Resumen An alisis Matem atico 2 - Apuntes CEITBA

Resumen Analisis Matematico 2

Octavio Serpe

[email protected]

Resumen Analisis Matematico 2 Octavio Serpe

Indice

1. Introduccion 5

2. Repaso 72.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Suma y producto por un escalar . . . . . . . . . . . . . 72.1.2. Algunas propiedades con escalares . . . . . . . . . . . . 72.1.3. Base canonica en IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.4. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.5. Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.6. Normalizacion de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.7. Desigualdad de Cauchy-Scharwz . . . . . . . . . . . . . 82.1.8. Desigualdad triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.9. Otras desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 . . . . . . . . . . . . . 92.2.1. Metodo de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1. Ecuacion de un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . 13

2.5. Transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6.1. Coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7. Campo escalar y campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Conjuntos de nivel, curvas y superficies 16

4. Bolas 16

5. Lımites 195.1. Lımites iterados en IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2. Tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6. Continuidad 216.1. Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2. Teorema de valores intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1


7. Diferenciacion 217.1. Derivadas parciales en IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1.1. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.2. Derivadas parciales en IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.2.1. Interpretacion de gradiente en IR2 . . . . . . . . . . . . 227.3. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.4. Teorema de Bonnet-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.5. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8. Diferenciabilidad 238.1. Clase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.2. Otra definicion para diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . 248.3. Diferencial en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4. Diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.5. Teorema 1: Clase 1 implica diferenciable . . . . . . . . . . . . 258.6. Teorema 2: Diferenciable implica continua . . . . . . . . . . . 258.7. Teorema 3: Diferenciable implica direccionales . . . . . . . . . 258.8. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.9. Funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.10. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.10.1. Vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.10.2. Aproximacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.10.3. Obtencion del plano tangente en un punto . . . . . . . 27

8.11. Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.12. Matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.13. Polinomio de Taylor de orden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.14. Polinomio de Taylor de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.15. Polinomio de Taylor de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.16. Calculo de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.16.1. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.16.2. Maximos y mınimos globales . . . . . . . . . . . . . . . 32

8.17. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.17.1. Primer caso especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.17.2. Segundo caso especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.17.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9. Ecuaciones diferenciales 369.1. Ecuacion diferencial ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.2. Ecuacion diferencial ordinaria lineal de orden n . . . . . . . . 379.3. Teorema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.4. Solucion de EDO de primer orden mediante ‘variables separables’ 38

2


9.5. Ecuacion diferencial ordinaria de primer orden exacta . . . . . 389.5.1. Solucion de EDO de primer orden exacta . . . . . . . . 39

9.6. Ecuacion diferencial ordinaria lineal de primer orden . . . . . 399.7. EDO lineal de orden 2 con coeficientes constantes . . . . . . . 41

9.7.1. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.7.2. Teorema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.7.3. Solucion particular para n funciones . . . . . . . . . . . 46

10.La divergencia y el rotacional 4610.1. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.2. Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11.Integrales de lınea 4811.1. Integral de lınea para campos escalares . . . . . . . . . . . . . 4811.2. Longitud de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4811.3. Integral de lınea para campos vectoriales . . . . . . . . . . . . 4811.4. Teorema 1: Cambio de parametrizacion . . . . . . . . . . . . . 4911.5. Funcion potencial y campo gradiente . . . . . . . . . . . . . . 4911.6. 1o Teorema Fundamental del Calculo para integrales de lınea . 5011.7. 2o Teorema Fundamental del Calculo para integrales de lınea . 5011.8. Teorema 2: Curvas formadas por varias componentes . . . . . 5011.9. Teorema 3: Equivalencia irrotacional-conservativo . . . . . . . 5111.10.Teorema 4: Relacion solenoidal-rotacional . . . . . . . . . . . . 5111.11.¿Cuando un campo vectorial es un gradiente? . . . . . . . . . 51

12.Integrales dobles 5212.1. Regiones cartesianas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.2. Cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312.3. Tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312.4. Areas comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

13.Integrales Triples 5413.1. Regiones elementales en IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5413.2. Teorema: Cambio de variables en IRn . . . . . . . . . . . . . . 5513.3. Cambios de variables clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5613.4. Volumenes comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

14.Integrales de superficie 5714.1. Vectores tangentes a una superficie parametrizada . . . . . . . 5814.2. Justificacion de la formula del area . . . . . . . . . . . . . . . 6014.3. Integral de superficie de campos escalares . . . . . . . . . . . . 60

3


14.4. Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6114.5. Integral de superficie de un campo vectorial . . . . . . . . . . 6114.6. Cambios de parametrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

15.Teoremas de integracion del analisis vectorial 6315.1. El teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

15.1.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6415.1.2. Teorema: Area de una region . . . . . . . . . . . . . . 64

15.2. Teorema de la divergencia en el plano . . . . . . . . . . . . . . 6515.3. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6615.4. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 66

16.Bibliografıa 67

4


1. Introduccion

Este resumen (o apunte, como me gusta llamarlo) sobre la materia Anali-sis Matematico 2 del ITBA lo hice con el fin de poder acceder a cualquiertema de dicha materia lo mas rapido posible, informarme sin necesidad detener que buscar algun libro o mi cuadernillo, y, por ultimo pero no menosimportante, por la correlatividad de la misma. A su vez, pretendo que tengala mayor repercusion posible para ayudar a comprender de una manera mascompleta los temas, puesto que a mi parecer, es imprescindible entender bienel concepto que se esta tratando antes que aprender a resolver ejercicios dememoria. Si bien la practica ayuda a que los temas ‘tengan sentido’, creo queentender el trasfondo de los mismo es mas provechoso e importante.

Desde mi punto de vista, es una materia un poco pesada si no se le dedicael tiempo suficiente, mas que nada porque es como la materia Matematica 3,solo que con un tema mas: Ecuaciones Diferenciales, que se ve en Matemati-ca 2, aunque si bien es cierto que no se ve tanto la aplicacion del calculomultivariado en Analisis Matematico 2 como en Matematica 3.

El resumen contiene todos los temas tratados en la materia en cuestion.Trate de hacerlo lo mas detallado y completo posible para que se puedaseguir en paralelo con la cursada o un libro. Tambien incluı imagenes parafacilitar la comprension de ciertos temas, algunas demostraciones, y otrassemi-demostraciones (como me gusta llamar a mı a las demostraciones queson muy por arriba). Para facilitar la comprension de los temas tratadosse requieren conocimientos de Analisis Matematico 1 (o Matematica 1 ) yAlgebra Lineal.

Considero importante destacar que este documento no incluye todas lasdemostraciones de los teoremas, enunciados y proposiciones mencionadas,dado que estas se ven durante la cursada o se encuentran en un libro, peroen caso de querer entender el porque, deje por escrito (en algunos casos) quepaginas ver del libro en cuestion.

A la hora de dar por terminada una definicion/proposicion escribı elsımbolo ∼ para poder mostrar que ahı termina y evitar confusiones. Tam-bien, hice referencias muchas veces a un ‘libro’ y a lo largo del documentose encuentran notas/observaciones/aclaraciones que dicen ’ver pagina. . . ’, endonde me refiero al libro ‘Calculo Vectorial’ de Marsden y Tromba (ver Biblio-grafıa) y sus respectivas paginas. Con el fin de facilitar la lectura y busqueda,se puede clickear la seccion que se desea ver en el Indice y el documento loredireccionara automaticamente.

Para los curiosos, escribirlo me llevo 18 dıas en total, si bien no fueron

5


dıas en los que estuve todo el tiempo sentado escribiendo, me tomaba unas2 a 6 horas diarias para introducir algun que otro tema o finalizar algunoque me quedaba pendiente. Por otro lado, aprendı a programar en el sistemaLATEX a medida que lo escribıa.

Hasta el dıa de la fecha, el apunte no ha sido corregido por ningun pro-fesor. Si desea saber el estado actual del mismo, contacteme. A su vez, seencuentra en actualizacion en caso de correccion o agregar nuevo contenido.

Espero que este resumen le sirva a toda persona que lo lea, y si les sucedeal igual que a mi, lo disfruten, y en caso que desee compartirlo, que no dudeen hacerlo.

Para ir finalizando, deje mi mail en la portada para que puedan con-tactarme, ya sea porque: hay que corregir o agregar algo, una crıtica, uncomentario/demostracion/formula/resolucion que haga ruido, una duda, etc.

¡Exitos!

6


2. Repaso

En esta seccion se repasaran temas previamente vistos, algunos con pro-fundidad y otros no se mencionaran, como el de Espacios Vectoriales.

2.1. Vectores

Recordemos que los vectores poseen direccion, sentido y magnitud (omodulo). Sean ~v y ~u vectores definidos en IRn y α y β ∈ IR:

2.1.1. Suma y producto por un escalar

Su suma se define:

(v1, . . . , vn) + (u1, . . . , un) = (v1 + u1, . . . , vn + un)

y su producto por un escalar:

α(v1, . . . , vn) = (αv1, . . . , αvn)

Geometricamente, para la suma de vectores, se trazan dos lıneas, cada unaperpendicular al otro vector, hasta que se intersecan en un punto. Luego, setraza una nueva lınea desde el origen (centro de coordenadas) hasta el puntoen cuestion, donde dicha lınea es el vector resultante.

Figura 1: Representacion de la suma de ~u y ~v, dando como resultado ~w.

2.1.2. Algunas propiedades con escalares

1. Asociatividad

(α ∗ β) ∗ ~v = α ∗ (β ∗ ~v)

2. Distributividad

α ∗ (~v + ~u) = α ∗ ~v + α ∗ ~u(α + β) ∗ ~v = α ∗ ~v + β ∗ ~v

7


2.1.3. Base canonica en IR3

Sean los versores (vectores unitarios) ~i,~j y ~k, es decir, |~i| = 1, y ~a ∈ IR3

entonces:

~a = (a1, a2, a3) = a1~i+ a2

~j + a3~k = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1)

2.1.4. Producto escalar

Permite obtener el angulo entre dos vectores. Sean ~a y ~b vectores definidosen IR3, su producto escalar (o producto punto, o producto interno) se denota

~a •~b y define:~a •~b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = |~a||~b| cos(θ)

donde θ es el angulo entre ambos vectores.

A partir de ahora, hare uso de ∗ en lugar de •, en la mayorıa de los casos.

2.1.5. Norma

La norma (o longitud) de un vector se define mediante la formula:

Norma de ~v = ||~v|| =√~v • ~v =

√v2

1 + · · ·+ v2n =

√√√√ n∑i=1

v2i

Nota: A lo largo de este apunte, hare uso de esta norma. Creo que esinteresante que el lector sepa que hay otras normas, y en caso que haga usode alguna de ellas, lo mencionare.

2.1.6. Normalizacion de vectores

Normalizar un vector, implica obtener uno nuevo y unitario, mediante:

~v

||~v||

2.1.7. Desigualdad de Cauchy-Scharwz

|~v • ~u| ≤ ||~v|| ∗ ||~u||

Nota: Dicha desigualdad aplica para cualquier par de vectores. Se verificasi y solo si, ~v es un multiplo escalar de ~u (| cos(θ)| = 1 o θ = 0), o alguno deellos es ~0. Ver pagina 27 para la demostracion.

8


2.1.8. Desigualdad triangular

||~v + ~u|| ≤ ||~v||+ ||~u||

Nota: Dicha desigualdad aplica para cualquier par de vectores. La de-mostracion resulta de elevar al cuadrado la norma de la suma de los vec-tores, usando la desigualdad de Cauchy-Scharwz y cuadrado de binomio.Ver pagina 31 libro Tromba.

2.1.9. Otras desigualdades

|x| =√x2 ≤

√x2 + y2

| zx2+y2

| ≤ | zy2|

0 ≤ sin(θ) ≤ 1

2.2. Sistemas de ecuaciones lineales de 2x2

Esta seccion tiene el proposito de recordar una forma de resolucion paralos sistemas de ecuaciones lineales (SEL) de 2x2, la cual es necesaria para laresolucion de problemas con extremos.

Consideremos que el SEL es un sistema compatible determinado (SCD).

