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Módulo deResolución de Problemas

Manual para el docente1er. Grado de Educación Secundaria

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ElaboraciónDavid Ernesto Palomino Alva

Colaboración en la elaboraciónJenny Rios Poma

Revisión académicaLuis Enrique Eyzaguirre Espino (Coordinador)Carlos Alberto Calderón ArévaloDaniel Giovanni Proleón PatricioFernando Del Castillo OyarceLuis Alberto Díaz NunjaLuis Daniel Chumpitaz MalpartidaMarco Antonio Tello Mena Terry

Revisión pedagógicaPedro David Collanqui DíazRoger Justiniano Saavedra Salas

Corrección de estiloRaquel Socorro Tinoco Casallo

Diseño, diagramación e ilustracionesFreddy José Salazar Cubillas

Módulo de Resolución de Problemas - Resolvamos 1

Manual para el docente1er. Grado de Educación Secundaria

Ministerio de EducaciónCalle El Comercio No 193 - San BorjaLima 41 - PerúTeléfono: 615-5800www.minedu.gob.pe

Primera edición: 2012Tiraje: 36 306 ejemplares

Impreso en el Perú / Printed in PeruImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318 Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.o 2012 - 08528

©Ministerio de EducaciónTodos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del editor.

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Presentación

La actividad de resolver problemas es una de las principales y más importantes en la educación matemática, desarrollarla es un proceso de construcción personal que se enriquece día a día y se nutre del intercambio de experiencias que orienta al estudiante a construir mejores estrategias para resolver diversos tipos de problemas. Por ello, como parte de la Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes, el Ministerio de Educación, a través de la Dirección de Educación Secundaria, ha diseñado el Módulo de Resolución de Problemas para que acompañe y se integre en el desarrollo del Área de Matemática, el cual está compuesto por un Cuaderno de trabajo para el estudiante y un Manual para el docente.

El enfoque que encontrarás en el cuaderno Resolvamos 1 se fundamenta en los siguientes principios:

• Existen consensos en la psicología cognitiva y sus investigadores (Piaget, Bruner y otros) respecto al desarrollo cognitivo conforme crecen los estudiantes. Se desprende de esta teorías que las edades de 10 a 14 años son cruciales en el desarrollo de formas de razonamiento formal. Si las personas aprenden métodos adecuados de razonar durante estos años, esos buenos hábitos serán de ayuda permanente por el resto de sus vidas; por el contrario, adquirir métodos inadecuados a esa edad ocasiona que su capacidad para resolver problemas se verá mermada en el futuro.

• Resolver problemas adecuadamente es posible, pero este aprendizaje no se desarrolla espontáneamente, requiere de condiciones pedagógicas, recursos didácticos y una orientación mediadora eficiente. Si bien la mayoría de las investigaciones se han focalizado en trabajos individuales, existe evidencia de mejoras de las capacidades en resolución de problemas al trabajar en equipo.

• Aprender a resolver problemas requiere de interacción con alguien. Pocos individuos son hábiles para criticar su propio razonamiento y esto es especialmente cierto en los estudiantes. Además, necesitan oportunidades para probar y corregir sus estrategias, argumentos y formas de razonar, confrontándolos con los de otros.

• Aprender relativamente unas pocas técnicas habilita al individuo a trabajar efectivamente con la mayoría de tipos de problemas. Estas técnicas son valiosas no solo en matemática, sino en otras áreas y en la vida cotidiana.

• Las mayores barreras para mejorar la resolución de problemas son sicológicas más que intelectuales. Muchos estudiantes están acostumbrados a tener a alguien cerca para que les resuelva sus problemas, así que ellos simplemente no tratan de resolverlos por sus propios medios.

Estos principios se cristalizan en el Cuaderno de trabajo Resolvamos 1. Uno de los objetivos subyacentes de esta propuesta es lograr que los estudiantes pierdan el temor a enfrentarse a situaciones problemáticas planteadas en diversos contextos y que desarrollen diversas estrategias de resolución, se motiven a afrontar retos de la vida cotidiana y tomen decisiones adecuadas para lograr sus propósitos.

El cuaderno se divide en 28 actividades que constan de cuatro tareas cada una, las cuales presentan situaciones problemáticas en los más diversos contextos, desde lo cotidiano, escolar o laboral hasta el ámbito lúdico o fantástico. Al seleccionar los problemas, hemos tenido en cuenta el enfoque del área expresada en el DCN, resaltando el valor social que conlleva el aprendizaje de la matemática; esto sin dejar de lado el disfrute y el placer que se experimenta al resolver un enigma, una paradoja o un

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acertijo, actividades sumamente motivadoras que, si bien no son utilitarias, permiten desarrollar capacidades de abstracción.

La primera tarea presenta una situación donde el estudiante puede explorar, mediante interrogantes, las diversas relaciones que se dan entre los objetos matemáticos. Aunque se priorizan preguntas directas o de identificación de información, se proponen otras que apelan a la reflexión de las tareas realizadas. En algunas ocasiones, las preguntas tienen un nivel mayor de complejidad con el fin de que el estudiante asuma un reto nuevo a lo aprendido. Se recomienda como metodología de trabajo que el estudiante realice de manera individual la tarea y que el docente monitoree su realización, apoyando cualquier duda de manera personal. Cuando las dificultades son recurrentes, su tratamiento dará lugar a una plenaria.

Las segunda y tercera tareas propuestas en las actividades desarrollan un método y estrategias teniendo en cuenta un plan de resolución de problemas, que consta de cuatro pasos. Con este método, se pretende que los estudiantes afronten los problemas de manera sistemática. Se propone desarrollar estas tareas en parejas, donde los estudiantes tienen la oportunidad de discutir en cada paso del proceso sobre lo que comprenden y acerca de cómo van a enfocar la solución del problema. Asimismo, las preguntas formuladas en el cuaderno promueven la discusión, la comunicación y la argumentación de la pareja.

La cuarta tarea es una situación de exploración compleja, rica en relaciones y en algunos casos de respuesta abierta, cuyo nivel dependerá del grado de profundidad que el estudiante pueda demostrar al resolver las preguntas planteadas. El docente debe considerar que esta actividad da para mucho más y que puede hacer que el estudiante trate de realizar investigaciones más profundas a partir de ella. Se recomienda que esta tarea se desarrolle en grupos de tres a cuatro estudiantes, pues al tener diversos niveles de exploración se requiere de mayor interacción y de la contrastación de diferentes puntos de vista.

Sugerimos que usted, al usar este manual, lea los problemas sin observar las soluciones. Trate de resolverlos utilizando sus propias técnicas, de dos o tres maneras distintas. Reflexione, luego, sobre las estrategias que le fueron útiles. Finalmente, pregúntese cómo la solución hallada le puede servir para otros casos. Un buen ejercicio es buscar libros de texto del área e identificar problemas que pueden solucionarse con las estrategias empleadas. Usted no debe trabajar con los estudiantes sin antes haber enfrentado todos los posibles bloqueos y dificultades que un problema puede acarrear.

Los estudiantes deben acostumbrarse a resolver problemas, pero no como una tarea de cantidad, sino de calidad. No es necesario formular un gran número de problemas; es mucho mejor resolver pocos, pero en profundidad, como lo pretendemos hacer en las actividades presentadas en el cuaderno.

Sin más preámbulo, invocamos su espíritu de innovación para conducir a los estudiantes en este apasionante mundo creativo de la resolución de problemas mediante métodos matemáticos.


Conoce tu Manual

Antes de empezar a desarrollar las actividades:

Antes de empezar a desarrollar las actividades:

El Manual está compuesto por orientaciones metodológicas para cada actividad y el solucionario correspondiente.

Recomendamos leer la sección titulada Aspectos teóricos de la heurística en la que se promueve la reflexión sobre qué es un problema, así como los aspectos que afectan su solución.

En las Orientaciones metodológicas de cada actividad se describe la capacidad que deberá ser desarrollada y los conocimientos que deberán ser utilizados; se proponen estrategias heurísticas y se indican posibles dificultades que encontrarán los estudiantes al resolver los problemas.

No menos importante, para

comprender el marco teórico de

esta propuesta, es El plan de

cuatro pasos que describe el modelo

para orientar a los estudiantes

a enfrentar situaciones novedosas.

Como complemento se propone la sección Algunas estrategias comentadas que los estudiantes podrán aplicar para desarrollar su capacidad de resolver un problema por diversos métodos.

Finalmente, bajo el título El trabajo en equipo hallarás

orientaciones para promover la participación y la

colaboración de los estudiantes para

resolver problemas.


Estructura de cada actividad:

La Tarea 1 presenta una situación de la vida cotidiana de menor complejidad con preguntas que conducirán al estudiante a la resolución del problema planteado.

La sección ¿Qué aprendí? detalla los aprendizajes que debe haber desarrollado el estudiante al concluir la actividad y relaciona su importancia con situaciones cotidianas.

La sección Autoevaluación plantea una pregunta referida a la actuación del estudiante en el desarrollo de la actividad, por lo cual deberá marcar el nivel que considere haber alcanzado.

Las Tareas 2 y 3 presentan

situaciones algo más complejas que la de la Tarea 1 y propone

una metodología de cuatro pasos,

con preguntas y orientaciones para conducir a

los estudiantes en la resolución del

problema.

La Tarea 4 presenta una situación problema de mayor complejidad, en la cual el estudiante debe poner en práctica los conocimientos y habilidades aprendidos. Asimismo, plantea preguntas orientadoras que ayudarán a los estudiantes a tener éxito en su solución.

Se recomienda que esta tarea se realice de manera individual.

Se sugiere que estas tareas se desarrollen

en grupo de dos estudiantes.

Se propone que esta tarea se ejecute

en grupo de tres o cuatro estudiantes.

El cuaderno está compuesto por 28 actividades. Cada una propone cuatro tareas o situaciones problema que el estudiante debe desarrollar de manera personal o colectiva. A continuación, se describe la estructura de una actividad.


1. Aspectos teóricos de la heurística

2. El plan de cuatro fases

3. Algunas estrategias comentadas

4. El trabajo en equipo

Actividad 1 Los números ordenan tu mundo

Actividad 2 Los números ayudan a pensar mejor

Actividad 3 No dividas y vencerás

Actividad 4 Las proporciones nos brindan información

Actividad 5 Ojos que no Venn

Actividad 6 Proporcionalmente

Actividad 7 Fracciones de realidad

Actividad 8 Porcentajes que ponen y quitan

Actividad 9 El lenguaje de los números

Actividad 10 Pensar lógicamente

Actividad 11 Incógnitas a nuestro alrededor

Actividad 12 Las ecuaciones al rescate

Actividad 13 El mundo está lleno de incógnitas

Actividad 14 Textos que esconden números

Actividad 15 La función de las funciones

Actividad 16 Números en todas partes

Actividad 17 Funciones que muestran cambios

Actividad 18 La geometría es más que cálculos

Actividad 19 Medidas en nuestras vidas

Actividad 20 Decisiones bien medidas

Actividad 21 La geometría de los mínimos

Actividad 22 Medir para decidir

Actividad 23 Medimos las regiones y sus contornos

Actividad 24 Estadísticas que nos hacen pensar

Actividad 25 Los promedios de por medio

Actividad 26 La matemática sí cuenta

Actividad 27 Un mundo de incertidumbres

Actividad 28 Jugando con el azar

Bibliografía comentada

Enlaces web

Índice

08

12

15

21

22

28

34

40

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52

58

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76

82

88

94

100

106

112

118

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136

142

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154

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178

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191


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1.1. ¿Qué es un problema?

Hemos usado hasta aquí la palabra problema sin habernos preocupado de definirla en el sentido en el que queremos utilizarla en el presente texto. Este vocablo se ha empleado en el aula, de manera indiscriminada, para referirnos, muchas veces, a sencillos ejercicios de repetición. En la didáctica de la matemática, la definición de problema ha pasado por diversas discusiones y ha ido evolucionando hacia otros conceptos que implican aspectos psicológicos y sociales. Hagamos un breve recorrido por algunas de las definiciones del término que se han manejado a lo largo de la historia:

• Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos científicos (Real Academia Española, 2001).

• Proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos (Espasa Calpe, 2001).

• Situación significativa a la que una persona quiere dedicarse, pero para la que no dispone de un modelo conceptual estable (Lesh, 1982).

• Situación que difiere de un ejercicio, donde la persona que pretende resolver no tiene un proceso algorítmico que le conducirá, con certeza, a la solución (Kantowki, 1981).

• Situación que supone una meta para ser alcanzada, donde existen obstáculos para lograr el objetivo y en la que se requieren deliberación y desconocimiento del algoritmo útil para resolverla. Es usualmente cuantitativa o demanda técnicas matemáticas para su solución. Debe ser aceptada como problema por alguien, antes de que pueda ser llamada problema (House, Wallace y Johnson, 1983).

• Situación que, individualmente o en grupo, se acepta para desarrollar una tarea para la que el camino que determina la solución no es obvio inmediatamente. Puede ser enfocado de muchas maneras (Brannan y Schaaf, 1983).

• Situación en la que se plantea una tarea o una interrogante para las cuales un individuo o grupo no tiene previamente un procedimiento de solución (Tapia, 1996).

• Actividad en la que el estudiante debe buscar enfrentarse a situaciones nuevas, establecer relaciones, y en la que el profesor trata de suscitar la curiosidad y de motivar al estudiante para que persevere en la investigación. Es

Como hemos visto, un rasgo común a las definiciones anteriores radica en que no existen caminos visibles e inmediatos para poder afrontar la situación. Otro ingrediente es la actitud del individuo, el interés que muestra al enfrentarse al problema. En este texto, utilizaremos la siguiente definición que creemos resume las anteriores y nos da un espectro amplio que permita desarrollar un sistema heurístico útil para las aulas de Secundaria.

Un problema es una situación que plantea una cuestión matemática, cuyo método de solución no es inmediatamente accesible al sujeto que intenta responderla, porque no dispone de un algoritmo que relacione los datos y la incógnita o los datos y la conclusión; por tanto, debe buscar, investigar, establecer relaciones, implicar sus efectos, etc., para hacer frente a la situación nueva.

1. Aspectos teóricos de la heurística

La heurística se preocupa del estudio del proceso de solución de problemas en forma general, tratando de desarrollar estrategias descriptivas, nunca prescriptivas, que puedan servir a una persona en su camino a convertirse en un hábil resolutor de problemas.

En las páginas siguientes, cuando nos refiramos a problemas lo haremos dentro del campo matemático, aunque el sistema heurístico es fácilmente aplicable a otras áreas del conocimiento.

Esta definición difiere, en gran medida, de lo que comúnmente se observa en las instituciones educativas, donde se suele confundir el concepto de ejercicio con el de problema. En general, se puede observar cuatro connotaciones que tradicionalmente se le da a esta palabra:

En este punto, conviene plantear algunas diferencias entre lo que llamamos ejercicio (resolución rutinaria) y problema (resolución no rutinaria). Para ello, consideraremos los siguientes aspectos:

Problema es el caso en el que la regla por aplicar salta a la vista, debido a que acaba de ser presentada y estudiada en clase.

Problema es el caso para cuya solución hay que elegir una combinación de reglas previamente estudiadas.

Problema es una situación en la que se debe elegir la regla que se debe aplicar y que se trabajó en clase recientemente.

Problema es una situación en la que hay que investigar; su tratamiento exige una combinación original de reglas y el uso de razonamientos admisibles.

importante notar que el tiempo que se dedica a la resolución de un problema no puede preverse de antemano y que la inversión de energía y afectividad es importante en esta tarea (IREM, 1973).

• Tarea de contenido matemático, cuyo enunciado es significativo para el estudiante (…) que este (lo) desea abordar, y para el cual no ha producido sentido (Puig, 1996).

• En general, es una situación que parte de un estado inicial indeseado y debe llegar a un estado final deseado. Entre ambos existe al menos una “barrera” que bloquea el paso del uno al otro (K. Duncker).


9 Manual para el docenteMD

a. El comportamiento que debe seguir el estudianteEn un ejercicio, basta que aplique en forma algorítmica los conocimientos ya adquiridos; en cambio, en un problema es necesario que se familiarice con la situación, que experimente, particularice y busque caminos de solución, hasta llegar a ella.

c. El tiempo a emplearEn un ejercicio, el profesor puede prever el tiempo necesario para resolverlo; es más, en algunas instituciones educativas se plantea como meta resolver una cantidad determinada de ejercicios en la sesión prevista. En el caso de un problema, su solución puede llevar mucho más tiempo, debido a que moviliza la comprensión, el planteamiento y la reflexión de una situación.

b. El objetivo que persigue el profesorEn un ejercicio, se busca que el estudiante aplique conocimientos en forma rutinaria; en un problema, se requiere que investigue.

d. La dimensión afectivaLa resolución de ejercicios no suele generar emociones importantes, su proceso reproductivo genera pasividad y es frecuente confundir “carga motivadora” con “cantidad de ejercicios” que el estudiante realiza; mientras que la solución del problema supone una gran carga motivadora en todo su proceso y predispone a asumir, de forma desafiante, tanto el cuestionamiento como las formas de resolver y enfrentarse a un problema.

Estas distinciones y consideraciones las hemos dado desde un punto de vista objetivo, suponiendo un sujeto ideal; sin embargo, debemos considerar otros parámetros inherentes a él. Lo que para uno es un problema para otro puede ser un simple ejercicio. Esto depende básicamente de lo siguiente:

• Conocimientos previos, experiencias y habilidades

• Diversidad de pensamiento

Ilustraremos el tema con un ejemplo tomado de la realidad referido a la base de conocimiento, habilidades y experiencias.

PrimariaPara un estudiante de tercer o cuarto grado de Primaria sin ningún conocimiento de lenguaje algebraico, este es un problema que exige una forma creativa de pensar. Veamos, por ejemplo, cómo lo resuelven Tania y Julio:

Tania lo resolvió utilizando material concreto (19 fichas de ludo). Primero le dio 5 fichas a Ana y después repartió el resto alternadamente entre Ana y Estela.

Julio lo resolvió por ensayo y error. Primero, solamente tanteó de forma impulsiva; luego, se dio cuenta de que podía sistematizar su tanteo, llegando, finalmente, a la respuesta.

Primer ensayo : Ana = 5, Estela = 14.Segundo ensayo : Ana = 10, Estela = 9.Tercer ensayo : Ana = 12, Estela = 7. (Respuesta correcta).

Ana Estela

SecundariaPara Roberto, un estudiante de tercero de Secundaria, este enunciado no es más que un ejercicio sencillo, pues los conocimientos previos que posee le permiten realizarlo haciendo uso de un planteamiento algebraico.

Esquema de Roberto (3.° de Secundaria)

Edad de Estela : x

Edad de Ana : x + 5

Ecuación : x + x + 5 =19

Solución : x = 7

Respuesta : Ana tiene 12 años y Estela, 7 años.

Problema:

Ana es cinco años mayor que Estela. Si la suma de sus edades es 19 años, ¿cuál es la edad de cada una de ellas?

Otro parámetro en esta aproximación, desde el punto de vista del sujeto, es la diversidad del pensamiento.

Así, pese a tener la misma base de conocimientos, habilidades y experiencias, las personas poseen ciertas redes conceptuales y patrones mentales que permitirán a unas simplificar una situación, mientras que otras no verán la solución.

Ilustraremos lo dicho utilizando una forma de planteamiento de un examen de admisión.


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Problema:

Hallar la medida de AC, sabiendo que ABCD es un rectángulo y D es el centro de la circunferencia mostrada, cuyo radio mide 2 m.

Observar un mismo problema desde varios puntos de vista, contextos y perspectivas da lugar a diversas estrategias que son entrenadas revisando ejercicios de pensamiento lateral. Esta expresión fue acuñada por Edward de Bono para poner de manifiesto un modo de pensar distinto del lineal, que es como la mayoría de nosotros dirigimos nuestro pensamiento.

Supongamos que, separados por una malla metálica, colocamos a una gallina hambrienta frente a un plato de maíz. La malla permite ver el plato, pero el pico de la gallina no llega a alcanzar el maíz, por lo que arremete contra el obstáculo, sin darse cuenta de que podría buscar otra

Si hacemos el mismo experimento con un perro, este intentará acercarse al plato de comida, primero, enfrentando la malla; pero luego advertirá que puede retroceder, evitar el obstáculo y encontrar el plato de comida al otro lado.

La acción que realiza la gallina es un ejemplo de cómo funciona el pensamiento lineal. A ella le cuesta mucho trabajo retroceder y abandonar su meta, aunque sea momentáneamente, por lo que solo intenta resolver su problema atacándolo directamente. Por otro lado, el comportamiento del perro ejemplifica el pensamiento lateral, que es más evolucionado. A él no le importa dejar de ver el plato un momento, porque sabe que luego su recompensa será conseguirlo.

Habíamos visto que los conocimientos previos pueden afectar una adecuada resolución de un problema. A ella le agregamos el plano de los metaconocimientos; plano no observado hasta 1976 y constituido por los conocimientos acerca de nuestros procesos mentales. En este campo, precisamente, se centran los trabajos para la correcta confección de un retrato heurístico del sujeto y su posterior mejora.

En un plano metacognitivo, podemos considerar dos aspectos relacionados entre sí, propuestos por J. Garófalo y F. Lester, en 1985:

• Las creencias acerca de los conocimientos.

• La regulación y control de la propia cognición.

1.2. Aspectos que afectan la solución de problemas

Aspecto cognitivo

D C

A B

D C

A B

Situación A:

Los estudiantes orientados a usar algoritmos y fórmulas abordaron el problema utilizando el teorema de Pitágoras, introduciendo variables y resolviendo una ecuación cuadrática.

Situación B:

Otros estudiantes vieron la simplicidad de un nuevo enfoque. Solución rápida:

AC es una de las diagonales del rectángulo ABCD, la otra diagonal es el radio. Luego AC = 2 m.

solución. Finalmente, vencida por la dificultad, se quedará mirando el plato, frustrada por no haber logrado su objetivo.



Es casi un dogma social que la matemática es el filtro en las universidades y el área con mayor cantidad de desaprobados en nuestras instituciones educativas. Diversos factores que comprometen a los agentes sociales han condicionado un contexto con una presión cultural y una tradición no matemática. Nuestros estudiantes no la valoran y solo buscan estudiarla con un objetivo definido: pasar las evaluaciones.

La resolución de problemas se desarrolla en la vida cotidiana. Es necesaria para comprender, analizar y tomar decisiones frente a la abundante información que recibimos de diversos medios. Por ello, estamos convencidos de que el desarrollo de la competencia en resolución de problemas en matemática puede ayudar a mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Aspecto afectivo

Influencia del contexto

La dimensión afectiva es vital en la resolución de problemas matemáticos. La carga emotiva puede llevarnos a importantes satisfacciones, pero también nos puede sumir en una peligrosa frustración. Por eso, es importante que el profesor seleccione, adecuadamente, los problemas que trabajará con sus estudiantes, con el fin de proponer investigaciones que les sea posible abordar.

Uno de los componentes de la dimensión afectiva, que la escuela ha impregnado en nuestros estudiantes, es retratado perfectamente por M. Callejo:

Las actividades matemáticas se resuelven casi siempre en pocos minutos. Si te quedas bloqueado, tendrás la impresión de perder el tiempo.

Se trabaja en una dirección. Si no sale ese camino, se abandona la tarea.

El problema termina cuando se halla la solución. Si esta no es correcta, el trabajo y el tiempo invertido fueron en vano.

Los estudiantes con estas creencias van a observar, a la hora del trabajo personal, comportamientos y sentimientos de frustración cuando:

• se demoren al resolver un problema.

• el problema no salga por el método enseñado en clase.

• consulten la respuesta y no sea la correcta.

Estos sentimientos se transforman en rechazo a las tareas

El primer aspecto se refiere a conocer las capacidades y tener conciencia de cuáles son las aptitudes reales. También se refiere a aquellas situaciones construidas por la experiencia del individuo que le crean inseguridad o ansiedad, de acuerdo con lo que él “cree” de su manejo cognitivo. Aquí se inscriben aquellas personas que manifiestan a priori resolver mejor los problemas algebraicos que los problemas geométricos.

El segundo aspecto se refiere a una situación reflexiva y de interiorización del conocimiento. Es como nuestra conciencia que nos señala caminos, actitud y grado de perseverancia en tal o cual estrategia resolutiva.

Como señala Alan Schoenfeld, la diferencia entre un novato y un hábil en resolución de problemas suele situarse en el plano metacognitivo; por esta razón, muchos investigadores trabajan en esta área, a fin de mejorar la habilidad para resolver problemas.

y a la actividad de resolver problemas, con la consiguiente secuela de desnivelación que esto producirá.

Una de las consideraciones más importantes en una clase es la que se brinda a la motivación y predisposición que despertemos en nuestros estudiantes. Sin una buena actitud hacia la matemática, poco podremos conseguir con nuestras lecciones. Para motivarlos, presentemos curiosidades, algunas paradojas, un juego lógico, un truco de magia o cualquiera de las múltiples posibilidades que la matemática recreativa nos puede aportar.


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2. El plan de cuatro fasesEn la solución de problemas, existen varios esquemas que nos presentan el orden más adecuado para empezar a enfrentarse con situaciones novedosas. A continuación, citaremos algunos de los que se han desarrollado hasta la fecha, indicando el nombre de su creador y el año en que fue publicado.

Esquema de George Pólya, 1945• Comprender el problema• Diseñar una estrategia• Ejecutar el plan• Visión retrospectivaEsquema de Wallas, 1971• Familiarización• Incubación• Inspiración• Ejecución• VerificaciónEsquema de Mason-Burton-Stacey, 1982• Abordaje• Ataque• RevisiónMétodo ideal (Bransford y Stein, 1984)• Identificación del problema• Definición y representación del problema• Exploración de posibles estrategias• Actuación fundada en una estrategia• Logros. Observación y evaluación de los efectos de las

actividadesEsquema de Alan Schoenfeld, 1985• Analizar y comprender un problema• Diseñar y planificar una solución• Explorar soluciones• Verificar la solución

El esquema que hemos utilizado y que nos ha brindado buenos resultados con los estudiantes consta de cuatro fases. Bajo este marco se desarrollan las tareas 2 y 3 de cada actividad del Cuaderno de trabajo para estudiantes. A la nomenclatura formal de cada fase se ha propuesto un nombre coloquial de modo que facilite su comprensión:

En las siguientes líneas, explicaremos con detalle cada una de las fases, las cuales se subdividen en interrogantes o consejos que permiten ordenar nuestro pensamiento y plantearemos algunas preguntas que el profesor puede formular en ellas para ayudar al estudiante.

Modelo teórico Para los estudiantes

Familiarización y comprensión Antes de hacer, vamos a entender

Búsqueda de estrategias y elaboración de un plan

Elabora un plan de acción

Ejecución del plan y control Desarrolla tu plan

Visión retrospectiva y prospectiva

Sácale el jugo a tu experiencia

En esta fase el estudiante debe identificar la incógnita, reconocer los datos, identificar las condiciones, si son suficientes, si son necesarios o si son complementarios. Para ello, debe leer atentamente el problema. Si es posible, debe ser capaz de expresarlo con sus propias palabras, así no sea tan riguroso su lenguaje. Una buena estrategia es hacer que le explique a otro compañero lo que se está solicitando en el problema. Es importante respetar aquí el ritmo de aprendizaje de cada uno.

2.1. Familiarización y comprensión

El docente debe indicar a los estudiantes que lean el problema con tranquilidad, sin presión ni apresuramiento, que jueguen con la situación, que le pierdan el temor inicial. Además, debe asegurarse de que entiendan el problema, ya que podría ocurrir que algunos de los términos no sean conocidos por todos. Por ejemplo, si introducimos la expresión cuadrado perfecto y no conocen lo que significa, el problema no va a ser comprendido. Es necesario, pues, identificar aquellos términos que pueden causar dificultades y definirlos, explicarlos, hasta que todos hayan entendido su significado.

Algunas veces, cuando hemos concluido un problema o una demostración, los estudiantes nos preguntan: “¿Allí termina?”. Esto indica que no comprendieron al inicio la naturaleza de la solución. En algunos problemas, la respuesta es un número; en otros, una expresión algebraica, un gráfico o una expresión argumentativa de toma de decisión, entre otros. En las demostraciones, se da a conocer un conjunto de pasos debidamente fundamentados. Por esta razón, es importante que hagamos explícita la naturaleza de la solución, que los estudiantes puedan reconocerla antes de iniciar el proceso de búsqueda de la estrategia, con lo que sabrán de antemano lo que se busca y cuándo el problema puede decirse que está terminado.

Durante la familiarización, se suele experimentar una tensión por la búsqueda de un plan de resolución, lo que, en algunos casos, puede desembocar en interés y, en otros, en ansiedad. Cuando se produce la familiarización, se experimentan sentimientos positivos que cobran más o menos intensidad, según las expectativas que se tengan sobre el éxito de dicho plan.

Algunas preguntas que pueden ayudar a familiarizarse con el problema y comprenderlo pueden ser:• ¿Entienden el significado de los términos del problema?• ¿Pueden indicar la naturaleza de la solución?• ¿Tienen en cuenta toda la información relevante?• ¿Pueden expresar el problema con sus propias palabras?• ¿Pueden explicarlo en términos de un esquema?

Estrategias para la compresión:

• Lectura analítica• Parafraseo• Ejemplificación



En la segunda fase, el estudiante comienza a explorar la situación, experimenta, particulariza. Empezar por lo fácil hace fácil lo difícil. El plan es un conjunto de estrategias heurísticas que se seleccionan con la esperanza de que el problema llegue a ser resuelto.

Podrá elegir la más adecuada, dependiendo de las características del problema. Esta es una de las fases más importantes en el proceso de solución, pues depende tanto de la base de conocimientos como de la calidad del pensamiento.

En general, debemos ayudar a los estudiantes a diseñar un plan, lo que se logra haciendo preguntas como las aquí presentadas. También es posible que identifiquemos la información relevante subrayando en el texto lo importante o preguntando: “¿Este dato, a qué conclusiones me puede hacer llegar?”. Luego podemos enumerar todas sus posibles respuestas a esta interrogante, de las cuales elegiremos, conjuntamente con ellos, aquella o aquellas que nos sean útiles para la solución.

Estrategias para la acción:• Busca una meta menor.• Particulariza.• Generaliza.• Tantea (ensayo y error).• Trata de encontrar un patrón.• Razona hacia atrás.• Elige una notación adecuada.• Supón el problema resuelto.• Supón que no se puede resolver.• Modifica el problema.• Busca analogías con otros problemas.• Hazte un diagrama.• Plantea una ecuación.• Haz una simulación.• Construye un modelo físico de la situación.• Descompón el problema en partes.• Haz una tabla.• Construye una lista sistemática.

2.2. Búsqueda de estrategias y elaboración de un plan

Cuando el estudiante decide qué estrategias utilizar, viene la fase de la ejecución del plan, que debe realizarse siempre en forma controlada, evaluando cada paso de su realización, a fin de saber si el plan lo está acercando a la respuesta o lo está conduciendo a una situación compleja. Si lo lleva a la solución, pasará a la siguiente fase; de lo contrario, deberá repetir la fase dos. La actitud juega aquí un rol protagónico, conviene no desanimarse. Es importante no abandonar una estrategia antes de revisar los diversos aspectos de esta, sin perder de vista que existen otras que eventualmente podríamos utilizar.

En esta fase entran a tallar los mecanismos de regulación mental y la habilidad para salir de bloqueos. Aconseje

2.3. Ejecución del plan y control

Una estrategia que podemos utilizar es resolver un problema análogo al que les estamos presentando. Los estudiantes deben identificar las analogías, sean de contenido o de método, y aplicarlas a la situación que intentan resolver.

El docente debe estar atento a la motivación de los estudiantes e intervenir cuando esta decaiga. Si están desanimados porque el camino elegido no los conduce a la solución, ayúdelos a ver el problema desde otra perspectiva. Pida que supongan el problema resuelto, genere una atmósfera propicia para la investigación y promueva la experimentación, el ensayo, la comunicación. De ser necesario, brinde sugerencias e incentive a que formulen y evalúen sus propias conjeturas.

Algunas veces, será necesario reconocer la dificultad del problema para que ellos sientan que están trabajando en algo difícil y que requiere perseverancia y dedicación.

Algunas sugerencias y preguntas que el profesor puede hacer en esta fase son:

• ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado de forma ligeramente diferente? ¿Conoces un problema relacionado con este? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil?

• ¿Has encontrado un problema relacionado con el tuyo y que has resuelto ya? ¿Puedes utilizar su método? ¿Puedes usar su resultado?

• ¿Puedes enunciar el problema en forma distinta? ¿Podrías plantearlo de otra manera? Cambia la terminología, regresa a las definiciones.

• Si no puedes hallar la solución del problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar. Encuentra ejemplos de la situación. Experimenta, particulariza, recuerda que empezar por lo fácil hace fácil lo difícil. Imagínate un problema análogo, pero más sencillo. ¿Puedes resolver una parte del problema? Considera solo un fragmento de la condición, descarta la otra parte. Realiza un esquema, una figura, un diagrama. Supón el problema resuelto. Empieza al revés, usa el razonamiento regresivo.

• ¿Has utilizado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición?

• ¿Cuál es la incógnita? • ¿Cuáles son los datos? • ¿Cuál es la condición? • ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita?

• ¿Es insuficiente? ¿Es contradictoria? ¿Es redundante?


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Cuando se ha obtenido una solución (no una respuesta, podrían haber varias o ninguna), se ingresa a la cuarta fase, donde se efectúa una reflexión acerca del proceso ejecutado. Asimismo, se realiza una verificación de la solución, pudiendo modificarse el problema o generalizar los resultados.

Esta última fase ha tomado gran fuerza en investigaciones recientes y es considerada como la más importante en el proceso heurístico. Estudios actuales afirman que es posible mejorar las habilidades para resolver problemas si se mejora el aspecto metacognitivo. Para ello, la herramienta más poderosa es la metarreflexión consciente, que nos permite observar nuestros bloqueos, emociones, etc., al resolver un problema.

Promover la reflexión sobre el proceso de solución

• Una estrategia interesante es el uso del problema como fichero mental para resolver nuevos problemas. Los estudiantes deben incorporar la idea de que cada vez que encuentran una solución, el procedimiento y su resultado pasan a formar parte de nuestras redes mentales de conocimientos, que podemos activarlos en otras situaciones.

• Para educar la flexibilidad del pensamiento, el docente puede incentivar a que busquen y presenten otros caminos de solución al problema. Visualizar soluciones desde otras perspectivas ayuda a incorporar heurísticas útiles que pueden ser usadas luego, en forma deliberada, cuando sean necesarias.

• Realizar variaciones y presentar preguntas o generalizaciones del problema dado van a desarrollar la capacidad de investigación de nuestros estudiantes. Promover líneas de investigación, así no sean abordadas en el momento, ayudará a entender cómo es que los matemáticos generan nuevos conocimientos.

Algunas indicaciones y preguntas que el profesor puede hacerle al estudiante para promover esta etapa son:

• Examina a fondo el proceso seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿Puedes verificar cada paso?

• Trata de entender cómo funcionaron las cosas. ¿Por qué ese camino te llevó a la solución?

• ¿En qué momentos te quedaste bloqueado?

• ¿Cómo lograste salir del bloqueo?

• ¿Qué te dio la pista para decidir la estrategia a usar? ¿Algún dato? ¿Algún problema semejante? ¿Algún modelo?

• Trata de aislarte del problema en sí y verifica los procesos generales de tu solución.

Esta es una fase esencial para el mejoramiento de la habilidad del estudiante al enfrentarse con problemas. Los psicólogos e investigadores la señalan como la fase principal para el conocimiento de la persona, de sus procesos mentales, sus preferencias y sensaciones durante el proceso de solución. Al contrario de lo que se suele pensar, solucionar un problema entraña diversas emociones y sentimientos que pueden ser el motor que impulse a buscar resultados o, por el contrario, que bloquee dicho proceso, en caso de ocurrir emociones negativas.

Por lo general, esta última fase del proceso de solución de un problema es descuidada en las aulas; sin embargo, en esta reflexión sobre lo actuado es precisamente cuando el estudiante toma conciencia de sus potencialidades e identifica sus debilidades, convirtiéndose en un ser responsable y crítico de su propio proceso ante tareas matemáticas.

Estrategias para la reflexión:

• Controlar paso a paso lo que se hace.

• Verificar y comparar la solución.

• Ubicar los puntos difíciles.

• Modificar las condiciones o los datos del problema y resolver uno nuevo.

• Reflexionar sobre la naturaleza del problema general.

2.4. Visión retrospectiva y prospectiva

al estudiante que, al ejecutar su plan de solución, compruebe cada uno de los pasos. “¿Puedes ver claramente que el paso es correcto?”. Que actúe con flexibilidad, si las cosas se complican demasiado, que intente otro camino. Esto es lo que se llama un adecuado manejo de dos principios complementarios: el de perseverancia y el de variedad, es decir, si por una parte no se debe abandonar un aspecto que nos haya sugerido algo útil, por otra parte es necesario examinar tantos aspectos como sea posible; que intente ver siempre algo nuevo.

Cuando el problema haya sido resuelto, pregúntele: “¿Estás seguro?”. “¿Cómo lo compruebas?”.

• ¿Podrías hacer un diagrama procedimental que sirva para resolver problemas de este tipo?

• Reflexiona sobre tus emociones, tus estrategias de pensamiento y tus preferencias. Gana experiencia para el futuro.

• Recuerda que cada vez que resuelves un problema estás desarrollando tus habilidades de solución y de trabajo con la matemática.



Un buen resolutor de problemas debe llegar a desarrollar la capacidad de resolver un problema por diversos métodos, además debe estar en capacidad de combinar estrategias creativamente En cada etapa de desarrollo de la solución debemos definir qué estrategia se utilizará en la siguiente fase.

3. Algunas estrategias comentadas

3.1. Estrategias de comprensión

Leer analíticamente un texto es dividirlo en unidades que proporcionen algún tipo de información y establecer, luego, cómo estas partes del texto se interrelacionan y muestran el panorama de lo que se quiere decir. Al leer un problema de manera analítica uno puede preguntarse: ¿quiénes participan en la historia?, ¿qué es lo no varía a lo largo de la historia?, ¿cuántos estados se perciben en el texto?, ¿cuáles son los datos que nos proporcionan?, ¿qué datos son relevantes para resolver el problema?, ¿qué es lo que debemos encontrar?, ¿qué condiciones se imponen a lo que buscamos?, entre otras preguntas, que ayudarán a que el estudiante se familiarice y le pierda temor a la situación.

La lectura analítica ayuda mucho en la comprensión lectora del texto que da origen a un problema, pero no garantiza el camino a su solución. Leer analíticamente no es identificar las palabras claves ni buscar tips para encontrar la variable (estos son procesos mecánicos que no ayudan a comprender cabalmente un problema). En la vida real los problemas matemáticos pueden no contener esas palabras claves que aparecen en problemas diseñados para libros de texto y el estudiante enfocará erradamente un problema si hace uso de este mecanismo.

La lectura analítica es importante en la comprensión de problemas pues estos textos contienen elementos matemáticos como números, diagramas, relaciones dentro de una historia o un contexto real complejo que no es lo mismo que leer un cuento o un ensayo. De hecho hay personas que comprenden perfectamente textos humanísticos, pero no textos que contienen elementos matemáticos.

La capacidad de representar una situación compleja mediante esquemas es algo que se va aprendiendo desde los primeros años de escolaridad y continúa en proceso de construcción toda la vida. Hacer e interpretar esquemas son algunas de las capacidades más necesarias en nuestra vida laboral adulta. En diversas situaciones cotidianas se requiere de la esquematización de los sistemas, las situaciones, los procesos, con el fin de comprenderlos mejor. Un esquema apunta a encontrar una estrategia de solución; no existe una relación directa entre hacer un esquema y dar solución a un problema, pero ayuda mucho en este proceso.

Parafrasear es decir algo de otro modo para conseguir clarificar y comprender un texto. Explicar un problema de texto en sus propias palabras ayuda mucho en el proceso de comprensión. Hay que decir que parafrasear no implica aprenderse de memoria un texto y repetirlo; es señalar lo más importante de una historia y expresarlo con palabras, evitando en lo posible particularidades con números, fechas, nombres, locaciones, etc.

Veamos un ejemplo para aclarar este enfoque:

Se sugiere que el docente tome todos los problemas del cuaderno y realice una lectura analítica de los mismos, que produzca sus propios esquemas de comprensión y que realice al menos dos parafraseos por cada problema presentado. Esos ejercicios lo ayudarán a mejorar su desempeño en la conducción de las tareas en aula.

Problema ParafraseoJaime es el organizador de la fiesta de fin de año de su colegio. Él ha proyectado ganar S/.4800, para lo cual reparte 200 tarjetas, pero, lamentablemente, solo se vendieron 130 tarjetas lo cual le causó una pérdida de S/. 150. ¿Cuánto invirtió en la fiesta?

Una persona organiza una fiesta; para ganar necesita vender una cantidad de tarjetas, pero vendió menos y perdió.

Nos piden saber cuánto invirtió en la fiesta.

Lectura analítica

Hacer esquemas

Parafrasear

3.2. Estrategias de resolución

Una estrategia importante en la búsqueda de soluciones es representar el problema mediante algún organizador visual. Aquí presentamos algunos organizadores de información que se utilizan frecuentemente en el proceso de resolver problemas matemáticos.


Resolvamos 1 16MD

Diagramas tabulares (tablas)

Se emplean cuando se brinda información sobre características que relacionan dos grupos. También en problemas sobre edades o de proporcionalidad, en los que hay que buscar algún patrón o regla de formación.

Ejemplo:

Dos amigos tienen lápices, borradores y tajadores en sus cartucheras. Hay 8 borradores en total. Mónica tiene el doble de lápices que Felipe, quien tiene 5 tajadores más que lápices. Mónica tiene tantos tajadores como lápices tiene Felipe. Mónica tiene 18 útiles y no tiene borradores. ¿Cuántos lápices, tajadores y borradores tiene cada uno?

Solución: Grupo 1: Mónica, Felipe. Grupo 2: Lápices, borradores, tajadores.

Diagramas analógicos

Diagramas conjuntistas

Lápices Borradores Tajadores TOTAL

Mónica 2x 0 x 18

Felipe x 8 x + 5

TOTAL 8

Diagramas de flujo

U

x2 -8 8Invertir ÷ 6

Diagramas cartesianos

Son de gran utilidad cuando se requiere representar funciones o cuando tenemos pares ordenados o relaciones entre dos variables.

Ejemplo:

El crecimiento de un grupo de bacterias se da con el paso de los días de manera constante. Al inicio, había 3 bacterias: después de 8 días hay 20. ¿Cuántos días transcurrirán desde el inicio para que la colonia tenga 400 bacterias?

Solución: Cantidad:

Organizaremos los datos en un gráfico cartesiano.

Pares ordenados: (0;3) (8;20)

Se suelen utilizar en problemas geométricos. Son dibujos que representan la realidad de manera similar, pero esquemática, sin considerar los elementos irrelevantes al problema. Mediante esta representación es posible visualizar las relaciones entre los datos y las incógnitas.

Ejemplo:

Un hombre de 1,8 m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1,5 m/s. Si hay una lámpara sobre el suelo a 15 m del edificio, ¿cuánto mide la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9 m de él?

Solución: Hagamos un diagrama que represente la situación narrada.

Se emplean cuando una cantidad varía a lo largo de la historia o cuando tenemos la situación final de esta cantidad. También cuando se dan secuencias de pasos para encontrar objetos matemáticos, entre otras aplicaciones.

Ejemplo:

Un número se duplica, luego se le resta 8, después se invierten las cifras de este número. Finalmente, se divide por 6 y se obtiene 8. ¿Cuál era el número?

Solución: Haremos un diagrama que indique las fases por las que pasó el número.

Se suele recurrir a estos cuando se trata de información acerca de dos o más grupos, cuyos elementos pueden pertenecer a más de un conjunto. También cuando se deben realizar clasificaciones. Los más conocidos son los diagramas de Venn y los de Carroll.

Ejemplo:

De los 35 estudiantes de un aula, 23 usan lentes y 20 usan reloj. ¿Cuántos usan ambas cosas?

Solución: Grupo 1: Estudiantes que usan lentes. Grupo 2: Estudiantes que usan reloj.

Diagramas de tiras

Se utilizan mayormente cuando la cantidad que interviene en el problema varía en el tiempo o es dividida en partes que se relacionan entre sí.

Ejemplo: La tercera parte de las entradas para el estreno de una película se vendió días antes de la función y el día del estreno se vendió 1/3 del resto. Finalmente, quedaron 48 entradas sin vender. ¿Cuál era el número total de entradas previsto para la función de estreno?

Solución: Cantidad: Número total de entradas. Elabora un diagrama de tiras.

48



Diagramas lineales

Se usan cuando se cuenta con información acerca de una característica de un solo grupo. Generalmente se emplean para ordenar los elementos del grupo con respecto a esa característica.

Ejemplo:

Si tanto Roberto como Alfredo están más alegres que Tomás, mientras que Alberto estás menos alegre que Roberto, pero más alegre que Alfredo, ¿quién está menos alegre?

Solución: Alfredo, Alberto, Roberto, Tomás.

Diagramas de árbol

Se suelen utilizar en conteos de casos posibles o para hacer listas sistemáticas. Es la representación gráfica de los principios de adición y multiplicación.

Ejemplo:

Un productor de cumbia, quiere armar un dúo mixto (varón y mujer). El productor puede elegir entre 3 cantantes mujeres y 2 cantantes varones. ¿Cuántos dúos mixtos diferentes puede formar?

Roberto Alberto Alfredo Tomás +

Rosa

José

José

José

Raúl

Raúl

Raúl

Ana

Nancy

3.3. Otras estrategias

1

2

6

11

411

51

3

10

11

4 13

10

1

5 1

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Pongamos una etiqueta a cada uno de los cuatro triángulos en que se ha dividido el triángulo mayor.

a b c d

Busca patrones

En algunos problemas es necesario experimentar con varios casos con el fin de encontrar pautas o regularidades que después se podrán emplear para llegar a la solución.

En los casos en que se requiere la enumeración de objetos matemáticos es conveniente realizar un conteo o listado organizado, con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad. Esta estrategia es muy útil al buscar soluciones en una ecuación polinómica, para encontrar espacios muestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones.

Haz una lista sistemática

Ejemplo:

Solución:

• Contemos ahora los triángulos identificándolos por el número de letras:Triángulos con una letra: a-b-c-dTriángulos con dos letras: ab – bc – cd Triángulos con tres letras: abc –bcdTriángulos con cuatro letras: abcd

• En total tenemos: 4+3+2+1 = 10 triángulos en total.

Generaliza

En algunos problemas puede ser muy útil simbolizar las expresiones o averiguar si lo que piden se refiere a un caso particular de alguna propiedad general; a esto se le conoce como la paradoja del inventor. A veces es conveniente investigar más de lo que piden.

Ejemplo:

Hallar el valor de (234756474)2 – (234756473)2.

Ejemplo:

El arreglo mostrado se conoce como el triángulo de Pascal.

Escribe las tres filas siguientes de este arreglo. Como observas, cada fila empieza por uno, ¿qué número sigue al 1 en la fila 75?, ¿cuál es la suma de los números que ocupan la fila número veinte?, ¿puedes encontrar un patrón en las diagonales del triángulo de Pascal?


Resolvamos 1 18MD

Dom Lun Mar Miér Juev Vier SábJosé Tito Rosa José Jaime Tito RosaJaime

Razona lógicamente

Plantea una ecuación

Empieza por el final

El razonamiento lógico es muy importante al resolver problemas, pues gracias a él podemos engarzar los pasos y comprender las secuencias y cadenas de razonamientos que se producen en el desarrollo de su solución. Un ejemplo clásico es el siguiente acertijo:

Ejemplo:

José, Jaime, Tito y Rosa son guardias en un museo. José, Jaime, Tito y Rosa hacen guardia cuatro días a la semana. Dos personas solamente hacen guardia cada día. Nadie hace tres días de guardia seguidos.

¿Cuál de los tres hombres no hace guardia con Rosa?

Solución:

• Veamos una lista parcial que muestra los días de la semana en los que cada uno hace de guardia:

Una de las técnicas de modelación por excelencia a nivel elemental lo constituye el planteo de ecuaciones. Lo primordial para poderla aplicar con éxito es el entrenamiento que se tenga en la traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. Es conveniente ponerse de acuerdo en cuanto a convenciones generales de redacción para no crear

La estrategia de utilizar el pensamiento regresivo se utiliza mayormente en problemas en los cuales tenemos información de una situación final; también para demostrar desigualdades. La combinación de métodos progresivos y regresivos es una potente técnica para demostrar teoremas. La utilización del razonamiento regresivo nos evitará tener que trabajar con ecuaciones complicadas. Ejemplo:

Ejemplo:

El nivel del agua de un pozo desciende 2 centímetros por debajo de su mitad en cada hora, hasta quedar vacío luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente?

Solución:

• “3 cm debajo de su mitad” se interpreta como: ÷ 2, –3. • Esto ocurre en cada hora y se repite 4 veces, ya que todo

el suceso ocurre en 4 horas; de modo que al final el nivel es cero (0).

• Las operaciones directas serían así:x → (÷ 2, –3, ÷ 2, –3, ÷ 2, –3, ÷ 2, –3) → 0

• Ahora, operando al revés obtenemos: x = 90

Conviene siempre utilizar casos particulares para familiarizarse con el problema, de este modo es posible observar algún método que guíe hacia la solución de un problema genérico.

Ejemplo:

En una tienda de remates te ofrecen un descuento del 12 %, pero al mismo tiempo debes pagar el impuesto general a las ventas (18 %). ¿Qué preferirías que calculasen primero, el descuento o el impuesto?

Solución:

• Particularicemos para algunos casos: Si el artículo vale S/.100 y elijo el descuento primero, termino pagando S/.106. Pero si elijo pagar el impuesto primero, entonces termino pagando la misma cantidad.

• Podemos probar con otros precios y obtener un resultado análogo. Esta experimentación me da pie para inferir que da lo mismo elegir el descuento o el impuesto primero.

• Ahora deberé evaluar mi conjetura.

Particulariza

Solución:

Se observa que elevar al cuadrado cada número y luego realizar la resta sería demasiado laborioso, así que se trata de ver en la estructura del problema alguna particularidad. Lo primero que se observa es que se trata de una diferencia de cuadrados, lo que nos hace recordar las fórmulas algebraicas pertinentes, además se aprecia que los números son consecutivos.

• Al generalizar el problema se observa que se solicita: ( n + 1 )2 – n2, cuando n vale 234756474.

• Factorizando por diferencia de cuadrados, se tiene: ( n + 1 + n ) ( n +1 - n ) = ( n + 1 ) + n

• Luego, podemos afirmar que, para cualquier n entero positivo, se cumple:( n +1 )2 –n2 = ( n +1 ) + n = 2n + 1.

• Ahora el problema se ha simplificado bastante; para hallar la respuesta, solo basta duplicar el número dado y aumentarle 1.

• Entonces: (234756474)2 – (234756473)2 = 469512949



Establece submetas

Muchas veces, para llegar a la solución de un problema se debe resolver problemas más pequeños. Es como escalar una gran montaña, se sabe que se debe llegar a alturas menores para conquistar la cima. De igual manera, para resolver un problema original se necesita de un problema auxiliar que sirva de medio. Ejemplos:

Ejemplo:

Supongamos que la población actual del Perú es de

es de un 5 % anual, ¿en cuánto tiempo se duplicará la población?

Solución:

• La primera meta es hallar una fórmula que modele el comportamiento de la población y solo después de formada se igualará a 44 millones. Si bien aquí la incógnita es el tiempo, se busca en su lugar la relación entre el tiempo y el número de habitantes.

Utiliza el ensayo y error

Supón el problema resuelto

Tantear es una estrategia muy útil cuando se realiza de forma organizada y evaluando cada vez los ensayos que se realizan. En realidad, algunos métodos específicos de solución como el de regulación o el de aproximaciones sucesivas se basan en el uso sistemático de numerosos ensayos y sus respectivas correcciones. La idea es que cada rectificación conduzca a un ensayo que se acerque más a la respuesta.

Ejemplo:

Un libro se abre al azar. El producto de las dos páginas observadas en ese momento es 3192. ¿Cuál es el número de las páginas en las que se abrió el libro?

Solución:

• Primero se observa que: 50 x 50 = 2500, no llega; y 60 x 60 = 3600, se pasa. Con esto observamos que los números están en el rango entre 50 y 60.

• 55 x 56 no pueden ser, pues el producto termina en 0. Se quiere que termine en 2 y que los números sean consecutivos.

• Al probar 53 x 54 = 2862, el resultado no corresponde. • Pero al hacer la prueba con 56 x 57= 3192, se observa

que cumple con el resultado que plantea el problema.• Entonces las páginas que se observaron fueron la 56 y

la 57.

Ejemplo:

Usando solo regla y compás construye una tangente a una circunferencia dada, desde un punto exterior a ella.

Solución:

Para resolver este problema se supone que se debe hallar la tangente a una circunferencia, trazada desde un punto exterior a ella.

• El punto T es de tangencia. Entonces, ¿qué relación existe entre la tangente y algún elemento de la circunferencia?, ¿existe algún teorema que los relacione?

• Existe un teorema que nos dice que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia.

• Por tanto, si unimos O con T tendremos que OT es perpendicular a PT.

• Además, como tenemos tres puntos involucrados P, T y O, es posible hacer un triángulo uniendo el punto P con el punto O. Se observa que el triángulo es rectángulo.

TO

P

ambigüedades.

Ejemplo:

Dos velas de la misma longitud se encienden al mismo tiempo. La primera se consume en 4 horas y la segunda en 3. ¿Cuánto tiempo pasa, después de haberse encendido, hasta que la primera vela tiene doble longitud que la segunda?

Solución:

• La primera vela se consume en la cuarta parte cada hora. La segunda se consume en la tercera parte cada hora.Tiene que verificarse, por tanto: L - (1/4)Lx = 2 [L - (1/3)Lx]; simplificando:1 - (1/4) x = 2 - (2/3)x de donde x = 2,4 horas.

• Es decir 2 horas 24 minutos.


22 millones de habitantes y se sabe que la tasa de crecimiento

Resolvamos 1 20MD

Resuelve un problema más simple

Algunas veces, utilizar un método que nos dio resultado con un problema más simple relacionado nos lleva a la solución del problema original. Veamos un ejemplo de la geometría del espacio que hace uso de una propiedad similar, pero en el plano.

Ejemplo 01:

Encontrar la medida de la diagonal principal de un prisma recto cuyos lados miden 2 m, 6 m, 3 m.

Solución:

• Primero, hallaremos la diagonal de una cara del paralelepípedo, esto lo haremos usando el teorema de Pitágoras.

• Aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras obtendremos la diagonal pedida.

Ejemplo 02:

El problema parece complicado, por los radicales que aparecen, pero tratemos de buscar otra situación más favorable, como un problema semejante, por ejemplo:

s + 2t =7

2s - t = 4

Esto es un sistema de ecuaciones lineales con los mismos coeficientes de los que nos dan, pero mucho más simple de resolver. Podemos razonar de este modo, si resolvemos este segundo problema, habremos resuelto el primero, pues los valores de s y t pueden ser igualados a los radicales correspondientes y así obtener x e y.

Solución:

• Resolviendo el problema más simple, obtenemos que: s = 3 y t = 2.

• Ahora, igualamos esto a los radicales:

• Resolviendo para x e y, tenemos que:x = -8/9 e y = 9/4.

1

2

2

1

+

_

=

=

7

4

x + 1

x + 1

y - 2

y - 2

1 1= =3 y 2x + 1 y - 2

Usa una fórmula

Las fórmulas son muy útiles en la resolución de problemas. Muchas veces, al tener un conjunto de datos y buscar una relación entre los mismos recurrimos a fórmulas aprendidas con anterioridad. Es por esto que el buen resolutor de problemas debe tener a mano las fórmulas más importantes de la geometría, álgebra o trigonometría, con el fin de utilizarlas en el momento que crea necesario.

Ejemplo:

En una receta se lee que para hacer un budín necesitamos colocarlo 30 minutos en un horno a 572° F. Nuestro horno tiene la escala de temperatura medida en grados Celsius. ¿A cuántos grados centígrados deberemos poner el budín?

Solución:

• Debemos recordar la fórmula que da la conversión entre grados Celsius y Fahrenheit.La fórmula es:

El problema puede ser ahora convertido en el siguiente:

“Construir un triángulo rectángulo, recto en T teniendo la medida de OP”.

Se puede pensar que este triángulo está inscrito en una semicircunferencia de diámetro PO. De hecho, si se construye una circunferencia con ese diámetro, esta cortará a la antigua en un punto T, tal que PTO es rectángulo y T pertenece a la circunferencia inicial. El problema ha sido resuelto. Procedimiento:a. Se unen los puntos P y O mediante una recta y se

determina el punto medio (A) de la recta PO.b. Haciendo centro en A y radio igual a AP o AO se traza un

arco que corta a la circunferencia en el punto T (punto de tangencia).

c. Uniendo P y T se obtiene una de las rectas tangentes.

C = ( F - 32)59

TO

P

TO

P

• En nuestro problema F = 572, entonces C = 300. • Debemos poner el horno a 300 ° C.



El trabajo en equipo tiene muchas ventajas tanto para el profesor como para los estudiantes. Desde la perspectiva del docente, al trabajar con grupos de cuatro integrantes, una clase de 32 estudiantes se reduce a 8, siempre y cuando los roles al interior del equipo estén funcionando. Asimismo, mejora la calidad de las preguntas que se hagan, pues han pasado por el filtro del grupo, y cuando estas llegan al docente, hay cuatro personas atentas a su explicación. Además, los estudiantes mejoran sus capacidades de comunicación y de argumentación.

Sin embargo, no es fácil trabajar en equipo. Algunas veces, al hacerlo, habrás sentido que haces todo el trabajo, que no te escuchan, que es mejor que cada uno se esfuerce individualmente, etc. Pero bien llevado, el trabajo en equipo es muy rico y aporta no solo al aprendizaje de la matemática, sino también a comprender las relaciones que se dan entre las personas, a comunicarnos mejor, a saber tolerar y ser pacientes.

Por otro lado, trabajar agrupados no significa necesariamente hacerlo en equipo. Seis personas juntas solo hacen media docena; pero si ellas juegan vóley y cada una tiene roles y responsabilidades claras durante un juego, entonces estas seis hacen un equipo de vóley. Por esta razón, te recomendamos que, al conformar un equipo, además de tener un líder y tal vez un secretario, consideres que deben presentarse, a lo largo del trabajo, algunos roles típicos que detallamos a continuación:

4. El trabajo en equipo

Rol Este rol genera preguntas y comentarios como:

Experimentador

¿Qué tal si probamos casos particulares? ¿Qué tal si hacemos una tabla? ¿Qué pasa si usamos esta variable? Probemos con este número, etc.

Cuestionador¿Qué es lo que nos piden? ¿Saldrá por medio de una fórmula? ¿Es correcta nuestra respuesta?, etc.

Organizador

Mientras tú llenas la tabla, yo calcularé el costo; traeré la calculadora; usemos papel milimetrado; cada uno que llene su tabla y luego comparemos; etc.

Sumarizador

Solo nos quedan 10 minutos, debemos escribirlo en limpio; pasemos a otra pregunta; ¿a qué conclusiones hemos llegado?; ¿con cuál método empezamos?; etc.

Recuerda que para que el equipo funcione:

• Es preferible que los estudiantes se organicen en parejas o en grupos de 3 o 4. Más personas en el grupo pueden causar desorden.

• Se debe tener en cuenta los cuatro roles, que deben aparecer durante todo el proceso de solución de problemas. No se pide que cada estudiante asuma un rol, sino que estos roles pueden ser asumidos por distintas personas a lo largo del proceso.

• Los estudiantes deben tener responsabilidad individual y también compartida. Si no hacen bien su trabajo, perjudicarán al equipo.

• Los estudiantes deben depender positivamente de los otros miembros del equipo, reconocer sus características y valorarlas. Tal vez uno redacte o dibuje mejor, o sea más hábil para geometría, otro para aritmética, etc.

• Los estudiantes deben interactuar cara a cara con los miembros de su equipo. Se sugiere que se sienten de modo que cada uno pueda ver a los otros.

• Se debe motivar los esfuerzos y éxitos personales y grupales de los estudiantes.


