Resumen Análisis Resumen Análisis IIII - Matemática 3 - Matemática 3

Curvas y SuperficiesCurvas y SuperficiesCurvas Superficies

Curva C : Sea C conjunto ⊂ ℝ3, C es curva si funciones ∃ x(t), y(t), z(t) definidas en [a,b] / (x,y,z) ∈ C ⇔ ∃ t [∈ a,b] / x=x(t), y=y(t), z=z(t)

Superficie S : Sea S conjunto ⊂ ℝ3, S es superficie si funciones ∃x(u,v), y(u,v), z(u,v) definidas en dominio elemental D ⊂ ℝ2 / (x,y,z) ∈S (⇔ ∃ u,v) ∈ D / x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)

Parametrización: γ:[a,b]→ℝ3, σ(t)=(x(t), y(t), z(t)) parametriza C T:D→ℝ3, T (u,v)= (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) parametriza SCurva Simple: No se corta a sí misma = admite param. inyectiva. Abierta Simple: No se cruza. Cerrada Simple: Se une en 1 punto

Superficie Orientable: Superficie S es orientable si ∀ P ∈ S hay una forma de elegir un único versor normal v(P) continuo en S (sólo si tiene 2 caras diferentes). Ej. cinta de Moebius no es orientable

Parametrización Regular: Es una parametrización γ:[a,b]→ℝ3, biyectiva, ��1, con γ'(t) ≠ 0 ∀ t ∈ [a,b]. Si C cerrada, requiere inyectiva en [a,b) y que γ(a)=γ(b) y γ'(a)=γ'(b)

Parametrización Regular: Es una parametrización T: D ⊂ ℝ2→ℝ3, inyectiva, ��1, con Tu⨯Tv ≠ 0 (∀ u,v) ∈ D

Recta Tangent e L : Sea C curva, P0 ∈ C, L recta tangente a C en P0 si pasa por P0 y es el límite de las rectas secantes a C por P0. Recta secante: recta que pasa por P y P0 (P ∈ C). Límite: Ángulo entre L y secante por P y P0 → 0 cuando P → P0

Plano Tangent e Π 0: Sea S superficie, P0 ∈ S, Π0 un plano que pasa por P0 y v0 vector a ⊥ Π0 de norma 1. Π0 es plano tangente a S en P0 si ∀recta que pasa por P y P0 con P ∈ S tiende a ser a ⊥ v0 cuando P → P0, o si

P−P0

∥P−P0∥⋅v0→0 cuando P→P0, con P ∈ S.

Ecuación Recta T an g ente : L= γ(t0) + t γ'(t0) Ecuación Plano T an g ente .: Si v0 = (a,b,c), y P0=(x0, y0, z0), Π0: a (x-x0) + b (y-y0) + c (z-z0) = 0

Dirección de Recta Tangente es γ ' ( t ) : Si C curva que admite parametrización regular γ:[a,b]→ℝ3 ⇒ C tiene recta tangente L en P0= γ(t0) y L tiene dirección del vector γ'(t0)

Dirección ⊥ a Plano Tangente es T u⨯ T v: Sea S superficie. Si ∃parametrización regular T:D ⊂ ℝ2→ℝ3 , el plano Π0 que pasa por P0 = T (u0,v0) determinado por Tu y Tv es tangente a S en P0. Dirección del

normal: v 0=T u (u0, v0)×T v(u0,v0)

∥T u (u0, v0)×T v(u0,v0)∥

Curva Suave: Sea C una curva, C es suave si tiene recta tangente en todos sus puntos que varía con continuidad, LP → LP0 cuando P→P0. Si C tiene parametrización regular ⇒ C es una curva suave.

Si C suave, tiene recta tangente en todos sus puntos.

Superficie Suave S : Sea S una superficie, S es suave si tiene plano tangente en todos sus puntos y la recta L(P) al plano tangente var⊥ ía continuamente con P. Si S tiene parametrización regular ⇒ S es una superficie suave.

Reparametrización: Sea C curva abierta, simple, suave, γ:[a,b]→ℝ3 parametrización regular de C, h:[a,b]→[c,d] una biyección ��1 con h' (t) ≠ 0 ∀ t ∈ [a,b]. Sea σ:[c,d]→ℝ3 = σ(r) = γ (h-1(r)) ⇒ σ es una parametrización regular de C y una reparametrización de γ.

Sea S superficie suave, y T: D ⊂ ℝ2→ℝ3 param. regular de S. Sea D1 ⊂ ℝ2 dominio elemental y G: D1 → D una biyección, ��1, con Jacobiano no nulo. Sea T1: D1→ℝ3, T1 (r,t) = T (G (r,t)) ⇒ T1 es una parametrización regular de S, y es una reparametrización de T.

Si σ y γ parametrizan C, γ reparametrización de σ Si T 1 y T 2 parametrizan C, T 2 reparametrización de T 1 Long. de curva igual a integral de || γ ' || : C curva abierta, simple, suave.

γ: [a,b] → ℝ3 parametrización regular de C Long (⇒ C) =∫a

b∥γ ' (t )∥dt

Área de superficie igual a integral de T u⨯ T v: S superficie suave, T: D ⊂ ℝ2→ℝ3 param. regular de S Área (⇒ S) =∬

D∥T u×T v∥du dv

Integral de longitud de arco: Sea C curva abierta, simple, suave, γ:[a,b]→ℝ3 parametrización regular de C. f función continua sobre C ⇒

∃ limn→∞∑k=0n−1 f ( Pk)Δ lpara cualquier elección de Pk en el arco de

curva entre Pk y Pk+1 = ∫Cf ds=∫a

bf (γ(t ))∥γ ' (t )∥ dt .

