Página 1

POSICIONES RELATIVAS ENTRE PUNTO, RECTA Y PLANO. I.- Punto respecto a: Punto -Que coincidan. -Que no coincidan. (Determinan una recta) (Distancia) -Tres puntos no alineados. (Determinan un plano) Recta -Que pertenezca a la recta. (Las proyecciones del punto están contenidas en las pro-

yecciones homónimas de la recta) -Que no pertenezca. (Determinan un plano) (Distancia) Plano -Que pertenezca. (Pertenece a una recta del plano) -Que no pertenezca. (Distancia) II.- Recta respecto a: Recta -Que se corten. (Determinan un plano) (Ángulo) -Que se crucen. (Mínima distancia) (Ángulo) -Que sean paralelas. (Tienen sus proyecciones homónimas paralelas) -Que sean perpendiculares. (Existe un plano que contiene a una recta y es

perpendicular a la otra recta) Plano -Que pertenezca. (Las trazas de la recta están contenidas en las trazas homónimas del

plano) (Rectas horizontal y frontal del plano) (Rectas de máxima inclinación y de máxima pendiente)

-Que corte al plano. (Hallar el punto intersección) -Que sea perpendicular al plano. (Las proyecciones de la recta son perpendiculares a

las trazas homónimas del plano) -Que sea paralela al plano. (Es paralela a una recta del plano) III.- Plano respecto a: Plano -Que se corten. (Hallar la recta intersección) -Que sean perpendiculares. (Existe una recta de un plano que es perpendicular al otro

plano) -Que sean paralelos. (Sus trazas homónimas son paralelas)

Página 1

PROBLEMA PROCEDIMIENTO

Hallar las trazas de un plano dado por: - tres puntos - un punto y una recta - dos rectas paralelas - dos rectas que se cortan

En todos los casos hay que hallar al menos tres trazas de dos rectas contenidas en el plano que buscamos. Uniendo las trazas de las rectas obtenemos las trazas del plano. También podemos obtener las direcciones de las tra-zas del plano dibujando una recta horizontal del mismo para la traza horizontal y una recta frontal para la traza vertical.

Situar puntos en un plano Mediante una recta cualquiera del plano (se suelen utilizar rectas horizontales o frontales del plano).

Dado un plano y una proyección de una recta determinar la otra.

Prolongamos la proyección de la recta conocida hasta la L.T. y hasta la traza homónima del plano. Refiriendo estos puntos a la otra traza del plano y a la L.T. respectivamente obtenemos la otra proyección de la recta.

Dado un plano y la proyección de un punto determinar la otra.

Hacemos pasar una recta cualquiera (puede ser hori-zontal o frontal) por la proyección conocida del punto. (Ver problema anterior).

Trazar el plano vertical o plano proyectante horizontal que contiene a una recta.

La traza horizontal coincide con la proyección hori-zontal de la recta y la vertical es perpendicular a la L.T.

P E R T E N E N C I A S

Trazar el plano de canto o plano proyectante vertical que contiene a una recta.

La traza vertical coincide con la proyección vertical de la recta y la horizontal es perpendicular a la L.T.

Intersección de dos planos oblicuos. Los puntos donde se corten las trazas homónimas de los dos planos nos determinan las respectivas trazas de la recta intersección.

Intersección de un plano con otro paralelo a la L.T.

Intersección de un plano con otro vertical o proyectante horizontal.

I N T E R S E C C I O N E S

Intersección de un plano con otro de canto o proyectante vertical.

Página 2

Intersección de un plano con otro horizontal (paralelo al P.H. de proyec-ción).

El punto donde se cortan las trazas verticales de los dos planos es la traza vertical de la recta horizontal solución.

Intersección de un plano con otro frontal (paralelo al P.V. de proyección).

El punto donde se cortan las trazas horizontales de los dos planos es la traza horizontal de la recta frontal solución.

Intersección de un plano con otro de perfil.

La solución es una recta de perfil (tercera traza del plano respecto de ese plano de perfil). Para conocer su posición dibujaremos la tercera proyección de la recta.

Intersección de dos plano verticales o proyectantes horizontales.

La solución es una recta vertical (perpendicular al P.H. de proyección).

Intersección de dos planos de canto o proyectantes verticales.

La solución es una recta de punta (perpendicular al P.V. de proyección).

I N T E R S E C C I O N E S

Intersección de una recta R con un plano P.

- Se hace pasar un plano auxiliar Q por la recta R (suele usarse un plano proyectante de la recta). - Se halla la recta S intersección de los plano P y Q. - Se determina la intersección I de las recta R y S, siendo I el punto que buscamos.

Recta paralela a otra por un punto. Trazar por las proyecciones del punto paralelas a las proyecciones homónimas de la recta.

Plano paralelo a una recta R y que contenga a otra recta S.

- Por un punto cualquiera de la recta S se traza una recta paralela a R (problema anterior). - El plano que forman esa recta y S es el que busca-mos.

P A R A L E L I S M O

Plano paralelo a otro P por un punto A. - Dibujamos una recta paralela a una cualquiera del plano P por el punto A (suele usarse una horizontal o una frontal). - Las trazas del plano buscado pasarán por las trazas de dicha recta y serán paralelas a las trazas del plano P.

Página 3

Recta perpendicular a un plano por un punto.

Las proyecciones de la recta serán perpendiculares a las trazas homónimas del plano y pasarán por las correspondientes proyecciones del punto.

Plano perpendicular a otro P y que contenga a una recta S.

