1, , xn)dx1 dxn donde M es unsubconjunto acotado de Rn y f : M

R es una funcion acotada, uno se tiene que preguntar do

cuestiones:

1. Es el conjunto Mun recinto de integracion?, es decir, tiene la frontera de Mcontenido cero?

2. Una vez que sabemos que Mes un recinto de integracion, es la funcion f integrable sobre M?, edecir, el conjunto de discontinuidades de f enM medida cero?



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Si la respuesta a ambas cuestiones es positiva, entonces tiene sentido calcularM

f. De manera poco

rigurosa, si la frontera del conjunto donde estamos integrando no es muy rara, y la funci on no saltamucho dentro del conjunto, entonces tiene sentido calcular integral.

De manera equivalente, escojo un rectanguloA que contenga a M. Ya sabemos que Mf= A f M. Por eteorema de Lebesgue,f M es integrable en Asi y solo si el conjunto de puntos de discontinuidad (en Ade la funcionf Mtiene medida cero. Las discontinuidades de f MenA seran los puntos de la frontera deM enA y los puntos de discontinuidad de fenA. Si dichas discontinuidades tienen medida cero entoncese puede calcular la integral.

3. Herramientas para calcular integrales multiples.

Por simplicidad con la notacion, nos restringiremos a los caso n = 2 o n = 3.

3.1. La integral y los conjuntos de contenido cero.

Lo primero es tener la idea intuitiva de que la integral sobre un conjunto pequeno desde el punto de vistade la medida, si existe, es cero.

Sea M R2 un conjunto con volumen 2-dimensional cero (o contenido cero, es decir |M| = 0) y f unafuncion acotada (

|f(x)

| Cpara todox

A) integrable enM, entonces

M

f(x, y)dxdy

M

|f(x, y)|dxdyM

C dxdyCM

dxdy= C|M|.

De aqu deducimos que si|M|= 0 entoncesM

f(x, y)dxdy= 0.

Una segunda idea que es muy intuitiva y que podemos deducir de la definicion es quela integral es aditivaEsto es, que si partimos nuestro recinto de integracion en varios trozos, entonces la integral sobre el recintoes lo mismo que la suma de las integrales en cada cacho. Dicho de manera formal, si A es un conjuntoacotado y partimos A en conjuntos medibles (Jordan) disjuntos que llamaremosA1, A2,...,An entonces

A

f(x, y)dxdy=A1

f(x, y)dxdy+A2

f(x, y)dxdy+...+An

f(x, y)dxdy.

Juntando estas dos ideas podemos probar una tercera, que es que la integral no ve los conjuntos dcontenido cero. Es decir, que si A es un conjunto acotado y M es un conjunto de contenido cero en Aentonces

Af(x, y)dxdy=

A\M

f(x, y)dxdy () (1

Sabran deducirlo de las dos ideas anteriores?



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Esta es idea es muy util. Nos sirve por ejemplo para probar que si tenemos dos funciones f, f definidaen un conjunto Aque coinciden salvo en un conjunto de contenido cero, entonces las integrales de dichasfunciones sobreAcoinciden. Por ejemplo, veamos el siguiente dibujo como si tenemos dos funciones igualessalvo en un punto (conjunto de contenido cero) sus integrales coinciden:

Ejemplo 1 Dado el conjunto M={(x, y) :|x| + |y| 1} y la funcionfdefinida sobreM

f(x, y) =

1 six= 0 o y = 0

2 en otro caso.

Lo primero, dividimos el conjunto Mes dos conjuntos mediblesM1 yM2 de tal modo queM=M1 M(sea la union de los dos). El conjunto M1 son los puntos(x, y)Mtales quex= 0 o y= 0 y el conjuntoM2 el resto, es decirM2 = M\ A1. Observese que el conjunto M1 tiene contenido cero y por lo que hemovisto antes

M1

f= 0. Entonces,

M

f(x, y)dxdy=M1M2

f(x, y)dxdy=M1

f(x, y)dxdy+M2

f(x, y)dxdy=M2

f(x, y)dxdy

=M2

2dxdy (1)=

M

2dxdy= 2|M|= 4.