Resolvamos 1 22MD

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en reconocer lo que no varía en el problema planteado. En este caso, en los dos escenarios el número de canarios que tiene Yolanda no varía, solo se modifica la disposición que hace de ellos. Reconocer magnitudes invariables es muy útil al momento de plantear problemas o seleccionar tablas que permitan resolverlos.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y luego explorar diversas vías de solución al mismo problema. Asimismo, es posible plantear una ecuación, tomando como incógnita el número de jaulas.Para ayudar a fijar la estructura del problema, es posible modificar los datos; por ejemplo, el número de canarios que sobran inicialmente o el número de jaulas que sobran al final.

Los números ordenan tu mundoActividad

Comente con sus estudiantes si se imaginan un mundo sin números. Pídales que recuerden sus actividades del día, desde que se levantan hasta llegar al colegio, y que escriban aquellas en las que tienen que utilizar números. Haga leer a algunos las actividades que anotaron. Luego, converse con ellos sobre la utilidad y presencia de los números y cómo estos nos ayudan a organizar nuestras labores diarias.

Números naturalesOperaciones con números naturales

Patrones numéricosExpresiones numéricas

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales, enteros o racionales.CAPACIDAD

La tarea presenta un sistema de ayuda a un zoológico local, en la que se indica el tarifario con los costos de adopción de un animal por un año.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la correcta selección y jerarquización de las operaciones numéricas.

Los estudiantes pueden tener dificultades para escribir las operaciones y expresiones numéricas, por lo que se les debe ayudar a que las escriban correctamente.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen solucionar situaciones aritméticas mediante tablas simultáneas o gráficos.

Los estudiantes pueden tener dificultades al modelar la situación en una representación tabular y para entender en qué momento el problema se encuentra resuelto.

¿A qué poner énfasis?


Posibles dificultades

Estrategias heurísticas propuestas


1

CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Descripción de la actividad


Intención pedagógica


Adopta un animalT1

Los canariosT2

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen extraer información de las tablas, con el fin de utilizarla en la resolución de situaciones numéricas, así como para realizar operaciones combinadas, pero con números en contexto.

En este caso, la tarea es directa y no requiere mayor interpretación; sin embargo, la pregunta 5 es de tipo abierto y es posible obtener varias respuestas. Una estrategia para responderla es organizar los costos de los animales en una tabla y probar con diversas combinaciones.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea presenta dos escenarios hipotéticos. En el primero, se colocan tres canarios en cada jaula y en el segundo, cinco. En cada caso, el resultado es distinto. Con esta información, se debe encontrar la cantidad de canarios.

En este caso, se propone hacer una tabla que se llena teniendo en cuenta cantidades arbitrarias de jaulas. Es un tanteo organizado que termina cuando el número de canarios es igual en las dos columnas de la tabla: N.°de canarios (1.a condición) y N.° de canarios (2.a condición).





Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación, lectura e interpretación de las relaciones numéricas, ya que el proceso de traducir el texto a una situación numérica puede encarar dificultades.

Los estudiantes pueden experimentar dificultades al tratar de razonar de otra manera, por eso las preguntas formuladas tienen la finalidad de guiar su razonamiento. El docente debe monitorear las respuestas.








El pequeño gran GaussT4

Matemática futbolísticaT3




Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar cada una de las pistas numéricas, ya que estas se encuentran en un gran texto. De allí la importancia de hacer preguntas que dividan la lectura en segmentos que brinden información parcial. Nunca se deben usar para este análisis las palabras claves, sino promover la comprensión del significado de cada expresión verbal.

Más allá del problema

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen optimizar un cálculo mediante el reconocimiento de patrones. De este modo, se busca que valoren la potencia de la matemática para, mediante un razonamiento adecuado, ahorrar tiempo en un cálculo.

La tarea presenta una famosa anécdota histórica que se le atribuye a Gauss. Es una situación para explorar patrones y razonamientos indirectos. Como se ve, Gauss no realizó directamente la operación, sino que buscó un atajo.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en nuevas estrategias; no se debe pensar directamente y empezar a sumar. Los estudiantes deben entender que en estos casos puede ser útil cambiar de enfoque y buscar relaciones escondidas en la estructura del problema. Se propone hacer uso del reconocimiento de patrones y emplear un problema análogo, pero de menor envergadura. En lugar de sumar hasta 100, primero resolver el problema de sumar hasta 10; de allí extrapolar el método a una cantidad más grande.

Finalmente, se exploran diversas vías de solución; por ejemplo, el método gráfico, que ayuda a visualizar las relaciones entre los números. Los estudiantes más avanzados pueden generalizar el método a progresiones aritméticas crecientes o decrecientes.

En este caso, se propone organizar los datos en una tabla numérica que permita visualizar las relaciones numéricas entre las dos categorías. Es un buen soporte gráfico para establecer las relaciones y descubrir qué cantidad de goles hizo cada jugador.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que, a partir de información parcial, impliquen tanto extraer conclusiones como integrarlas para obtener un resultado completo.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada (la tabla) y por qué fue la mejor forma de organizar la información. La tabla se utiliza siempre que haya un número de categorías relacionadas entre sí. Las tablas pueden ser lógicas (filotramas) o numéricas, como en este caso.

El caso se refiere a dos categorías que están vinculadas mediante un conjunto de relaciones numéricas. Las categorías son:a) Los jugadores b) La cantidad de golesLa situación presenta información parcial relativa a la cantidad de goles que anotaron tres jugadores. En función de relaciones entre el número de anotaciones de cada uno, se busca determinar la cantidad de goles que metieron los tres en un año específico.


Resolvamos 1 24MD

El Parque de las Leyendas tiene más de 3500 animales, cuyo costo de alimentación sobrepasa los S/.2 000 000 mensuales. Hace un año, la administración lanzó el programa “Adopta un animal”, mediante el cual personas caritativas pueden ayudar a mantener a los animales de este tradicional zoológico limeño. La tabla muestra los costos anuales de adopción de varios de ellos.

Animal Costo (S/.)ocelote 2000

oso de anteojos 3000búho 500

cóndor 850alpaca 1800

mono tití 300lobo marino 1400

majaz 900

Adopta un animal

1) ¿Cuánto costaría adoptar 2 búhos, 3 cóndores y 4 alpacas?

2) Una fundación protectora del cóndor nacional quiere invertir S/.14 000 en este programa, ¿cuántos cóndores podría adoptar?

¿Cuánto dinero quedará?

3) ¿Cuántos ocelotes puedo adoptar con S/.13 500 si, además, deseo adoptar 3 monos tití?

¿Cuánto dinero quedará?

4) Reflexiona sobre las operaciones que realizaste para responder cada pregunta. Luego escribe las expresiones matemáticas que te ayudaron a encontrar cada respuesta.

5) ¿Cuántos búhos y monos tití podrías adoptar con, exactamente, S/.25 000?

Los númerosordenan tu mundo1

Costaría S/.10 750.

Podría adoptar 16 cóndores.

Quedará S/.400.

Quedará S/.600.

Puedo adoptar 6 ocelotes.

Las respuestas pueden variar, por ejemplo: 38 búhos y 20 monos tití.

2 x 500 + 3 x 850 + 4 x 1800

85014 000

2000(13 500 - 900)

14


Manual para el docente25MD

Yolanda está poniendo sus canarios en jaulas. Ella observa que si coloca tres canarios en cada jaula, le sobra un canario; pero si coloca cinco canarios en cada jaula, le sobran tres jaulas.

¿Cuántos canarios tiene Yolanda?

1) ¿Qué es lo que guarda Yolanda?

2) ¿Cuáles son las condiciones del problema?

› Primera condición: › Segunda condición:

3) ¿Qué es lo que debes encontrar?

Si Yolanda tuviese 4 jaulas:

1) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la primera condición?

2) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la segunda condición?

Y si tuviese 5 jaulas:

3) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la primera condición?

4) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la segunda condición?

5) ¿Cómo podríamos organizar mejor esta información?

a) En una tabla de doble entrada de información. b) En un diagrama de Venn. c) Haciendo un gráfico cartesiano.

N.° de jaulas

N.° de canarios (1.a condición)

N.° de canarios (2.a condición)

456789

10

1) ¿Qué fue lo que nos dio la pista?

2) ¿Cómo organizamos la información?

3) ¿Qué otra pregunta te pudieron haber hecho?

4) Si en la primera condición sobraran tres canarios en vez de uno, ¿cuál sería la respuesta correspondiente?

1) Completa las casillas faltantes. Luego de haber completado las casillas:

2) ¿Cuál crees que debe ser el número de canarios?

3) ¿Por qué eliges este número?

Los canarios

Habría 30 canarios.

Sus canarios.4 x 3 + 1 = 13 canarios.

5 x (4 - 3) = 5 canarios.

5 x 3 + 1 = 16 canarios.

5 x (5 - 3) = 10 canarios.

25 canarios.

El número de canarios no puede variar.

Mediante una tabla de doble entrada.

Las respuestas pueden variar, por ejemplo: ¿cuántas jaulas tiene Yolanda?

El número de canarios es igual en las dos columnas, es decir, cumple las dos condiciones del problema.

Colocar 3 canarios en cada jaula; sobra 1 canario.

Colocar 5 canarios en cada jaula; sobran 3 jaulas.

El número de canarios que tiene Yolanda.

4 x 3 + 1 = 13 5 x ( 4 - 3 ) = 55 x 3 + 1 = 16 5 x ( 5 - 3 ) = 106 x 3 + 1 = 19 5 x ( 6 - 3 ) = 157 x 3 + 1 = 22 5 x ( 7 - 3 ) = 208 x 3 + 1 = 25 5 x ( 8 - 3 ) = 259 x 3 + 1 = 28 5 x ( 9 - 3 ) = 3010 x 3 + 1 = 31 5 x ( 10 - 3 )=35

15


Resolvamos 1 26MD

Un grupo de amigos participaron en campeonatos escolares. Roberto metió 6 goles durante el campeonato interescolar de fútbol del 2008 y 6 goles en el del 2011. En los años 2009 y 2010 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años, que van del 2008 al 2011, hizo un total de 15 goles. Daniel hizo 14 goles el 2009 y la mitad el 2011. Su total, para los 4 años, fue de 21 goles. Julio metió tantos goles el 2010 como Daniel en los 4 años; pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008. Entre los tres, el 2010 metieron 22 goles.

¿Cuántos goles hicieron el 2009 entre los tres?

Matemática futbolística

1) ¿Acerca de cuántos estudiantes te da información el texto? Nómbralos.

2) ¿Qué es lo que ellos hacen?

3) ¿Desde qué año te da información sobre los goles? ¿Y hasta qué año?

4) ¿Qué es lo que debes encontrar?

1) El texto te da información de los goles hechos en cada temporada. Toma como ejemplo un año e indica los goles realizados por los amigos.

2) ¿Cómo consideras que se debería organizar la información de los amigos en todos los años?

a) En un diagrama de Venn. b) En una tabla de doble entrada. c) Elaborando una lista por año o por amigo.

¿Por qué?

1) Organiza la información en la tabla y contesta las preguntas:

a.¿De quiénes se sabe, exactamente, cuántos goles b.¿De qué año o de quiénes tienes el total de goles?

c.¿Hay ceros en la tabla?

1) ¿Crees que una tabla es la mejor forma de organizar la información? ¿Por qué?

2) ¿Cuáles son las pistas más difíciles de entender? ¿Por qué?

3) ¿En qué otros problemas puedes utilizar esta estrategia?

d.¿Hay alguna información que relacione a dos jugadores? ¿Qué dice?

e. ¿Cuántos goles metieron, entre los tres, el 2009?

2) ¿A qué se refiere la historia cuando dice: “Julio metió tantos goles el 2010 como Daniel en los 4 años”?

3) ¿A qué nos referimos cuando se dice: “pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008”?

2008 2009 2010 2011 TOTAL

Roberto

Daniel

Julio

TOTAL

AmigosAños

anotaron y en qué años?

En el 2008, Roberto anotó 6 goles; mientras que Daniel y Julio no marcaron ese año.

Porque en una tabla de doble entrada se puede identificar lo que cada jugador anotó en cada año. Cada casilla cruza un año con un amigo.

Acerca de 3 personas: Roberto, Daniel y Julio.

Participan en campeonatos escolares de fútbol.

Desde el 2008 hasta el 2011.

La cantidad de goles que, en el 2009, hicieron entre los 3.

De los tres amigos, se conoce la

cantidad de goles que Roberto anotó en los años 2008 y

2011; Daniel, en 2009 y 2011, y Julio, en el 2010.

Tengo el total de goles del año 2010 y de Roberto y Daniel.

Julio metió tantos goles el 2010 como Daniel en los 4 años; pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en 2008.

Que en el 2010 la cantidad de goles de Julio es igual al total de goles de Daniel. Es decir, 21.

Que en ese año Daniel no anotó, es decir, los años correspondientes son ceros.Sí.

16

Sí.

En problemas donde se deben relacionar varios datos acerca de dos conjuntos o categorías.

Sí. Porque se desea saber los goles por amigo y por año, y cada casilla de la tabla independiza esta información.

“(…) pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008”. Porque exige que la información esté organizada.

6 2 1 6 15

0 14 0 7 21

0 0 21 0 21

6 16 22 13 57

16



Carl Friedrich Gauss fue sin lugar a dudas el más grande matemático de la historia. Desde niño mostró talento para los números. Cuentan que, a los 6 años, corrigió una de las cuentas que hacía su padre, sorprendiéndole tanto que, desde ese momento, consideró que Gauss sería un gran matemático.En la escuela, una tarde el profesor, deseando descansar un poco, ordenó a sus estudiantes que hallaran la suma de todos los números naturales desde 1 hasta 100. Escribió la consigna en la pizarra, dejó la tiza y ya se aprestaba a acomodarse en su pupitre cuando, de pronto, el pequeño Gauss levantó la mano diciendo que tenía la respuesta. El profesor no le creyó, pero igual fue a ver el resultado del niño. Grande sería su sorpresa al ver no solo que el resultado era el correcto, sino también que el método encontrado por el niño era todo un gran ejemplo del buen pensar.

¿Cómo hizo el pequeño Gauss para hallar 1 + 2 + 3 + 4 +… + 98 + 99 + 100 tan rápido?

El pequeño gran Gauss

Con tus compañeros, busquen un problema más simple; por ejemplo, la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

Observen este otro método para sumar los números del 1 al 10. La figura representa esos números. Completen el gráfico, de manera que se forme un rectángulo, y coloreen de rojo la parte agregada.

1) ¿Cuánto es la suma del primer y el último término? ¿Y del segundo y el penúltimo? ¿Y del tercero y el antepenúltimo?

2) ¿Qué observan acerca de estas sumas?

3) ¿Es así para todas estas parejas?

4) ¿Qué tienen en común estas parejas?

5) Completen con lo que han descubierto:

La adición de dos que equidistan de los extremos de la es siempre la misma.

10) ¿Cómo son la figuras?

11) ¿Cuál es la longitud del rectángulo?

12) ¿Cuál es la altura del rectángulo?

13) ¿Cómo pueden usar este gráfico para hallar la suma de los números del 1 al 10?

14) Empleen este método para hallar la suma de los números del 1 a 100.

6) ¿Cómo pueden utilizar este resultado para hallar la suma solicitada?

Ahora generalicen la suma desde 1 hasta el 100.

7) ¿Cuánto es la suma de los términos que equidistan de los extremos de la suma?

8) ¿Cuántas parejas de este tipo hay de 1 a 100?

9) ¿Cuál es la suma de los cien primeros números?

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números naturales; ellos me ayudan a representar, ordenar y cuantificar una amplia variedad de situaciones en la vida cotidiana.

¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?

Estuve sobresaliente. He participado de forma significativa.

Fue aceptable. Debo mejorar.

Autoevaluación

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 1111

Son iguales.

Sí.

La suma de sus términos es igual a la suma de los extremos.

númerossuma del 1 al 10

Las parejas suman 101.

Hay 50 parejas.

Luego la suma es 101 x 50 = 5050.

Son iguales.

Como hay 5 parejas que suman 11, entonces la suma será 11 x 5 = 55.

Es 10.

Es 11.

El gráfico representa el doble de la suma del 1 al 10. Como son 10 filas de longitud 11, entonces el gráfico es 11 x 10 = 110. Esto es el doble de la suma del 1 al 10. Por lo tanto, la suma del 1 al 10 es 110 / 2 = 55.

La suma de cada fila será 101 y habrá 100 filas. Luego el rectángulo será 100 x 101 = 10 100; pero eso es el doble de la suma del 1 al 100. Entonces la suma del 1 al 100 es 5050.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

17


Resolvamos 1 28MD

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran del uso de razones y proporciones en situaciones problemáticas de contexto comercial; específicamente, en la mezcla de productos de diferente calidad que impliquen operaciones de adición, sustracción y multiplicación de números naturales.

Los números ayudan a pensar mejorActividad

Comente con sus estudiantes acerca de la presencia de los números en los medios de comunicación y cómo se organizan mediante tablas o gráficos, de manera que permiten visualizar las relaciones numéricas entre grandes cantidades de datos con mayor detalle. Explique que la Matemática es un medio de comunicación que sistematiza y organiza la información, por ejemplo, en un formato compacto, como el de una tabla, o por medio de un gráfico cartesiano. Este último puede condensar muchos datos o contar la evolución de un fenómeno, como el cambio en la población de Lima, el alza de la gasolina en los últimos años, etc.

Representación, orden y operaciones con números naturales

Unidades de medida de masa, longitud, sistema monetario nacional, representación de datos estadísticos en tablas



La tarea presenta una situación comercial en la que se deben realizar diferentes combinaciones de dos tipos de café en diferentes proporciones para la obtención de mezclas de diversas calidades.

En esta oportunidad, se propone la descomposición del problema en partes, en cuyo desarrollo se ha asociado el concepto de calidad con el precio de café. Asimismo, se ha utilizado la tabla para la organización de la información.

En este caso, se propone la representación gráfica del problema del reparto. Con este tipo de representación, es fácil visualizar los datos y las condiciones del problema.

La tarea presenta una situación problemática en la que se debe hallar la cantidad de ovejas que tiene cada pastor. Para ello, se empleará la información sobre el total de ovejas y las relaciones de proporcionalidad. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver situaciones problemáticas de relación parte-todo en un contexto real, mediante el uso de diagramas de tiras.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en reconocer que el problema comprende relaciones del tipo parte-todo y, por tanto, puede representarse mediante diagramas de tiras.

Los estudiantes pueden tener dificultades al representar gráficamente la información a partir de las relaciones indicadas; por ello, es conveniente reconocer, independientemente, cada relación y representarla con orden.






2







Mezclas de caféT1

Los pastoresT2

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los productos comerciales resultantes de mezclas difieren en su calidad, según las diferentes proporciones de sus componentes, de manera que se pueda asociar el precio con la calidad del producto, como, por ejemplo, en el caso del café.

El estudiante puede tener dificultades al comprender los enunciados; por ello, es importante que se reformule o parafrasee el problema con preguntas sencillas. Asimismo, la dificultad de los estudiantes se puede asociar con el uso de las jerarquías para realizar operaciones combinadas.





Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Es posible cambiar los datos (por ejemplo, el número de ovejas en total), variar alguna relación entre las cantidades de lo que posen un par de pastores o considerar un pastor más con alguna relación numérica nueva, entre otras modificaciones.Se pueden plantear otras estrategias de solución del problema a partir de un dato supuesto: simplemente asumimos que Pedro tiene 1 oveja, entonces Juan tiene 3 y Raúl, 2; en total tendrían 6 ovejas. Pero como en el problema el total es 288 (es decir, 288:6 = 48 veces 6), entonces cada uno tendrá 48 veces lo supuesto (Pedro: 1 x 48 ovejas; Juan: 3 x 48 = 144 ovejas, y Raúl: 2 x 48 = 96 ovejas).


Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar que en realidad se pagó una cuenta de S/.27, incluida la propina (que no debe ser considerada como monto adicional).

La tarea presenta una situación paradójica, acerca de la aparente desaparición de un dinero. La situación presenta un razonamiento falso, pero que tiene aparente fundamento matemático.

En este caso, se propone hacer una tabla para organizar la información, representar la situación y resolver el problema de relación parte-todo.








El caso de la moneda desaparecidaT4

Densidad poblacionalT3




Los estudiantes pueden tener dificultades al pretender calcular de manera exacta; por ello, es necesario desarrollar la estimación, una de las habilidades más funcionales en la vida cotidiana. Así, les será posible estimar, por ejemplo, densidades poblacionales, áreas de regiones, costos y pesos, entre otras magnitudes, a partir de la realización de cálculos aproximados de operaciones con números.

La tarea consiste en identificar una población trujillana con densidad poblacional cercana a 30 personas por km2, a partir de datos estadísticos de extensión y población de algunos distritos de la ciudad de Trujillo. En el problema se solicita realizar la estimación de un indicador muy útil para autoridades municipales y empresarios: densidad poblacional.


Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren tanto criticar razonamientos como analizar y probar la veracidad de afirmaciones y argumentos con hechos matemáticos.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el análisis de razonamientos expresados en el enunciado para contrastarlos con argumentos matemáticos que permitan desentrañar la veracidad o falsedad de afirmaciones y enunciados.

En esta actividad, los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. El docente puede explicar la paradoja desde otra óptica (por ejemplo, analizando el flujo del dinero). Para ello, hay que asignar un signo a los números en cada etapa del problema.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes redondeen la cifra y asuman riesgos al estimar. Se debe tener claro que una estimación es un cálculo aproximado que ayuda a comprender una situación rápidamente para tomar decisiones.En esta ocasión, se propone elegir una notación adecuada, por la cual se debe decodificar la definición de densidad poblacional y estimar su valor haciendo uso de cálculos aproximados para los diversos casos presentados.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen la estimación del resultado de operaciones con números naturales, sin necesidad de realizar el cálculo de operaciones exactas.

Los estudiantes tendrán la oportunidad de reconocer la estrategia utilizada y comprobar sus estimaciones mediante el cálculo exacto. Asimismo, se exploran otras posibles preguntas que se pueden formular a partir del cuadro presentado.


Resolvamos 1 30MD

Una tienda especializada en café dispone de 75 kg de café tipo A y 120 kg de café tipo B, los cuales se mezclarán en sacos de 16 kg cada uno, de la manera siguiente: una mezcla económica, de 4 kg de café tipo A y 12 kg de café tipo B, y una mezcla superior, de 8 kg de café tipo A y 8 kg de café tipo B.

Mezclas de café

1) ¿Qué tipo de mezclas habrá de realizar la tienda?

2) ¿Qué tipo de café es el de mejor calidad: el tipo A o el tipo B? ¿Por qué?

3) ¿Cuántos kilos de cada tipo se necesitan para envasar 3 sacos con mezcla económica y 4 sacos con mezcla superior?

4) ¿Es posible obtener 7 sacos de mezcla económica y 10 sacos de mezcla superior?

5) Si cada saco de mezcla económica se vende a S/.300 y cada saco de mezcla superior, a S/.500, ¿cuánto es el ingreso al vender 3 sacos económicos y 5 de superior?

6) ¿Qué cantidad de café tipo A se requiere para envasar 3 sacos de café superior y 4 sacos de café económico?

7) Reflexiona y responde. Al resolver este problema, habrás notado la necesidad de organizar la información y visualizarla para poder usarla luego. El uso de la tabla es propicio para este fin. Emplea la información del problema anterior para completar la tabla que te mostramos.

8) El kilo de café tipo A cuesta S/.20 y el kilo de café tipo B cuesta S/.12. ¿Cuál es la ganancia que se obtiene por la venta de un saco de tipo económico?

¿Y por la venta de un saco de tipo superior?

Tipo A (kg) Tipo B (kg)EconómicaSuperior

Los números ayudan a pensar mejor2

Una mezcla económica y una superior.

Para 3 sacos de mezcla económica, necesito 3 x 4 kilos

de tipo A y 3 x 12 kilos de tipo B.

Para 4 sacos de mezcla superior, necesito 4 x 8 kilos

de tipo A y 4 x 8 kilos de tipo B.

Para 7 sacos de mezcla económica, necesito 7 x 4 = 28 kilos de tipo A y 7 x 12 = 84 kilos de tipo B.Para 10 sacos de mezcla superior, necesito 10 x 8 = 80 kilos de tipo A y 10 x 8 = 80 kilos de tipo B.En total, del tipo A necesitaría 108 kilos y solo tengo 75 kilos del tipo A. No se dispone de la cantidad suficiente para obtener las dos mezclas a la vez.

Como los sacos pesan igual, el café tipo

A es de mejor calidad, pues en la mezcla superior hay

mayor cantidad de ese tipo.

El ingreso es 3 x 300 + 5 x 500 = S/.3400.

Costo de saco tipo económico: 20 x 4 + 12 x 12 = S/.224. La ganancia en la mezcla económica es = 300-224 = S/.76.

Costo de saco superior = 20 x 8 + 12 x 8 = S/.256. Ganancia de la mezcla superior es = 500 - 256 = S/.244.

En cada saco de café superior, hay 8 kilos de café

tipo A; en 3 sacos, hay 24 kilos. En cada saco de café

económico, hay 4 kilos de café tipo A; en 4 sacos, hay

16 kilos. En total se requieren 40 kilos de tipo A.

4 12

8 8

18



Tres pastores viven en la misma comunidad. En total tienen 288 ovejas, aun cuando cada cual posee su propio rebaño. Juan tiene el triple de ovejas que Pedro y este cuenta con la mitad de las que pertenecen a Raúl.

¿Cuántas ovejas tiene cada uno?

Los pastores

1) Comprueba si lo obtenido responde al problema.

2) Describe la estrategia empleada para resolver el problema.

3) ¿La estrategia que has reconocido se puede aplicar en otros problemas?, ¿de qué tipo? Plantea un problema como ejemplo.

1) ¿De quiénes te hablan en el problema?

2) ¿Cuántas ovejas tienen en total?

3) ¿Quién tiene más ovejas, Juan o Pedro?

4) ¿Qué es lo que te piden averiguar?

1) ¿Si Pedro tuviera 20 ovejas, cuántas tendría Juan?

2) ¿Y cuántas tendría Raúl?

3) ¿Cómo se relaciona lo que tiene Pedro con lo que tiene Raúl?

4) ¿Puedes representar lo que tiene cada uno mediante un gráfico? ¿Cómo?

1) Si lo que tiene Pedro se representa con un bloque así:

Pedro:

¿Con cuántos bloques representarás lo que tienen Raúl y Juan? Completa el gráfico:

Juan:

Pedro:

Raúl:

2) Observa el gráfico que has construido y responde: ¿a cuántos

2) Observa el gráfico que has construido y responde: ¿a cuántos bloques equivalen las 288 ovejas?

3) Entonces, ¿un bloque, a cuántas ovejas equivale?

4) ¿Cuántas ovejas tiene cada pastor?

Juan:

Pedro:

Raúl:

4) Si Juan hubiese tenido cinco veces lo que tiene Pedro y las condiciones de Raúl se mantienen, ¿cómo cambiaría la respuesta?

5) Supón que hay un cuarto pastor llamado Manuel, quien tiene el triple de lo que posee Raúl, manteniendo las condiciones iniciales, ¿cuántas ovejas tendría entonces cada uno?

bloques equivalen las 288 ovejas?

3) Entonces, ¿un bloque, a cuántas ovejas equivale?

4) ¿Cuántas ovejas tiene cada pastor?

JUAN:

PEDRO:

RAúL:

De tres pastores. 60 ovejas.

40 ovejas.

Raúl tiene el doble que Pedro.

288 ovejas.

Juan.

El número de ovejas que tiene cada uno.Sí. Mediante barras horizontales.

A seis bloques.

Equivale a 288 / 6 = 48 ovejas.

3 x 48 = 144 ovejas.

48 ovejas.

2 x 48 = 96 ovejas.

En total, hay 144 + 48 + 96 = 288 ovejas. Juan tiene el triple que Pedro y este tiene la mitad de las que posee Raúl.

Es una estrategia gráfica, donde utilizamos barras para representar la cantidad de ovejas con respecto a cada pastor.

Es posible aplicarla a problemas en los que se tienen todas las variables relacionadas con una de ellas.

A Juan le hubiera correspondido 5 bloques. En total habría 8 bloques. Cada bloque valdría 288 / 8 = 36. Entonces, Juan: 180 ovejas, Pedro: 36 ovejas y Raúl: 72 ovejas.

A Manuel le correspondería, en el gráfico, 6 bloques. En total serían 12 bloques. Dividimos 288 / 12 = 24. Entonces, Juan: 72 ovejas, Pedro: 24 ovejas, Raúl: 48 ovejas y Manuel: 144 ovejas.

19


Resolvamos 1 32MD

Felipe y su grupo están haciendo una investigación acerca de la población, en varios distritos de la ciudad de Trujillo. Ellos han obtenido del INEI una tabla con el número de habitantes y el área de algunos distritos, medida en km2. Su tarea es identificar el distrito que tiene una densidad poblacional de cerca de 30 personas por km2.

¿Cómo se ayudarán para identificarlo?

Nota: Estimen la información redondeando a la segunda cifra decimal.

Densidad poblacional

1) ¿Qué significa la frase: densidad poblacional de cerca de 30 personas por km2?

2) ¿Qué necesita saber el equipo de Felipe?

1) La densidad poblacional de un distrito es el número promedio de personas por kilómetro cuadrado. ¿Cómo crees que se puede calcular la densidad poblacional?

2) ¿Crees que es posible resolver este problema sin hacer los cálculos con exactitud? ¿Por qué?

1) ¿Cuál es la densidad poblacional de La Esperanza? (Redondea al entero más cercano).

2) ¿Cuál es la densidad poblacional de El Porvenir? (Redondea al entero más cercano).

3) ¿Qué distrito, de los mencionados, tiene la mayor densidad poblacional? ¿Qué distrito tiene la menor densidad poblacional? Comprueba tus resultados haciendo las operaciones necesarias.

4) ¿Qué distrito tiene una densidad poblacional de alrededor de 30 personas por km2?

1) ¿Qué estrategia fue la que más te sirvió para resolver este problema?

2) Comprueba tus resultados haciendo el cálculo con exactitud.

3) Haz una estimación para ubicar los distritos que tienen una densidad poblacional de alrededor de 100 habitantes por km2. ¿Cuáles son?

4) Estima cuál es el segundo distrito más poblado de Trujillo y cuáles son los menos poblados.

Fuente: Instituto Nacional de Estadística e Informática INEI (2007).

Distrito Extensión (km2) Población (hab.)

Trujillo 39,36 294 899

La Esperanza 18,64 151 845

El Porvenir 36,70 140 507

Víctor Larco Herrera 18,02 55 781

Huanchaco 333,90 44 806

Florencia de Mora 1,99 40 014

Laredo 335,44 32 825

Moche 25,25 29 727

Salaverry 390,55 13 892

Total 1 199,85 804 296

Que hay 30 personas, aproximadamente, en 1 km2.

8146 personas en 1 km2.

3829 personas en 1 km2.

Salaverry, con 36 personas, aproximadamente, en 1 km2.

Florencia de Mora con aproximadamente 20 107,54 hab./km2 tiene la mayor densidad.Salaverry con aproximadamente 35,57 hab./km2 tiene la menor densidad.

Dividiendo el número de habitantes entre el área del distrito.

Sí, basta redondear los números que intervienen en la división, con el fin de simplificar este cálculo.

Conociendo la población y el área del distrito, se debe encontrar un valor cercano a 30 personas por km2.

Descomponer el problema en partes y utilizar la fórmula que corresponde a densidad poblacional.

Laredo y Huanchaco.

Hay que dividir el número de habitantes entre la extensión.

La Esperanza es el más poblado; Moche y Salaverry son los menos poblados.

20



El hecho sucedió hace dos semanas cuando tres amigos fueron a almorzar a un restaurante. Como siempre, al momento de pagar, dividieron la cuenta en partes iguales. Esta ascendía a S/.30, por lo que cada uno dio un billete de S/.10 al mozo para que se cobre. Cuando este llegó a la caja, el dueño le comunicó que se había equivocado y que la cuenta era solo de S/.25.

El mozo fue con las cinco monedas hacia la mesa, pero en el trayecto pensó: "¿Cómo divido estos cinco entre tres? No sale exacto, de repente se pelean. Creo que solo les devolveré tres soles; los otros dos me los quedaré a modo de propina".

Así lo hizo y cada uno de los compañeros se fue contento con la moneda de un sol que recibió de vuelto. Pero he aquí el enigma: cada amigo pagó solo S/.9, o sea que en total pagaron S/.27; el mozo se quedó con S/.2, con lo cual sumamos S/.29; sin embargo, los amigos entregaron inicialmente S/.30.

Entonces, ¿dónde está el sol que falta? ¿Se esfumó? ¿Alguien lo tomó?

Con tus compañeros, realicen las siguientes preguntas y resuelvan el problema:

El caso de la moneda desaparecida

7) ¿Siguen los S/.30?

8) ¿Cuánto pagaron realmente los amigos entre cuenta y propina?

9) ¿Cuánto les devolvieron?

10) ¿En total, cuánto suman estas cantidades?

11) ¿Cómo lograron “ver” lo que pasaba?

12) ¿Pueden inventar un relato parecido, pero en el que aparenten desaparecer S/.2?

Dinero entregado S/.30Cuenta real Vuelto

1) ¿Es lógico que desaparezca una moneda de un sol?

2) ¿Cuánto entregaron los amigos inicialmente?

3) Sin contar la propina, ¿cuánto pagaron al final por el almuerzo?

4) ¿Creen que un organizador gráfico puede ayudarles a entender la situación?

5) La barra mostrada representa la cantidad que dieron los amigos al inicio: esto es S/.30. Completen los casilleros faltantes.

6) ¿Siguen existiendo los S/.30? Completen los casilleros faltantes.

Cuenta real Propina Vuelto efectivo

¿He colaborado en las tareas del equipo? Realicé aportes muy relevantes.

He colaborado de forma significativa.

Mi colaboración fue aceptable.

Debo mejorar.

Autoevaluación

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números naturales y sus operaciones, que son útiles en actividades comerciales, al estimar, medir y organizar cantidades.

No es lógico.

S/.30

S/.25

Sí.

S/.25 S/.2

S/.5

S/.3

S/.27

Sí puede ayudar a organizar la información.Identificando en un gráfico los pagos realizados, propina y vuelto.

Las respuestas pueden variar. Por ejemplo, sobre el mismo relato, se puede modificar la cuenta real a S/.26; el mozo igual devuelve S/.1 a cada cliente, con lo que cada uno de ellos habría pagado S/.9. En total 9 x 3 = 27 + 1 nuevo sol de propina = S/.28. ¿Y los S/.2 faltantes?

Sí.

S/.27

S/.3

S/.30

21


Resolvamos 1 34MD

No dividas y vencerásActividad

Comente con sus estudiantes que es posible saber de antemano cuándo un número es divisible entre 2, 3 o 5, utilizando algunos criterios. Los matemáticos del siglo XIX estuvieron muy interesados en trabajar, principalmente, los teoremas de divisibilidad; tal vez por los problemas que originó el cambio del calendario juliano al gregoriano y por establecer un método para fijar el día de Pascua en el mundo católico. Explíqueles, por ejemplo, que si bien las fechas de Jueves y Viernes Santo cambian cada año, en realidad responden a fórmulas basadas en la teoría de la divisibilidad. Puede usar como recurso complementario los almanaques de diversos años.

Múltiplos. DivisoresMáximo común divisorMínimo común múltiploCriterios de divisibilidad

Operaciones aritméticas básicasPotenciación


Resuelve problemas que requieran de los criterios de divisibilidad de los números.CAPACIDAD

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran identificar y desarrollar planteamientos relacionados con el mínimo común múltiplo en una situación de contexto real.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que, al no disponer de un criterio de divisibilidad para 15, se deben aplicar los teoremas de divisibilidad para números compuestos. En este caso, se observa que 15 es el producto de dos números primos entre sí: 3 y 5. Por tanto, se debe verificar la divisibilidad entre 15, comprobando la divisibilidad entre 3 y entre 5.

La tarea presenta tres sucesos que ocurren en distintos periodos. El problema exige encontrar aquellos días en que los tres acontecimientos coinciden. Es un caso típico de aplicación del mínimo común múltiplo.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en los patrones que se forman para cada coincidencia. Así se puede observar cuándo coinciden solo dos de los proveedores y cuándo los tres vendedores.

La tarea presenta un juego que involucra puntajes que, en este caso, deben ser múltiplos de 15 (puntaje máximo). Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieren aplicar los criterios de divisibilidad a una situación contextualizada.

Los estudiantes pueden tener dificultades al encontrar los patrones cuando se quiere descubrir con qué frecuencia se producen los encuentros de los tres proveedores. El uso de la recta numérica puede ser aquí de mucha utilidad.






3







Prever para cumplirT1

Tiro al blancoT2

En este caso, se ha utilizado la lectura analítica y luego la organización de información mediante una tabla.

En este caso, se propone desarrollar el procedimiento deductivo, para lo cual se ha buscado un teorema que ayude a resolver la pregunta. El teorema en cuestión dice: siendo a y b números primos entre sí, si un número es divisible entre ab, entonces el número también será divisible entre a y entre b. Sin embargo, los estudiantes pueden también desarrollar como estrategia el procedimiento empírico de forma inductiva, que los lleve a reconocer si un número cumple con ser divisible por a y luego por b.Los estudiantes pueden tener dificultades no solo para comprender el problema y su relación con la figura dada, sino también para determinar qué teorema puede servirles de ayuda. Por eso, las preguntas los guían hacia el descubrimiento del teorema que corresponde.


Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y después aplicarla; sin embargo, adquiere un nivel de complejidad debido a que su desarrollo involucra hacer igualdades con respecto a un puntaje total.





La tarea presenta un número elevado a una potencia muy grande. El problema solicita que se determine la última cifra del resultado de la potenciación.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar condiciones de divisibilidad. Esto conlleva a reflexionar antes de realizar operaciones. En este caso, es posible la existencia de un patrón.

La tarea consiste en encontrar el día de la semana de cualquier fecha de nuestro interés. Para ello, nos brindan una serie de condiciones que constituyen un procedimiento algorítmico.

En este caso, se propone el procedimiento de lectura analítica, así como el desarrollo indicativo y simbólico del proceso algorítmico, a fin de entender cada fase del cálculo.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran la lectura adecuada de un instructivo. Ello implica seguir las indicaciones, integrar la información literal con la proporcionada mediante tablas y realizar, de forma correcta, los procedimientos matemáticos.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la secuencia de pasos. Esta constituye un algoritmo que debe utilizarse con eficiencia. Es decir, los estudiantes deben llegar a darse cuenta de que en cualquier etapa del cálculo pueden “quitar sietes” y reducir el número a residuos del 7.

Los estudiantes pueden tener dificultades al organizar la secuencia de pasos y hacerla operativa. Por ello, es importante que al inicio comparen sus resultados con los otros miembros de su equipo. De existir algunas dudas o incoherencias en el procedimiento, deben consultar con el profesor.

En este caso, se propone desarrollar el procedimiento perceptual sobre las implicancias de esfuerzo y tiempo a partir de la comprensión del problema, así como identificar un patrón y utilizarlo mediante un razonamiento inductivo, y emplear un organizador de información (una tabla).

Los estudiantes deberán reconocer las dificultades para resolver el problema y la estrategia utilizada. Después podrán explorar algunas variantes. Además, se les puede proponer que creen problemas y que entre ellos se planteen retos matemáticos.








El calendario perpetuoT4

Prohibido calcularT3

Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender el problema y el significado que le atribuyen a la operación de potencia. Abordar el problema entre pares va a permitirles apoyarse en sus formas de comprensión. La estrategia de organizar la información y encontrar el patrón orienta a una mejor visualización de la secuencia que se produce con las últimas cifras de las potencias de tres. Como se observa, en este caso se produce una secuencia: 3, 9, 7, 1, 3, 0, 7, 1, 3, 9, 7, 1…

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que no es necesario hacer la potenciación exactamente. A partir de esta certeza, se hipotetiza acerca de la existencia de algún patrón para determinar la última cifra del resultado. El docente debe guiar a los estudiantes para que exploren casos particulares, con la idea de que estos resultados les permitan visualizar una regla de formación para resolver rápidamente el problema.




Es posible investigar otras fechas históricas o familiares. Se puede proponer también que investiguen acerca del algoritmo de Gauss, que permite calcular la fecha de Pascua de Resurrección.



Resolvamos 1 36MD

Alicia tiene una bodega en la ciudad de Molinopampa. Ella ha observado que las provisiones llegan con diferente frecuencia. Cada tres días, llega el camión de fruta; cada cuatro días, el camión con productos lácteos; y cada seis días, el camión con las gaseosas. Alicia está organizando el calendario, a fin de que no vuelva a ocurrir lo que pasó el primero de octubre, cuando los tres proveedores llegaron juntos y no se había reunido el dinero necesario.

OctubreL M M J V S D

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

Prever para cumplir

1) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de fruta a Molinopampa?

2) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de lácteos?

3) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de gaseosas?

4) ¿En qué fechas no llega ningún proveedor?

5) ¿En qué fechas llegan los tres proveedores juntos?

6) ¿Cada cuántos días llegan los tres proveedores juntos a Molinopampa?

7) La frecuencia con la que llegan los tres proveedores a Molinopampa, ¿tiene alguna relación con los siguientes tres números: 3, 4 y 6?

8) ¿Hubieses podido hallar la frecuencia con la que llegan los tres juntos sin marcar los días en el calendario? Identifícalos en este segmento y explica oralmente cómo te ayuda.

9) ¿En qué otras fechas, hasta el final de año, Alicia debe esperar a los tres proveedores juntos?

10) Reflexiona y responde: ¿Qué concepto has utilizado en el desarrollo de los problemas? Explica el método empleado.

11) Un nuevo proveedor ha llegado para abastecer de golosinas al pueblo, él viene cada 9 días. La primera vez coincidió con la llegada de los tres. ¿Cada cuántos días llegarán juntos los cuatro proveedores?

No dividas y vencerás3

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Leyenda: Llegada del camión de fruta. Llegada del camión de lácteos. Llegada del camión de gaseosas.

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 de octubre.

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 de octubre.

1, 7, 13, 19, 25 y 31 de octubre.

1, 13 y 25 de octubre.

Sí, es el mínimo común múltiplo de esos números.

Cada 12 días.

2, 3, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 23, 24, 26, 27 y 30 de octubre.

6, 18 y 30 de noviembre; 12 y 24 de diciembre.

Debo hallar el mínimo común múltiplo de los cuatro números, que es 36. Cada 36 días coincidirán los cuatro proveedores.

El concepto de mínimo común múltiplo, que pasa a ser la frecuencia común en este tipo de problemas. A partir de la primera fecha en que llegan juntos los proveedores, calculo los días siguientes en que esto ocurrirá, usando la frecuencia. El método empleado se basa en el uso de la tabla o en un diagrama.

22



En la feria del pueblo, hay un juego de tirar dardos a un tablero circular. Julio ha lanzado algunos dardos. Todos los que lanzó dieron en el blanco.

¿Cuáles de los siguientes puntajes: 173, 283,160, 195, 345 pudo haber obtenido Julio?

Tiro al blanco

1) ¿Necesitaste dividir para saberlo?

2) Si tu respuesta fue afirmativa a la pregunta anterior, ¿crees que se puede saber qué puntaje sacó sin necesidad de dividir?

3) ¿Qué pistas fueron las más difíciles de entender? ¿Por qué?

1) ¿Qué ha estado haciendo Julio?

2) ¿Cuántos dardos ha lanzado?

3) ¿Qué significa que todos los dardos dieron en el blanco?

4) ¿Qué condiciones te informan acerca de su juego?

1) ¿Es posible que su resultado sea 32? Explica por qué. 2) ¿Y es posible que sea 40?

3) ¿Qué relación hay entre los posibles totales y el número 15?

4) Explica el procedimiento que realizarás.

1) Identifica, entre los números dados, aquellos que pueden ser los totales.

2) ¿Qué puntajes pudo haber obtenido Julio?

4) ¿Qué estrategias te fueron útiles para resolver el problema?

5) Supón que un jugador ha lanzado 24 dardos y ha obtenido un puntaje de 345. Si sus dardos solo cayeron en el blanco (15) y en la franja amarilla (12), ¿es posible saber cuántos dieron en el blanco? Justifica tu respuesta.

PuntajesMúltiplos de

Ha estado lanzando dardos.

No.

Tampoco.

Los totales deben ser múltiplos de 15.

Organizo la imformacion e identifico los múltiplos de 15.

No se conoce la cantidad.

Que ninguno cayó en 12 o 5 o fuera del disco.

Todos los dardos que lanzó dieron en el blanco.

Porque el resultado debe ser un número multiplicado por 15.

Sí.

Si el total debe ser múltiplo de 5, eso descarta a 173 y 283; además, debe ser múltiplo de 3, lo que descarta a 160.

Es necesario relacionar la frase “dieron en el blanco” con el 15 y el hecho de la divisibilidad del puntaje que se obtiene.

195 o 345.

15

Analizar los posibles resultados para descartar los que no eran divisibles por 3 o por 5.

Sí es posible, lo plantearemos a continuación.Dieron en 15: x Dieron en 12: 24 - xPuntaje total: 345 = 15x + 12(24-x), de donde x = 19

173 195 160 283 345

x x x

23


Resolvamos 1 38MD

Luciana está jugando con su calculadora. Ella ha estado explorando la tecla XY para hallar 54, 57 y otras potencias. Su tío Edgar la desafía a encontrar en qué cifra termina 32012. Luciana quiere usar su máquina, pero esta le da error. Ayúdala a encontrar la respuesta. Recuerda que no hay calculadora de mano que te ayude a encontrar el resultado.

Prohibido calcular

1) ¿Qué está haciendo Luciana?

2) ¿Qué significa 54? Exprésalo como una operación extendida.

3) ¿Qué calcula la tecla XY en la calculadora?

4) ¿Qué significa 32012? Exprésalo en tus palabras.

5) ¿Cuál es el reto que enfrenta Luciana?

1) ¿Puedes formular un problema parecido, pero más fácil?

2) ¿Si te hubiesen pedido la última cifra de 52011, hubiese sido más fácil? ¿Por qué?

3) ¿Crees que te ayude hacer una lista de las primeras potencias de 3 y luego buscar algún patrón? Explica.

4) ¿Cómo podrías plantear la estrategia para resolver el problema?

1) Calcula las seis primeras potencias de tres y observa sus últimas cifras. Organiza la información en una tabla.

2) ¿Puedes ver alguna regla de formación?

3) ¿Cada cuántos pasos se repite la última cifra?

4) ¿Existe alguna relación entre los exponentes y la última cifra del resultado? Si es así, explícala.

5) ¿Te sirve esta regla para resolver el problema? ¿Cómo la utilizarías?

6) ¿En qué cifra termina 32012?

1) ¿En qué momento has tenido dificultad para resolver el problema?

2) ¿Cómo has afrontado la dificultad?

3) Describe la estrategia que has desarrollado para resolver el problema.

4) ¿En qué otras situaciones podrías aplicar la estrategia?

5) ¿Cómo podríamos saber en qué cifra termina el resultado de 232012?

Potencia de 3 Resultado Última cifra

31

32

Jugando con la calculadora.

Calcula una operación exponencial.

El 3 se repite como factor 2012 veces.

Termina en 1.

Encontrar la cifra en que termina 32012 y se da cuenta de que su calculadora no le ayuda.

5 x 5 x 5 x 5.

Sí, por ejemplo, 34 que termina en 1.

Elaborando una tabla con datos y buscando un patrón.

Sí, pues cualquier potencia de 5 termina en 5.

En este caso, sería mejor listar las 8 primeras:31 = 3; 32 = 9; 33 = 27; 34 = 81; 35 = 243; 36 = 729Así podemos advertir un patrón.

Si el exponente es múltiplo de 4 más 1, termina en 3; si el exponente es múltiplo de 4 más 2, termina en 9; si es múltiplo de 4 más 3, termina en 7, y si es multiplo de 4, termina en 1.

Observando detalladamente el procedimiento indicado.

En cualquiera donde las operaciones sean con números grandes y se pueda determinar un patrón.

Como la base termina en 3, sigue la misma regla determinada. Entonces, el resultado termina en 1.

La estrategia que hemos usado es la identificación de un patrón partiendo de casos particulares; asimismo, hemos organizado los datos en una tabla.

Al identificar el patrón o regla de formación.

Sí. Debo dividir 2012 entre 4 y ver el residuo para determinar el caso correspondiente.

Sí.

Cada 4 pasos.

3 3

9 9

33 27 7

34 81 1

35 243 3

36 729 9

24



Tal vez, uno de los trucos más sorprendentes de los calculadores prodigio sea decir rápidamente qué día de la semana cayó una fecha dada. Uno de esos calculadores es el profesor piurano Arturo Mendoza, nuestro record Guiness de cálculo mental.Dado que las fechas funcionan periódicamente, es posible elaborar un método de cálculo rápido para conseguirlas. Aquí les mostramos el método creado por Gauss para hacer este cálculo.Para saber qué día de la semana cayó una fecha determinada del siglo XX, necesitas tres datos: el día, la clave del mes y la clave del año.• El número del día nos lo dan al señalarnos la fecha.

El calendario perpetuo

1) Con tus compañeros, investiguen en qué días cayeron las siguientes fechas importantes para nuestra historia:

• Día de la Independencia: 28 de julio de 1821.

• Nacimiento del matemático Federico Villarreal: 3 de agosto de 1850.

¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?

Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.

Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.

En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.

Se debieron generar espacios de participación.

• Combate de Angamos: 8 de octubre de 1879.

• Nacimiento del sabio Julio C. Tello: 11 de abril de 1880.

• Nacimiento de José María Arguedas: 18 de enero de 1911.

• Nacimiento de Julio Ramón Ribeyro: 31 de agosto de 1929.

2) Encuentren los días en que nacieron cada uno de los miembros del grupo de trabajo.

• La clave del mes pueden buscarla en la siguiente tabla:• Para hallar el año, deberán:

1. Tomar el número formado por los dos últimos dígitos del año. 2. Dividir este número por 4 y tomar el cociente entero. 3. La clave es igual al número más el cociente.Finalmente, para hallar el día de la semana, sumarán: la fecha, la clave del mes y la clave del año. Buscamos su residuo al ser dividido por 7. Este número indicará el día, de acuerdo con la tabla mostrada.Al resultado final, para el siglo XIX (1800-1899) se añadirá 2 y para el siglo XXI (2001-2099) se restará 2.

En años bisiestos, a fechas posteriores a febrero se agrega 1 día. Al año bisiesto se le reconoce porque sus 2 últimos dígitos son 00 o múltiplo de cuatro; por ejemplo, 1924, 2000, 2012, etc.

Autoevaluación

0 1 2 3 4 5 6 7

DOM. LUN. MAR. MIÉ. JUE. VIE. SÁB. DOM.

0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5

ENE. FEB. MAR. ABR. MAY. JUN. JUL. AGO. SET. OCT. NOV. DIC.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la divisibilidad, la cual se utiliza en los códigos de barras, en el número de RUC y para calcular fechas como las de Semana Santa, entre otros.

21 / 4 tiene un cociente entero de 5, la clave 21 + 5 = 26; luego 28 + 6 + 26 = 60. Al dividir 60 entre 7 da 4 de residuo. Como es una fecha del siglo XIX, se añade 2, por lo que fue un sábado.

50 / 4 tiene un cociente entero de 12, la clave 50 + 12 = 62; luego 3 + 2 + 62 = 67. Al dividir 67 entre 7 da 4 de residuo. Como es una fecha del siglo XIX, se añade 2, entonces sale 6, por lo que el día fue sábado.

8 + 0 + 98 = 106; luego 106 entre 7 da residuo 1. Como es del siglo XIX, se debe sumar 1+2=3, por lo que fue miércoles.

11 + 6 + 100 = 117; luego 117 entre 7 da como residuo 5. Como es una fecha del s. XIX y fue año bisiesto, entonces cayó domingo.

18 + 0 + 13 = 31; residuo 3, fue miércoles.

31 + 2 + 36 = 69; residuo 6, fue un sábado.

Las respuestas variarán según los datos.

25


Resolvamos 1 40MD

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar las magnitudes que están relacionadas de manera directamente proporcional. Algunos creen que este tipo de relación se da cuando al crecer una de las dos magnitudes, la otra también aumenta. Recuerde que el crecimiento debe darse en el mismo factor; de lo contrario, no será directamente proporcional.

Las proporciones nos brindan informaciónActividad

Comente con sus estudiantes que en muchas situaciones cotidianas debemos realizar cálculos utilizando nociones de proporcionalidad. Un ejemplo de ello son los mapas, herramientas de uso diario que nos permiten no solo orientarnos y llegar a destinos que no conocemos como si los hubiésemos visitado antes, sino también ubicarnos geográficamente y estimar las distancias reales entre dos ciudades. Para esto, se relacionan proporcionalmente las dimensiones del mapa con las reales a partir de la lectura detallada de sus elementos. Otro ejemplo de estas nociones en la vida cotidiana es la relación de los precios de compra y venta al por mayor y al por menor. También hacemos uso de ellas cuando tenemos que repartir las ganancias de manera justa.

Relación de proporcionalidad directaRelación de proporcionalidad inversa

Razones y proporciones


Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa e inversa.CAPACIDAD

La tarea trata de un paseo, cuya ruta se proyecta en una escala mediante un mapa que representa la distancia que hay entre las ciudades a visitar.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la escala que se está utilizando para la representación de la realidad.






4







Los turistas matemáticosT1

Jugosa ventaT2

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen el uso de conocimientos de proporcionalidad a partir de la lectura de un mapa a escala, con el fin de estimar la distancia real de las ciudades que serán visitadas.

En este caso, se propone tratar de encontrar un patrón para identificar una invariante, que en ambas situaciones es la constante de proporcionalidad. Mediante esta constante se pueden plantear proporciones para hallar incógnitas.

La tarea presenta una típica situación de proyección de recursos. La persona debe proyectar con antelación la cantidad de ingredientes que necesita para satisfacer una necesidad, pero debe hacerlo de manera óptima y basada sobre algún argumento matemático.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren la modelación de situaciones de contexto real y el uso de nociones matemáticas para tomar decisiones.

En este caso, se ha utilizado la estrategia de reducción del problema a casos particulares para probar la relación de proporcionalidad, organizar los datos en una tabla y, a partir de ella, encontrar la constante de dicha relación.

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar esta invariante e intentar utilizar esquemas mnemotécnicos como la regla de tres. En estos casos, es preferible que traten de comprender por qué se mantiene invariante la razón entre la distancia en la realidad y la distancia en el mapa.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes verifiquen que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el aumento de una de ellas en un factor, implica el aumento proporcional en la otra magnitud en el mismo factor. Para ello, los estudiantes deben probar que a más kilos de naranja, se obtendrán más litros de naranjada. Asimismo, el incremento de una de las magnitudes como producto de un factor implica el incremento de la otra como resultado de su producto por el mismo factor.





La tarea presenta una situación de toma de decisiones para la compra de una alfombra, a partir de la relación de las condiciones de precio por m2 y tamaño, según los requerimientos de Rosaura. La tarea presenta una situación de toma de decisiones para la compra de una alfombra, a partir de la relación de las condiciones de precio por m2 y tamaño, según los requerimientos de Rosaura.

Al desarrollar la tarea, se tiene que poner énfasis en la lectura de las condiciones y restricciones impuestas por Rosaura; asimismo, se debe tener cuidado en la interpretación de los datos de la tabla. Al desarrollar la tarea, se tiene que poner énfasis en la lectura de las condiciones y restricciones impuestas por Rosaura; asimismo, se debe tener cuidado en la interpretación de los datos de la tabla.

En este caso, se propone la descomposición del problema en partes mediante preguntas y el análisis de los datos de la tabla. En este caso, se propone la descomposición del problema en partes mediante preguntas y el análisis de los datos de la tabla.

Los estudiantes pueden tener dificultades en vincular las condiciones del problema con las restricciones impuestas por Rosaura para tomar la decisión adecuada. Los estudiantes pueden tener dificultades en vincular las condiciones del problema con las restricciones impuestas por Rosaura para tomar la decisión adecuada. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar diversas vías de solución. También se presenta un ejercicio de reflexión para que distingan datos de condiciones. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar diversas vías de solución. También se presenta un ejercicio de reflexión para que distingan datos de condiciones.

En este caso, se ha utilizado la estrategia de hacer una tabla para organizar la información, así como la identificación de una invariante que es la constante de proporcionalidad.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren realizar modelos a escala, partiendo de otros modelos de menores dimensiones.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la escala en la que se está trabajando y en cómo se llegará a estimar la escala real, es decir, la del ajedrez gigante.









Intención pedagógicaIntención

pedagógica



Un tremendo ajedrezT4

La alfombraT3




Se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren el establecimiento de conexiones entre nociones de proporcionalidad aritmética y nociones de geometría, a fin de verificar que los elementos homólogos de figuras geométricas semejantes están relacionados mediante proporcionalidad directa.

Se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren el establecimiento de conexiones entre nociones de proporcionalidad aritmética y nociones de geometría, a fin de verificar que los elementos homólogos de figuras geométricas semejantes están relacionados mediante proporcionalidad directa.

Los estudiantes pueden tener dificultades al proyectar el juego gigante, ya que deben hacer ciertos supuestos. Muchos de ellos esperan que todos los datos estén en el enunciado; pero, en este caso, se exige que propongan ciertas medidas reales y, a partir de allí, proyecten sus resultados. Asumir supuestos es una acción que se realiza con frecuencia cuando hay que resolver problemas en la realidad.


Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar diversas rutas de solución. Otra forma de resolver la situación es por medio de una proporción o mediante una fórmula de relación directa. Por ejemplo: K = a L, donde a es la proporcionalidad constante.


La tarea presenta la construcción de un ajedrez gigante a partir de un modelo a escala. En estos casos, se tiene que diseñar un ajedrez de tamaño natural. Las personas harán las veces de fichas. Se debe proyectar de qué tamaño serán el tablero y las casillas.

En la actividad, los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y luego explorar diversas vías de solución. Para los más avanzados, puede proponer tareas de investigación más allá del problema; por ejemplo, diseñar un juego de ajedrez gigante con piezas como las reales, que no tengan la misma altura.


Resolvamos 1 42MD

Las proporciones nos brindan información

Luisa y Pedro están de paseo por Chiclayo. Un guía del pueblo les ha entregado un plano como el que se muestra. Ellos quieren averiguar cuáles son las distancias para llegar de Chiclayo a una ciudad A y de allí a una ciudad B. Luisa mide, con una cuerda en el mapa, las distancias en carretera desde Chiclayo hasta la ciudad A y luego desde A hasta la ciudad B: obtiene 14 y 28 cm, respectivamente.

Escala: 14:1 200 000

Los turistas matemáticos

1) ¿Qué información puedes extraer del mapa?

2) ¿Qué escala señala el mapa?

3) Según Luisa, ¿cuál es la distancia, en el mapa, desde Chiclayo hasta la ciudad A?

4) ¿Y la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B?

5) Reflexiona y responde. Una escala de 1:100 significa que una unidad del mapa equivale a cien unidades en la realidad. ¿Qué significa la escala dada en el mapa?

6) Completa la tabla mostrada:

7) ¿Cuál es la distancia total del paseo en la realidad?

Luisa se tomó una foto al lado de una de las pirámides de Túcume. Si ella tiene una estatura de 1,48 m, ¿cuánto tiene de altura la pirámide que se observa en la imagen?

8) ¿Cuánto mide Luisa en la imagen?

9) ¿Cuánto mide la pirámide en la imagen?

10) Completa la siguiente expresión:

La altura de Luisa en la imagen y su tamaño real están en la misma relación que

11) Completa la siguiente proporción:

12) Resuelve la proporción establecida antes. ¿Cuál es la altura de la pirámide de Túcume?

RecorridoTramo

Distancia en el mapa (cm)

Distancia en la realidad (km)

Chiclayo - Ciudad A

Ciudad A - Ciudad B

Ciudad B - Chiclayo

=

4

Luisa en la imagen

Pirámide de Túcume en la realidad

Ciudad A

Chiclayo

x

x

x

x

Ciudad B

OcéanoPacífico

Las distancias a escala entre las ciudades mencionadas.

14:1 200 000 (según la medición de Luisa).

Según el mapa de Luisa, 14 cm.

Según el mapa de Luisa, 28 cm. Significa que 14 cm equivale a 1 200 000 cm en la realidad.

14 cm del mapa corresponden a 12 km reales.

La distancia total es de 36 km.

Mide 0,4 cm.

La altura de la pirámide de Túcume es 11,84 m.

Luisa en la realidad

Pirámide de Túcume en la imagen

la pirámide en la imagen y en la realidad.

Mide 3,2 cm.

14 12

28 24

42 36

26



1) Completa la tabla que se muestra a continuación:

2) ¿Qué tipos de números hay en la fila “Kilos de naranja”?

