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MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
109
CAPITULO 1: Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejercicios Propuestos 1.1
1. Cxxxxxy 23
2ln2)( 2. 2
3
5)(
x
Cxxy
3. 96.5cos1
)(2
senxxxx
xy 4. 1
( )x
ey x
x xe
5. xx Ceexy 1)( 2
6. x
C
x
exy
x
)(
7.
2
27
231
1)(
23 xx
xxy 8.
xx Ceexy 2)(
9. xCxx
xy 5
)(3
10. 2
1)(
x
C
xxy
11. xx Ceexy 32)( 12.
Ce
exy x
x1ln
1)(
13. 2)( Cxxxy 14.
222
2
11
2ln4
1
2)(
x
C
x
x
x
xxy
15. yCeyyx 33)( 16.
yy Ceyeyx 3)(
Ejercicios Propuestos 1.2
1.
xx
xy
6
7
3
2
1)(
2
2.
x
C
x
exy
x
2
2
1
1)(
3.
xxxx
Cxy
ln3
2
9
4
1)(
2
4.
2
1
1)(
x
C
x
xy
Ejercicios Propuestos 1.3
1. Cxy
32
1ln3
1
2
2. Cxxx
y 54
34
3. Cxxxxyyyy 21
23
25
27
21
23
25
27
225
6
7
222
5
6
7
2
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
110
4. 3
2
33
33
xx
yy
5. Cee xy
6. Cyyx
xx ln21
ln
7. Cyyxx 23 22
8. 6235 xxxy
9. 11
xyx
10. Cxyxsenyx 24
1
2
1
11. 3
1412
3
1)( 2
3 xxy
Ejercicios Propuestos 1.4
1. Cxx
y ln
2 2
2
2. Cx
x
y
x
y
ln1
ln
3. Cxx
y
x
y
ln21ln
2
12
4. Cxx
y
y
x
lnln
2
1
5. xy
xCx
ln 6. ln 2 ln
x
yxe x C
y
7. 2ln
1
121ln
x
x
yx
y
Ejercicios Propuestos 1.5
1. 03 23 xyyxy 2. Cxxyyx 22
3. Cexyx y 3
3
4. Cxyxy 22
5. Cxyxyx 32 2 6. 172
22
yxyx
7. 2 2 2x y xy C 8. Cyyx cos
9. Cyexy x 2
Ejercicios Propuestos 1.6
1. 03
33
23 ye
yxex
x 2. C
x
y
x
3
21
3. 4323 xyyx
Ejercicios Propuestos 1.7
1. No es estable. Div erge de 3 2. Si es estable. Converge a 51
3. Si es estable. Converge a 12 4. No es estable. Div erge de 911
5. Diverge de 1 y converge a 5 6. Converge a 21 y div erge de 0
7. Converge a 3 y diverge de 5
Ejercicios Propuestos 1.8
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
111
1. ( )1 kBt
BI t
BCe
2.
0.806
2000( )
1 3 tI t
e
3. 1.21
( )1 19 t
NS t
e
4. a)
tetp 27.033)( b) 3p
5. a) t
etp 23
2520)( b) Div erge 6. a) tetp 2515)( b) 15p
7. a) tetp 15614)( 8. a) t
te
e
ttp 2
248
2)( b) 8p
9. a) 3
( ) 2 1 1p t t b) (8) 55p
10. a) ( ) 24 0.08 600I t t t b) 608.580I
11. a)0.084( ) 5000 35000 tQ t e b) 14.22857$
12. a) 2
( )2
Q tt
b) Dentro de seis meses tendrá $4 millones
13 a) 0.13 1
( ) 30 25 ; 1t
Q t e t
b) 28 objetos aproximadamente
Misceláneos
1. 2
3ln
2
1
2 ye
e
x
x
2. xx Cee
xy22
21
1
3. 2
1ln
xy
xx
4. 2 53
7
1t t
K te Ce
5. Cyyyy
yx sincos1
6. 31
2 1 xy x
x Ce
7. Cyyx
42
422
8. 2 3 3
2 4 2 yCex
y y y y
9. xCxy 1ln
10. Cxxxy 11sin
11. Cxe xy
ln
12. Cxy 2
12
122 11
13. Ceex yy 21
14. 2
1tan
2
2cosyx
x
15. 3
411 Cyyx
16. 3 2x xe y ye C
17. Cxx
y
x
y ln1ln1ln
21
21
18. Cxx
y
sin
1
sin3
2
19.