Observese queMf(x, y)dxdy =M2 dxdy no implica quef = 2 simplemente significa que ambas integrales coinciden.



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3.2. Teorema de Fubini y Teorema del cambio de variable

En el Captulo 12 hemos dado una definicion rigurosa de integral multiple y hemos caracterizado lasfunciones integrables (Teorema de Lebesgue). Pero realmente aun no hemos estudiado ningun metodopara calcular dichas integrales.

Vamos a estudiar ahora dos herramientas fundamentales para el calculo de integrales multiples: el Teoremade Fubiniy elTeorema del cambio de variable.

El Teorema de Fubini (tambien conocido como teorema de integracion reiterada) nos proporciona unmetodo para hallar el valor una integral multiple (es decir, integral de una funcion de varias variablesreduciendo el calculo de dicha integral al calculo de unas cuantas integrales simples (es decir, integral deuna sola variable: terreno conocido). Por tanto, es muy importante que recuerden todas las tecnicas deintegracion que estudiaron para funciones de una variable.

Teorema de Fubini en el plano Sea funa funcion integrable en un rectanguloA= [a, b] [c, d]. Si para todo x[a, b] existe la integralcdf(x, y)dy y para todo y[c, d] existe laintegral

baf(x, y)dx, entonces

A

f(x, y)dxdy = x=bx=a

y=dy=c

f(x, y)dy

dx

= y=d

y=c

x=bx=a

f(x, y)dx

dy

.

integral multiple integrales simples integrales simples

Notese que una consecuencia del teorema de Fubini es que al intercambiar el orden de integracion de la



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integrales iteradas no se altera el resultado.

Como se interpreta la formulaA

f(x, y)dxdy= x=bx=a

y=dy=c

f(x, y)dy

dx?

Tenemos una definicion teorica vista en el Captulo 12 de lo que es la integral multipeAf(x, y)dxdy. Lo

que nos dice dicha formula es que calcular esa integral es lo mismo que hacer dos integraciones sucesivasde funciones de una sola variable:

Primero, calculamos la integral y=dy=c

f(x, y)dy. En este caso integramos con respecto a la variable y

desde y = c hasta y = d y mantenemos x fija. El resultado de dicha integral nos proporciona unafuncion g(x)que solo depende de x.

Segundo, calculamos la integral x=bx=a

g(x)dx, es decir, integramos desdex = a hastax = b la funcion

resultante del primer paso, que ya solo depende de x.

Ejemplo 2 CalculemosA

f(x, y)dxdy f dondeA = [0, 1] [0, 1]yf(x, y) =x y. Por el teorema de Fubinsabemos que

A f(x, y)dxdy= x=1

x=0 y=1y=0 x y d ydx.

Primero calculamos la integral interior, es decir, y=1y=0

x y d y. Notese que en este caso x se mantien

constante e integramos con respecto a la variable y. Como es una integral de una sola variable podemousar todas las reglas conocidas del calculo integral para una variable. En este caso, usando el TeoremaFundamental del Calculo tenemos:

g(x)= 10

x y d y=

x

y2

2

y=1

y=0=

x

2.



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Ahora integramos la funcion resultante (que depende solo dex) para obtener el resultadoA

f(x, y)dxdy= x=1x=0

y=1y=0

x y d y

dx=

x=1x=0

g(x)dx= x=1x=0

x

2dx =

1

2

x2

2

x=1

x=0=

1

4.

Pueden comprobar que si cambian el orden de integracion, el resultado es el mismo. Es decir,A

f(x, y)dxdy= y=1y=0

x=1x=0

x y d x

dy=1

4.