Integral de Superficie: Sea S superficie suave que admite parametrización regular T: D ⊂ ℝ2→ℝ3, f: S→ función continua. ℝIntegral de superficie de f en S es

∬S

f dS=∬D

f (T (u , v )) ∥(T u×T v)(u , v )∥ du dv

Integral de longitud de arco es independiente de la parametrización Integral de s uperficie es independiente de la parametrización Circulación o Integral Curvilínea: Sea C curva abierta, simple, suave, γ:[a,b]→ℝ3 parametrización regular de C que la orienta. Sea F campo vectorial continuo sobre C. Integral curvilínea del campo F sobre la

curva C es ∫CF⋅d s=∫a

bF (γ(t ))⋅γ ' (t) dt .

Notación: ds=γ'(t) dt=dx x+dy y+dz z . Forma diferencial: Si F=(P,Q,R), ∫C F⋅d s=∫C P dx+Q dy+Rdz=∫a

b (P dxdt+Q dy

dt+R dz

dt)dt

Flujo: Sea S superficie suave, orientada por el campo de versores normales ν(P), F un campo vectorial ��1 sobre S, T:D⊂ℝ2→ℝ3 parametrización regular de S. Flujo de F a través de S es

∬S

F⋅d S=∬S(F⋅v)d S=∬

DF (T (u ,v ))⋅(T u×T v)(u ,v ) du dv

es simplificación de ∬D (F⋅v) (T ( u , v)) ∥(T u×T v )(u , v )∥ dudv.Notación: dS=ν dS

Algunos Teoremas de Curvas y SuperficiesDirección de Recta Tangente es γ ' ( t ) : Demo: Sea Pn→P0 con Pn ∈ C ∀ n. Llamo SPn P0 a la recta secante que pasa por Pn y P0. Para cada n ! ∃ tn ∈ [a,b] / Pn = γ(tn). Análogamente, t0 ∈ [a,b] es el único punto t ∈ [a,b] /P0 = γ(t0). SPn P0 tiene dirección γ(tn)- γ(t0), que es igual a la del vector 1

tn−t0γ (t n)−γ (t0),

que a su vez converge a γ'(t0). Propiedades de long. de curva: γ∈��1, inyect. Llamo Λ(a,b) longitud de la curva C=γ([a,b]) ⇒ i) Λ(a,b)>0 si a<b y ii) Si a<c<b⇒Λ(a,b)=Λ(a,c)+Λ(c,b)

Long itud de curva es igual a integral de || γ ' || : Demo: Quiero ver que Λ(a,b) =∫ab∥γ ' (t )∥dt. Por prop. de long de curva, Λ(a, t+h)-Λ(a,t) = Λ(t, t+h).

① ∥γ(t+h)−γ (t )∥⏟Long. rectaentre γ (t+h)y γ( t)

≤Λ(t , t+h)≤∫t

t+h∥γ ' (t )∥⏟

Cota superior de Λ

②. Divido por h y h→0, = ① ② ⇒ limh→0Λ(a ,t+h)−Λ(a ,t)

h=∥γ' (t )∥ la función ⇒ Λ(a,t) es una primitiva de

||γ'(t)||. Como Λ(a,a)=0, Λ(a,t)=∫at ∥γ ' (s)∥ds

Integral de Superficie I ndependiente de P arametrización . Sea S superficie suave que admite dos parametrizaciones regulares T:D⊂ℝ2→ℝ3 y T1:D1 ⊂ ℝ2→ℝ3, f: S→ continua ℝ ⇒∬

Df (T (r , s)) ∥(T r×T s)∥ dr ds=∬

D1

f (T 1 (u ,v )) ∥(T 1u×T 1v)∥ du dv .

Demo: Sea T(r,s)=(x(r,s), y(r,s), z(r,s)). Sabemos que biyección ∃ G:D1 → D ∈ ��1 con Jacobiano no nulo G(u,v)=(r (u,v), s (u,v)) /T1

(u,v)=T(G(u,v)) (∀ u,v)∈D1. Por regla de la cadena, DT1 (u,v)= DT(G(u,v)) DG(u,v) ⇒ T1u= Tr ru +Ts su y T2u= Tr rv +Ts sv. ⇒ T1u⨯T1v =(Tr⨯Ts)

det(DG(u,v)). Así, ∬D1

f (T 1(u ,v ) ) ∥(T 1u×T 1v)∥du dv=∬D1

f (T (G (u , v)) ) ∥(T r (G (u , v))×T s(G (u , v)))∥∣DG (u ,v )∣du dv= (por teorema de

cambio de variable en ℝ2) ∬D

f (T (r , s)) ∥(T r (r , s)×T s (r , s))∥dr ds

DT1 =

[x r x s

y r y s

zr z s]⏞DT (G (u ,v ))

[ru rv

su sv]⏞DG (u , v )

Teorema del Valor Medio en Superficies: Sea S superficie suave con parametrización regular, f: S→ continua ℝ ⇒∃ P0 ∈ S / ∬S f dS= f (P 0)Area (S )

Resumen Análisis II - Matemática 3 Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC UBA - FCEN - Página 1

Teoremas del Cálculo VectorialTeoremas del Cálculo VectorialDivergencia: div F o ∇⋅F. Si F=(P,Q,R), ∇⋅F= Px + Qy + Rz. Es el flujo por unidad de volumenRotor: rot F o ∇⨯F. Si F=(P,Q,R), ∇⨯F= (Ry−Q z ) x+(P z−Rx) y+(Qx−P y) z . Es la circulación por unidad de área

Teorema de Green. Sea D ∈ ℝ2 región de tipo III (I y II al mismo tiempo). F:D→ℝ2 campo vectorial ��1, F = (P(x, y), Q(x, y)). Si oriento positivamente (camino con D a la izquierda) ∂D = C+ ⇒ ∮

C+ F⋅d s=∬

D(Qx−P y)dx dy .

Demo: Si D:{(x,y) / x [∈ a,b], g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}, región de tipo I, y P=(P(x, y),0), C+=C1+ + B1

+ + C2- + B2

-.

∫B1 + P⋅d s=∫

B2 - P⋅d s=0. Parametrizo C1 con γ1= (x, g1(x)), x [∈ a,b].∫C1+ P⋅d s=∫a

bP (γ1 (x))⋅γ1 ' (x)dx=∫a

bP (x , g 1( x))dx.

