resumen autovectores

R. Carballo (Univ. Cantabria, 2008)

1

Autovalores y autovectores. Diagonalización

Autovalores.

Def.: Se dice que es autovalor o valor propio de

si existe

A matriz asociada respecto de la base canónica

nnf : / 0 nx

xxA

xxf

)(

)(


2

Obtención de los autovalores.

es un polinomio de grado n, denominado polinomio característico de la matriz. Tiene n raíces en total, incluyendo las reales, las complejas y sus multiplicidades.Las raíces reales son los autovalores1 y su multiplicidad como raíces se denomina multiplicidad algebraica.

0 | | la trivial dedistinta

solución tiene0 ) ( 0 con

)P(IA

xIAxxxA

||)(

1

1311

nnn aa

aa

IAP

)P(

nn1 x x y CC


3

Propiedad: Los autovalores de las matrices triangulares son los elementos de la diagonal principal.

En efecto el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal, por tanto:

niaPaaIAP

ii

nn

,,1para , 0)( por tanto )( )(||)( 11


4

Autovectores. Subespacios propios.

Def.: Se dice que es autovector o vector propio de

f correspondiente al autovalor si

o lo que es lo mismo

xxA

xxf

)(

nx


5

Def.: El conjunto de todos los autovectores correspondientes a un autovalor λ se denomina subespacio propio correspondiente al autovalor λ

siendo rλ la multiplicidad algebraica del autovalor. A la dimensión de Vλ se le denomina multiplicidad geométrica del subespacio propio.

dim 1I) ( rango- dim

I) (Ker

0 I) ( /

/ )( /

nrVAnV

AV

xAxV

xxAxxxfxVn

nn


6

Observación: Nótese que por ser Vλ subespacio, los múltiplos y combinaciones lineales de autovectores de un λ son autovectores del mismo λ.

La suma de subespacios propios es suma directa.

Dados λ1 , λ2 , , … , λm autovalores distintos, se cumple:

... 21

n

mVVV


7

Ejercicio 1: Autovalores, autovectores y subespacios propios del endomorfismo de R2 :

010)1)(2(015

22

0 | | la trivial dedistinta solución

0 ) ( 0)1( 5

0 2 )2(

5

22

15

22

IA

xIAyx

yx-

yyx

xyx-

y

x

y

x

15

22A

Polinomio característico:

Raíces reales = autovalores: 3 y 4

0122


8

Autovectores para el autovalor -4

vectorialsubespacio

del vectoreslos son 4-a asociados propios vectoresLos

000

011 ~

011

011 ~

055

022

0 ) )4(( indeterm. compatible SL elResolver

0)41( 5

0 2 )42(

45

422 4

15

22

yx

xIA

yx

yx-

yyx

xyx-

y

x

y

x

1) (1, 4V

El subespacio propio tiene dimensión 1, por tanto multiplicidad geométrica 1. (Ya lo sabíamos pues multiplicidad algebraica 1).


9

vectorialsubespacio

del vectoreslos son 3a asociados propios vectoresLos

5

2

000

025 ~

025

025

0 ) 3( indeterm. compatible SL elResolver

0)31( 5

0 2 )32(

35

322 3

15

22

yx

xIA

yx

yx-

yyx

xyx-

y

x

y

x

Autovectores para el autovalor 3

1) ,5

2(- 3V

El subespacio propio tiene dimensión 1, por tanto multiplicidad geométrica 1. (Ya lo sabíamos pues multiplicidad algebraica 1).


10

Ejercicio 2: Calcula los autovalores y subespacios propios de los endomorfismos de R3 :

133

353

331

4

000

000

000

3

00

00

00

2

100

010

001

1

A

A

a

a

a

AA

Ejercicio 3: ¿Se puede decir algo sobre los autovalores y autovectores de los siguientes endomorfismos?

f en R3 tal que Kerf = < (1,2,0), (0,3,1)>

f en R2 tal que la recta y = 6x permanece fija

f en R3 tal que los vectores del plano x+2y-3z=0 permanecen fijos.