Entonces, el siguiente SEL:

ax+ by = 0

cx+ dy = 0

Tiene solucion 6= 0 ⇐⇒ det(SEL) = 0 ⇐⇒ ad− cb = 0.

2.2.1. Metodo de Cramer

Sea el siguiente SELax+ by = e

cx+ dy = f

Su representacion matricial[a bc d

] [xy

]=

[ef

]

9


Llamemos [a bc d

]= A

Luego, si es un SCD (det(A) 6= 0, rango(A)=2, etc...) y la matriz A escuadrada, definimos

∆A = det(A) =

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣∆x =

∣∣∣∣e bf d

∣∣∣∣∆y =

∣∣∣∣a ec f

∣∣∣∣Entonces, su conjunto solucion, mediante la regla de Cramer, viene

dado por

x =∆x

∆A

y =∆y

∆A

Tip: Una manera de recordar este metodo es pensar que det(x) se calculareemplazando a lo que esta igualada cada ecuacion en la respectiva columnade la variable x, mientras la otra columna se mantiene fija (analogo condet(y)), y se debe dividir por el det(A).

2.3. Matrices

Una matriz es un arreglo de dos dimensiones, en informatica se la conocecomo un arreglo (vector) de arreglos (vectores).

La manera mas sencilla de ver una matriz es como un conjunto de filas,una debajo de la anterior.

Una matriz se divide en filas y columnas, y la posicion de un elemento ade la misma, se denomina aij, donde i refiere a la i-esima fila y j a la j-esimacolumna.

2.3.1. Determinantes

Matrices 2x2 [a11 a12

a21 a22

]Su determinante es de la forma: a11a22 − a12a21

10


Matrices 3x3 a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Su determinante es de la forma: a11

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣−a12

∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+a13

∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣Es importante remarcar el hecho de que los signos + y - no son alea-torios, puesto que quedan definidos de la siguiente manera, segun quefila o columna seleccionemos:+ − +

− + −+ − +

Luego, en el caso mencionado previamente, el segundo termino se obtu-vo con el determinante de los elementos que no se encuentran en negrita(tachar la fila 1 y columna 2, y calculando como un determinante deuna matriz de 2x2, donde el signo que se antepone serıa la posicion enla cual arrancamos a tachar, a12 en este caso):a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Propiedades

1. Cambian de signo al intercambiar filas o columnas.∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = −∣∣∣∣a12 a11

a22 a21

∣∣∣∣2. Sacar factor comun un escalar, tanto en filas como columnas.∣∣∣∣αa11 a12

αa21 a22

∣∣∣∣ = α

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣

11


2.3.2. Producto vectorial

El producto vectorial o producto cruz, permite obtener un vector normala un par de vectores. El producto vectorial entre ~a, y ~b ∈ IR3, se denota ~a×~by define:

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ = (a2b3 − a3b2)~i− (a1b3 − a3b1)~j + (a1b2 − a2b1)~k

El vector resultante sigue la regla de la mano derecha. A su vez, se cumple:

||~a×~b|| = ||~a|| ∗ ||~b|| sin(θ)

y representa el area del paralelogramo formado por ambos vectores.

Propiedades

1. ~a×~b = ~0 si y solo si ~a y ~b son paralelos o alguno es el vector nulo.

2. ~a×~b = −~b× ~a.

3. ~a × (~b + ~c) = (~a × ~b) + (~a × ~c) donde ~c ∈ IR3. Es importantenotar que si el vector ~a se encontrara a la derecha, este deberıapermanecer a la derecha de los otros dos vectores, al distribuir elproducto vectorial.

4. (α~a)×~b = α(~a×~b).

2.4. Planos

Un plano es una figura geometrica definida en IR3.

2.4.1. Ecuacion de un plano

Sea P un plano en el espacio de tres dimensiones que contiene a los puntos

P0 = (x0, y0, z0) y P1 = (x1, y1, z1), y sea−−→P0P1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) y

~n = A~i + B~j + C~k un vector normal (u ortogonal o perpendicular) a−−→P0P1,

entonces: −−→P0P1 ∗ ~n = 0

Por lo tanto, la ecuacion del plano P queda descrita por el vector normal~n y un punto contenido en el mismo:

A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0

12


Notese que se tomo el punto P0, pero podrıa haberse tomado P1, ası comocualquier otro punto que pertenezca al plano P.

Otra forma de escribir dicha ecuacion podrıa ser:

Ax+By + Cz +D = 0

donde D = −Ax0 −By0 − Cz0.

2.4.2. Distancia de un punto a un plano

La distancia de (x1, y1, z1) al plano Ax+By + Cz +D = 0 es:

Distancia =|Ax1 +By1 + Cz1 +D|√

A2 +B2 + C2

Dicha formula se deduce utilizando el producto interno y el vector normalnormalizado. Ver pagina 50 y 51 para la demostracion.

2.5. Transformacion lineal

Una transformacion lineal de T : IRn −→ IRm es de la forma:

Mt

x1...xn

=

x1...xm

donde Mt ∈ IRm×n.

2.6. Coordenadas

La manera usual de representar un punto en el plano IR2 es mediante coor-denadas rectangulares (x, y), sin embargo, las coordenadas polares puedenser muy utiles. Esto ultimo se puede realizar mediante una transformacionlineal, en donde las coordenadas (x, y) se relacionan con (r, θ) mediante lasformulas:

x = r cos(θ)y = r sin(θ)

Donde, usualmente, se toma r ≥ 0 y 0 ≤ θ < 2π.

Geometricamente serıa seleccionar un angulo, en donde se traza una lınea,y con el radio situarse en el punto en cuestion.

13


2.6.1. Coordenadas cilındricas

Las coordenadas cilındricas (r, θ, z) de un punto (x, y, z) estan definidaspor:

x = r cos(θ)y = r sin(θ)z = z

Para expresar r, θ y z en funcion de x, y y z, se puede escribir:

r =√x2 + y2

z = z

Nota: En caso de querer observar la definicion de θ ver pagina 62.

Figura 2: Representacion de un punto P en coordenadas cilındricas.

2.6.2. Coordenadas esfericas

En coordenadas cilındricas la longitud del vector x~i+ y~j + z~k se define:

ρ =√x2 + y2 + z2

Luego, haciendo uso de coordenadas polares, se obtiene la forma de ex-presar x e y, entonces las coordenadas esfericas de (x, y, z) son (ρ, θ, φ), y sedefinen:

x = ρ sin(θ) cos(φ)y = ρ sin(θ) sin(φ)z = ρ cos(θ)

14


Donde ρ ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π y 0 ≤ θ ≤ π. El angulo φ se llama anguloazimutal (o azimuth).

Nota: La variable θ no toma valores hasta 2π exclusive puesto que no esnecesario que ‘de una vuelta completa’, dado que esto ultimo se realiza conφ.

Figura 3: Representacion de un punto P en coordenadas esfericas.

Nota: Notese, en la figura 3, que a la variable ρ se la llamo r, lo cual esuna sutileza, pero es necesaria la aclaracion para comprender la grafica.

2.7. Campo escalar y campo vectorial

Sea U una region de IRn, entonces:

Un campo escalar f es una funcion f : U ⊂ IRn −→ IR

Un campo vectorial F es una funcion F : U ⊂ IRn −→ IRm

con m ≥ 2

15


3. Conjuntos de nivel, curvas y superficies

Un conjunto de nivel es un subconjunto de IR3 en el que una funcion,llamemosla f , es constante. Formalmente, es el conjunto de pares (x, y, z)tales que f(x, y, z) = c en donde c ∈ IR, es decir, c es constante.

Los conjuntos de nivel son utiles para comprender las funciones de dosvariables f(x, y), en cuyo caso hablamos de curvas de nivel. La idea essimilar a la que se usa para preparar mapas topograficos.

DEFINICION: Curvas y superficies de nivel

Sea f : U ⊆ IRn −→ IR y sea c ∈ IR. Entonces, el conjunto de nivel devalor c se define como el conjunto de los puntos x ∈ U en los que f(x) = c.Si n = 2 se trata de una curva de nivel, y si n = 3 de una superficie denivel. En notacion de conjuntos, el conjunto de nivel de valor c se escribe:

Cc = x ∈ U : f(x) = c ⊆ IRn

Notese que el conjunto de nivel siempre esta contenido en el dominio dela funcion.

Si no existe un par que pertenezca a determinado conjunto de nivel, sedice que el conjunto de nivel de valor c es vacıo.

4. Bolas

Sea x0 ∈ IRn y r ∈ IR. Se define bola abierta (o disco abierto) de radio ry centro x0 como el conjunto de puntos x en IRn tales que ||x−x0|| < r. Dichoconjunto se denota Br(x0) y esta formado por los puntos cuya distancia a x0

menor que r.De ahora en adelante, cuando haga referencia a una bola abierta, escri-

bire la palabra bola en su lugar.

DEFINICION: Conjuntos abiertos y punto interior

Sea U ⊆ IRn. Llamamos a U conjunto abierto si para todo punto x ∈ Uexiste una bola abierta que lo contiene, es decir, Br(x) ⊆ U . Luego, x es unpunto interior de U .

∼

16


DEFINICION: Punto frontera

Sea U ⊆ IRn y x ∈ IRn. x es punto frontera (o del borde) si todo entornode x contiene al menos un punto de U y al menos un punto que no esta enU . En notacion, el conjunto de puntos frontera de U se denota como ∂U yse define:

∂U = x ∈ IRn : ∀r > 0 (Br(x) ∩ U 6= ∅ y Br(x) ∩ U c 6= ∅)

∼

Aca surge la observacion que un conjunto es abierto si no incluye a sufrontera (o borde), puesto que si la incluye, podemos situarnos en algun puntode la misma, pero no podremos dibujar un bola de radio mayor a 0 y queesta pertenezca al conjunto.

El conjunto vacıo es abierto.

DEFINICION: Conjuntos cerrados

Sea U ⊆ IRn. U es cerrado si U c (complemento de U) es abierto.

∼

DEFINICION: Clausura

Sea U ⊆ IRn, se denota la clausura de U como U y se define:

U = U ∪ ∂U

Esta definicion es bastante intuitiva, puesto que para ‘cerrar’ un conjunto,le anadimos su frontera.

∼

DEFINICION: Bola reducida/pinchada

Sea U ⊆ IRn y x ∈ IRn, la bola pinchada de centro x y radio r se denotay define:

B∗r (x) = Br(x)\x = x1 ∈ IRn : 0 < ||x1 − x|| < r

Notese que el proposito de esta definicion es excluir al centro de la bola.

∼

17


DEFINICION: Punto de acumulacion y punto aislado

Sea U ⊆ IRn y x ∈ IRn. Si ∀r > 0 (B∗r (x) ∩ U 6= ∅) decimos que x es unpunto de acumulacion de U . Por otro lado, sea u ∈ U , u es un puntoaislado si ∃r > 0 : (Br(u) ∩ U = u).

Idea geometrica: Los puntos de acumulacion son aquellos puntos deU que me permiten acercarme a el mismo desde distintos puntos de U , enotras palabras, si pongo mi dedo en el punto, puedo alejarlo sin levantarlotrazando una recta imaginaria y garantizandome que haya parte del conjuntoU ‘detras’ de mi dedo en todo momento. Los puntos aislados son aquellospuntos de U que NO son de acumulacion, es decir, si pongo mi dedo sobre ely lo alejo una infinitesima, lo unico en comun con el conjunto U es el puntoen cuestion.

∼

DEFINICION: Conjuntos acotados, compactos y convexos

Sea U ⊆ IRn, U es acotado si ∃r > 0 : (U ⊆ Br(~0)) y U es compactosi U es cerrado y acotado. U es convexo si no puede ser expresado como launion disjunta de dos conjuntos abiertos no vacıos (puesto que si sacamosel borde de cada uno, al unirlos habra una parte faltante que vendrıa a serdicho borde), es decir, aparece como una ‘sola pieza’. Geometricamente, sepuede pensar como que es posible recorrer todo el conjunto sin levantar eldedo.

∼

DEFINICION: Conjuntos simplemente convexos

Sea Ω ⊆ IRn convexo, tal que una curva cualquiera contenida en Ω sepuede ‘contener’ (o deformar) de manera continua en un punto, entonces, sedice que Ω es simplemente convexo. Geometricamente, serıa que se puedandibujar curvas rectas contenidas en el conjunto sin que estas ‘pasen por fuera’del conjunto en cuestion.