Idem C2- ⇒∫C + P⋅d s=∫a

b

[P (x , g 1( x))−P (x , g 2 ( x))]dx . Por otro lado, ∬DP y dx dy=∫a

b

∫g1(x )

g2( x)P y (x , y)dydx . Por TFCI, =

∫a

b

[P (x , g2 ( x))−P (x , g 1( x ))]dx. ⇒∫C

+ P⋅d s=∬D−P y dxdy . De modo similar, usando que D es región de tipo II, con

Q=(0, Q(x, y)) pruebo que ∫C

+ Q⋅d s=∬D

Q x dx dy. Defino F=P + Q. x

y

a b

B1

+

C2

-=g2(x)

B2

- D

C1

+=g1(x)

∂D=C+

Teorema de Stokes. Sea D ∈ ℝ2 región de tipo III, S superficie suave orientada por T:D→ℝ3 param. regular biyectiva en D (Teorema de Stokes para gráficas: S definida por f :D→ /ℝ z=f (x,y)⊂��2 ). Sea ∂S frontera orientada de S y F:S→ℝ3 campo ��1 ⇒ ∬

S(∇×F )⋅d S=∮

∂ SF⋅d s .

Demo: Para S gráfica de f: F=(P,Q,R), T(x,y) = (x, y, f (x,y)) ⇒ Tx⨯Ty = (-fx, -fy,1). Parametrizo ∂D con γ:[a,b]→ℝ2/ γ(t)=(x(t), y(t)), y ∂S con σ:[a,b]→ℝ3/ σ(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Expando rotor:∬

S(∇×F ( x , y , f ( x , y )))⋅(- f x , - f y ,1)dS=

∬D(- (Ry -Qz) f x -(P z - Rx) f y+(Q x - P y))dA①. Por otro lado,∮

∂S

F⋅d s=∫a

b

P ( x (t) , y (t ) , f ( x (t) , y (t))) x ' (t )⏟dx

+Q y '⏟dy

+R ( f x x ' + f y y ' )⏟dz

dt

=∫a

b

[(P+R f x) x' +(Q+R f y) y ' ]dt. Defino P=P+R f x y Q=Q+R f y. Por Green, = a∬D[ ∂∂ x(Q+R f Y )−

∂∂ y(P+R f x)]dA.

Expandiendo y tomando en cuenta que ∂∂ x Q (x ( t) , y (t) , f (x (t) , y (t)))=Q x x '+Q z f x llego a ①. Para S con parametrización general

T, si γ parametriza ∂D, defino σ:[a,b]→ℝ3/ σ(t)=T(x(t), y(t)), con la orientación de ∂S inducida por σ.

D∂D

S∂S

y

x

z n

Teorema de Gauss. Sea V una región elemental simétrica, ∂V=S superficie cerrada orientada, F:V→ℝ3 campo vectorial ��1, n normal exterior de S ⇒ ∭

V(∇⋅F )dV=∯

∂V=SF⋅ndS

Demo: F=(P,Q,R) ⇒ ∇·F = Px + Qy + Rz. ∭V

(∇⋅F )dV=∭V

(P x+Q y+Rz)dV . ∯∂V

F⋅ndS=∯∂V

(P x⋅n+Q y⋅n+R z⋅n)dS .

Pruebo que∭V

R zdV=∯∂V

R z⋅ndS , las otras dos por analogía. V región elemental ⇒ ∃ f1 y f2 /V: f1(x,y) ≤ z ≤ f2(x,y) con

(x,y)∈D ⇒∭VR zdV=∬D (∫ f 1 (x , y )

f 2 (x , y )Rz dz)dx dy. Por TFCI =∬

D[R (x , y , f 2( x , y))−R( x , y , f 1( x , y ))]dx dy①. ∂V=S1 + S2 + S3.

S 3⊥ z⇒ n3⋅z=0 ⇒∯∂V

R z⋅ndS=∬S1

R z⋅n1dS +∬S2

R z⋅n2 dS . Parametrizo S1 con T1:D→ℝ3 / T1(x,y)=(x, y, f1(x, y)) ⇒

∬S1

R z⋅ndS=∬D

R (x , y , f 1( x , y)) z⋅( f 1x x+ f 1y y - z)⏟- (T 1x×T 1y)(apunta en - z)

dA=∬D

- R (x , y , f 1( x , y)) dx dy , ídem con S2 (normal apunta +z) y llego a .①

S1

VS

2

S3

D

∂D

∂V=S1+S

2+S

3

yx

z n2

n3

Teoremas de Campos Conservativos. Sea F campo vectorial ��1 (salvo en un número finito de puntos). Son equivalentes:

i) Para cualquier curva orientada cerrada y simple C, ∮C F⋅d s=0 ii) Para 2 curvas con los mismos extremos C1 y C2 ∫C1 F⋅d s=∫C2 F⋅d s

iii) F es el gradiente de alguna función f ⊂ ��2: F= ∇f iv) ∇⨯F = 0

Demo: i) ⇒ii). Sean γ1 y γ2 parametrizaciones de C1 y C2. Construyo curva cerrada C recorriendo C1 y -C2. Si C es simple, se verifica i). ii)⇒iii) Sea C curva que une 2 puntos cualesquiera, por ej. 0 con (x,y,z), F=(P, Q, R). Defino f (x,y,z) =∫C F⋅d s,

independiente de C. Elegimos C trayectoria de la figura. f(x,y,z)=∫0

xP (t ,0,0)dt+∫0

yQ(x ,t ,0)dt+∫0

zR(x , y ,t )dt . Por TFCI,

fz=R. Utilizando trayectorias ≠, llego a fx=P y fy=Q. iii)⇒iv) Por propiedades del rotor, ∇⨯F = ∇ (⨯ ∇f ) = 0. iv)⇒i) Por Stokes,

∮C

F⋅d l=∬S(∇×F )⋅d S=0.