3) Al pasar de 4 a 20 kilos, el número de kilos se quintuplicó. ¿Qué ocurrirá con el número de litros de naranjada?

Doña Petra prepara naranjada, todos los días, para llevar al mercado. Ella sabe que 4 kilos de naranjas le sirven para 2,5 litros de naranjada. Un kilo suele tener de 4 a 5 naranjas, dependiendo del tamaño. Este fin de semana, que habrá mucho público por la fiesta de San Juan, ella quiere llevar 40 litros de naranjada. ¿Cuántos kilos de naranja deberá comprar?

Jugosa venta

1) ¿De qué trata el problema?

2) ¿Qué datos te dan?

3) ¿Cuál es la condición?

4) El dato: “un kilo suele tener de 4 a 5 naranjas”, ¿te sirve para la solución?

5) ¿Qué desea saber Petra?

1) ¿Hay una relación entre el litro de naranjada y el kilo de naranjas?

2) El hijo de Petra dice que si compra más kilos de naranjas, hará más naranjada. ¿Tiene razón? ¿Cómo completaría su razonamiento?

3) Experimenta: Si compra 4 kilos, ¿cuántos litros de naranjada podrá hacer? ¿Y si compra 8 kilos? ¿Y si compra 12 kilos? ¿Qué relación guardan estos datos entre sí?

1) ¿En qué momento has tenido dificultad para hallar la solución?

2) ¿Cómo reorientaste el planteamiento para encaminarte a la respuesta?

3) ¿Qué concepto matemático has empleado para resolver este problema?

4) Completa la tabla:

5) ¿Cuántos kilos debe comprar para satisfacer el pedido?

4 kg de naranja kg de naranja

2,5 l de naranjada 40 l de naranjada=

4) Lee la información que se encuentra en cada columna de la primera tabla, como si cada una fuera una fracción. Divide el numerador entre el denominador de cada columna y compara los resultados. ¿Qué observas?

5) ¿Es correcto escribir la siguiente relación de proporcionalidad?, ¿esta relación te permite resolver el problema?

Kilos de naranja 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44

Litros de naranjada

Kilos de naranja 4 8 12 ...

Litros de naranjada 2,5 5 7,5 ... 40

De una vendedora que desea comprar naranjas para su trabajo. Sí. 4 kilos de naranja sirven para 2,5 litros

de naranjada.

Al aumentar uno en una proporción,

5 litros

64

2,5 litros7,5 litros

Tiene razón porque son magnitudes directamente proporcionales; además, podemos decir que si compra menos kilos de naranjas, hará menos naranjada.

Que “4 kilos sirven para 2,5 litros de naranjada” y “un kilo suele tener de 4 a 5 naranjas”.

Necesita preparar 40 litros de naranjada.

La cantidad de kilos de naranja que debe comprar.

El número de litros también se quintuplicará.

Al establecer la relación entre las dos magnitudes que intervienen en el problema.

Relación de proporcionalidad directa.

El cociente es constante e igual a 1,6. Completando la cantidad de litros de naranjada, según las diferentes cantidades de kilos de naranja indicadas en la primera tabla.

Debe comprar 64 kilos de naranja.

2,5 x 16

4 x 16

64

Son múltiplos de 4.

Para lo solicitado, no sirve; serviría si necesitáramos saber cuántas naranjas requerimos como mínimo y como máximo.

Sí, es correcto, es una relación proporcional.

2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5

el otro aumenta en la misma proporción.

27


Resolvamos 1 44MD

Rosaura quiere comprar una alfombra con motivos peruanos para su dormitorio, que mide 3 m x 4 m. Ella ha averiguado el precio de unas alfombras en diferentes tiendas de artesanía. Este depende del número de metros cuadrados y del lugar de origen.

Rosaura no desea gastar más de S/.360. Además, quiere que al menos 3 m2 de su dormitorio queden sin alfombrar.

¿Cuál de estas alfombras le recomendarías que compre?

La alfombra

1) ¿De cuántos tipos de alfombras tiene información Rosaura?

2) ¿Cuáles son las dimensiones de su dormitorio?

3) ¿Qué significa la fila: “Entrega e instalación”?

4) ¿De qué depende el precio de cada alfombra?

5) ¿Cuánto es lo máximo que desea gastar Rosaura?

6) ¿Qué área desea dejar libre?

7) ¿Qué es lo que quiere hacer Rosaura?

Alfombras

Cusqueña Puneña Ayacuchana

Tamaño 3 m x 3 m 2 m x 5 m 2 m x 4 m

Costo de la alfombra S/.38 el m2 S/.35 el m2 S/.36 el m2

Entrega e instalación S/.40 Sin cargo S/.18

Cusqueña Puneña Ayacuchana

Área

Costo de la alfombra

Entrega e instalación

Costo total

1) ¿Cómo puedes saber si la alfombra no cubre al menos 3 m2 del dormitorio de Rosaura?

2) ¿Cómo calcularías el costo total?

3) ¿Cómo puedes visualizar los datos de las tres alfombras?

1) Completa la tabla mostrada con los cálculos adecuados:

2) ¿Cuál de las tres alfombras debe comprar Rosaura?

1) ¿Qué estrategia te sirvió más para tomar la decisión?

2) ¿Crees que es útil organizar los datos para comprar?

3) ¿Qué otra forma de organizar los datos puedes utilizar?

4) ¿Crees que se deben considerar otros factores, además de los matemáticos? Menciona algunos.

5) Todo problema brinda datos y condiciones. En este caso, ¿cuáles son los dato y cuáles las condiciones?

Tiene información de 3 tipos de alfombra.

Las dimensiones de su dormitorio son 3 m x 4 m.

Es el costo por llevar la alfombra a la casa y dejarla instalada.

Desea gastar como máximo S/.360.

Desea dejar libre por lo menos 3 m2.

Rosaura quiere comprar una alfombra con motivos peruanos.

Calculando el área de cada alfombra y comparando con la de su dormitorio.

La alfombra "Cusqueña" supera el presupuesto de Rosaura; la alfombra "Puneña" dejaría solo 2 m2; entonces Rosaura debe comprar la alfombra "Ayacuchana", que se ajusta al presupuesto y a su requerimiento de espacio.

9 m2 10 m2 8 m2

S/.40 sin cargo S/.18 S/.38 el m2 S/.35 el m2 S/.36 el m2

S/.382 S/.350 S/.306

Se puede construir una tabla.

Sí es muy útil.

Se puede organizar la información en filas, en vez de columnas.

Un factor importante es el presupuesto que Rosaura planeó.

Datos son las áreas del dormitorio y de las alfombras, así como los costos asociados a cada una. Las condiciones son el presupuesto y el requerimiento de espacio de Rosaura.

Ordenar la información en la tabla permite hacer mejor la comparación de alternativas.

Multiplicamos el costo del m2 por el área de la alfombra. Al producto le sumamos el costo de entrega e instalación.

El precio de cada una depende del número de m2 y del lugar de origen.

28



Para una feria de ciencias, los escolares de la IE Micaela Bastidas están planificando construir un juego de ajedrez en el patio del colegio. Las piezas de un ajedrez común tienen diferentes alturas, según sea un rey, un peón, una torre. Vamos a suponer que las piezas miden 10 cm. También asumiremos que los niños de primer grado serán los peones.

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades:

Un tremendo ajedrez

1) Elaboren una tabla donde registren las alturas de cada uno de los integrantes del grupo.

2) Discutan y pónganse de acuerdo en una altura que represente a tu equipo.

3) Las casillas de los tableros de ajedrez más comunes miden 5 cm de lado y el tablero del juego tiene filas de 8 casillas. ¿Cuánto mide el lado del tablero?

4) ¿Cuánto es, en centímetros, la altura que eligieron?

5) Completen la siguiente tabla para calcular cuál debe ser la medida del tablero de ajedrez que permita jugar a los estudiantes.

6) Esta máquina puede servir para calcular con exactitud cuánto debe medir cada casilla del tablero de ajedrez. Utilícenla para calcular la casilla del tablero grande.

7) Expliquen cómo se ha construido esta máquina de calcular.

8) ¿De qué concepto matemático han partido para construirla?

9) Si desean hacer un tablero de ajedrez para que jueguen los adultos, ¿qué datos necesitarán?

10) Tres trabajadores pueden hacer el tablero y las piezas gigantes en 14 días; sin embargo, la fecha de inicio de la feria es dentro de once días. ¿Cuántos trabajadores más, como mínimo, necesitarán contratar para terminar el trabajo en un máximo de 10 días?

Altura pieza grande

Lado casilla estándar

Altura pieza estándar

Lado casilla grande

Altura pieza

Lado de la casilla

Lado del tablero

Perímetro del tablero

Superficie del tablero

Tablero estándar 10 cm 5 cm

Tablero grande

Nombre Altura (m)

¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?

Muy interesantes. Interesantes. Poco interesantes. Nada interesantes.

Autoevaluación

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la proporcionalidad y he establecido relaciones entre cantidades y magnitudes. Podemos reconocer tales situaciones en actividades productivas, científicas, comerciales y lúdicas.

Mide 40 cm de lado.

A resolver por los estudiantes.

40 cm 160 cm 1600 cm2

166 cm 5 cm 10 cm 83 cm

166 cm 83 cm 664 cm 2656 cm 440 896 cm2

A resolver por los estudiantes. Para la explicación, asumiremos 166 cm.

Usando proporciones.

La altura promedio del grupo de adultos.

Aplicando la regla de tres inversa para resolver el problema, tenemos 14 x 3 / 10 = 4,2. Para asegurar el trabajo deberán contratar 5 trabajadores.

Relación directamente proporcional.

29


Resolvamos 1 46MD

Ojos que no VennActividad

Comente con sus estudiantes que en la vida cotidiana tenemos necesidad de trabajar con grupos de objetos. Algunas veces estos tienen elementos en común y otras veces no. A ellos se denominan conjuntos y son también utilizados para la representación gráfica de encuestas de opinión. Otra de las aplicaciones de estas figuras es la clasificación de categorías en medicina, biología, sociología y en ramas de la matemática, como la geometría o la topología.

Conjuntos Relaciones lógicasOperaciones aritméticasEcuaciones


Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican la organización de datos utilizando conjuntos.CAPACIDAD

La tarea presenta los resultados de una encuesta entre estudiantes acerca de los programas que ven en televisión. Es posible que ellos vean dos o más programas, así como puede que existan algunos que no gusten de ninguno. En este caso, estamos ante la presencia de una clasificación entre grupos con posibles intersecciones.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran identificar e interpretar información cuantitativa en grupos.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el estudiante establezca una adecuada comprensión entre los datos expresados en las viñetas y el organizador de datos (diagrama de Venn).

La tarea presenta un problema de información en el que se solicita identificar a las parejas de jugadores que se enfrentaron en un torneo de damas, ejercicio del cual se pueden extraer conclusiones interesantes.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas referidos a conjuntos.

En este caso, se propone desarrollar un procedimiento para organizar la información en un diagrama para representar los datos y las relaciones entre ellos.

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar cada grupo. Los conectores “o”, “y” y “solo” deben comprenderse en cada caso. Las preguntas tienen esa intención. Por ejemplo, si se dice que 34 ven A y B, se está diciendo que hay 34 estudiantes que ven tanto A como B; sin embargo, en el lenguaje cotidiano, a veces se toma como 34 escolares ven A o B, lo que constituye un uso incorrecto de los conectores. Un error típico es considerar a los miembros que pertenecen a un grupo como si solo pertenecieran a él, sin suponer que pueden ser elementos de dos o más grupos a la vez. Asimismo, es frecuente graficar los tres círculos sin el recuadro que los contiene, error que debe evitarse en esta forma de representación.






5

CONOCIMIENTO PRINCIPAL






Programas favoritosT1

El torneo de damas T2

En este caso, se propone utilizar la estrategia de hacer un diagrama de Venn general para tres conjuntos.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación de qué parejas han podido enfrentarse ese día. Eso se logra reflexionando sobre lo que cada uno de los profesores manifiesta. Dos jugadores que se enfrentan entre sí no pueden aparecer juntos entre los favoritos del mismo docente.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar algunas variantes de la situación, con el fin de fijar la estructura subyacente al problema.


Los estudiantes pueden tener dificultades al inicio del problema, sobre todo al elegir la forma de afrontarlo. Las preguntas de la primera fase están diseñadas para ayudarlos a la comprensión del problema y a guiar su razonamiento hacia una estrategia de solución.





Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar los resultados de encuestas, mediante el uso de diagramas de Venn.

Los estudiantes pueden tener dificultades al leer un texto largo. Por ello, se les debe guiar con preguntas similares a las que se presentan en la sección Antes de hacer, vamos a entender.

La situación presenta una metodología de investigación de mercado, conocida como el método del panel. En ella los consumidores son entrevistados varias veces en un determinado periodo, con el fin de observar su lealtad a una marca o producto.

En este caso, se propone la lectura analítica, así como la representación y organización de la información mediante un diagrama de Venn para tres conjuntos.

Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender los datos proporcionados y trasladar la información cuantitativa del texto al gráfico. Las preguntas de las fases o secciones 1 y 2 pretenden orientar el razonamiento.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas complejos sobre conjuntos que requieran interpretar e inferir información a partir de un texto.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la interpretación de cada una de las pistas que se dan a lo largo del problema. Hay que estar consciente de que se está trabajando con datos de no pertenencia.

La tarea presenta un relato acerca de unos personajes y sus preferencias. El texto presenta múltiples relaciones de pertenencia entre los personajes y sus gustos. Es importante notar que la información se da negativamente; por ejemplo, no nos informan cuántos comen zanahorias, sino cuántos no la comen.

En este caso, se propone realizar la lectura analítica, la organización de datos en una tabla y en un diagrama de Venn para tres conjuntos. El diagrama será muy apropiado, pues hay involucrados varios conjuntos de elementos con posibles intersecciones.

Es importante que los estudiantes reflexionen sobre lo actuado e identifiquen la diferencia entre un problema con datos negativos y otro con datos directos. Es posible intentar resolver el problema mediante conjuntos de pertenencia, es decir, A: hijos que comen zanahoria, B: hijos que comen espinacas, C: hijos que comen rábanos.








La descendencia de LechugaT4

Con sumo cuidadoT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en identificar la información relevante. El texto es largo, por lo que los estudiantes deben estar habituados a leerlo de manera analítica y así dividirlo en partes que les den información. Esto implica reorganizar la información en una tabla de datos y en el organizador visual (diagrama de Venn).

Es conveniente que los estudiantes revisen los pasos dados en la solución del problema y que reflexionen sobre el porqué de cada paso. Asimismo, se les puede indicar que resuelvan el problema de otra manera.En otra situación, se puede proponer a los estudiantes que realicen un tipo de encuesta similar, pero real. Hay que decidir sobre el tema y el público al cual se le aplicará el panel.






Resolvamos 1 48MD

5 Ojos que no Venn

Programas favoritos

1) Sombrea en color amarillo la región del diagrama en la que están los estudiantes que solo ven “Héroes urbanos”.

2) Sombrea en celeste la región de aquellos que ven solo dos programas.

3) ¿Cuántas regiones distintas identificas en el diagrama?

4) De acuerdo con los datos y el diagrama, ¿cuántos estudiantes ven los tres programas?

5) ¿Cuántos estudiantes entrevistados miran “Héroes urbanos”, pero no “Rutas del Perú”?

6) ¿Cuántos estudiantes entrevistados miran “Rutas del Perú”, pero no “Héroes urbanos”?

7) ¿Cuántos comparten la preferencia por mirar “Rutas del Perú” y “Héroes urbanos”, pero no “Matemanía”?

8) ¿Cuántos exactamente no miran “Matemanía”?

9) ¿Cuántos miran únicamente “Matemanía”?

10)Reflexiona y explica: ¿Por qué una tabla no es un buen modo de organizar estos datos?

11)El diagrama que te presentamos, ¿puede utilizarse para organizar los datos? Explica por qué.

12)Si tuvieras que colocar un comercial en dos de estos programas, ¿cuáles elegirías? ¿Por qué?

En una encuesta sobre los programas de TV favoritos de 60 estudiantes de 1.° de Secundaria de Lima, se obtuvieron los siguientes resultados:

• 32 ven “Héroes urbanos”.• 39 ven “Rutas del Perú”.• 47 ven “Matemanía”.• 15 ven “Héroes urbanos” y “Rutas del

Perú”. • 28 ven “Rutas del Perú” y “Matemanía”.• 25 ven “Matemanía” y “Héroes

urbanos”. • 10 ven los tres programas.• Todos ven al menos un programa.

Rutas delPerú

Matemanía U

10

2 5

4

6

15 18

Héroesurbanos

Los estudiantes que ven los tres programas son 10.

"Rutas del Perú" y "Matemanía" porque entre los dos cubren el universo.

Sí, porque en el diagrama podemos representar a los estudiantes que ven un solo programa y a quienes ven dos o tres programas.

17 estudiantes.

24 estudiantes.

5 estudiantes.

13 estudiantes.

4 estudiantes.

Tengo 8 regiones, considerando que el número de estudiantes que no ven ningún programa es cero.

Porque no permite mostrar la intersección entre los tres grupos.

30



En la IE N.° 6024 se está realizando la semifinal del torneo de damas “John Venn”. En esta fecha se enfrentan ocho jugadores en cuatro partidas. Los profesores tienen sus favoritos para cada partida:• Profesora Lupe: Ángela, Kevin, Germán, Gloria.• Profesor Miguel: Ángela, Doris, César, Germán.• Profesor Benito: Gloria, Ángela, Pilar, César.Ningún profesor escogió al pequeño Cotito como posible ganador.

¿Quiénes se enfrentaron en cada partida?

El torneo de damas

1) ¿En qué parte del proceso de solución tuviste mayor dificultad?

2) ¿Qué estrategias te fueron útiles para resolver el problema?

3) Si no te hubiesen dicho nada acerca de Cotito, ¿se habría podido resolver el problema?

1) ¿Qué es lo que está ocurriendo en la IE N.° 6024?

2) ¿Qué es lo que informan los profesores Lupe, Miguel y Benito?

3) ¿Cuántos jugadores se enfrentan en esta fecha?

4) ¿Qué jugador no fue escogido como favorito por ningún profesor? ¿Por qué?

5) ¿Qué es lo que te solicitan en el problema?

1) Con lo que dicen los profesores, ¿se puede saber quiénes jugaron en esa fecha? Escribe la lista.

2) ¿Pueden enfrentarse en una partida Ángela y Gloria?

3) ¿Pueden enfrentarse en una partida Germán y Pilar?

4) ¿Cómo organizarás los datos para visualizar el problema?

a) En una tabla de doble entrada b) Con un diagrama de Venn c) En un plano cartesiano

4) ¿El contrincante de qué jugador fue más fácil de hallar? ¿Por qué?

5) ¿Se puede saber quiénes ganaron cada partida?

1) Coloca los nombres de los jugadores en el diagrama de Venn mostrado, considerando los favoritos de cada profesor:

A: Jugadores favoritos de Lupe.

B: Jugadores favoritos de Miguel.

C: Jugadores favoritos de Benito.

2) ¿Con quién se enfrentó Ángela? Explica.

3) ¿Puede Gloria haber jugado con Kevin o Pilar? Explica.

4) ¿Con qué otros jugadores no pudo jugar Gloria?

5) ¿Con quién jugó Gloria?

6) Completa la siguiente tabla con los jugadores que se enfrentaron ese día:

Ángela CotitoGloria

A B

C U

Un torneo de damas.

Se enfrentan ocho jugadores.

Dan a conocer sus favoritos para ganar cada partida.

Cotito, porque piensan que perderá por ser pequeñito.

Determinar quiénes se enfrentarán en cada partida.

Ángela, Kevin, Germán, Doris, Gloria, César, Pilar y Cotito.

No, pues la profesora Lupe los seleccionó como ganadores.

Es posible.

Depende del estudiante.

No se puede saber.

Utilizar un diagrama de Venn y analizar los casos posibles.

Es posible, pero no tendríamos el nombre del contrincante de Ángela.

De Ángela, pues no podía jugar con todos los otros que estaban en los conjuntos de los tres profesores por estar en la intersección de los tres.

Con Cotito, pues ella está en la intersección de tres opiniones y eso descarta al resto de jugadores.

No, porque están juntos en dos opiniones: la de Lupe y la de Benito.

Con Ángela, Germán, Kevin, César, Pilar y Cotito.

Con Doris.

Kevin Germán Doris

Ángela

Gloria César

Pilar

Cotito Doris

Germán Pilar

César Kevin

31


Resolvamos 1 50MD

Para estudiar el consumo de la goma Pega Pega entre los estudiantes, un grupo de 2000 de ellos fue entrevistado. A cada estudiante se le preguntó si utilizaba dicha goma para sus manualidades. Seis meses después, se entrevistó a los mismos estudiantes y se les preguntó si continuaban utilizándola. Luego, al año de haber hecho la primera encuesta, se procedió de igual modo.Los siguientes son los resultados del trabajo de campo: contestaron afirmativamente 836 estudiantes la primera vez, 827 la segunda vez y 808 la tercera vez. La primera y segunda vez, 542. La primera y tercera vez, 474. La segunda y tercera, 498. Las tres veces, 317. ¿Cuántos estudiantes contestaron negativamente la primera vez? ¿Cuántos la segunda vez? ¿Y la tercera vez? ¿Cuántos estudiantes contestaron negativamente las tres veces?

Con sumo cuidado

1) ¿Cuántos estudiantes fueron entrevistados?

2) ¿Cuántas veces fueron entrevistados?

3) ¿Qué es lo que preguntaron a los estudiantes?

4) ¿Cómo pueden responder los estudiantes?

5) ¿Qué es lo que tienes que averiguar?

1) ¿Cuántos conjuntos intervienen en este problema?

2) ¿Has resuelto algún problema parecido en otra oportunidad?

3) ¿Qué tipo de diagrama te ayudó a resolverlo?

4) ¿Crees que el mismo tipo de diagrama te puede ayudar aquí? Explica.

1) ¿Crees que hubiese sido útil definir los conjuntos A, B y C como el número de estudiantes que contestaron negativamente la primera, segunda y tercera vez, respectivamente? ¿Por qué? Explica.

1) Completa los espacios con la definición de los conjuntos que representarás:

A: B: C: 2) Completa la tabla según corresponda:

3) En el diagrama inicial representa los elementos en cada región.

4) ¿Puedes colocar el número 836 en una de esas regiones de tu diagrama? . ¿Por qué?

5) ¿Puedes colocar el número 317 en una de esas regiones de tu diagrama? ¿Por qué?

6) ¿Cuántos estudiantes contestaron negativamente la primera vez?

7) ¿Cuántos la segunda vez? ¿Y la tercera vez? 8) ¿Cuántos estudiantes contestaron negativamente las tres

veces?

Número de estudiantes

Solo A

Solo B

Solo C

Solo A y B

Solo A y C

Solo B y C

A y B

B y C

A y C

A, B y C

2.a

3.a

1.a

U

2000 estudiantes.

Afirmativa o negativamente.

Sobre la utilización de la goma "Pega Pega".

3 veces.

La cantidad de estudiantes que respondieron negativamente en las encuestas.

Intervienen 3 conjuntos, los que respondieron afirmativamente en las diferentes encuestas.

Sí, se puede modelar la información y responder las preguntas por diferencia con respecto al total.

Sí, el primer problema de esta lección.

El diagrama de Venn.

Porque dicho número corresponde a 3 de esas regiones.

Porque dicho número representa una sola región que corresponde a los que respondieron afirmativamente en las 3 encuestas.

La primera vez, 1164 estudiantes contestaron negativamente.

1192.

Fueron 726 estudiantes.

No, pues se debería transformar la información proporcionada después para completar el cuadro. Esto lo hace más difícil.

No1.ª encuesta 2.ª encuesta 3.ª encuesta

Sí.

1173.

137 225 104

317181157

153

137

104

153

225

157

181

542

498

474

317

32



El Sr. Joaquín Lechuga y su esposa Zoila fueron bendecidos con muchos hijos. Todos los días los Lechuga salen a trabajar al campo. Ellos viven en la localidad de Bambamarca y se dedican al cultivo de hortalizas, que luego venden a los proveedores de la zona. El alimento predilecto de los señores Lechuga son las ensaladas, de las cuales conocen muchas recetas. Lamentablemente, y pese a su apellido, a sus hijos no les gustan varias verduras; así, por ejemplo, siete no comen zanahorias, seis no comen espinacas y cinco no comen rábanos. Cuatro de ellos no comen ni espinacas ni zanahorias, tres no comen espinacas ni rábanos y dos no comen zanahorias ni rábanos. Uno de los hijos no come espinacas, zanahorias ni rábanos. Y ninguno de ellos come las tres verduras.

La descendencia de Lechuga

1) ¿Qué dato es el que más información puede darles?

2) Hagan un diagrama que muestre la relación entre los conjuntos, tomando en cuenta los que: "no consumen zanahorias" (NZ), "no consumen espinacas" (NE) y "no consumen rábanos" (NR).

3) En el diagrama que acaban de construir, determinen cuántos hijos de la familia lechuga están en cada región.

4) ¿Cuál es la región de los que no comen zanahorias? ¿Cuántos hijos deben estar en esta región?

5) Hagan un razonamiento similar con las otras dos verduras.

6) ¿Cuántos hijos tiene la familia?

7) ¿Cuál o cuáles fueron los datos más útiles en este problema?

Al menos, ¿cuántos hijos tiene la familia Lechuga?

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y resuelvan el problema:

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas en los cuales he tenido que organizar y clasificar información acerca de grupos con determinadas características. La capacidad de clasificar y organizar datos se presenta en diversas actividades de la vida, como diseñar horarios, hacer encuestas, organizar libros en la biblioteca o asignar tareas a personas.




Autoevaluación

El dato principal para poder empezar el trabajo es aquel que indica el número de hijos que no comen ni zanahoria ni espinaca ni rábanos.

El conjunto “No zanahoria” del gráfico es la región de los que no la comen. Son 7 hijos los que se ubican allí.

Similar al anterior.

La familia tiene 10 hijos.

Saber cuántos no comen ninguna de las tres verduras y cuántos comen las tres.

NR

NENZ

2 3 0

211

1

U

33


Resolvamos 1 52MD

ProporcionalmenteActividad

Comente con sus estudiantes la presencia cotidiana de la noción de proporcionalidad en la información que difunden los medios de comunicación. Puede llevar al aula algunos titulares y noticias que en su redacción incluyan porcentajes, fracciones y proporciones. Explique que en estas tres formas se pueden presentar datos equivalentes, en cuyo caso las relaciones matemáticas que expresan son las mismas. Así, se les puede pedir que una información dada en porcentaje la conviertan a un titular formulado en proporciones, de manera que sea posible percibir que, por ejemplo, 25 % es ¼ o 1 de cada 4.

Proporcionalidad directaProporcionalidad inversa

Porcentajes. Fracciones Operaciones aritméticas Función lineal


Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa.CAPACIDAD

La tarea presenta un titular periodístico en el que se da información comparando dos cantidades por cociente, es decir, en forma de una razón aritmética.

En este caso, se propone descomponer la situación en partes mediante la formulación de preguntas para facilitar la comprensión del problema y su resolución.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y reflexionar sobre sus resultados. Adicionalmente, se presentan algunas variantes de la situación.






6







DNI para todosT1

La calidad del buen caféT2

Con esta actividad, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen utilizar con fluidez conceptos referidos a fracciones, proporciones y porcentajes, así como la capacidad de establecer relaciones entre ellos.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el significado de la proporcionalidad dada y en cómo a partir de ella se puede explorar mejor la noticia presentada. Preguntar a los estudiantes por qué utilizar razones para comunicar una información y no, por ejemplo, decimales.

La tarea presenta el uso de información organizada en una tabla con varias entradas de datos. En dicha tabla relaciona el peso del café con el producto en diferentes estados: natural, procesado, café desechado o merma.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas vinculados a procesos de producción, a partir de la interpretación y organización de la información presentada en tabla. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la comprensión de que la merma es la diferencia de pesos entre café natural y café procesado, así como en la relación proporcional que hay entre estos pesos y en la vinculación de esta relación con el rendimiento de café.En este caso, se ha utilizado la estrategia de reorganizar la información de los datos presentados en la tabla y un gráfico cartesiano para visualizar tendencias que permitan responder al requerimiento del problema.Los estudiantes pueden tener dificultades en la interpretación de los datos de la tabla o para comprender los encabezados o el tipo de indicador a utilizarse para comparar. Por eso, las preguntas presentadas orientarán su razonamiento.

Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver preguntas de búsqueda de relación entre problemas o en la resolución de otros problemas con datos supuestos, como es el caso de las preguntas 4 y 5, por lo que deberá orientarlos en la solución.






Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que no todas las magnitudes involucradas en el problema se comportan de manera directamente proporcional.






El pequeño gran HilarioT3

La tarea presenta un relato de contexto fantástico: es un matematicuento en el que participa el personaje de Hilario, a quien le ocurren modificaciones en su estatura, producidas por la ingesta de unos dulces que encuentra misteriosamente escondidos en su mochila. El relato da pie para formular varias preguntas de carácter matemático.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren la identificación y discriminación de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa en situaciones de contexto hipotético, a partir de la lectura comprensiva de un texto narrativo que contiene datos que representan estas relaciones.

Los estudiantes pueden tener dificultades para reconocer el par de magnitudes que crecen de manera directamente proporcional. Un error típico es considerar que la distancia de la cabeza de Hilario al techo disminuye proporcionalmente con el tiempo transcurrido. En este caso, las magnitudes en cuestión tienen un comportamiento lineal decreciente, pero no directamente proporcional.

En este caso, se propone la lectura comprensiva del texto mediante preguntas que deben responder los estudiantes. Asimismo, se sugiere la organización de la información en una tabla que le permita identificar el patrón de las relaciones entre datos.

Para aquellos estudiantes más avanzados, puede proponer tareas de investigación más allá del problema. Por ejemplo, crear un relato similar al presentado o buscar en los cuentos infantiles algunas relaciones de proporcionalidad. Particularmente interesantes son los relatos de Alicia en el país de las maravillas de Lewis Carroll y Los viajes de Gulliver de Jonathan Swift. Puede encontrar actividades matemáticas referidas a estos relatos en: www.planetalibro.net/ebooks/eam/ebook_view.php


Resolvamos 1 54MD

6 Proporcionalmente

DNI para todos

1) Según el titular, en un grupo de 120 peruanos menores de 16 años, ¿cuántos no tendrán DNI?

2) ¿Qué porcentaje de peruanos menores de 16 años no tiene DNI?

3) ¿Qué fracción de los peruanos menores de 16 años no tiene DNI?

4) Reflexiona y responde: ¿Hay alguna relación entre los tres problemas planteados?

5) ¿Cuántos peruanos menores de 16 años no tienen DNI? Asume que la población de estas características es, aproximadamente, de 11 millones de personas. ¿Puedes expresar este número en unidades de millar?

6) Escribe el titular en términos de los que sí poseen DNI.

de cada peruanos menores de 16 años cuentan con DNI

Tres de cada veinte peruanos menores de 16 años no cuentan con el Documento Nacional de IdentidadAsí lo estimó el jefe del Reniec, Jorge Yribarren, al suscribir un convenio con Unicef para evitar indocumentados en el país.

Fuente: Diario La República. Viernes, 7 de octubre de 2011.

3 /20 x 120 = 18 personas

3/20

Sí, son diferentes formas de escribir la proporción de ciertos elementos de un grupo que cumplen determinada característica.

3/20 x 100 = 15 %

3/20 x 11 millones = 1,65 millones personas, es decir, 1650 unidades de millar.

17 20

34



José está produciendo diversas variedades de café. Para cada tipo, hay una diferente merma o pérdida cuyo porcentaje se mantiene constante entre el café natural y el procesado. El cuadro muestra algunos de los hechos que ha observado José.

José quiere clasificar los tipos de café del menos al más rendidor. ¿Cómo lo puede hacer?

La calidad del buen café

1) ¿De cuántos tipos de café te dan información?

2) ¿Qué significa la palabra merma en este problema?

3) ¿Qué magnitudes intervienen en esta situación?

4) ¿Cuáles de estas magnitudes se relacionan proporcionalmente?

5) ¿Qué tipo de relación es?

6) ¿Qué te solicita el problema?

1) Con la información que tienes, ¿es posible completar los datos faltantes en la tabla y resolver el problema? Explica.

2) Completa, según corresponda:

El café rendidor es el que tiene mayor merma por kilo de café y el más rendidor es el que tiene merma por kilo de café natural.

3) Hay que buscar cuál es la merma por kilo de café para cada variedad. ¿Mediante qué tipo de gráfico puedes organizar los datos para responder?

a) Diagrama de Venn

b) Diagrama de árbol

c) Gráfico cartesiano

CAFÉ MUKI CAFÉ MISKY CAFÉ SANDIA

Peso

de café

natural

(kg)

Peso

de café

procesado

(kg)

Merma

(g)

Merma

(%)

Peso

de café

natural

(kg)

Peso

de café

procesado

(kg)

Merma

(g)

Merma

(%)

Peso

de café

natural

(kg)

Peso

de café

procesado

(kg)

Merma

(g)

Merma

(%)

2000 1600 1000 900 3000 2400

3000 2400 2000 4000

4000 3200 3000

5000

6000

De tres tipos de café.

La cantidad de café natural que no se convierte en café procesado, es decir, se pierde.

Sí es posible; la merma en porcentaje se obtiene realizando la siguiente operación: (Peso café procesado/Peso café natural) x 100. El peso del café procesado se obtiene restando la merma al peso de café natural.

menos

menosnatural

O

Tres magnitudes: peso café natural; peso café procesado y la merma.

Peso café natural y peso café procesado.

Es directamente proporcional.

Determinar el tipo de café más rendidor.

400 20 100 10 600 20

600 20 1800 200 10 3200 800 20

800 20 2700 300 10 5000 4000 1000 20

4000 1000 20 4000 3600 400 10 6000 4800 1200 20

4800 1200 20 5000 4500 500 10 7000 5600 1400 20

35


Resolvamos 1 56MD

1) Grafica los datos tabulados en un plano cartesiano. Usa como eje x el peso del café natural y como eje y la merma en gramos. Une los puntos para cada tipo de café.

Café Muki

Café natural(kg)

Café natural(kg)

Café natural(kg)

Merma(g) Merma

(g)

Merma(g)

Café Misky

Café Sandia

2) ¿Qué observas con relación a las líneas de los gráficos que hiciste?

3) ¿Cuál de las líneas de los tres gráficos es la más empinada?

4) ¿Cuál de los tipos de café tiene mayor merma? ¿Por qué?

5) ¿Cuál de los tipos de café dirías que es el más rendidor?

1) Menciona las estrategias que te fueron útiles para resolver este problema.

2) ¿En qué otros tipos de problemas puedes utilizar como estrategia un gráfico cartesiano?

3) José quiere hacer un envío de 450 kg de café Misky. ¿Cuántos kilos de café natural requerirá?

4) En la cosecha del 2012, ha recogido 29 000 kg de café Muki. ¿Cuántos kilos de café procesado logrará obtener?

600

500

400

300

200

100

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

1400

1200

100

800

600

400

200

0 2000 4000 6000 8000

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 2000 4000 6000 8000

Cambiar la representación de los datos, buscar regularidares, hacer uso de tablas y gráficos.

10/9 x 450 = 500 kg

0,8 x 29 000 = 23 200 kg

En problemas donde se presente alguna relación entre dos magnitudes diferentes.

Cada una tiene una pendiente constante que representa la proporción de merma.

El café Misky, debido a que tiene menos merma.

Las líneas de Muki y Sandia tienen la misma inclinación y son las más empinadas.

Muki y Sandia, debido a que tienen una pendiente más empinada.

36



Aquella mañana, Hilario llegó al colegio a las 7:50 a. m. y, como todos los días, abrió su mochila para seleccionar las cosas que usaría en las primeras horas de clase; en ese instante, vio la bolsa de dulces. Era extraño, él no había comprado esas golosinas ni nadie se las había regalado; sin embargo, los dulces lucían tan apetitosos que abrió la bolsa y comió un caramelo amarillo. El sabor era muy parecido al del limón y a Hilario le gustó. Todo estaba bien hasta que de pronto, a los 4 minutos de haber comido el dulce, comenzó a crecer. Se asustó y corrió al baño a esconderse para que no lo vieran sus amigos. Había aumentado 28 cm. Seguía creciendo y creciendo a la misma velocidad y ya estaba temiendo que en unos minutos más llegara a tocar el techo del baño con su cabeza. Debía detener el crecimiento de algún modo, pero no sabía cómo.A las 8:20 a. m., Hilario ya tenía la altura del baño. Afortunadamente, se le ocurrió comer un dulce azul y entonces paró de crecer, pero comenzó a achicarse. Después de 4 minutos ya tenía 280 cm, y se fue achicando poco a poco. Ahora, el problema era otro: debía detenerse justo en su estatura original de 1,60 m. Buscó dentro de la bolsa de caramelos y halló un papel con unas extrañas instrucciones: “Si quieres detener el efecto de los dulces, debes gritar ¡checherebruka! en el momento que quieras detenerlo”.Felizmente, Hilario sabía resolver problemas matemáticos y pudo calcular la hora en la cual gritaría ¡checherebruka! Así lo hizo y se salvó. Ahora, cada vez que ve una bolsa de dulces, desaparece en el instante.

El pequeño gran Hilario

1) ¿Cómo creen que se relacionan las magnitudes tiempo y altura de Hilario, después de comer el caramelo amarillo? ¿son directa o inversamente proporcionales?

2) Después de 20 minutos de comer el dulce amarillo, ¿cuánto había crecido Hilario?

3) Completen la tabla para visualizar lo que ocurre con la altura de Hilario después de las 8:20 a. m.

4) Hilario mide 1,60 m de alto. Si comió el dulce amarillo a las 8:00 a. m., ¿cuál es la altura del baño?

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades:

5) Las magnitudes tiempo y altura de Hilario, después de comer el caramelo azul, ¿son directa o inversamente proporcionales o no tienen ninguna relación? Expliquen su razonamiento.

6) ¿Cuántos centímetros por minuto disminuye Hilario, luego de comer el dulce azul?

7) ¿Después de cuántos minutos de haber comido el caramelo

azul debe gritar ¡checherebruka!?

Tiempo desde que come el caramelo azul (min)

Altura de Hilario (cm)

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con magnitudes que son proporcionales. Existen varios tipos de proporcionalidad, las más usuales son la directa y la inversa. La proporcionalidad tiene múltiples aplicaciones: reparto de ganancias y herencias, estimación de poblaciones, diseño de espacios, estimación de tiempo de trabajo, entre otros.




Debo mejorar.

Autoevaluación

Son directamente proporcionales.

Disminuye 20 cm en 4 minutos, entonces disminuye 5 cm/min.

Debe gritar dicha palabra después de 28 minutos.

28 cm/4min = 7 cm/min, entonces habría crecido 20 x 7 = 140 cm.

4 8 12 16 20 24 28

28 56 84 112 140 168 196

En este caso, al aumentar el tiempo, la altura de Hilario disminuye; sin embargo, lo hace en forma lineal, por lo que no podemos decir que sean inversamente proporcionales.

La altura del baño es de 160 + 140 cm = 300 cm o 3 m.

37


Resolvamos 1 58MD

Se sugiere proponer tareas de investigación más allá del problema, relacionadas, por ejemplo, con otras fórmulas de la antropometría, rama que estudia las longitudes en el cuerpo humano. Por otro lado, analizar datos de nuestro gigante Margarito Machaguay, en función de las ecuaciones dadas, permitiría comprender que estas son solo una aproximación y que no son exactas cuando se habla de un caso particular.

Fracciones de realidad

Presente a sus estudiantes diversas situaciones que requieran el uso de fracciones, como la distribución de un pastel, las relaciones entre dos unidades, la proporcionalidad, etc.

Fracciones PorcentajeProporcionalidad directaGráficos estadísticos



Aquí se presenta una situación cotidiana en la que una cantidad de dinero sufre cambios durante el desarrollo del problema. La cantidad inicial es el sueldo de Arturo.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran hacer cálculos en expresiones numéricas con racionales.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las diversas representaciones de las fracciones que resultan al dividir el presupuesto.

La tarea presenta un caso particular, en el que se observa la distribución del sueldo mensual de una persona en diversos rubros. Esto se representa mediante un diagrama circular.

En este caso, dado que las preguntas son directas, se propone realizar una lectura comprensiva y la elección de la operación aritmética correspondiente.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran cálculos en expresiones numéricas con números racionales.






7







Organizando el presupuestoT1

Vayamos por partesT2

Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver las preguntas comparativas y aquellas en las que la cantidad se transforma en etapas. Una representación gráfica puede ayudar a comprender mejor las preguntas 4 y 11.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación del proceso de cambio de una magnitud. Tal identificación lleva a la representación de los cambios sufridos por esta cantidad mediante un diagrama de tiras.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia empleada y transferir lo aprendido a una situación de estructura similar. Además, deberán identificar las características de un problema que puede resolverse mediante la estrategia aquí utilizada.


En este caso, se propone hacer un diagrama de tiras que represente el sueldo de Arturo.

Actividad




Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran modelar situaciones dinámicas en las que se emplean fracciones.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la posibilidad de representar la situación gráficamente para resolverla.En este caso, se propone hacer un diagrama lineal que también es analógico, pues representa los hechos y los personajes del contexto del problema en forma semejante a la situación planteada.

Los estudiantes pueden tener dificultades para entender el problema, pues el texto es complejo. Las preguntas de la primera fase pueden ayudarlo en su comprensión.

En este caso, se propone la lectura analítica y elaborar una tabla para organizar y visualizar mejor la información.

Se les puede proponer tareas de investigación, como, por ejemplo, resolver el problema mediante una hoja de cálculo Excel.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran utilizar argumentos matemáticos para tomar decisiones.

La tarea presenta a tres personajes que realizan una actividad económica y que deben repartirse las ganancias de manera justa.








Unas productivas vacacionesT4

Una aventura espacialT3





Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el reparto debe realizarse de una manera justa y objetiva. Para ello, los estudiantes deben identificar cuál es la magnitud que debe estar en relación directa con el pago de las ganancias de cada uno.

Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender qué es lo que se quiere decir con "justo". Para ayudarlos, el docente puede proveer de problemas auxiliares en los que ellos perciban la lógica de un reparto proporcional a la ganancia que producen para el negocio.

La tarea presenta un problema de móviles que involucra el uso de fracciones.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar diversas vías de solución.


Resolvamos 1 60MD

1) ¿Cuánto gasta en entretenimiento?

2) ¿Cuánto gasta en alimentación?

3) ¿Cuánto gasta en total?

4) ¿Cuánto, más que en transporte, gasta en servicios?

5) ¿Qué fracción de su sueldo gasta en alimentación?

6) Con respeto a esta fracción, completa el siguiente cuadro:

7) Por cada S/.100 de sueldo, ¿cuánto gasta en salud?

8) ¿Qué porcentaje de su sueldo gasta en salud?

9) Si Fernando desea gastar las 3/8 partes de su sueldo en salud, ¿cuánto deberá gastar en ello?

10) ¿Qué fracción de su sueldo gasta entre servicios y alimentación?

11) ¿Qué fracción gasta en otros rubros?

12) Reflexiona y explica, ¿qué relación hay entre las regiones del gráfico y su representación como fracción?

13) Fernando ha recibido un aumento de S/.300. Él quiere dedicar las 2/5 partes de su aumento a entretenimiento y el resto a servicios. ¿Qué fracción de su sueldo será ahora dedicada a cada uno de estos rubros?

Fernando lleva las cuentas de manera muy organizada, por ello gusta de usar tablas y gráficos matemáticos para poder tomar decisiones claras y con fundamento. Él ha dividido su sueldo en 5 rubros y ha elaborado el diagrama circular que se muestra a continuación:

Alimentación

Servicios

Transporte

Salud

Entretenimiento

Gasto en alimentación Presupuesto Fracción

350 1200 350/1200

35 35/120

Organizando el presupuesto

7 Fracciones de realidad

S/.300

S/.100

S/.200

S/.350

S/.250

Gasta S/.300.

Gasta S/.350.

Gasta S/.1200.

Gasta S/.150 más en servicios que en transporte.

La fracción es 350/1200 = 7/24

Por cada S/.100 gasta S/.16,67 en salud.

Gasta un porcentaje de 16,67 %.

Deberá gastar S/.450.

La mitad de su sueldo.

Gasta 1/2 en otros rubros.

La fracción representa una parte del todo que está expresada en el gráfico.

Servicios = 430/1500 = 43/150Entretenimiento = 120/1500 = 2/25

175 600 175/600

120

38



El Sr. Arturo Cárdenas trabaja para una empresa agrícola. Después de cobrar su sueldo mensual, fue a su casa y le dio 2/5 de su sueldo a su esposa; luego salió en la tarde y gastó la mitad del resto en ocho libros de relatos para sus hijos. Ahora le quedan S/. 300.

¿Cuánto es el sueldo mensual del Sr. Cárdenas?

Vayamos por partes

1) ¿Cómo puedes comprobar que tu resultado es correcto?

2) Aquí se ha utilizado un diagrama de tiras, con el cual se representaron los dos estados del problema: primero, el reparto a la esposa, y luego, el gasto en los libros. Este método es muy útil para resolver problemas aritméticos. A continuación, completa la solución de un problema similar al estudiado.

Problema: La Srta. Micaela Huamán ingresó a un restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejó S/.3 de propina. Luego visitó una heladería, allí gastó la mitad de lo que le quedaba y dejó S/.2 de propina. Al salir, contó lo que le sobraba: S/.20. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?

Solución:

1) ¿Qué ha hecho el señor Cárdenas con su sueldo?

2) ¿Qué es lo que varía en el tiempo?

3) ¿Qué es lo que te piden?

4) ¿Todos los datos numéricos sirven para resolver este problema?

1) ¿Con qué tipo de diagrama puedes representar los repartos del Sr. Cárdenas?

a) Diagrama de Venn b) Diagrama de tiras c) Tabla de doble entrada

1) Si esta tira representa el sueldo del Sr. Cárdenas, sombrea lo que él le dio a su esposa.

2) Dibuja una tira debajo de lo que falta por repartir. ¿Qué parte dedicó Cárdenas a los libros de relatos? Sombrea esa parte.

3) La parte no sombreada corresponde a la cantidad que le quedó al Sr. Cárdenas. ¿Cuántos nuevos soles representa la parte no sombreada?

4) Completa el diagrama con los números adecuados.

5) ¿Cuánto es el sueldo mensual del Sr. Cárdenas?

2

3

Entregó los 2/5 de su sueldo a su esposa y, en 8 libros de relatos para sus hijos, gastó la mitad de lo que le quedó.

Lo que le queda de su sueldo.

Calcular el sueldo mensual del Sr. Cárdenas.

Sí, todos los datos sirven para resolver el problema.

La parte no sombreada representa S/.300.

El sueldo mensual es S/.1000.

200 200 200 200 200

300300

En el gráfico puedo comprobar las fracciones mencionadas en el enunciado.

O

Micaela Huamán tenía S/.94, inicialmente.

47 44

22 20

39


Resolvamos 1 62MD

La nave azul sale del planeta Azul con rumbo al planeta Rojo. Al mismo tiempo, la nave roja, un poco más lenta que la azul, sale del planeta Rojo con rumbo al planeta Azul. Cuando se cruzan en el camino, la nave azul ha recorrido 1/5 más de la distancia entre los dos planetas que la nave roja. Después de este punto, la nave azul tarda 8 días en llegar a su destino.

¿Cuánto tiempo duró el viaje de la nave azul?

Una aventura espacial

1) ¿Cómo puedes comprobar que tus resultados son correctos?

2) ¿Cuál sería el resultado si, al encontrarse las naves, la azul hubiera recorrido 3/7 más de la distancia entre los dos planetas que la nave roja?

1) ¿Quiénes participan en esta historia?

2) ¿Cuál es el estado inicial de los participantes?

3) ¿Cuál es el estado final de los participantes?

4) ¿En qué sentido viajan las naves?


1) Un dibujo de la situación puede resultar muy útil. Recuerda que las naves viajan una al encuentro de la otra. ¿Cómo podrías representar el viaje?

1) Haz un diagrama lineal que represente el planeta azul, el planeta rojo y la distancia en línea recta entre ellos. Ahora divide esta distancia en 5 partes iguales. ¿Cómo llamarías a cada una de esas partes?

2) Señala, en tu diagrama, el punto en el que se encuentran las naves. Recuerda que la nave azul ha recorrido 1/5 más del camino que la roja.

3) ¿Cuántos quintos del camino total recorrió la nave azul hasta el momento que se cruzó con la nave roja?

4) ¿Cuántos le faltan por recorrer?

5) Si en lo que le falta por recorrer tarda ocho días, ¿en cuántos días recorre 1/5 del camino?

6) Entonces, ya puedes contestar cuánto tiempo tarda en recorrer el camino total, es decir, los 5/5.

La nave azul y la nave roja.

La nave azul está en el planeta Azul y la nave roja, en el planeta Rojo.

La nave azul está en el planeta Rojo y la nave roja, en el planeta Azul.

Van en sentido opuesto.

Cuánto tiempo duró el viaje de cada nave.

Mediante un diagrama lineal.

Si la nave azul hubiera recorrido 5/7 de la distancia total, le faltarían 8 días para recorrer 2/7, por lo que en 1/7 serían 4 días. Luego, en total serían 7 x 4 días = 28 días.

Se puede comprobar haciendo un diagrama.

Le falta recorrer los 2/5.

Recorrió 3/5 del camino total.

Como en 2/5 tarda 8 días, en 1/5 demorará 4 días.

Tarda 20 días.Las llamaría 1/5 de la distancia entre los dos planetas.

e/5 e/5 e/5 e/5 e/5 A R

40



Cuatro amigos trabajaron durante las vacaciones del verano pasado: por las mañanas, vendiendo raspadillas de cuatro sabores, y por las tardes, empanadas de cinco sabores. Antes de empezar el verano, se pusieron de acuerdo para repartirse las ganancias en partes iguales. Así, designaron a Julia como contadora del grupo y convinieron en que ella debía llenar el formato que se muestra.Al final de cada semana, juntaban las ganancias de los cuatro y las repartían equitativamente. Con los datos que aparecen en el cuadro siguiente, ¿puedes decir si el reparto fue justo para cada uno de ellos?

Unas productivas vacaciones

1) En el cuadro, cada columna indica las ganancias de la semana. Calculen la ganancia total en cada una de las semanas que trabajaron los cuatro amigos.

2) Para que el reparto sea equitativo, ¿en cuántas partes iguales se deben dividir las ganancias de cada semana? ¿Qué fracción de la ganancia le tocó a cada amigo? Escriban sus respuestas en el renglón de reparto del cuadro, como se muestra en la primera columna.

3) Lo que le tocó a cada amigo está escrito en forma de fracción y debemos compararlo con lo que realmente ganó cada uno en la semana. ¿Se les ocurre cómo realizar la comparación?


4) En la primera semana, a cada amigo le tocó 90/4, es decir, la ganancia total de la semana dividida entre cuatro. En la segunda parte de cada casilla del cuadro, escriban el reparto correspondiente y compárenlo con la ganancia real de cada amigo. En la primera semana, ¿quiénes recibieron más de lo que en realidad ganaron? ¿Quiénes recibieron menos?

5) Sumando las ganancias y los repartos de las cuatro semanas, ¿quiénes recibieron más de lo que ganaron? ¿Quiénes recibieron menos?

6) ¿Fue justo el reparto?

Ventas de raspadilla y empanadas Amigo Primera semana Segunda semana Tercera semana Cuarta semana Total

Ganancia producida

(S/.)Le tocó

Ganancia producida

(S/.)Le tocó

Ganancia producida

(S/.)Le tocó

Ganancia producida

(S/.)Le tocó

Ganancia producida

(S/.)Le tocó

Carlos 27 30 25 22 104Julia 18 28 16 18 80Diego 20 17 25 15 77Rosa 25 24 15 20 84TOTAL 99 81 75 345Reparto 90/4

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las fracciones y sus operaciones.Estos números y sus propiedades son útiles en actividades comerciales como: repartir ganancias, medir tiempos de trabajo, hacer presupuestos, entre otras.






Autoevaluación

Se debe repartir en 4 partes iguales, con lo que a cada amigo le corresponde ¼ de la ganancia.

Al expresar las ganancias reales en fracciones con denominador 4, podemos comparar los numeradores.

Julia, Diego y Rosa recibieron más de lo que en realidad ganaron. Carlos fue el único que perdió, pues recibió menos de lo que ganó.

El reparto no fue justo para ninguno y perjudicial para Carlos. Hubiese sido justo hacer un reparto proporcional a las ganancias obtenidas.

Julia y Diego recibieron más de lo que en realidad ganaron. Carlos y Rosa recibieron menos de lo realmente ganado.

90/490/490/490/490/490

99/499/499/499/499/4

99/4

81/481/481/481/481/4

81/4

75/475/475/475/475/4

75/4

345/4345/4345/4345/4345/4

345/4

41


Resolvamos 1 64MD

En este caso, se propone particularizar la situación dando un precio base ficticio, al que se le han aplicado las trasformaciones narradas en el texto. Para organizar este proceso, se plantea emplear un diagrama de flujo, con el fin de visualizar la situación en cualquiera de los momentos y reconstruir los hechos, si lo que se tiene es solo el precio final.

Los estudiantes pueden tener dificultades al elegir un precio ficticio para trabajar el problema. Asimismo, muchos de ellos piensan que la respuesta dependerá de ese precio inicial. Para eliminar esta creencia, el docente puede hacer que experimenten con distintos precios base, a fin de verificar que el resultado final es único.

Porcentajes que ponen y quitanActividad

Comente con sus estudiantes la gran utilidad y ubicuidad de los porcentajes en las actividades cotidianas. Para demostrarlo, tome, por ejemplo, un periódico donde haya avisos que contengan porcentajes. Casi todas las ofertas utilizan el tanto por ciento y, en algunos casos, se aprovechan del escaso manejo que el consumidor tiene de este tipo de información para plantear ofertas que, al analizarlas, no cumplen plenamente con el beneficio esperado.

Porcentaje Proporcionalidad directaRazones y proporcionesOperaciones con decimales


Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa e inversa (porcentaje).CAPACIDAD

La tarea presenta un tarifario con precios en nuevos soles. A partir de él, se solicitan varios precios con distintos tipos de descuento.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren estimar porcentajes y calcular descuentos de varias maneras.

La tarea muestra una situación de contexto comercial que involucra el cálculo del porcentaje y conceptos como el precio de costo y el precio de venta.






8







Las ofertas del díaT1

La pequeña vendedoraT2

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el porcentaje es solo una forma de escribir un número decimal o una fracción. También hay que hacer reflexionar sobre las muchas maneras de calcular un por centaje y un descuento directamente, a partir del monto base.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren el cálculo de porcentajes, en los cuales hay que realizar aumentos o descuentos sucesivos y, además, utilizar diagramas de flujo.


Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver la pregunta 9. El docente puede ayudar a la comprensión del problema, formulando interrogantes más directas y estableciendo submetas en cada una de las partes de la situación planteada. Para contestar esta pregunta, se le puede sugerir al estudiante que organice los cálculos en dos etapas: con la oferta anterior y con la nueva. En ambos casos, deberá obtener los precios finales para poder decidir cuál de las ofertas es la más ventajosa.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el estudiante se dé cuenta de que solo hay una cantidad que cambia a lo largo de la historia: el precio del poncho. Este sufre transformaciones debido a los incrementos por ganancia y descuento final pactados en la venta. Asimismo, se debe asegurar que el estudiante comprenda la diferencia existente entre el precio de costo, precio de lista (oficial) y precio de venta (real).

En este caso, se propone el uso de procedimientos de modelación directos, pues la situación así lo amerita.




La tarea muestra un típico ejemplo de publicidad engañosa. Se presenta un tipo de descuento sucesivo, pero la forma de presentarlo hace que el consumidor piense que el descuento es mayor.

En este caso, se propone particularizar la situación y realizar un experimento numérico. Para ello, se asume un valor inicial y se le aplica el proceso señalado en el texto. Luego, se analizan los resultados para tomar decisiones.

Los estudiantes pueden encontrar dificultades al enfrentarse a una situación problemática donde no conocen toda la información, referida a la cantidad de polos o al precio de cada polo.

Con esta tarea, se espera que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de traducción simple que implican el análisis de descuentos con porcentajes sucesivos.






Comprar y vender sin perderT4

¡Qué gran descuento!T3


Los estudiantes reflexionarán sobre la estructura del problema y buscarán darle solución a una versión de este, en el que se han realizado varias modificaciones. Esto es bueno, pues ayuda a fijar el tipo de estructura del problema que puede resolverse mediante esta estrategia.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las razones por las que se elige un número base para realizar los experimentos. Los estudiantes deben notar que, al margen de cuál sea el precio inicial, el porcentaje será el mismo; por ello, tomamos el precio base más sencillo de trabajar que es 100.

La tarea muestra una actividad de contexto comercial que demanda el cálculo de porcentajes y el uso de conceptos como ganancia y pérdida. Adicionalmente, demanda suponer la cantidad de polos y el precio de venta de cada uno de ellos.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren desarrollar un manejo fluido del cálculo de porcentajes y que, de ser necesario, puedan ser capaces de asumir cantidades o precios.

En este caso, se propone descomponer el problema en partes para identificar la información relevante. Además, se plantea hacer uso de tablas, a partir de las cuales se establecen las relaciones necesarias entre las variables que intervienen.

Es importante que el docente reflexione con sus estudiantes sobre lo indiferente que resultan los valores que se asuman para la cantidad y el precio de los polos, pues en cualquier caso se determinaría siempre la misma respuesta.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la necesidad de asumir ciertos datos para este problema, como la cantidad de polos y el precio de venta de cada polo. Ello con el objetivo de responder a la pregunta planteada.

Los estudiantes deberán reflexionar sobre la elección de la cantidad inicial. Además, pueden extrapolar sus métodos a otros problemas que contengan, por ejemplo, dos aumentos sucesivos (inflación mensual), un aumento y un descuento (pago con descuento e impuesto a la vez) o situaciones con tres descuentos consecutivos. Existe una fórmula para hallar el equivalente a dos descuentos sucesivos: De = D1 + D2 - D1.D2/100, estando De, D1 y D2 en porcentaje. Puede usted demostrar la fórmula.







Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender por qué deben elegir un ejemplo. Algunos de ellos pueden pensar que al problema le faltan datos, pues no indica el precio inicial. Otros creerán que la respuesta varía dependiendo del precio del producto. Es bueno que el docente haga que estos estudiantes experimenten con varios números base para que se convenzan de que el porcentaje al final es el mismo.


Resolvamos 1 66MD

Porcentajes que ponen y quitan8

Las ofertas del día

1) ¿Cuántos nuevos soles se descuentan por cada camisa?

2) ¿Cuál es el precio final de una camisa?

3) ¿En qué artículo se obtiene el mayor descuento en nuevos soles: en la camisa o en la chompa?

4) ¿En qué artículo se obtiene el mayor descuento porcentual: en la camisa o en la chompa?

5) ¿Cuál es el descuento porcentual de un par de zapatos?

6) Reflexiona y responde, los problemas presentados están relacionados con porcentajes. ¿Qué fracción del precio original de la casaca equivale al porcentaje del descuento?

7) Un vendedor, para conocer el precio descontado de la casaca, en lugar de calcular el descuento en nuevos soles y luego restar, solo calcula el 60 % del precio inicial. ¿Estará haciendo bien? Explica.

8) Halla el precio final de la siguiente compra:

9) La tienda ha cambiado la oferta de la casaca por otra promoción, que te da la segunda casaca a mitad de precio. ¿Cuál de las dos promociones es más ventajosa?

10)Con lo que ahorres en la compra de media docena de chompas, ¿cuántas camisas puedes comprar?

Los comerciantes de la “Feria Escolar 28 de Julio” acordaron realizar algunas ofertas para atraer a más clientes. El tarifario de descuentos acordado se muestra aquí.

Artículo Precio (S/.) Descuento

Camisa 45 20 %

Pantalón 75 30 %

Chompa 52 20 %

Zapatos 85 12 %

Casaca 80 40 %

Pares de medias 12 15 %

Mochila 48 10 %

Artículos Precio (S/.)2 camisas

3 pantalones

6 pares de medias

2 pares de zapatos

Se descuentan S/.9.

El precio final de una camisa es S/.36.

En la chompa se obtiene el mayor descuento en nuevos soles (S/.10,40).

En los dos artículos se obtiene el mismo descuento porcentual.

El descuento porcentual de un par de zapatos es de 12 %.