∼

Aclaracion: No profundizare respecto a las proposiciones de bolas.

18


5. Lımites

Aclaracion: El concepto de lımite en una variable lo doy por sentado.

DEFINICION: Lımite en IRn

Sea f : D ⊆ IRn −→ IRm, y sea x0 ∈ D punto de acumulacion, decimosque

lımx→x0

f(x) = L = (L1, . . . , Lm)

si∀ε > 0,∃δ > 0 : x ∈ Bδ ∗ (x0) ∩D =⇒ f(x) ∈ Bε(L)

o escrito de otra forma

∀ε > 0,∃δ > 0 : 0 < ||x− x0|| < δ =⇒ ||f(x)− L|| < ε

∼

Aclaracion: El lımite de un campo vectorial existe si el lımite de cadacomponente en el punto en cuestion existe y es finito.

PROPIEDADES

lım(x1,...,xn)→ (0,...,0) ||(x1, . . . , xn)|| = 0

0 ≤ ||(x1, . . . , xn)||

|x| ≤ ||(x1, . . . , xn)||

|x|k ≤ ||(x1, . . . , xn)||k con k ∈ N

De ahora en mas, hare uso de lımites en IR2, caso contrario loaclarare.

5.1. Lımites iterados en IR2

A continuacion introducire otra forma de hallar el lımite de una funciontendiendo a un valor p0 = (x0, y0).

La idea es ‘acercarnos’ tanto por el camino de x0 como por el de y0 yver a que tiende dicho valor. Si el valor es igual al ‘acercarnos’ por amboscaminos, entonces el valor del lımite podrıa ser ese. Si el valor difiere o noexiste, el lımite no existe, pues para un camino en particular este no tienesentido (valor).

19


Como calcularlos:

Acercandonos primero por x0 y luego por y0:

lımy→y0

(lımx→x0

f(x, y)

)= L1

Acercandonos primero por y0 y luego por x0:

lımx→x0

(lımy→y0

f(x, y)

)= L2

Si L1 = L2 = L entonces es probable que

lımp→p0

f(p) = L

5.2. Tips

Usar la mayor cantidad de propiedades posibles (lema del sandwich,sacar constantes, suma y producto de funciones, lımites iterados, infi-nitesimo por acotada, etc).

Tomar diferentes caminos que pasen por el punto y ver si dan el mismoresultado. En caso que ası sea, proponer dicho valor como resultado dellımite. En caso contrario, utilizar otro metodo.

Por definicion, encontrando la relacion entre δ y ε (en este caso sedebe proponer un valor para el lımite). Es importante aclarar que elvalor de un lımite es valido si fue previamente demostrado, no hay otraalternativa.

Si se realiza un cambio de variables, debe pasar por el punto en cuestionla curva.

Si no se llega a ningun lado, probar que no existe el lımite.

20


6. Continuidad

Sea f : D ⊆ IRn −→ IRm y p0 ∈ D. Decimos que f es continua en p0 si:

lımp→p0

f(p) = f(p0)

Observaciones:

Si p0 ∈ D es un punto aislado, entonces f(p) es continua en p0. Esto seprueba tomando δ = r.

f = (f1, . . . , fm) es continua en p0 si y solo si fi : D =⇒ IR es continuaen p0 en donde i ∈ [1,m].

Suma, resta, producto, cociente (denominador no nulo), proyeccion ycomposicion de funciones continuas, es continua.

6.1. Teorema de Weierstrass

Sea f : D ⊆ IRn −→ IR continua y D compacto =⇒ f alcanza un mınimoy maximo en D.

Los mınimos y maximos se encuentran en el interior de D = Do o en ∂D,ya que D = Do ∪ ∂D.

Nota: Mas adelante usaremos este teorema.

6.2. Teorema de valores intermedios

Sea f : D ⊆ IRn −→ IR continua y D conexo. Dados x1 y x2 ∈ D, y seanf(x1) = k1 y f(x2) = k2 donde k1 < k2 =⇒ (k1, k2) ⊆ f(D).

Esto quiere decir que f(x) toma cualquier valor intermedio entre k1 y k2.Nota: Este teorema es util a la hora de determinar rangos.

7. Diferenciacion

7.1. Derivadas parciales en IRn

Sea U ⊂ IRn un conjunto abierto y f : U −→ IR. Entonces, la j−esimaderivada parcial de f en el punto p0 = (x1, . . . , xn) se denota ∂f

∂xj(x1, . . . , xn)

y define:

lımh→0

f(x1, . . . , xj + h, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)

h=

∂f

∂xj(x1, . . . , xn) = Dfj(x1, . . . , xn)

Generalmente, con el fin de no escribir tanto, se saca laD enDfj(x1, . . . , xn),quedando fj(x1, . . . , xn).

21


7.1.1. Gradiente

El vector (∂f∂x

(p0), ∂f∂y

(p0), . . . , ∂f∂n

(p0)) se llama ‘gradiente de f en el punto

p0’ y se denota ∇f(p0).

7.2. Derivadas parciales en IR2

Sea U ⊂ IR2 un conjunto abierto y f : U −→ IR. Entonces, su derivadaparcial respecto a x en el punto (x, y) se define:

lımh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h=∂f

∂x(x, y) = Dfx(x, y)

y respecto a y:

lımh→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h=∂f

∂y(x, y) = Dfy(x, y)

Nota: Hago hincapie en el hecho de que el conjunto debe ser abierto puesderivamos unicamente en puntos interiores (donde sabemos que puede existirla derivada).

7.2.1. Interpretacion de gradiente en IR2

Sea ~v un vector unitario, el incremento diferencial es:

∇f(x, y) ∗ ~v = ||∇f(x, y)|| ∗ ||~v|| cos(θ)

donde se utilizo la definicion de producto escalar.

Luego, las direcciones quedan definidas:

Maximo incremento −→ cos(θ) = 1 −→ ∇f(x,y)||∇f(x,y)||

Mınimo incremento −→ cos(θ) = −1 −→ −∇f(x,y)||∇f(x,y)||

Sin incremento/Constante −→ cos(θ) = 0 −→ ∇f(x, y) ∗ ~v = 0

7.3. Derivadas de orden superior

Si las derivadas parciales de orden 1 estan definidas en un entorno de(x, y) entonces las puedo volver a derivar, si existe y es finito el siguientelımite (derivada segunda respecto a x):

lımh→0

∂f∂x

(x+ h, y)− ∂f∂x

(x, y)

h=∂2f

∂x2(x, y) = Dfxx(x, y)

22


y respecto a y (si existe y es finito el siguiente lımite):

lımh→0

∂f∂x

(x, y + h)− ∂f∂x

(x, y)

h=

∂2f

∂y∂x(x, y) = Dfxy(x, y)

Podemos seguir ası siempre y cuando exista el lımite y sea finito, con elfin de encontrar las n-esimas derivadas parciales (o derivadas parciales deorden n).

7.4. Teorema de Bonnet-Schwarz

Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR, p0 ∈ Do y se verifica:

i) Las derivadas parciales de orden 1 y 2 existen en un entorno del puntop0.

ii) Las derivadas parciales de orden 2 son continuas en el punto p0.

Entonces se cumple:

∂2f

∂x∂y(p0) =

∂2f

∂y∂x(p0)

Es decir, las cruzadas son iguales en p0.

7.5. Derivadas direccionales

Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR, (x0, y0) = p0 ∈ Do y ~v = (v1, v2) un vectorunitario, entonces, la derivada en la direccion ~v se define (si el lımite existey es finito):

lımh→0

f(p0 + h~v)− f(p0)

h=∂f

∂~v(p0) = Df~v(p0)

Notese que si ~v = (1, 0) se obtiene ∂f∂x

(p0), y si ~v = (0, 1) se obtiene ∂f∂y

(p0).

8. Diferenciabilidad

Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR y (x0, y0) = p0 ∈ Do, decimos que f(x, y) esdiferenciable en p0 si ∃δ > 0, a, b ∈ IR y una funcion (llamemosla Resto)W : Bδ(0, 0) −→ IR tales que ∀(h, k) ∈ Bδ(0, 0) se cumple:

f(x, y) = f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + ah+ bk +W (h, k)

23


donde a = ∂f∂x

(p0) y b = ∂f∂y

(p0) (si f es diferenciable en p0), y por otro

lado lım(h,k)→(0,0)W (h,k)||(h,k)|| = 0.

Mas adelante se encuentra la otra definicion, que a mi parecer, es masclara para el estudiante.

8.1. Clase 1

Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR y (x0, y0) = p0 ∈ Do, decimos que f es de claseC1 en p0 si ∃δ > 0 : las derivadas parciales existen y son continuas en Bδ(p0).

Otra forma de expresar esta definicion es decir que la funcion f es con-tinuamente diferenciable en p0.

8.2. Otra definicion para diferenciabilidad

Partiendo de lo mencionado en la introduccion a esta seccion, podemosreescribir la definicion de diferenciabilidad, por lo tanto, para que f sea di-ferenciable en p0 se debe cumplir:

lım(h,k)→(0,0)

f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)−∇f(x0, y0) ∗ (h, k)

||(h, k)||= 0

Tomando x = x0 + h y y = y0 + k:

lım(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)− f(x0, y0)−∇f(x0, y0) ∗ (x− x0, y − y0)

||(x− x0, y − y0)||= 0

Ambas formas son validas.

8.3. Diferencial en un punto

El diferencial de f en el punto p0 se define:

df(p0) =∂f

∂x(p0) ∗ (x− x0) +

∂f

∂y(p0) ∗ (y − y0) = ∇f(p0) ∗ (dx, dy)

Es decir, utilizando el incremento tanto en x como en y.

8.4. Diferenciales de orden superior

Si f es de clase Cn:

dnf(p0) =n∑i=0

(n

i

)(dx)i(dy)n−i

∂nf

∂xi∂yn−i(p0)

24


8.5. Teorema 1: Clase 1 implica diferenciable

Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR y (x0, y0) = p0 ∈ Do. Si f es de clase C1 enp0 =⇒ f es diferenciable en p0.

Nota: Este teorema aplica para campos vectoriales tambien.

8.6. Teorema 2: Diferenciable implica continua

Sea f : D ⊆ IRn −→ IRm y p0 ∈ Do. Si f es diferenciable en p0 =⇒ f escontinua en p0.

8.7. Teorema 3: Diferenciable implica direccionales

Sea f : D ⊆ IR2 −→ IR y (x0, y0) = p0 ∈ Do. i f es diferenciable en p0 =⇒existen todas las derivadas direccionales, y para cada direccion ~v = (v1, v2)(~v es unitario) se cumple:

D~vf(p0) =∂f

∂x(p0) ∗ v1 +

∂f

∂y(p0) ∗ v2 = ∇f(p0) ∗ ~v

8.8. Observaciones

i) Diferenciable NO implica clase C1.

ii) Derivable implica diferenciable.

iii) Derivable parcialmente en un punto implica diferenciable en el punto.

iv) F : IRn −→ IRm, F = (F1, . . . , Fm) es diferenciable si Fi : D −→ IR coni ∈ [1,m] es diferenciable (cada componente es diferenciable).

8.9. Funcion implıcita

Sea f : IRn −→ IR de clase C1 (es decir, diferenciable por Teorema 1 )tal que f(x0, . . . , xn) = 0 y p0 un punto perteneciente a su dominio, si lavariable xi, donde i ∈ [0, n], define una funcion implıcita xi = F (x0, . . . , xn)(se excluye la variable xi) en un entorno de p0, se deben verificar las siguientescondiciones:

f diferenciable en p0.

f(p0) = 0, la imagen de f evaluada en el punto p0 debe anularse.

25


∂f∂xi

(p0) 6= 0, la derivada parcial respecto a la variable xi, que define unafuncion implıcita en un entorno de p0, no debe anularse al ser evaluadaen dicho punto.

Si se satisfacen todas y cada una de las tres condiciones, entonces severifica la hipotesis del teorema de la funcion implıcita en p0 para lavariable xi, y por lo tanto vale que

∂xi∂xm

=− ∂f∂xm∂f∂xi

donde xm ∈ [x0, . . . , xn]\xi.