y

x

z(x,y,z)

(x,y,0)(x,0,0)

(0,0,0)

Ecuaciones Diferenciales OrdinariasEcuaciones Diferenciales OrdinariasTeorema de existencia y unicidad: Sea F(t,X): I⨯Ω→ , con ℝ I intervalo abierto y ∈ ℝ Ω ∈ ℝn conjunto abierto, F continua en t y localmente Lipschitz en variable X en I⨯Ω ⇒ el sistema {X'=F(t,X) y X(t0)=X0} con t0 ∈ I y X0 ∈ Ω, admite siempre una solución ��1, única en [t0-δ, t0+δ] Función localmente Lipschitz : Continua en t y en X y cte. ∃ L / ||F(t,X)-F(t,Y)|| ≤ L ||X-Y|| ∀ t ∈ I, X,Y ∈ Ω

Ecuaciones de 1 Variable de 1er Orden

Forma E stándar : x'= f (t,x), x = x(t) (o y'= f (x,y), y = y(x) ) Forma Diferencial: P(t,x) dt + Q(t,x) dx = 0 ( f (t , x)=− P( t , x )Q (t ,x ) )

Variables Separables: P(t,x) = P(t), Q(t,x) = Q(x) : f (t , x)= P (t)Q (x )= x'⇒ dx

dt= P ( t)

Q(x )⇒∫Q(x)dx=∫ P (t )dt

Homogénea de grado n: x'=f (t,x), y f (λt, λx) = λn f (t,x) ∀ λ ∈ ℝ. Para ecuaciones homogéneas de grado 0, reemplazando x(t)=z(t) t o z(t)=x(t) t lleva a variables separadas.

Si P(t,x) dt +Q(t,x) dx=0 con P y Q ambas homogéneas de grado n ⇒ f (t,x) es homogénea de grado 0.

Tipo x'= f(at + bx +c): Reemplazo z=at+bx+c y se convierte en ecuación de variables separables.

Tipo x' = f ( at+bx+cdt+ex+ f

): Si ae-bd ≠ 0, reemplazo x=z-k y t=s-h y elijo k y h para que resuelvan {ah+bk =c , dh+ek =f } se convierte en ec. homogénea de gr. 0⇒

Exactas: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 y ∂P (x , y )∂ y =

∂Q(x , y)∂ x (o Py=Qx) ⇒ ∃ f (x,y) / ∂ f

∂ x=P , ∂ f

∂ y=Q (o (P,Q)= ∇f (x,y) ). Solución implícita: f(x,y) = 0.

Si Py ≠ Qx, uso f actor Integrante : función μ (x,y) / (μP)y = (μQ)x , y μ (P dx + Q dy) = 0 pasa a ser exacta. En ppio todas EDO se pueden hacer exactas.

Si μ depende solo de x ó y: Si 1Q (P y−Q x)=g (x), μ depende de x y μ(x)=e∫ g (x)dx. Si 1

P (P y−Q x)=h (y), μ depende de y y μ( y)=e−∫ h(y )dy.

Lineales: x'+a(t) x=q(t). Uso μ(t)= e∫a (t )dt De Bernoulli: y'+P(x) y =Q(x) yn. Uso z= y1-n ⇒ z '1−n+P (x ) z=Q(x)

Sistemas Lineales de 1er Orden y Ecuaciones de Orden nSistemas Lineales de Ecuaciones de 1er Orden.Forma g eneral :X' = A(t) X + F(t) con X(t0) = X0. X, F:I→ ℝn, I intervalo abierto , ∈ ℝ ai j (t) funciones continuas en I y A(t)=(ai j (t)) matriz ∈ ℝn⨯n. Si F(t)=0 se llama homogéneo, caso contrario no homogéneo. Si A(t) es cte, se llama de coeficientes constantes, si no de coeficientes variables.

Resumen Análisis II - Matemática 3 Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC UBA - FCEN - Página 2

Soluciones de un sistema lineal homogéneo son E.V. : El conj. ��de soluciones de un sistema lineal homogéneo de n⨯n: X'=A(t) X es un E.V. de dim n. Demo: (1) Es un subespacio: i) Cerrado en la suma: Si X1 y X2 son dos soluciones y X= X1+X2 (X:I→ℝn / X=X1+X2) ⇒ X' = X1' + X2' = A X1 + A X2 = A(X1+ X2) = A X. ii) Cerrado en mult. por escalar: Si X=c X1, c ∈ℝ ⇒ X' = cX1' = c A X1 = A (cX1) = AX. (2) Tiene dimensión n y genera. i) Dim n : Construyo un conj. C={X1, … Xn} / Xi (t0) = ei ({e1,... en} base canónica). Las funciones Xi son l.i. porque hay un punto (t0) en las que son l.i. ⇒ C es l.i.. i i ) Genera : Sea X ∈ ��una solución cualquiera con X(t0)=ξ ∈ℝn. ξ se puede escribir como combinación de vectores canónicos: ξ = ∑i=1

n αi ei. Propongo W (t)=∑i=1

n αi X i(t ) con Xi ∈ C. W(t) ∈ ��, y como W(t0) = X(t0), por unicidad W(t) = X(t) ∀ t ∈ I ⇒ C genera ��.S oluci o nes de un sistema homogéneo son funciones l.i. ⇔ evaluadas en un punto son l.i. : Sea X' =A(t) X sistema de ecs. de n⨯n, t0 ∈ I cualquiera, C={X1(t), X2(t), …, Xn (t)} un conjunto de n soluciones del sistema ⇒ Funciones de C son l.i. ⇔ vectores {X1(t0), X2(t0), …, Xn (t0)} son l.i.Demo: ⇐) Por definición de indep. lineal de funciones, si son l.i. en un punto, son l.i.. Detalle: quiero ver que c1 X1(t) +...+ cn Xn (t)=0 implica c1 =…=

cn = 0. Evalúo en t=t0 y planteo c1 X1(t0) +...+ cn Xn (t0)=0, como por hipótesis estos vectores son l.i., c1 =…= cn = 0 ⇒ C es l.i. )⇒ Planteo c1 X1(t0) +...+ cn Xn (t0)=0 quiero ver que c1 =…= cn = 0. Sea W(t)=c1 X1(t) +...+ cn Xn (t), W(t) es una solución para datos iniciales W(t0)=0 ⇒W'(t0)=A(t0) W(t0)=0 ⇒W(t)=0 ∀ t y es ! por teorema unicidad. Esto es, c1 X1(t) +...+ cn Xn (t)=0 ∀ t. Como por hipótesis las funciones Xi son l.i., c1 =…= cn = 0 vectores l.i.⇒