2 23
2
x yx y C
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
112
20. Cxyx
y
o
xC
xy
2
21. 2 cos3
3
yxy C
22. Cxxyxy 1ln22
23. Cxxxy 3)(
24. 112
32
212
21 xy
25. Cxy 2
212
21
PARTE II. PROBLEMAS
2. a) kQdt
dQ ; 0.18( ) 1000 tQ t e b) 9t años aproximadamente
3. 92( ) 6 4
tp t e
4. a) t
ba
ba
eCba
abtp 22
11
11
33)(
b) 1 1 2 2a b a b ó 1 1 2 2a b a b
c) tCetp 36)( ; 6$p
5. a)
4
24.0)(
2
t
tQ b) 5t años
6. a) Qdt
dQ064.0 b) 11t aproximadamente
7. 0
0
( )
k
p AV p V
p A
CAPITULO 2: Ecuaciones Diferenciales de Segundo
Orden
Ejercicios Propuestos 2.1
1. xxxy 2sin2cos)(21 2.
xx xekekxy 21)(
3. xkxkxy 3cos3sin)( 21 4. xx xeexy 22 3)(
5. xx ekekxy 21)( 6.
xexy )(
7. xxxy sincos)( 8. xekkxy 21)(
9. xkxkxy 2cos2sin)( 21 10. xx xekekxy 3
23
1)(
Ejercicios Propuestos 2.2
1. 2 3
1 2( )
x xy x k e k e x x
2. 3 3 21 4 2 1
1 2 9 27 27 4( ) x x xy x k e k xe x x e
3. xxkxkexyx
2sincossin)(2
322
31
2
1
4. 21
1 2 2( ) sin cos xy x k x k x e
5. xxxx exeekekxy
91
912
24
1)(
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
113
6. 2 11 2 2
1 8( ) cos sin 2 cos2
65 65
x xy x e k senx k x e x x
7. 7 5 3
1 2
9 1 1 1( ) sin cos
25 50 32 35
x x xy x k e k e x x e
8. 227 9 3 1 1 3
( ) cos sin cos2 sin 280 20 10 10 20 20
x xy x e e x x x x
9. 4 3 21 7 1 1 1
( )60 6 10 6 12
x x x xy x e e e e
10. 27 3 1 1
( )12 4 2 3
x x xy x e e senx e
11. 5 2 21589 25 1 7 161 1
( )500 4 10 50 500 4
x x xy x e e x x e
Ejercicios Propuestos 2.3
1. xxx ekxekekxy 33
23
1)(
2. 2)( 322
1 xxx ekekekxy
3. 4
1 2 3( ) cosx xy x k e e k senx k x
Ejercicios Propuestos 2.4
1. No es estable dinámicamente 2. SI estable 3. No estable
Misceláneos
1. a) 2 2 3 2 2 2
1 2
1 1 5 5( )
6 2 2 2
x x x xy x k e k xe x e x e x
b) xxxekekekxy xxx cos20
3sen
20
9
9
2
3
4)( 32
31
c) tt
ettktkety 2
2
322
31
7
11sencos)( 2
1
d) 27
1
9
14
27
28)( 3233 xexxeexy xxx
2. b) 5
6)( 2
1
25
1 tt ekektx converge a
5
6x
CAPITULO 3: Ecuaciones en Diferencias de Primer
Orden
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
114
Ejercicios Propuestos 3.1
1. 136 tty 2.
16
2
t
ty
3. 55
1
t
ty 4. 1 3 4
5 2 5
t
ty
5. 16 2 21
5 3 5
t
ty
Ejercicios Propuestos 3.2
1. 222
1
ty
t
t 2. ttt e
eky 3
3 2
12
3.