La fracción es 40/100 = 2/5.

Sí, es correcto, pues al calcular el 60 % ha restado a 100 % el 40 %.

Inicialmente se paga S/.96. Con la nueva promoción se pagará S/.120. Entonces, la promoción original es la que más conviene.

Ahorro media docena de chompas: S/.62,40.Precio de 1 camisa: S/.45. Con descuento: S/.36.Entonces alcanza para comprar 1 camisa y sobra S/.26.40.

El precio final es S/.440,30.

72,00157,5061,20149,60

42



Isabel ayuda a su tía los fines de semana, en una feria de artesanías. El último sábado, Isabel observó que el precio de venta de un poncho es un 30 % más que su precio de costo. Sin embargo, al venderlo, ella tuvo que rebajar el precio de venta en un 10 %. ¿Qué porcentaje del costo se ganó?

La pequeña vendedora

1) ¿Qué te ayudó a resolver este problema?

2) ¿Cambiará la respuesta si, en lugar de suponer inicialmente un precio de S/.100, presumes S/.20? ¿Y si supones S/.40? ¿Qué conclusiones obtienes a partir de estas observaciones?

3) ¿Cómo cambiaría el problema si, en lugar de rebajar 10 %, se hubiera rebajado 20 %?

4) Redacta el problema inicial, pero sin usar porcentajes; en su lugar, utiliza fracciones.

1) ¿Qué se dice del poncho?

2) ¿Qué hace Isabel al venderlo?

3) Si el precio de costo fuese de 100, ¿cuál sería el precio de venta?

4) ¿El 10 % de rebaja se hace sobre el precio de costo o sobre el precio de venta?

1) ¿Qué cambia a lo largo de la historia?

2) Completa con las palabras adecuadas:

Podemos seguir la pista al precio del poncho. Como no tenemos el precio de , podemos suponer un precio de costo inicial de

3) ¿Qué solicita el problema?

1) Imagina que el poncho tiene un precio de costo de S/.100 y completa el siguiente diagrama:

2) ¿De cuánto es el porcentaje del precio de costo que se ganó?

+ 30 % - 10 %

Precio de ventaPrecio de costo Precio de lista

El precio final hubiese sido S/.104.

100 130 117

Se informa sobre el precio de venta, que es un 30 % más que su precio de costo.

Hace un descuento del 10 % sobre el precio de venta.

S/.130.

El precio de venta.

Hallar el porcentaje del costo que ganó.

costoS/.100.

Organizar la información en un gráfico.

117 PC - 100 PC = 17 % PC

Se puede suponer cualquier precio, pero al utilizar 100 obtenemos directamente los porcentajes finales.

Isabel ayuda a su tía en una feria de artesanías los fines de semana. Este lunes Isabel observó que el precio de venta de un poncho es un 3/10 más que su precio de costo. Sin embargo, al venderlo, ella tuvo que rebajar en 1/10 el precio de venta. ¿Qué porcentaje del costo se ganó?

Sobre el precio de venta.

43


Resolvamos 1 68MD

El dueño de la bodega del barrio, el cajamarquino Carlos Meneses, ha ideado un plan para atraer a los clientes. Con una tarjeta de 20 % + 20 % de descuento, los clientes asisten pensando que la rebaja es de 40 %. ¿Qué piensan ustedes? ¿Están en lo cierto?

¡Qué gran descuento!

1) ¿Cuál es la estrategia empleada?

2) ¿Cuál crees que es la mejor cantidad para tomarla de ejemplo inicial?

3) Si la tarjeta hubiese sido de 20 % + 10 %, ¿cuál habría sido el descuento?

4) Y si hubiese sido de 10 % + 20 %, ¿cuál habría sido el descuento?

1) ¿Qué desea conseguir Carlos Meneses?

2) ¿Por qué crees que elige escribir el descuento de esa manera y no con un solo valor?

3) ¿Qué significa un descuento de 20 % + 20 %?


1) Plantea algunos ejemplos que te permitan describir casos de a % + a %.

2) ¿Crees que dar ejemplos es una buena opción para estudiar este caso?

1) Completa el diagrama mostrado, con tres ejemplos de precios:

2) En los casos observados, ¿qué porcentaje del precio inicial es el descuento?

3) ¿Tenían razón los compradores?

4) ¿El descuento fue de 40 % o es menor?

Ejemplo 1: Descuento total

Descuento total

Descuento total

-20 %

-20 %

-20 %

-20 %

-20 %

-20 %

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Precio supuestoPrecio luego del 2.°

descuentoPrecio luego del 1.er

descuento

Atraer clientes.

Para que parezca que el descuento total es 40 %.

Descontar 20 % del precio y luego el 20% de lo que queda.

Saber qué piensan los clientes de la rebaja.

Ejemplos a cargo del estudiante.

Sí, es una buena opción para comprender el problema.

Es 36 % del precio inicial.

No tenían razón.

El descuento fue menor.

La estrategia empleada es el uso del diagrama para representar los descuentos sucesivos en la búsqueda de un patrón.

La mejor cantidad es 100.

Habría sido 28 %.

También hubiese sido 28 %.

200

100

50

160

80

40

12872

36

18

64

32

44



Comprar y vender sin perder

1) En el enunciado del problema, ¿se indican cantidades para el número de polos y para el costo de cada uno?

2) ¿Cómo se representa un total en porcentajes?

3) Asumiendo que se compró N polos a p soles cada uno, podemos resolver el caso; si se asignan valores a estas variables y se sigue el proceso indicado, el resultado no cambia. Entonces, asignen estos valores: N = 100. Completen:

4) ¿Qué porcentaje de la mercancía falta vender? Expliquen cómo complementaron la cantidad de la 4.a venta.

5) Para determinar el precio de cada polo en cada venta, consideren p = 10.

6) Completen el cuadro, excepto el precio unitario de la 4.a venta y el ingreso correspondiente.

Cantidad de polos

1.a venta 20 % N =

2.a venta 40 % N =

3.a venta

4.a venta

7) Expliquen cómo calcularían q y W.

8) ¿Qué porcentaje debe ganar al vender el resto para que al final recupere su inversión?

9) Reflexionen sobre el proceso:

El problema se ha resuelto asignando ciertos valores a N y p. ¿Qué ocurre si se eligen otros valores? Explica.

10) ¿Cuál es la respuesta al problema?

Cantidad Precio unitario Ingreso

1.a venta 140

2.a venta 360

3.a venta 80

4.a venta q W

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el porcentaje. El cálculo porcentual se aplica en numerosas actividades comerciales, como: los intereses, la publicidad y los avisos de ofertas, así como en actividades cotidianas de compra y venta.




Autoevaluación

Hay épocas del año en que las ventas de un comerciante están sujetas a cambios e imprevistos que le obligan a vender perdiendo algunas veces para ganar en otras; pero lo importante al final es que al menos recupere lo que invirtió en su mercadería. Lean con atención este caso:Samuel Regalado compró un lote de polos de verano. Primero vendió el 20 % de su mercancía con una rebaja del 30 % respecto al costo, luego vendió el 40 % de la mercadería con una rebaja del 10 % y otro 10 % del mismo lote con una rebaja del 20 %. Hasta aquí solo ha vendido con pérdidas, pero debe recuperar al menos lo que ha invertido en la compra de los polos y para esto decide vender el resto del lote ganando. ¿Qué porcentaje debe ganar al vender el resto para que al final recupere sus costos?

La estrategia empleada es el uso del diagrama para representar los descuentos sucesivos en la búsqueda de un patrón.

No.

Como 100 %.

Como ya se había vendido 20 % + 40 % + 10 % = 70 %, faltaba vender 30 %.

Al 70 %p = 70 %(10) = 7

20 7

40 9

10 8

30

Primero se calcula el dinero invertido: 100 x 10 = 1000 soles.

Luego, lo que falta: 1000 – (140 + 360 + 80) = 420 = W

Como W es el producto de 30 por q, se deduce que:

q = 420/30 = 14.

Debe vender el 30 % del lote en 40 % más del precio del costo.

Como debe vender a 14 lo

que le costó 10, debe ganar 4 por cada 10 de inversión,

es decir, 40 % más del precio de costo.

No varía el resultado final, igual se obtendría que en la 4.ª venta debe vender ganando el 40 %.

20

40

10 % N = 10

30 % N = 30

45


Resolvamos 1 70MD

El lenguaje de los númerosActividad

Comente con sus estudiantes que cuando nos comunicamos en la vida cotidiana hacemos uso de expresiones matemáticas que relacionan números, como: “Tengo el doble de dinero que tú”, “tres artículos por el precio de uno”, entre otras. Lo mismo se presenta cuando en los noticieros escuchamos decir, por ejemplo; “La inflación se reducirá a la mitad este año”, “habrá más días de lluvia en febrero”, “el candidato obtuvo la quinta parte de todos los votos”, etc. Todas estas expresiones se refieren a valores numéricos, algunos conocidos y otros desconocidos. El lenguaje que utilizamos para relacionar los números es sumamente importante, pues es aceptado por todos con un mismo significado: si compras una revista de S/.8 y pagas con un billete de S/.10, todos saben que deben darte S/.2 de vuelto. Si este lenguaje no fuera universal, no se podría desarrollar el comercio y todo sería muy confuso. El lenguaje de los números es tan universal que algunos científicos suponen que si algún día alguna inteligencia exterior intenta comunicarse con nosotros, lo hará mediante números.

Números naturalesNúmeros racionalesExpresiones numéricas

Patrones numéricosEcuaciones linealesDescomposición en factores primos


Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números naturales y sus operaciones básicas.CAPACIDAD

La tarea presenta un inventario de las pertenencias de cinco personas. Para brindar la información, se emplea una tabla de doble entrada, que es una de las formas convencionales de presentar un inventario.

En este caso, se propone descomponer el problema en subproblemas mediante preguntas que deberán ser respondidas en función de la información proporcionada en la tabla.

La tarea presenta un problema de traducción compleja que requiere la modelación mediante ecuaciones lineales o, en su defecto, un tratamiento intuitivo por medio de tablas numéricas.






9







Adivina adivinadorT1

Ahorro es progresoT2

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de traducción simple que involucran ecuaciones lineales, así como la modelación de expresiones numéricas de forma particular y, en forma general, con símbolos algebraicos.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de traducción compleja que implican cálculos con números, para lo cual los estudiantes deben utilizar la tabla numérica.

Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar las simbolizaciones de las expresiones solicitadas. Un error típico es traducir mal algunos enunciados porque no se tiene en cuenta la precisión de los términos que conforman las diferentes proposiciones.

En este caso, se propone el ensayo-error mediante la puesta a prueba de diversas combinaciones de mañanas soleadas con mañanas frías durante 20 días. El cálculo del presupuesto y la identificación de la combinación con los respectivos precios deben dar como resultado el monto ahorrado de S/. 244.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la precisión del lenguaje utilizado y en sus grandes diferencias si existieran incluso pequeños cambios gramaticales. No es lo mismo decir “tiene el doble de bolitas amarillas” que “tiene dos veces más bolitas amarillas”, pues en esta última expresión se está hablando del triple. Tampoco es lo mismo “el doble de mis bolitas amarillas disminuido en 5” (donde primero se duplica y luego se resta 5) que “el doble de mis bolitas amarillas disminuidas en 5” (donde primero se resta 5 a las bolitas amarillas y luego se duplica).

Al desarrollar la tarea, se debe enfatizar que un mismo problema puede ser resuelto empleando diversas estrategias.



Los estudiantes pueden tener dificultades en comprender adecuadamente el texto; esto se puede contrarestar mediante la experimentación con casos particulares. Las preguntas de la primera y segunda fases tienen este propósito.



En esta ocasión, se propone descomponer el problema en partes para responder a las situaciones problemáticas planteadas en la actividad.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las restricciones de cada una de las situaciones planteadas, así como en lo que implican, en el contexto del azar, casos favorables y casos desfavorables.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen analizar un caso a partir de las condiciones planteadas y la información extraída de la tabla.

En este caso, se propone el uso de diversas combinaciones de números, las cuales se organizan en una tabla que cumpla con la condición del problema.

El docente puede aprovechar estas preguntas para reforzar el concepto de azar y monitorear el proceso. De este modo, podrá detectar las dificultades desde el inicio y no recién al haber dado por concluido el problema.






Hacer un presupuestoT4

Edades enigmáticasT3


Los estudiantes deberán resolver el mismo problema utilizando otra modelación. Asimismo, se solicita la solución utilizando una ecuación lineal con una incógnita. De hecho, se puede resolver también con un sistema de ecuaciones, pero no es tema del grado.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cómo se da la información. El dato aparentemente innecesario de que “la mayor se llama Alicia” no es interesante por el hecho del nombre, sino porque nos informa que hay una hija mayor, no hay dos mayores ni se trata de trillizas.

La tarea presenta un enigma del tipo recreativo en forma de relato. En él participan dos personas que hablan de las edades de las hijas de uno de ellos. La motivación en este problema es intrínseca debido a su aparente imposibilidad de ser resuelto.Con esta tarea , se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas no rutinarios que impliquen conexiones entre conceptos numéricos (en este caso, la descomposición de números primos y las operaciones básicas de la aritmética) así como el razonamiento lógico.

La tarea presenta, en un contexto comercial, el precio de ciertos productos de un establecimiento en cuatro rubros. En la actividad se debe responder a un conjunto de preguntas atendiendo a las restricciones planteadas en cada caso.

Los estudiantes pueden tener dificultades al analizar las situaciones favorables y desfavorables cuando los productos son elegidos al azar dentro de cada rubro. Es importante que el docente guíe a los estudiantes en este momento, a fin de evitar vacíos.

Los estudiantes pueden tener dificultades al comprender el texto y diseñar una estrategia de solución. Las preguntas de las fases uno y dos pretenden guiar y organizar su pensamiento. Errores típicos son no tomar en cuenta el hecho de que haya una sola hija mayor o no pensar en el caso posible de que dos hermanas sean mellizas. Los estudiantes deberán repasar críticamente todo el proceso de solución. Para los más avanzados, se puede solicitar que inventen problemas similares. Esto ayuda a fijar las estructuras, así como al dominio de las estrategias que se utilizaron para resolver el problema.








Resolvamos 1 72MD

El lenguaje delos números9

Adivina adivinador

1) ¿Quién puede decir: “El doble de mis bolitas amarillas disminuidas en 5 es igual a 7”?

2) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa persona. Resuelve la ecuación, considerando lo que tiene como x.

3) ¿Quién puede decir: “El triple de mis bolitas verdes aumentado en 11 es igual a 53”?

4) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa segunda persona. Resuelve la ecuación, representando lo que tiene como y.

5) ¿Quién puede decir: “El cuádruple de mis bolitas azules es igual al doble de mis bolitas azules aumentado en 18”?

6) Del planteamiento anterior, escribe en forma algebraica lo expresado por la tercera persona. Resuelve la ecuación, considerando lo que tiene como z.

7) ¿Quién puede decir: “La mitad de mis bolitas verdes más el triple de ellas es igual a 28”?

8) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa cuarta persona. Recuerda: debes resolver la ecuación, considerando lo que tiene como t.

9) Reflexiona: ¿Qué se utiliza en común en los problemas antes planteados?

10) Inventa preguntas similares a las aquí formuladas y dáselas a un compañero para que las resuelva.

Nombre N.° rojas N.° verdes N.° amarillas N.° azulesJesús 8 11 9 12Pablo 10 6 12 9

Consuelo 9 14 10 8Irene 4 15 6 12

Tomás 15 8 13 8

N.o de mañanas soleadas 0 1 2N.o de mañanas frías 20 19Ahorro (S/.) 280

Jesús, Pablo, Consuelo, Irene y Tomás están jugando a las adivinanzas. Primero mezclaron una cantidad de bolitas de color rojo, azul, amarillo y verde. Luego, cada uno colocó en una bolsa una cantidad de ellas. Los resultados se muestran en la tabla adjunta. El juego consiste en decir una expresión y el compañero debe averiguar cuántas bolitas de determinado color tiene el que planteó la pregunta.

Irene.

2x - 5 = 7; x = 6

Consuelo.

3y + 11 = 53; y =14

4z = 2z + 18; z = 9

Pablo.

Tomás.

t/2 + 3t = 28; t = 8

Se emplean ecuaciones lineales con una incógnita.

Respuesta según lo desarrollado.

46



Ramón reflexiona acerca de sus ahorros y sus gastos cotidianos. Él podría ahorrar S/.20 diarios, pero cada mañana soleada gasta S/.9 en helados y cada mañana fría gasta S/.6 en café. Ha ahorrado durante veinte días, reuniendo S/.244. ¿Cuántos días tomó café? (Solo hay mañanas frías o soleadas).

Ahorro es progreso

1) ¿Cuánto puede ahorrar diariamente si no gasta en nada?

2) ¿Cuánto ahorra en las mañanas soleadas?

3) ¿Cuánto ahorra en las mañanas frías?

4) ¿Durante cuántos días ha ahorrado?


1) ¿Cuánto ahorraría en los veinte días si todas las mañanas fueran frías?

2) ¿En cuánto disminuye este ahorro por cada mañana soleada?

3) ¿Cuánto ahorró realmente?

4) Entonces, ¿puedes suponer que todas las mañanas fueron frías y luego corregir?

5) ¿Cómo se organizará este cálculo?

6) ¿Qué estrategia emplearías para hallar la solución al problema?

1) Completa la tabla mostrada, hasta que descubras algún patrón.

2) Describe el patrón que has descubierto.

3) ¿Cuándo el ahorro es de S/.244?

1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver este problema.

2) ¿Se hubiese podido resolver el problema partiendo de que todas las mañanas eran soleadas? Explica.

3) Resuelve el problema suponiendo que las 20 mañanas son soleadas. Completa la siguiente tabla:

Mañanas soleadas 20 19Mañanas frías 0 1Ahorro 220

N.o de mañanas soleadas 20 19N.o de mañanas frías 0 1Ahorro 220

4) ¿Se pudo haber resuelto este problema mediante una ecuación? ¿Cómo?

N.o de mañanas soleadas 0 1 2N.o de mañanas frías 20 19Ahorro (S/.) 280

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8

277 274 271 268 265 262 259 256 253 250 247 244

Mañana soleada: x Mañanas frías: 20 - x Ahorro: 11x + 14(20 - x) Ahorro: 244Planteo la ecuación: 11x +14(20 - x) = 244 Entonces x = 12El ahorro es S/.244 cuando hay 12 días soleados y 8 días fríos.

Construir una tabla, hacer un tanteo organizado e identificar un patrón.

Sí, considerando la cantidad ahorrada, si todas las mañanas hubiesen sido soleadas y sabiendo que por cada mañana fría el ahorro aumenta S/.3.

Sí.

Ahorraría 14 x 20 = S/.280.

Disminuye en S/.3 diarios.

Ahorró realmente S/. 244.

Sí se puede.

Mediante una tabla.

Emplearía la búsqueda de un patrón a partir de casos particulares.

Ahorra 20 - 9 = S/.11.

Ahorra 20 - 6 = S/.14.

Ha ahorrado durante veinte días.

El número de días que tomó café.

Puede ahorrar S/.20 diarios.

18 17 16 15

2 3 4 5

223 226 229 232 235

El ahorro disminuye S/.3 en forma constante.

El ahorro es S/.244 cuando hay 12 días soleados y 8 días fríos.

47


Resolvamos 1 74MD

Edades enigmáticas

1) ¿En qué parte de las actividades de resolución del problema has tenido dificultad?

2) ¿Cómo procediste para superar aquella dificultad?

3) Describe las estrategias que has empleado para resolver el problema.

1) ¿Acerca de quiénes conversan Andrés y Roberto?

2) ¿Qué se sabe de ellas?

3) ¿Qué dato planteado en el problema es irrelevante?

4) ¿Qué desea averiguar Roberto?

1) ¿Las edades podrían ser 6 - 6 - 1? ¿Por qué?

2) ¿Qué otras edades podrían ser? Da dos ejemplos.

3) ¿Puedes hacer una lista de las posibles edades?

4) ¿Cómo organizarías esta información? a) Mediante un diagrama de Venn. b) Mediante un gráfico cartesiano. c) Mediante una tabla.

1) ¿Como producto de cuántos factores debes escribir 36?

2) Organiza los factores en la tabla que se encuentra a la derecha.

3) ¿Cuáles son las edades de las hijas de Andrés? Fundamenta tu respuesta.

4) Utiliza esta estrategia para resolver el siguiente problema: Martín, José y Noelia, que son mayores de edad, no quieren revelar las edades de cada uno y prefieren que las deduzcas. Ellos señalan que el producto de sus años es 10 350.

¿Puedes determinar sus edades si Martín es el menor y José es el mayor?

Dos amigos de la infancia se encuentran en una céntrica calle y tienen la siguiente conversación:—¡Hola, Roberto!, a los años que te dejas ver, yo ya me casé y hasta tengo

tres hijas.—¡Hola, Andrés! ¿Tres hijas? ¿Y qué edades tienen? —preguntó Roberto.—Esa respuesta, te la voy a plantear como un reto. Fíjate que el producto

de sus edades es 36 y la suma es un número primo mayor que 11.Roberto pensó un momento y luego dijo:— Andrés, no puedo saber sus edades, me faltan datos.—¡Ah!, me olvidaba —contestó Andrés— la mayor se llama Alicia.

Edades posibles Suma de las edades

Conversan acerca de las hijas de Andrés.

El producto de las edades es 36 y la suma es un número primo mayor que 11; además, se sabe que la mayor se llama Alicia.

Ningún dato es irrelevante.

Las edades de las hijas de Andrés.

No, porque no cumple con la condición “la mayor se llama Alicia” que nos informa que solo una de ellas es precisamente la mayor.

Pudieran ser 9 - 4 - 1. También 12 - 3 - 1.

Sí es posible. Debo descomponer 36 en tres factores.

Como un producto de tres factores.

Son 9-2-2.Porque la suma es un número primo mayor que 11 y entonces tenía dos posibilidades: 6 - 6 - 1 y 9 - 2 -2. Al saber que solo hay una mayor, se descartó 6 - 6 - 1.

En determinar la relevancia de la información proporcionada.

Determinando las posibles soluciones y descartando aquella que no cumple con las condiciones del problema.

Construir una lista sistemática y una tabla.

Usando esta estrategia y sabiendo que son mayores de edad, es decir, que tienen 18 años o más, las edades respectivas son: Martín = 18, Noelia = 23 y José = 25.

36 - 1 - 1 38

18 - 2 - 1 21

6 - 6 - 1 13

9 - 4 - 1 14

12 - 3 - 1 16

9 - 2 - 2 13

6 - 3 - 2 11

4 - 3 - 3 10

48



La señora Victoria va de compras. En el establecimiento donde suele comprar, los productos se venden empaquetados y los precios por paquete figuran en esta lista.

Ella dispone de S/.30.

Con tus compañeros, realicen las actividades siguientes y recomienden a la señora Victoria qué comprar en cada una de las posibles situaciones que se presentan.

Frutas Pan y cereales

Fresas S/.8,20 Pan S/.4,20

Manzanas S/.11,50 Quinua S/.12,50

Peras S/.5,00 Cereal S/.6,60

Lácteos Embutidos

Leche S/.7,50 Jamón ahumado S/.9,90

Queso S/.9,60 Jamón inglés S/.9,90

Yogur S/.2,80 Queso mozzarella S/.4,40

Hacer un presupuesto

1) ¿Cuánto es lo máximo que puede gastar en cada grupo de alimentos si gasta lo mismo en cada uno?

2) Si compra un paquete de manzanas y otro de quinua, ¿qué tipo de lácteos podría comprar con el saldo?

3) La señora Victoria recuerda que tiene fruta en casa, ¿cuánto podría gastar en cada uno de los otros grupos si gasta lo mismo en cada uno?

4) Muestren una posible lista de compras que incluya al menos un producto de cada grupo.

5) Si lleva jamón ahumado, cereal y leche, el dinero restante ¿le alcanza para comprar fruta? ¿Qué podría comprar en ese grupo?

6) Si decide comprar primero cada uno de los productos del grupo lácteos, ¿podría comprar dos productos más de cualquiera de los otros grupos? Indiquen alguna opción.

7) Reflexionen sobre este caso. La señora Victoria elige un producto al azar de cada grupo y se acerca a pagar, ¿tendrá el dinero suficiente? Si tuviera un saldo favorable, ¿cuánto dinero le podría sobrar?

8) Completen esta situación. La señora Victoria elige un producto al azar de cada grupo y se acerca a pagar, ¿podría faltarle dinero? De ser así, expliquen lo peor que le puede ocurrir.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números. Estos están presentes, en el día a día, de diversas formas: enteros, decimales, fracciones. Los números me sirven para comunicarme y, además, me ayudan a tomar las mejores decisiones.




Autoevaluación

30 / 4 = 7,50. Lo máximo. es S/.7,50.

Solo yogur.

Podría gastar 30 / 3 = 10,00.

Fresas, pan, leche y atún.

Sí, le sobra 30 – 24 = 6. Podría comprar peras.

Habría gastado S/.19,90; y con los S/.10,10 restantes podría comprar: peras y pan o peras y queso mozzarella.

Siendo los productos más baratos, el gasto sería S/.16,40 y le sobraría S/.13,60.

Sí, podría faltarle dinero. Lo peor sería que su elección incluyera los productos más caros de cada grupo, cuyo total sumaría S/.43,50, faltándole S/.13,50.

49


Resolvamos 1 76MD

Pensar lógicamenteActividad

Comente con sus estudiantes lo valioso que es razonar con lógica. Explíqueles que los detectives muchas veces utilizan elementos de información para reconstruir una escena del crimen. Al hacerlo, emplean diversas relaciones lógicas. También un abogado, cuando construye un argumento para plantear una defensa o establecer una demanda, tiene que emplear el razonamiento lógico a su favor, pero teniendo en cuenta las leyes, las normas y los elementos particulares de cada caso.

Razonamiento lógico


Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican relaciones lógicas.CAPACIDAD

La tarea presenta tres figuras en las que hay que identificar a determinados personajes, partiendo de algunas pistas.

La tarea presenta las relaciones entre tres categorías: los comerciantes, los montos de préstamo y los porcentajes de las tasas de interés.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren, a partir de la información parcial recibida, realizar inferencias y relacionar datos. También se espera que desarrollen la capacidad de integrar este conocimiento para describir completamente una situación.






10







Instantáneas enigmáticasT1

Los comerciantesT2

En este caso, se propone la búsqueda de una meta menor, para lo cual es necesario eliminar casos posibles y razonar lógicamente.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren realizar inferencias a partir de enunciados que relacionan datos.

Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar las pistas. Por eso, es conveniente hacer preguntas referidas a la comprensión de cada una de ellas, con el fin de que interpreten claramente lo que la pista quiere decir.Se sugiere leer en voz alta cada pista y discutirla en plenaria. Esto ayudará a centrar la atención y desarrollar niveles de reflexión sobre lo escrito.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la comprensión de cada una de las pistas dadas y en el método que se seguirá para ir estableciendo las correspondencias.

Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar las pistas. Por ello, las preguntas presentadas favorecen la comprensión de cada una. Estas no son exhaustivas y, dependiendo de los casos, el docente puede realizar más preguntas con el fin de que los estudiantes comprendan lo que cada una de las pistas les está informando.


Se debe poner énfasis en la comprensión de cada pista y en cómo esta ayuda a asignar una pareja de datos y a descartar otras parejas.

En este caso, se propone utilizar una tabla, con la cual se organice la información, y razonar lógicamente para poder realizar las inferencias correspondientes.

Enunciados y proposicionesTablas de verdadConectores lógicosNúmeros y operacionesPorcentaje




La tarea muestra un acertijo lógico en el que intervienen valores de verdad y cuantificadores.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren realizar inferencias a partir de proposiciones, enumerar casos posibles e identificar aquellos que verifican determinada situación, considerando las hipótesis formuladas.

En este caso, se propone razonar lógicamente, enumerar casos posibles, hacer una tabla y formular hipótesis.






El premio mayorT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la organización de los datos, la enumeración sistemática de los posibles casos y su análisis a la luz de la situación planteada.

Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar cada uno de los letreros presentados en los cofres. Para que comprenda, se les puede pedir que parafraseen lo escrito. Asimismo, se les solicita que supongan situaciones para encontrar los valores de verdad. Un error típico es creer que si el letrero es falso, entonces en ese cofre no puede estar el premio. Esto no es así. Los estudiantes deberán reconocer las características del problema planteado para que su estrategia pueda ser utilizada en otros casos.También se les solicita algunas modificaciones al problema inicial, como, por ejemplo, cambiar los textos de los letreros. Los estudiantes más avanzados pueden inventar problemas similares, variando los textos de los letreros o incrementando el número de cofres.

Los estudiantes deberán comprobar sus resultados para que se acostumbren a verificar, por sí mismos, lo que han realizado. Así desarrollarán cada vez más autonomía al resolver problemas.También se representará lo actuado por medio de una tabla resumen, a modo de sumarizar la descripción de lo ocurrido con los comerciantes.


Se propone buscar una meta menor, razonar con lógica y eliminar los casos no posibles o hacer un descarte de casos.

Los estudiantes pueden tener dificultades al comprender las proposiciones tipo: Si… entonces…; por tanto, se debe explicar que esta es una proposición condicional p → q, la cual nos dice que la condición p es necesaria para que se cumpla la proposición q, y no necesariamente si se cumple q tiene que cumplirse p.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren analizar sistemas de condiciones y establecer relaciones complejas en diferentes niveles.

La tarea muestra dos categorías: unas bolitas de colores y unos vasos numerados. Como parte de la actividad, se presenta un conjunto de condiciones para esconder las bolas debajo de los vasos. Partiendo de este sistema lógico, los estudiantes deberán decidir cuáles de las situaciones son posibles, contrastando lo que les piden con el conjunto de condiciones señaladas.






Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que las respuestas pueden no ser únicas y que es necesario comprender lo que cada condición está señalando.

A partir de las condiciones dadas, los estudiantes pueden inventar más problemas relacionados o, en su defecto, modificar las condiciones para realizar otro conjunto de preguntas similares a las formuladas.


Las bolilógicas T4


Resolvamos 1 78MD

Pensar lógicamente10Instantáneas enigmáticas1) En la escena, hay una persona a la que estamos buscando. Lee con atención las pistas para que la puedas encontrar. • No lleva nada en la cabeza. • No tiene lentes. • No tiene bolso. • No es calva ni tiene el pelo rizado. • No lleva en su indumentaria ninguna prenda negra ni de

cuadros ni de rayas.

Encierra con un círculo a esta persona.

2) En una peregrinación, han pasado cinco simpáticos frailes. Tenemos sus dibujos, pero desconocemos sus respectivos nombres:

3) Seis estudiantes van con sus bolsos al aniversario del colegio. Victoria, Julia, Ana y Luisa llevan sus bolsos en la mano izquierda. Juana y Rocío lo llevan en su mano derecha.

• Las que están de espaldas son Ana, Victoria y Rocío. • Ana y Luisa no tienen a nadie a su izquierda.

¿Cómo se llama cada personaje y qué número le corresponde en el dibujo?

Escribe los datos que te dan en el enunciado.

Indica el número que corresponde a cada estudiante:

Victoria: Ana: Julia:

Luisa: Juana: Rocío:

Abel : Ciro: Daniel: Hugo: Benito: 1 2 3 4 5

• Los frailes Abel y Ciro son más altos que sus compañeros.

• El bastón de Daniel es más alto que los bastones de Abel y de Ciro.

• Los bastones de Abel y de Hugo son del mismo tamaño.

• Los bastones de Abel y de Benito son menos altos que sus dueños.

¿Sabes quién es quién? Escribe en el círculo el número correspondiente.

2 4 1 3 5

• Victoria, Ana, Julia y Luisa llevan el bolso en su mano izquierda. • Juana y Rocío llevan el bolso en su mano derecha. • Ana, Victoria y Rocío están de espaldas. • Ana y Luisa no tienen a nadie a su izquierda.

5 1 2

3 4 6

50



Los comerciantes

1) ¿De quiénes te hablan en la historia?

2) ¿Para qué te dan las pistas?

1) ¿Qué conclusión obtienes de la pista 1?




1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema.

1) ¿Cuáles son las características principales del problema?

2) Completa, según corresponda: Hay que sacar a partir de las que dan en el texto. Una forma de organizar los es mediante

3) ¿Qué debe relacionar la tabla?

5000 4500 2000 1500 10 % 8 % 6 % 5 %

Luisa

Sandra

Sonia

María

Luisa y otras tres comerciantes obtuvieron préstamos de diversos bancos para una campaña de ventas. Ellas solicitaron diferentes cantidades y a diferentes tasas de interés. Las cuatro pidieron el dinero por un año. A partir de las pistas dadas debajo, ¿puedes calcular la cantidad de dinero que cada comerciante recibió prestado y la tasa de interés? Los montos fueron S/.5000, S/.4500, S/.2000 y S/.1500. Las tasas de interés fueron 10 %, 8 %, 6 % y 5 %.Pista 1: Sonia recibió el préstamo de menor cantidad y pagó la más alta tasa de interés.Pista 2: Luisa pagó el doble de interés que Sonia, a una tasa del 6 %.Pista 3: Sandra recibió S/.2500 más que María.Pista 4: María pagó un total de S/.160 en interés al finalizar el año.

3) ¿Qué diferencia hay entre interés y tasa de interés?

4) ¿Qué es lo que te piden encontrar?

5) A continuación, ubica en la tabla a las comerciantes, según las características de su préstamo o tasa de interés. Recuerda que una vez ubicada cada comerciante, ninguna de ellas podrá tener otro monto de préstamo ni otra tasa de interés.

6) Halla la cantidad de dinero que cada comerciante recibió prestado y la tasa de interés.

una

2) Comprueba que tus respuestas corresponden con lo relatado en el enunciado.

2 4 1 3 5

De cuatro comerciantes: Luisa, Sonia, Sandra y María.

Sonia se prestó S/.1500 a una tasa de interés de 10 %.

Utilizar una tabla para ordenar la información y analizar las pistas para inferir las respuestas.

Interés es la ganancia o beneficio que se genera cuando se presta una cantidad de dinero. Tasa de interés es un porcentaje del primero.

Para saber cuánto dinero se prestó cada una y su respectiva tasa de interés.

Debe relacionar montos con interés y con personas.

El dinero prestado a cada comerciante y su respectiva tasa de interés.

Divido 160/2000 = 0,08 = 8 % que es la tasa del préstamo de María.

Que Sandra se prestó S/.4500 y María S/.2000.

Luisa: S/.5,000 (6 %); Sandra: S/.4,500 (5 %); Sonia: S/.1,500 (10 %); y María: S/.2,000 (8 %).

Luisa se prestó el dinero a una tasa de interés de 6 %.

Establece relaciones entre personas, cantidades y tasas de interés. Da información para calcular las ganancias de las personas. Indica que algo cambia en el tiempo.

tabla.conclusiones pistas datos

A realizar por el estudiante.

51


Resolvamos 1 80MD

El premio mayorEn la feria escolar de Matemática, el profesor Alfonso Meza ha puesto un juego enigma para probar las habilidades de sus estudiantes. El premio mayor es 10 minutos diarios más de recreo por lo que resta del año. Él ha escondido el sobre con el premio en una de tres cajas; las otras dos están vacías. A los concursantes, les dan la oportunidad de descubrir dónde se encuentra escondido el premio. Para ayudarlos, el profesor ha colocado tres letreros sobre cada una de las cajas. Sin embargo, le dice a un concursante que no se fíe de los letreros, pues solo uno de ellos dice la verdad.

¿Puedes descubrir en qué caja está el premio?

1) ¿De qué te hablan en la historia?

2) ¿Para qué se han puesto los letreros?

Completa los valores de verdad en la tabla (V o F) y contesta: ¿cumple con la condición del problema?

1) Hipótesis 1: El premio está en la caja I.

2) Hipótesis 2: El premio está en la caja II.

3) Hipótesis 3: El premio está en la caja III.

4) ¿En qué caja está el premio?

I El premio está en esta caja

II El premio no está en esta caja

III El premio no está en la caja I







1) ¿En qué momento has tenido dificultad para resolver el problema?

2) ¿Cómo superaste la dificultad?

3) ¿Qué estrategia te permitió continuar con la solución del problema?

3) ¿Cuántos posibles casos existen?

4) Si un letrero dice la verdad, entonces los otros dos


4) Si quisieras aplicar esta estrategia, ¿cuáles tendrían que ser las características del problema?

1) ¿Sabemos cuál de los letreros dice la verdad?

2) ¿Cuántas situaciones serán posibles para que se muestre la verdad? ¿Qué pasa con los otros letreros?

El premio no está en la caja I.

Sobre un juego enigma que el profesor Meza ha propuesto a sus estudiantes. Él ha escondido un sobre premiado en una caja, mezclada con otras dos cajas vacías. Las cajas tienen sus respectivos letreros, de los cuales solo uno dice la verdad.

Al determinar el plan de acción.

Al visualizar distintas situaciones.

Proponer hipótesis y probar estas con los letreros de cada caja, buscando que cumplan con la condición del problema.

Existen 3 posibles casos.

En qué caja está el premio.

dicen

Para ayudar a los concursantes.

Deben presentarse diferentes opciones de solución, sujetas a una o varias condiciones.

No cumple con la condición, pues solo uno debe ser verdadero.

Sí cumple con la condición.

No cumple con la condición, pues solo uno puede ser verdadero.

El premio está en la caja II.

No.

Serán posibles 3 situaciones. Los otros letreros definitivamente no dicen la verdad.

algo falso.

V

V

F

F

F

V

F

v

V

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Las bolilógicasEn un juego, hay exactamente seis vasos invertidos que están uno al costado del otro en fila. Los vasos están numerados del 1 al 6 y en cada uno hay una bolita escondida. Cada bolita es de un color diferente: verde, azul, naranja, morado, rojo y amarillo, las cuales están escondidas de manera que:

* La bolita morada debe estar debajo del vaso cuyo número sea menor que el del vaso donde está la bolita naranja.* La bolita roja debe estar debajo del vaso que está junto al vaso que contiene la bolita azul.* La bolita verde debe estar escondida debajo del vaso 5.

1) ¿Cuál de las siguientes combinaciones del 1 al 6 puede ser el orden de las bolitas con su respectivo color?

a) Verde, amarilla, azul, roja, morada, naranja.

b) Naranja, amarilla, roja, azul, verde, morada.

c) Roja, naranja, azul, amarilla, verde, morada.

d) Azul, verde, morada, roja, naranja, amarilla.

e) Azul, roja, morada, amarilla, verde, naranja.

2) ¿Existe un único orden en el que pueden estar las bolitas bajo los vasos?

3) Si la bolita de color azul está en el vaso 4, la bolita roja puede estar debajo del vaso número

4) ¿Cuál de los colores puede ser el de la bolita que está debajo del vaso con el número 6?

a) Verde b) Azul c) Morada d) Roja e) Amarilla

Con tus compañeros, respondan las siguientes incógnitas y resuelvan el problema:

5) Si la bolita morada está debajo del vaso número 4, ¿debajo de qué vaso puede estar la bolita naranja?

6) Si la bolita naranja está debajo del vaso número 2, las bolitas que pueden estar juntas entre sí son:

a) Verde y azul

b) Verde y morada

c) Naranja y amarilla

d) Morada y roja

e) Roja y amarilla

7) Si la bolita azul está debajo del vaso número 1, las bolitas que siempre deben de estar juntas son:

a) Verde y naranja

b) Verde y amarilla

c) Morada y roja

d) Morada y amarilla

e) Roja y amarilla

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas referidos al razonamiento lógico, que en la cotidianeidad se utiliza para formular hipótesis y extraer conclusiones a partir de pistas. Los detectives y fiscales lo utilizan con frecuencia para hacer sus investigaciones.




Debo mejorar.

Autoevaluación

No, se pueden plantear otros órdenes.

Debajo del vaso 6.

3.

53


Resolvamos 1 82MD

Incógnitas a nuestro alrededorActividad

Comente con sus estudiantes sobre la importancia de establecer incógnitas para absolver situaciones de incertidumbre en la vida cotidiana. Por ejemplo, si deseamos ir de paseo a un lugar y sabemos su distancia, podremos predecir cuándo llegaremos, siempre y cuando conozcamos la velocidad a la que nos desplazaremos. En este caso, la incógnita es el tiempo y la ecuación que se puede plantear es lineal. Asimismo, las incógnitas se presentan al trabajar situaciones inciertas, como las posibles ventas de un determinado producto, la cantidad de personas que verán un comercial en TV, el flujo de automóviles en un determinado peaje, las personas que viajan a una hora determinada en el tren eléctrico, entre otras.

Ecuaciones lineales con una incógnita Expresiones algebraicasNúmeros decimalesOperaciones con racionales


Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita.CAPACIDAD

Aquí se presenta una situación lúdica, donde una tabla muy singular no contiene ningún dato numérico exacto, por lo que puede parecer que no da ninguna información acerca de un torneo de tangram. Sin embargo, a medida que respondemos las preguntas, vamos descubriendo que es posible extraer conclusiones a pesar de no tener con exactitud los puntajes de cada jugador.

La tarea presenta un típico problema de móviles. En este caso, se trata del encuentro de bicicletas que avanzan en la misma dirección, pero en sentidos opuestos.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran matematizar situaciones con móviles, mediante diversos tipos de ecuaciones lineales.





11







Los tangramistasT1

BicimatesT2

En este caso, se propone realizar cálculos con expresiones.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para identificar y resolver problemas de traducción simple con expresiones algebraicas lineales, que las comparen y las operen para poder extraer información de ellas.

Los estudiantes pueden tener dificultades al tratar de trabajar con expresiones en lugar de números. Muchos no pueden establecer relaciones si estas no son numéricas, lo que constituye un estadio en la construcción del concepto de variable. La presente actividad les ayudará a ampliar esta noción.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que es posible trabajar con variables como si fueran cantidades generalizadas y que, teniendo en cuenta sus relaciones, podremos extraer conclusiones acerca de las expresiones formadas.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la selección de la incógnita para el planteamiento, así como en la decisión de un soporte gráfico que ayude a esta modelación.El gráfico es un diagrama analógico que representa la situación real con elementos similares, cuyos puntos son las ciclistas, la línea horizontal y la distancia entre ellas al inicio. Es importante que los estudiantes representen tanto la situación inicial como la final (siendo esta la del encuentro de las ciclistas).

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y tratar de resolver el problema de otra manera, como la que se presenta en la sección, donde se considera como incógnita el tiempo de encuentro.


Los estudiantes pueden tener dificultades para establecer relaciones entre las magnitudes que contiene el caso (km, m/min), para ubicar los datos relevantes en el diagrama analógico elaborado y al seleccionar la incógnita. Las fases de solución, de la 1 a la 3, ayudarán a clarificar esta situación.





La tarea presenta un acertijo en el que se tiene que descubrir el número de monedas que guarda un avaro en cada una de las bolsas de su tesoro.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de traducción simple que requieran el planteamiento de ecuaciones lineales con una incógnita.

En este caso, se propone identificar una magnitud invariable para usarla de incógnita e identificar las condiciones para establecer una ecuación.

En este caso, se propone vincular el todo con las partes al establecer la relación que existe entre el tamaño de los huesos y la estatura de la persona.

Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver los problemas 7 y 8 que combinan dos fórmulas. Hay que ayudarlos a modelar precisamente estas situaciones.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran utilizar una función lineal.

La tarea presenta una aplicación de las ecuaciones lineales a la medicina, ciencia en la que existen muchas más fórmulas similares a la planteada. Es una buena oportunidad para señalar que no solo los matemáticos e ingenieros utilizan ecuaciones.








A matematizar el esqueletoT4

Sueños de un avaroT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes identifiquen lo que no cambia al aplicarle un conjunto de transformaciones. En este caso, es el número de monedas en una bolsa. A esta cantidad, se le aplican modificaciones según lo que el avaro dice, las cuales generan las condiciones del problema que servirán para la construcción de la ecuación.




Los estudiantes pueden tener dificultades al traducir la expresión del avaro, por lo que hay que dividirla en dos partes, pues es una composición de dos estados.Estado uno: si en mi bolsa agrego tres monedas.Estado dos: si a dos bolsas iguales les quito 7 monedas.Hay que reconocer que estos dos estados son iguales.Siempre es bueno que los estudiantes comprueben que su solución responde a las condiciones del problema. Otra forma de resolver la situación es mediante un tanteo sistemático. Esto ayuda a los estudiantes a apropiarse de las relaciones numéricas presentes en el caso. De esta manera, si alguno de ellos resolvió inicialmente el problema por tanteo, debe realizar luego una ecuación o una tabla para comprobar su respuesta, lo cual contribuye a flexibilizar su pensamiento.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis primero en que las relaciones establecidas son funciones lineales.En cada caso, tanto para varones como para mujeres, la altura se expresa en función de la longitud de ciertos huesos. La construcción de estas fórmulas se consigue analizando una gran cantidad de casos reales y ajustando los datos para que sean representados por una función lineal. Cuando se establece una pregunta sobre cómo hallar la altura de una persona que tiene una determinada longitud del fémur, uno utiliza las relaciones funcionales.

Se sugiere proponer tareas de investigación más allá del problema, relacionadas, por ejemplo, con otras fórmulas de la antropometría, rama que estudia las longitudes en el cuerpo humano. Por otro lado, analizar datos de nuestro gigante Margarito Machaguay, en función de las ecuaciones dadas, permitiría comprender que estas son solo una aproximación y que no son exactas cuando se habla de un caso particular.



Resolvamos 1 84MD

La IE Nuestra Señora del Rosario de Chachapoyas realiza, cada año, un festival abierto de juegos matemáticos. Uno de los que cuenta con más seguidores es el campeonato de tangram, que consiste en armar la mayor cantidad de figuras en 4 minutos. En esta última edición del festival, se inscribieron 60 personas, que compitieron en 10 equipos de 6 participantes cada uno.

En la final, la profesora de Matemática, Elizabeth Sánchez, decidió registrar los resultados usando variables, con el fin de que solo ella pudiera saber el puntaje de cada jugador, pues solo ella conocería los valores de las variables x, y, z. La tabla que presentó la profesora Elizabeth de un equipo en las tres temporadas fue la siguiente:

Los tangramistas

1) ¿Quién armó 3 figuras más que María en la primera temporada?

2) ¿Quién armó 4 figuras más que Paola en la tercera temporada?

3) ¿Quién armó 5 figuras menos que María en la segunda temporada?

4) ¿Quiénes armaron la misma cantidad de figuras en la tercera temporada?

5) ¿Quién armó más figuras en la segunda temporada?

6) Considerando las tres temporadas, ¿quién armó la mayor cantidad de figuras? ¿Por qué?

7) Reflexiona y responde. Para resolver los problemas anteriores, ¿cuál es el procedimiento común que has realizado?

8) ¿Es posible sacar conclusiones de una tabla así?

9) La profesora Elizabeth dice que z = 10 y la suma de las dos variables restantes, donde x es mayor que y, es igual a 32, mientras que su diferencia es igual a 6. ¿Cuál es el valor de cada variable? Utiliza este gráfico para que respondas.

32x

y 6

11 Incógnitas a nuestro alrededor

JugadorCantidad de figuras

Primera temporada Segunda temporada Tercera temporada

María x y z

Juan x-2 y-2 z-3

Rocío x+3 y+2 z+1

Rodrigo x-4 y-4 z+2

Paola x+5 y+1 z-4

Claudio x-6 y-5 z -3

Sí; por ejemplo, se puede concluir que Paola ha ganado

en la primera temporada, Rocío ha ganado la segunda

temporada y Rodrigo, la tercera temporada.

Rocío armó 3 figuras más que María en la primera

temporada.

María armó 4 figuras más que Paola en la tercera

temporada.

Claudio armó 5 figuras menos que María en la

segunda temporada.

Juan y Claudio.

Rocío anotó más puntos en la segunda temporada.

Rocío porque anotó la mayor cantidad de puntos,

considerando las tres temporadas.

Comparar las expresiones algebraicas con la misma variable.

Si se quita seis a la suma (32), se obtiene el doble

del número menor (26); luego, el número menor es

13 y el mayor es 13 + 6 = 19.

19

13

54



Gloria y Cristina viven a 20 km de distancia una de otra. Como parte de sus ejercicios, ellas salen los domingos a montar bicicleta, una hacia la casa de la otra al mismo tiempo. Gloria va a una velocidad constante de 30 m/min, mientras que Cristina va a razón de 70 m/min.

¿A cuántos kilómetros de la casa de Gloria se encontrarán?

20 km = m

Bicimates

1) ¿A cuántos kilómetros de la casa de Cristina se encontrarán?

2) ¿Pudo haberse elegido como incógnita la distancia hacia la casa de Cristina?

3) Observa este esquema de solución. Completa donde haga falta. Sea t el tiempo en el que se encuentran las dos amigas: Cristina avanza en t minutos: , Gloria avanza en t minutos:

1) ¿Qué actividad realizan las amigas?

2) Al momento de partir, ¿a qué distancia está una de la otra?

3) ¿Qué magnitudes reconoces en el problema? ¿En qué unidades están?

4) ¿Qué es lo que te piden en este problema?

1) ¿Cuál de las dos avanza más rápido? ¿Por qué?

2) ¿Tener diferentes unidades te permite solucionar el problema? ¿Por qué?

3) ¿Cuál es la incógnita? Represéntala en un gráfico lineal.

4) ¿El tiempo en el que se encuentran es igual para ambas? Explica.

4) Planteamos la ecuación: = 20 000 m

5) Resuelve para t.

6) ¿A qué distancia de la casa de Gloria se encontrarán?

4) ¿Cómo se relacionan estos dos tiempos?

5) Resuelve la ecuación planteada.

6) ¿A cuántos kilómetros de la casa de Gloria se encontrarán?

1) Representa la incógnita en un gráfico lineal.

2) ¿Cuántos minutos demora Gloria en recorrer x km?

3) ¿Cuántos minutos demora Cristina en recorrer (20 000 - x) m?

Colocamos estos datos en el siguiente gráfico:

Casa de Gloria Casa de Cristina

Casa de Gloria Casa de Cristina

Gloria Cristina20 km

Montar bicicleta.

La distancia entre la casa de Gloria y el lugar donde ambas se encontrarán.

Cristina avanza más rápido porque tiene la mayor velocidad.

No, pues no es posible operar directamente metros con kilómetros.

La distancia a la casa de Gloria desde el lugar donde se produce el encuentro.

Si parten en el mismo momento, el tiempo será igual para ambas.

Están a 20 km de distancia.

Distancia en km y velocidad en m/min.

Demora x/30 m/min.

20 000

20 000 m

Son iguales.

Se encontrarán a 6 km de la casa de Gloria.

70x = 30 (20- x), entonces

100x = 30 (20), x = 6

Se encontrarán a 20 - 6 = 14 km de la casa de Cristina.

Sí, y luego se encontraba lo solicitado por diferencia.

7030

30t + 70t

t = 200 minutos

Se encontrarán a 6 km de la casa de Gloria.

Demora (20 000 - x)/70 min .

x 20 km - x

x 20 000 - x

30t 70t

55


Resolvamos 1 86MD

Un enigmático avaro guarda un tesoro en 49 bolsas, cada una con la misma cantidad de monedas. El avaro dice: “Si en mi bolsa agrego tres monedas, tendré lo mismo que si a dos bolsas iguales les quito 7 monedas”.

¿Cuántas monedas tiene en cada bolsa?

Sueños de un avaro

1) ¿En qué parte del desarrollo has tenido dificultad para resolver?

2) ¿Cómo superaste esta dificultad?

3) Describe la estrategia empleada.

4) Trata de resolver este problema, pero utilizando el tanteo. Empieza a tantear suponiendo que las bolsas contienen 20 monedas. ¿Con qué números seguirás tanteando?

1) ¿Cuál es la condición con respecto a las bolsas de monedas?

2) ¿Cuántas bolsas tiene el avaro? ¿Es importante conocer este dato para resolver el problema? ¿Por qué? Explica.

3) ¿Qué es lo que necesitas encontrar?

1) El avaro habla acerca de cambios en las bolsas. ¿Cuántos posibles cambios menciona?

2) Si le das el valor de x a la cantidad de monedas que hay en una bolsa, ¿puedes escribir en términos de x lo que se dice

en cada cambio?

3) ¿Cómo están relacionadas las expresiones en los cambios?

5) ¿Por qué no conviene seguir tanteando con un número mayor que 20?

6) ¿Es más fácil resolver el problema tanteando o por medio de una ecuación? Explica.

2) ¿Cómo son estas dos expresiones de acuerdo con lo que dice el avaro? Plantea una igualdad.

3) Resuelve la ecuación y responde: ¿Cuántas monedas hay en cada bolsa?

En mi bolsa agrego 3 monedas

Si a dos bolsas les quito 7 monedas

1) Plantea una ecuación. Completa con expresiones de x.

Esto sería útil si se necesitara calcular

el número total de monedas que tiene el avaro.

El número de monedas en cada bolsa.

Que tienen la misma cantidad y que si agrego en una bolsa tres monedas, tendría lo mismo que si a dos bolsas les quitara 7 monedas.

49No.

Depende de los estudiantes.

Depende de los estudiantes.

Son expresiones iguales.

Son iguales. x + 3 = 2x -7

Primer cambio: x + 3. Segundo cambio: 2x - 7.

Habla de 2 posibles cambios.

x + 3 = 2x - 7; x = 10. Hay 10 monedas en cada bolsa.

x + 3

2 x - 7

Primer cambio: 20 + 3 = 23. Segundo cambio: 2 x 20 - 7 = 33.

Con 16 monedas: Primer cambio: 16 + 3 = 19. Segundo cambio: 2 x 16 - 7 = 25.Se observa que reduciendo la cantidad del tanteo se reduce la diferencia entre los dos cambios sugeridos, entonces conviene seguir reduciendo la cantidad de monedas.

Porque aumenta la diferencia de los cambios sugeridos.

Depende del criterio del estudiante.

Definir la incógnita del problema mediante un símbolo, identificar lo que no varía y plantear una ecuación.

56



Los científicos forenses pueden estimar la altura de una persona midiendo la longitud de ciertos huesos como el fémur, la tibia, el húmero y el radio.La tabla dada más abajo muestra las ecuaciones que relacionan la longitud de cada hueso y la altura de la persona, tanto para varones como para mujeres. Estas relaciones han sido encontradas por los científicos después de muchas investigaciones y de recolecciones de datos.

En la tabla:

Nota: Todas las medidas están en centímetros.

Notación Longitud de...F: FémurT: TibiaH: HúmeroR: RadioA: Persona

Hueso Varones MujeresFémur A = 69,089 + 2,238 F A = 61,412 + 2,317 FTibia A = 81,688 + 2,392 T A = 72,572 + 2,533 T

Húmero A = 73,570 + 2,970 H A = 64,977 + 3,144 HRadio A = 80,405 + 3,650 R A = 73,502 + 3,876 R

A matematizar el esqueleto

Usando las ecuaciones dadas en la tabla anterior y una calculadora, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema:

1) ¿Cuál es la altura aproximada de una mujer si su fémur tiene 46,4 centímetros de longitud?

2) ¿Cuál es la altura aproximada de un varón si su tibia tiene 50,2 centímetros de longitud?

3) Si una mujer tiene una altura de 164 centímetros, ¿cuántos centímetros más tiene su fémur que su tibia?

4) Si un varón tiene una altura de 1,8 m, ¿cuántos centímetros menos mide su radio que su fémur?

5) Si el radio de un varón mide 21,80 centímetros, aproximadamente, ¿cuánto tendrá que medir su húmero?

6) ¿Para qué longitud del húmero un varón tendrá la misma altura que una mujer? ¿Cuál es esa altura?

7) ¿Para qué altura común del varón y la mujer un hombre tendrá la misma longitud del radio?

8) Diseñen tres preguntas más que combinen las dimensiones de los huesos del varón y la mujer. Intercambien con otros grupos las preguntas formuladas por el equipo.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas en los que se necesitó plantear ecuaciones lineales con una incógnita. En la cotidianeidad, estas ecuaciones se utilizan para estimar costos, calcular dosis de medicamentos, estimar tiempos de viaje y metrados de pisos, hacer presupuestos, etc

Leyenda:

Húmero

Fémur

Tibia

Radio






Autoevaluación

A = 168,92 cm

A= 201,77 cm

8,18 cm más.

22,27 cm menos.

29,09 cm

H = 49,39 cm; A = 220,26 cm.R = 30,54 cm; A = 191,88 cm

Las respuestas pueden variar, por ejemplo:

¿Para qué longitud del fémur la altura del varón será 4 cm más que la de una mujer?

¿Para qué longitud del húmero la altura de un varón es 1 cm menos que la de una mujer?

Si el húmero de un hombre mide 45 cm, calcula la longitud de su radio.

57


Resolvamos 1 88MD

La tarea presenta dos juegos matemágicos de lectura del pensamiento. En el primer caso, se llega indefectiblemente al mismo resultado, sin importar con qué número se empiece; en el segundo, la solución está en función del número pensado. Ambos pueden modelarse mediante una ecuación lineal para explorar su secreto, donde la incógnita es el número pensado que será descubierto.

Las ecuaciones al rescateActividad

Comente con sus estudiantes que las ecuaciones también las utilizan los magos para diseñar trucos interesantes, como los de carácter numérico que aprenderán en esta lección. Se pueden investigar, además, otros trucos con barajas, cartas especiales y juegos de mentalismo con objetos. Los estudiantes pueden hallarlos en Internet, donde también se encuentran programados varios juegos interactivos. A continuación, usted debe realizar los trucos de la primera actividad. Hágalo con algunos estudiantes para motivar la investigación del juego mágico.

Ecuaciones lineales con una incógnita

Expresiones algebraicas Patrones numéricosFracciones numéricas



En este caso, se propone traducir el lenguaje verbal de cada indicación del truco al lenguaje algebraico y organizar esta información en una tabla.

Los estudiantes pueden tener dificultades al traducir las instrucciones en términos de las incógnitas. Las preguntas formuladas les ayudarán a investigar estos dos hechos de matemagia.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas de traducción simple, que se pueden modelar mediante una ecuación lineal de una incógnita.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación de la magnitud invariable, que, en este caso, es la cantidad de papapanes producidos. Se propone traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas y organizar la información en tablas para identificar invariantes en la situación problemática para plantear una ecuación lineal.






12







AlgecadabraT1

Los papanaderitosT2

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen analizar una situación supuestamente mágica, así como modelar algebraicamente ciertas situaciones lúdicas expresadas de manera verbal.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la traducción del enunciado verbal al lenguaje algebraico. Procurar que las traducciones y los cálculos sean realizados mentalmente por los estudiantes, para que efectivamente se motiven.

Los estudiantes pueden tener dificultades al reconocer la invariante en las condiciones del problema. Por ello, las preguntas de las fases uno y dos ayudarán a que el estudiante se familiarice con la situación y comprenda las relaciones existentes entre el número de bolsas y la cantidad de papapanes.


La tarea presenta una situación laboral en la que un grupo de estudiantes realiza un proceso productivo, donde hay que embolsar papapanes (panes de harina de papa). Para ello, deben encontrar algunas incógnitas para tomar decisiones acerca del número de bolsas necesarias. Se presentan dos posibilidades de agrupación: en la primera, reúnen ocho papapanes por bolsa, y en la segunda, las bolsas contendrán cinco papapanes. El último caso, implica utilizar 120 bolsas más. Estas condiciones servirán para responder a la incógnita del problema.




La tarea presenta una situación referida a la optimización del tiempo que toma llenar un reservorio con dos grifos que tienen diferente velocidad de llenado.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para la resolución de problemas de situaciones de contexto real que pueden ser modelados mediante ecuaciones lineales de una incógnita.

En este caso, se propone la descomposición del problema en problemas sencillos, mediante preguntas que deberán responder los estudiantes, así como la modelación de la situación, por medio de una ecuación lineal.Los estudiantes pueden tener dificultades al trabajar con las fracciones. Además, el hecho de que el tanque a ser llenado no está vacío puede generar dificultades para representar con una fracción el volumen que falta por llenar.

En este caso, se propone probar la situación con material concreto cambiando los datos del problema, organizar la información en una tabla y generalizar la solución para cualquier valor.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas de traducción simple de situaciones de juego utilizando lenguaje algebraico. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la traducción del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico para modelar la situación, ya que el enunciado puede resultar complejo.








Los montones enigmáticosT4

El agua es vidaT3




Los estudiantes deberán reflexionar sobre la utilidad de la estrategia y aplicarla cambiando las condiciones del problema. Los más avanzados pueden crear otros problemas similares que tengan la misma estructura; por ejemplo; el tiempo de trabajo de los obreros, el tiempo para hacer las tareas, el llenado de las piscinas, entre otros.