8.10. Plano tangente

Sea f : IR2 −→ IR diferenciable en p0 = (x0, y0). El plano de IR3 definidopor la ecuacion:

z(x, y) = f(x0, y0)+∂f

∂x(x0, y0)∗(x−x0)+

∂f

∂y(x0, y0)(y−y0) = f(p0)+df(p0)

se llama plano tangente de la grafica f en el punto p0.

Observacion: El plano tangente a un plano, es el mismo plano.

8.10.1. Vector normal

El vector normal a un plano tangente en un punto p0 se obtiene:

~n = (−∂f∂x

(p0),−∂f∂y

(p0), 1) = (∂f

∂x(p0),

∂f

∂y(p0),−1)

En donde los signos + y - (de la tercer coordenada) indican su sentido(para ‘arriba’ o ‘abajo’).

8.10.2. Aproximacion lineal

Para hallar el valor aproximado de una funcion, se puede utilizar la ecua-cion del plano tangente, tomando como p0 un valor que nos permita conocerf(p0), y como x e y el valor a aproximar:

f(x, y) ' z(x, y)

26


8.10.3. Obtencion del plano tangente en un punto

Sea S la superficie que esta formada por aquellos puntos (x, y, z) talesque f(x, y, z) = 0 o f(x, y, z) = k con k constante. El plano tangente a S enel punto (x0, y0, z0) de S se calcula mediante los siguientes pasos.

1. Igualamos la funcion a 0 o un valor constante.

2. Calculamos el gradiente en el punto, es decir, ∇f(x0, y0, z0).

3. Reemplazamos valores en ∇f(x0, y0, z0) ∗ (x− x0, y − y0, z − z0) = 0

Nota: La ecuacion del paso 3 es la que permite la obtencion del planotangente en un punto (x0, y0, z0).

8.11. Matriz Jacobiana

Dado un campo vectorial F : D ⊆ IRn −→ IRm y un punto p0 ∈ Do, si Fes diferenciable, notamos Df(p0) = Jf(p0) a su matriz jacobiana asociadaen el punto p0, y se define:

Df(p0) =

∂F1

∂x1(p0) ∂F1

∂x2(p0) · · · ∂F1

∂xn(p0)

∂F2

∂x1(p0) ∂F2

∂x2(p0) · · · ∂F2

∂xn(p0)

......

. . ....

∂Fm

∂x1(p0) ∂Fm

∂x2(p0) · · · ∂Fm

∂xn(p0)

Notese que la matriz tiene tantas filas como componentes, y tantas co-

lumnas como variables. Por otro lado, es cuadrada si y solo si tiene tantascomponentes como variables.

8.12. Matriz Hessiana

Dado un campo escalar f : D ⊆ IRn −→ IR con derivadas de orden 2, y unpunto p0 ∈ Do, notamos Hf(p0) a su matriz hessiana (o hessiano) asociadaen el punto p0, y se define:

Hf(p0) =

∂2f∂x21

(p0) ∂2f∂x2∂x1

(p0) · · · ∂2f∂xn∂x1

(p0)

∂2f∂x1∂x2

(p0) ∂2f∂x22

(p0) · · · ∂2f∂xn∂x2

(p0)

......

. . ....

∂2f∂x1∂xn

(p0) ∂2f∂x2∂xn

(p0) · · · ∂2f∂x2n

(p0)

27


Notese que la matriz es cuadrada, y si f es de clase C2, es decir, susderivadas segundas son continuas en un entorno de p0 =⇒ ∂2f

∂xi∂xj(p0) =

∂2f∂xj∂xi

(p0) ∀i, j ∈ [1, n] =⇒ Hf(p0) es simetrica.

8.13. Polinomio de Taylor de orden 1

Sea f : U ⊆ IRn −→ IR diferenciable en p0 = (x0, . . . , xn) ∈ U , p1 =(y0, . . . , yn) ∈ U (valor a aproximar) y h = p1− p0 = (y0−x0, . . . , yn−xn) =(h0, . . . , hn). Aca es donde se dice que el polinomio de taylor se encuentracentrado en p0. Entonces, el polinomio de taylor de orden 1 en p0 se define:

f(p1) = f(p0 + h) = f(p0) +n∑i=0

(∂f

∂xi(p0) ∗ hi

)+R1(p0, h)

donde R1(p0,h)||h|| → 0 cuando h→ 0 en IRn.

Formula alternativa

f(p0 + h) = f(p0) +∇f(p0) ∗ h+R1(p0, h)

Aproximacion de primer orden

f(p0 + h) = f(p0) +∇f(p0) ∗ h

Notese como si n = 2, se obtiene la formula del plano tangente en p0.

Aproximacion de primer orden con error

f(p0 + h) = f(p0) +∇f(p0) ∗ h+1

2∗ h ∗Hf(p0 + ch) ∗ ht

donde c ∈ (0, 1) y ht es el vector incremento traspuesto. La idea esacotar el error, de manera que |error| < k con k constante.


Sea f : U ⊆ IRn −→ IR con derivadas parciales continuas de tercer ordenen p0 (basta con que f sea de clase C2). Entonces, el polinomio de taylor deorden 2 en p0 se define:

f(p0 + h) = f(p0) +n∑i=0

(∂f

∂xi(p0) ∗ hi

)+

1

2∗ h ∗Hf(p0) ∗ ht +R2(p0, h)

28


donde R2(p0,h)||h||2 → 0 cuando h→ 0 y h se encuentra definida en Polinomio

de Taylor de orden 1.

Primer formula alternativa

f(p0 + h) = f(p0) +∇f(p0) ∗ h+1

2∗ h ∗Hf(p0) ∗ ht +R2(p0, h)

Segunda formula alternativa

Esta alternativa es valida unicamente si f es de clase C2 en p0 y n = 2:

f(p0+h) = f(p0)+∇f(p0)∗h+h2

0

2

∂2f

∂x2(p0)+h0h1

∂2f

∂y∂x(p0)+

h21

2

∂2f

∂y2(p0)+R2(p0, h)

Aproximacion de segundo orden

f(p0 + h) = f(p0) +∇f(p0) ∗ h+1

2∗ h ∗Hf(p0) ∗ ht

Aproximacion de segundo orden con error

No se ve en este curso.


Sea f : U ⊆ IRn −→ IR de clase C3 (impongo esta condicion ası puedoutilizar una expansion que simplifica el calculo, pero no es condicion necesa-ria, si suficiente). Entonces, el polinomio de taylor de orden 3 en p0 y n = 2se define:

f(p0 + h) = f(p0) +n∑i=0

(∂f

∂xi(p0) ∗ hi

)+

1

2∗ h ∗Hf(p0) ∗ ht + σ(||h||3)

donde h se encuentra definida en Polinomio de Taylor de orden 1 yσ(||h||3) es la contraccion de:

1

6

∂3f

∂x3(p0)h3

0 +1

2

∂3f

∂y∂x2(p0)h2

0h1 +1

2

∂3f

∂x∂y2(p0)h0h

21 +

1

6

∂3f

∂y3(p0)h3

1

Formula alternativa

f(p0 + h) = f(p0) +∇f(p0) ∗ h+1

2∗ h ∗Hf(p0) ∗ ht + σ(||h||3)

29


8.16. Calculo de extremos

Los puntos de extremo de una funcion, son aquellos en los que la mismaalcanza su mayor y menor valor. Los extremos locales (o relativos) sonpuntos en los cuales la funcion alcanza un valor maximo o mınimo respectoa los puntos cercanos. En algunos casos, los extremos locales y puntos deextremo coinciden.

8.16.1. Extremos locales

Para el calculo de extremos locales, se deben cumplir ciertas condiciones,a continuacion se encuentran enumeradas, pero antes de ello, debo introducirel concepto de como influye la matriz hessiana y su definicion.

Analisis de la matriz hessiana asociada

Sea f(x, y) de clase C3 en un conjunto abierto U de IR2, (x0, y0) = p0 unpunto de U , y Hf(p0) su hessiano asociado, entonces:

Hessiano definido como positivo:

1. ∇f(p0) = 0 (suele cumplirse en la mayorıa de los casos).

2. ∂2f∂x2

(p0) > 0.

3. det(Hf(p0)) > 0. A esto se lo conoce como discriminante de laforma cuadratica hessiana.

Hessiano definido como negativo:

1. ∇f(p0) = 0.

2. ∂2f∂x2

(p0) < 0.

3. det(Hf(p0)) > 0.

Hessiano indefinido:

1. det(Hf(p0)) < 0.

Hessiano ‘degenerado’:

1. det(Hf(p0)) = 0.

Analisis de la definicion de la matriz hessiana asociada

Ahora que ya sabemos como definir a la matriz hessiana asociada, faltaver como influye esto en los extremos locales, entonces:

30


Si Hf(p0) definida positiva =⇒ p0 es un punto de mınimo local.

Si Hf(p0) definida negativa =⇒ p0 es un punto de maximo local.

Si Hf(p0) indefinida =⇒ p0 es un punto silla.

Si Hf(p0) ‘degenerada’ =⇒ p0 analizar por otro lado.

Las condiciones (criterios) mencionadas en la introduccion a esta seccionson:

Condicion de la derivada primera

Si U ⊆ IRn es abierto, la funcion f : U −→ IR es diferenciable y p0 ∈ Ues un punto de extremo local (o crıtico), entonces Df(p0) = ∇f(p0) =0.

Nos brinda los ‘candidatos’ a extremos locales (puntos crıticos).

Esta condicion se conoce como condicion de primer orden (CPO).

Ver pagina 201 para la demostracion.

Criterio de la derivada segunda

Si la funcion f : U ⊆ IRn −→ IR es de clase C3 y p0 ∈ U es un puntocrıtico, y su matriz hessiana Hf(p0) es definida positiva, entonces p0 esun punto de mınimo relativo de f . Analogamente, si Hf(p0) es definidanegativa, entonces, p0 es un punto de maximo relativo de f .

Esto proviene del polinomio de Taylor de orden 2, dado que el terminoque incluye al gradiente es 0 (por CPO), lo unico que resta es que eltermino que incluye al hessiano se cancele.

Esta condicion se conoce como condicion de segundo orden (CSO).

Ver pagina 206 para la demostracion.

Pasos para hallar extremos locales

1. ∇f(x, y) = 0 para determinar los puntos crıticos.

2. Evaluar cada punto en la matriz hessiana asociada.

3. Analizar la definicion de cada punto, en base al paso 2.

31


8.16.2. Maximos y mınimos globales

Si bien ya se introdujo el concepto de extremos locales y como hallarlos,resta incluir el concepto de extremos globales (o absolutos) y como hallarlos.Esta seccion esta dedicada para ello.

El calculo de estos extremos es mas complejo, puesto que hay una seriede condiciones a cumplir.

Empezare enunciando la condicion necesaria para la existencia de extre-mos restringidos, mediante un teorema.

Teorema: Sea D cerrado y acotado en IRn, y sea f : D −→ IR continua(para ir a lo seguro es preferible que f sea diferenciable en D). Entonces,existen puntos p0 y p1 de D donde f alcanza sus valores maximo y mınimo.

Lo primero que hay que hacer, es fijarse si la funcion en cuestion seencuentra definida en la region a analizar, junto a otras condiciones:

f : Ω ⊆ IRn −→ IR continua y diferenciable.

Ω region compacta (cerrada y acotada).

∂Ω curva suave a trozos (sus derivadas parciales son continuas y no seanulan en un determinado intervalo, donde si se une cada intervalo, secubre toda la frontera de Ω).

Entonces, por Weierstrass, existen puntos maximos y mınimos de f en Ω.

Una vez que se cumpla lo mencionado previamente, se puede proseguircon el analisis.

Usando CPO se pueden determinar los puntos crıticos, pero estos puedencaer ‘afuera’ de nuestra region Ω. Por ello se analiza la superficie mediantedos conjuntos, el interior de Ωo y su frontera ∂Ω.

Separemos el analisis de estos conjuntos en dos casos.