Matriz fundamental Q (t) :Tomo n soluciones del sistema de n⨯n X'=A(t) X: {X1(t), X2(t), …, Xn (t)} y armo matriz Q(t) ∈ ℝn⨯n con Xi (t) como columnas de Q. Si det (Q(t0)) ≠ 0 para algún t0 ∈ I ⇒ det (Q(t)) ≠ 0 ∀ t ∈ I (esto no necesariamente vale siempre, sí con soluciones de un sist. homogéneo por teorema de y !∃ ). Si det (Q(t))= 0, las soluciones son l.i. y Q(t) se llama una matriz fundamental del sistema. Se cumple Q' (t)=A(t) Q(t)

Método de r educción del o rden . Sirve para encontrar una solución homogénea a una ecuación lineal de 2do orden con coeficientes variables si ya tengo una solución. Ej. x'' +p(t) x'+q(t) x=0, con x1(t) solución. Propongo x2(t)=z(t) x1(t) y reemplazo: (z'' x1+2 z' x1'+z x1'') + p(t) (z' x1 + z x1') + q(t) (z x1) = x1 z'' + (2x1'+p(t) x1) z' + (x1'' + p ( t ) x 1' + q ( t ) x 1) = 0. (...)= 0 por ser x1 solución, resuelvo para ⇒ z (t )=∫ x 1(t )

−2e−∫ p( t)dt dt y obtengo x2(t).

La solución general de un sistema no homogéneo es X ( t )= X H( t ) + X P( t ) : Sea X' = A(t) X + F(t), si X es solución se puede escribir como ⇒ X=XH +XP, con XH es la solución general del sistema lineal homogéneo asociado y XP una solución particular.Demo: Sea XP una solución particular y sea X otra solución. Sea Y= X-XP ⇒ Y'=X'-XP' = A(t)X+F(t) - (A(t)XP + F(t)) = A(t)(X+XP)=A(t)Y ⇒ Y es solución del sistema homogéneo asociado. Sea Y una solución del sistema homogéneo asociado, y sea X=XP+Y ⇒ X'=XP' +Y'= A(t)XP+F(t) + A(t)Y = A(t)(XP+Y)+F(t)=A(t)X+F(t) ⇒ X es solución del sistema no homogéneo.

Métodos de obtención de Soluciones Particulares1. Variación de las constantes o de los parámetros : Sirve para sistemas lineales con coeficientes variables tipo X'= A(t) X + F(t). Sea {XH1, XH2 , …,XHn} base de soluciones homogéneas y Q matriz fundamental. Propongo XP = Q(t) C(t) =c1(t) XH1 + c2(t) XH2 + …+ cn(t) XHn con C(t) =(c1(t), …, cn(t)) ∈ ℝn . Quiero XP'= A XP + F ⇒ Q' C + Q C' = A Q C + F. Pero Q'=AQ ⇒ Q' C + Q C' = Q' C + F ⇒ Q C' = F. Basta elegir C / C'=Q-1 F → integro C'(t) (ignoro constantes de integración porque busco una sola solución particular) y XP = Q CEj. 1 . x''+x= sin t Paso a sistema y obtengo

sols. homogéneas: (x1 '

x2 ')=( 0 1-1 0)(x1

x2)+( 0

sin t). X H1=(cos t ,- sin t)X H2=(sin t ,cos t)

⇒ Q=( cos t sin t- sin t cos t). C'=Q-1F=(cos t - sin t

sin t cos t )( 0sin t)=(- sin t 2

sin t cos t). C=∫C '=(

sin2t4 −

12 t

- sin t ). Así queda XP=Q C=( cos t sin t- sin t cos t)(

sin 2t4 −

12 t

- sin t ) y la solución general: X=(x1

x2)=d 1( cos t- sin t)+d2(sin t

cos t)+X P

Ej. 2 . x''-x=t2 Resuelvo sin pasar a sistema. En gral si xH1 y xH2 son sols. hom. l.i. y f (t) térm. indep., resuelvo c1' y c2' para

{c1 ' xH1+c2 ' xH2=0c1 ' xH1 '+c2 ' xH2 '= f (t )

luego integro c1' y c2' y reemplazo en xP= c1 xH1+c2 xH2.

En este caso xH1= et, xH2= e -t y f (t) =t2. Propongo xP= c1(t) et+c2(t) e-t. Busco c1(t) y c2(t) / {c1 ' et

+c2 ' e−t=0

c1 ' et−c 2' e−t

=t 2. Integrando queda c1=-( t 2/2+ t+1)e -t

c2=- (t 2/2−t+1)et

y xP=-t2-2. La solución general: x= xH + xP = d1 et

+ d2 e-t - t2 -2

2 . Coeficientes Indeterminados : Sirve para sistemas lineales con coeficientes constantes tipo X'= A X+F(t), cuando F(t) es un polinomio, exponencial, seno, coseno ó alguna combinación lineal de éstos. Puedo analizar cada término separadamente. ① Si F no contiene términos de XH (base de soluciones homogéneas), propongo XP combinación lineal de los términos de F y sus derivadas l.i.. ② Si F contiene un término que es tn veces algún término de XH (ignorando constantes), propongo XP combinación lineal de t n+1 veces ese término y sus derivadas l.i.. ③ Si el pol. caract. de A tiene una raíz r-múltiple y F contiene un término que es t n veces un término de XH obtenido de esa raíz, propongo XP combinación lineal de t n+r veces ese término y sus derivadas l.i.. En los tres casos, incorporo XP propuesto en la ec. diferencial, derivo y resuelvo los coeficientes.