Ojo! El teorema de Fubini no siempre se puede aplicar. Notese que para ello tienen que existir cadauna de las integrales iteradas. En estos casos habra que recurrir a la definicion. Esto nos va a pasar encontadas ocasiones (por no decir nunca en los ejercicios que haremos) pero es bueno tenerlo presente. Siquieren ver un ejemplo pueden consultar el libro [16] (paginas 55-56) de las referencias del libro de teora

El teorema de Fubini resulta especialmente util cuando se aplica a las regiones proyectables. Un recinto deintegracion Men el plano es proyectablerespecto al eje x (resp. respecto al eje y) si las rectas paralelaal eje y (resp. al eje x) que cortan a M determinan un unico segmento o punto. Ejemplos de recintoproyectables sobre el eje x son aquellos limitados por dos curvas y = h1(x), y = h2(x)

M={(x, y) R2 :h1(x)yh2(x), x[a, b]}. (2

Si tenemos ahora una funcion f integrable sobreM, aplicando la definicion sabemos que

M

f(x, y)dxdy=A

f(x, y)M(x, y)dxdy

para cualquier rectangulo A que contenga a M. Escojamos un rectangulo cualquiera [a, b][c, d] quecontenga a M (recordemos que la definicion es independiente del rectangulo escogido). Notese que

M(x, y) =

1 si h1(x)yh2(x), x[a, b]0 si (x, y) /M.



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Aplicando el teorema de Fubini obtenemos

M

f(x, y)dxdy= ba

dc

f(x, y)M(x, y)dy

dx=

x=bx=a

y=h2(x)y=h1(x)

f(x, y)dy

dx.

Notese que en el caso particular en el que el recinto esta limitado por las curvas y = h1(x) =c,y = h

2(x) =

d (es decir, las funciones h1 y h2 son constantes y no dependen de x) recuperamos la integral sobre unrectanguloA.

Analogamente, ejemplos de recintos proyectables sobre el eje y son aquellos limitados por dos curvasx= g1(y),x = g2(y)

M={(x, y) R2 :g1(y)xg2(y), y[c, d]}. (3Dada ahora una funcionf integrable sobre Mtendramos

M

f(x, y)dxdy= y=dy=c

x=g2(y)x=g1(y)

f(x, y)dx dy.Ejemplo 3 Calculemos

Mf(x, y)dxdy, donde M ={(x, y) : 0 y 1 +x, x [1, 0]} y f(x, y) =

1 y+ x. Observese queMes un recinto proyectable sobre el eje x. Usando el teorema de Fubini tenemosque

M

f(x, y)dxdy= x=0x=1

y=1+xy=0

(1 y+x)dy

dx= 01

(1 +x)y y

2

2

y=1+xy=0

dx

= 01

(1 +x)2 (1 +x)2

2 dx=

1

2(1 +x)3

3 0

1=

1

6.

En este caso, Mes tambien un recinto proyectable sobre el eje y. Usando el teorema de Fubini de nuevtenemos que

M

f(x, y)dxdy= y=1y=0

x=0x=y1

(1 y+x)dx

dy= 10

(1 y)x+ x

2

2

x=0x=y1

dx

= 10

(y 1)2 (y 1)

2

2

dy=

1

2

(y 1)33

10

=1

6.

Evidentemente, el resultado coincide en ambos casos.



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Si como ocurre en este ejemplo, el recinto es proyectable sobre ambos ejes, se puede elegir en que ordenrealizar la integracion. A veces una de las dos opciones es m as sencilla, pero saber cual de ellas es nos lodara la practica o la propia naturaleza del problema.

En general los conjuntos en el espacio no van a ser proyectables, pero en algunas ocasiones se puedendescomponer en otros conjuntos que s lo son:

Todos los razonamientos que hemos hecho hasta ahora se pueden realizar de manera an aloga para funcionede tres variables.