La tarea presenta un texto que describe un juego de magia que consiste en adivinar el número de fósforos que hay en el montón del medio, luego de haberlos distribuido en tres grupos. La limitación es que no se da información acerca del secreto del juego. En la exploración, los estudiantes tendrán oportunidad de descubrir ese secreto, haciendo uso de las ecuaciones.

A los estudiantes más avanzados se les puede proponer que inventen sus propios juegos de magia a partir del presentado en esta tarea. Por ejemplo, incrementando el número de montones o modificando las relaciones que se establecen en cada pasada. En los libros de Yakov Perelman y Martin Gardner, que se encuentran en Internet, puede investigar más trucos de este tipo.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la suposición de que el problema está resuelto; es decir, asignarle una variable y representar la fracción del reservorio que deberá ser llenado en una hora con cada uno de los grifos.

Los estudiantes pueden tener dificultades en la traducción del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico para la generalización de la situación problemática. Un error típico es olvidar que al inicio del problema se indica que el número de fósforos en cada montón era igual.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y comprobar numéricamente que su solución tiene sentido en el contexto del problema. Esto ayudará a fijar la comprensión de las relaciones establecidas. Asimismo, se les puede solicitar que resuelvan el problema trabajando con otra incógnita o mediante un gráfico.



Resolvamos 1 90MD

Alejandra encontró, en un viejo libro de Matemática recreativa, un capítulo titulado “Trucos numéricos”, donde halló estas dos páginas con instrucciones para realizar un par de juegos de lectura del pensamiento.

Algecadabra

1) ¿Por qué funcionan estos trucos?

2) Llama x al número pensado en cada truco. Completa la expresión, pero en términos de x.

3) ¿Puedes ver por qué funciona este truco?

4) Completa la expresión, pero en términos de x.

Piensa un número xMultiplícalo por 3.Súmale 5.Divídelo entre 2.Réstale 4.El resultado es:

Piensa un número xSúmale 5.Multiplícalo por 2.Réstale 4.Divídelo entre 2.Réstale el número pensado.El resultado es:

Primer juego Segundo juego

Secreto

12 Las ecuaciones al rescate

5) ¿Cómo obtienes el secreto para hallar el número pensado?

6) Si el resultado es R, plantea una ecuación para el resultado en términos de x.

7) Reflexiona y explica cómo harías para despejar x. ¿Tu explicación es similar a la dada en el secreto?

8) Has aprendido cómo inventar trucos algebraicos. Inventa un par de juegos y aplícalos a tus compañeros de la clase.

Sí, porque al simplificar la expresión construida, el

número pensado (x) se elimina y el resultado siempre

será tres.

El resultado está en función de las operaciones planteadas.

Debo proceder a realizar operaciones para despejar x

en cada resultado. Como hay una división entre 2, debo

multiplicar por 2, luego observamos los coeficientes de la

expresión resultante y dividimos entre 3 y queda x - 1,

finalmente sumamos 1 y obtenemos x.

(3x - 3) / 2 = R

x = (2R + 3) / 3 = 2R / 3 + 1, la explicación es la misma en términos de R.

x + 5 2(x + 5) 2(x + 5) - 4 [2(x + 5) - 4] / 2 [2(x + 5) - 4] / 2 - x 3

3x3x + 5(3x + 5) / 2[(3x + 5) / 2] - 4(3x - 3) / 2

Piensa un número. Piensa un número.

Multiplícalo por 4. Súmale 2.

Réstale 5. Multiplícalo por 2.

Divídelo entre 2. Réstale 2.

Finalmente réstale 3. Divídelo entre 2.

¿Cuál es el resultado? Réstale el número que pensaste.

El resultado será 1.

Al resultado lo multiplicamos por 2, le sumas 11, lo divides entre 4 y obtienes el número.

58



Una empresa ha donado a la IE Miguel Grau algunos kilos de papas y varios sacos de harina y de azúcar con los cuales los estudiantes del primer grado han decidido elaborar papapanes dulces, para venderlos en la feria escolar del fin de semana. Los estudiantes pensaron, inicialmente, hacer bolsas con 8 papapanes cada una; pero observaron que les sobraban demasiadas bolsas, así que decidieron hacer bolsas de solo 5 papapanes. De este modo, los papanaderitos utilizaron 120 bolsas más. Finalmente, ¿cuántas bolsas emplearon?

Los papanaderitos

1) Comprueba que tu solución cumpla con las condiciones del problema.

2) ¿Qué estrategia fue la que te ayudó a resolver el problema?

3) Resuelve el problema en forma gráfica. Completa el siguiente esquema y utilízalo para resolver.

1) ¿Qué es lo que van a hacer los niños de primer grado?

2) ¿Cuántos papapanes por bolsa se iban a empaquetar inicialmente?

3) ¿Qué ocurría si se hacían esos paquetes?

4) ¿Qué se decidió hacer?

5) ¿Cuántas bolsas más se utilizaron?

6) ¿Qué es lo que te piden en el problema?

1) El problema tiene dos estados: la propuesta inicial y la decisión final. ¿Qué cantidad no varía en ambos estados?

2) Completa, según corresponda: Como piden encontrar cuántas bolsas emplearon finalmente, entonces podemos denotar a esta cantidad con la letra y plantear una igualdad entre los estados.

1) Llamemos x al número de utilizadas finalmente.

2) Escribe, en términos de x, el número de bolsas que se iba a usar.

3) ¿Cuántos papapanes iba a contener cada bolsa?

4) Utiliza las expresiones anteriores para escribir el número total de papapanes.

5) Escribe, en términos de x, el número de bolsas utilizadas realmente.

6) ¿Cuántos papapanes se colocó en cada bolsa?

7) Utiliza las expresiones anteriores para escribir el número total de papapanes.

8) Como el número total de papapanes no varía, ¿qué se puede hacer con las expresiones halladas en las preguntas 4 y 7?

9) Resuelve la ecuación que has planteado.

10) ¿Cuántas bolsas utilizaron los papanaderitos?

Propuestainicial 8 8 8

Decisiónfinal 5 5 5

120

Van a elaborar papapanes dulces para la feria escolar.

8 papapanes por bolsa.

Hubieran sobrado demasiadas bolsas.

Hacer paquetes de 5 papapanes.

Se utilizaron 120 bolsas más.

El número de bolsas que utilizaron finalmente.

bolsas

x - 120

x

8 papapanes.

8(x - 120)

Hay 120 x 5 = 600 papapanes que salen de bolsas a las

que se quitaron 3 papapanes de cada una, entonces se le

quitó a 600/3 = 200 bolsas. Se usaron 320 bolsas.

5 papapanes.

8 8 8 8

5 5 5 ... 5 5 ... ... 5 55x

Se igualan ambas expresiones.

x = 320

Utilizaron 320 bolsas.

Si reemplazamos en ambas expresiones, se obtiene 1600 papapanes.

El planteo de la ecuación de acuerdo con las condiciones del problema.

El número de papapanes no varía.

dosx

59


Resolvamos 1 92MD

Para abastecerse mejor de agua potable, la junta vecinal del centro poblado de Ahuac ha construido un reservorio que tiene la forma de un cilindro recto. El reservorio se puede llenar mediante dos grifos: el grifo A lo llena en 2 horas, mientras que el grifo B lo llena en el doble de tiempo. Por problemas externos, ayer el reservorio solo se ha llenado hasta las dos quintas partes. Hoy la junta quiere que termine de llenarse lo más rápido posible, por lo que se han abierto los dos grifos a la vez. ¿Cuánto tiempo demorarán los grifos en terminar de llenar el reservorio?

El agua es vida

1) ¿De qué te hablan en la historia?

2) ¿Cómo se llena el reservorio?

3) ¿En cuánto tiempo llena cada grifo el reservorio?

4) ¿Cuánto se ha llenado ya?

5) ¿Qué te piden averiguar?

1) ¿Qué estrategia te fue más útil para resolver el problema?

2) ¿En cuánto tiempo llenan el reservorio desde cero si se abren los dos grifos?

1) Plantea la ecuación.

2) Resuelve la ecuación.

3) ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar el reservorio si se tienen abiertos los dos grifos?

3) ¿Cuánto se demorará si se sabe que hay una fuga que vaciaría el tanque lleno en 6 horas?

4) Si no hay fuga pero se coloca otro grifo que llenaría el reservorio solo en 3 horas, ¿cuánto tiempo será necesario ahora para llenar el reservorio si tengo los tres grifos abiertos?

1) ¿Qué fracción del reservorio falta por llenar?

2) Completa según corresponda: Supongamos que el problema está resuelto, es decir, que el necesario para llenar las partes del reservorio con los grifos abiertos es “x”.

3) ¿Qué fracción del reservorio se llena con el primer grifo en una hora? ¿Cuánto se llena en x horas?

4) ¿Qué fracción del reservorio se llena con el segundo grifo en una hora? ¿Cuánto se llena en x horas?

5) ¿Cuánto es lo que se debe llenar en x horas?

6) ¿Qué puedes formar con todo lo descubierto?

De un reservorio de agua que se debe llenar.

El primero lo llena en 2 horas; el segundo, en 4 horas.

En cuánto tiempo se terminará de llenar si se abren los dos grifos a la vez.

Mediante dos grifos.

Suponer que ya tenía el valor pedido; pero, en forma general, usarlo para plantear una ecuación.

En 4/3 de hora, es decir, 1 hora 20 minutos.

Se demorará 12/7 de hora.

Se demorará 12/13 de hora.

x/2 + x/4 = 3/5

x = 4/5

Se necesita 4/5 de hora, es decir, 48 minutos.

Los 2/5 del reservorio.Se llena 1/2 del reservorio.

Se llena x/2 .

Se llena 1/4.Se llena x/4 del reservorio.

3/5 del reservorio.

Una ecuación.

Los 3/5.

tiempo3/5 2

60



Camila ha encontrado una página de un antiguo libro de matemagia con la siguiente descripción:

Los montones enigmáticos

1) Utilicen fichas o semillas en lugar de fósforos. ¿Esto afecta el resultado del truco? Expliquen.

2) ¿Qué característica debe tener el número de semillas para poder hacer los montones?

3) Si el número de semillas fuera 18, 21, 24 o 27, ¿qué observan?

4) Hagan un registro de lo que ocurre. Pueden usar un formato similar al que aquí se presenta.

Cantidad total de semillas:

MONTÓN 1 MONTÓN 2 MONTÓN 3

5) Definan qué es lo que se va a hacer en cada paso, para esto, lean el “Efecto” y dividan las instrucciones en tres pasos.

6) ¿Este patrón se cumplirá siempre?

Lamentablemente, la parte donde estaba descrito el secreto se ha roto. ¿Será posible descubrir cómo se hace este truco?

Con tus compañeros, respondan las siguientes actividades y descubran el truco:7) ¿Cómo pueden demostrarlo sin necesidad de probar con

muchas cantidades distintas?

8) Planteen una generalización del problema, es decir, empiecen con un caso general.

9) Llenen un formato como el anterior, pero utilizando el caso general.

MONTÓN 1 MONTÓN 2 MONTÓN 3

10) ¿Llegaron a demostrarlo?

11) Redacten las instrucciones que faltan en el texto.

12) Realicen el juego con tus compañeros de aula.

EfectoEntrega una caja de fósforos a un amigo y tú vuélvete de espaldas.Mándale hacer, sobre la mesa, tres montones iguales de fósforos. Pueden constar de un número cualquiera de palitos de fósforo, con tal de que sea superior a 3.Ahora, el amigo debe tomar tres fósforos de cada uno de los dos montones ubicados en los extremos y añadirlos al montón central. Luego, debe contar el número de fósforos en algún montón extremo y sacar esa cantidad del montón del centro.

Juego de los montones

Montón 1 Montón 2 Montón 3Paso 1Paso 2Paso 3

Montón 1 Montón 2 Montón 3Paso 1Paso 2Paso 3

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las ecuaciones lineales con una incógnita. He visto que puede aplicarse a la vida cotidiana, así como a situaciones curiosas; por ejemplo, trucos de magia y entretenidos rompecabezas. Siempre cuidaré de escribir bien la ecuación en términos de la incógnita elegida.

Estos fósforos retirados debe colocarlos en alguno de los montones de los extremos.En este momento, el amigo debe nombrar libremente un número entre 1 y 12.A pesar de que ignoras el número de fósforos de los montones, con tu mágico poder lograrás que en el montón del centro quede un número de fósforos igual al número libremente nombrado por tu amigo.

Secreto



Autoevaluación

15

En el montón central siempre quedan 9 fósforos.

Sí, se cumple siempre.

Usando una variable para los montones de fósforos.

Generalizaremos mediante variables. Sea x la cantidad inicial de cada montón.

Sí se demostró.

“Sabiendo que tengo 9 fósforos en el montón central, se le dice al amigo que agregue o retire los fósforos de los montones que sean necesarios para dejar el número mencionado por él”.

No, porque interesan las cantidades y no el tipo de elementos.

Deben ser de más de doce semillas.

5 5 5 2 11 24 9 2

x x x x - 3 x + 6 x - 3 x - 3 9 2x - 6

61


Resolvamos 1 94MD

A los estudiantes más avanzados se les puede proponer que inventen sus propios juegos de magia, a partir de este. Por ejemplo, incrementando el número de montones o modificando las relaciones que se establecen en cada pasada. En los libros de Yakov Perelman y Martin Gardner, que se encuentran en Internet, puede investigar más trucos de este tipo.

Actividad

Comente con sus estudiantes que en muchas actividades se tiene que trabajar con cantidades desconocidas. Así, por ejemplo, uno no sabe de antemano cuántos boletos de una rifa se van a vender, cuántas personas consumirán un menú en un día determinado, cuánta gente adquirirá determinado producto, entre otras situaciones. Estas implican una incógnita, algunos de cuyos valores se verifican por medio de las ecuaciones, que son igualdades relativas entre expresiones algebraicas.

Ecuaciones lineales con una incógnita Transformaciones de equivalenciaExpresiones algebraicasOperaciones aritméticasPatrones numéricosRazones y proporcionesPorcentaje



En esta ocasión, se propone descomponer el problema en partes para el desarrollo sistemático de cada situación.






13







Crea tu propia copa de heladoT1

La edad de DavidT2

En esta tarea, se presenta a los estudiantes una situación comercial, cuya información la deberán extraer de una tabla, además de efectuar operaciones aritméticas, calcular costos y compararlos entre sí, según la variedad del pedido de cada amigo. La información se presenta a través de un formato de tabla de doble entrada.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren extraer información de una tabla de doble entrada. Asimismo, que efectúen las operaciones aritméticas necesarias para resolver las situaciones problemáticas planteadas.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de las condiciones particulares de cada caso, que nos plantean una operación aritmética diferente para la determinación del costo respectivo y las comparaciones correspondientes.

La tarea presenta un típico problema de edades. Generalmente, en este tipo de situaciones, se relacionan las edades de los participantes en el pasado, presente y/o futuro. En este caso, hay dos personajes: David y Anabel, así como dos momentos de trabajo: hace 15 años y hoy.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen la traducción de expresiones verbales complejas a expresiones algebraicas. Luego de ello, se espera que establezcan las ecuaciones necesarias para resolver la situación problemática.

Los estudiantes pueden tener dificultades al traducir el enunciado de la tabla de doble entrada a la operación aritmética que se encuentra directamente relacionada. Por ello se recomienda, como estrategia adicional, reformular las preguntas o parafrasear lo que se manifiesta en el texto.

El mundo está lleno de incógnitas

Para comprender algunas relaciones, se propone particularizar. Así, se pregunta, por ejemplo: “Si Anabel tuviera hoy 18 años, ¿cuántos años tendría David?”. Este paso es previo para que el estudiante logre establecer la relación general entre las edades de ambos en el presente.En este caso, se propone reconocer la incógnita identificando las ecuaciones, modelar cada condición y realizar el registro en una tabla.





La tarea presenta el caso de un agricultor que desea conocer la medida del cerco de un terreno cuadrado que ha dividido en 5 parcelas rectangulares, sabiendo cuánto mide el cerco de cada una de las parcelas.

Los estudiantes deberán describir la estrategia utilizada. Es posible modificar los datos, pero manteniendo su organización. Esto ayuda a reconocer el tipo de estructura del problema trabajado.

Los estudiantes pueden tener dificultades al verbalizar y generalizar los patrones, por lo que el docente deberá monitorear cuidadosamente este proceso.

La tarea presenta una actividad de investigación de patrones numéricos en una hoja de calendario. Por su estructura, el calendario es una fuente de relaciones y patrones numéricos que son posibles de explorar.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen la identificación de patrones numéricos, su verbalización y simbolización.

En este caso, se propone experimentar con valores particulares para identificar un patrón que será generalizado mediante símbolos.









Los enigmas del calendarioT4

El terreno del agricultorT3



Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar el acertijo de David; en cuyo caso, deberán dividirlo para facilitar su comprensión y trabajarlo por partes. Los errores típicos son no considerar los estados del tiempo y trabajar como si los datos solo correspondieran al presente. Por eso, es conveniente dar un plazo mayor a la lectura de la primera fase hasta que comprendan bien el enunciado.



Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen representar gráficamente una situación a partir de un enunciado verbal, así como relacionar sus dimensiones para plantear un sistema de ecuaciones.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cada condición que señala el problema; asimismo, en la identificación y definición de las incógnitas. Es bueno que los estudiantes reflexionen sobre el significado que, en el contexto del problema, debe tener cada letra que vayan a utilizar.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la búsqueda de regularidades en la distribución de los números del calendario. Asimismo, se debe orientar a los estudiantes para que, a partir de la experiencia, encuentren nuevas regularidades y creen nuevos trucos matemáticos.

En este caso, se proponen dos estrategias: la representación gráfica y el planteamiento de un sistema de ecuaciones. También se propone la lectura analítica, al dividir el enunciado en partes, para así poder simbolizar cada una de las condiciones.Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar las incógnitas que utilizarán y al traducir el enunciado que implica el concepto de perímetro. La primera pregunta de la tercera fase está diseñada para ayudar en este aspecto.

En el calendario, es posible explorar otras disposiciones; por ejemplo: una matriz de 5 x 5, una columna de 4 números o una disposición triangular, en cruz o en forma de T. Los estudiantes más avanzados pueden explorar algunas de estas disposiciones.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Adicionalmente, se pide que comprueben sus resultados. Esto es bueno, pues les ayuda a visualizar concretamente las relaciones que leyeron al inicio del problema y, en todo caso, a identificar errores en la obtención de la respuesta la correcta. También es importante que reconozcan la posibilidad de haber utilizado otra incógnita. Los estudiantes más avanzados pueden resolver el problema empleando como incógnita la edad de David.


Resolvamos 1 96MD

13 El mundo está lleno de incógnitas

En la heladería Sabor a fruta se exhibe esta lista de precios, la que informa al cliente sobre diversas opciones:

Utiliza esta información para calcular los costos sobre los pedidos que un grupo de amigos podría realizar.

Crea tu propia copa de helado

1) Paola elige para su copa una bola extra, nueces, salsa de chocolate, crema batida y chispas, ¿cuánto debe pagar?

2) Paola tiene un cupón que le rebaja S/.3,50 en el costo de cualquier copa de helado. Lo usó para pagar su pedido indicado en la pregunta 1 y le añadió cereza. ¿Cuánto debe pagar ahora?

3) Javier tiene 4 billetes de S/.10 y dos de S/.20. Pide una copa de helado con dos bolas extra, salsa de chocolate, crema batida y trocitos de chocolate. Después de pagar, ¿cuánto dinero le queda?

4) Si Javier le invita una copa de helado a Carmen, igual a la suya, ¿cuánto dinero le queda ahora?

5) Compara los costos del primer pedido de Paola con el de Carmen y calcula la diferencia entre el mayor y el menor costo.

6) ¿Con cuántos cupones similares al que tiene Paola se podría pagar un pedido que incluya dos bolas extra, nueces, cerezas, chispas, crema batida y trocitos de chocolate?

7) Reflexiona y responde: Con el dinero de Javier, ¿se podrán cubrir los gastos en helados de Paola, Carmen y de él mismo? ¿Cuánto le sobraría?

Sabor a fruta

Copa básica S/.4,00Bola extra S/.2,50Dos bolas extra S/.5,00Agregados varios: S/.1,00 cada uno

NuecesCerezasChispasSalsa de chocolateSalsa de carameloCrema batidaTrocitos de chocolate

4 + 2,50 + 1 + 1 + 1+1 = 10,50Debe pagar S/.10,50.

68 – 12 = 56, Le queda S/.56.

12 – 10,5 = 1,5,La diferencia es S/.1,5.

El pedido cuesta 4 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14 y se necesitarían 14 ÷ 3,5 = 4 cupones.

Sí, le sobraría S/.45,5.

10,50 – 3,50 + 1 = 8Debe pagar S/.8.

Tiene 40 + 40 = 80.Su pedido cuesta 4 + 5 + 1 + 1 + 1 = 12.Después de pagar le queda 80 – 12 = 68.

62



A David no le gusta que descubran cuántos años tiene. Como es profesor de Matemática, cuando alguien le pregunta acerca de su edad, él responde muy suelto de huesos con un acertijo. Por ejemplo, ayer, cuando Anabel le preguntó su edad, David contestó: “Mi edad es el doble de la tuya; pero, hace 15 años, era el triple”. ¿Con estos datos, será posible que Anabel pueda calcular la edad de David? Si es así, ¿cómo lo hará?

La edad de David

1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver este problema.

2) ¿Cómo puedes comprobar tus resultados?

3) ¿Pudo tomarse como incógnita la edad de David?

4) Resuelve el problema, pero tomando como incógnita la edad de David.

1) ¿Quiénes intervienen en la historia?

2) ¿Acerca de qué hablan los personajes?

3) ¿Se expresa alguna relación matemática entre las personas que intervienen?

4) ¿Qué es lo que se desea averiguar?

1) ¿Cuántos personajes hay?

2) ¿De cuántos momentos en el tiempo se hablan? ¿Cuáles son?

3) Si Anabel tuviera hoy 18 años, ¿cuántos años tendría David? Explica.

4) Si hace 15 años Anabel hubiera tenido 6 años, ¿cuántos años habría tenido David? Explica.

5) ¿Cómo organizarías las edades en distintas épocas?

a) Con un diagrama lineal

b) Con un diagrama cartesiano

c) Con una tabla de doble entrada

1) Completa la tabla que representa esta situación. ¿Qué significa la x mostrada?

2) ¿Qué relación hay entre las edades de David y Anabel hace 15 años?

3) Escribe una ecuación que represente esta relación.

4) Resuelve la ecuación y vuelve a completar la tabla.

5) ¿Cuántos años tiene David?

Hace 15 años HoyDavidAnabel

Hace 15 años HoyDavidAnabel

5) Resuelve el problema utilizando una tabla de doble entrada: Hace 5 años, la edad de Papo era tres veces la edad de Pipo. Dentro de 5 años, será el doble. ¿Qué edades tienen Papo y Pipo?

Hace 15 años Hoy

Anabel

Hace 5 años Hoy Dentro de 5 años

Sí, cuando David dice: “Mi edad es el doble de la tuya; pero, hace 15 años, era el triple”.

David y Anabel.

Acerca de la edad de David.

La edad de David.

Hay dos personajes.

Se habla del presente y el pasado.

Como dice David “Mi edad es el doble de la tuya”, entonces David tendría 36 años.

Como dice David “hace 15 años, era el triple”, entonces hubiera tenido 18 años.

Establecer las relaciones en el presente y el pasado mediante expresiones algebraicas organizadas en una tabla, plantear una ecuación y resolverla.

Hace 15 años, la edad de David era el triple que la de Anabel.

2x - 15 = 3(x - 15); x = 30

David tiene 60 años.

x-15=3(x/2 - 15); x = 60

2x - 15 2x x - 15 x

45 60 15 30

O

Verificando las condiciones del problema.

Sí, pero se hubiera trabajado con fracciones.

3x + 10 = 2(x + 10); x = 10Las edades de Papo y Pipo son 35 y 15 años, respectivamente.

Papo 3x 3x + 5 3x + 5 + 5

Pipo x x + 5 x + 5 + 5

David x - 15 x

x/2 - 15 x/2

63


Resolvamos 1 98MD

Un agricultor es propietario de un terreno cuadrado que ha sido dividido en 5 parcelas rectangulares. Para cercarlas, ha calculado un cerco de 300 metros para cada parcela. Si deseara hacer solo un cerco alrededor de todo el terreno, ¿cuál sería su longitud?

El terreno del agricultor


2) Resuelve lo mismo, pero considera ahora que el agricultor divide el terreno en cuatro parcelas iguales y el perímetro de cada una es de 300 m.


2) ¿Qué datos identificas en el problema?

3) ¿Qué forma geométrica tiene el terreno?


1) Dentro del terreno cuadrado, ¿qué otra figura geométrica reconoces?

2) ¿Cuál es el perímetro de estos sectores dentro del terreno?

3) ¿Qué procedimiento realizarías para hallar la solución al problema?

4) Plantea la relación entre los lados del terreno.

5) Utiliza las dos ecuaciones anteriores para determinar los valores de x e y.

6) ¿Cuál es tu respuesta?

1) Representa una de las parcelas y sus respectivas dimensiones.

2) ¿Es posible relacionar estas dimensiones con el perímetro de la parcela (P)? Determina la relación.

3) Para nuestro caso, el perímetro de la parcela rectangular es 300 m, ¿cómo se expresa la relación?

De cercar el terreno.Reconozco una figura de forma rectangular.

300 m.

Uso de los perímetros del cuadrado y del rectángulo.

El perímetro de cada parcela rectangular es 300 m.

Forma de cuadrado.

La longitud para un cerco único.

Si juntamos los lados menores de las 5 parcelas, se tiene el lado del terreno cuadrado; luego 5x = y.

x + y = 150; 5x = yResolviendo, x = 25 m, y = 125 m.

El perímetro del terreno es 500 m.

Sean x e y las dimensiones de cada parcela, donde:x lado = menor e y = lado mayor.

y

yx

x x x x x

Sí es posible.

P: perímetro de la parcela, luego:

2x + 2y = P; x + y = P/2

Para el caso P = 300, tenemos x + y = 150.

Hacer el diagrama de una de las parcelas y representar sus medidas.

El perímetro del terreno es 480 m.

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Una hoja de calendario esconde muchas cosas curiosas.

En esta actividad, tendrás la oportunidad de explorar estos enigmas, que luego podrás utilizar en tus sesiones de matemagia.

NOVIEMBRE 2012

Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

Los enigmas del calendario

7) ¿Cómo aplicarían esto para saber el resultado de la suma de estos números rápidamente? ¿Es posible saber cuáles fueron los sumandos?

8) Elijan tres números seguidos que estén en la misma columna y súmenlos.

9) Prueben con varios tríos. ¿Observan alguna relación entre la suma y el trío de números? Si no la observan, prueben con varios grupos hasta que logren descubrirla.

10)Escriban aquí lo que han descubierto.

11)¿Pueden probar que este hecho se cumple siempre?

12)¿Cómo pueden crear un truco matemágico a partir de esta curiosidad matemática?

13)Si les dieran la suma de cinco números en columna, ¿cómo descubrirían los sumandos?

1) Elijan cuatro números, en un cuadrado de 2 x 2, sumen los números de una diagonal y los números de la otra diagonal. ¿Qué observan?

2) Prueben con otros cuadrados. ¿Ocurre lo mismo?

3) Pueden escribir un texto que informe lo que han observado, ¿qué ocurre con las sumas?

4) ¿Pueden demostrar el hecho descrito, es decir, garantizar que se cumple para cualquier cuadrado de 2 x 2?

5) ¿Ocurrirá lo mismo con un cuadrado de 3 x 3? ¿Por qué?

6) Tomen ahora un cuadrado de 3 x 3 y sumen los nueve números que lo conforman. ¿Tiene esta suma alguna relación con los números sumados?

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las ecuaciones lineales con una incógnita, que me sirven para calcular con cantidades desconocidas. Se aplican en el comercio y la industria para planificar y estimar la producción, entre otras operaciones.

Con tus compañeros, respondan las siguientes incógnitas y resuelvan el problema:




Autoevaluación

Las sumas de las dos diagonales son iguales.

Las sumas de las diagonales también son iguales.

En una hoja de calendario, las sumas de las diagonales de un cuadrado de 2 x 2 son iguales.

Sí, porque se mantiene la misma relación de los números por columna y fila.

El cuadro, en general, es:

Diagonal 1: x + x + 8

Diagonal 2: x + 7 + x + 1

x x + 1 x + 7 x + 8

5 6 712 13 1419 20 21

Suma 117. Si tomamos el número central y lo multiplicamos por 9, obtenemos la suma.

Si se toma el número del centro y se multiplica por tres, se tendrá la suma de dichos números.

6 + 13 + 20 = 39 7 + 14 + 21 = 42

Se puede pedir que sumen tres números en columna y digan la suma. Usamos nuestros poderes mentales y descubrimos de qué números se trata.

La suma se divide entre 5 y se obtiene el número central. Se resta 7 y luego 14. A continuación, se suma 7 y después 14. Así se obtienen los otros cuatro.

Sí, pues los números están en razón aritmética de razón 7, y si se suman los dos extremos y se dividen entre dos, obtienen el del centro. También se puede hacer escribiendo los números como (x - 7), (x) y (x + 7).

Multiplicando el número central por 9. Sí, es posible, con el número central voy calculando los números vecinos.

5 + 12 + 19 = 36

2 3

9 10

13 14

20 21

65


Resolvamos 1 100MD

El caso presenta una situación típica en la producción de bienes. Se trata de proponer el número de productos que debe vender una empresa para que sus costos de producción se igualen al ingreso obtenido. A esto se conoce como estado de equilibrio. Es importante conocer la cantidad que da lugar al estado de equilibrio, ya que la empresa obtiene ganancias a partir de ventas mayores a esa cantidad.

Textos que esconden númerosActividad

Comente con sus estudiantes que en la vida cotidiana muchas veces es necesario trabajar con cantidades desconocidas. Por ejemplo, no sabemos con anticipación el número de asistentes al festival del colegio ni cuántos libros se sacarán el fin de semana de la biblioteca escolar. Sin embargo, aunque no conocemos sus valores, se necesita trabajar con estas cantidades para proyectar recursos, costos, ganancias, etc.

Ecuaciones lineales con una incógnita Costos fijos y variablesOperaciones con decimalesFraccionesRazones y proporciones



Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran modelar situaciones de producción en las que se demanda conocer el punto de equilibrio.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en diferenciar lo que se quiere decir con costo fijo y costo variable. En este caso, se propone desarrollar el razonamiento inductivo que oriente al estudiante a reconocer procedimientos de modelación para ingresos y egresos en la producción de bienes.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran plantear ecuaciones lineales a partir de la información verbal explícita.

En este caso, se propone subrayar los datos relevantes, así como elaborar un organizador de información que asocie la expresión literal y la simbólica, para el posterior planteo de una ecuación.

Los estudiantes pueden tener dificultades al traducir una expresión verbal a un enunciado simbólico. Por ello, las preguntas particularizan la situación consiguiendo que el estudiante logre comprenderla.

Se presenta una situación para modelarla mediante una ecuación lineal. Es un caso referido al costo combinado de tres objetos: un bizcocho, una caja y una bolsa.






14







Costos fijos, costos variablesT1

Dulces ecuacionesT2

Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender y establecer la correspondencia entre las expresiones literal y matemática de cada una de las relaciones de costo, ingreso, utilidad. Por ello, la actividad guía esta construcción, paso a paso.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación de las partes del texto que dan información para modelar la ecuación. También se debe reflexionar con los estudiantes, en relación con la importancia de una lectura atenta.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Además, se proponen otras posibles vías de solución que apelan a modelos gráficos, muy útiles sobre todo para aquellos estudiantes que tienen dificultades con los símbolos algebraicos.





Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el planteamiento y la solución de ecuaciones lineales con una incógnita.

En este caso, se propone organizar la información en una tabla que permita establecer las relaciones y las incógnitas. También, plantear y resolver una ecuación, así como aplicar la reducción a la unidad.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran identificar ecuaciones lineales, presentadas en formas distintas de la canónica ax + b = 0, a ≠ 0.

La tarea comprende una actividad lúdica que combina elementos de lógica con la solución de ecuaciones lineales, aunque la forma de presentarlas puede parecer compleja.








Detectives matemáticosT4

Calcular para crecerT3




Los estudiantes pueden tener dificultades al inferir conclusiones a partir de las relaciones lógicas que se dan. Deben identificar la ecuación de inicio, es decir, aquella que da la primera información para poder avanzar en la solución del problema. Esta ecuación de inicio debe relacionar una cantidad desconocida con alguna que conozcamos.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las relaciones lógicas entre los cajones donde se guardan los materiales de las áreas, así como en las formas de presentación de las ecuaciones, que pueden ser reducidas a otras más convencionales.

La tarea presenta una actividad típica en la gestión de la pequeña empresa: la proyección de los recursos para cumplir con determinados pedidos. En este caso, mediante una ecuación, doña Francisca debe proyectar los kilos de café que necesita comprar para abastecer su negocio.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en establecer relaciones proporcionales, asignando incógnitas a datos desconocidos. Esto implica formular ecuaciones para poder proyectar, de una manera objetiva, el número de kilos de café que necesita doña Francisca.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Luego explorarán diversas vías de solución para fijar el concepto de reducción a la unidad, que permite resolver muchos problemas de proporcionalidad directa.

Los estudiantes pueden tener dificultades al formular la relación de proporcionalidad que da origen a la ecuación que soluciona el problema. Por eso, en la fase tres, se plantean preguntas para guiar el razonamiento de los estudiantes, de manera que logren formular la igualdad.

En este caso, se propone razonar con lógica y resolver una ecuación.

Los estudiantes pueden inventar problemas similares a los aquí planteados.


Resolvamos 1 102MD

El grupo de cumbia La Miel ha decidido producir sus propios discos compactos. Los integrantes saben que los gastos fijos ascenderán a S/.2000 por mes y que producir cada disco cuesta S/.2. Ellos desean vender la unidad a S/.7.

Costos fijos, costos variables

Lee con atención y contesta:

1) Costo fijo: El costo fijo de un producto o servicio generalmente considera el alquiler del local, consumo de luz, pago de teléfono, etc., es decir, los gastos que de todas maneras deberemos hacer. Estos costos no dependen del número de unidades producidas.

¿Cuánto es el costo fijo?

2) Costo variable unitario: Es lo que cuesta producir una unidad del producto.

Es decir, es lo que cuesta producir un disco compacto, donde el costo de producción unitario es

3) Precio unitario de venta: Es el precio al cual vamos a vender cada unidad de nuestro producto.

¿Cuál es el precio unitario?

4) Costo total: Es la suma de los costos fijos y variables, que depende de la cantidad producida. Imagina que La Miel produce x discos, en cuyo caso la función costo total será:

C(x) =

5) Función ingreso: Es el dinero que ingresa como producto de la venta de los artículos. No considera la inversión, por lo que es mejor llamarlo ingreso bruto.

En nuestro caso, es I(x) =

6) Función utilidad: Es la diferencia existente entre el ingreso bruto y el costo total.

En nuestro caso, es U(x) =

7) Cantidad de equilibrio: Es la cantidad de un producto que se debe fabricar y vender para no ganar ni perder. Se calcula igualando el costo total con el ingreso bruto; es decir: C(x) = I(x).

Resolviendo esta ecuación, la cantidad de equilibrio es igual a

8) Reflexiona y responde: ¿Cómo representarías la utilidad en relación con el ingreso bruto y el costo total?

9) En las preguntas anteriores has representado algebraicamente. Expresa las funciones planteadas.

Textos queesconden números14

S/.2000 por mes.

S/.2.

S/.7.

2000 + 2x

5x - 2000

400 discos.

U (x) = I (x) - C (x)

7x

C (x) = 2000 + 2xU (x) = 5x - 2000I (x) = 7x

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Un bizcocho, envuelto en bolsa de plástico y en caja de cartón, cuesta S/.21. El bizcocho sin bolsa de plástico, pero con caja, cuesta S/.20. Si el bizcocho cuesta 3 veces lo que cuesta la caja, ¿cuánto costará un bizcocho envuelto en bolsa únicamente?

1) ¿Cómo puedes comprobar tus resultados?

2) Observa el siguiente gráfico, teniendo en cuenta que el precio del bizcocho es tres veces el precio de la caja:

3) ¿Qué opinas de esta estrategia gráfica?

4) Ahora resuelve el problema mediante una ecuación y por medio de la estrategia gráfica, pero imagina que el bizcocho cuesta 4 veces lo que cuesta la caja.

Precio del bizcocho Precio de la caja

Precio del bizcocho Precio de la caja

20

20

1) Si la caja costara S/.4, ¿cuánto costaría el bizcocho?

2) Te dan información de varios precios de objetos que están relacionados. ¿Cómo puedes representar estas relaciones?

a) Mediante tanteo.

b) Mediante una fórmula.

c) Mediante una ecuación.

El bizcocho con caja cuesta S/.20

1) Si la caja cuesta x, ¿cuánto cuesta el bizcocho?

2) Expresa con símbolos lo que se afirma en el problema.

3) ¿Cuánto cuesta la bolsa?

4) ¿Cuánto cuesta el bizcocho?

5) ¿Cuánto cuesta el bizcocho envuelto solo con una bolsa?

Dulces ecuaciones

1) ¿Con qué está envuelto el bizcocho?

2) ¿Cuál es el precio del bizcocho con caja y bolsa?

3) ¿Cuál es el precio del bizcocho con caja y sin bolsa?

4) ¿Qué relación hay entre el costo del bizcocho y el costo de la caja?


En bolsa de plástico y en caja de cartón.

S/.21

S/.20

S/.1

3x

Se puede comprobar verificando las condiciones del problema.

20 - x = 4x; x = 4, entonces la caja cuesta S/. 4 y el bizcocho, S/. 16. El bizcocho con bolsa costaría S/. 17.

Es una buena estrategia, pues permite visualizar la situación.

5 5 5 5

4 4 4 4 4

S/.15

S/.16

Costaría S/.16.

El bizcocho cuesta 3 veces la caja.

El precio del bizcocho envuelto solo en bolsa.

O

3x + x = 20 soles

67


Resolvamos 1 104MD

5) ¿Cuántos kilos de café necesita para preparar 42 tazas?

6) ¿Al día, cuánto de café necesita, aproximadamente, para cubrir las ventas?

7) ¿Qué es lo que quieres averiguar?

1día 15 días60 tazas

Doña Francisca sabe que ¼ de un kilo de café molido le rinde para 42 tazas de café pasado. Ella compra café cada quincena para que no se pierda el aroma. Por experiencia, sabe que al día vende un promedio de 60 tazas de café. ¿Para tener abastecido su negocio, cuántos kilos de café debe ella comprar quincenalmente, como mínimo?

Calcular para crecer

1) ¿Con ¼ de kg de café, cuántas tazas puede preparar?

2) Si se duplica la cantidad de café, ¿qué ocurrirá con la cantidad de tazas que puede preparar?

3) ¿Qué relación hay entre la cantidad de café y el número de tazas que puede preparar?

4) La razón: “kilos de café por taza”, ¿se mantiene constante? ¿Por qué?

1) Si en 15 días vende 15 x tazas de café, entonces tendrá tazas de café.

2) Plantea la proporción que te permita conocer los kilos de café que necesitas para preparar 900 tazas.

3) Resuelve la ecuación.

4) Aproxima al entero superior más próximo y responde. ¿Cuántos kilos de café necesita comprar para mantener abastecido el negocio?

1) ¿Qué es lo que hace el personaje del problema? 2) ¿Cuántos días tiene una quincena? 3) Del enunciado, ¿cuántas tazas de café vende al día?

4) ¿Qué quiere decir la oración: “la compra quincenal y la venta promedio de 60 tazas de café al día”?

En la columna central, se indica cuántos kilos de café se necesitan por taza. Completa: Para un día (60 tazas) necesita kg de café. Luego, para 15 días necesitará

4) El método que has utilizado se conoce como "reducción a la unidad". Discute con tus compañeros por qué creen que lleva ese nombre.

1) Para evitar utilizar fracciones, ¿qué hubieras podido hacer?

2) ¿Puedes resolver el problema con otra estrategia? Explica.

3) Una tabla también hubiese resultado útil. Observa:

kg x kg kg

42 tazas 1 taza 60 tazas

42 tazas.

Se duplica la cantidad de tazas y serán 84 tazas.

Hay una relación directamente proporcional.

Sí se mantiene constante, debido a que son directamente proporcionales.

60 tazas de café al día.

90060

900 tazas

Nota: ** = 900 tazas.

x = 5,36 kilos, aproximadamente.

Necesita comprar 6 kilos de café.

Vende café pasado.

Quiere decir que si conocemos el número de tazas vendidas en una quincena y la dividimos entre 15, el resultado será 60 tazas, que es lo que usualmente ella vende en el negocio.

Necesita ¼ de kilo para hacer 42 tazas.

Necesita 5/14 kilos para cubrir sus ventas.

La cantidad de café a comprar quincenalmente.

15 días.

Llevar el problema a números enteros utilizando fracciones equivalentes.

Se conoce así porque reducimos la información del requerimiento de café a 1 día.

5/14 75/14 kilos.

Sí, se puede calcular el requerimiento diario en kilos y multiplicar por 15.

¼ X42 **=

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Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y descubran a qué cajón pertenece cada área. Escriban este dato en el rótulo correspondiente.

Pistas diseñadas por Miguel:

Como se observa, los letreros que identifican a los cajones no están escritos. Para ello, Miguel ha diseñado 5 pistas.

Formulen un problema similar, utilizando cinco pistas lógico-matemáticas. Las dos primeras deben ser dos ecuaciones. Cambien sus pistas con las de otros grupos y vean si ellos pueden resolver su problema.

Detectives matemáticos

1) Los materiales de Comunicación están en el cajón cuyo número cumple con la siguiente condición: el número restado de su triple, dividido entre seis, es igual a la suma de 24 y el doble del número, dividido entre 18. ¿Cuál es el número?

2) Los materiales de Arte están en el cajón cuyo número es la solución de la ecuación:

La solución es:

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran ecuaciones de una incógnita. Ellas nos sirven para poder tomar decisiones acertadas, por lo que se emplean en diversas situaciones comerciales, productivas, científicas, entre otras.




Debo mejorar.

Autoevaluación

60 1507x - 5

=3x - 3

3) Los materiales de Inglés están en la misma columna que los materiales de Comunicación.

4) Los materiales de Matemática están en la primera fila.

5) Los materiales de CTA no están en el cajón cuyo número es la solución de la ecuación

¿Cuál es el valor de x?

Los materiales de CTA tampoco están en el cajón cuyo número resulta de reemplazar el valor de x hallado en la expresión

25 503x - 2

=x + 1

(x + 6) (x + 1)

Miguel es muy minucioso y ordenado, por eso archiva todos los materiales de las clases que se dan en su escuela. En cada cajón de su archivador, él guarda lo que corresponde a cada una de las siguientes seis áreas: Arte; Inglés; Matemática; Comunicación; Historia, Geografía y Economía; y Ciencia, Tecnología y Ambiente. El archivador se muestra en el dibujo:

El número es 6.

CTA Matemática

HGE Arte Comunicación

Inglés


x = 5.

x = 4

69


Resolvamos 1 106MD

Actividad

Comente con sus estudiantes que las funciones se encuentran en muchos aspectos de la vida diaria. Por ejemplo, a cada persona le corresponde un único DNI, el precio de una sandía depende de su peso, el tiempo para llegar a un destino depende de la velocidad del transporte, entre otros. En la vida cotidiana, las funciones se suelen representar mediante gráficos, tablas o en forma verbal, tanto en los periódicos como en otros medios de comunicación. Muchas veces, estas representaciones complementan noticias de interés nacional que debemos saber interpretar para estar correctamente informados.

Representación de funciones Operaciones con racionalesRelación de orden en RPlano de coordenadas


Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: verbal, tablas, gráficos, etc.CAPACIDAD

La tarea presenta información referida a un conjunto de personas, cuyas características proporcionadas son dos: edad y altura. El caso muestra los datos mediante un gráfico en el plano de coordenadas.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar representaciones discretas de relaciones funcionales.

Los estudiantes pueden tener dificultades al establecer la relación entre la edad y la altura. Resulta a veces complejo para ellos establecer esta relación en un par ordenado.

La tarea presenta un estudio de nutrición en dos osos con pocas semanas de nacidos, según el cual se relaciona la cantidad de alimentos por día con el crecimiento mensual de cada uno de ellos.

En este caso, se proponen la representación tabular y la gráfica, a partir de las cuales se podrán responder los cuestionamientos formulados.

Los estudiantes pueden tener dificultades para evaluar la forma más conveniente de registrar los datos del crecimiento mensual de los osos. Para ello, es posible organizar la información en una tabla o en un gráfico.






15







Francisco el encuestadorT1

Crecimiento de dos pequeños ososT2

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran, a partir de la información dada, representar de forma tabular o gráfica el crecimiento de estos animales.

Los estudiantes identificarán las estrategias utilizadas para resolver la situación problemática. También se plantea un nuevo caso de alimentación, a fin de que puedan ampliar lo aprendido. Además, los estudiantes pueden inventar situaciones similares a la presentada en esta actividad.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de la relación establecida entre el número de veces que a los dos osos se les alimenta al día y el incremento mensual de la altura de ambos. A partir de ello, los estudiantes podrán lograr diversas representaciones del crecimiento de los osos.


En este caso, se propone la lectura analítica para interpretar cada pregunta y poder responder.

La función de las funciones

Al desarrollar la tarea, se debe enfatizar que el gráfico representa una relación existente entre las edades y las alturas de los participantes. Es también importante que los estudiantes relacionen la edad con el eje x, así como con la primera coordenada en un punto de la relación. Del mismo modo, la altura está relacionada con la ordenada, es decir, con la segunda coordenada del punto de la relación.





Al desarrollar la tarea, enfatizar la lectura analítica de los enunciados y explicar cómo, al separar porciones de texto, podemos trabajar por tramos para graficar cada una de las funciones.

La tarea presenta las representaciones verbales de cuatro funciones que describen el recorrido de cuatro corredoras de bicicleta.

Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar los cálculos para determinar la velocidad de entrada y salida del agua en los depósitos, así como al desarrollar su interpretación posterior.Los estudiantes deberán reflexionar acerca del uso de la estrategia utilizada en este problema para poder aplicarla en situaciones similares.






Bicicleteadas funcionalesT4

Los depósitos de aguaT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la interpretación de la pendiente de las rectas mostradas que representan la forma como se llenan o vacían los dos recipientes. También es importante que el estudiante entienda lo que representa el punto de corte de las dos rectas.

La tarea presenta la forma como dos depósitos A y B funcionan: a medida que A se llena, B se vacía, lo que se representa en la gráfica. En este caso, hay que determinar las velocidades de entrada y salida, así como el momento en que ambos recipientes tienen igual cantidad de agua.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar los datos proporcionados por un gráfico, así como la capacidad de utilizar esta información para responder a las preguntas formuladas.

Los estudiantes pueden tener dificultades al extraer información de los textos y traducirla a un gráfico cartesiano. Es conveniente que, luego de que se haya trabajado con toda la clase, se repasen estos gráficos a la luz de los enunciados y se recalquen los puntos críticos.

Es posible realizar expresiones similares acerca de diversas situaciones cotidianas. El docente, como parte de la investigación, puede encargar a los estudiantes que inventen una situación similar a la mostrada y que la traigan para trabajarla en clase.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar, a partir de un texto continuo, elementos relevantes para establecer un gráfico funcional que representa la situación.

En este caso, se propone analizar la gráfica. Es importante indicar a los estudiantes que no basta con determinar la velocidad de entrada y salida, sino que también se debe analizar cada caso planteado, a fin de que se cumpla con la intencionalidad de la actividad.

En este caso, se propone la lectura analítica y la división en subproblemas.








Resolvamos 1 108MD

1) ¿Quién es el más alto?

2) ¿Quién es el más bajo?

3) ¿Quiénes tienen la misma estatura?

4) ¿Quién es el mayor?

5) ¿Quién es el menor?

6) ¿Quiénes tienen la misma edad?

7) Ordénalos de menor a mayor, según su estatura.

8) Ordénalos de menor a mayor, según su edad.

9) Reflexiona y responde: ¿Te fue necesario conocer exactamente la estatura y la edad de cada uno de los primos de Francisco?

10) El primo Julián no fue entrevistado el día que Francisco hizo el gráfico; pero se sabe que es más alto que Lucas y más bajo que Laura. Además, tiene la misma edad que Rosa. ¿En qué lugar colocarías el punto que representa a Julián? ¿Es el único lugar?

Francisco el encuestadorFrancisco ha aplicado una encuesta a sus primos, con el fin de saber sus respectivas estaturas y edades. Con los datos recogidos, construye la gráfica mostrada.

La función delas funciones15

José

Edad

Laura Luis

Rosa Lucas

Altura

José

Edad

Laura Luis

Rosa Lucas

Altura

El más alto es José.

Rosa es la más baja.

Laura y Luis.

El mayor es Lucas.

Las menores son Rosa y Laura.

Rosa y Laura.

Rosa, Lucas, Luis o Laura y José.

Rosa o Laura, José, Luis y Lucas.

Si tengo el gráfico, no es necesario.

El punto que representa al primo Julián se puede mover en la recta indicada por la flecha.

70



Ciertos estudios de nutrición en osos con pocas semanas de nacidos concluyen que: (i) si el pequeño oso come 3 veces al día, crecerá 5 cm al mes; (ii) si come 2 veces al día, crecerá 3 cm al mes; y (iii) si come solo una vez al día, crecerá apenas 1,5 cm al mes.Supón que al inicio del mes de enero, dos pequeños osos, Antojo y Bolita, miden 48 y 52 cm, respectivamente, y se les alimentó de esta manera:Antojo: 2 veces al día en enero y febrero, 3 veces al día en marzo y abril.Bolita: 3 veces al día en enero, 2 veces al día en febrero y 1 vez al día en marzo y abril.

¿Cuánto medirán a fines de abril? ¿En qué mes, en algún momento, alcanzarán la misma altura?

Crecimiento de dos pequeños osos

1) ¿Qué estrategias te han sido útiles para resolver las preguntas propuestas?

2) ¿Cuánto hubiera medido el oso más pequeño si se le hubiera alimentado 3 veces al día, de inicios de enero a fines de abril?


2) ¿Qué datos identificas en el problema?


1) Necesitas especificar lo que crece cada oso en cada mes, ¿qué estrategia te conviene aplicar?

2) Respecto al crecimiento de los osos, completa la siguiente tabla, indicando los datos en centímetros:

1) Elabora un gráfico en la cuadrícula de la derecha, donde registrarás lo que mide cada oso en los meses indicados, considerando en el eje horizontal los meses y en el vertical la medida (cm) de los osos.

2) En la tabla, se quiere indicar lo que mide cada oso al final de cada mes. Completa

3) ¿Cuánto medirán Antojo y Bolita a fines de abril?

4) ¿En qué mes, en algún momento, han alcanzado la misma altura?

Osos Inicio Enero Febrero Marzo AbrilAntojo 48 cmBolita 52 cm

Osos Enero Febrero Marzo AbrilAntojoBolita

Del crecimiento de los osos pequeños, en relación con el tipo de alimentación que reciben.

Las medidas iniciales y el número de centímetros que crecen por mes.

La estatura de dos pequeños osos al final del mes de abril.

Conviene hacer una tabla.

Medirán 64 y 63 cm, respectivamente.

En el mes de abril.

Hacer una tabla y graficar.

El más pequeño, Antojo, mediría 48 + 5 + 5 + 5 + 5 = 68 cm.

51 cm 54 cm 59 cm 64 cm

57 cm 60 cm 61,5 cm 63 cm

Altura (cm)

Meses

70

60

50

40

0Ini Ene Feb Mar Abr

3 cm 3 cm 5 cm 5 cm

5 cm 3 cm 1,5 cm 1,5 cm

71


Resolvamos 1 110MD

Dos depósitos de agua A y B funcionan de la siguiente forma: a medida que A se va llenando, B se va vaciando, lo cual se muestra en la gráfica.

a) ¿Cuál es la velocidad de entrada y salida del agua? b) ¿En qué momento A y B tienen la misma cantidad de agua?

Los depósitos de agua

1) ¿Qué cantidades se representan en los ejes de coordenadas?

En el eje horizontal se representa En el eje vertical se representa

2) ¿Cuál de las gráficas corresponde al recipiente que se va llenando?

3) ¿Qué deduces al observar la gráfica del otro recipiente?


1) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema?

a) Buscar regularidades.

b) Calcular directamente.

c) Utilizar la gráfica.

2) Describe de qué manera varía el contenido en cada recipiente.

3) ¿Cómo calcularías las velocidades de entrada o salida del agua en los recipientes?

1) Comienza por lo más fácil, ¿a los cuántos minutos termina el proceso de vaciado de B?

2) Calcula la velocidad de salida del agua del recipiente B.

3) Calcula la velocidad de entrada del agua al recipiente A.

4) ¿En qué momento A y B tienen igual cantidad de agua?

5) ¿Qué cantidad de agua contiene cada recipiente a los 5 minutos?

1) ¿Qué hiciste para determinar el instante en el cual ambos recipientes tienen igual cantidad?

2) En el instante en que B queda vacío, ¿qué cantidad de agua tiene A?

3) ¿Al cabo de qué tiempo B contiene la mitad de su capacidad inicial?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tiempo (min)

Volumen(l) 175

150125100

755025

En A el contenido aumenta de modo uniforme y en B disminuye también de modo uniforme, lo que es característico de las gráficas lineales.

Para el recipiente A basta con dividir el volumen de agua que ingresó entre el tiempo transcurrido; de modo similar para el recipiente B, basta con dividir el volumen de agua que salió entre el tiempo transcurrido.

La línea de color rojo, porque empieza en el origen y representa un incremento del volumen

Al inicio, cuando t = 0, contiene 150 litros, y conforme pasa el tiempo, el contenido disminuye. Su gráfica es la línea azul.

Hallar la velocidad de entrada y salida del agua. Tambien el momento en el que los depósitos tienen la misma cantidad de agua.

A los 7,5 minutos.

Ubicar el punto en que se cruzan ambas gráficas y ver su posición en el eje referido al tiempo.

A los 7,5 minutos, A tiene 75 litros.

A los 3,75 minutos.

A los 5 minutos, se llenan 50 litros; luego la velocidad es 50 / 5 = 10 litros por minuto.

Observando el gráfico, es el instante en el que las dos líneas se cruzan, lo que sucede a los 5 minutos. En ese instante, ambos tienen 50 litros.

En A, al transcurrir 5 minutos hay 10(5) = 50 litros.

En B, al transcurrir 5 minutos hay 150 – 20(5) = 50 litros.

150 / 7,5 = 20 litros por minuto.

el tiempo en minutos.el volumen en litros.

72



Bicicleteadas funcionales

1) ¿Cuántas gráficas lineales tendrán que hacer?

2) ¿Qué va a relacionar cada gráfica?

3) ¿Al inicio, cuánto es lo que ha recorrido cada ciclista?

4) ¿Al final, cuánto habrá recorrido cada una?

5) ¿Creen que es una buena estrategia dividir la carrera en tramos? Expliquen.

6) ¿En cuántos tramos dividirías la carrera? Fundamenten su respuesta.

7) En el primer tramo, ¿quién iba primero?

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y hagan una gráfica que represente las carreras de las cuatro ciclistas.

8) Realicen la gráfica para cada una de las competidoras, en el siguiente plano de coordenadas.

9) ¿Cómo se presentan estas posiciones en el gráfico?

10)¿Cuáles fueron las posiciones finales?

11)¿Esta es la única respuesta posible? ¿Por qué? Expliquen.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la dependencia funcional. Esta es útil para estudiar situaciones de cambio; por ejemplo: la población del Perú cambia con el tiempo, la ganancia de un comerciante varía dependiendo de sus ventas en el día, mis notas suben o bajan según el esfuerzo que ponga en mis estudios, entre otras circunstancias.






Autoevaluación

Sonia se retiró

Aurora

Tiempo (min)

Distanciarecorrida(km)

Maite

Raisa3

6

El locutor de la comunidad de Tambopata está narrando la competencia entre cuatro participantes por el premio al mejor ciclista ecológico, en una carrera de 6 km. Al finalizar la contienda, el locutor comenta:

• Aurora salió rápidamente situándose primera; pero, a medida que iba pasando el tiempo, su velocidad fue disminuyendo y llegó tercera a la meta.

• Maite siempre mantuvo una velocidad constante, lo que le permitió llegar segunda.

• Raisa no empezó muy bien; pero, poco a poco, aumentó su velocidad, de tal forma que se adelantó a todas sus contrincantes.

• Sonia fue rápida en la salida; pero cuando intentaba ponerse primera, tropezó y se cayó. Después de levantarse, continuó, aunque con dificultad. A mitad de la carrera, el dolor le impidió seguir y se retiró.

4 gráficas lineales.

Cada gráfica va a relacionar distancia/tiempo.

Al inicio no han hecho ningún recorrido.

Cada una habrá recorrido 6 km.

Sí, porque permite graficar cada tramo a partir de una parte de la información.

Respuesta a criterio del estudiante. 1.a Raisa, 2.a Maite y 3.a Aurora. Sonia se retiró.

Los puntos finales del extremo derecho de cada gráfico muestran la posición final de cada competidora.

No, porque se pueden utilizar diferentes velocidades (diferentes inclinaciones); diferentes tramos para cambio de velocidad.

Aurora iba en primer lugar.

73


Resolvamos 1 112MD

Números en todas partesActividad

Comente con los estudiantes que a la matemática se le conoce como la ciencia de los patrones. Los matemáticos profesionales tratan de encontrar estos patrones tanto en la naturaleza como en el comportamiento social y en la actividad económica. Los médicos, al observar a un paciente, recurren a patrones de síntomas para hacer el diagnóstico; los agentes de seguros, al investigar un robo, emplean patrones de comportamiento para detectar a los mentirosos; etc. Es posible, entonces, realizar predicciones sobre la base de patrones numéricos, pues tiene estructuras sólidas que garantizan la validez de la predicción.

Principio aditivoPrincipio multiplicativo


Resuelve problemas que requieren el uso de patrones.CAPACIDAD

La tarea presenta un problema en el que se requiere analizar la forma como padre e hijo planifican los gastos que van a efectuar durante el periodo de vacaciones.

La situación presenta un problema de disposición de huairuros mediante ciertas reglas. Es claro que, al dividir utilizando repetidamente un conjunto de reglas, las disposiciones finales se pueden hallar por medio de un patrón general. La tarea será encontrarlo.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren tanto la identificación de patrones como su verbalización y generalización, que permitan responder a una situación más compleja, pero relacionada con la situación inicial.






16







Planeando las vacacionesT1

Ponte pilas con las pilasT2

En este caso, se propone organizar la distribución de los gastos diarios en una tabla e identificar un patrón que permita la generalización de los gastos por día.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución que involucren analizar situaciones problemáticas, reconociendo similitudes o diferencias.

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar la regularidad entre los elementos de las tablas en cada caso. Hay que ayudarlos a hacerlo correctamente.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes logren comprender la diferencia entre magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales. Al elaborar sus respuestas, el estudiante debe estar atento a la relación existente entre las cantidades de la primera y segunda fila de cada caso.

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar la regla general de disposición final de los huairuros. El docente debe desarrollar las preguntas de la tercera fase con cuidado, monitoreando este proceso.


Al desarrollar la tarea, se debe enfatizar la comprensión de las reglas según las cuales se movilizan los huairuros. Hay que hacer los experimentos con algunos casos particulares.

En esta ocasión, se propone particularizar (estrategia muy útil para comprender el problema), ya que así uno puede experimentar concretamente lo que se nos dice en forma general. Así, es posible extrapolar el conocimiento particular a la situación general dada. En otras palabras, para familiarizarse con la estructura de una situación problemática, se recomienda experimentar con ella mediante casos particulares. Es una

Operaciones aritméticasPatrones numéricosPropiedades geométricas

Los estudiantes deberán reflexionar acerca de la experimentación inicial y sobre cómo se registran los datos para poder identificar el patrón.Los estudiantes más avanzados pueden simbolizar la regla, haciendo uso del álgebra.





La tarea presenta un caso del ámbito comercial que involucra operaciones aritméticas, el cual puede ser resuelto mediante patrones numéricos. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren cálculos aritméticos no rutinarios, mediante patrones.

En este caso, se propone elaborar una tabla con todas las posibilidades de compra que cumplan con las condiciones del problema y que permitan identificar un patrón.