Caso 1) Analisis en Ωo

Si el extremo esta en Ωo, entonces es local, por lo tanto, los puntoscrıticos se calculan usando ∇f(x, y) = 0 (CPO). Verificar que dichospuntos pertenezcan a la region Ω. En caso de que no lo hagan, no setienen en cuenta.

Caso 2) Analisis en ∂Ω

Para este caso, se pueden seguir dos opciones, presentare ambas.

32


Opcion 1) Multiplicador de Lagrange

Antes, debo introducir dos conceptos para una mejor comprension.

Valor regular

Decimos que 0 (cero) es un valor regular de una funcion g :IR3 −→ IR en el conjunto S = g(x, y, z) = 0 si ∀(x, y, z) ∈ S secumple ∇g(x, y, z) 6= 0 (vector nulo).

Teorema de Lagrange

Sea f : U ⊆ IRn −→ IR de clase C1, U abierto y consideremosS = g(x1, . . . , xn) = 0 donde g : U ⊆ IRn −→ IR es de clase C1 y0 (cero) es un valor regular de g. Entonces, si f(x1, . . . , xn) alcanzaun extremo local restringido en S en cierto punto p0 ∈ S, existe unλ 6= 0 tal que∇f(p0) = λ∇g(p0). Entonces,∇(f(p0)−λg(p0)) = 0.Luego, f(p0)−λg(p0) = `(p0, λ) = `(x1, . . . , xn, λ) y λ se denominamultiplicador de Lagrange (o factor de Lagrange).

Ahora comencemos con el analisis mediante esta opcion.

Consideremos g(x1, . . . , xn) = 0 donde g : IRn −→ IR es de claseC1 y describe ∂Ω igualada a 0 (aca se utiliza el concepto de valorregular).

Mediante el teorema de Lagrange tenemos que `(x1, . . . , xn) =f(x1, . . . , xn)− λg(x1, . . . , xn).

Por otro lado, el gradiente de ` debe igualarse al vector nulo, porlo tanto, ∇`(x1, . . . , xn, λ) = 0 (aclaro que (x1, . . . , xn, λ) NO sonvalores reales, son las variables). Puede hacer ruido que se deriverespecto al factor de Lagrange, pero esto se realiza a propositopues describe ∂Ω, sino se darıa por sentado que no hay extremosen la misma. Aclaro, en clase lo dan como que se ‘deriva’ respectoa λ, la realidad es que g se debe analizar ası como esta, no esnecesario derivar. Ver paginas 218 y 219.

Puede suceder que se llegue a un SEL igualado a 0, en dicho caso,mi consejo, es resolverlo como lo mencionado en la seccion 2.2.1.

Luego, usando la funcion ` junto a su gradiente, se determinan lospuntos crıticos.

La idea final es evaluar f en cada uno de los puntos, donde los demenor valor son mınimos absolutos y los de mayor, maximos.

Observacion: Recordar que no se puede dividir por cero, por lotanto ese caso se analiza aparte.

Esta opcion puede ser complicada al principio, pero con practicaresulta la mejor, a mi parecer. La estrategia reside en restringir f

33


a ∂Ω y usar la funcion g como un conjunto de nivel, en el meto-do que mencione lo realice igualando a 0, pero podrıa resolverseg(x1, . . . , xn) = c sin ningun problema.

Ver pagina 227 para la estrategia del libro.

Opcion 2) Funcion auxiliar

Esta opcion no la use casi nunca, dado que no puede utilizarseen todos los casos, pero de todas formas la menciono. Es viable yfunciona. La dieron en clase, no se encuentra en el libro.

La idea es reemplazar los valores de cada variable en f , entonces,si tenemos f : IRn −→ IR y podemos expresar cada variable enfuncion de una unica, es decir (por ejemplo) que (x2, . . . , xn) de-pendan de x1, entonces evaluamos f en cada una de esas variablesen funcion de x1 y llamamos g(x1) = f(x1, . . . , . . . x1 . . . ) (pues(x2, . . . , xn) dependen de x1, por eso puse . . . ).

Luego, derivamos g(x1), la igualamos a cero, y en los valores dex1 donde g′(x1) = 0, (su derivada se anula) son puntos crıticos (sereemplaza x1 en (x2, . . . , xn)). En caso de que NO se anule paraningun valor de x1, los extremos del intervalo se deben tener encuenta (van siempre). Ademas, cabe aclarar, que los valores delos puntos crıticos tienen que pertenecer al borde de la region (de∂Ω).

La idea final es evaluar f en cada uno de los puntos, donde los demenor valor son mınimos absolutos y los de mayor, maximos.

Claramente si no se puede expresar alguna variable en funcion deuna unica, no funciona esta opcion.

Finalmente, resta analizar los puntos obtenidos en el caso 1.

Superficies con mas de una restriccion

Puede suceder que tengamos que tener en cuenta mas de una restriccionen base a regiones, en dicho caso, si Ω esta restringida por:

g1(x1, . . . , xn) = 0...

gk(x1, . . . , xn) = 0

Entonces, el teorema de los multiplicadores de Lagrange puede generali-zarse:

∇f(p0) = λ1∇g1(p0) + · · ·+ λk∇gk(p0)

34


donde p0 ∈ Ω es un maximo o mınimo de f .

Recomiendo fuertemente utilizar la opcion 1 para el analisis de extremosabsolutos en ∂Ω.

8.17. Regla de la cadena

Sean U ⊆ IRn y V ⊆ IRm conjuntos abiertos. Sean g : U −→ IRm yf : V −→ IRp funciones tales que g lleva U a V mediante la composicionfog. Supongamos que g es diferenciable en p0 ∈ U y que f es diferenciableen y0 = g(p0) ∈ V . Entonces, fog es diferenciable en p0 y:

D(fog)(p0) = Df(y0)Dg(p0) = Df(g(p0))Dg(p0)

8.17.1. Primer caso especial

Sea c : IR −→ IR3 una trayectoria diferenciable y que f : IR3 −→ IR.Sea h(t) = f(c(t)) = f(x(t), y(t), z(t)) es decir que c(t) = (x(t), y(t), z(t)).Entonces:

dh

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt+∂f

∂z

dz

dt= ∇f(c(t)) ∗ c′(t)

8.17.2. Segundo caso especial

Sea f : IR3 −→ IR y g : IR3 −→ IR3. Escribimos:

g(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))

y definimos h : IR3 −→ IR:

h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) = fog(x, y, z)

En este caso, la regla de la cadena dice que:

[∂h∂x

∂h∂y

∂h∂z

]=[∂f∂u

∂f∂v

∂f∂w

]∂u∂x

∂u∂y

∂u∂z

∂v∂x

∂v∂y

∂v∂z

∂w∂x

∂w∂y

∂w∂z

35


8.17.3. Propiedades

Son las mismas reglas que para el calculo de una variable, solo que enlugar del sımbolo de la derivada, se usa la matriz jacobiana en su lugar.

1. Si h(x) = cf(x) diferenciable en x0, entonces Dh(x0) = cDf(x0).

2. Si h(x) = f(x)±g(x) diferenciables en x0, entonces Dh(x0) = Df(x0)±Dg(x0).

3. Si h(x) = f(x)g(x) diferenciables en x0, entoncesDh(x0) = Df(x0)g(x0)+f(x0)Dg(x0).

4. Bajo las mismas hipotesis que el item 3, si h(x) = f(x)g(x)

, entonces

Dh(x0) = Df(x0)g(x0)−f(x0)Dg(x0)(g(x0))2

.

9. Ecuaciones diferenciales

Una ecuacion diferencial es una ecuacion que relaciona una funcioncon sus derivadas.

Existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, en este apunte hareel estudio de algunas.

El orden de una ecuacion diferencial queda determinado por el mayororden de derivacion que aparece.

Los metodos de resolucion seran para EDO’s lineales.

9.1. Ecuacion diferencial ordinaria

Una ecuacion diferencial ordinaria de orden n (EDO) es una ecua-cion definida por F : IRn+2 −→ IR de la forma:

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0

La solucion de una EDO es alguna funcion φ : I −→ IR tal que reempla-zada en la EDO, es decir, y = φ(x), resulta una identidad:

F (x, φ(x), φ′(x), . . . , φ(n)(x)) = 0 ∀x ∈ I

36


9.2. Ecuacion diferencial ordinaria lineal de orden n

La EDO lineal de orden n es de la forma:

an(x)yn + an−1(x)yn−1 + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = f(x) (1)

donde los coeficientes ai(x) con i ∈ [0, n] y f son funciones que devuelvenun valor real.

Una EDO no es lineal si alguna de las derivadas o y no son lineales.La ecuacion (1) es homogenea si f(x) = 0, caso contrario se dice que es

no homogenea.

9.3. Teorema 1

Si cada termino ai(x) de la ecuacion (1) es continuo en I, entonces la EDOlineal de orden n homogenea tiene un conjunto de soluciones que resulta unespacio vectorial de dimension n.

Es decir, existen funciones f0, . . . , fn donde fi : I −→ IR con i ∈ [0, n]que son solucion de

an(x)yn + an−1(x)yn−1 + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = 0

tales que cualquier solucion de la ecuacion homogenea se escribe demanera unica como

yh(x) = α0f0(x) + α1f1(x) + · · ·+ αnfn(x)

donde αi ∈ IR constantes.

Para determinar una solucion particular se le dan valores a αi.

Finalmente, la solucion de la EDO es y(x) = yp(x) + yh(x).

Si tenemos condiciones iniciales

y(x0) = y0

y(x1) = y1

...

y(xn−1) = yn−1

va a quedar determinada una unica solucion. Esto se sabe por el Teoremade Valores Iniciales (no mencionado en este apunte).

37


9.4. Solucion de EDO de primer orden mediante ‘va-riables separables’

Seay′ = f(y)g(x)

donde f, g : I −→ IR funciones continuas en I y f(y) 6= 0, entonces:

y′ =dy

dx= f(y)g(x)

Luego,dy

f(y)= g(x)dx

Finalmente, ∫dy

f(y)=

∫g(x)dx

El caso f(y) = 0 se analiza aparte.

9.5. Ecuacion diferencial ordinaria de primer ordenexacta

Una ecuacion diferencial exacta es una EDO de primer orden de laforma:

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

donde∂M

∂y=∂N

∂x

Es decir, existe una funcion F (x, y) tal que

dF =∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy = 0

donde∂F

∂x= M(x, y) y

∂F

∂y= N(x, y)

Como F es diferenciable, sus cruzadas son iguales, entonces

∂M

∂y=∂N

∂x=

∂2F

∂y∂x=

∂2F

∂x∂y

38


9.5.1. Solucion de EDO de primer orden exacta

La siguiente resolucion se basa en que la EDO es exacta.

Comencemos con el termino de la funcion M(x, y)

M(x, y) =∂F

∂x

Integramos respecto a x∫M(x, y)dx =

∫∂F

∂xdx

quedandola primitiva de M(x, y) + g(y) = F (x, y)

donde g : IR −→ IR.

Luego, derivamos F respecto a y

∂F

∂y= N(x, y)

Se despeja g′(y) integrando respecto a y.

Finalmente, la solucion general tiene la constante C ∈ IR proveniente deintegrar g′(y).

9.6. Ecuacion diferencial ordinaria lineal de primer or-den

Sea la EDO lineal de primer orden:

y′(x) + P (x)y(x) = Q(x)

donde P,Q : I −→ IR continuas en I y y′ derivable (continua) en I.

Sean y (una solucion cualquiera) y yp (una solucion particular), tomandoy− yp y reemplazando en y(x) se obtiene que es solucion de la EDO. Luego,y−yp es solucion de la ecuacion homogenea asociada, por lo tanto y−yp = yh,es decir, y = yp + yh. Resta encontrar dichas soluciones.

Separare el analisis en dos casos.

39


Caso 1: Resolucion ecuacion homogenea

Igualamos la EDO a cero

y′ + P (x)y = 0

Luego, resolvemos mediante variables separables

dy

y= −P (x)dx

Integrando ambos lados,

ln|y| = −∫P (x)dx+ C

donde∫P (x)dx es una primitiva de P (x).

Finalmente,yh(x) = ±eCe−

∫P (x)dx

Todas las soluciones son de la forma

yh(x) = βe−∫P (x)dx

con β ∈ IR\0.