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Teorema de Fubini en el espacioSeafuna funcion integrable en un rectanguloA= [a, b] [c, d] [p, q]. Si para todo z[p, q] y para todox[a, b] existe la integraldc f(x,y,z)dyy para todo x[a, b] y para todo y[c, d] existe la integralqp f(x,y,z)dz, entonces

A f(x,y,z)dxdydz =

z=q

z=p x=b

x=a y=d

y=c f(x,y,z)dy

dx

dz integral multiple integrales simples

= x=bx=a

y=dy=c

z=qz=p

f(x,y,z)dz

dy

dx

,

integrales simples

y as sucesivamente (en total hay 6 posibles ordenacionesdxdydz, dxdzdy, dydxdz,

dydzdx, dzdxdy, dzdydx).

De la misma manera que hemos hecho para funciones de dos variables, podemos deducir del teorema deFubini en el espacio diferentes formulas para integracion de regiones proyectables en el espacio. Un recintode integracion Men el espacio es proyectablerespecto a un plano (plano xy, plano yzo plano xz) si larectas paralelas perpendiculares al plano que cortan al conjunto Mdeterminan un solo segmento o punto

Ejemplos de recintos proyectables sobre el planoxy son aquellos limitados por dos superficiesz= z1(x, y)z= z2(x, y) definidas en una region plana del tipo (2) o (3). En este caso sera

M={(x,y,z) R3 :z1(x, y)zz2(x, y), h1(x)yh2(x), x[a, b]},

o bienM={(x,y,z) R3 :z1(x, y)zz2(x, y), g1(y)xg2(y), y[c, d]}.



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Existen versiones mas generales del Teorema de Fubini. Sin embargo, la mayora de las veces utilizaremoel teorema de Fubini en el plano y en el espacio tal como los hemos enunciado anteriormente.

Es importante destacar que el Teorema de Fubini resuelve teoricamente el problema de calcular unaintegral multiple (porque nos lo ha reducido al calculo de varias integrales iteradas). Desde el punto devista practico las integrales iteradas que aparecen pueden ser bastante complicadas y requerir calculomuy engorrosos.

En estos casos el Teorema del cambio de variable puede ser un buen aliado. El Teorema de cambio devariable es otra herramienta muy util que nos permite transformar la integral, en otra, cuyo calculo sea

mas facil de realizar.

De hecho esta tecnica les tiene que sonar ya del calculo de funciones de una variable. Dada una integrasimple b

af(x)dx

podemos hacer un cambio de variable haciendo x = g(t) (suponiendo unas ciertas hipotesis sobre la funciong) de manera que dx = g (t)dt, y obtenemos

ba

f(x)dx= dc

f(g(t)) g(t) dt,

donde a = g(c) yb= g(d). Observen que el cambio de variable introduce un factor adicional g (ten el integrando de la derecha.

Por ejemplo, intentemos calcular 10

x(x2 + 1)3dx. Hagamos el cambio de variable t = x2 + 1. Por una

parte tenemos que dt = 2xdx. Ahora calculamos los nuevos lmites de integracion. Para x = 0, tenemoquet = 1 y para x = 1, tenemos que t= 2. As nos queda 1

0x(x2 + 1)3dx=

21

t31

2dt.



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La igualdad anterior se puede interpretar geometricamente diciendo que las dos regionessiguientes tienen la misma area:

Nuestro objetivo ahora va a ser extender esta tecnica a la integral multiple.

Teorema del cambio de variable Seag : ARn unaaplicacion de clase unoe inyectiva definidaen un abierto A de Rn. Sea K un conjunto medible-Jordan (con volumen) que verifica K A.Entonces g(K) es un conjunto medible-Jordan y para cada funcion integrablef :g(K) Rse tieneque la funcion f g|det(g)| es integrable y

g(K)

f(x1, , xn)dx1 dxn=K

f(g(u1, , un))|det(g(u1, , un))|du1, dun.