Dulces amigosT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la relación que se construye, a partir del enunciado, es entre dos variables, donde no se conoce la cantidad que representa ninguna de ellas. Por eso, se asignarán valores a una para calcular el valor de la otra. Debe recalcarse que los pares de valores que dan solución a la relación deben ser enteros.

Los estudiantes pueden tener dificultades al hallar por tanteo el primer par de soluciones. Este primer tanteo lo deben hacer de manera reflexiva, pues, de lo contrario, pasarán demasiado tiempo buscando una solución. También suele ser difícil comprender que las soluciones formen una secuencia numérica. Observándolas se descubre el patrón de formación de cada una de ellas.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y, luego, explorar diversas vías de solución.Para los más avanzados, se pueden proponer tareas, como investigar el modo en que se resuelven ecuaciones con soluciones enteras del tipo ax + by = c. La situación presentada puede ser modelada mediante una de ellas, a las cuales se les conoce con el nombre de "ecuaciones diofánticas", en honor al gran matemático Diofanto de Alejandría.

En este caso, se propone elaborar una tabla para organizar la información y, con los datos que ella proporciona, identificar el patrón numérico.

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar el patrón porque realizan directamente los cálculos en los primeros niveles y no dejan indicadas las operaciones. Si los estudiantes operan, pierden la pista de lo que está ocurriendo y no pueden relacionar el número de personas que conocen el rumor con el tiempo transcurrido. También les es difícil generalizar el patrón a un tiempo t.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver situaciones mediante patrones numéricos aditivos y multiplicativos.

La tarea presenta un modelo matemático con el que se propagan los rumores. Es una situación relacionada con los patrones multiplicativos y con las progresiones geométricas.






Al desarrollar la tarea, se debe resaltar el crecimiento del número de personas que conocen el rumor. También es importante visualizar que este número se incrementa en una razón que tiene que ver con el tiempo transcurrido. Es decir, se puede afirmar que el número de personas que conocen un rumor está en función del tiempo. Encontrar esta relación de manera explícita es parte de la tarea de exploración.

Este modelo puede ser explorado desde múltiples perspectivas. Los estudiantes más avanzados pueden investigar situaciones sociales en las que se presenta este crecimiento geométrico. En algunas estafas financieras se ha utilizado este patrón, al que se le conoce como "la estafa piramidal".


La matemática de los rumoresT4


Resolvamos 1 114MD

1) ¿Observas alguna regularidad? Explícala.

2) Con estos datos, ¿podrías decir cuánto dinero le regalaron?

3) Agrega algunos valores más a la tabla, que mantengan la regularidad que observaste.

Jorge, el papá de Federico, también hace cuentas. Él considera que la familia debe gastar cada día una suma fija. Algunas de sus cuentas se ven en la tabla.

4) Puedes decir ¿cuánto piensa gastar Jorge por día?

5) ¿Observas alguna regularidad? Descríbela.

6) ¿Puedes añadir otros valores a la tabla?

7) Reflexiona sobre los cálculos de Federico y su padre. ¿Observas similitudes entre ambas tablas?

8) En Matemática se estudia la proporcionalidad, ¿a qué tipo pertenecen las regularidades analizadas?

Números en todaspartes16

Planeando las vacacionesLa familia de Federico planea su viaje de vacaciones. Él observa cómo sus padres hacen cuentas, consultan precios y calculan cuántos días pueden disfrutar del paseo.

A Federico sus abuelos le regalaron dinero que guarda para este momento. Como siempre ha sido un chico muy organizado, considera que va a gastar cada día la misma cantidad de dinero; pero esta depende de los días que van a durar las vacaciones.

En la tabla siguiente se ven algunos cálculos que hizo Federico, considerando distintas posibilidades.

Cantidad de días 10 5 20 8 16Gasto diario posible en S/. 4 8 2 5 2,5

Cantidad de días 10 5 20 8 16

Gasto posible diario S/. 4 8 2 5 2,5


Gasto total 300 420 840 600 720


Gasto total 300 420 840 600 720

Sí, el producto de cantidad de días por gasto diario es el mismo.

Piensa gastar S/.60 diarios.

Sí, el cociente del gasto total y la cantidad de días es el mismo.

A la proporcionalidad inversa y directa, respectivamente.

En la primera el producto es constante y en la segunda el cociente es constante.

Sí, S/.40.

40 4

1 10

20 30

1200 1800

74



4) Registra tus hallazgos en una tabla.

5) ¿Puedes visualizar algún patrón? Descríbelo.

6) ¿Cuántos pasos demoras en llegar a una “fila de unos” si empiezas con 30 huairuros?

Imagina que tienes una pila de huairuros frente a ti. La divides en mitades y colocas cada mitad en dos montoncitos, uno a la derecha y otro a la izquierda. Si hay un número impar en la pila original, deja un huairuro en el medio. El proceso de división se repite en cada una de las nuevas pilas. Por ejemplo, con 5 huairuros se tiene:

Observa que, en el paso 2, los tres huairuros se dividieron en la misma forma que los cinco huairuros iniciales. Después de tres pasos, has logrado tener cinco pilas con un huairuro en cada una y ya no puedes seguir dividiendo.¿Cuántos pasos se necesitan para llegar a un final similar empezando con 30 huairuros?

Ponte pilas con las pilas

1) ¿Fue más conveniente experimentar con problemas más sencillos? ¿Por qué?

2) ¿Cómo organizaste los datos encontrados?

3) ¿Puedes hallar una regla general para saber en cuántos pasos terminarás si conoces el número de pilas? Exprésalo.

Consigue 10 semillas y utiliza un tablero cuadriculado para experimentar.

1) Experimenta con 2 huairuros.

2) Experimenta con 3 huairuros.

3) Experimenta con otras cantidades de huairuros.

N.° huairuros

N.° pasos

1) ¿Cómo se dividen los huairuros cuando su número es par?

2) ¿Cómo se dividen los huairuros cuando su número es impar?

3) ¿Por qué el juego termina en el paso 3?

1) ¿Es conveniente hacer todo el proceso empezando desde 30?

2) ¿Cómo se desarrollaría el proceso si utilizáramos 6, 7, 8, 9 o 10 huairuros?

3) ¿Crees que existe alguna relación entre el número de huairuros iniciales y el número de pasos?

4) ¿A que se llama un “paso”?

5) ¿Por qué hay 3 huairuros en el grupo central en el paso 2? Explica cómo obtienes tres huairuros.


Sí, porque se pudo establecer un patrón.

n 4; si el número es par: 4 (n/2) - 5 = 2n - 5; si el número es impar: 4(n-1)/2 - 5 = 2n - 7

Se organizaron en una tabla para poder analizar mejor la información.

Con 2 huairuros se obtiene 1 paso.

Con 3 huairuros se obtiene, también, 1 paso.

A realizar por los estudiantes.

Cada dos números consecutivos los pasos aumentan en una razón igual a 4, a partir de 4 y 5 huairuros.

Se demora 55 pasos.

No es conveniente, el proceso sería muy extenso.

Se realizarían 7, 7, 12, 12 o 18 pasos, respectivamente.

Es posible, pues el juego tiene una estructura.

Se divide la pila en mitades y se pone una mitad en una pila a la derecha y otra a la izquierda.

Se procede igual que en el caso anterior y el huairuro sobrante se coloca al centro.

Porque del paso 1 pasa el huairuro central y de cada extremo se agrega un huairuro, en total tres.

Determinar el número de pasos empezando con 30 huairuros.

Porque todos los números son menores que 2 y ya no se pueden dividir.

Se llama un paso a cada etapa de división de los huairuros.

Sí.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 1 3 3 7 7 11 11 15 15

75


Resolvamos 1 116MD

Mario está jugando con cuatro amigos y deciden comprar chocolates. Entre todos reúnen S/.8 y acuerdan que él vaya a comprar los chocolates a la bodega del barrio. Para repartirlos fácilmente se le pide que el número de chocolates que compre sea múltiplo de 5. Además, debe gastar todo el dinero reunido. El niño acepta el encargo, pero en la bodega encuentra que solo hay chocolates de 50 y 30 céntimos. ¿Cuál es el número de chocolates que debe comprar Mario?

Dulces amigos

1) Si no le hubiesen pedido a Mario un número de chocolates múltiplo de cinco, ¿habría una sola respuesta?

2) Describe la estrategia empleada que te permitió llegar a la respuesta.

1) ¿Quiénes participan en la historia?

2) ¿Qué cantidades de chocolates podría comprar Mario?

1) Completa según corresponda:

Las cantidades de compra se conocen, pero podemos asumir que las conocemos. Para ello, reemplazaremos a cada cantidad mediante una ; por ejemplo, x e y.

2) Define las incógnitas.

x:

y:

1) Haremos una lista organizada de todas las posibilidades. Para ello, completa la tabla según corresponda:

2) ¿Observas algún patrón para organizar la búsqueda de soluciones?

N.° chocolates de S/. 0,50 (x)

0 1 2 3 4 5 6 7

N.° chocolates de S/. 0,30 (y)

¿Es posible esta compra?

Total de chocolates

N.° chocolates de S/. 0.50 (x) 1 4 7 10 13 16

N.° chocolates de S/. 0.30 (y)

Total de chocolates

3) ¿Es posible comprar exactamente 25 chocolates y gastar todo el dinero?

4) ¿Las razones de cada secuencia de soluciones están relacionadas con algunos números de la ecuación? ¿Con cuáles?

3) ¿Qué otra condición debe cumplir Mario al comprar?

4) ¿Qué es lo que se desea averiguar?

3) Escribe la ecuación que relacione las incógnitas.

4) ¿Cuántas incógnitas tiene esta ecuación?

5) ¿Si le das un valor a una de las incógnitas, se puede hallar la otra? Explica.

3) Llena la tabla de soluciones usando el patrón encontrado.

4) ¿Cuántos chocolates debe comprar Mario?

Mario y sus cuatro amigos.

5, 10, 15, 20, …

Debe gastar los S/.8 reunidos.

El número de chocolates que Mario comprará.

no

letra

Número de chocolates de 50 céntimos

Número de chocolates de 30 céntimos

Si doy un valor a una de las incógnitas, queda una ecuación de primer grado con 1 variable y es posible hallar la solución.

Habría varias respuestas. Por ejemplo, 4 chocolates de 50 céntimos y 20 chocolates de 30 céntimos.

A resolver por el estudiante.

No es posible.

Las razones son 3 y 5, que son los coeficientes de la ecuación.

Las soluciones para x aumentan de tres en tres desde 1. Las soluciones para y bajan de 5 en 5, desde 25.

Como el número debe ser múltiplo de cinco, debe comprar 20 chocolates, 10 de 30 céntimos y 10 de 50 céntimos.

Tiene dos incógnitas.

50x + 30y = 800 o 5x + 3y = 8

Sí.

25 20 15 10 5 0

26 24 22 20 18 1626,6 25 23,3 21,6 20 15

No Sí No No Sí No No Sí

26 24 22

76



La matemática de los rumores

1) Hagan un diagrama de árbol para representar cómo se extiende la noticia:

2) Completen la tabla adjunta.

Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema:3) ¿Cuántas personas, en total, conocen la noticia después de

24 minutos?

4) ¿Cuántas personas conocen la noticia en 1 hora?

5) ¿Cuánto tiempo demorarán en conocer la noticia todos los habitantes del pueblo?

6) ¿Qué opinan de este tipo de crecimiento? ¿Es rápido o lento?

Vez que se cuenta la noticia

Tiempo transcurrido

(minutos)

N.° de nuevas personas que

conocen la noticia

N.° total de personas que

conocen la noticia

0 0 1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

¿Se han puesto a pensar cómo se difunden tan rápido los rumores? Hoy en día, gracias a la Internet, un rumor puede ser conocido por muchas personas en breves minutos. Antiguamente, no era así; pero igual la velocidad con la que un rumor se propaga de boca en boca es algo digno de estudiarse.

Imaginen que un forastero llega a la población de Quirubamba que tiene 3 450 000 habitantes. Este forastero trae una noticia impactante para el pueblo. En la posada, él se la dice a tres lugareños, quienes se van y la cuentan a otros tres pobladores cada uno. A su vez, las nuevas personas que conocen el rumor lo cuentan cada cual a otras tres nuevas personas y así, sucesivamente.

¿Después de cuánto tiempo todo el pueblo sabrá la noticia? Consideren que se demoran 8 minutos en contársela a las nuevas personas y que ninguno cuenta la noticia dos veces.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con patrones. Estos se aplican para descubrir leyes y fórmulas, así como para crear modelos y realizar conteos sin necesidad de ponerse a contar.



Autoevaluación

40 personas conocen la noticia.

29 524 personas conocen la noticia.

Demorarán un poco más de 104 minutos, pero menos de 112 minutos (no se calcula con exactitud porque se requiere conocer logaritmos, solo nos basamos en una extensión).

Este crecimiento es muy rápido.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

8 3 4

16 9 13

24 27 40

32 81 121

40 243 364

48 729 1093

52 2187 3280

56 6561 9841

60 19 683 29 524

64 59 049 88 573

77


118MDResolvamos 1

Funciones que muestran cambiosActividad

Comente con sus estudiantes que a su alrededor existen muchas funciones, pero que no las visualizamos. Se les puede solicitar que propongan algunos ejemplos en los que dos magnitudes estén relacionadas. Por ejemplo, el precio del galón de gasolina y el año de su medición, la velocidad de un ciclista y la distancia que recorre, las calorías que ingiere diariamente una persona y su peso, las ganancias de la panadería y el número de panes que vende, entre otras. Estas relaciones se pueden presentar de varias maneras: a través de un gráfico cartesiano, una tabla de valores, en forma verbal o con una fórmula. En esta actividad, se estudian las diversas representaciones de las funciones y cómo ellas nos ayudan a comprender mejor el mundo en que vivimos.

Funciones


Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: esquemas, tablas, gráficos, etc.CAPACIDAD

La tarea presenta una función en forma gráfica que modela el peso de un recién nacido, dependiendo del tiempo de vida del bebé.

La tarea presenta la modelación de un fenómeno antropométrico. En este caso, representa una función en forma de símbolos que relacionan la altura de una persona con su peso ideal.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas en los que se requiere analizar un fenómeno real, a partir de la representación simbólica de la función que lo modela.






17







El bebecreceT1 El bebecreceT1

El tamaño idealT2

Se propone descomponer el problema en partes mediante el análisis y la interpretación crítica del gráfico de la función, a partir de las preguntas que deberán ser respondidas por los estudiantes.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas en los que se requiere la lectura de gráficos de funciones que modelan un fenómeno de la realidad y su interpretación crítica.

Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar la ordenada del gráfico, pues para muchos de ellos estos datos representan el peso del bebé y no la variación de su peso. Para hacerles comprender, se puede preguntar sobre lo que significa una variación de 4 kg en el peso de un bebé (por ejemplo: ¿significa esto que pesa 4 kg?). También se pueden dar los pesos inicial y final, con el fin de que los estudiantes identifiquen la variación en el peso.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las escalas utilizadas, así como en las medidas elegidas para cada eje. Es importante reconocer que cada par ordenado nos da una información respecto del bebé. En este caso, la abscisa representa el número de días desde el nacimiento y la ordenada representa la variación del peso en kg.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la fórmula brindada es una que se ha generado a partir del cálculo con muchas personas, es decir, no es exacta. Si bien la mayoría se inscribe en ella, existen algunos individuos que se salen de esta regla. También es oportuno señalar que resulta innecesario hacer el cálculo con medidas extremas, las de un gigante o un enano, por ejemplo, pues no son representativas.En este caso, se propone elaborar una recta en la que se ubiquen las alturas mínima y máxima, dividir el intervalo en una cantidad discreta de tramos y aplicar la fórmula para el cálculo de los pesos correspondientes con estos datos.

Plano de coordenadasPendienteCálculo con decimalesProporcionalidad directa




El caso refiere la representación gráfica de una carrera de autos, donde las variables que se presentan no son las convencionales. Sin embargo, el gráfico puede ser utilizado para extraer ciertas conclusiones acerca de la mencionada carrera.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para la resolución de situaciones problemáticas, realizando inferencias a partir del gráfico cartesiano de una función que modela una actividad real.

En este caso, se propone descomponer la situación en subproblemas con las preguntas planteadas, a fin de que los estudiantes al responder comprendan el enunciado del problema y se facilite la interpretación del gráfico.

Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular con decimales y al despejar la variable necesaria para cada caso. La expresión presentada no solo sirve para hallar el peso en términos de la altura, sino también para dar la altura en función del peso. Para hacerlo, solo se debe despejar E de la fórmula. Matemáticamente, estas dos funciones están relacionadas, pues una es la inversa de la otra. Errores típicos se refieren a no saber cuál de las variables está representada por x y cuál por y. Esto se debe a que, en la mayoría de casos, se trabajan con esas dos letras, que casi nunca se utilizan en los modelos reales. Por ello, es recomendable que el docente trabaje con grafías que se asocien a lo que representan rápidamente.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. También se exploran otras representaciones de la función, como la recta que se genera en el gráfico cartesiano. Cabe explicar aquí las relaciones existentes entre la recta dibujada y la función, donde la primera es la gráfica de la segunda. Por otro lado, la expresión P = 90E - 86 es la regla de correspondencia, el número 90 es coeficiente de variación, pero también a es la pendiente de la recta que es la gráfica de la función. Es incorrecto decir que 90 es su pendiente, pues una función lineal no tiene medida de inclinación, sino coeficiente de variación.







La pista de carrerasT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las variables que están involucradas, a saber: la velocidad del auto en la segunda vuelta y la distancia recorrida en metros. Hay que estimular a que el estudiante se imagine la carrera y se pregunte por qué baja la velocidad en algún punto, ¿lo hace en un tramo recto o lo hace cuando gira?

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar los tramos o dónde comienza la carrera. El hecho de que la información esté referida a la segunda vuelta, ¿influye en algo? A algunos estudiantes se les hace difícil la interpretación del problema. Otra dificultad es que las variables no son las típicas que relacionan velocidad con tiempo. Un error generalizado es considerar que la pista de carrera tiene la forma del gráfico. Esto ocurre al no interpretar correctamente las variables que intervienen. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Para los más avanzados, se pueden proponer tareas de investigación como, por ejemplo, realizar un gráfico a partir de datos reales.


En este caso, se propone descomponer el problema en partes y elaborar una tabla para responder a cada uno de los cuestionamientos presentados.

Los estudiantes deberán efectuar un razonamiento regresivo, con el fin de establecer, a partir del impuesto, el monto respectivo. Para aquellos estudiantes más avanzados, se les puede pedir que creen casos semejantes.

Los estudiantes pueden tener dificultades al completar la tabla y al reconocer lo que se debe hacer según la cantidad de ingresos sea menor o mayor a 156 000. En otro momento, pueden encontrar dificultades en la elaboración de la gráfica.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen interpretar correctamente la información del enunciado, así como de resolver situaciones problemáticas de tipo comercial. Asimismo, se espera que puedan representar gráficamente un conjunto de datos.

Se presenta el caso de dos trabajadores independientes que desean calcular el impuesto a la renta que les corresponde pagar este año, lo que se debe efectuar según las normas establecidas en la tarea.






Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en identificar la información relevante del enunciado y en los cálculos numéricos que son demandados en la actividad.


Declarando los impuestosT4


Resolvamos 1 120MD

Funciones quemuestran cambios17

El bebecreceAunque pueda parecerte extraño, los médicos también utilizan la matemática. Las historias clínicas, muchas veces, contienen gráficos, tablas, números y fórmulas que brindan información al especialista acerca de nuestros indicadores vitales. Aquí te mostramos la gráfica correspondiente a un bebé que tiene un crecimiento normal en un periodo de 30 días y que al nacer pesó 3300 g.

1) ¿Qué magnitudes se relacionan en el gráfico?

2) ¿Cuánto pesa el bebé en el punto (0;0)?

3) ¿Qué ocurre en los primeros días de vida?

4) ¿En cuánto se ha incrementado el peso del bebé del segundo al sexto día?

5) Explica qué ocurrió en el punto “P”. ¿Cuánto pesa en este punto?

6) ¿Cuántos días pesó el bebé menos de 3300 g?

7) Indica el aumento de peso durante la segunda y tercera decena de días.

8) Reflexiona y responde: En los problemas planteados, has interpretado los datos en el gráfico; si estos hubieran sido presentados en una tabla, ¿habrías podido responder con facilidad las preguntas?

9) Indica el máximo y mínimo peso que tuvo el bebé durante el mes y en qué día.

-100

P

10 20 30 Tiempo(días)

+100

Peso (g)

Las magnitudes son tiempo (en días) y variación de peso (en gramos).

El bebé peso menos de 3300 g durante seis días.

El menor peso fue 3000 g en el día 2 y el máximo peso fue 4000 g en el día 30.

En este punto que corresponde al nacimiento del bebé, el peso es de 3300 g.

En los primeros de vida, un bebé pierde peso.

Día 2: 3300 - 300 = 3000 gDía 6: 3300 gEntonces: aumentó 300 g

Observando el gráfico, la segunda decena de días aumentó 500 g y la tercera, 700g.

En el punto P, el bebé recuperó el peso que tenía al nacer, es decir, 3300 g.

Si los datos solicitados estuvieran en la tabla, sería fácil; pero si solicitan otro valor, el gráfico es una mejor alternativa.

78



El tamaño ideal

1) ¿Qué información de la lectura es relevante para el problema planteado?

2) ¿Qué magnitudes están relacionadas?

3) ¿Cuál es la fórmula que relaciona estas magnitudes?

Explica las variables que la conforman.


Las proporciones en los seres humanos tienen que ver con una rama de la medicina llamada antropometría. En ella se utilizan muchas fórmulas que nos permiten saber si estamos en el promedio de una persona común o tenemos algunas diferencias.Una fórmula muy utilizada es la que expresa la altura ideal de una persona adulta, en función de su peso: P = 90E - 86, donde P es el peso en kilos y E es la estatura en metros.Haz una tabla que le permita a una persona que no sabe usar fórmulas encontrar su peso midiendo su estatura.Nota: Considerar como altura mínima 1,45 m y como altura máxima 1,75 m.

3) Dibuja una recta numérica. Coloca en ella la altura máxima y la mínima y divide el intervalo en una cantidad de tramos.

4) Finalmente, coloca los puntos desde la altura mínima a la máxima en esta tabla y calcula, mediante la fórmula, los pesos para cada caso.

1) ¿Vale la pena hacer el cálculo para alturas como 30 o 50 cm? Explica.

2) ¿Y para alturas como 3 o 3,5 m?

3) ¿Cuál podría ser la altura promedio de un peruano?

4) ¿Cómo organizarías los datos para que puedas estudiar las variaciones de altura y peso? a) En un diagrama de árbol

b) En un diagrama de Venn c) En un tabla

Altura (m)Peso (kg)

1) ¿Qué necesitaste para poder construir la tabla?

3) Robert L. Wladow, el hombre más alto del mundo, murió a los 22 años y llegó a medir 2,72 m. En el momento de su muerte, pesaba 199 kg. ¿Cumplía Wladow con el modelo matemático?

2) Utiliza los datos de la tabla para hacer un gráfico de la relación.

Altura (m)

Peso (kg)

1,4 1,45 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8

8070605040302010

0

2) ¿Cuál es la altura máxima promedio de un peruano?

1) ¿Cuál es la altura mínima promedio de un peruano?

P = 90E - 86, donde P es el peso en kilos y E es la estatura en metros.

La relación del peso con la estatura.

El peso en kilos y la estatura en metros.

Hacer una tabla usando la fórmula anterior para que una persona pueda identificar su altura de acuerdo con su peso.

Necesité definir límites, mínimo y máximo, y luego elegir cierta cantidad de valores entre dichas cantidades.

No cumplía con el modelo. Según esta fórmula, su peso debía ser 166 kilos.

La altura promedio de un peruano es de 1,6 m.

No, pues la probabilidad de que alguien mida 30 cm o 50 cm es casi nula.

No, porque la probabilidad de que alguien mida 3 m o 3,5 m es nula.

La altura mínima promedio es de 1,45 m. La altura máxima promedio es de 1,75 m.

1,45 1,48 1,51 1,54 1,57 1,60 1,63 1,66 1,69 1,72 1,75

1,45 1,48 1,51 1,54 1,57 1,60 1,63 1,66 1,69 1,72 1,75

44,5 47,2 49,9 52,6 55,3 58 60,7 63,4 66,1 68,8 71,5

79


Resolvamos 1 122MD

La pista de carreras*

1) ¿Qué variables se relacionan en este gráfico?

2) ¿Qué ocurre con la velocidad del auto en un tramo recto?

3) ¿Cuántos tramos rectos tiene la pista?

4) ¿Cuál es la velocidad inicial?

5) ¿Y cuál es la velocidad cuando ha recorrido 2,0 km?

6) ¿Qué es lo que tienes que averiguar?

1) Marca en el gráfico los puntos donde el auto gira. Explica.

2) ¿Cuál es el tramo más largo?

3) ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de partida hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista?

4) ¿Cuántos puntos hay donde la velocidad se reduce?

5) ¿Cuál es la velocidad en cada uno de ellos? Organiza estos datos en una tabla.

6) ¿Cuál de estas velocidades fue la menor durante la segunda vuelta?

1) ¿Es semejante el problema a otros que ya conoces?

2) ¿Qué es lo que representa el eje vertical?

Punto Velocidad (km/h)

Este gráfico muestra cómo varía la velocidad de un auto de carrera durante su segunda vuelta a lo largo de una pista plana de 3 km.

¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de partida hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista? ¿Dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta?

1) ¿Qué estrategia te fue más útil para resolver este problema?

2) Aquí hay cinco pistas dibujadas. ¿Sobre cuál de ellas se desplazó el auto para producir el gráfico de velocidad mostrado anteriormente?

*Este problema pertenece a la evaluación PISA 2000 - Alfabetización Matemática.

180160140120100

80604020

00 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

0,5

Línea de partida Distancia recorrida en la pista (km)

1,5 2,5

3) ¿Qué es lo que representa el eje horizontal?

4) ¿Qué estrategias emplearías para solucionar el problema?

233

4

5

PP P

PP

Velocidad(km/h)

Velocidad de un auto de carrera a lo largode una pista de 3 km

(Segunda vuelta)

1

La velocidad inicial es 160 km/h.Se relacionan la velocidad en km/h y la distancia recorrida (km).

En un tramo recto la velocidad es constante.

Tiene tres tramos rectos.

La velocidad es la misma: 160 km/h.

La distancia desde la línea de partida hasta el comienzo del tramo recto más largo y el lugar donde se registró la velocidad más baja.

La distancia aproximada es de 1,3 km.

Ver gráfico. Cuando el auto gira, la velocidad se reduce.

Representa la distancia que recorre el auto desde la línea de partida.

Del punto 3 al punto 4.

Hay tres puntos en los cuales la velocidad disminuye. La menor velocidad durante la segunda vuelta fue de 60 km/h.

SÍ, es semejante a problemas de análisis de gráficos de funciones.

Interpretar el gráfico.

Identificar las variables del gráfico e interpretarlas.

Se desplazó sobre la pista B.

2 90

3 60

4 110

Representa la velocidad en km/hora del auto.

80



Declarando los impuestos Todo trabajador independiente expide comprobantes de pago por la labor desempeñada. A esto se le llama renta de cuarta categoría. Cada año debe reportar sus ingresos y, según el monto total y previo cálculo, debe abonar el impuesto a la renta. Supón que la determinación del impuesto se aplica según estas normas:a) Para ingresos que no excedan los S/.156 000, el impuesto a la renta será el 15 % de dichos ingresos.b) Para ingresos mayores a S/.156 000, se pagará el 15 % de S/.156 000 más el 30 % del exceso de S/.156 000.Utiliza tus conocimientos de matemática para ayudar a dos contribuyentes: Juan Mendoza y Pedro Gonzales, quienes desean saber cuánto les toca pagar.Ellos han calculado sus ingresos anuales y presentan estas cuentas:Ingresos anuales de Juan Mendoza: S/.100 000.Ingresos anuales de Pedro Gonzales: S/.200 000.

1) ¿Cuál de las normas corresponde a la situación de Juan?

2) ¿Cuál de las normas corresponde a la situación de Pedro?

3) Calculen el impuesto que debe pagar Juan.

4) ¿En cuánto exceden a S/. 156 000 los ingresos de Pedro?

5) Calculen el impuesto que debe pagar Pedro.

6) Completen la tabla que contiene el impuesto ya calculado para ingresos que van de 100 000 a 200 000 y en intervalos de 20 000 en 20 000.

7) Hagan una gráfica con los valores que han obtenido en la tabla.

8) ¿Para qué monto de ingresos los impuestos son de S/.24 900? Indiquen el proceso.

a) Cálculo directo:

b) Por gráfica:

Ingresos Norma Impuesto

100 000 a 15 000

120 000

140 000

160 000 b

180 000 b

200 000 b 36 600

40 000

35 000

30 000

Ingresos (S/.)

25 000

20 000

15 000

10 000

5000

0 0 50 000 100 000 150 000 200 000 250 000

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con funciones, las cuales están presentes en el deporte, así como en la medicina, la economía y otras ciencias.

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades e identifiquen: ¿Cuánto le corresponde pagar a cada uno?




Autoevaluación

Impuestos (S/.)Como 100 000 es menor que 156 000, le corresponde la opción (a).

Como 200 000 es mayor que 156 000, le corresponde la opción (b).

15 % de 100 000 = 15 000

200 000 – 156 000 = 44 000 Exceden en S/.44 000.

15 % de 156 000 = 23 40030 % de 44 000 = 13 20023 400 + 13 200 = 36 600Pedro debe pagar S/.36 600 de impuestos. 24 900 – 23 400 = 1500

1500 es el 30 % del exceso, de aquí, el exceso es 5000.Los ingresos son de 156 000 + 5000 = 161 000

Se puede apreciar solo, aproximadamente, que puede ser 160 000. La gráfica solo muestra tendencias, pero no da un resultado exacto.

a 18 000

a 21 000

24 600

30 600

81


Resolvamos 1 124MD

La geometría es más que cálculosActividad

Comente con sus estudiantes que el mundo está lleno de diversas formas geométricas, ángulos, escalas, etc. Muchas veces, no requerimos fórmulas para trabajar estos elementos geométricos, sino conocer sus propiedades y características para sacar provecho de ellas. ¿Por qué se utiliza con frecuencia el triángulo para elaborar estructuras resistentes? ¿Por qué las tapas de los buzones son circulares? ¿Por qué el DNI tiene forma rectangular y no cuadrada? ¿Qué ventajas tiene el tamaño A4 sobre el tamaño carta de una hoja de papel? ¿Por qué las antenas de TV satelital tienen forma de un paraboloide? Son preguntas que pueden ayudar a reflexionar sobre la geometría como una parte de la Matemática que va más allá de operaciones de cálculo.

SegmentosÁngulos


Resuelve problemas de construcción y medición de ángulos y segmentos.CAPACIDAD

La tarea presenta una pista de forma triangular para bicicletas. El triángulo es escaleno e isósceles.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran establecer conexiones entre contenidos matemáticos, como la medición de segmentos, el uso de escalas y el cálculo con proporcionalidad geométrica. Este tipo de problemas integradores son los más interesantes porque logran tender puentes entre distintos contenidos del DCN.



Estrategias heurísticas sugeridas




18






La ciclovíaT1

Tiempo de nadarT2 Tiempo de nadarT2

En este caso, se propone elaborar un diagrama analógico que representa una situación real, pero en forma esquemática, manteniendo las relaciones de la realidad.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran utilizar escalas y realizar mediciones en un plano, sean de segmentos o de ángulos.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el plano es una representación de la realidad. El docente deberá explicar claramente lo que significa la escala y cómo se puede utilizar para responder las preguntas de la actividad.

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar los elementos que son homólogos en los dos triángulos. Un error típico es plantear equivocadamente la relación de proporcionalidad; por eso, este proceso se detalla en las preguntas del cuaderno.


Al desarrollar la tarea, se debe enfatizar en el uso de la escala para realizar las mediciones y en la relación de semejanza que se logra descubrir.

En este caso, se propone construir una figura analógica y plantear una ecuación.En este caso, se propone construir una figura analógica y plantear una ecuación.

Grados sexagesimalesUnidades de medidas de longitudProporcionalidad geométricaParalelismosSimetría

Los estudiantes pueden tener dificultades al definir la estrategia para responder la pregunta 8. Hay que hacerles recordar el teorema que afirma lo siguiente: al unir los puntos medios de dos lados de un triángulo, el segmento formado tiene la mitad de la longitud del tercer lado. Ver figura:

La tarea presenta un esquema a escala que permite realizar una medición que, en la realidad, es inaccesible. Es importante señalar que para su solución se pueden emplear nociones de semejanza de triángulos, las que pueden trabajarse con los estudiantes de forma intuitiva y natural.





Los estudiantes deberán recorrer nuevamente el proceso seguido para resolver el problema. Finalmente, se les pregunta acerca de otras posibles relaciones que los hubieran llevado a resolver el problema.

La tarea presenta la vista en planta de un recinto que debe ser vigilado por unas cámaras de seguridad. Las condiciones del problema exigen que dichas cámaras se coloquen en las esquinas del ambiente, evitando la entrada. Además, por motivos de costo, se pide que sea el mínimo número de ellas, las que deberán cubrir toda la región que ocupa el recinto.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran la utilización de instrumentos geométricos.

En este caso, se propone utilizar un diagrama analógico, así como el ensayo y error para hallar la respuesta.

En este caso, se propone realizar un experimento.

Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar las mediciones de los caminos seguidos por la bola. También resulta difícil para ellos establecer las relaciones entre el viaje de la bola y el tamaño de la mesa.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran investigar una situación geométrica utilizando instrumentos de medición.

La tarea presenta el tablero de un billar muy particular. En él las bolas se mueven en líneas que hacen ángulos de 45° con los lados del tablero. Se desea investigar las distintas trayectorias que una bola puede tener.









Las cámaras de vigilanciaT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que basta con una representación a escala de la región en planta para poder determinar el número de cámaras, ya que estas se encuentran en relación con los ángulos de giro y no con medidas específicas.




Los estudiantes pueden tener dificultades al tantear sistemáticamente el número de cámaras. El algoritmo de búsqueda debe organizarse desde las posiciones más críticas a las menos críticas.Un error típico es girar solamente en el espacio de la región visible más cercana a la cámara; por ello, es mejor que lo hagan utilizando el compás.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar diversas vías de solución. Ellos pueden encontrar el mínimo número de cámaras en otras disposiciones. Además, deberán identificarlas y, si es posible, colocarlas en cualquier esquina; así como determinar si existe una relación entre la cantidad mínima de cámaras y el número de lados del polígono.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la forma en la que la bola rebota en los parantes. Debe quedar muy claro que el ángulo de incidencia o entrada de la bola es exactamente igual al ángulo de salida. Esto es intuitivo, pero se puede experimentar con una linterna y un espejo.

Es posible investigar las trayectorias en otros tableros rectangulares. Se les puede proponer a los estudiantes tareas de investigación, como estudiar los rebotes de las bolas en tableros que no sean rectangulares o el método de los diamantes que utilizan los jugadores profesionales de billar.


De botes y rebotesT4


Resolvamos 1 126MD

La geometríaes más que cálculos18

La ciclovía

1) ¿Cuál crees que es el giro más difícil que debe hacer Celia en la ciclovía? ¿Por qué?

2) ¿Cuántos grados habrá girado la bicicleta de Celia al dar toda la vuelta a la ciclovía?

3) ¿Cuántas veces mayor es el ángulo F que el ángulo C?

4) ¿Qué tipo de triángulo es el MCF? ¿Por qué?

5) ¿Cuántos metros debe recorrer Celia para llegar a la fuente? Usa proporciones para responder.

6) ¿Cuántos metros más recorrerá Celia si decide ir a la fuente de la amistad por la ruta más larga?

7) Reflexiona y responde: ¿Qué conceptos matemáticos has empleado para resolver los problemas?

8) Se quiere adornar el parque con piedras blancas que unan los puntos medios de la ciclovía. ¿Cuántos metros lineales de piedra necesitamos?

Celia está manejando bicicleta en su ciudad. La ciclovía tiene la forma que se muestra en el gráfico y la ciclista se encuentra en el punto C. Analiza el mapa para responder las preguntas:

Leyenda:C = CeliaM = MiradorF = Fuente de la amistad8 cm

3,5 cm

Escala: 1 cm = 20 m

El giro más difícil es en el punto C, pues, al ser el ángulo más pequeño, es más complicado hacer la curva.

Habrá girado 180º, la razón es que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

Es un triángulo escaleno según sus lados y acutángulo e isósceles según sus ángulos.

La distancia CF es 8 cm, esto equivale a 160 m en la realidad.

He empleado la teoría básica de triángulos, medición de segmentos, medición de ángulos, además de proporciones para obtener las medidas reales del triángulo a partir del dibujo a escala.

Si se unen los puntos medios, obtengo un triángulo cuyo perímetro es la mitad del triángulo original. Por tanto, necesitamos 195 metros lineales de piedra.

Medida del ángulo F 65º = = 2,17 Medida del ángulo C 30º

La ruta más larga es CM + MF y mide 11,5 cm. Esto equivale a 230 m. Entonces, recorrerá 230 -160 = 70 m más.

82



Hernán nada a una velocidad constante de 2 m/s. Él tiene curiosidad por saber cuánto tiempo demorará en cruzar un lago de un extremo a otro; pero no desea averiguarlo lanzándose al lago y midiendo el tiempo con un cronómetro; prefiere utilizar la matemática. Entonces, construye un diagrama como el mostrado.

¿Puede resolver su problema mediante este diagrama?

Tiempo de nadar

1) ¿Qué distancia deberá hallar Hernán?

2) ¿Qué datos presenta el gráfico?

3) ¿Qué figuras reconoces en él?

4) ¿Y qué elementos matemáticos reconoces?

5) ¿Qué desea realizar Hernán?

1) ¿Es posible representar los elementos matemáticos en el gráfico mostrado?

2) ¿Cuál de las figuras geométricas tiene más datos?

3) ¿Qué ángulos en el diagrama tienen el mismo valor? ¿Cuáles son?

4) Para averiguar el tiempo que se demorará, ¿qué debe conocer Hernán?

1) Describe la estrategia que se utilizó para resolver este problema.

2) Si los ángulos en R y en A no hubiesen sido rectos, ¿se hubiera podido resolver el problema?

3) ¿Puedes escribir otra proporción que permita resolver el problema? Exprésala.

4) Completa la siguiente proporción:

5) Resuelve esta proporción y encuentra la distancia y el tiempo que demorará en cruzar el lago.

180

120=

1) ¿Cuál es tu incógnita? Indícala con una x en el gráfico.

2) ¿Cómo están relacionados los triángulos PRC y PAB?

3) Completa la siguiente tabla:

Lado LadoTriángulo PRC PR= RC = Triángulo PAB AP= AB =

C R300 m

180 m

120 m

P

A B

Sí, se pueden representar.

El triángulo PRC.

Los ángulos opuestos por el vértice y los ángulos rectos.

Debe conocer la velocidad de nado y la distancia a recorrer.

Debe hallar la distancia AB.

Dos triángulos rectángulos.

Dos ángulos opuestos por el vértice, dos ángulos rectos y los lados de cada triángulo.

Desea saber el tiempo que demorará en cruzar el lago por su parte más ancha.

x = 600/3 m = 200 mEl tiempo que demora en cruzar el lago es 100 s.

300

x

La distancia AB.Ver gráfico.

Son proporcionales.

180 m

120 m

300 m

x m

Encontrar una submeta, así como una relación geométrica adecuada en la figura. Sí es posible, por ejemplo:

No hubiese sido posible.

180 120 300 x =

El gráfico muestra:

RC = 300 m; PR = 180 m; AP= 120 m.

x

83


Resolvamos 1 128MD

Con el fin de cuidar los bienes informáticos de la IE Ciencia Nueva, el director quiere colocar cámaras de vigilancia en las esquinas del ambiente donde se encuentran dichos bienes. La condición de esas filmadoras es que puedan girar.

¿Cuántas cámaras se necesitarán como mínimo y en qué esquinas deberán ubicarse? En la entrada no puede colocarse ninguna cámara de vigilancia.

Las cámaras de vigilancia

1) Describe el procedimiento que has empleado para dar solución al problema.

2) ¿Cuántas posibles respuestas hay?

1) ¿Será necesario poner una cámara en cada esquina? Explica por qué sí o por qué no.

2) ¿Qué representa el gráfico?

3) ¿Cómo representarías una cámara de vigilancia en el gráfico?

4) ¿Qué condiciones deben cumplir las cámaras?


1) ¿Cuántas esquinas hay en el ambiente donde se encuentran los bienes informáticos?

2) ¿Qué estrategias emplearías para desarrollar este problema? (Puedes marcar más de una alternativa).

a) Hacer uso de una tabla de doble entrada de información. b) Hacer actividades de ensayo y error. c) Hacer un gráfico. d) Hacer diagramas de flujo.

3) ¿Qué elementos matemáticos has reconocido en el desarrollo del problema?

4) ¿Cómo se miden los ángulos de visión de las cámaras de vigilancia en el gráfico?

¿Se pueden medir estos ángulos en el diagrama?

1) Coloca cámaras en distintas esquinas del ambiente. Para ayudarte, desarrolla la(s) estrategia(s) elegidas(s).

2) ¿Cuántas cámaras como mínimo se necesitarán?

Entrada

Se ha elaborado un modelo físico y luego se ha procedido a probar mediante ensayo y error.

Hay nueve esquinas posibles y, para cada número, hay diferentes disposiciones.

Las figuras geométricas y la rotación para determinar el alcance de las cámaras.

Para medir los ángulos se usa el transportador.

Muestra el diagrama del ambiente de la institución educativa.

No será necesario, porque una cámara bien ubicada puede cubrir, al girar, un área grande del ambiente.

Con un pequeño rectángulo de diferente color.

Pueden girar.

El número de cámaras a colocar.

10 esquinas.

Las respuestas pueden variar, por ejemplo:

3

Sí.

84



El diagrama de la derecha muestra una mesa de billar cuyas dimensiones son 4 por 3. Los cuatro agujeros están en A, B, C y D. Los lados de la mesa se llaman parantes. Cada vez que una bola de billar es lanzada hacia un lado, esta rebota con el mismo ángulo con el que llegó a ese lado.Jorge decide lanzar bolas de modo que siempre choquen con el parante, haciendo un ángulo de 45°.

De botes y rebotes

1) Jorge ha lanzado una bola desde D. Completen el camino que sigue esta bola de billar.

2) ¿En qué hueco caerá?

3) ¿Cuántos rebotes dio antes de entrar a un agujero?

4) ¿Cuántos centímetros ha recorrido la bola antes de ingresar al hoyo? Nota: El lado de cada cuadrito mide 30 cm y su diagonal, 30 √2 cm.

Con tus compañeros, investiguen la siguiente situación y ayuden a Jorge a lanzar adecuadamente las bolas:A

A

A

D

D

D

B

B

B

C

C

C

Este segundo diagrama es un tablero de billar de 3 x 5.

Jorge lanza una bola desde D.

1) ¿En qué hoyo entrará la bola de billar?

2) ¿Cuántos rebotes dio antes de ingresar al hoyo?

3) ¿Cuántos centímetros recorrió antes de entrar al hoyo?

4) Si no hubiese hoyos, ¿cuál sería el trayecto de la bola?

Consideren otra mesa de billar con cuatro hoyos A, B, C y D. Una de las bolas es lanzada desde el punto D, configurando un ángulo de 45° con DC, y va directamente al hoyo B. ¿Cuáles serán las dimensiones de esta mesa? ¿Puede darse esa situación en otras dimensiones?

1) Dibujen la mesa y el camino recorrido en la cuadrícula.

2) ¿Cómo se llama el segmento DB?

3) ¿Esta es la única respuesta posible?

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con ángulos y segmentos. Ellos son útiles cuando realizamos manualidades, en la costura, al estudiar ángulos de visibilidad, en la agricultura, entre otras actividades.




Debo mejorar.

Autoevaluación

Ver gráfico.

Caerá en el hueco A.

5 rebotes.

La diagonal del cuadrito mide 30√2 cm y hay 12 diagonales, entonces recorre 360√2 cm.

Entrará en el hoyo B.

Dio 6 rebotes antes de entrar.

Hay 15 diagonales de

30√2 cm, entonces recorrió 450√2 cm.

Sería repetitivo entre los puntos D y B.

3 x 3

El segmento DB se llama diagonal.

Sí, 2 x 2; 4 x 4; 5 x 5; etc.

No, cualquier mesa cuadrada cumple con las condiciones expuestas.

85


Resolvamos 1 130MD

Actividad

Comente con sus estudiantes lo útil que son las medidas estandarizadas. Explique que antiguamente este tipo de unidades eran corporales, lo que no permitía uniformizar las mediciones. Por ejemplo, una mesa de tres codos de largo podría tener diferentes longitudes, según la diversidad de distancias que, entre las personas, existe desde el codo hasta el final de la mano abierta. En algunas zonas de nuestra Amazonía, aún se siguen utilizando estas medidas. Luego indique que nuestro país se rige por el SLUMP (Sistema Legal de Unidades y Medidas del Perú); no obstante, subsisten medidas de origen inglés para ciertas cosas como: la pulgada en los tornillos, las millas en las distancias recorridas por los aviones, el galón en la gasolina, etc.

Unidades de medida de masa, longitud, capacidad

Operaciones con decimalesProporcionalidadVolumen de prismas


Resuelve problemas de conversión de unidades de longitud, masa y volumen en el sistema métrico decimal.CAPACIDAD

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de contextos de la vida real que involucren mediciones y conversiones de unidades de peso.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el indicador que permite comparar la calidad de los quesos: puede ser el precio por gramo o kilogramo.

Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar los cálculos con decimales o fracciones, por lo que es conveniente que el docente repase cómo hacer estos cálculos manualmente.

La tarea presenta una situación geométrica en la que hay que calcular la longitud de una línea bordada en un diseño con determinadas condiciones. Los diseños son formados por retazos rectangulares.

Con esta tarea se contribuirá a que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolver problemas en contextos reales que involucren el cálculo de longitudes y la conversión de unidades de medida de longitud.

Los estudiantes reflexionarán sobre la estrategia utilizada y formularán otras variantes del problema. Los más avanzados pueden proponer otros diseños de alfombra y redactar un problema similar.






19







Quesitos exquisitosT1

Diseños renovadosT2

La tarea presenta una situación comercial típica, en la que se dan los precios de productos referidos al peso. Cabe notar que no se brinda la información como tarifario, sino como exposición de los moldes de queso con diferentes pesos y precios.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación de las unidades que se están utilizando, en relación con su utilidad para determinados contextos. El caso que nos ocupa corresponde a una situación comercial, por lo que las unidades deben ser estándar y conocidas por la mayoría.En este caso, se propone el uso del pensamiento proporcional, así como la representación de la situación en un diagrama analógico, con el fin de identificar allí las incógnitas y los datos que permitan realizar los cálculos correspondientes.Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar la incógnita y las condiciones del problema, así como al organizarse para realizar los pasos que permitan resolver este problema. En la fase tres, las preguntas ordenan y orientan este proceso.


En este caso, se propone convertir a enteros las cantidades expresadas en decimales y fracciones.

Medidas en nuestras vidas





Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que las decisiones a las que se arriben se extraerán luego de haber analizado matemáticamente la situación.En este caso, se propone descomponer el problema en situaciones de menor complejidad, formuladas como preguntas.

Es posible complementar la actividad planteando un trabajo externo a los estudiantes, pidiéndoles que investiguen y busquen datos reales para resolver un problema de estructura similar.Es posible complementar la actividad planteando un trabajo externo a los estudiantes, pidiéndoles que investiguen y busquen datos reales para resolver un problema de estructura similar.

Los estudiantes deberán reflexionar acerca del uso de la estrategia utilizada en este problema para poder aplicarla en situaciones similares.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas que involucren conversión de medidas de capacidad.






¡Tamales, casera!T4

El cuidado de los pecesT3

Al desarrollar la tarea, se debe destacar que, en el problema, las medidas están en diferentes unidades. Hay que señalar que, para poder abordar correctamente un problema, es preferible que todas las unidades referidas a una magnitud sean las mismas.

Los estudiantes pueden tener dificultades al relacionar las diversas porciones de información presentadas y al seleccionar la información irrelevante. Por ello, deben leer y preguntarse si todos los datos brindados para explorar la situación son útiles.

La tarea presenta una situación comercial que consiste en calcular la cantidad de ingredientes que se deben adquirir para la elaboración de una cantidad desconocida de tamales. Para ello se requiere de cálculos proyectivos a partir de datos históricos.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de traducción compleja para tomar decisiones, partiendo de un análisis de datos numéricos y de predicciones con fundamento matemático.

En este caso, se propone el uso de un diagrama analógico que represente la situación. Hay que dibujar tridimensionalmente la pecera, señalar el nivel de agua alcanzado y luego realizar el cálculo del volumen de agua necesario.Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender lo que el problema plantea, al realizar los cálculos con decimales. Es importante que el docente realice el dibujo del prisma rectangular en la pizarra, a fin de poder discutir acerca de la capacidad de la pecera y del volumen de agua.La reflexión de lo actuado por parte de los estudiantes, que les permita abstraer la estructura del problema presentado, es importante para lograr que la estrategia utilizada sea fácilmente transferible a otras situaciones similares.








30 cm

40 cm

80 cm


Resolvamos 1 132MD

Quesitos exquisitos

1) ¿Cuánto costarán 3 kg de queso paria?

2) ¿Cuánto costarán 2500 g de queso puneño?

3) ¿Cómo puedes saber el precio por kilo del queso ancashino? Solo explica cómo lo calcularías; no realices los cálculos.

4) ¿Cuál es el precio por kilo del queso de Cajamarca? ¿Y cuál es el precio por gramo?

5) Un turista acostumbrado a comprar por libras le pregunta a Santiago: ¿cuál es el precio por libra del queso Gouda? Si el valor de una libra es 453, 6 g, calcula ese precio.

6) Reflexiona y responde: ¿Qué característica de los datos debes tomar en cuenta? ¿Qué relaciones se establecen entre los datos?

7) Para una receta se requieren 3 ¾ lb de queso de Cajamarca. ¿La tienda de Santiago puede cubrir actualmente este pedido?

Santiago tiene un negocio rentable de lácteos. Acostumbra adornar su vitrina con una variedad de quesos.

Los moldes y porciones tienen siempre letreros que, además del precio, indican el peso de cada producto puesto en exhibición.

La mayoría de sus quesos son de la sierra y son muy agradables.Sin embargo, los moldes que se promocionan son las únicas existencias que se tienen en venta.

Medidas en nuestras vidas19

Costarán 3(4 x 6) = S/.72.

Costarán (2500/1250)20 = S/.40.

Primero se encuentra el precio de un gramo, luego se multiplica este precio por 1000 (1000 g = 1 kg).

Por kilo es S/.18/1,2 = S/.15.Por gramo es S/.0,0015.

El precio de un gramo de Gouda es S/.0,05, el de una libra es S/.22,68.

Debemos verificar las unidades. La relación es a menor cantidad de queso, mayor costo, es decir, que ambas magnitudes son directamente proporcionales.

Hay 1 kg de queso de Cajamarca, que equivalen a 3,3 libras, cantidad suficiente para atender el pedido.12

86



Diseños renovados

1) ¿Con qué elementos se fabrican las alfombras?

2) ¿Cuáles son las dimensiones de los retazos?

3) ¿A qué puntos se refiere al decir: “puntos que están en el centro de cada pieza”? Indícalo en este dibujo.

4) ¿El dato de 500 te sirve para la solución del problema?

5) ¿Qué otros datos te brinda el problema?

6) ¿Qué es lo que desea calcular Juliana?

1) Para resolver el problema, tienen que hallar las dimensiones de la línea bordada para cada pieza. ¿Qué estrategia puede servir para resolver este problema?

a) Representar en un dibujo las características de la línea y

b) Hacer una tabla y poner los valores consecutivamente.

c) Empezar en un orden inverso para reconocer las operaciones.

2) Conocido el valor de las líneas negras, ¿con qué otros datos lo relacionarías para solucionar el problema planteado?

la pieza.

1) ¿Por qué hacer un dibujo fue la estrategia más útil para resolver este problema?

2) ¿Es posible resolver este problema de manera más corta? Explica.

3) Juliana ha elaborado el siguiente diseño con las mismas dimensiones y medidas antes mencionadas, pero solo para 100 piezas de alfombra. ¿Cuántos metros bordará?

1) Dibuja la alfombra. ¿Cuántas piezas tiene?

Ubica los puntos medios de cada pieza. únelos. Coloca las medidas correspondientes sobre la línea negra.

2) ¿Cuánto mide la línea negra?

3) ¿De cuántas alfombras es el pedido?

4) ¿Cuántos metros de línea negra bordará Juliana para atender este pedido?

Juliana está fabricando un nuevo diseño de alfombras -como te muestra la figura-. El diseño está formado por 4 retazos rectangulares, unidos por sus lados, cada uno de 60 cm de largo por 40 cm de ancho. La alfombra se adorna con una línea negra bordada que une los puntos que están en el centro de cada pieza. Juliana debe atender un pedido de 500 de estos diseños y, para su hoja de costos, necesita saber la longitud de la línea negra bordada. ¿Cuántos metros mide la longitud de esa línea negra?

Las dimensiones son de 60 cm de largo por 40 cm de ancho.

Sí, sirve para la solución del problema de una alfombra, luego se multiplicará por el dato mencionado.

Con 4 retazos rectangulares.

El gráfico que muestra cómo es el diseño de la alfombra.

La longitud de la línea bordada del diseño.

Con el número de piezas.

Permitió determinar la estrategia a seguir para la solución.

Sí. Por cada retazo borda 20 cm + 30 cm = 50 cm de línea negra. Como requiere 500 alfombras, necesita 2000 retazos. Luego bordará 50 x 2000 = 100 000 cm o 1000 m.

Tiene 4 piezas.

La línea negra mide 20 + 60 + 40 + 60 + 20 = 200 cm.

El pedido es de 500 alfombras.

Bordará 1000 metros de línea negra.

O

20

20

20

20

30 30

3030

Bordará 400 cm x 100 = 40 000 cm.

20 20

20 20

20 20

20 20

30 30

30 30

30 30

30 30

87


Resolvamos 1 134MD

Ángel es un fanático de los peces. Tiene una colección de 25, todos de diferentes colores. Para brindarles mayor comodidad, ha comprado una pecera en forma de prisma recto -cuyas dimensiones se muestran-. Ángel llena su pecera con un balde cuya capacidad es 1200 cl. ¿Cuántos baldes repletos de agua necesita para llenarla, de modo que la superficie del agua diste 5 cm de la altura de la pecera?

El cuidado de los peces

1) Describe las estrategias o procedimientos que te permitieron resolver el problema.

2) ¿En qué condiciones o características de los problemas te convendría aplicarlos?

3) Si la altura del agua solo debiera llegar a las tres quintas partes de la altura de la pecera, ¿cuántos baldes serían necesarios?

4) Ángel quiere colocar dos rocas de adorno, la primera de 800 cm3 y la segunda de 700 cm3. ¿Cuántos baldes de 11 litros de capacidad serán necesarios ahora para llenar la pecera manteniendo la distancia libre de 5 cm?

1) ¿Qué forma tiene la pecera?

2) ¿Qué relación hay entre la capacidad de la pecera y el volumen del agua que la llena?

3) ¿En qué unidades están las dimensiones?

4) ¿En qué unidades se ha medido la capacidad del balde?

5) ¿Qué condición de llenado te plantean en el problema?

6) ¿Qué es lo que te solicita el problema?

1) ¿Cómo hacer el cálculo si se tienen unidades de medida distintas?

2) ¿Qué tendrías que realizar primero para hacer los cálculos?

3) Para poder ver las condiciones del problema, ¿tendrías que representar los datos en un gráfico?

4) Completa donde corresponda: Hay que calcular cuántas veces del balde está contenido en el volumen de

1) ¿Cuántos cm3 es 1 cl?

2) Marca, sobre el diagrama de la pecera, la altura hasta donde se debe verter el agua.

1 litro (l) = 100 centilitros (cl) = 1000 centímetros cúbicos (cm3)

30 cm

40 cm

80 cm

3) Calcula las nuevas dimensiones bajo la condición del problema.

4) Calcula este volumen de agua:

5) ¿Cuál es el volumen de agua que puede llevar el balde en cm3?

6) ¿Cuántas veces cabe este resultado en el volumen de agua necesario?

7) Interpreta tu resultado y responde: ¿Cuántos baldes llenos de agua, como mínimo, necesitas para llenar la pecera en las condiciones dadas?

30 cm

40 cm

80 cm

Tiene forma de prisma recto.

Se llena 5 cm menos que la altura de la pecera.

Se ha medido en centilitros.

Se debe convertir todo a una misma unidad.

Convertir los cl a cm3.

el volumenla pecera.

Sí, sería útil hacer el gráfico.

L = 80 cm; A = 30 cm; H = 35 cm.

1 cl = 10 cm3

V = 80 cm x 30 cm x 35 cm = 84 000 cm3.

12 000 cm3.

7 veces.

Se necesitan 7 baldes llenos.

Se empezó haciendo un gráfico para representar la situación, donde se colocaron datos e incógnitas que luego se relacionaron. En condiciones donde se den datos sobre figuras o cuerpos geométricos y sus dimensiones.

Se requiriría de 57 600 cm3, que serían 4,8 baldes. Es decir, 5 baldes.

Se requerirá de un volumen de 82 500 cm3, esto corresponde a 7,5 baldes. Es decir, 8 baldes.

Son equivalentes en las mismas unidades de medida.

En centímetros.

Saber cuántos baldes se requieren para llenar la pecera si el agua queda a 5 cm de la altura de esta.

5 cm

88



¡Tamales, casera!

1) Si quintuplican la receta, ¿para cuántos tamales alcanzará?

2) ¿Qué deben hacer para calcular los ingredientes necesarios?

3) Reflexionen si los datos que se dan en el enunciado son suficientes para encontrar lo que se pide.

4) ¿Cuál sería una buena estimación del número de compradores de tamales en MISTURA 2012?

5) Pónganse en el caso de que hay 30 vendedores de tamales. Decidan el número de estos productos que se deben preparar para atender a los posibles comensales. Expliquen por qué eligen ese número.

Maricarmen ha solicitado tu apoyo y el de tus compañeros. Desarrollen las siguientes actividades y definan la cantidad de ingredientes necesarios:

6) ¿Qué relación hay entre la cantidad de insumos de la receta y el número de tamales?

7) Completen la tabla como corresponda:

8) ¿La cantidad de insumos de cuántas recetas necesitas para preparar el número total de tamales requeridos?

9) ¿Qué cantidad de ingredientes necesita Maricarmen para atender a los concurrentes de MISTURA 2012?

10) ¿Crees que la matemática ha ayudado a que Maricarmen tome una mejor decisión?

Mistura 2009 Mistura 2010 Mistura 2011

400 1600 6400

1 receta4 recetas

receta1 tamal

recetas tamales

Ingredientes: 1 kg choclo desgranado 200 g cebolla 50 g culantro 2 ajíes verde 1 cucharadita de ajo molido 150 g de manteca Sal, pimienta

1 4

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la conversión de unidades. En nuestra vida, necesitamos elegir las unidades para medir adecuadamente diversos objetos, así como para realizar comparaciones, estimaciones y aproximaciones.

Receta (4 tamales)






Autoevaluación

Maricarmen ha sido invitada a participar en MISTURA 2012 porque prepara los mejores tamales de todo Supe. La receta secreta, que ha pasado de generación en generación, rinde cuatro tamales.Los organizadores han dado la siguiente información:

- El número de asistentes a las tres fechas pasadas de MISTURA que compraron tamales son:

- Asistirán un total de 30 vendedores de tamales.

Maricarmen desea tomar una mejor decisión acerca de qué cantidad de ingredientes debe comprar para atender a los concurrentes de MISTURA 2012.

Alcanzará para 20 tamales.

Si tengo la cantidad total de tamales requeridos, divido entre 4. El número resultante servirá para multiplicarlo por las cantidades de la receta mostrada.

Sí son suficientes. Con las cantidades vendidas en Mistura, podemos pronosticar las ventas actuales. Como conocemos el total de vendedores de tamales, dividimos entre 30 y obtenemos la demanda particular. Luego hacemos el proceso mencionado en la pregunta 2.

25 600 compradores.

Si se divide 25 600/30 = 853,33 tamales. Entonces, se puede afirmar que si se preparan 853 tamales, se puede asegurar su venta total.

La cantidad de insumos de la receta corresponde a la cuarta parte del número de tamales.

Se necesitan los insumos previstos para 213,3 recetas.