11

Ejercicio 4: Calcula los autovalores, subpespacios propios y dimensiones de los endomorfismos de R3 :

112

014

023

200

700

185

133

364

342

812

612

614

DCBA


12

Matriz Raíces Autovalores Subespacio propiodim Vλ

(mult. geo- métrica)

A 2 doble

9

2 doble

9

V2 = < (1,2,0), (0,6,1)>

V9 = < (1,1,1) >

2

1

B -2 doble

1

-2 doble

1

V-2 = < (-1, 1 0) >

V1 = <(1, -1, 1) >

1

1

C -2

0

5

-2

0

5

V-2 =< (-58, -49, 14) >

V0 = < (8, 5, 0) >

V5 = < ( 1, 0, 0) >

1

1

1

D 1

1-2i

1+2i

1 V1 =< (0, 0, 1) > 1


13

Endomorfismos diagonalizables.

Un endomorfismo f en Rn con matriz asociada A se dice diagonalizable si cumple cualquiera de estas características equivalentes, vistas en el Capítulo 4:

• Existen matrices P inversible y D diagonal tales que A = P D P-1

• Existe base B de Rn

La matriz asociada respecto a B es:] [

0

0

)(

)(

/ },,, {

21

11

1111

21

n

nn

nnnn

n

bbbP

d

d

D

bdbf

bdbf

bbbB


14

Observamos por tanto que f diagonalizable si y sólo si existe base de Rn formada por vectores propios.

Expresado en palabras f ( o la matriz A ) diagonalizable si y sólo si todas las raíces del polinomio característico son reales y las multiplicidades algebraica y geométrica coinciden.

....

dim

dim

dim ... dim ...

21

11

1

1

nrrr

rV

rV

nVVVV

m

mm

m

m

n


15

La matriz P tiene por columnas una base de autovectores y los elementos de D son los correspondientes autovalores.

0

0

] )]([ ... )]([ )][([

] [

)( .... )( Si

1

BB2B1

21

111

m

n

n

nmn

bfbfbfD

bbbP

bbfbbf


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¿Son diagonalizables las matrices del Ejercicio 4?

Matriz Autovalores Subespacio propio ¿Diagonalizable?

Base de autovectores

A 2 doble, 9 V2 = < (1,2,0), (0,6,1) >

V9 = < (1,1,1) >

Sí,

B = { (-3,0,1),(1,2,0), (1,1,1) }

B -2 doble

1

V-2 = < (-1, 1 0) >

V1 = <(1, -1, 1) >

No

C -2

0

5

V-2 =< (-58, -49, 14) >

V0 = < (8, 5, 0) >

V5 = < ( 1, 0, 0) >

Sí,

B = {(-58, -49, 14), (8,5,0) , (1,0, 0) }

D 1 V1 =< (0, 0, 1) > No


17

Varias propiedades:

Propiedad: Si A tiene n autovalores distintos, entonces es diagonalizable.

Potencia de una matriz A diagonalizable.

Supongamos que queremos calcular la potencia k de una matriz A diagonalizable.

Entonces podemos utilizar:

A = P D P-1 => Ak = ( P D P-1) … ( P D P-1) = P Dk P-1

k veces

Dk es sencilla de obtener, porque es la matriz diagonal cuyos elementos son los originales de D elevados a la potencia k.


18

Otras propiedades: • Si s es autovalor de A y x es un autovector asociado,

entonces sk es autovalor de Ak y x es autovector asociado. Dem: Ak x = sk x

• A es singular (no inversible) si y sólo tiene el autovalor 0. Dem: Si tiene autovalor nulo |A – 0 I | = | A | = 0

• A y At tienen los mismos autovalores.• Si A y B son semejantes tienen los mismos autovalores.• Toda matriz A real y simétrica es ortogonalmente

diagonalizable. Esto significa que A se puede factorizar como A = P D P-1, siendo P una matriz ortogonal, es decir una matriz con P-1 = Pt.

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