Observen que esta expresion es analoga a la de una variable. Los conjuntos g(K) y K hacen el papel delos intervalos [a, b] = [g(c), g(d)] y [c, d] respectivamente y el valor absoluto de det(g(u)) se correspondecon la derivada g(t) (se puede suponer g(t) > 0 pues si g(t) < 0, g es decreciente y la imagen de [a, bes [g(b), g(a)]). Para ver la prueba del Teorema pueden consultar la seccion 1 del Captulo 14 del libro deteora.

En un cierto sentido, el determinante JacobianoJ=|det(g(u))| es una medida de como una transformaciong distorsiona el volumen de una region. Esta idea la pueden encontrar desarrollada en las paginas 75-77

del libro de teora.

Cuando uno realiza un cambio de variable, no solo el integrando cambia, sino tambien la region de integracion (como hemos visto que ocurre en una dimension). Existen dos razones para hacer un cambio devariable:

Para obtener un integrando mas simple.

Para obtener una region sobre la que integrar mas simple.



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No existe un metodo general para decidir cual es el cambio de variable que mejor funciona. Muchas veceses cuestion de practica. Encontrar cual es la transformacion g que transforma una region en otra puedeser un problema muy difcil. En el curso consideraremos ejemplos razonablemente asequibles.

Ejemplo 4 Veamos un cambio de variable que simplifica el integrando, y el recinto de integracion ni ssimplifica ni se complica. SeaQ el cuadrado de vertices(0, 1), (1, 2), (2, 1) y(1, 0). Calcular la integral

Q

(x+y)2 sen2(x y)dxdy.

Siguiendo la notacion del Teorema del cambio de variable, el cuadrado Q va a ser la imagen por unatranformacion g de un recinto Kque determinaremos (Ojo aqu! el conjunto Q se corresponde en la

formula del cambio de variable cong(K)).

Para empezar, esta integral nos pide a gritos hacer el cambio de variable

u= x+y v= x y.

Despejando x ey en funcion deu yv obtenemos

x=1

2(u+v) e y=

1

2(u v).

As, nuestra transformacion sera

g(u, v)= (g1, g2) = (1

2(u+v),

1

2(u v)).

Observemos que g es una transformacion inyectiva y de clase uno. La matriz de las derivadas parcialesera

g1u

g1v

g2u

g2v

=

1

2

1

2

1

2

12

,

y el valor absoluto de su determinanteJ=|det(g(u, v))|= 1/2.

El siguiente dibujo muestra como se transforman las regiones de integracion:



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Ahora nos queda transformar la funcionf(x, y) = (x+y)2 sen2(x y) que quedara

f(g(u, v)) =f(1

2(u+v),

1

2(u v)) = u2 sin2(v).

Ya tenemos todos los ingredientes para aplicar el Teorema del cambio de variable y solo nos queda sustituien la formula:

Si ahora queremos resolver la integral podemos usar por ejemplo el Teorema de Fubini:

Ku2

sin

2

(v)

1

2dudv

Fubini

= v=1

v=1 u=3

u=1 u

2

sin

2

(v)

1

2dudv= =13

6(2 sin2).

Ojo! Es un fallo muy comun decidir cual va ser el cambio de variable (hallar g), hallar el recinto deintegracion K, transformar la funcion a integrar...y olvidarse del jacobiano!.

Hay algunos cambios de variable que son especialmente utiles en muchas situaciones pr acticas y por ellomerecen especial atencion. Los cambios a coordenadas polares, esfericas o cilndricas son los mas usados:



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coordenadas polares (para integrales dobles) (x, y) =g(, )

x= cos , y= sen J=.Los parametros pueden variar en los siguientes rangos:0, 02

coordenadas cilndricas (para integrales triples) (x,y,z) =g(,,t)

x= cos , y= sen , z= t J=.Los parametros pueden variar en los siguientes rangos:0, 02,< t