266,66 kilos de choclo desgranado42,66 kilos de cebolla10,67 kilos de culantro427 ajíes verdes213,33 cucharaditas de ajo molido32 kilos de mantecaLas compras se realizarán redondeando al entero mayor.

Definitivamente, la matemática la ha ayudado a tomar una mejor decisión.

¼ 213,3

853

89


Resolvamos 1 136MD

Decisiones bien medidasActividad

Comente a sus estudiantes que, en la cotidianidad, realizamos conversiones de medida para tomar decisiones eficientes y adecuadas al contexto; por ejemplo cuando queremos hacer cambios de monedas nacionales y extranjeras o decidir la cantidad de ingredientes respecto a un recetario de cocina expresado en tazas, cucharadas, gramos y onzas; también al reconocer las medidas de productos ferreteros expresados en pulgadas o pies, así como al realizar actividades en las que se establecen unidades no convencionales que requieren una posterior formalización.

Conversión de unidades de medida


Resuelve problemas de conversión de unidades de longitud, masa y volumen en el sistema métrico decimal.CAPACIDAD

La tarea presenta un plano que simula una red de carreteras entre varios pueblos. Las unidades de medida están en kilómetros (km). Lo que se quiere es que el estudiante explore este plano y calcule distancias entre diversos pueblos.

La tarea presenta un problema sobre diseño de un recipiente para contener algún producto. Hay que decidir entre dos posibilidades de fabricación con el mismo material. Este tipo de situaciones se observa con bastante frecuencia en la industria, donde la matemática es utilizada para minimizar el material utilizado en los recipientes.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran tomar decisiones basadas en argumentos matemáticos. En este caso, el indicador elegido para decidir será la capacidad de un recipiente cilíndrico.






20







Una gira otoñalT1

Envasando canchitaT2

En este caso, se propone desarrollar el ensayo y error. El tanteo sistemático no se realiza aleatoriamente. Después de cada tanteo, los estudiantes deben reflexionar sobre el próximo, dándose cuenta de cuán cerca de lo pedido estuvo su primer tanteo, si está cerca por exceso o si está cerca por defecto.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas aditivos que involucren distancias y conversión entre unidades de medida.

Los estudiantes pueden tener dificultades al tantear de manera organizada. Es bueno, por ello, preguntar las razones de cada tanteo que realizan. Además, deben inferir que las técnicas de ensayo y error no son caóticas, sino que responden a un orden y a razonamientos de tipo matemático.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cumplir con las condiciones para cada distancia pedida. A veces exige rutas de ida y vuelta; otras, solo de ida, o que pasen por un determinado número de pueblos, entre otras condiciones.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el proceso de la experimentación, evitando dejarse llevar simplemente por la intuición. Para esta actividad, se propone hacer un modelo físico y utilizar una fórmula.

Sistema legal de unidades y medidas del PerúCálculo con decimalesEcuaciones linealesFórmulas geométricas de longitud, masa y volumen




Los estudiantes deberán comprobar sus resultados, además de contrastarlos con su intuición inicial. A partir de esta actividad, se presentan otras preguntas para que el estudiante explore la situación.

La tarea presenta un problema de conversión de unidades no convencionales.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran establecer equivalencias entre unidades desconocidas. Aunque las presentadas aquí son ficticias, el proceso realizado para encontrar cada equivalencia es el mismo que cuando se realiza entre unidades de medición convencionales.

En este caso, se propone la representación literal de algunas dimensiones desconocidas, sin que esto altere los resultados del cálculo del perímetro de las figuras, y luego el desarrollo de cada una de las pequeñas situaciones de forma sistemática.Los estudiantes pueden tener dificultades al asumir, si fuera necesario, algunas de las medidas que no son proporcionadas en las figuras. Es interesante reflexionar con los estudiantes sobre cómo esta ausencia de información puede ser resuelta con bastante facilidad al considerar datos literales.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de contexto real que requieran el cálculo de perímetros.

La tarea presenta 5 planos diferentes correspondientes al diseño de un jardín. El problema busca determinar en cuál de ellos el costo de construcción de un cerco será el mayor.


Los estudiantes pueden tener dificultades al reconocer los elementos en cada uno de los recipientes, como el radio y la altura. Para evitar esto, es conveniente que tomen una hoja y realicen el experimento construyendo el envase pedido; así, su visualización espacial se enriquece.Un error típico es creer que el recipiente más alto es el que tiene mayor volumen; pero este no solo depende de la altura del cilindro, sino, principalmente, de su radio. La relación de proporcionalidad entre el volumen y el radio es cuadrática; mientras que la relación entre la altura y el volumen es lineal. Es decir, si se duplica el radio del recipiente, el volumen se cuadriplicará; pero si se duplica la altura, el volumen solo se duplicará.









Decisiones medidasT4

Las estatuillasT3

Al desarrollar la tarea, se prioriza desde el inicio la identificación de una relación. Quiere decir que los estudiantes deben identificar, entre todas las equivalencias dadas, una que relacione directamente la unidad nueva con alguna conocida. Utilizando esta relación sistemáticamente pueden hallar las demás conversiones.




Los estudiantes pueden tener dificultades al plantear la ecuación que les permita iniciar el trabajo. Por ello, las preguntas los guiarán hacia ese descubrimiento.Los estudiantes deberán reconocer la estructura de otros problemas en los que la estrategia puede ser útil. Además, se plantean otras variantes del sistema de relaciones.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de figuras que tienen el mismo perímetro y su relación directa con el costo por construcción del cerco.

Es importante que los estudiantes reflexionen sobre lo actuado e identifiquen formas diferentes que tengan un mismo perímetro. Se les puede proponer, además, tareas en las que creen diversas figuras, cuyos perímetros midan lo mismo que el diseño original.


En este caso, se propone la lectura analítica del problema, la organización de datos y el planteamiento de ecuaciones.


Resolvamos 1 138MD

Decisionesbien medidas20

Una gira otoñal

1) ¿Qué distancia hay de Apata a Wari?

2) ¿Qué distancia hay de Apata a Cala pasando por Wari?

3) Si desean visitar tres pueblos y recorrer la distancia más próxima a 220 km en la ruta de ida, ¿por qué pueblos pasarán?

4) La familia se decidió por una ruta desde Mapacá a Mapallá de 194 km. ¿Por qué pueblos pasarán?

5) ¿Cuántos kilómetros hay entre Mapacá y Mapallá si se viaja a través de Wari, Cala y Oruno?

6) Reflexiona y responde: ¿Para resolver los problemas anteriores, qué conceptos matemáticos has empleado?

7) ¿Cuál es la ruta de mayor distancia para ir a Mapallá: Apata, Tumbo, Carhui o Wari, Cala, Oruno?

Carhui

Mapallá

Apata

MapacáWariWari

CalaCala Oruno

TumboTumbo

La familia Rodríguez toca música folclórica desde hace 20 años. Este otoño, ellos desean realizar una gira desde Mapacá hasta Mapallá. Un guía turístico les dio este plano, en el cual se observan las distancias entre varias ciudades que podrían visitar.

46 km

46 + 43 = 89 km

Saliendo de Mapacá pasarán por Apata, Tumbo, Cala y Mapallá.

Pasarán por Apata, Wari y Cala.

144 km

Se ha empleado el análisis de la ruta próxima y exacta, mediante ensayo y error.

La ruta de mayor distancia es yendo por Apata - Tumbo - Carhui. La distancia es de 188 km.

90



Estela quiere hacer dos recipientes sencillos para colocar la canchita serrana que vende. Para ambos utiliza cartulina blanca y les da la forma de tubos. Las dimensiones de cada hoja de cartulina son 12 cm por 0,18 m. Estela pegó los tubos a las bases circulares de cartón con cinta adhesiva, como se observa en la figura. ¿Qué recipiente contendrá más canchita?

Nota: π = 3,14

Envasando canchita

1) ¿Tu estimación coincidió con la respuesta?

2) Describe las estrategias que te sirvieron para resolver este problema.

3) Si un grano de canchita ocupa, aproximadamente, 1/8 cm3, ¿cuántos granos de canchita entrarán en el recipiente A y cuántos en el recipiente B?

1) ¿Cuál es la circunferencia y la altura del recipiente A?

2) ¿Cuál es la circunferencia y la altura del recipiente B?

3) Puedes encontrar el radio de cada recipiente mediante la fórmula r = l , donde l es la longitud de la circunferencia.

¿Cuál es el radio del recipiente A? Redondea a décimas.

1) ¿Qué elabora Estela?

2) ¿Qué formas geométricas tendrán los recipientes?

3) Describe con qué material construirá estas formas.

4) ¿Qué es lo que te piden?

5) Adelanta una respuesta con una estimación.

1) ¿Qué fórmulas recuerdas acerca de estas formas geométricas?

2) ¿Cuál de estas fórmulas crees que te servirá para responder la pregunta?

4) ¿Cuál es el radio del recipiente B? Redondea a décimas.

5) ¿Qué fórmula usarías para encontrar el volumen de cada recipiente? ¿Por qué?

6) ¿Cuál de los recipientes contiene más canchita? Explica.

4) Si la hoja hubiese sido cuadrada, ¿qué hubiese pasado con los recipientes?

5) Crea un problema con las características del problema presentado.

2πo o

Elabora dos recipientes para envasar la canchita que venderá.

Con una hoja de cartulina, de 18 cm de largo por 12 cm de ancho.

Tendrán formas cilíndricas.

Determinar cuál de los dos recipientes contiene más canchita.

Las respuestas pueden variar.

Las primeras fórmulas.

Volumen del cilindro = πr2h Superficie del cilindro = 2πrh Área total = 2πr (h+r)

El recipiente A tiene 18 cm de circunferencia y 12 cm de altura.

El recipiente B tiene 12 cm de circunferencia y 18 cm de altura.

Radio A: 2,9 cm

Las respuestas pueden variar.

Radio B: 1,9 cm

Usaría la fórmula: Volumen = πr2h Porque a mayor volumen, habrá más capacidad para la canchita.

Volumen A = 316,89 cm3

Volumen B = 204,04 cm3 El recipiente A, porque tiene más volumen.

Construir un modelo físico y utilizar la fórmula particular para el problema.

Recipiente A: 2535,2 granos, redondeando serían 2535 granos. Recipiente B: 1632,32 granos, redondeando serían 1632 granos.

Hubieran tenido la misma capacidad.

A resolver por el estudiante.

91


Resolvamos 1 140MD

Las estatuillas

1) ¿Qué encuentran en el museo Mercedes y su padre?

2) ¿Qué significan las palabras: huama, seto, wipi y qui?

3) ¿Qué te dicen acerca de estas unidades? ¿Están relacionadas?

4) ¿Qué es lo que quieres saber?

El huama, el seto, el wipi y el qui eran unidades de peso para la civilización chihuán.• 1seto (S) pesa lo mismo

quelasumade1huama y 1wipi.

• 1huama (H) pesa lo mismoquelasumade1wipiy1qui.

• 2wipis (W) pesan lo mismoque1qui.

• 1qui(Q)pesa14gramos.

1) Escribe, en forma de ecuación, cada relación de peso. Utiliza la letra correspondiente para cada unidad.

2) ¿Hay una ecuación con Q y una letra más? Utilízala para hallar el valor de otra medida en gramos.

3) ¿Hay alguna ecuación con Q, W y otra letra más? Utilízala para hallar el valor de H en gramos.

1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver este problema.

2) La estrategia empleada se puede aplicar en otros problemas. ¿De qué tipo?

3) ¿Cuál es el peso de las estatuas en wipis?

1) ¿Cómo puedes escribir en lenguaje matemático las equivalencias dadas en el pergamino?

2) ¿Hay alguna relación con una unidad de medida que conozcas?

3) ¿Es posible combinar las equivalencias para descubrir cada una?

4) A partir de las ecuaciones, ¿cuántos gramos hay en un seto, un huama y un wipi?

5) Encuentra el peso de cada estatua en gramos.

4) ¿Cuál será el peso en huamas?

5) Si no te hubieran dado alguna de las equivalencias, ¿se habría podido resolver el problema? Explica.

Mercedes y su papá fueron al Museo de Arqueología el último sábado. En un sector del museo, se encontraban cuatro estatuillas hechas de piedra de Huamanga. Cada estatua tenía símbolos grabados que mostraban su peso. En un costado, se encontraba un pergamino con algunas de las equivalencias de los pesos.Utiliza esta información para obtener el peso de cada estatua en gramos.

Cuatro estatuillas hechas de piedra con símbolos grabados que mostraban su peso.

Las unidades de peso utilizadas.

Son unidades de peso y sus equivalencias están en un pergamino que se encuentra en el museo. Sí están relacionadas.

El peso de cada estatua en gramos.

Asignando variables a cada unidad; por ejemplo: 1 seto (S); 1 huama (H); 1 wipi (W); 1 qui (Q)1 seto = 1 huama + 1 wipi 1 huama = 1 wipi + 1 qui1 qui = 2 wipis1 qui = 14 g

Sí, 1 qui = 14 g.

Sí es posible.

Sí.

Sí.

S = H + W H = W + Q Q = 2W Q = 14

Q = 2W Luego, W = 7 g.

En un seto hay 28 g; en un huama, 21 g, y en un wipi, 7 g.

H = W + Q Entonces, H = 21 g.

1.a estatua = 5 x 7 = 35 g2.a estatua = 3 x 21 = 63 g3.a estatua = 4 x 28 = 112 g4.a estatua = 6 x 14 = 84 g

Se plantearon ecuaciones.

Sí, en problemas que requieren cambiar

las relaciones entre variables.

1.a estatua: 5 wipis 3.a estatua: 16 wipis2.a estatua: 9 wipis 4.a estatua: 12 wipis

1.a estatua: 1,67 huamas 3.a estatua: 5,33 huamas 2.a estatua: 3 huamas 4.a estatua: 4 huamas

No, hubieran faltado datos para resolver el problema completo. Como hay cuatro letras, se necesitan cuatro relaciones.

92



1) ¿Interesa conocer el área o el perímetro de cada figura?

2) ¿Qué longitud tiene la cerca en I?

3) En II faltan algunas medidas, ¿son necesarias para calcular la longitud de la cerca?

4) ¿Cuánto mide la cerca en el caso II?

5) Para determinar la longitud de cerca en IV, representamos con a y b dos de las medidas. Completen las demás.

7) Utilicen la figura anterior y calculen la longitud de cerca en IV.

8) Utilicen un razonamiento parecido al de la pregunta 5 y determinen la longitud de la cerca IV.

Un arquitecto presenta a su cliente cinco planos diferentes para un proyecto de jardín en su terreno rectangular, que mide 12 de largo por 8 de ancho, donde las líneas continuas representan la cerca que debe ser construida para proteger las flores. Las regiones claras son todas rectangulares y de las mismas dimensiones en cada plano. El tipo de cerca es el mismo en todos los casos. ¿En qué proyecto el costo de construcción de la cerca será mayor?

a

a

b

I II III IV V

Decisiones medidas

9) Si los rectángulos en blanco de la figura III tienen 3 m de base y 4 m de altura, ¿cuánto medirá la cerca?

10) ¿Cuál de las cercas mide más de 40 metros?

11) Reflexionen en equipo la razón por la cual la cerca III tiene más de 40 metros de longitud.

12) Completen esta tabla respecto a lo que miden las cercas para cada proyecto.

13) El costo de cada cerca depende, esencialmente, de la longitud de la cerca. ¿A cuál de los proyectos corresponde un costo mayor? ¿Por qué?

Proyecto Miden menos de 40 m

Miden 40 mMiden más de 40 m

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con medidas que son importantes para calcular tiempo, masa, capacidad y longitud en sistemas convencionales (cinta métrica, regla, etc.) o no convencionales (pie, mano, etc.).




Autoevaluación

El perímetro.

2(12 + 8) = 40 m

Mide lo mismo que el caso I, 40 m.

12-b

12-b

8-a

b

L = a + 12 – b + 8 – a + b + a + 12 – b + 8 – a + b = 40

40 metros.

No. A pesar de desconocerse algunas medidas, se puede hallar la longitud total.

Medirá 40 + 3 + 3 + 3 + 3 = 52 m.

La cerca III.

A responder por el estudiante.

Al proyecto III porque tiene la mayor longitud, mide más de 40 m.

ninguno

I, II, IV y V

III

93


m

Resolvamos 1 142MD

Actividad

Comente con sus estudiantes que cotidianamente estamos tratando de economizar recursos. En ese sentido, por ejemplo, buscamos disminuir el tiempo que empleamos en el transporte, identificar la ruta más corta si debemos hacer algún reparto, minimizar el material empleado en un diseño, etc. La matemática tiene una rama dedicada a la optimización de procesos y materiales. En esta actividad, trabajaremos con caminos mínimos, los que enfrentaremos desde un punto de vista geométrico.

Recorridos mínimos Sistema de unidades de longitudCuerpos geométricosCálculo con decimales


Resuelve problemas de optimización de trayectos que involucran el desarrollo de sólidos geométricos.CAPACIDAD

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de optimización de trayectos en el plano.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la experimentación que se hace mediante el cálculo de varios posibles puntos.En este caso, se propone particularizar la situación mediante la experimentación con datos supuestos hasta lograr que los resultados cumplan con la condición del problema.

Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar el modelo a escala en una hoja, por lo que se sugiere comparar los diseños de cada uno. El docente debe pedir, con antelación, instrumentos de trabajo gráfico.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren el cálculo de rutas mínimas en figuras geométricas espaciales.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las diversas posibilidades que tiene la hormiga para ir al encuentro de la miel.

Los estudiantes deberán explorar diversas vías de solución. También se les pide que hagan un modelo físico para que visualicen mejor las estrategias utilizadas en la solución del problema.






21







El dilema de María T1

La hormiga golosaT2

La tarea presenta una situación en la que dos puntos, a un mismo lado de una recta, se unen mediante una ruta mínima, donde se condiciona para que el camino toque la recta. El problema se contextualiza en el viaje diario de una persona que debe ir de su casa a su tienda de trabajo, pero que debe llegar al río para abastecerse de agua.

La tarea presentada muestra una situación de ruta mínima que debe recorrer una hormiga en un cilindro para llegar a una gota de miel. Los puntos que se deben unir se encuentran en el anverso y reverso de la superficie del cilindro.

En este caso, se propone desarrollar el cuerpo geométrico para reducir el problema a uno similar ya estudiado (“El dilema de María”), así como utilizar la reflexión en un punto. Considerar que la distancia mínima entre dos puntos es una recta.

Los estudiantes pueden tener dificultades al entender cómo deben realizar la reflexión y también al comprender que el camino elegido es el mínimo posible. Para ello, puede decirles que experimenten con otros caminos y que calculen sus distancias.


La geometría de los mínimos





Los estudiantes pueden tener dificultades al diseñar el desarrollo del modelo con una escala apropiada. Las preguntas 4 y 5 pueden servir para guiar su trabajo.

La tarea muestra un problema típico de distancias mínimas. En esta ocasión, se trata de determinar el mínimo recorrido que debe realizar una araña para encontrar a una mosca.

Los estudiantes pueden tener dificultades al desarrollar el sólido geométrico en el plano. Las preguntas señaladas en la tercera fase los guiarán a superar esta dificultad.

La tarea presentada muestra una situación de trayecto mínimo que debe recorrer una araña para llegar hasta una mosca que se encuentra en el extremo opuesto de la diagonal de un prisma recto.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de ruta mínima en figuras geométricas espaciales. Al desarrollar la tarea, se debe establecer que los problemas espaciales pueden trasladarse a problemas planos, mediante el desarrollo de los cuerpos.






La araña matemáticaT4

La araña y la moscaT3

Al desarrollar la tarea, el docente debe poner énfasis en la representación mental que logren los estudiantes del recorrido que debe hacer la araña sobre la superficie, así como en el uso de argumentos matemáticos para justificar sus conclusiones.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que involucren la representación gráfica de figuras en el espacio, a partir de la información planteada en el enunciado.

En este caso, se propone desarrollar el prisma en un diagrama en el plano, de manera que el cálculo de tramo mínimo a ser recorrido se calcule en una figura geométrica plana. Desarrollar un sólido geométrico es representar en el plano la figura proporcional a partir de la cual se obtuvo el sólido.

Los estudiantes deberán reflexionar acerca de cómo se usó la estrategia. Además, tendrán que reconocer las similitudes entre este problema y el anterior para que puedan identificar la estructura de problemas similares, en los que se debe utilizar un desarrollo. Asimismo, se presentan variantes a la situación inicial.







En este caso, se propone la representación gráfica de la situación y el desarrollo de un modelo.

Para aquellos estudiantes más avanzados, se pueden proponer tareas de investigación; por ejemplo, realizar recorridos mínimos en conos. Es posible buscar problemas de este tipo, propuestos para las Olimpiadas Argentinas de Ingenio, en la dirección:http://www.stateresa.edu.ar/colegio/index.php/olimpiadas-matematicas


Resolvamos 1 144MD

La geometría de los mínimos21

El dilema de María

1) En tu cuaderno, usando un transportador y una regla, haz un dibujo a escala de la situación. (Escala = 1 cm : 100 m).

2) Señala en tu dibujo diversas posiciones de P, tales que CP = 100 m, 200 m, 300 m, ... , 1200 m.

3) Usa tu dibujo a escala y una regla para estimar la distancia total que María debe recorrer cuando P es escogido exactamente en C.

4) Registra tu estimación en cada fila de la tabla adjunta, donde CP = 0.

En cada caso, mide la distancia AP + PB; además, usa el transportador para medir el ángulo 1 (ángulo con el que llega al río) y el ángulo 2 (ángulo con el que deja el río) y registra tus resultados en la tabla adjunta.

CP AP PB AP +PB Ángulo de entrada Ángulo de salida

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

5) De la tabla anterior, estima cómo debería elegirse P para hacer que AP + PB sea la distancia más corta posible.

6) Reflexiona y responde: ¿Cómo deberán ser los ángulos de entrada y de salida cuando AP + PB es el mínimo posible?

7) Compara tus conclusiones anteriores con las de tus demás compañeros.

Todos los días, María tiene que atravesar parte del desierto de Ica para llegar a su tienda de trabajo. Una gran dificultad es cargar con el agua que requiere para su diaria labor de excavación. Felizmente, ha descubierto un río recto muy cerca de su centro de operaciones, donde puede aprovisionarse de agua.

¿En qué punto P del río debe aprovisionarse de agua para hacer el recorrido más corto hacia su tienda de trabajo?

Respuesta libre.

1836 m

Ver tabla.

Debe elegirse de tal manera que CP = 800 m.

Ángulo de entrada = Ángulo de salida = 37°

Respuesta libre.

0 1836 1836 90° 14°

608 1140 1748 80° 15°

632 1040 1672 71° 17°

670 948 1618 63° 18°

720 854 1574 56° 21°

780 761 1541 50° 23°

848 670 1518 45° 27°

921 583 1504 41° 31°

1000 500 1500 37° 37°

1080 424 1504 34° 45°

1166 360 1526 31° 56°

1250 316 1566 29° 72°

1341 300 1642 27° 90°

94



Una hormiga se encuentra a 3 cm del borde de un recipiente cilíndrico, en su parte exterior. Al otro lado, en el punto diametralmente opuesto y dentro del recipiente, hay una gota de miel. La hormiga desea llegar a la miel recorriendo el menor trayecto posible. ¿Cómo puede hacerlo? ¿Cuánto mide ese trayecto? Nota: El cilindro tiene 20 cm de circunferencia y 30 cm de altura.

La hormiga golosa

1) ¿Quién participa en esta historia?

2) ¿Dónde se encuentra la hormiga?

3) La miel se encuentra en un punto “diametralmente opuesto” al que ocupa la hormiga. ¿Qué significa esto?

4) ¿Qué dimensiones posee el recipiente?

5) ¿Qué desea hacer la hormiga?

6) El problema solicita que la hormiga llegue en “el menor trayecto”, ¿qué significa esto?

1) ¿Es posible hacer el cálculo en el espacio?

2) Si cortas el cilindro como se muestra, ¿qué forma tiene la superficie obtenida?

3) ¿Crees que es conveniente desarmar el cilindro y colocar los puntos en esta superficie plana? ¿Por qué?

1) Para resolver el problema, has empleado un procedimiento inusual. ¿Cuál es?

2) ¿En qué situaciones utilizarías tal procedimiento?

3) ¿Cuánto habría medido este recorrido si la altura del cilindro se hubiese reducido a la mitad y la circunferencia también; además, si la miel hubiese estado a 2 cm del borde? ¿Cómo cambiaría la respuesta?

4) Haz un modelo físico como si la hormiga se hubiera encontrado a 5 cm del borde en el problema anterior. Ubica los puntos y comprueba experimentalmente que tu respuesta es correcta.

1) El lugar donde se encuentra la hormiga.

2) El lugar donde se encuentra la miel.

3) Desde el punto en el que está la hormiga, dibuja dos trayectos para llegar a la miel. Mide con una regla.

4) Imagina que el borde superior es un espejo. Dibuja el punto en el que se refleja la hormiga. ¿Cuál es el menor camino entre el reflejo de la hormiga y la miel? Trázalo.

5) ¿Cuánto mide este recorrido? Mídelo con una regla.

6) ¿Crees que puede haber un recorrido menor? Explica.

Este es el desarrollo del cilindro. En tu cuaderno, traza el gráfico con las medidas señaladas, coloca las dimensiones y ubica:

10 cm

20 cm

30 cm

La hormiga que quiere llegar a la gota de miel. Se encuentra a 3 cm del borde de un recipiente cilíndrico, en su parte interior.

Que la hormiga y la gota de miel se encuentran en los extremos de la recta que pasa por el diámetro del círculo que forma el cilindro. El cilindro tiene 20 cm de circunferencia y 30 cm de altura.

Desea llegar a la miel usando el menor trayecto.

Que recorra el camino más corto posible.

No es posible.

La forma de un rectángulo.

Sí es conveniente, pues permite visualizar fácilmente todas las opciones.

Ver gráfico.

Ver gráfico.

A realizar por el estudiante.

Ver la línea roja en el gráfico.

No, pues en el desarrollo se define la distancia más corta.

Mide 11,66 cm.

Hacer el desarrollo del cilindro.

Para encontrar trayectos mínimos sobre la superficie desarrollada de cualquier sólido.

La altura no interviene, la circunferencia sería de 10 cm. La distancia mínima es 6,4 cm.

Respuesta libre.

3 cm

3 cm

95


Resolvamos 1 146MD

En la esquina de la base de una caja de zapatos abierta (que mide 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 20 cm de alto), se encuentra una mosca muerta. En la esquina opuesta superior, está una araña.¿Cuál es el camino más corto que puede escoger la araña para llegar hasta la mosca? 40 cm

30 cm

20 cm

La araña y la mosca

1) ¿Por dónde caminará la araña?

2) ¿Cuál es la distancia más corta entre los puntos donde se encuentran ambas? Explica.

3) ¿Puede realizar la araña ese camino? ¿Por qué?

4) ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?


1) Dibuja la plantilla que dio origen a la caja de zapatos (desarrollo), reduciéndola a la quinta parte de su tamaño real, e intenta sobre ella varios caminos.

1) Describe la estrategia que más te sirvió para resolver el problema.

2) ¿Qué otra estrategia empleaste?

3) ¿Puedes decir que este problema es análogo al de “La hormiga golosa”? ¿Por qué?

1) ¿Cuál es la longitud de un camino que va por los bordes de las paredes de la caja?

2) ¿Has visto un problema parecido antes?

3) ¿Crees que se puede utilizar algún método eficaz para resolverlo?

4) Hacer un modelo físico del problema es conveniente, a veces, para resolver problemas de recorridos mínimos. Construye un modelo físico. Hazlo a escala natural y traza el recorrido de la araña.

5) ¿Cuánto mediría el camino más corto si la araña solo hubiese podido caminar por las aristas de la caja?

2) ¿Cuánto mide el camino más corto? (Recuerda que has reducido el tamaño del desarrollo de la caja).

Puede caminar por las aristas o por las caras de la caja.

El camino más corto es recorrer la diagonal principal de la caja.

No, porque no puede volar.

Son 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 20 cm de alto.

El camino más corto que puede realizar la araña para llegar a la mosca.

Sí, en esta misma lección.

Sí, se puede hacer el desarrollo de la caja.

La longitud es de 90 cm. No es la mínima distancia.

Se ensayaron varias rutas para determinar la más corta.

Es análogo, porque se usaron las mismas estrategias.

Se desarrolló la caja de zapatos, es decir, un modelo físico.

Respuesta libre.

El camino más corto mediría 90 cm.

Hay dos posibilidades: un camino de √4100 m, equivalente a 64,03 m, y otro de √4500 m, equivalente a 67,08 m. El camino más corto es el primero.20 cm

40 cm

20 c

m

30 c

m

96



20 cm

En una pared vertical y a 5 dm del suelo hay una araña. En el suelo, pegada a la pared en la que se encuentra la araña y a 5 dm a la izquierda de la vertical de la araña, hay un borrador. Y a 7 dm de la pared y del borrador se encuentra, en el suelo, una mosca.¿Cuál es la distancia mínima que tiene que recorrer la araña para comerse a la mosca?

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan el problema:

La araña matemática

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la optimización de trayectos sobre sólidos geométricos, que se utiliza tanto en el diseño como en la construcción de puentes, túneles y otros. Recordemos: al optimizar algo, estamos ahorrando tiempo y dinero.




Autoevaluación

1) Describan las ubicaciones de la araña y la mosca.

2) Aparte de la araña y la mosca, ¿qué otro elemento importante se menciona en el enunciado del problema?

3) ¿Qué distancia recorrerá la araña si baja verticalmente, se desliza sobre el piso hasta el borrador y de ahí a donde está la mosca?

4) ¿Qué deben hacer para que el camino calculado en la pregunta anterior tenga menor longitud?

5) A continuación, se presentan dos gráficos. En el primero ubiquen a escala el punto A (araña) y el punto M (mosca). En el segundo, a partir de la ubicación realizada, tracen la distancia del recorrido de menor longitud. ¿Cuál es la distancia del punto A al punto M?

6) ¿Por qué el recorrido medido en el esquema anterior es el de menor longitud?

7) ¿A qué punto de la intersección del suelo con la pared se debe dirigir la araña?

La araña está en la pared a 5 dm del suelo.

La mosca, en el piso, a 7 dm de la base de la pared.

Porque la menor distancia entre dos puntos es la recta.

Desde el punto sobre el piso, que está inmediatamente debajo de la araña, se mide la distancia al punto de intersección de AM y la horizontal. A escala, tal medida es aproximadamente 2 dm.

Se menciona y se da la ubicación de un borrador, para que se tome como referencia al hacer los cálculos.

Recorrerá 5 + 5 + 7 = 17 dm.

Debo hacer un esquema en el que desarrolle la figura tridimensional en un plano.

Sobre el dibujo hecho a escala, medimos la trayectoria AM y obtenemos 13 dm.

A

C

M

A

M

5 dm

5

7 dm

97

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 147 7/21/12 10:45 AM

Resolvamos 1 148MD

Medir para decidirActividad

Comente con sus estudiantes que en el mundo interactúan con muchas figuras geométricas. A modo de ejemplo, bastará con mirar a su alrededor en el aula, donde observarán paredes, ventanas, pizarras, armarios, etc. ¿Cómo creen los estudiantes que se construyeron los salones, los caminos? ¿Cómo supieron los trabajadores cuántas losetas necesitaban para el piso, cuánta pintura requerían para las paredes del aula, de qué tamaño debía ser la pizarra o cómo fabricar el armario? En todas estas actividades, las personas que las hicieron necesitaron medir áreas, perímetros, longitudes de segmentos, etc. Se puede contar la anécdota real de un carpintero que hizo un armario, pero que no pudo meterlo a su casa porque las dimensiones de la puerta no lo permitían. Por tanto, desde ahora, antes de decidir, se debe medir.

ÁreasPerímetros


Calcula el perímetro y área de figuras poligonales.Estima o calcula exactamente el área de figuras planas utilizando diversos métodos.

CAPACIDADES

La tarea presenta un terreno rectangular que se encuentra dividido en sectores también rectangulares.

La tarea presenta un problema dinámico que involucra un punto fijo y uno móvil. En este caso, la vaca, que es el punto móvil, tiene libertad para pastar, solo limitada por la longitud de la cuerda que la ata al punto fijo.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el cálculo de áreas.







22







Los lotes cercadosT1

Vacas felices que no comen lombricesT2

En este caso, se propone utilizar un diagrama analógico, con el fin de encontrar la información requerida para resolver cada uno de los problemas planteados.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el cálculo de perímetros.

Los estudiantes pueden tener dificultades al trasladar medidas dentro del diagrama. La clave está en que se den cuenta de que el lote I es un cuadrado y que, por lo tanto, sus cuatro lados son iguales. Lo mismo ocurre con el lote IV.Un típico error es olvidar que los cercos de lotes colindantes no se deben contar dos veces, sino una, en los casos en los que se quiere ahorrar cerca.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la palabra rectangular también incluye a los cuadrados. Precisamente, los lotes I y IV del terreno, que van a servir para iniciar la cadena de los descubrimientos de dimensiones, son cuadrados.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cómo se puede mover la vaca. Se sugiere que los estudiantes traigan hilo y dibujen ellos mismos la región permitida, que, en la situación planteada, comprende las tres cuartas partes de un círculo.En este caso, se propone utilizar un modelo físico y una fórmula.

Propiedades de los polígonosOperaciones con decimalesSistema Legal de Unidades de Medida del Perú (SLUMP)




Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. También se pide que inventen problemas parecidos al trabajado. Esto les ayudará a fijar la comprensión del proceso seguido, a la vez que mejorarán sus habilidades de comunicación en matemática.

La tarea presenta un diseño de reja compuesto por 32 hexágonos armados con varillas. Se trata de determinar el costo de su construcción.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el cálculo de perímetros de figuras planas usando patrones.

En este caso, se propone buscar regularidades y usar una figura patrón. Asimismo, es importante reflexionar con los estudiantes sobre otras estrategias que se pueden usar.

En este caso, se propone elaborar tablas y realizar cálculos directos. Las tablas se llenan teniendo en cuenta el costo unitario y el costo total.

Los estudiantes pueden tener dificultades al exponer verbalmente los argumentos por los que tales o cuales razonamientos no son válidos. Hay que ayudarlos en la correcta expresión de su pensamiento.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el cálculo de áreas, evaluando diferentes opciones en el proceso y escogiendo entre ellas la más económica.

La tarea presenta un caso real, donde hay que calcular el menor costo para cubrir con losetas de cerámica la superficie de un piso. Para tal fin, se presentan losetas de diferentes medidas y precios.


Los estudiantes pueden tener dificultades al organizar su razonamiento para establecer el proceso de solución. El docente debe orientar a que reflexionen sobre las formas en que se pueden ordenar las secuencias posibles para resolver el problema. Es bueno que los estudiantes comparen la sucesión de procedimientos que proponen con la secuencia planteada por otros compañeros y que lleguen a consensos sobre cuál es la mejor y más eficiente. A esta edad, los estudiantes utilizan el número pi como racional; sin embargo, se debe precisar que, realmente, emplean una aproximación de dicho número y no el valor exacto. Para fines prácticos, con eso basta.

Los estudiantes pueden tener dificultades al organizar su razonamiento para establecer el proceso de solución. El docente debe orientar a que reflexionen sobre las formas en que se pueden ordenar las secuencias posibles para resolver el problema. Es bueno que los estudiantes comparen la sucesión de procedimientos que proponen con la secuencia planteada por otros compañeros y que lleguen a consensos sobre cuál es la mejor y más eficiente. A esta edad, los estudiantes utilizan el número pi como racional; sin embargo, se debe precisar que, realmente, emplean una aproximación de dicho número y no el valor exacto. Para fines prácticos, con eso basta.










Contar y medir para decidirT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de las regularidades que presenta el diseño de los hexágonos. Por otro lado, los estudiantes deben ser conscientes también de que algunas varillas son comunes a dos hexágonos.




Los estudiantes pueden tener dificultades al visualizar los patrones en el interior del diseño de la figura y, luego, al momento de contar el número de varillas que participan. Las preguntas de la primera fase están diseñadas para ayudar a los estudiantes en la comprensión del problema y a guiar su razonamiento hacia una estrategia de solución.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y efectuar el conteo de una forma diferente a la planteada inicialmente. Asimismo, se analiza otra variante del problema.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el procedimiento para determinar los costos y en las comparaciones que se hagan.

Es posible inventar situaciones parecidas, hacer el experimento con losetas de otras dimensiones y analizar luego los razonamientos que proponen los estudiantes para resolver el problema.


Remodelación del pisoT4


Resolvamos 1 150MD

Los lotes cercados

1) ¿Cuántos metros de cerca necesitan para el lote I?

2) ¿Cuántos metros de cerca necesitan para el lote II?

3) Y para cercar el lote III, ¿cuántos metros requieren?

4) En cuanto al lote IV, ¿cuántos metros demandan?

5) ¿Cuál de los terrenos necesita más metros de cerca?

6) Si se deseara cercar de forma independiente cada lote, ¿cuántos metros se necesitarían en total?

7) El tío Rubén dice que se podrían ahorrar metros de cerca si, en lugar de cercar cada lote rectangular, se aprovechara el cerco de aquellos lugares en los que colindan dos terrenos. Si se sigue el consejo del tío, ¿cuántos metros de cerca serán necesarios?

8) Reflexiona y responde. La mamá de Rocío quiere sembrar espárragos, para lo cual ha elegido el lote más grande. ¿En qué lote sembrará? ¿Qué área tiene?

9) Reflexiona y responde: ¿Qué es lo que importa cuando siembras algo: el contorno o la superficie de la región donde se sembrará?

10) ¿Qué debería buscar la mamá de Rocío: mayor área o mayor perímetro?

11) ¿El terreno elegido coincide con el terreno de mayor perímetro? Explica.

La familia de Rocío tiene un campo de cultivo. Con el fin de separar los sembríos, desean dividirlo en cuatro lotes rectangulares -como se muestra en la figura-. Para hacerlo, quieren colocar un cerco alrededor de cada lote. Rocío quiere ayudar a su papá calculando cuántos metros de cerca necesitarán construir.

Medir para decidir22

I II

III IV

50 m 100 m

50 m

100 m

120

m

Necesitan 200 m.

Necesitan 340 m.

Requieren 340 m.

Necesitan 280 m.

Se necesita más insumos para cercar los lotes II o III.

Se necesitarían 1160 m en total.

Ella sembrará en el lote III que tiene un área de 7000 m2.

Serán necesarios 870 m.

La superficie de la región a sembrar.

El terreno de mayor área.

Coincide con uno de los que tiene más perímetro, pero no necesariamente ocurrirá igual en otras situaciones.

98



Una vaca está atada a la esquina de un granero con un pedazo de cuerda de 20 m de longitud -tal como se muestra en la figura-. El granero mide 20 m por 50 m. ¿Puedes calcular cuántos metros cuadrados de pasto tiene la vaca a su disposición para comer?

1) ¿Cuáles son las estrategias principales que te permitieron hallar la solución del problema?

2) Socializa con tus compañeros. ¿En qué situaciones podemos aplicar las estrategias empleadas?

3) Crea un problema parecido con otras características geométricas que puedas reconocer en tu entorno.

1) ¿Qué forma tiene el granero? ¿Cuáles son sus dimensiones?

2) Si no existiese el granero y si la vaca estuviera atada a un punto P con la misma cuerda, ¿qué forma geométrica tendría la región disponible para pastar?

3) Considerando el granero, ¿qué figura hace la vaca al pastar y mantener la cuerda tensa?

4) ¿Qué figuras geométricas reconoces en el problema?

5) ¿Qué te solicita averiguar el problema?

1) Establece un orden secuencial de procedimientos que realizarás para resolver el problema.

( ) Modificar la fórmula de acuerdo con las condiciones del problema.

( ) Calcular el valor del área.

( ) Registrar los datos donde correspondan.

( ) Hacer un gráfico que represente la situación.

( ) Identificar una fórmula de una figura conocida que ayude a resolver.

2) ¿Conoces alguna fórmula que te dé el área de la región si no estuviera el granero?

3) ¿Cómo modificarías esta fórmula para resolver el problema?

1) Representa gráficamente la situación problemática y ubica los datos del problema.

2) Calcula el área en el que puede pastar la vaca si no existiera el granero. Nota: π = 3,14

3) Prolonga las líneas de las paredes del granero sobre el pasto. ¿Qué figura se forma?

4) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la vaca de pasto a su disposición para comer?

20 m50 m

20 m

Vacas felices que no comen lombrices

Se hizo un gráfico análogo a la realidad, se buscó una fórmula conocida y se adaptó.



Largo: 50 m; ancho: 20 m.Es un rectángulo.

Un círculo completo.

Hace un arco circular o también ¾ de circunferencia.

Un rectángulo y un arco circular.

La cantidad en metros cuadrados de pasto que tiene disponible la vaca.

4

5

2

1

3

Sí, el área es igual a πr2.

Multiplico la fórmula por ¾.

1256 m2

Se forma 3/4 de circunferencia.

El área a disposición de la vaca es 942 m2.

50 m

20 m

99


Resolvamos 1 152MD

Un carpintero metálico va a armar una reja con 32 hexágonos regulares de 0,5 m de lado, hechos con varillas. En el almacén hay un lote de varillas de 1,5 m de longitud. Si cada una de ellas cuesta S/. 6, establece el costo de la reja formada por los 32 hexágonos.

Contar y medir para decidir

1) ¿Qué forma geométrica predomina en el problema?

2) ¿Cuántos hexágonos regulares se van a armar?

¿Cuáles son sus medidas?

3) ¿Cuánto mide cada varilla en el almacén y cuánto cuesta?

1) ¿Bastará con multiplicar las 6 varillas de un hexágono por el número requerido de hexágonos para obtener el total de varillas?

2) ¿Es conveniente trabajar con todo el esquema o trabajar por partes?

1) ¿Cuál es la estrategia que utilizaste para resolver el problema?

2) Comprueba los resultados hallados; haz un conteo diferente que confirme el total de varillas para formar los 32 hexágonos.

3) Repite la experiencia con 64 hexágonos de 1 m de lado. Si cada varilla de 1,5 m cuesta S/.6, determina el costo en varillas.

1) Comienza por lo más fácil, busca una figura patrón que se repita. ¿Cuántos lados tiene?

2) ¿Cuántas veces se repite la figura patrón?, ¿es exacto este número?

3) ¿Cuál es el total exacto de varillas de 0,5 m?

4) ¿Cuál es el costo de las varillas?

3) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema?

a) Ensayo y error

b) Buscar regularidades

c) Calcular directamente

Hexágonos regulares.

32 hexágonos.

0,5 m de cada lado.

Cada varilla mide 1,5 cm y cuesta S/.6.

Es conveniente trabajar por partes, ya que no se puede graficar el esquema completo.

No es correcto, porque hay varillas que son comunes a dos hexágonos.

Buscar regularidades.

Hay 11 hexágonos en la figura superior, para

formarlos se necesitan 6 + 5 x 10 = 56. Lo mismo

en la fila inferior, unidos por 11 varillas, es decir,

56 + 56 + 11 = 123.

Esta es la figura patrón, tiene 16 lados.

Se repite 10 veces. No es exacto, pues sobran dos hexágonos.

Cada repetición del patrón exige 11 varillas más y al final, 8. El total es 16 + 9 x 11 + 8 = 123

[(123)(0,5 m)/(1,5 m)] x S/.6 = S/.246El costo es S/.246.

Número de varillas = 16 + 20 x 11 + 3 = 239Costo en varillas = 239 x 4 = 956El costo en varillas es S/.956.

100



9) Reflexionen: ¿es posible que al considerar el tercer tipo de losetas se obtenga un costo diferente a los ya calculados? ¿Sería mayor o menor? ¿Por qué?

10) Calculen el costo si se utilizan las losetas de 25 cm de lado.

11) Completen este cuadro con las cantidades de losetas necesarias de cada tamaño y los costos. Utilicen el cuadro y decidan qué tipo de loseta conviene y el costo correspondiente.

12) ¿Qué estrategia utilizaron para resolver el problema?

13) ¿Cuál es el precio del metro cuadrado de cada tipo de loseta?

Se debe remodelar un piso de 8 metros de largo por 5 de ancho con losetas de cerámica. En la tienda de estos productos hay disponibles losetas cuadradas de 10 centímetros de lado cada una, pero también hay losetas cuadradas de 20 y 25 centímetros de lado. En el orden indicado, los costos de este tipo de losetas son S/.1,20; S/.3 y S/.4,20, respectivamente.

Según el tipo de losetas que se utilice, ¿cuál es el menor costo que puede tener la remodelación?

Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema:

Tipo N.º losetas Costo unitario Costo total

A

B

C

Remodelación del piso

1) Hagan una lista de precios de los tipos de losetas.

2) ¿Cuál es el área del piso que se va a remodelar?

3) Si utilizan las losetas de 10 cm, ¿cuántas necesitarán?

4) ¿Cuál es el costo total si utilizan losetas de 10 cm?

5) Si utilizan las losetas de 20 cm, ¿cuántas necesitarán?

6) ¿Cuál es el costo total si utilizas losetas de 20 cm?

7) ¿Hay alguna diferencia entre los dos costos totales que han calculado?

8) Si solo estuvieran disponibles las losetas de 10 cm y 20 cm por lado, ¿qué tamaño convendría escoger? ¿Por qué?

Tipo lado Precio unitario

A

B

C

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el perímetro y el área de los polígonos. Estos conceptos geométricos se aplican en producción industrial, diseño publicitario, arquitectura, topografía y otros.

S/.3S/.4,20

S/.1,20




Debo mejorar.

Autoevaluación

10 cm S/.1,20

20 cm S/. 3,00

25 cm S/. 4,20

Es 8 x 5 = 40. Es decir, 40 m2.

Sí, sería diferente y posiblemente menor, pues al aumentar el tamaño de losetas disminuye el costo.

Primero, el número de losetas: (8/0,25) (5/0,25) = 640

Después el costo: 640 x 4,2 = S/.2688

Conviene la loseta cuadrada de 25 cm de lado, el costo es S/.2688.

Cálculo directo y hacer una tabla.

1 metro cuadrado = 10 000 cm2/100 cm2 = 100 losetas x 1,2 = 12

Costo del metro cuadrado formado por losetas de 10 cm es S/.12.

1 metro cuadrado = 10 000 cm2/400 cm2 = 25 losetas x 3 = 75


1 metro cuadrado = 10 000 cm2/625 cm2 = 16 losetas x 4,5 = 72


Para el largo, que tiene 8 m, se necesitan 80 y para el ancho, 50. En total 80 x 50 = 4000 losetas.

Para el largo, que tiene 8 m, se necesitaría 40 y para el ancho, 25. En total 40 x 25 = 1000 losetas.

CT = 4000 x 1,2 = S/.4800

CT = 1000 x 3 = S/.3000.

Sí, hay 4800 – 3000 = S/.1800 de diferencia.

Convienen las losetas de 20 cm porque utilizando estas losetas se ahorraría S/.1800 respecto al otro tamaño.

4000 1,2 4800

1000 3,0 3000

640 4,2 2688

101


Resolvamos 1 154MD

Medimos las regiones y sus contornosActividad

Comente con sus estudiantes que en la cotidianeidad las mediciones geométricas son muy útiles para tomar decisiones. Por ejemplo: ¿cuál es el área de la casa en que vives?, ¿cuál es el perímetro del patio del colegio?, ¿cuál es la longitud de la cerca de un corral?, ¿cuánto material se requiere para techar un gallinero?, ¿cuánto cartón necesitas para hacer un cartel o una pancarta? Estas y otras preguntas se responden haciendo uso de conceptos geométricos que debemos conocer para administrar mejor el mundo en que vivimos.

Cálculo de áreasCálculo de perímetros


Calcula el perímetro y área de figuras poligonales.Estima o calcula exactamente el área de figuras planas utilizando diversos métodos.

CAPACIDAD

La tarea presenta figuras geométricas. Hay que tener en cuenta que dichas figuras deben construirse uniendo los puntos del papel punteado, en forma vertical u horizontal.

La tarea presenta una situación geométrica en la que se muestra el plano de un terreno y se pide calcular su perímetro.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de contexto real que requieran el perímetro de figuras geométricas y el cálculo de áreas.






23







Figuras isoperimétricasT1

El campo deportivoT2

En este caso, se ha utilizado la lectura analítica y la búsqueda sistemática de elementos.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran reconocer figuras geométricas con determinadas condiciones.

Los estudiantes pueden tener dificultades al hacer un plan de búsqueda. Por ejemplo, podrían ordenar las figuras por el número de lados: primero, contando todos los cuadriláteros posibles; luego, los pentágonos; los hexágonos; y así, sucesivamente.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las instrucciones para resolver los problemas y en las formas geométricas que se pueden diagramar, según las condiciones planteadas. ¿Por qué no es posible dibujar un triángulo? ¿Por qué no, una circunferencia? Asimismo, deben estar claras las condiciones que se habrán de verificar en el objeto matemático buscado.

Se trabaja con los elementos encontrados; a partir de allí, se generan nuevos problemas. Los estudiantes pueden proponer que elaboren otros planos con medidas faltantes y que averigüen cuándo es posible calcular el perímetro, el área o ambos.


Los estudiantes pueden tener dificultades al hacer las traslaciones de las medidas en el diagrama analógico. Las preguntas de las fases 2 y 3 guían y orientan el razonamiento de los estudiantes.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes comprendan cómo se realiza el cálculo del perímetro. En general, se suele colocar las medidas de todos los segmentos del contorno de la figura para que los estudiantes resuelvan el problema; pero también pueden resolverlo por traslación de longitudes. En el caso presentado, esta segunda opción es la más útil.

En este caso, se propone realizar un diagrama analógico y dividir el problema en partes.

Operaciones aritméticasCálculo con decimalesCálculo de porcentajes




La tarea presenta el momento de toma de decisiones acerca de la construcción de la plaza de un pueblo. Esta actividad debe cumplir ciertas condiciones que, en este caso, se refieren a las áreas verdes.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieren calcular áreas de figuras complejas, mediante su descomposición en figuras elementales conocidas, y para tomar decisiones a partir de argumentos geométricos.

En este caso, se propone elaborar un diagrama analógico y un procedimiento deductivo empleando las fórmulas de las áreas de círculos, rectángulos y triángulos.

En este caso, se propone elaborar un diagrama, utilizar una fórmula y dividir el problema en partes.

Los estudiantes pueden tener dificultades al seleccionar cómo van a dividir la figura para calcular su área. Las preguntas guían el razonamiento de los estudiantes en esta dirección.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran elaborar hojas de costo mediante el uso de argumentos matemáticos, en este caso, de tipo geométrico.

La tarea presenta la fabricación de unas guirnaldas de papel, con las cuales se quiere adornar el patio y los salones de un colegio. La tarea es analizar, considerando el presupuesto del que se dispone, cuál es el costo para la elaboración de estos ornamentos. En la actividad, se dan dos opciones de guirnaldas, las que están constituidas por formas geométricas conocidas.








La plaza del puebloT3

Al realizar la tarea, el docente deberá orientar a los estudiantes en lo referido, especialmente, a los cálculos del área en cada uno de los casos presentados.




Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular el área en la segunda propuesta, ya que muchos creen que necesitan saber dónde se encuentra el vértice del triángulo. A los estudiantes se les puede presentar tres posibles ubicaciones del vértice, después de que hagan la división correspondiente. Así, llegarán a la conclusión de que el área en cuestión siempre será la mitad del cuadrado, sin importar dónde se encuentre dicho vértice.Los estudiantes deberán poder elaborar otros diseños con las condiciones dadas, además de investigar acerca de las áreas sombreadas.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el cálculo de las áreas de cada tipo de guirnaldas. La forma de calcularlas puede ser por descomposición o por complementación. Los estudiantes deben comprender que, en la mayoría de las actividades cotidianas, no disponemos de una fórmula para hallar el área de una región, pero sí podemos dividir esta en subregiones de formas conocidas.

Se puede proponer que inventen problemas similares a los planteados y que los den a los miembros de otro grupo para que los resuelvan.


Las guirnaldasT4


Resolvamos 1 156MD

Medimos las regionesy sus contornos23

Figuras isoperimétricasSe dice que dos figuras son isoperimétricas si tienen el mismo perímetro. Aquí te mostramos un papel con puntos, donde la distancia entre dos puntos adyacentes, horizontal o verticalmente, es 1 cm.

1) ¿Cuántas figuras reconoces?

2) Llena la siguiente tabla, registrando las figuras en orden de menor a mayor perímetro.

5) Reflexiona: “Se dice que dos figuras son isopérimetricas si tienen el mismo perímetro“. ¿Reconoces estas figuras en el gráfico? ¿Cuáles son?

6) Dibuja una figura con un perímetro mayor a 20 cm. Puedes unir puntos adyacentes solo horizontal o verticalmente.

3) ¿Cuánto mide la figura de mayor área?

4) ¿Cuánto miden las figuras de menor área?

Figura Perímetro de la figura

1

43

67

8

5

2

8 figuras.

5 10 cm

1 12 cm

3 12 cm

6 12 cm

2 14 cm

7 14 cm

4 20 cm

8 24 cm

La figuras que tienen 4 cm2 de área.

Sí. Las figuras 1, 3 y 6 y las figuras 2 y 7 son isoperimétricas.

La figura que tiene 11 cm2 de área.

102



El campo deportivo

1) ¿Qué desea hacer el director?

2) ¿Qué significa el dato del ancho de la malla?

3) ¿Qué datos no son necesarios para responder?

4) ¿Qué condiciones existen?

5) ¿Qué pasa con la entrada?

1) ¿Cuál es el ancho de la zona reservada? Coloca esta medida en el gráfico.

2) ¿Puede conocerse su largo?

3) Sin contar la entrada, suma las medidas que bordean el campo deportivo.

4) ¿Cuántos metros lineales de cerca necesitas para cercar el campo deportivo?

1) ¿Qué formas geométricas elementales forman el terreno?

3) ¿Qué necesitas para calcular el largo de la cerca?

2) Como deseas cercar el terreno, ¿qué noción matemática utilizarías?

a) Área del terreno b) Perímetro del terreno c) Volumen del terreno

1) ¿Qué estrategias te sirvieron para resolver el problema?

2) ¿Cuánto costará cercar el terreno?

3) ¿Fue necesario tener las medidas que no fueron señaladas en el plano para resolver el problema? Explica.

4) A partir del enunciado, ¿qué otras medidas puedes investigar?

5) En la siguiente figura, ¿es posible calcular el área del terreno sombreado? Explica.

6) ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada?

El colegio ha comprado un terreno para utilizarlo como campo deportivo. La figura muestra una vista aérea de la superficie adquirida y las mediciones que se hicieron. El director desea cercar el área con malla de alambre, dejando libre la entrada. La malla tiene un ancho de 80 cm y el metro lineal de este material cuesta S/.8,50.

¿Cuántos metros lineales de malla serán necesarios para cercar el campo deportivo?

Zona ResevadaENTRADA

21 cm

42 cm

18 cm

3 cm

El costo del metro lineal no es necesario.Desea cercar el campo deportivo dejando libre la entrada.

Significa la altura que tendrá la cerca. Además, es la medida adicional que debemos considerar al cercar el perímetro del estacionamiento.

Solo la condición que se refiere a la entrada.

Debe quedar libre.

Mide 123 m.El ancho es 24 m.

No se puede conocer el largo.Necesito 123 metros lineales de cerca.

El terreno lo forman básicamente rectángulos.

Se necesita calcular el perímetro de la figura sin considerar la medida de la entrada.

El ancho de la zona reservada.

Analizar el modelo físico del problema.

No fue necesario, porque el perímetro es el mismo que el de un rectángulo con las dimensiones de 21m x 42m.

Costará S/.1045,50.

No es posible calcular el área sombreada, porque los rectángulos blancos pueden tener varias dimensiones.

El perímetro es 2(120+90) = 420 m.

103


Resolvamos 1 158MD

La plaza del pueblo

1) ¿Acerca de qué hay que decidir?

2) ¿Qué desean los pobladores?

1) ¿Qué figuras reconoces en la primera propuesta?

2) ¿Conoces alguna fórmula para hallar el área de la región sombreada, en el caso de la primera propuesta?

Se ha decidido la construcción de la nueva plaza del pueblo de Chimbote. El alcalde ha contratado un gran diseñador, quien ha presentado dos propuestas para el proyecto. Estas se han dado a conocer a la población para que los ciudadanos elijan una opción. La mayoría de la gente desea tener mayor cantidad de áreas verdes.

¿Cuál de las dos propuestas recomendarías que se hiciera y por qué?

Propuesta 1

1) En la fig. 1, muestra cómo descompones la región sombreada.

2) En la fig. 2, recompón esta región en la figura de al lado.

3) Calcula ahora el área de la región sombreada.

Propuesta 2

1) ¿Conoces alguna fórmula para calcular el área de la región que no está sombreada? Calcula esta área.

2) ¿Cuál será el área de la región sombreada?

3) ¿Cuál de las dos propuestas recomendarías que se llevara a cabo? Explica.

3) En los planos, ¿qué secciones son para áreas verdes?

4) ¿Qué nociones matemáticas están relacionadas con este problema?

3) Si descompones el área y la recompones, ¿variará el área destinada a jardines?

4) ¿Qué figuras reconoces en la segunda propuesta?

Fig.1 Fig. 2

1) ¿Qué estrategias te fueron útiles para tomar la decisión?

2) Observa el nuevo diseño que se presenta a continuación y calcula cuál será el área verde, a partir de tu experiencia.

50 m 50 m

50 m

50 m

100 m100 m

100 m 100 m

Propuesta 2Propuesta 1

Las áreas sombreadas.Sobre las dos propuestas presentadas por el diseñador para la plaza de Chimbote.

Desean mayor cantidad de áreas verdes.Cálculo de área del cuadrado, del triángulo y traslación de figuras.

Las figuras de la primera propuesta son un cuadrado y segmentos circulares. No variará el área destinada a jardines.

En la forma mostrada, no existe ninguna fórmula.En la segunda propuesta tenemos cuadrados y triángulos.

Sí, la fórmula del área del triángulo (base x altura)/2. El valor calculado es 5000 m2.

El área sombreada se calcula por la diferencia del área total menos el área no sombreada.10 000 m2 - 5000 m2 = 5000 m2

En los dos casos, las áreas verdes miden igual; por lo tanto, la gente del pueblo deberá usar diferentes criterios para hacer su elección.

El área sombreada mide 100 x 100 = 5000 m2 de la región. 2

Hacer un diagrama o un modelo físico de la situación.

El área verde será 10 000 m2 .

104



Las guirnaldasPara la fiesta de aniversario del colegio, se quiere adornar con guirnaldas cada uno de los salones y patios. El grupo de primer grado de Secundaria se encargará de producir la cantidad necesaria. Para ello cuenta con un presupuesto de S/.200. El cuadro muestra el tipo de guirnalda que se utilizará para cada espacio.

Con tus compañeros, investiguen el costo del material necesario para la elaboración de las guirnaldas.

1) ¿Qué concepto matemático está relacionado con el costo del material? a) número de lados b) área c) perímetro

2) ¿Conocen alguna fórmula para encontrar el área de la guirnalda criolla?

3) ¿Pueden descomponer la figura en cuatro rectángulos y dos triángulos? Demuestren cómo hacerlo.

4) ¿Es la única manera de calcular el área? ¿Cuál es el área?

5) ¿Cuánto material se necesitará para hacer 500 figuras del tipo criolla?

6) ¿Cuál será el costo si se desea elaborar 500 figuritas de la guirnalda de tipo criolla?

7) ¿Cuál será la longitud de una guirnalda que tenga 100 figuritas del tipo criolla?

8) Realicen una investigación similar para averiguar cuál es el costo de hacer 350 figuritas del tipo festivalera.

9) ¿Qué porcentaje del presupuesto fue utilizado en hacer 500 figuritas criollas y 350 figuritas festivaleras?

5 cm

15 cm

5 cm

5 cm 15 cm 5 cm

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran áreas y perímetros. Estos conceptos geométricos nos permiten administrar mejor el espacio en el que vivimos. Se aplican en el cálculo de distancias, longitudes de cercas, mediciones de terrenos y otros.

Tipo ¿Dónde se usarán? Figura Espacio entre

figuras Costo de papel

Criolla Salones 2 cm S/.2 por m2

Festivalera Patio 4 cm S/.2,50 por m2

10 cm

5 cm

5 cm

20 cm

8 cm

5 cm

15 cm

5 cm

5 cm 15 cm 5 cm






Autoevaluación

10 cm

5 cm

5 cm

20 cm

8 cm

Una fórmula directa no, pero se puede usar las fórmulas del área de un triángulo y de un rectángulo.