14 4
4 4
t t
t
ey
e e
4. tty
t
t 44cos
25
4sen
25
2
2
2
25
4
Ejercicios Propuestos 3.3
1. Div erge 2. converge oscilantemente
3. Diverge oscilantemente 4. Converge
Ejercicios Propuestos 3.4
1. 53
1
t
t kp 2. 2
3
3
5
t
t kp
3. 6.02)( t
ktp 4 3
72 t
t kp
5. 6.02050 ttp 6.
3
101 t
t kp
7. 34.1 tt kp
Misceláneos
1. a) tt
t ey 2
32 37.037.1 c) 3
21 tky
t
t
2. a) Diverge b)Converge
3. 6
22
5
1
t
t kp , Oscilante convergente
4. 3
72
tt kp , Oscilante div ergente
5. 8.05.21 t
t kp Div ergente
6. mkktt
t 2527.056.024.115.010 21
mkkUtt
t 19.00624.056.015.0 21
7. 2 kpt constante
CAPITULO 4: Ecuaciones en Diferencias de Segundo
Orden
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
115
Ejercicios Propuestos 4.1
1. 42
7
2
1
2
1
2
3
tt
ty 2. 1sencos2244
ttyt
t
3. 82
12
2
14
tt
t ty 4. 13
1sen
326
25cos
13
384
33
tty t
t
5. 4
532 21 tt
t kky 6. tttt tkky 3
16
111 21
7. tttt
tkky 6
2116 21 8. 1 22 2
13 cos sen 4
19
t t
ty k t k t
9. 1 2
15 cos arctg2 sen arctg2
4
t
ty k t k t t
10. 1 2
15 cos arctan 2 sen arctan 2 1
2
t
ty k t k t t
11. 22
175
2
175 221
ttkky
tt
t
12 . 1 23 2 3 3t t t
ty k k t
13. 2
1 2
1cos 2 sin 2 2
3 3 3ty k t k t t t
14. 2
1 2
1 1 33 2 4 4
2 2 2
t t t
ty k k t t
15. 1 2 2 2
1 3 12 5 cos sin
4 10 10
t t
ty k k t t
Ejercicios Propuestos 4.2
1. 1 2 3
11
2
tt
ty k k k
2. 1 2 3
1 14
2 2
t t
ty k k k t t
Ejercicios Propuestos 4.3
1. No Conv erge 2. Converge
Misceláneos
1. 322
1
2
121
tt
t tkky 2. 12
1
2
11 321
ttt
t kkky
CAPITULO 5: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
y en Diferencias
Ejercicios Propuestos 5.1
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
116
1.
4
1243
23
23
tt
tt
ee
eetY 2.
6 5 7
2 5 8
t t
t t
e eY t
e e
3.
3
1 2
3
1 2
10
3
11
3
t t
t t
k e k e
Y t
k e k e
Ejercicios Propuestos 5.2
1.
33
12
2
13
63
1
2
12
tt
tt
tY 2.
9
22
3
28
9
5
9
82
3
28
9
5
tt
tt
tY
3.
22334
62632
tt
tt
tY 4.
311
4 4
311
4 4
33 1
2
3 1 1
t t
tt t
Y
Ejercicios Propuestos 5.3
1. a)
3 2
3 2
6 111
( ) 5 5
( ) 12 1 13
5 10 2
t t
t t
e ex t
y te e
Punto de silla
2. a) Nodo convergente b) Nodo Div ergente c) Punto de silla
d) Punto de Silla
Ejercicios Propuestos 5.4
1.
2
1 2
2
1 2
1( )
( ) ´ ´ 1
t t
t t
k e k ex t
y t k e k e
Punto de silla
2. 1 2
1 2
( )
( ) ´ ´
t t
t t
k e k ex t
y t k e k e
Punto de silla
3. 1 2
1 2
( )
( ) ´ ´
t t
t t
k e k ex t
y t k e k e
Punto de Silla
Misceláneos
1.
5
7 721 22 2
5
7 721 22 2
cos 2( )
( )´ ´cos 6
t
t
e k sen t k tx t
y te k sen t k t
Foco convergente
2.
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Respuestas a los Ejercicios Propuestos
117
12 12
1 2
12 12
1 2
1( )
2( )
´ ´ 1
t t
t t
k e k ex t
y tk e k e
Punto de silla