① x''+4x'+4x=4t2+6et. xH=(c1+c2 t)e-2t. Propongo xP=A t2+B t+C+D et. Incorporo en ecuación, derivo y resuelvo: A=1, B=-2, C=3/2, D=2/3 ② x''-3x'+2x=2t2+3e2t. xH=c1et+c2 e2t. e2t en xH y en F. Propongo xP=A t2+B t+C+D t e2t. Resuelvo: A=1, B=3, C=7/2, D=3 ③ x''+4x'+4x=3te-2t. xH=c1e-2t+c2 t e-2t. te2t surge de la raíz doble y está en F. Propongo xP=At3e-2t+Bt2e-2t. Ignoro te-2t y e-2t que ya están en xH. A=1/2, B=0

Resolución de sistemas lineales homogéneos de coeficientes constantes de 2⨯2Sea X'=AX, con A ∈ ℝ2x2. Existen 3 casos posibles de solución, dependiendo de los autovalores de A:

①

Autovalores reales diferentes . Diagonalizo A: A=C.D.C-1, con D matriz diagonal de autovalores λ1 y λ2, y C matriz de cambio de base {V1, V2} (vectores como columnas). V1 = (v11, v12) y V2 = (v21, v22) autovectores de A de autovalores λ1 y λ2 respectivamente.

D=[λ1 00 λ 2], C=[v11 v21

v12 v22]. Defino Y= C-1X ⇒Y'=D.Y ó {y1 '=λ1 y1

y2 '=λ2 y2

Solución para Y {y1=c1 e λ1t

y2=c2 e λ2tSolución para X

X=C.Y ó[ X ]=c1 eλ 1t [V 1 ]+c2 e λ2t [V 2]

②

Único a utovalor (doble) : Paso A a forma de Jordan: A=C.J.C-1, con J matriz de Jordan de autovalor λ, C matriz de cambio de base {W, V} (vectores como columnas), V autovector de A, W autovector generalizado de A: cumple (A-λI)W=V (para encontrar componentes de W resuelvo este sistema).

J=[ λ 01 λ], C=[w1 v1

w2 v2]. Defino Y=C-1X ⇒Y'=J.Y ó {y1 '=λ y1

y2 '= y1+λ y2

Solución para Y: {

y1=c1e λt

y2=c1 t e λt

⏟Sol Part

+ c2 e λt

⏟Sol Homog

Solución para X:

X=C.Y ó[ X ]=c1e λ t([W ]+t [V ])+c2e λt [V ]

③

Autovalores complejos diferentes . λ1=a+ib=λ, λ2=λ. Tomo λ=λ1. Paso A a forma matricial del número complejo λ: A=C.M.C-1 con M forma matricial de λ, y C matriz de cambio de base {Im[V],Re[V]} (vectores como columnas), V = (v1,v2) autovector de λ.

M=[a -bb a ], C=[Im(v1) Re(v1)

Im(v2) Re(v2)]. Defino Y=C-1X ⇒Y'=M.Y ó {y1 '=a y1−b y2

y2 '=b y1+a y2

Solución para Y: {y1=ea t[c1 cos(bt )−c2sin (bt)]=ea t ρ0 cos(bt+θ0)

y2=ea t[c1sin (bt )+c2 cos(bt )]=ea t ρ0 sin (bt+θ0)

Solución para X: X=C.Y ó [ X ]=c1 Re [ X C]+c2 Im [ X C] con [ X C]=e λ t[V ]. Expando e λ t =e (a+ib) t como e a [cos(bt) + i sen(bt)]

Ecuaciones lineales de orden nForma g eneral de e cuación de orden n : x(n) + an-1(t) x(n-1) + an-2(t) x(n-2) + … + a1(t) x' + a0(t) x = f (t). Ecuaciones de orden n son equivalentes a sistemas de n ⨯ n : Puedo transformar ecuación de orden n a sistema de n⨯n definiendo:x1(t)=x(t), x2=x'(t)=x1'(t), x3=x''(t)=x2'(t) , …., xn (t) = x(n-1) (t) ⇒ xn'= -an-1(t) xn

- an-2(t) xn-1 - … - a1(t) x2

- a0(t) x1 + f(t). Ej. x'' + a x' + b x = f(t).Para pasar a sistema defino:

X (t)=[x1

x2]x1=x( t)x2=x ' (t)=x1 ' (t)

y reescribo la ecuación como sistema: [x1

x2]'

=[ 1 0- a -b][x1

x2]+[0

f (t )]Así pruebo y !∃

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Resolución de ecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constantes de grado 2

x+2b x+ω02 x=F (t) , xh (t)=Ae

λ1t+B e

λ2t

λ1,2=−b± √b2−ω02⏟

α(discriminante)

, ω=√ω02−b2

b>ω0 Sobreamortiguado xh(t)=e -bt (A e αt + B e -αt) Antioscilador

b<ω0 Subamortiguado xh(t)=e -bt (A e i ωt + B e -i ωt)=A1 e -bt cos (ωt+ φ0) x−ω02 x=F (t )

xh(t)=Ae ω0 t+Be ω0 t

b=ω0 Amortig. Crítico xh(t)=e -bt (A+ B t)b=0 Osc. Armónico xh(t)=A e i ω0 t + B e -i ω0t= A1 cos (ω0t+ φ0)