Caso 2: Resolucion ecuacion no homogenea

Partimos dey′(x) + P (x)y(x) = Q(x) (2)

Sabemos queyp(x) = α(x)yh(x) (3)

Reemplazamos en ecuacion (2)

α′(x)yh(x) + α(x)y′h(x) + P (x)α(x)yh(x) = Q(x)

Sacamos factor comun α(x)

α′(x)yh(x) + α(x)(y′h(x) + P (x)yh(x)) = Q(x)

Sabemos que y′h(x) + P (x)yh(x) = 0, pues yh(x) es solucion de la ho-mogenea, entonces

α′(x)yh(x) = Q(x)

40


Despejando e integrando a ambos lados∫α′(x)dx =

∫Q(x)

yh(x)dx

Finalmente,

α(x) =

∫Q(x)

yh(x)dx

donde∫ Q(x)

yh(x)dx es una primitiva de Q(x)

yh(x).

Reemplazando α(x) en ecuacion (3) llegamos a que todas las solucionesson de la forma

yp(x) = yh(x)

∫Q(x)

yh(x)dx

Luego, hallamos la solucion de la EDO: y(x) = yp(x) + yh(x).

9.7. EDO lineal de orden 2 con coeficientes constantes

Una EDO lineal de orden 2 con coeficientes constantes es de la forma:

y′′ + by′ + cy = g(x) (4)

donde b, c ∈ IR.

Para hallar la solucion debemos encontrar tanto la solucion homogeneacomo la particular (de la ecuacion no homogenea).

Comencemos con el analisis de la ecuacion homogenea:

y′′ + by′ + cy = 0 (5)

Proponemos como solucion

y(x) = eλx

Reemplazamos en la EDO

λ2eλx + bλeλx + ceλx = 0

Sacamos factor comun eλx

eλx(λ2 + bλ+ c) = 0

La ecuacion caracterıstica asociada a la EDO es λ2 + bλ+ c = 0.

Ahora surgen 3 posibles casos mediante el analisis del discriminante

λ1, λ2 =−b±

√b2 − 4c

2

41


Caso 1: λ1 6= λ2 raıces reales.

Las soluciones son

yh1(x) = eλ1x y yh2(x) = eλ2x

Luego,yh(x) = Ayh1(x) +Byh2(x)

donde A,B ∈ IR.

Caso 2: λ1 = λ2.

Las soluciones son

yh1(x) = eλ1x y yh2(x) = xeλ2x


Como λ1 = λ2 = λ,

yh1(x) = eλx y yh2(x) = xeλx

Caso 3: λ1 = λ2 complejas, no existen raıces reales.

Las soluciones son

yh1(x) = eax cos(bx) y yh2(x) = eax sin(bx)

donde a = Re(λ1) y b = Im(λ1) (se puede tomar λ2 en lugar de λ1

siempre y cuando se sea consistente).


Las soluciones a cada caso no son azarosas, se llega a ellas reemplazandoel respectivo valor de λ1 y/o λ2 (dependiendo el caso) usando el respectivodeterminante (con las raıces y sus derivadas), si cumple con el Wronskiano,usamos el Teorema 2 (ambas proposiones se encuentran mencionadas unaspaginas mas adelante).

Recordar: Si λ es raız doble del polinomio P (x) =⇒ λ es raız de P ′(x).

Sigamos con el analisis de la ecuacion no homogenea, es decir, hallarla solucion particular.

Existen diferentes metodos dependiendo de a lo que este igualada la EDO.

42


i) Metodo de coeficientes indeterminados (o metodo de seleccion)

Partimos de la ecuacion (4).

Separamos en casos dependiendo de g(x).

1. Caso g(x) = Aemx con A y m constantes.

Propongoyp(x) = Kemx

donde K es un valor a seleccionar.

Observacion: Cuando m es raız de la ecuacion caracterıstica, si sumultiplicidad es γ, entonces se propone

yp(x) = xγKemx

donde γ ∈ [0, 2].

Esto sucede debido a que se cae en la solucion homogenea, y que-remos evitarlo.

Luego, reemplazo en la EDO y despejo K.

2. Caso g(x) = A cos(mx) o g(x) = A sin(mx).

Propongoyp(x) = K1 cos(mx) +K2 sin(mx)

donde K1 y K2 son valores a seleccionar.

Observacion: Si la ecuacion caracterıstica tiene raıces complejas,a = 0 y b = m, entonces se propone

yp(x) = x(K1 cos(mx) +K2 sin(mx))

Luego, reemplazo en la EDO, y despejo K1 y K2.

3. Caso g(x) = amxm + · · ·+ a1x+ a0 =

∑mi=0 aix

i.

Propongo

yp(x) = αmxm + · · ·+ α1x+ α0 =

m∑i=0

αixi

donde αi con i ∈ [0,m] son valores a determinar.

Observacion: Si la ecuacion caracterıstica tiene a λ = 0 como raızcon multiplicidad γ, entonces se propone

yp(x) = xγ(m∑i=0

αixi)

43


donde γ ∈ [0, 2].

Luego, reemplazo en la EDO y despejo cada αi.

ii) Solucion general

Este metodo sirve unicamente cuando g(x) es exponencial, po-linomica, seno, coseno o sumas o productos de las mismas.

Supongamos que

g(x) = emxP (x) cos(wx) o g(x) = emxP (x) sin(wx)

donde P (x) es un polinomio de grado n.

Entonces se propone

yp(x) = emx(R(x) cos(wx) + T (x) sin(wx))

donde R(x) y T (x) son polinomios completos de grado n.

Observacion: En caso que yp(x) caiga en la solucion homogenea,se debe multiplicar por x tantas veces como sea necesario hastaque se evite lo mencionado.

Tip: Este metodo es fundamental tenerlo en cuenta, pero a vecespuede ser tedioso. Recomiendo utilizar el metodo iii).

iii) Variacion de parametros

Este metodo puede usarse si y solo si g(x) se anula mediante laaplicacion de un operador con coeficientes constantes.

Partimos dey′′ + b(x)y′ + c(x)y = g(x) (6)

cuyos coeficientes son dependientes (esto trae problemas en la ho-mogenea).

Supongamos que encontramos la solucion homogenea

yh(x) = Ay1 +By2

Sea la solucion particular de la EDO de la ecuacion (6)

yp(x) = α(x)y1 + β(x)y2 (7)

Debemos hallar y′′p y y′p.

y′p = α′(x)y1 + α(x)y′1 + β′(x)y2 + β(x)y′2

44


Pido α′(x)y1 + β′(x)y2 = 0.

y′′p = α′(x)y′1 + α(x)y′′1 + β′(x)y′2 + β(x)y′′2

Entonces, ahora queda

y′p = α(x)y′1 + β(x)y′2

Reemplazamos yp, y′p y y′′p en la ecuacion (6)

α′(x)y′1 + α(x)y′′1 + β′(x)y′2 + β(x)y′′2 + b(x)(α(x)y′1 + β(x)y′2)

+ c(x)(α(x)y1 + β(x)y2) = g(x)

Sacando α(x) y β(x) factor comun

α(x)(y′′1 + b(x)y′1 + c(x)y1) + β(x)(y′′2 + b(x)y′2 + c(x)y2)

+ α′(x)y′1 + β′(x)y′2 = g(x)

Como y′′1 + b(x)y′1 + c(x)y1 = y′′2 + b(x)y′2 + c(x)y2 = 0 (pues y1 yy2 son soluciones de la ecuacion homogenea), tenemos

α′(x)y′1 + β′(x)y′2 = g(x)

Luego, α′(x)y1 + β′(x)y2 = 0

α′(x)y′1 + β′(x)y′2 = g(x)

Despejo α′(x) y β′(x), integro y reemplazo α(x) y β(x) en la ecua-cion (7).

Es probable (y recomendable) que se tenga que usar el metodode Cramer.

9.7.1. Wronskiano

Dadas dos funciones derivables f1, f2 : (a, b) −→ IR, el determinante∣∣∣∣∣f1(x) f2(x)

f ′1(x) f ′2(x)

∣∣∣∣∣ = W (f1, f2)(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) = I

se dice Wronskiano de f1 y f2.

Esto es algo a resaltar, puesto que nos dice que f1 y f2 son dos funcioneslinealmente independiente (l.i.), es decir, α1f1 +α2f2 = 0 ⇐⇒ α1 = α2 = 0.

45


9.7.2. Teorema 2

Sean f1, f2 : (a, b) −→ IR dos soluciones l.i. de la ecuacion (5). Entonces,cualquier solucion de la ecuacion (5) es de la forma:

yh(x) = α1f1 + α2f2

donde α1, α2 son constantes.

9.7.3. Solucion particular para n funciones

Sea la EDO lineal de orden 2 de la forma

y′′ + by′ + cy = f1 + · · ·+ fn (8)

Donde yp1 solucion particular de f1

...

ypn solucion particular de fn

Entonces y′′p1 + by′p1 + cyp1 = f1

...

y′′pn + by′pn + cypn = fn

Sumando miembro a miembro

(yp1 + · · ·+ ypn)′′ + b(yp1 + · · ·+ ypn)′ + c(yp1 + · · ·+ ypn) = f1 + · · ·+ fn

Llamando yp = yp1 + · · ·+ ypn queda que yp serıa una solucion particularde la ecuacion (8).

Esto nos dice que si tenemos la EDO igualada a n funciones, podemoscalcular la solucion particular de cada una de manera individual, y luegoproponer como solucion particular de la EDO la suma de cada solucion par-ticular de fi con i ∈ [1, n].

10. La divergencia y el rotacional

Utilizare el operador nabla, definido por

∇ =∂

∂x~i+

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

46


10.1. Divergencia

La divergencia de F = (F1, . . . , Fn) es el campo escalar

div(F ) = ∇ ∗ F =∂F1

∂x1

+ · · ·+ ∂Fn∂xn

Observacion: Si ∇ ∗ F = 0, F es solenoidal (o incompresible).

10.2. Rotor

El rotor (o rotacional) del campo vectorial F = (F1, F2, F3) se define como∇× F :

rot(F ) = ∇×F =

∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)~i+

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)~j+

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)~k

Notese que se intercambiaron de lugar las derivadas parciales de la se-gunda componente, para que quede todo expresado como suma.

Tip: Una forma de recordar la formula (para evitar hacer el productovectorial) es escribir las derivadas parciales de cada componente de F en esteorden 3, 2, 1, 3, 2, 1 cociente con el operador de derivada parcial(

∂F3

∂− ∂F2

∂

)~i+

(∂F1

∂− ∂F3

∂

)~j +

(∂F2

∂− ∂F1

∂

)~k

Luego, vemos cada componente por separado. Tomamos a su ‘pareja’ paradeterminar respecto a que variable derivar, por ejemplo, tomemos el caso ~i(

∂F3

∂− ∂F2

∂

)~i

Como F3 tiene a F2 como ‘pareja’, F2 se encuentra en la posicion 2, por lotanto, F3 se debe derivar respecto a la segunda variable, es decir, y. Analogopara F3 pero con la posicion 3, es decir, la variable z.(

∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)~i

Completar todos los denominadores de esta forma.

47


11. Integrales de lınea

Un desplazamiento infinitesimal de una particula que sigue una trayecto-ria

c(t) = (x(t), y(t), z(t))

es

ds = dx~i+ dy~j + dz~k =

(dx

dt~i+

dy

dt~j +

dz

dt~k

)dt

y su longitud

ds =

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

+

(dz

dt

)2

dt =√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

entoncesds = ||c′(t)||dt

11.1. Integral de lınea para campos escalares

La integral de f(x, y, z) campo escalar sobre la trayectoria c(t), si c : I =[a, b] −→ IR es de clase C1 y f continua en I se define:∫

c

fds =

∫ b

a

f(x(t), y(t), z(t))||c′(t)||dt =

∫ b

a

f(c(t))||c′(t)||dt

11.2. Longitud de curva

Para calcular la longitud de una trayectoria c, tomamos la funcion f(x, y, z) =1, entonces ∫

c

fds =

∫c

ds =

∫ b

a

||c′(t)||dt

11.3. Integral de lınea para campos vectoriales

Sea F un campo vectorial en IR3 continuo sobre la trayectoria c : [a, b] −→IR3 de clase C1, definimos la integral de lınea de F a lo largo de c por laformula: ∫

c

Fds =

∫ b

a

F (c(t))c′(t)dt

Si se quiere usar la componente tangencial a la trayectoria, partimosde ∫

c

Fds =

∫ b

a

F (c(t))c′(t)dt

48


Dividimos y multiplicamos por la norma del diferencial de la curva (siem-pre y cuando c′(t) 6= 0)∫

c

Fds =

∫ b

a

F (c(t))c′(t)

||c′(t)||||c′(t)||dt =

∫ b

a

F (c(t))T (t)||c′(t)||dt

Observacion: Otra manera de escribir las integrales de lınea de camposvectoriales es∫

c

Fds =

∫ b

a

(F1dx

dt+ F2

dy

dt+ F3

dz

dt

)dt =

∫c

(F1, F2, F3)ds

Esto se conoce como la 1-forma diferencial.