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Ejemplo 5 Calculemos

Mf(x, y)dxdy, donde M ={(x, y) :

1 x2 y 1 x2, x [1, 1]} yf(x, y) = 1. Observese queMes un recinto proyectable sobre el eje x. Usando el teorema de Fubini tenemosque

Mf(x, y)dxdy=

x=1x=1

y=1x2y=1x2

dydx= x=1x=1

2

1 x2dx

Si realizamos el cambio de variable x = cos t, tendramos dx = sen tdt, para x =1 t = , parax= 1t = 0 y por tanto

x=1x=1

2

1 x2dx=2 t=0t=

sen2 tdt= 2 t=t=0

sen2 tdt por partes

= .

En este caso es mucho mas sencillo hacer directamente un cambio de variable bidimensional. Si aplicamoel cambio de coordenadas polares a la regionM se tendra

M

f(x, y)dxdy= 20

10

d

d= 20

2

2

10d=

1

2

20

d= .

Si ni el Teorema de Fubini ni el Teorema del cambio de variable les simplifica la vida...salvese quien pueda(aunque haremos todo lo posible para que en el examen les sean utiles).

4. Apendice: Algunos conceptos del calculo diferencial

Denotemos por Rn alespacio eucldeo ndimensional. Los elementos del espacio eucldeo son vectores dela forma x = (x1, , xn) donde cada xi, 1in es un numero real. Se define el concepto denormadeun vectorx mediante la formula

x=

x21+x

22+ x2n.



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Para funciones de dos o tres variables, es habitual llamar x, y,za las variables x1, x2, x3. Se denotan poei los vectores de labase canonica, definidos por ei = (0, , 1, , 0) con un 1 en el lugar iesimo y eresto ceros.

SeaA un abierto de Rn yfuna funcionf :A

Rm (es decir,f tienem componentes,f= (f1,

, fm))

Dado un punto aA y un vector v Rn se define laderivada de fen el punto a segun el vector v comoel vector de Rm

Dvf(a) = lmt0

f(a+tv) f(a)t

,

siempre que dicho lmite exista. Si v es un vector de la base canonica ei, a Deif(a) se le llama derivada

parcialdefcon respecto aeien el puntoay se denota porf(a)

xi. En otras palabras,

f(a)

xies simplemente

la derivada de frespecto a la variable xi manteniendo las otras variables fijas. La ventaja de las derivadasparciales respecto a las derivadas segun vectores arbitrarios reside en que su calculo suele ser una tareamecanica basada en las reglas usuales del calculo de derivadas de funciones reales de una variable real.

Ejemplo. Sea f : R3 R2 definida por f(x,y,z) = (f1, f2) = (x2 +y, z3 +x). Tenemos que:f

x= (

f1x

,f2x

) = (2x, 1), f

y = (

f1y

,f2

y) = (1, 0),

f

z = (

f1z

,f2

z) = (0, 3z2).

A la matriz de orden m nde las derivadas parciales

f1x1

(a) f1

x2(a) f1

xn(a)

f2x1

(a) f2x2

(a) f2xn

(a)

fnx1

(a) fn

x2(a) fn

xn(a)

se la representa abreviadamente por f(a). Denotaremos por det(f(a)) al determinante de dicha matriz(siempre que la matriz sea cuadrada, es decir, que el espacio de llegada y el de salida tengan la mismadimension, sino no podemos calcular su determinante!). A este determinante se le conoce en la literaturacomodeterminante jacobianoy a veces se suele denotar por J.

En el caso especial en que f :A Rn R, es una matriz de dimension 1n, se le conoce comogradientede f y viene denotado por

f(a) =

f

x1(a),

f

x2(a), f

xn(a)

.

Si existen todas las derivadas parciales de fy son funciones continuas en A entonces se dice que fes unaaplicacion de clase uno.

Resumen Capítulos 12, 13 y 14 - IntegralMultiple_ResumenForo

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