Diagramas de Fase

Caso : Uso base {① V1, V2}x'=λ1 xy'=λ2 y

solución⇒x(t) = c1 eλ1 t

y(t)= c2 eλ2 t y =c2 (x/c1) (λ2 / λ1) Solución real [X] = x(t) [V1] + y(t) [V2], con [X ]=[x1

x2]

signo λ1 = signo λ2 signo λ1 ≠ signo λ2 Ej. Solución real

|λ1|<|λ2|

flechas:λ1,2 > 0λ1,2 < 0

x

y

|λ1|>|λ2|

flechas:λ1,2 > 0λ1,2 < 0

x

yflechasλ1 < 0λ2 > 0

λ1 > 0λ2 < 0

x

y

x

V1

V2

y

Caso : Uso base {② W, V}x'=λxy'= x+λy

solución⇒x(t) = c1 eλt

y(t)= c1 t eλt +c2 eλt ⇒ y=x( 1

λ ln ( x /c1)+c2

c1) Solución real [X] = x(t) [W] +y(t) [V]

Caso: Uso base {③ Im(V), Re(V)}. λ=a+ibx'=ax - byy'= bx+ay

solución⇒ [ x(t )y(t )]=ea t[cos(bt ) −sin (bt )sin (bt) cos(bt) ][c1

c2]= ea t ρ0[cos (bt+θ 0)

sin (bt+θ 0)] c1

c2

θ0

ρ0

Caso ② Caso ③λ > 0 λ < 0 a > 0, b > 0 a < 0, b < 0 a < 0, b > 0 a > 0, b < 0

x

y

x

y y

x x

y y

x

y

x

Puntos de equilibrio y linearización de sistemas no linealesPunto de equilibrio: Sea X'=F(X) con X(t0)=X0, un punto de equilibrio es un cero de F(X).Teorema de estabilidad lineal: Sea F un campo ��1 en ℝ2, y X0 un cero de F. Si Y=X-X0, DF(X0) no tiene autovalores con parte real 0, el diagrama de fases del sistema X'=F(X) en un entorno de X0 es “localmente igual” al del sistema Y'=DF(X0) Y cerca de Y0=0. Si todos los autovalores de DF(X0)

tienen parte real < 0, las trayectorias que pasan cerca de X0 tienden a X0 con t→+∞. Si todos tienen parte real > 0, se alejan de X0. Si tiene un autovalor > 0 y otro < 0, por algunas trayectorias se acerca, y por otras se aleja.

Resumen Tipos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sistemas lineales de 1er orden de n⨯n y ecuaciones lineales de orden n

Coeficientes variables

Coeficientes constantes

De 2 2⨯ X'=A.X / x''+ax' +bx=0

De n⨯ n(n > 2)

De orden > 2

X'=A(t).X /x''+a(t)x'+b(t)x=0

Hom

ogén

eos

No

hom

ogén

eos

● Las soluciones son un espacio vectorial de dimensión n● Ecuaciones de orden n se pueden representar como sistemas

● Las solución es la suma de una sol. particular y una homogénea● Métodos para encontrar la solución particular:

Ecuaciones cotinuas y localmente Lipschitz

X'=A.X+F(t)/x''+ax' +bx=f(t)

Autovalores ℂ Discrim. < 0

Autovalor doble Discrim. = 0

De orden 2

Autovalores ℝ Discrim. > 0

● Mét. reducción del orden

Teorema de existencia y unicidad (Picard) (Funciones Lipschitz y lema de Gronwall)

Ecs. de variables separables

Ecuaciones exactas

Ecs. convertibles en exactas (en ppio todas)

Ecs. convertibles en var. separables

Ecs. homogéneas de grado 0

Ecs. convertibles en hom. gr. 0

ej: x'= f (at+bx+c)

P(t) dt+Q(x) dx=0

f (λt, λx) = f (t,x)

Factor integrante μ

∂P (x , y)∂ y

=∂Q(x , y)∂ x

Ecuaciones de 1 variable de 1er orden Ecuaciones de varias variables y de orden > 1

Ecs. lineales

Ecs. convertibles enlinealesej:Bernouilli

y'+h(x) y =g(x)

Lin

eale

s

Sistemas no lineales de n⨯n y ecuaciones no lineales de orden n

No

Lin

eale

s X'=A(t).X+F(t)/x''+a(t)x'+b(t)x=f(t)

● M. fundamental en sistemas

● Wronskiano en ecs. orden n

− Variación de parámetros

− Coeficientes indeterminados

● Puntos de equilibrio y linearización

Resumen Análisis II - Matemática 3 Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC UBA - FCEN - Página 4

Apédice Apédice FórmulasFórmulas Integrales De función escalar f ( r) De campo vectorial F ( r )

SimpleIntegral simple = escalar

∫ f (t )dt=k

Integral simple sobre un campo - vector por dt = vector

∫ F (t )dt=∫F 1(t )dt x+∫ F2( t)dt y+∫ F 3(t )dt z

Curva

Integral de línea = escalar

∫Cf ( r )dl=∫a

bf (γ (t )) ∥γ ' ( t )∥dt

γ(t):[a ,b]→ℝ3parametrización regular de C

Si f ( r )⩾0 se puede interpretar como el “área de una valla”

Circulación de un campo – vector dot dl = escalar

∫CF ( r )⋅d l=∫a

bF ( γ (t))⋅ γ ' ( t )dt=∫C

F x dx+F y dy+F z dz

Integral de curva sobre un campo - vector por dl = vector

∫CF ( r )dl=∫C

F1( r)dl x+∫CF 2( r)dl y+∫C

F 3(r)dl z

DobleIntegral doble / de área = escalar

∬Df (x , y )dA=∬D

f ( x , y )dx dy

Integral doble sobre un campo = vector por dA = vector

∬DF ( x , y )dA=∬D

F1(x , y )dx dy x+∬DF 2(x , y )dx dy y

Superficie

Integral de superficie = escalar

∬Sf (r )dS=∬D

f (T (u , v ))∥T u×T v∥dudv

Flujo de un campo – vector dot dS = escalar

∬SF⋅d S=∬S

F (r )⋅n dS=∬ F n dA

Integral de superficie sobre un campo - vector por dS = vector

∬SF (r )dS=∬S

F1( r)dS x+∬SF 2( r)dS y+∬S

F3( r)dS z

VolumenIntegral triple / de volumen = escalar

∭Vf ( r)dV=∭V

f (x , y , z)dx dy dz

Integral de volumen sobre un campo = vector

∭VF ( r)dt=∭

VF 1( r)dV x+∭

VF2 ( r )dV y+∭

VF 3( r)dV z

Cambio de Variable: T :ℝ2→ℝ

2 inyec. y C1 . D*⊂ℝ2 acotado y f : D=T (D*)→ℝ integrable. Si DT inversible en D*