11.4. Teorema 1: Cambio de parametrizacion

Sea f un campo escalar continuo sobre la trayectoria de clase C1 c :[a1, b1] −→ IRn y p : [a, b] −→ IRn una reparametrizacion regular de c.Entonces, ∫

c

fds =

∫p

fds

Sea F un campo vectorial continuo sobre la trayectoria de clase C1

c : [a1, b1] −→ IR3, y sea p : [a, b] −→ IR3 una reparametrizacion de c.Entonces,

Si p conserva la orientacion:∫p

Fds =

∫c

Fds

Si p invierte la orientacion:∫p

Fds = −∫c

Fds

11.5. Funcion potencial y campo gradiente

Decimos que F : IRn −→ IRn es un campo gradiente (o campo conser-vativo) si existe un campo escalar ϕ : Ω ⊆ IRn −→ IR, donde ϕ es de claseC1 en Ω, tal que F = ∇ϕ (ϕ se denomina funcion potencial).

CONDICION NECESARIA PARA CAMPO GRADIENTE: Fdebe ser irrotacional (∇ × F = ~0), y supongamos F = (P (x, y), Q(x, y)),entonces ∂P

∂y= ∂Q

∂x. F debe admitir funcion potencial.

49


11.6. 1o Teorema Fundamental del Calculo para inte-grales de lınea

Sea F : Ω ⊆ IRn −→ IRn continuo, Ω abierto conexo. Supongamos que laintegral de lınea de F entre dos puntos NO depende del camino recorrido (esdecir, F es campo gradiente), podemos definir

ϕ(x1, . . . , xn) =

∫ (x1,...,xn)

a

Fds

existe ∇ϕ(x1, . . . , xn) ∈ Ω y se cumple:

∇ϕ(x1, . . . , xn) = F (x1, . . . , xn)

11.7. 2o Teorema Fundamental del Calculo para inte-grales de lınea

Sea f : IR3 −→ IR de clase C1 y c : [a, b] −→ IR3 una trayectoria C1 atrozos. Entonces, ∫

c

∇fds = f(c(b))− f(c(a))

Esto nos dice que la integral de lınea entre dos puntos es independientedel camino.

Observacion: Si c(a) = c(b) entonces decimos que c es una curva cerrada,y su integral de lınea se denota∫

c

fds =

∮c

fds

Observacion: Si f es un campo gradiente, su circulacion por cualquiercurva cerrada es cero pues∮

c

∇fds = f(c(a))− f(c(b)) = f(c(a))− f(c(a)) = 0

11.8. Teorema 2: Curvas formadas por varias compo-nentes

Sea C una curva orientada compuesta por varias curvas orientadas C =C1, . . . , Ck. Entonces, escribimos C = C1 + · · · + Ck. Luego, la integral delınea a lo largo de dicha curva C se define como:∫

C

Fds =

∫C1

Fds+ · · ·+∫Ck

Fds

50


11.9. Teorema 3: Equivalencia irrotacional-conservativo

Sea F : Ω ⊆ IR3 −→ IR3, Ω simplemente conexo y F de clase C1 sobre Ω,entonces

F es conservativo ⇐⇒ ∇× F = ~0

11.10. Teorema 4: Relacion solenoidal-rotacional

Si F es un campo vectorial de clase C1 definido en IR3 tal que div(F )=0,entonces existe un campo vectorial G de clase C1 de modo que F = rot(G).

11.11. ¿Cuando un campo vectorial es un gradiente?

Sea F un campo de clase C1 definido en IR3, excepto tal vez en un numerofinito de puntos. Las siguiente condiciones sobre F son equivalentes:

1. Para cualquier curva orientada cerrada y simple C, se cumple∮C

Fds = 0

2. Para dos curvas orientadas simples cualesquiera, C1 y C2 que tenganlos mismos extremos, se cumple∫

C1

Fds =

∫C2

Fds

3. F es el gradiente de alguna funcion f (funcion potencial), es decir,F = ∇f (y si F tiene uno o mas puntos excepcionales donde no estadefinido, entonces f tampoco esta definida allı).

4. ∇× F = ~0.

Un campo vectorial que satisface una (y, por lo tanto, todas) de las con-diciones 1.− 4. se denomina campo vectorial conservativo.

Nota: Es importante resaltar lo que menciona el item 3., puesto que si lafuncion potencial f anade alguna restriccion a F , F no es campo gradiente.

51


12. Integrales dobles

El volumen de la region que esta sobre R y bajo la grafica de una funcionno negativa f se llama integral doble de f sobre R y se denota por:∫∫

R

f(x, y)dA o

∫∫R

f(x, y)dxdy

Geometricamente, dA representa el area de cada ‘cuadrado’ pequeno sobreR, y f(x, y) determina la altura.

Condiciones suficientes de integrabilidad: f continua en la region aintegrar, y acotada.

12.1. Regiones cartesianas elementales

Sea A el area a integrar (el ‘rectangulo’), entonces

Tipo 1 (o y−simples)

A = (x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x).

Tipo 2 (o x−simples)

A = (x, y) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y).

Tipo 3 (o simple)

Si es de Tipo 1 y Tipo 2 (circunferencias, elipses, etc...).

DEFINICION: Si A ⊂ IR2 es una region cartesiana elemental, podemosencontrar un rectangulo R, tal que A ⊂ R. Dada f : A −→ IR continua,definimos la integral ∫∫

A

fdA =

∫∫R

f ∗dA

donde

f ∗ : IR −→ IR =

f(x, y) si(x, y) ∈ A0 si(x, y) ∈ R\A∼

PROPOSICION: Sea A ⊂ IR2 un recinto elemental de Tipo 1 y seaf : A −→ IR continua, entonces:∫∫

A

fdA =

∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)

fdy

)dx

52


Analogamente con un reciento elemental de Tipo 2.

∼

Observacion: Si tomamos f(x, y) = 1, entonces∫∫R

fdA =

∫∫R

dA = Area(A)

es decir, calculamos el area de la base A (siempre y cuando A sea unaregion cartesiana elemental).

12.2. Cambio de variables

Si reemplazamos las variables, por ejemplo, x e y, por u y v, entonces∫∫R

fdydx =

∫∫R∗f |det(Df(u, v))|dudv

donde det(Df(u, v)) = 1det(Df(x,y))

.

Observacion: Recordar que ahora no existen mas x e y, debemos expresartodo en funcion de u y v.

En la seccion Integrales Triples profundizo respecto al cambio de variablesen IRn, y aquellos mas comunes.

12.3. Tips

Cambiar el orden de integracion (dydx por dxdy, o viceversa), y por lotanto, los extremos.

Cambiar las variables.

Sirven para calcular areas.

12.4. Areas comunes

1. Cuadrado: a2.

2. Rectangulo: ab.

3. Circunferencia: πr2.

4. Esfera: π4r2.

5. Elipse: πab.

53


13. Integrales Triples

Sea f un funcion acotada de tres variables definida en D. Si lımn→∞ Sn =S existe y es independiente de la eleccion de cijk (vendrıa a ser cada ‘caja’ dela region D), decimos que f es integrable y llamamos a S su integral triplede f en D, y la denotamos por:∫∫∫

D

f(x, y, z)dV o

∫∫∫D

f(x, y, z)dxdydz

Respecto a la reduccion a integrales iteradas, hay 6 posibles combi-naciones (consiste en ir jugando con el orden de integracion, y se reduce enun problema de conteo donde la cantidad de combinaciones es 3x2x1 = 6).En integrales dobles solo habıa 2 posibles combinaciones.

13.1. Regiones elementales en IR3

Sea A el volumen a integrar (la ‘caja’), entonces

Tipo 1

A = (x, y, z) : a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x), γ1(x, y) ≤ z ≤γ2(x, y).

Demas tipos

Se definen analogamente.

DEFINICION: Si A ⊂ IR3 es una region elemental en IR3, podemosencontrar una caja (o cubo) Q, tal que A ⊂ R. Dada f : A −→ IR continua,definimos la integral ∫∫∫

A

fdV =

∫∫∫Q

f ∗dV

donde

f ∗ : IR −→ IR =

f(x, y, z) si(x, y, z) ∈ A0 si(x, y, z) ∈ Q\A∼

PROPOSICION: Sea A ⊂ IR3 un recinto elemental de Tipo 1 y seaf : A −→ IR continua, entonces:∫∫∫

A

fdV =

∫ b

a

(∫ φ2(x)

φ1(x)

(∫ γ2(x,y)

γ1(x,y)

fdz

)dy

)dx

54


Analogo para los Demas tipos.

∼

Observacion: Si tomamos f(x, y, z) = 1, entonces∫∫∫R

fdV =

∫∫∫R

dV = Volumen(A)

es decir, calculamos el volumen de la superficie A (siempre y cuando Asea una region elemental en IR3).

13.2. Teorema: Cambio de variables en IRn

Sean D y D∗ regiones elementales en IRn. Sea T : D∗ −→ D un cambiode variables. Entonces para cada f : D −→ IR integrable, se cumple:∫· · ·∫D

f(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn =

∫· · ·∫D∗f(T (u1, . . . , un)|Dt(u1, . . . , un)|du1 . . . dun

donde T (u1, . . . , un) = (x1, . . . , xn) y Dt(u1, . . . , un) es la matriz jacobia-na de T .

Veamos de donde viene esto.

Tomemos T (r, θ, φ) = (x, y, z) = (x(r, θ, φ), y(r, θ, φ), z(r, θ, φ)).

Entonces, dx = ∂x

∂rdr + ∂x

∂θdθ + ∂x

∂φdφ

dy = ∂y∂rdr + ∂y

∂θdθ + ∂y

∂φdφ

dz = ∂z∂rdr + ∂z

∂θdθ + ∂z

∂φdφ

Luego, en notacion matricial,

dxdydz

=

∂x∂r

∂x∂θ

∂x∂

∂y∂r

∂y∂θ

∂y∂φ

∂z∂r

∂z∂θ

∂z∂φ

drdθdφ

Lo que es igual a

dV = dxdydz = Dtdrdθdφ

Ahora, ¿de donde viene el valor absoluto?

55


Sabemos que el area de una region debe ser positiva. Sean ~v y ~u, el areaentre ellos se calcula con el producto vectorial y su modulo, |~v||~u| sin(α). Siaplicamos una transformacion lineal:

|Mt~v ×Mt~u | = |det(Mt)| ∗ |~v| ∗ |~u|

Entonces, analogamente, sale el factor |det(Dt)|, y de ahı proviene el valorabsoluto.

13.3. Cambios de variables clasicos

i) Coordenadas polares en IR2

Tomamosx = r cos(θ)y = r sin(θ)

Por otro lado,

Dt(r, θ) =

[cos(θ) −r sin(θ)

sin(θ) r cos(θ)

]

Luego,|det(Dt(r, θ))| = r

ii) Coordenadas esfericas en IR3

Tomamosx = ρ sin(θ) cos(φ)y = ρ sin(θ) sin(φ)z = ρ cos(θ)

Por otro lado,

Dt(ρ, φ, θ) =

sin(θ) cos(φ) −ρ sin(θ) sin(φ) ρ cos(θ) cos(φ)

sin(θ) sin(φ) ρ sin(θ) cos(φ) ρ cos(θ) sin(φ)

cos(θ) 0 −ρ sin(θ)

Luego,

|det(Dt(ρ, φ, θ))| = ρ2 sin(θ)

56


iii) Coordenadas cilındricas en IR3

Tomamosx = r cos(θ)y = r sin(θ)z = z

Por otro lado,

Dt(r, θ, z) =

cos(θ) −r sin(θ) 0

sin(θ) r cos(θ) 0

0 0 1

Luego,

|det(Dt(r, θ, z))| = r

13.4. Volumenes comunes

Cubo: a3.