- Por un punto cualquiera de la recta S se traza una recta T perpendicular al plano P. - El plano que forman las rectas S y T es el plano buscado.

Plano perpendicular a una recta R por un punto A exterior.

- Trazamos por el punto A una recta horizontal o frontal del plano que buscamos. - Dibujamos las trazas del plano que contiene a la recta horizontal o frontal del paso anterior y que tiene sus trazas perpendiculares a las proyecciones homónimas de la recta R.

P E R P E N D I C U L A R I D A D Recta perpendicular a otra R por un

punto A exterior. - Trazar el plano P perpendicular a la recta R por el punto A según el problema anterior. - Hallar el punto B intersección entre el plano P y la recta R. - La recta que une A y B es la perpendicular buscada.

Paralelismo Perpendicularidad

Entre rectas DIRECTO Existe un plano que contiene a una recta y es perpendicular a la otra recta

Entre planos DIRECTO Existe una recta de un plano que es perpendicular al otro plano

Entre recta y plano La recta es paralela a una recta del plano DIRECTO

Página 4

Distancia entre dos puntos. a) Girar la recta que forman los dos puntos hasta

convertirla en frontal, usando un eje vertical. b) Girar la recta que forman los dos puntos hasta convertirla en horizontal, usando un eje de punta.

Distancia de un punto M a un plano P. - Trazar la recta perpendicular al plano P por el punto M. - Hallar el punto N intersección de la recta perpendicular con el plano P. - Hallar la distancia entre los punto M y N.

Distancia de un punto M a una recta R. - Trazar el plano perpendicular a la recta R por el punto M. - Hallar el punto N intersección del plano perpendicular con la recta R. - Hallar la distancia entre los punto M y N.

Distancia entre dos rectas paralelas. - Trazar un plano perpendicular a las rectas. - Hallar las intersecciones de ambas rectas con el plano perpendicular. - Calcular la distancia entre los dos puntos intersección.

D I S T A N C I A S

Distancia entre dos planos paralelos. - Trazar una recta perpendicular a los planos. - Hallar las intersecciones de ambos planos con la recta perpendicular. - Calcular la distancia entre los dos puntos intersección.

Angulo de dos rectas que se cortan. - Hallar las trazas del plano que forman. - Abatir el plano. - Abatir las rectas obteniendo así el ángulo que forman.

A N G U L O S

Angulo entre una recta R y plano P. - Por un punto cualquiera de la recta R trazar una recta S perpendicular al plano P. - El ángulo buscado es el complementario del que forman las rectas R y S.

Página 5

Angulo entre dos planos P y Q. - Hallar la recta intersección entre los dos planos.

- Trazar un plano perpendicular a la recta intersección. - Hallar las rectas intersección entre el plano per-pendicular y los planos P y Q. - El ángulo buscado es el que forman las dos rectas intersección.

Angulo de una recta con el P. H. de proyección.

Se gira la recta hasta convertirla en una recta frontal, usando un eje vertical que la corte.

Angulo de una recta con el P. V. de proyección.

Se gira la recta hasta convertirla en una recta horizontal, usando un eje de punta que la corte.

Angulo de un plano con el P. H. de proyección.

Es el ángulo que forma cualquier línea de máxima pendiente del plano con el P. H. de proyección.

A N G U L O S

Angulo de un plano con el P. V. de proyección.

Es el ángulo que forma cualquier línea de máxima inclinación del plano con el P. V. de proyección.

Sección de un volumen por un plano vertical o plano proyectante horizontal.

Las intersecciones del plano con cada una de las aristas del volumen son, en proyección horizontal, los puntos de corte de la traza horizontal con las proyecciones horizontales de las aristas. Estos puntos referidos a la proyección vertical de las aristas nos dan los puntos de la sección en proyección vertical.

Sección de un volumen por un plano de canto o plano proyectante vertical.

Las intersecciones del plano con cada una de las aristas del volumen son, en proyección vertical, los puntos de corte de la traza vertical con las proyecciones verticales de las aristas. Estos puntos referidos a la proyección horizontal de las aristas nos dan los puntos de la sección en proyección horizontal.

Sección de un volumen por un plano oblicuo.

a) Calcular la intersección de cada una de las aristas con el plano. b) Hacer un cambio de plano para convertir el plano oblicuo en un plano proyectante.

V O L U M E N E S

Sección de un volumen por un plano paralelo a la L. T.

Se resuelve mediante una tercera proyección de perfil.

Página 6

V O L U M E N E S

Intersección de recta y volumen. - Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta (usar un proyectante de la recta). - Hallar la sección que produce el plano sobre el volumen. - Los puntos de intersección son aquellos donde la recta coincide con la sección.

Verdadera magnitud de una figura plana contenida en un plano (secciones).

- Se abate el plano. - Se abate la figura: hay una relación de afinidad entre lo abatido y lo proyectado sobre el mismo plano, siendo eje de afinidad la bisagra y la dirección de afinidad perpendicular a dicha bisagra. Al abatir sobre el P.H. la L.T. es afín con la traza P' abatida.

F I G U R A S

Situar una figura determinada (polígonos y círculos) en un plano.

- Se abate el plano. - Se dibuja la figura en verdadera magnitud sobre el plano abatido. - Se desabate la figura: hay una relación de afinidad entre lo abatido y lo proyectado sobre el mismo plano, siendo eje de afinidad la bisagra y la dirección de afini-dad perpendicular a dicha bisagra. Al abatir sobre el P.H. la L.T. es afín con la traza P' abatida.