⇒

∫Df=∫D*

( f ∘t)∣det (DT )∣ . Ej. polares, D círculo r=R, D* r x θ: [0,R] x [0,2π], T(r,θ)={x=r cos θ, y=r sin θ}D* DT

ℝ

ff ◦T

Productos Escalar y Vectorial

A⋅B=Ax B x+Ay B y+Az+Bz=∣A∣∣B∣cos θ

A×B=∣x y zAx Ay Az

Bx B y Bz∣=−B× A=∣A∣∣B∣sin θ e , e⊥( A , B)

Regla de la mano derecha: Pulgar A, Índice B, del Medio A x BCoords. Cartesianas ( x , y , z) Polares / Cilíndricas ( r , θ , z) Esféricas ( r , ϕ , θ) ϕ cenital, θ azimutal

Vectores F=F x x+F y y+F z z F=F r r+F θ θ+F z z F=F r r+F ϕ ϕ+F θ θ

Coorde-nadas

Cart.: x× y= z y× z=x z× x= y r=√ x2+ y 2 :[0,+∞)

θ=tan−1( y / x): [0,2 π ]z=z (−∞ ,+∞)

x=r cos(θ )y=r sin(θ )z=z

r=√ x2+ y2+z2 : [0,+∞)

ϕ=cos−1( z/ r): [0,π ]θ=tan−1( y / x): [0,2 π ]

x=r cos(θ )sin(ϕ)y=r sin(θ )sin(ϕ)z=r cos(ϕ)

Cilíndricas: Notación alter: (ρ, θ o φ, z) r×θ= z θ× z= r z×r=θ

Versores

Esféricas: Notación alternativa: (r, θ, φ o ϕ) (radial, cenital, azimutal)

r×θ= z θ× z= r z×r=θ

r= x / r x+ y / r yθ=− y / r x+x / r yz= z

x=cos θ r−sinθ θy=sin θ r+cos θ θz= z

r=sin ϕ cosθ x+sinϕ sinθ y+cos ϕ zϕ=cos ϕ cosθ x+cosϕ sinθ y−sin ϕ z θ=−sinθ x+cos θ y

x=sinϕ cosθ r+cos ϕcos θ ϕ−sinθ θy=sin ϕ sinθ r+cosϕ sinθ ϕ+cosθ θ z=cos ϕ r−sinϕ ϕ

Jacob. 1 r r2 sin ϕ

d l dx x+dy y+dz z dr r+r dθ θ+dz z dr r+r dϕ ϕ+r sin ϕ dθ θd S dy dz x dx dz y dx dy z r dθ dz r dr dz θ r dr dθ z r 2 sin(ϕ)dϕ dθ r r sin (ϕ)dr dθ ϕ r dr dϕ θ

dV dx dy dz r dr dθ dz r 2 sin ϕ dθ dϕdr

∇ f∂∂ x

x+ ∂∂ y

y+ ∂∂ z

z ∂∂ r

r+1r∂∂θ

θ+ ∂∂ z

z ∂∂ r

r+1r∂∂ϕ

ϕ+1

r sin(ϕ )∂∂θ

θ

∇⋅F∂ F x

∂ x+∂ F y

∂ y+∂ F z

∂ z1r [ ∂∂ r

(r F r)+∂F θ

∂θ+ ∂∂ z(r F z)] 1

r 2∂∂ r(r 2 F r)+

1rsin ϕ

∂∂ϕ(sin ϕ F ϕ )+

1r sin ϕ

∂F θ

∂θ

∇×F(∂ F z

∂ y−∂ F y

∂ z ) x+(∂ F x

∂ z−∂ F z

∂ x ) y++( ∂F y

∂ x−∂ F x

∂ y ) z(1r∂F z

∂θ−∂F θ

∂ z ) r+(∂ F r

∂ z−∂ F z

∂ r )θ++

1r (∂( rFθ)

∂ r−∂F r

∂θ ) z

1rsin ϕ [ ∂∂ϕ

( sin ϕ F θ)−∂ F ϕ

∂θ ] r++

1r [ 1

sin ϕ

∂ F r

∂θ− ∂∂r( r Fθ)]ϕ+ 1

r [ ∂∂r( r F ϕ )−

∂ F r

∂ϕ ]θ∇×F

Det. ∣x y z∂

∂ x∂

∂ y∂

∂ z

F x F y F z∣ ∣ r r θ z

∂∂ r

∂∂θ

∂∂ z

F r r F θ F z∣ 1

r2 sinϕ ∣r r ϕ r sin ϕ θ∂

∂r∂

∂ϕ∂

∂θ

F r r F ϕ r sin ϕ F θ∣

∇2 f

∂2 f

∂ x2 +∂

2 f

∂ y2 +∂

2 f

∂ z2

1r∂ f∂ r +

∂2 f

∂r 2 +1

r2

∂2 f

∂ θ2 +∂

2 f

∂ z2

1

r 2∂∂r (r2 ∂ f

∂r )+1

r 2sin ϕ∂∂ϕ (sin ϕ ∂ f

∂ ϕ )+1

r 2sin 2ϕ

∂ 2 f

∂θ 2

θr

ϕ

dr

r sin (ϕ)dθ

r dϕ

Este resumen no es oficial de la materia, puede haber temas que no estén incluídos. Si querés los archivos originales, tenés sugerencias o encontrás errores por favor escribime a alejandro.frenkel@yahoo.com. Realizado en LibreOffice (www.libreoffice.org). Ciertos gráficos de Wolfram Math World.

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