Prisma: abc.

Esfera: 43πr3 (integrar el area de una esfera respecto a r).

Cilindro: πr2h.

Cono: πr2h3

.

14. Integrales de superficie

Antes de ir directo a las integrales de superficie, debo introducir ciertosconceptos para una mejor comprension.

DEFINICION: Superficies parametrizadasUna parametrizacion de una superficie es una funcion Ψ : D ⊆

IR2 −→ IR3. La superficie S corresponde a la imagen de la funcion Ψ, esdecir, S = Ψ(D). Podemos escribir:

Ψ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

Esto se puede pensar como que la funcion Ψ asigna a cada punto (u, v)una etiqueta para un punto (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de S.

∼

57


14.1. Vectores tangentes a una superficie parametriza-da

Supongamos que Ψ es una superficie parametrizada que es diferenciableen un punto (u0, v0) de su dominio. Fijando u en u0 obtenemos una curvasobre S definida por t −→ (u0, t), y podemos derivar (pensar esta parte comosi u fuera y en IR2) respecto a v, entonces

Tv =∂Ψ

∂v=∂x

∂v(u0, v0)~i+

∂y

∂v(u0, v0)~j +

∂z

∂v(u0, v0)~k

De manera analoga, fijamos v en v0 obteniendo una curva t −→ (t, v0)sobre S, y obtenemos

Tu =∂Ψ

∂u=∂x

∂u(u0, v0)~i+

∂y

∂u(u0, v0)~j +

∂z

∂u(u0, v0)~k

Figura 4: Representacion de la parametrizacion de una superficie con ambascurvas.

Nota: La funcion s vendrıa a ser la funcion Ψ.

DEFINICION: Superficies regularesComo los vectores Tu y Tv son tangentes a dos curvas sobre la superficie

en un punto dado, el vector Tu × Tv deberıa ser normal a la superficie endicho punto. Spoiler, sı, lo es (~n = Tu × Tv).

Decimos que una superficie S es regular (o suave) en Ψ(uo, vo) si Tu×Tv 6=~0 en (u0, v0).

Una superficie es regular si es regular en todos los puntos Ψ(u0, v0) ∈ S.

∼

58


DEFINICION: Plano tangente a una superficieSi una superficie parametrizada Ψ : D ⊆ IR2 −→ IR3 es regular en

Ψ(u0, v0), definimos el plano tangente a la superficie Ψ en el punto (u0, v0)como el plano determinado por ~n = Tu × Tv de la forma:

(x− x0, y − y0, z − z0)~n = 0

donde ~n esta evaluado en u0, v0).

∼

A partir de ahora considerare solo superficies regulares a trozos que seanunion de imagenes de superficies parametrizadas Ψi : Di ⊆ IR2 −→ IR3, paralas cuales:

1. Di es una region elemental en el plano.

2. Ψi es de clase C1 e inyectiva, salvo quiza en ∂Di.

3. Si imagen de Ψi es regular, excepto quiza en un numero finito de puntos.

DEFINICION: Area de una superficie parametrizadaDefinimos el area A(S) de una superficie parametrizada por:

A(S) =

∫∫D

||Tu × Tv||dudv

Si S es la union de superficies Si, su area es la suma de las areas de lasSi.

∼

59


14.2. Justificacion de la formula del area

Teniendo en cuenta la siguiente imagen

Figura 5: Representacion del area de la parametrizacion de una superficie.

Tenemos ası una ‘aproximacion’ de la superficie por los puntos Pij.

Entonces,

A(Pij) = ||∆uTui ×∆vTvj || = ||Tui × Tvj ||∆u∆v

Por consiguiente, el area de la aproximacion es

An =n−1∑i=0

n−1∑j=0

(||Tui × Tvj ||∆u∆v

)Cuando n −→∞, las sumas An convergen a la integral∫∫

D

||Tui × Tvj ||dudv

14.3. Integral de superficie de campos escalares

Si f(x, y, z) es una funcion continua con valores reales, definida sobre unasuperficie parametrizada S, definimos la integral de f sobre S como∫∫

S

fdS =

∫∫D

f(Ψ(u, v))||Tu × Tv||dudv

60


Si S es una union de superficies parametrizadas Si, i = 1, . . . , n, que nose cortan salvo tal vez a lo largo de las curvas que definen sus fronteras,entonces la integral de f sobre S se define por∫∫

S

fdS =n∑i=1

∫∫Si

fdSi

14.4. Area de una superficie

Para calcular el area de una superficie S, tomamos la funcion f(x, y, z) =1, entonces ∫∫

S

fdS =

∫∫S

dS =

∫∫D

||Tv × Tu||dudv

14.5. Integral de superficie de un campo vectorial

Sea F un campo vectorial definido sobre S, la imagen de una superficieparametrizada Ψ. La integral de superficie de F sobre S, se define por:∫∫

S

FdS =

∫∫D

F (Ψ(u, v))(Tu × Tv)dudv

Nota: Esta definicion es muy importante, pues nos permite calcular elflujo de una funcion a traves de una superficie. Mas adelante menciono elconcepto de superficies orientadas, pero existen dos flujos: entrante (nor-mal interna) o saliente (normal externa).

Observacion:∫∫D

F (Ψ(u, v))(Tu×Tv)dudv =

∫∫D

F (Ψ(u, v))Tu × Tv||Tu × Tv||

||Tu×Tv||dudv =

∫∫S

F~ndS

DEFINICION: Superficies orientadasUna superficie orientada es una superficie con dos caras en la que se

especifica una de ellas como cara exterior (o cara positiva), la otra cararecibe el nombre de cara interior (o cara negativa). En cada punto (x, y, z)hay dos vectores normales unitarios n1 y n2, tal que n1 = −n2.

61


Figura 6: Representacion de los vectores unitarios n1 y n2 (en dos puntosdiferentes).

Figura 7: Representacion de las caras de una superficie.

∼

DEFINICION: Orientacion de una superficieSea Ψ continua, y Tu × Tv nunca se anula, entonces, podemos definir la

normal continua sobre toda la superficie con su direccion:

~n = ± Tu × Tv||Tu × Tv||

62


Si tenemos otra parametrizacion E(p, q), entonces

~n = ± Ep × Eq||Ep × Eq||

donde, si queda el signo positivo ‘+’, significa que E conserva orientacion.Analogo con el signo negativo ‘-’. Obviamente, esto depende del signo de lanormal obtenida por la parametrizacion T , si coinciden, conserva orientacion,caso contrario E la invierte.

∼

14.6. Cambios de parametrizacion

Sea S una superficie orientada, y sean Ψ1 y Ψ2 dos parametrizacionesregulares, y sea F un campo vectorial continuo definido sobre S, entonces:∫∫

S

FdS =

∫∫Ψ1

FdS = −∫∫

Ψ2

FdS

donde Ψ1 conserva orientacion, y Ψ2 la invierte.

Si f campo escalar continuo definido sobre S, y sean Ψ1 y Ψ2 parame-trizaciones de S, entonces:∫∫

S

fdS =

∫∫Ψ1

fdS =

∫∫Ψ2

fdS

15. Teoremas de integracion del analisis vec-

torial

Llegado este punto, podemos relacionar el calculo diferencial vectorial conel calculo integral vectorial. Esto se hara mediante los importantes teoremasde Green, Gauss y Stokes.

Ademas, son muy utiles a la hora de simplificar calculos, y tienen variasaplicaciones fısicas.

15.1. El teorema de Green

Primero introducire el concepto de orientacion en una curva cerrada sim-ple, llamemosla C, que es frontera de una region elemental. Si la curva serecorre en el sentido antihorario, decimos que su orientacion es positiva

63


(C+). Si la curva se recorre en el sentido horario, decimos que su orientaciones negativa (C−).

Geometricamente, se puede pensar que una curva tiene orientacion po-sitiva, si al ‘caminar’ a lo largo de esta, la region queda siempre a nuestraizquierda.

Figura 8: Representacion de la orientacion de la curva C.

15.1.1. Teorema de Green

Sea D una region simple compacta de Tipo 3 y sea C+ su frontera (∂D+)recorrida en sentido positivo. Supongamos que P : D −→ IR y Q : D −→ IRson de clase C1. Entonces∫

C+

Pdx+Qdy =

∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy

15.1.2. Teorema: Area de una region

Si C es una curva cerrada simple que acota una region en la cual esaplicable el teorema de Green, entonces el area de la region D acotada porC = ∂D es

A(D) =1

2

∫∂D+

xdy − ydx

64


Esta demostracion sale tomando P (x, y) = −y y Q(x, y) = x.Ver pagina 505 para la demostracion.

Una alternativa tambien es tomando

A(D) =

∫∂D+

x

2dy − y

2dx

Notese que se distribuyo el factor 12. Esta demostracion sale tomando

P (x, y) = −y2

y Q(x, y) = x2.

15.2. Teorema de la divergencia en el plano

Sea D ⊆ IR2 una region en la que vale el teorema de Green, y sea ∂Dsu frontera. Sean ~n la normal unitaria exterior a ∂D. Si c : [a, b] −→ IR2,t −→ c(t) = (x(t), y(t)) es una parametrizacion orientada positivamente de∂D, ~n viene dada por

~n =(y′(t), x′(t))√

(x′(t))2 + (y′(t))2

Sea F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) un campo vectorial de clase C1 sobre D.Entonces∫

∂D+

F~nds =

∫∫D

div(F )dA =

∫∫D

(∇ ∗ F )dA =

∫∫D

(∂P

∂x+∂Q

∂y

)dA

Figura 9: Representacion de una region D donde se puede aplicar divergenciaen el plano.

65


15.3. Teorema de Stokes

Sea S ⊆ IR3 una superficie orientada recorrida en sentido positivo, defini-da por una funcion de clase C2, z = f(x, y), donde (x, y) ∈ D, una region enla cual es valido el teorema de Green, y sea F un campo vectorial de clase C1

sobre S. Entonces, si ∂S denota la frontera de S, orientada como mencionepreviamente, se tiene∫

∂S+

Fds =

∮∂S+

Fds =

∫∫S

rot(F )dS =

∫∫S

(∇× F )dS

Figura 10: Representacion de una superficie S, y frontera ∂S+ = C, dondese puede aplicar Stokes.

15.4. Teorema de la divergencia de Gauss

Sea S ⊆ IR3 una region elemental simetrica en el espacio. Sea ∂S+ lasuperficie cerrada orientada que limita S. Sea F un campo vectorial suave(de clase C1) en S. Entonces∫∫

∂S+

FdS =

∫∫∫S

div(F )dV =

∫∫∫S

(∇ ∗ F )dV

66


16. Bibliografıa

E. Marsden, J. y J. Tromba, A. (Ed. 5). (2004). CALCULO VECTO-RIAL. Madrid, Espana: Editorial PEARSON Addison-Wesley.

Apuntes tomados en clases (1er cuatrimestre del 2019).

http://cms.dm.uba.ar/materias/1ercuat2010/ecuaciones_diferenciales_

ordinarias/22.4.10.pdf.

https://www.monografias.com/trabajos6/vapa/vapa.shtml.

https://personal.us.es/niejimjim/tema02.pdf.

67

http://cms.dm.uba.ar/materias/1ercuat2010/ecuaciones_diferenciales_ordinarias/22.4.10.pdf

http://cms.dm.uba.ar/materias/1ercuat2010/ecuaciones_diferenciales_ordinarias/22.4.10.pdf

https://www.monografias.com/trabajos6/vapa/vapa.shtml

https://personal.us.es/niejimjim/tema02.pdf

Resumen An alisis Matem atico 2 - Apuntes CEITBA

Documents

Transcript of Resumen An alisis Matem atico 2 - Apuntes CEITBA