Como sus lados miden 25 cm, entonces la longitud de la guirnalda será 100 x 25 = 2500 cm o 25 m. En 100 figuras hay 99 espacios de 2 cm, que vienen a ser 198 cm. Al sumar sale en total 2698 cm o 26,98 m.

Fue 38,5 %.

Sí.

El área es de 525 cm2 que equivale a 0,0525 m2, entonces el costo será igual a 500 x 0,0525 x 2 = S/.52,50.

Se debe asumir que la base de 20 cm se divide en tres partes iguales o que la base mayor del trapecio mide 20 cm y la base menor, 8 cm. El área de la figura es (un trapecio más dos rectángulos) 140 + 100 + 40 = 280 cm2 o 0,028 m2. El costo será 2,5 x 0,028 x 350 = S/. 24,50. No, existen varias

formas, por ejemplo: hallando el área del rectángulo que se forma completando las esquinas y restándole los 4 rectángulos que se agregaron. El área es 525 cm2 o 0,0525 m2.

Se necesitará 500 x 0,0525 m2 = 26,25 m2 para hacer 500 figuras del tipo criolla.

105


Resolvamos 1 160MD

Estadísticas que nos hacen pensarActividad

Comente con sus estudiantes que la estadística nos permite estudiar grandes cantidades de datos en conjunto. Medidas de tendencia central, como el promedio, la mediana o la moda, son utilizadas por encuestadoras, diarios, investigadores de mercado, entre otras, con el fin de describir las características de determinados grupos de personas. Sin embargo, se debe analizar con cuidado esta información, pues algunas veces se produce publicidad engañosa o falacias periódicas que solo desinforman al receptor.

Media aritméticaMedianaModa


Resuelve problemas que involucran el cálculo de promedios aritmético, simple y ponderado; mediana y moda en datos numéricos no agrupados.

CAPACIDAD

La tarea presenta un caso del ámbito laboral, en el que se trata de describir a un grupo de personas mediante su salario, pero utilizando un solo indicador numérico para el grupo. Se presentan los salarios en una tabla.

La tarea presenta un caso laboral en el que se describe a un grupo de personas mediante el sueldo que ganan mensualmente. Hay que utilizar la misma información para crear argumentos distintos.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran distinguir lo que cada medida de tendencia central representa para un determinado grupo, así como comprender que algunas veces la información puede ser manipulada estadísticamente.






24







Buenos diseños, buenas gananciasT1

El tallerT2

En este caso, se propone utilizar la lectura analítica, mediante la cual se analizarán partes del texto y se inferirán conclusiones.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de contexto que requieran interpretar medidas de tendencia central, como son el promedio, la mediana y la moda.

Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar y diferenciar cada una de las medidas de tendencia central, así como al realizar el cálculo de las desviaciones típicas y su interpretación.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el significado de cada una de las medidas de tendencia central. Si es necesario, se deberá leer las definiciones de las medidas de un texto del área o hacer un pequeño repaso con los estudiantes.

Los estudiantes deberán resolver el problema haciendo algunas modificaciones. Esto les ayudará a comprender la estructura interna de la situación y las relaciones numéricas que se dan entre los miembros del grupo.


Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar lo que desea cada uno de los grupos en conflicto: el dueño y trabajadores.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la perspectiva de cada uno de los participantes; en este caso, el dueño y los trabajadores. Los estudiantes deben reflexionar sobre cómo un conjunto de datos puede generar lecturas distintas, dependiendo del efecto que se desea lograr.

En este caso, se propone utilizar la lectura analítica, mediante la cual se analiza parte de la información y a partir de la cual se extraen conclusiones.

Operaciones aritméticasPorcentajes




La tarea muestra una situación académica típica, en la que una docente debe tomar decisiones a partir de un conjunto de datos que, en este caso, son las notas de dos grupos de estudiantes.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran extraer conclusiones a partir de conjuntos de datos no agrupados y tomar decisiones fundamentadas.

Aquí se propone utilizar la lectura analítica, mediante la cual se puede dividir un texto complejo en partes de información para extraer conclusiones de cada parte; asimismo, utilizar una tabla para organizar y visualizar mejor las relaciones que ocurren.

En este caso, se propone emplear la lectura analítica de los gráficos estadísticos presentados y argumentar para responder cada una de las interrogantes formuladas.

Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender la información que se presenta en las tablas. Por eso, el docente debe ir detallando algunas de las entradas con todo el grupo para asegurar que se comprendan perfectamente.

Para los estudiantes más avanzados, se puede proponer tareas de investigación como, por ejemplo, realizar una encuesta similar a la presentada, en un ámbito más pequeño, el colegio o el barrio donde viven.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la compresión de la información presentada en cada uno de los gráficos, ya que el proceso de traducir esa información a un plano numérico puede encarar dificultades.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar datos estadísticos, a partir de representaciones tabulares.

La tarea presenta el caso de una empresa de marketing que recogió datos sobre 4 cuentas de correo web, considerando la pertenencia a redes sociales y el número de amigos de los usuarios. Los resultados se muestran a partir de diagramas de barras.








El dilema de la maestraT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los argumentos y conclusiones que se logran, a partir de una situación compleja como la mostrada, deben estar correctamente fundamentados por elementos matemáticos; en este caso, la correcta interpretación de la mediana, la media y la moda.




Los estudiantes pueden tener dificultades al comparar los grupos; por ello, las preguntas de la fase 3 lo ayudarán a dirigir su razonamiento. El docente debe monitorear cuidadosamente este proceso y, si se requiere, trabajar en plenaria con preguntas adicionales.Los estudiantes deberán reflexionar sobre sus posibles bloqueos. Hacer un recorrido del desarrollo del problema ayuda no solo a conocerse mejor en sus capacidades matemáticas, sino también a proveer operaciones intelectuales para salir de bloqueos en otras situaciones similares.


Usuarios de correo y las redes socialesT4


Resolvamos 1 162MD

Buenos diseños, buenas gananciasNombre Salario (S/.)

Carlos Castillo 3400Rubén Pinto 3100Luis Condori 3000

Elmer Huaringa 3200Carola Panta 2800

Wimer Sangama 3200Benita Culqui 2900Edgar López 3300Luis Romero 3100Jorge Castro 3200

7) Antonia se da cuenta de que los salarios de sus antiguos trabajadores son demasiado bajos y ha decidido aumentarles. ¿Qué datos podría utilizar?

1) Calcula la media, la mediana y la moda de estos salarios.

Cuáles de las medidas mencionadas da respuesta a las siguientes preguntas:

2) ¿Cual es el valor del salario que se ubica en medio de los sueldos mínimo y máximo de los trabajadores? ¿Cuál es la medida de tendencia central correspondiente?

3) ¿Cuál es el salario y la medida más frecuente?

Antonia no está contenta. Después de medio año, su empresa todavía no ha conseguido posicionarse en el mercado. Ello debido a la escasa creatividad en los diseños de las chompas. Para reforzar el equipo, convence a un famoso diseñador para que se integre a su empresa. Sin embargo, Antonia tiene que pagarle S/.15 000 mensualmente por la mitad restante del año.

Nombre Sueldo(S/.)

Desviaciónrespecto alpromedio

Carlos Castillo

Rubén Pinto

Luis Condori

Elmer Huaringa

Carola Panta

Wilmer Sangama

Benita Culqui

Edgar López

Luis Romero

Jorge Castro

Nino Taipe

4) Calcula la media, la mediana y la moda de los salarios por año del nuevo equipo de once trabajadores.

5) ¿Cómo han cambiado estas medidas? Comenta este cambio.

6) Reflexiona y responde: ¿Qué conceptos estadísticos has empleado? ¿Para qué los has usado?

Estadísticas que nos hacen pensar24

Antonia es dueña de una empresa de confección de chompas conformada por diez trabajadores. En el cuadro, se muestran los salarios de cada uno de ellos en este año.

La media es S/.3120, la mediana es S/.3150 y la moda es S/.3200.

La media, la mediana y la moda de los salarios por año del nuevo equipo son: S/.4200, S/.3200 y S/.3200, respectivamente.

Utilizaría el promedio aritmético y calcularía las diferencias con los salarios de cada trabajador para cuantificar el número de trabajadores que gana por debajo del promedio.

Está entre s/.3100 y s/.3200, o sea, s/.3150; es decir, la mediana.

s/.3200, que es la moda.

La media de los salarios se incrementó significativamente. La mediana aumentó ligeramente, ahora el 50 % de los salarios son menores a S/.3200. La moda se mantuvo igual.

Se han utilizado conceptos de medidas de tendencia central, como la media, la mediana y la moda. Se ha empleado la media para determinar el promedio, la mediana para establecer el sueldo medio y la moda para identificar los sueldos que más se repiten.

3400 -800

3100 -1100

3000 -1200

3200 -1000

2800 -1400

3200 -1000

2900 -1300

3300 -900

3100 -1100

3200 -1000

15 000 10800

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El tallerMario es dueño de un taller de reparación de mototaxis. En su taller trabajan nueve personas: 4 mecánicos, 3 técnicos calificados, 1 supervisor y 1 ingeniero (el dueño). Sus sueldos mensuales, sin contar el de Mario, son los siguientes:

Halla la media, la mediana y la moda. Explica cuál de estas tres medidas podrías utilizar, en los siguientes casos:a) El dueño quiere demostrar que se paga bien en su taller.b) Los trabajadores quieren organizar un sindicato para demandar el aumento de sus salarios al dueño.

1) ¿Cómo se dividen las nueve personas que trabajan en el taller?

2) ¿Qué diferencia hay entre un mecánico y un técnico calificado?

1) Calcula la media, la mediana y la moda.

2) Ordénalas de menor a mayor.

3) ¿Qué quiere demostrar el dueño?

4) ¿Cuál de las medidas debe utilizar?

1) Si el dueño introduce su sueldo de S/.8000, ¿cómo se alteran las medidas?

2) Estas medidas, ¿reflejan ahora a la población? ¿Por qué?

3) ¿Qué población consideras que es más homogénea?

Población 1: Los mecánicos, técnicos y supervisores.

Población 2: Los mecánicos, técnicos, supervisores y el dueño.

3) ¿El sueldo depende de la calificación? Explica.

4) ¿Por qué se pide calcular la media, la mediana y la moda?

1) La media, la mediana y la moda son medidas que no dan la misma información sobre el grupo. Explica por qué.

2) ¿Qué medida conviene usar en cada caso?

5) ¿Qué quieren demostrar los trabajadores?

6) ¿Cuál medida deben utilizar?

7) ¿Qué opinas tú? ¿Cuál de las tres medidas representa mejor a la población del taller?

Cargo Mecánicos Técnicos calificados Supervisor

Sueldo (S/.) 900 1020 1200

Se dividen en 1 ingeniero, que es el dueño; 4 mecánicos; 3 técnicos calificados, y 1 supervisor.

La media, la mediana y la moda miden 982,5; 960 y 900, respectivamente.

La media, la mediana y la moda serán: S/.1762,20, S/.1020 y S/.900.

En este caso, la mediana refleja mejor a la población; la media aritmética no la representa.

La población 1 es más homogénea, pues las tres medidas representativas tienen valores más cercanos.

El salario depende de la calificación, porque implica mayor responsabilidad en las operaciones del taller.

Debe utilizar la media porque muestra un mayor valor.

Quiere demostrar que se paga bien en el taller.

Las tres son medidas representativas, pero la media se realiza a partir de la suma total de los salarios, la mediana se basa en aquella medida que es mayor o menor al 50 % de los datos ordenados y la moda es el dato que más se repite.

La medida que conviene depende del caso específico.

El nivel de calificación de un técnico es mayor que el de un mecánico.

Moda < Mediana < Media

Son medidas representativas de los salarios de los trabajadores del taller.

En general, conviene utilizar la mediana o la media; sin embargo, para el análisis conviene usar la mediana, a fin de buscar un valor central entre las dos posturas.

Que los salarios son bajos, por lo que requieren un aumento.

Les conviene utilizar la moda.

107


Resolvamos 1 164MD

1) Calcula las medianas en las cuatro poblaciones. Organízalas en la tabla:

2) ¿Cuál fue la mediana de toda la clase en el 2010?

3) ¿Cuál fue la mediana de toda la clase en el 2011?

El dilema de la maestraLa maestra de Matemática del primero “C” dice: “Este año mis alumnas han tenido una mediana menor que la del año pasado y mis alumnos no tuvieron un mejor desempeño respecto al año pasado. Pero, tal vez, no sea necesario preocuparme, porque la mediana de la clase entera es más elevada que la del año anterior”.

¿Es verdad lo que ella dice? ¿Cuál es la explicación?¿Debería ella preocuparse?Las calificaciones sobre cien puntos fueron:

2011 2012

Mujeres 95, 90, 85, 80, 80, 70, 70, 65 100, 90, 85, 85, 80, 65

Varones 85, 80, 70, 65, 55 85, 80, 75, 75, 75, 75, 70, 70, 60

1) ¿Qué entiendes por mediana?

2) ¿Qué está comparando la maestra?

3) Según la maestra, ¿cómo han salido las mujeres?

V F

“Este año mis alumnas han tenido una mediana menor que la del año pasado (…)

(…) mis alumnos no tuvieron un mejor desempeño respecto al año pasado. (…)

(…) la mediana de la clase entera es más elevada que la del año anterior”.

4) A continuación, se ha dividido la frase de la maestra en partes; ahora analiza su veracidad:

5) ¿Se debe preocupar la maestra? Explica.

1) ¿Qué te confundió al inicio del problema?

2) ¿Cómo saliste de este bloqueo?

3) ¿La mediana es una buena representante de la población?

4) ¿Cuándo cumple con esta función?

4) Según la maestra, ¿cómo han salido los varones?

5) ¿Qué deseamos conocer?

1) En lo expuesto por la maestra, intervienen conceptos matemáticos como la mediana. Debemos y luego

Mediana 2011

Mediana 2012

MujeresVarones

Está comparando las medianas de 2010 respecto a 2011, de sus estudiantes mujeres y varones.

Las afirmaciones de la maestra.

Realizando los cálculos y comparándolos con la frase de la maestra.

Cuando los datos muestran mucha dispersión; en caso contrario, es mejor la media aritmética.

La mediana no es necesariamente la mejor medida para representar los datos.

Probar la afirmación que la mediana de la clase entera es más elevada que la del año anterior.

Con calificación menor que el año pasado.

Con calificación menor que el año pasado. Es el valor medio de un conjunto de datos ordenados en forma creciente o decreciente.

La mediana de toda la clase en el 2010 fue 80.

La mediana de toda la clase en el 2011 fue 75. Sí, porque la mediana de toda la clase disminuyó.

calcular las medianas de cada tipo de población comparar los resultados para decidir.

80 85

70 75

X

X

X

108



1) ¿Cuál es la red social preferida por los usuarios de las cuatro cuentas de correo? ¿Qué gráfico utilizaron?

2) ¿Qué red social es la segunda más preferida?

3) Para saber cuántos de los usuarios de mailexpress se encuentran en homebook, ¿qué gráfico hay que utilizar?

4) ¿Cuántos usuarios de mailexpress tienen homebook?

5) Del total de usuarios encuestados, aproximadamente, ¿cuántos tienen cuenta en homebook?

Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema:6) Alguien afirma que del primer gráfico se deduce que por cada 4

usuarios de freemail que tienen homebook, uno posee friends. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

7) ¿De qué cuenta de correo son los usuarios que tienen más amigos? ¿Qué gráfico utilizaron?

8) Si tienen amigos en todos los correos mostrados y quieren enviar un mensaje para que se divulgue a la mayor cantidad de personas, ¿qué cuentas elegirían?

9) En promedio, ¿cuántos amigos tiene un usuario de las cuentas de correo examinadas?

10) Si todos los amigos de los que tienen freemail y friends fuesen distintas personas, ¿cuántos amigos formarían la subred de usuarios de freemail con friends?

Usuarios de correo y las redes socialesUna empresa de marketing recogió datos de cuentas de correo web de usuarios con direcciones @axl.com, @mailexpress.com, @freemail.com y @cashmail.com. La muestra contiene a 2000 usuarios por cada cuenta de correo, totalizando 8000 cuentas evaluadas. Luego examinó la pertenencia a redes sociales de los usuarios y también consideró el número de amigos.

Esta información se ha representado en los gráficos, que emplearemos para precisar algunos resultados cuantitativos de interés.

USU

ARIO

S CO

N P

ERFI

L DE R

ED S

OCI

AL

MED

IA D

E AM

IGO

S PO

R U

SUAR

IO

Axl Mailexpress Freemail Cashmail Axl Mailexpress Freemail Cashmail

Homebook

MyPlace

Friends

CienciaLink

35 %

30 %

25 %

20 %

15 %

10 %

5 %

0 %

474645444342414039383736

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con promedio aritmético simple y ponderado, mediana y moda. Ellos, bien utilizados, constituyen un indicador útil para conocer las características estudiadas en los grupos conformados por poblaciones, consumidores, televidentes, cibernautas, etc.

32 %29 %

42 %

46 %

44 %

40 %

22 % 21 %



Autoevaluación

Es homebook. Usamos el primer gráfico.Sí, porque la razón entre los porcentajes es, aproximadamente, de 4 a 1.

Son de mailexpress. Usamos el segundo gráfico.

Elegiríamos mailexpress y freemail.

(42 + 46 + 44 + 40) / 4 = 43

Aproximadamente, 5 % de 2000 por 44 = 4400 amigos.

Es MyPlace.

El primer gráfico.

29% (2000) = 580

Aproximadamente, (32 % + 29 % + 22 % + 21 %) de 2000 = 2080 usuarios.

109


Resolvamos 1 166MD

Los promedios de por medioActividad

Comente con sus estudiantes que, en la vida cotidiana, deben haber usado la noción de promedio para calcular sus notas, la altura de un grupo de personas, sus propinas semanales o ingresos mensuales, entre otros casos. Los promedios son muy útiles para representar, mediante un número, a un grupo de elementos. Así, cuando decimos que la altura promedio de un cusqueño es 1,50 metros, se entiende que ese número se puede utilizar para representar la estatura de un habitante de Cusco, lo que no quita que existan personas más altas o más bajas.

Promedios


Resuelve problemas que involucran el cálculo de promedios aritméticos (simple y ponderado), mediana y moda en datos numéricos no agrupados.

CAPACIDAD

La tarea presenta una situación típica de evaluación por criterio. Se desea elegir al docente del año, pero se quiere evaluar solo algunos aspectos de su desempeño, a cada uno de los cuales se asigna un peso, de acuerdo con la importancia que para los estudiantes puede tener ese criterio.

La tarea presenta un claro ejemplo de una situación de toma de decisiones, a partir de una medida estadística.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren elegir el mejor indicador de medida de tendencia central en un grupo de datos.






25







El docente del añoT1

Llegar tempranoT2

En este caso, se propone descomponer la situación en problemas menores, mediante preguntas y el uso de la fórmula del promedio ponderado.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren elaborar una matriz de evaluación, la cual implique el uso de promedios ponderados.

Los estudiantes pueden tener dificultades al no entender cómo los pesos afectan la evaluación; por eso, es posible hacer el trabajo con menos criterios para que logren darse cuenta de que un gran peso en uno de ellos altera el resultado. Un error típico es hacer el cálculo final como un promedio aritmético simple, es decir, sumar los puntajes y dividir entre el número de elementos.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que cada criterio tiene un peso distinto, por lo que el cálculo no debe hacerse con un promedio aritmético simple, sino con los pesos indicados. También se debe señalar que el promedio final nos da un indicador para decidir sobre la persona que mejor representa el perfil ideal del docente.

Los estudiantes deberán reflexionar sobre los cálculos realizados y analizar las medidas encontradas a la luz del contexto donde las necesita.


Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar la medida de tendencia central que mejor representa al grupo y al explicar por qué ella es la mejor. Las preguntas de las fases 2 y 3 los ayudarán a clarificar el concepto.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la decisión no garantiza que llegue siempre a tiempo; pero que tal decisión se toma basándose en lo que parece ocurrir mayormente. También se debe indicar que la medida requerida se encuentra en el intervalo que va del menor al mayor valor. En este caso, se propone la elección de una notación adecuada que permita emplear una fórmula y razonar lógicamente para tomar una decisión.

Operaciones con fraccionesOperaciones con decimales




La tarea presenta una situación típica de cálculo del promedio de un grupo, cuando se tiene los promedios de varios subgrupos que lo conforman.Con esta tarea, se espera que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas de contexto real que implican la noción de promedio.

En este caso, se propone elegir una notación adecuada que permita emplear una fórmula y razonar lógicamente para tomar una decisión.

En este caso, se propone suponer el problema resuelto y, a partir del supuesto promedio de las 4 primeras notas, efectuar el promedio de las 5 notas.

Los estudiantes pueden tener dificultades al tener que suponer, en el caso del estudiante que no recuerda sus notas, las notas de las 4 primeras evaluaciones, de manera tal que concuerden con el promedio ya conocido para determinar el nuevo promedio.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren el cálculo de promedios en situaciones variadas.

La tarea presenta una situación del contexto real que involucra el cálculo de promedios. Un grupo de estudiantes conversan sobre cómo determinar su promedio de notas del trimestre. Se plantea el caso de dos estudiantes que, conociendo sus notas anteriores y su promedio respectivo, desean determinar el promedio actual con la incorporación de una nueva nota; también el caso de otro estudiante que solamente recuerda el promedio de sus cuatro notas y desea conocer el promedio contemplando una quinta nota.








Promedios inmobiliariosT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el promedio que se requiere para representar a las casas del distrito de Collo, el cual tiene dos barrios.




Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular el promedio del distrito, si consideran a cada barrio como un elemento y toman la media aritmética entre los dos grupos. Para evitar eso, el docente debe preguntar sobre el tamaño de cada barrio. ¿Este dato influirá en el resultado final? Si el de Villa Mar es muy pequeño y el de Buenavista, muy grande, ¿cuál de los barrios tendrá mayor influencia en el promedio?

Al desarrollar la tarea, en el caso del estudiante que no recuerda sus notas anteriores, se debe poner énfasis en la determinación del promedio trimestral. Es importante tener en cuenta que se pueden asumir las notas, pero que lo importante es que correspondan al promedio señalado, de esa manera se puede calcular el nuevo promedio.

Para aquellos estudiantes más avanzados, se puede proponer tareas de investigación, como, por ejemplo, modificar los datos del enunciado mencionado el promedio de dos grupos de notas (promedio de 2 notas y el promedio de 3 notas) y solicitando determinar el promedio de ambos (5 notas). Asimismo, se les puede pedir que creen alguna otra situación.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Aquí también se presentan otras situaciones de estructura similar. Los estudiantes deben discutir acerca de la forma en que están organizados estos problemas. Para los más avanzados, se puede proponer que redacten nuevas situaciones problemáticas con la misma estructura. ¿Qué cantidades pueden variar en el problema sin que cambie la estrategia de solución? En el caso inicial, se puede variar el número de casas por barrio o el número de barrios.


Conversando sobre notasT4


Resolvamos 1 168MD

El docente del año

1) ¿Qué significa que a Metodología de enseñanza se le asigne 5 y a Buen trato, 2?

2) ¿Cuál es el promedio aritmético simple de Diana, Mariano, Lorena y Lucas?

3) ¿Quién obtiene mayor promedio? ¿Se ajusta al perfil que desean los estudiantes?

4) ¿Por qué los estudiantes no deberían utilizar el promedio aritmético simple para decidir?

5) ¿Cuál es el promedio ponderado de Diana, Mariano, Lorena y Lucas?

6) ¿Quién obtiene mayor promedio ponderado? ¿Se ajusta al perfil que desean los estudiantes?

7) Reflexiona y responde: ¿Qué medida te da más información para decidir: el promedio simple o el promedio ponderado?

8) Algunos estudiantes propusieron que se debía considerar el Trabajo en equipo docente con un peso 4. Para este nuevo criterio los estudiantes asignaron las siguientes notas a sus profesores:

¿Qué profesor obtuvo el mayor promedio ponderado?

Los estudiantes de primer grado de la IE El Pionero quieren otorgar el título de “Docente del año” a uno de sus profesores o profesoras. Para dicha elección, han considerado cuatro criterios: Metodología de enseñanza, Buen trato, Manejo de información actualizada y Promoción de la participación de los estudiantes. Cada uno de los criterios se calificará de 1 a 20. Además, les han asignado un peso de acuerdo con su importancia. La tabla muestra la calificación de cada uno de los cuatro profesores finalistas.¿Cuál de ellos será elegido “Docente del año”?

Criterios Peso

Metodología de enseñanza 5

Buen trato 2

Manejo de información actualizada 3

Promoción de la participación 4

Criterios

Docentes

Metodología de enseñanza

Buen tratoManejo de

información actualizada

Promoción de la participación

Diana 12 16 14 11

Mariano 15 13 15 16

Lorena 17 12 16 15

Lucas 16 11 13 14

Diana Mariano Lorena Lucas

12 15 16 11

Los promediosde por medio25

Los pesos que los estudiantes han asignado a cada criterio son:

Significa que, para la elección referida, a la Metodología de enseñanza se le da más importancia que al Buen trato.

De Diana es 13,25; de Mariano es 14,75; de Lorena es 15, y de Lucas es 13,5.

El mayor promedio lo tiene Lorena; sin embargo, no necesariamente la profesora se ajusta al perfil que desean los estudiantes.

El promedio ponderado de Diana es 12,7; el de Mariano es 15; el de Lorena es 15,5, y el de Lucas es 14,1.

El promedio ponderado me da más información, porque los factores evaluados tienen diferente importancia expresada en diferentes pesos asignados.

Lorena.

Porque los diferentes factores considerados tienen distinta importancia para los estudiantes.

Lorena también tiene el mayor promedio ponderado. En este caso, sí podemos decir que se ajusta al perfil deseado por los estudiantes.

110



1) ¿Qué quiere lograr Gonzalo?

2) ¿Por qué crees que Gonzalo tomó los tiempos por más de un día?

3) El primer viernes demoró 40 minutos. ¿Crees que debe salir 40 minutos antes? ¿Por qué?

4) El segundo jueves demoró 25 minutos. ¿Crees que debe salir 25 minutos antes? ¿Por qué?

1) Para que Gonzalo sepa a qué hora debe salir para llegar temprano a la escuela, ¿qué información necesita?

2) ¿Qué indicador matemático conoces que pueda representar a un conjunto de datos?

1) ¿Cuánto tiempo emplea Gonzalo en transportarse en esas dos semanas?

2) ¿Cuánto tiempo emplea por día?

3) ¿Cómo debe interpretar Gonzalo este resultado?

4) ¿A qué hora debe salir Gonzalo de su casa para llegar temprano?

1) ¿Qué tiempo se repite más en las dos semanas? ¿Consideras que este número puede ser un buen indicador?

2) Si ordenas los tiempos del mayor al menor y tomas el promedio de los centrales, ¿qué significado tiene este resultado?

3) Imagina que Gonzalo demora en llegar al paradero 4 minutos y que el transporte llega con un retraso de 4 a 7 minutos. ¿Cómo afectan estas condiciones a la respuesta del problema?

Gonzalo va todas las mañanas a su colegio en un medio de transporte que pasa cerca de su casa, por lo que llega rápidamente al paradero. Este medio lo lleva al colegio en un tiempo de 25 a 40 minutos, dependiendo del tráfico. Gonzalo desea saber a qué hora debe salir de su casa para llegar temprano a su escuela. Para ello, ha tomado nota, durante dos semanas, del tiempo que demora en llegar al colegio dicho medio. Las clases comienzan a las 9:00 a. m.

Semana Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Primera 30 min 35 min 29 min 30 min 40 min

Segunda 29 min 28 min 28 min 25 min 30 min

Llegar temprano

¿A qué hora debe salir Gonzalo de su casa para llegar temprano?

El promedio ponderado me da más información, porque los factores evaluados tienen diferente importancia expresada en diferentes pesos asignados.

Desea saber a qué hora debe salir de su casa para llegar temprano a su escuela. No, porque en este caso es el valor máximo y es

altamente probable que llegue demasiado temprano.

El tiempo que más se repite es 30 minutos. Esto quiere decir que la moda mide 30 minutos y es un buen indicador.

Este resultado es la mediana, y significa que el 50 % de los datos están por debajo y por encima de dicho valor. La mediana en este caso es 29,5 min.

Entonces el tiempo varía entre 38 y 41 minutos. En ese caso, Gonzalo debe salir entre las 8:19 minutos y las 8:22 de la mañana.

Gonzalo debe salir, en promedio, 30 minutos antes para llegar a tiempo a la escuela.

Emplea, aproximadamente, 30 minutos.

Quiere encontrar una medida de tendencia central. Un indicador matemático adecuado es el promedio aritmético.

Emplea 304 minutos en las dos semanas.

No, porque en este caso es el valor mínimo y es altamente probable que llegue tarde.

Debe salir a las 8 y 30 minutos para llegar temprano.

Porque necesita determinar un promedio para poder tomar una mejor decisión.

111


Resolvamos 1 170MD

1) ¿Puedes decir que el número promedio de habitantes por casa en el distrito de Collo es (1 + 5)/2 = 3? 2) ¿Qué tipo de promedio usarás para calcular el promedio conjunto?

2) ¿Los barrios tienen la misma cantidad de casas?


1) ¿Qué información te da el texto?

1) Completa la siguiente tabla para organizar la información:

2) ¿Cuántos habitantes en promedio tiene Villa Mar?

Barrio N.° de casas Habitantes /casa

Villa Mar

Buenavista

3) ¿Cuántos habitantes tiene en promedio Buenavista? 4) ¿Cuántos habitantes hay en total en el distrito? 5) ¿Cuántas casas hay en total en el distrito? 6) ¿Cuántos habitantes por casa en promedio hay en el distrito?

1) Describe la estrategia que te permitió resolver el problema.

2) ¿Qué barrio puedes decir que es el más denso?

3) Utiliza los métodos aprendidos para resolver las siguientes situaciones:

En un grupo de 18 varones y 12 mujeres, el promedio de edades de los varones es 16 y de las mujeres es 14. ¿Cuál es el promedio de todo el grupo?

Cantidad Promedio de edadVaronesMujeresTotalPromedio:

Cantidad PromedioNúmerosNúmerosTotalPromedio:

El promedio de 20 cantidades es 40. Si agregamos 5 cantidades, cuyo promedio es 20, ¿cuál es el promedio final de la referida cantidad?

Promedios inmobiliariosEl distrito de Collo tiene dos barrios: Villa Mar, de 100 casas, que tiene un promedio de 5 habitantes por vivienda; y Buenavista, de 300 casas, que tiene un promedio de 1 habitante por casa.

¿Cuál es el promedio de habitantes por casa en este distrito?

Me da el número de casas y el promedio de habitantes por casa que hay en los dos barrios del distrito de Collo: Villa Mar y Buenavista.

He usado una tabla para organizar la información.

El barrio más denso es Villa Mar.

El promedio de habitantes por casa en el distrito de Collo.

Se usará el promedio ponderado.

No.

No.

Villa Mar tiene 500 habitantes.

Hay en total 400 casas.

Buenavista tiene 300 habitantes.

Hay 800/400 = 2 habitantes por casa.

Hay en total 800 habitantes.

18 16 288

12 14 168

30 456

15,2

20 40 800

5 20 100

25 900

36

100 5

300 1

112



Cantidad PromedioNúmerosNúmerosTotalPromedio:

Conversando sobre notasEn un momento de descanso, Nicolás y Julieta están charlando sobre las notas que tenían y sobre cómo cambiar su promedio del trimestre con la última prueba.

Julieta: Yo tenía 10, 14, 02 y 18. Con el 16 que saqué subí el 11 a 12. ¡Apruebo el trimestre!Nicolás: Yo tenía 08, 07, 02 y 16. No nos tendríamos que haber copiado en la tercera prueba y no tendríamos el 02. Ahora también saqué 16, pero, igual, no llego a aprobar. De 08 subo a 9,8 y seguro que lo redondea a 10.

Se acercan Rocío y Juan Pablo que solo escucharon lo último que dijo Julieta:

Juan Pablo: Yo también tenía 4 notas, pero no me acuerdo cuáles eran y el promedio me daba 10. Ahora me saqué un 18. ¿Tendré 12 de promedio?Rocío: Me parece que te sale 14 porque 10 y 18 son 28 y dividido por 2 da 14.

Todos se quedan callados pensando. Al ratito Juan Pablo dice:Juan Pablo: Me parece que va a dar menos, porque el 10 era de cuatro notas y ahora saqué solo un 18.

1) Julieta primero mencionó cuatro notas, ¿cómo hizo para calcular su promedio?

2) Julieta dijo que con el 16 subió a 12. ¿Cómo calculó esto?

3) ¿Cómo hizo Nicolás para calcular su promedio?

4) Juan Pablo no recuerda sus cuatro notas, pero sí su promedio. Inventen dos grupos diferentes de 4 notas de modo que ambos den 10 de promedio.

5) Agreguen un 18 a cada uno de los grupos anteriores y calculen el nuevo promedio.

6) Reflexionen y calculen el promedio trimestral de Juan Pablo, a pesar de no recordar sus primeras cuatro notas. Expliquen el proceso.

7) En general, si como le pasó a Juan Pablo solo recuerdan su promedio anterior y cuántas notas tenían, ¿es posible calcular siempre el promedio nuevo? Expliquen.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de promedios aritméticos (simple y ponderado), mediana y moda. Estas medidas se aplican para reconocer perfiles de grupos conformados por lectores, consumidores, amas de casa, entre otros.

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y ayuden a los estudiantes a calcular su promedio:




Autoevaluación

Sumó sus cuatro notas y dividió entre 4, obtuvo 11 de promedio.

Sumó nuevamente incluyendo su 16, pero dividió la suma entre 5, así obtuvo 12.

Sumó sus cuatro notas y dividió entre 4, obtuvo 8,25, que redondeado es 8. Sumó nuevamente, incluyendo su 16, pero dividió la suma entre 5; así obtuvo 9,8 de promedio, que redondeando es 10.

08, 12, 06 y 14 … o … 10, 12, 08 y 10.

08, 12, 06, 14 y 18, promedio 12… o … 10, 12, 08, 10 y 18, promedio 12.

Al inventarle 4 notas cualesquiera, cuyo promedio sea 10, es posible calcular el promedio trimestral de Juan Pablo. Sucedería lo que ya se hizo en la pregunta anterior y, en cualquier caso, al agregar su nueva nota, un 18, resulta 11,6 de promedio, que redondeando es 12.

Sí, se inventan notas que cuadren con el promedio ya conocido y se suma la nueva nota; así, el nuevo promedio ya se puede calcular.

113


Resolvamos 1 172MD

La matemática sí cuentaActividad

Comente con sus estudiantes que en varias actividades es importante saber el número de casos posibles. Por ejemplo, cuando generen una clave para su correo electrónico, el número posible de claves es un elemento de seguridad; si el número de caracteres es bajo, la clave será menos segura. Los detectives también utilizan estas formas de conteo, como cuando tienen información sobre una placa de un auto sospechoso o sobre un número telefónico probable. En estos casos, es importante buscar todas las posibilidades para, luego, con la información adquirida, descartar las que no son útiles.

Principio aditivo de conteoPrincipio multiplicativo de conteo


Resuelve problemas que involucran la aplicación del principio aditivo y el principio multiplicativo para realizar conteos.CAPACIDAD

Se presenta una situación de conteo típico. Las primeras preguntas están referidas al principio aditivo; las siguientes, al multiplicativo.

La tarea muestra una red vial en la que pueden elegirse diversos caminos. Por la estructura del plano, es una buena oportunidad para seleccionar una combinación de los dos principios de conteo para responder a la interrogante.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran combinar óptimamente los dos principios de conteo.




Estrategias heurísticas sugeridas

26







Esto sí combinaT1

La red vialT2

En este caso, se propone utilizar la lectura analítica para responder a cada uno de los problemas presentados.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran identificar situaciones en las que se debe utilizar uno de estos dos principios de conteo.Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las diferencias existentes entre las situaciones, ya que unas requieren para su resolución el principio aditivo y otras, el multiplicativo. Es importante escribir en la pizarra cada uno de estos principios.

Los estudiantes deberán explorar algunas modificaciones al problema, pueden inventar nuevos planos y plantearse preguntas acerca de rutas con determinadas condiciones.


Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar qué principio deben utilizar en cada parte del plano de la red vial. Para fijar el conocimiento, puede ser útil que enumeren los posibles caminos que tienen en una sección de la red vial.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las diferencias existentes entre los dos principios. Cuando alguien se detiene a elegir un camino, se utiliza el principio aditivo; pero cuando luego de elegir uno, elige otro a continuación, se emplea el principio multiplicativo. En este caso, se propone dividir el problema en sus partes más simples, para luego combinarlas y resolver el problema más complejo.

Cuatro operacionesPotenciacióPatrones


Los estudiantes pueden tener dificultades al reconocer qué situaciones pueden resolver, con qué principio o si deben hacer una combinación de los dos.




La tarea muestra una situación en la que se requiere utilizar un diagrama de árbol para lograr una mejor comprensión. Enrique debe subir una escalera por un método curioso: puede hacerlo de escalón en escalón, de dos en dos escalones o combinar estas formas.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de conteo que requieran la elaboración de gráficos.

En este caso, se propone utilizar la estrategia de particularizar y buscar un problema similar, pero más simple, e identificar un patrón.

En este caso, se propone utilizar la lectura analítica y la división del problema en partes más pequeñas.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran combinar adecuadamente los principios de conteo, así como seleccionar y adaptar estrategias, con el fin de verificar cada una de las condiciones que se imponen en las preguntas formuladas.

La tarea muestra una situación compleja de conteo. Se trata de una lista de posibles menús de un restaurante. Es interesante reflexionar sobre la cantidad de combinaciones que se pueden obtener con pocos platos por cada rubro.








Enrique el traviesoT3

Al desarrollar la tarea, el docente deberá orientar a los estudiantes para que se percaten de que el tipo de conteo no es convencional y que realizar experimentos con un problema similar pero más simple, puede ser la mejor forma de comprenderlo. Es decir, contar con escaleras de menor número de escalones.



Los estudiantes pueden tener dificultades al tratar de utilizar directamente algún principio de conteo. Es importante presentar situaciones donde la aplicación directa de dichos principios no sea posible. Asimismo, pueden tener dificultad para encontrar el patrón.Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada que, en este caso, fue el empleo de un problema más simple para identificar un patrón. La secuencia que da solución al problema: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… es conocida en matemática como Secuencia de Fibonacci, que aparece en muchas actividades de las finanzas, la ingeniería y la biología.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la comprensión de cada una de las preguntas y en las diferencias entre una y otra interrogante. Es bueno reflexionar sobre ello, porque ayuda a mejorar la estructura multiplicativa que se ha construido hasta ese momento en la mente del estudiante.

Los estudiantes pueden recoger información sobre estructuras similares a las de las cartas de menú y traerlas al aula para discutir sobre sus posibilidades.


Un menú combinadoT4

Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender lo que quieren decir cada una de las condiciones y cómo traducirlas en términos matemáticos. El docente debe ayudar con estas preguntas, parafraseándolas o haciéndole experimentar con situaciones más simples.



Resolvamos 1 174MD

Esto sí combina

1) Organiza el guardarropa de Noelia en la tabla siguiente:

2) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una blusa roja? Represéntalas.

3) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una blusa negra? Represéntalas.

4) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una blusa? Represéntalas.

5) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una falda? Represéntalas.

6) Noelia dice que, como tiene 3 blusas negras y 2 faldas cortas, hay 3 + 2 = 5 formas distintas de vestir con esta ropa. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Qué le dirías?

7) ¿De cuántas formas puede seleccionar 1 blusa negra y 1 falda corta?

8) Completa este diagrama con las formas que tiene Noelia para vestirse con 1 blusa negra y 1 falda corta.

9) Reflexiona, ¿crees que hubiese salido el mismo número si se empezaba eligiendo las faldas? Explica.

10) ¿De cuántas formas puede vestirse Noelia con blusa, falda y chompa? Completa:

Tipo de ropa CantidadBlusasFaldas

Chompas

La matemática sícuenta26

Formas de seleccionar

1 blusa

Formas de seleccionar

1 falda

Formas de seleccionar 1 chompa

Total deformas

Primera blusa y primera faldaF1B1

B2

B3

F2

F1

F2

F1

F2

Noelia tiene en su guardarropa lo siguiente: 2 blusas rojas, 3 blusas negras, 2 faldas cortas, 2 faldas largas y 3 chompas, que combinan muy bien. Ella está pensando cómo va a ir a la fiesta de cumpleaños de su amiga Karen.

Primera blusa y segunda falda

Segunda blusa y primera falda

Segunda blusa y segunda falda

Tercera blusa y primera falda

Terecera blusa y segunda falda

Sí, hubiese salido el mismo resultado, ya que, al

fundamentarse en la multiplicación, tiene la propiedad

conmutativa.

En total: 5 x 4 x 3 = 60 formas.Se puede seleccionar de 3 x 2 = 6 maneras.

No estoy de acuerdo, pues, en este caso, se deben

combinar a la vez las prendas, para lo cual se aplica la

regla de la multiplicación.

De 2 maneras: br1 o br2.

5 4 3 60

De 3 maneras: bn1, bn2 y bn3.

De 2 + 3 = 5 maneras: br1, br2, bn1, bn2 y bn3.

De 2 + 2 = 4 maneras: fc1, fc2, fl1 y fl2.

2 rojas y 3 negras

2 cortas y 2 largas

3

114



La red vial

1) ¿Qué muestra el plano?

2) Saliendo de A, ¿cuántos posibles caminos se te presentan?

1) ¿En qué parte de la solución del problema has tenido dificultad?

2) ¿Cómo hiciste para superar la dificultad?

3) ¿Cuál es la estrategia que te permitió resolver el problema?

4) Si por la vía central solo se puede ir en viaje de ida y los trenes no pueden retroceder, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir desde A hasta B y regresar a A, si el tren usa la primera vía en el tramo de ida?

1) ¿Crees que es bueno listar todas las formas posibles de ir desde A hasta B?

2) Si utilizas la primera vía, ¿de cuántas maneras puedes ir desde A hasta B?

3) ¿Qué principios de conteo utilizarás para resolver este problema?

a) Principio de la suma b) Principio de la multiplicación c) Ambos principios

1) Separa la red vial en tres y coloca el número de cambios viales que hay en cuanto aparezcan. Luego calcula el total de caminos para cada una de estas partes.

Vías Tramos 1 Tramos 2N.° de formas para

ir de A a B

En la figura, se presenta la red vial de un servicio metropolitano en Humanópolis. Las líneas muestran las vías de los trenes, que van de ida y vuelta. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir desde A hasta B, sin retroceder en algún momento?

2) ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir desde A hasta B, sin retroceder en algún momento?

3) ¿El número de cambios viales es importante? Explica.

4) ¿Qué tienes que averiguar?

5 4 3 60

La red vial de un servicio metropolitano en Humanópolis. Sí es importante para programar las rutas de diferentes servicios, de tal manera que no existan cruces en las vías.

El número de maneras para ir de A a B sin retroceder.

Se presentan 3 caminos posibles.

Sí es bueno hacer la lista de formas posibles.

Hay seis maneras de ir desde A hasta B.

Se asume que cada cambio vial permite acceder a la línea adyacente, considerando que puede seguir la misma línea.

Se puede ir de 6 + 6 + 4 = 16 maneras.



Utilizar un diagrama y dividir el problema en subproblemas.

De A a B se puede ir de 6 maneras; de B a A, solo de 10 maneras. Entonces, en total, de 60 maneras.

3 2 6

2 3 6

2 2 4

115


Resolvamos 1 176MD

Enrique, el travieso

1) ¿Cuáles son las condiciones de esta actividad?

2) ¿Qué datos son irrelevantes?


1) ¿Qué estrategia te sirvió para resolver el problema?

2) El siguiente problema, ¿es similar al de Enrique? Explica. Julio tiene que pegar estampillas en un sobre por valor de S/.12. Solo dispone de estampillas de S/.1 y S/.2. ¿De cuántas formas distintas puede colocarlas en una hilera?

3) Redacta un problema similar al de Enrique.

1) Para subir una escalera de 1 escalón, Enrique puede hacerlo de una forma. Para una escalera de 2 escalones, puede hacerlo de dos formas: Para una escalera de 3 escalones, puede hacerlo de formas.

N.° escalones N.° formas

1 1

2 2

3

4

5

6

7

8

1) ¿Cómo crees que se pueden contar todas las formas?

2) Contar para 12 escalones es muy largo, ¿qué tal si buscamos un problema más sencillo?

3) Si la escalera pudiera tener menos escalones, ¿cuántos elegirías?

4) En una escalera de 4 escalones, dibuja dos formas de subir por el método de Enrique.

4) Organiza estos datos en la tabla adjunta. ¿Logras ver algún patrón en los números de la segunda columna?

5) ¿Hay alguna relación entre dos o tres de esos números?

6) ¿De cuántas maneras diferentes puede Enrique subir la escalera de su casa?

Enrique está jugando en la escalera de su casa. El juego consiste en subir la escalera de diferentes maneras. Cada vez sube 1 o 2 escalones, como se le antoja. De un total de 12 escalones, el primero y último miden 10 cm y los otros miden 15 cm.¿De cuántas maneras distintas puede subir la escalera de su casa?

2) Haz un diagrama de árbol para hallar de cuántas maneras puede Enrique subir una escalera de 4 escalones.

3) En tu cuaderno haz otro diagrama de árbol para hallar de cuántas maneras puede hacerlo Enrique con 5 escalones.

Sube la escalera de 1 o 2 escalones a la vez.

Las medidas de los escalones.

De cuántas maneras puede subir Enrique la escalera de su casa.

Haciendo una tabla y determinando un patrón.

Sí, nos permitirá hallar el patrón.

Eligiría 1, 2, 3 escalones porque son casos sencillos.

de uno en uno o de dos en dos.

Puede hacerlo de cinco formas.

A desarrollar por el estudiante.

Hacer el problema más simple, con menos escalones, y luego

Sí, es un problema

tres

Sí, los números

Sí, un número es igual a la suma de los dos anteriores.

De 233 formas distintas.

aumentan.

buscar un patrón.

similar, ya que es como encontrar las formas de subir una escalera de 12 escalones subiendo 1 o 2 escalones cada vez.


3

5

8

13

21

34

9 55

10 89

11 144

12 233

116



1) Un estudiante señala que el número de menús diferentes que Sofía puede ofrecer el día lunes es: 3 + 2 + 4 + 4 = 13. ¿Es esto correcto? Expliquen.

2) Imaginen que el día lunes el restaurante solo ofrece: * Entrada: papa rellena, ensalada mixta, cebiche. * Segundos: lomo saltado, carapulcra. Hagan una lista que muestre todos los posibles menús que Sofía puede ofrecer ese día.

3) Elaboren un gráfico que muestre cómo contar este número de posibles menús del día lunes.

4) Ahora, consideren el menú con sus cuatro categorías. ¿Cuántos menús diferentes pueden contar?

Un menú combinadoSofía deseaba competir con los restaurantes vecinos que ofrecían menús diarios. Un amigo le comunicó que ella podría vender cientos de menús diferentes ofreciendo la posibilidad de combinar los platos. El sistema era sencillo: se ofrecería una variedad de entradas, segundos, postres y bebidas; el cliente podría formar su menú, eligiendo una opción de cada una de las categorías. La cartilla muestra los diversos platos que Sofía ofrece en una semana típica a sus comensales.

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y resuelvan la situación planteada:5) Utilicen el método anterior para saber cuántos menús

diferentes se pueden ofrecer el día martes.

6) Entre el lunes y el martes, ¿cuántos menús diferentes ha ofrecido el restaurante de Sofía?

7) Realicen una explicación de los métodos que han utilizado, tanto gráficos como numéricos. Traten de expresar estos métodos en un párrafo.

8) Apliquen los métodos explicados y respondan: ¿Cuántos diferentes menús ofrece el restaurante de Sofía en la semana?

9) En la situación inicial, si el restaurante de Sofía ofreciera el día jueves las opciones siguientes: * Entrada: ocopa, humita, atún. * Segundo: bistec c/arroz, cau cau. * Postre: piña en almíbar, cocada. * Bebidas: chicha morada, limonada, naranjada.

¿Cuántos menús diferentes podría ofrecer a la semana?

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los principios aditivo y multiplicativo. Estos son útiles, pues ayudan a contar casos posibles sin necesidad de enumerarlos todos.

LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

EntradaPapa rellena

Ensalada mixtaCebiche

OcopaHumita

Salpicón de pollo

TiraditoHuevo a la rusaEnsalada César

OcopaAtún

Causa

Tamalito verdeEnsalada rancho

Choros a la chalaca

Segundo Lomo saltadoCarapulcra

Bistec c/arrozCau cau

Tacu tacuAjí de gallina

Lechón al hornoJalea

Arroz c/pollo

Patita c/maníTallarines rojos

Seco de resSuprema c/papas

PostreGelatina

FlanHeladoBudín

Piña en almíbarCocada

Suspiro limeñoPie de chirimoya

Leche asadaChifón de naranja

DuraznosManzana al

hornoArroz c/lecheArroz zambito

BebidasChicha morada

LimonadaTé

Café

Chicha moradaLimonada

TéCafé


TéCafé


TéCafé

Chicha morada




Debo mejorar.

Autoevaluaciónsimilar, ya que es como encontrar las formas de subir una escalera de 12 escalones subiendo 1 o 2 escalones cada vez.

No es correcto; el menú consta de entrada, segundo, postre y bebida que se sirven a la vez.

Menú

A consideración de los estudiantes. Se debe aplicar la regla de la multiplicación. Para un lunes o miércoles serán: 3 x 2 x 4 x 4 = 96 menús diferentes.

El martes se pueden ofrecer 3 x 2 x 2 x 4 = 48 menús diferentes.

Ha ofrecido 144 menús diferentes.

Lunes: 96; martes: 48; miércoles: 3 x 2 x 4 x 4 = 96; jueves: 3 x 3 x 2 x 4 = 72; viernes: 3 x 4 x 2 x 1 = 24. En total, 336 menús diferentes.

Primero debo calcular la cantidad de menús de este día jueves: 3 x 2 x 2 x 3 = 36. Luego, reemplazar este dato por el del jueves de la situación inicial: 96+48+96+36+24=300 menús diferentes a la semana.

El diagrama de árbol se utiliza para casos pequeños donde solo hay dos o tres tipos de categorías para combinar. El método numérico se aplica a diferentes tipos de problemas y se basa en multiplicar el número de elementos de cada categoría del caso.

Papa rellena

Ensalada mixta

Cebiche

Lomo saltado

Carapulcra

Lomo saltado

Carapulcra

Lomo saltado

Carapulcra

Papa rellena - lomo saltado; papa rellena - carapulcra;ensalada mixta - lomo saltado; ensalada mixta - carapulcra; cebiche - lomo saltado; cebiche - carapulcra.

117


Resolvamos 1 178MD

Un mundo de incertidumbresActividad

Comente con sus estudiantes que vivimos en un mundo influido por el azar. Muchas decisiones de hoy se toman, no con base en certezas, sino en riesgos calculados. Un importador trae productos que espera vender, aunque no tiene la certeza de ello; un equipo de futbol no sabe si su próximo partido lo ganará, empatará o perderá; las empresas mineras adquieren terrenos en los que esperan encontrar mineral, pero muchas veces la inversión se pierde pues no se halla el preciado producto. En general, los sucesos de hoy tienen más de incertidumbre que de certeza y debemos acostumbrarnos a tomar decisiones a partir de solo cierto nivel de seguridad.

Probabilidad de Laplace


Resuelve problemas que involucran el cálculo experimentalmente de la probabilidad.CAPACIDAD

La tarea presenta una noticia donde aparecen diversos vocablos relacionados con el azar. La tarea es identificar estos términos y utilizarlos luego en la construcción de oraciones válidas.

La tarea presenta un problema que explora la comprensión del significado de la probabilidad de Laplace, a partir de una situación cercana al estudiante: unas bolitas de colores en el interior de una bolsa.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran utilizar la noción de probabilidad laplaciana.






27







El lenguaje del azarT1

Probabilidad a ciegasT2

En este caso, se propone utilizar la lectura analítica.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran redactar expresiones que denoten la idea de la probabilidad de un evento.

Los estudiantes pueden tener dificultades al completar las expresiones dadas y reconocerlas dentro de una gama amplia de probabilidades, desde los eventos imposibles (probabilidad cero) hasta los eventos seguros (probabilidad 1).

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en los diversos significados que cada uno de los términos descubiertos puede tener. Es importante reconocer lo que significa un evento seguro o un evento imposible; asimismo, comprender cuándo se dice que un evento es poco probable y cómo se traduce esto en una expresión numérica.Es interesante señalar que se trabajan las probabilidades como un modelo matemático de la realidad. Por ejemplo: al lanzar una moneda, se considera que es igualmente probable que salga cara o que salga sello. La posibilidad real de que la moneda caiga de canto, en el modelo matemático, no se considera. A este evento se le asigna probabilidad cero porque, desde el punto de vista matemático, es imposible.

Los estudiantes pueden tener dificultades al modelar linealmente la situación, sobre todo por el uso de fracciones. Asimismo, se debe estar seguro de que comprenda que la barra total representa a la unidad o al 100 %.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en lo que significa la probabilidad de un evento. En general, se puede ver en la comparación por cociente entre los casos favorables y los casos posibles. Es decir, se calcula cuánto de favorable tiene el evento que medimos.En este caso, se propone realizar la lectura analítica y dividir un problema en subproblemas.

Cálculo con fraccionesSistema de coordenadasProporcionalidad directa




La tarea presenta el plano de un centro comercial que tiene niveles de bifurcación. La tarea es encontrar cuántas personas habrá en cada una de las puertas.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas sobre sucesos probables, por medio de una simulación.

En este caso, se propone utilizar la simulación para inferir un resultado.

En este caso, se propone realizar la lectura analítica y la enumeración de casos posibles.

Los estudiantes pueden tener dificultades al decidir sobre un indicador que le permita objetivamente tomar una decisión de si va a jugar otra vez o si se va a detener. Si en el primer lanzamiento sale un número muy grande, no le conviene seguir; si en el primer tiro le sale un número pequeño, es mejor arriesgar.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran analizar un juego de azar, a partir del cálculo de la probabilidad de ganar en dicho juego.

La tarea presenta un juego de tablero que involucra el azar. En él se cuenta con dos dados y participan dos jugadores. Cada uno de ellos, al llegar su turno, lanzará uno de los dados. Después de ver el resultado, deberá decidir si avanza las casillas que indica el dado lanzado o si tira el otro. Si decide esto último, deberá lanzar el segundo dado y si el valor de este es mayor que el anterior, avanzará la suma de los dos; pero si no, deberá retroceder lo marcado en el último lanzamiento. Gana el primero que llegue a la meta.









Azarosa arquitecturaT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el plano tiene bifurcaciones y que estas hacen que una persona tenga la misma posibilidad de ir a un lado o a otro. Esto es posible observar mediante la simulación con una moneda. Al llegar a una bifurcación, se lanza la moneda: si sale cara, irá a la izquierda, y si sale sello, irá a la derecha. Se entiende que las oportunidades de ir a un lado o al otro son, en ambos casos, del 50 %.




Los estudiantes pueden tener dificultades al organizar el experimento de simulación. Es recomendable que las parejas intercambien la información que consigan. De acuerdo con la ley de los grandes números, si ese tiene una mayor cantidad de casos posibles, la simulación se acercará mucho más a la realidad. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. En este caso, ha sido el diseño y la simulación de un experimento, con el fin de tener una idea de lo que ocurrirá en la realidad. Se debe recordar que se está trabajando con el azar y no con eventos determinados. No siempre en un grupo de cien personas que se encuentren ante una bifurcación, cincuenta irán a la derecha y las otras a la izquierda; se espera que esto suceda, pero no es certero. Para explorar este tipo de actividad, es posible diseñar otras entradas que tengan diversas combinaciones de bifurcación.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las opciones que tiene el jugador de elegir un segundo lanzamiento. Si bien el juego tiene el dado como elemento aleatorio, el hecho de poder decidirse por un segundo lanzamiento lo convierte también en un juego de estrategia, ya que depende de la primera salida para que el jugador desee hacer la segunda.

Para los estudiantes más avanzados, se proponen tareas de investigación, como modificar las reglas del juego, pero manteniendo su estructura. Es posible cambiar el número de dados (lo que se hace tanto en el primer como en el segundo lanzamiento), la forma del tablero, el número de casillas, etc.


La carrera enredadaT4

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y reflexionar sobre cómo se ha hallado la solución.También se presentan algunas variantes de datos para que los estudiantes se apropien de la estructura de este tipo de problemas. Para los más avanzados, se puede proponer tareas de investigación, como redactar problemas similares al estudiado y resolverlos de dos maneras distintas.


Resolvamos 1 180MD

El lenguaje del azar

7) Escribe una noticia escolar en la que se empleen los términos probable, poco probable e imposible.

8) Busca ejemplos de sucesos aleatorios que puedas calificar con los siguientes términos:

Completa las siguientes oraciones con los términos:

1) Que mañana llueva es

2) Que pasado mañana tenga 24 horas es

3) Que tus padres te den S/.100 de propina es

seguro muy probable probable poco probable imposible

seguro muy probable probable poco probable imposible

Lee el siguiente texto y subraya en él algunos términos relacionados con el azar.

4) Que apruebe Matemática es

5) Que tenga 250 hermanas es

6) Que cuando sea grande mida 1,70 m es

Un mundo deincertidumbres27

imposible.

Enero tiene 31 días (seguro).En verano los días son calurosos (muy probable).Llegaré temprano al trabajo yendo en taxi (probable).Llegaré temprano al trabajo viajando por una avenida congestionada (poco probable).

probable.

poco probable.

seguro.

poco probable.

muy probable.

Por ejemplo: El día de mañana es probable que no haya clases debido a las actividades deportivas a realizarse y resulta imposible, tanto para docentes como para estudiantes, poder abstraerse de ellas. Asimismo, les informamos que es poco probable la presencia de nuestro director, quien se encuentra delicado de salud, razón por la cual él ha expresado desde ya sus mejores deseos para los deportistas de nuestro colegio.

118



Roja: Blanca: Azul:

Probabilidad a ciegas

1) ¿Cuántas bolas hay en la bolsa?

2) ¿Qué probabilidades te dan como dato?

1) ¿Qué parte o fracción de bolas son rojas o blancas?

2) ¿Qué parte o fracción de bolas son azules?

3) Haz un diagrama lineal que reúna las dos respuestas anteriores.

4) ¿Que fracción de bolas son verdes?

1) ¿Qué fue lo que te dio la pista?

2) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola y que esta sea roja, blanca o azul?

3) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola verde? 4) ¿Por qué las fracciones referidas a la probabilidad deben

sumar 1?

5) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja o blanca?

6) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea roja? 7) Si sacas una bola al azar y es azul, ¿cuál es ahora la probabilidad

de sacar una bola roja?

3) ¿Qué probabilidad te falta?


Raisa tiene una bolsa que contiene al menos 20 bolitas, que son rojas, blancas o azules. La probabilidad de seleccionar una bola roja de la bolsa es de 2/3. La probabilidad de seleccionar una bola blanca de la bolsa es de 5/18. Raisa sabe que hay exactamente 4 bolas azules en la bolsa.¿Cuántas bolas rojas hay en ella?

5) ¿Pueden haber en la bolsa 24 bolas? ¿Por qué?

6) ¿Qué condición debe cumplir el número de bolas?

7) ¿Cuántas bolas hay en la bolsa?

8) ¿Cuantas bolas rojas hay en la bolsa?

2) ¿Cuánto deben sumar las probabilidades de todos los casos?

1) Sabes que al menos hay veinte bolas. Parece un problema de fracciones. ¿Qué representación utilizarías para responder?

a)Diagrama lineal

b) Hacer una tabla

c) Diagrama de árbol

Hay, al menos, 20 bolitas.

Son 2/3 + 5/18 = 17/18.

Es 48/71, pues el total de bolas rojas sigue siendo 2/3(72) = 48 y el tamaño del espacio muestral se modificó a 71.

Porque los tres eventos constituyen la totalidad del espacio muestral.

La probabilidad de que no sea roja es 6/18 = 1/3.

La probabilidad de sacar una bola roja o blanca es de 17/18.

La probabilidad es 0.

La fracción es 0.

Esta suma debe ser 1.

La probabilidad es 1.

Las bolas azules son 1 - 17/18 = 1/18 del total.

2/3 = 12/18 5/18 1/18

Me dan la probabilidad de seleccionar una bola roja (2/3) y la probabilidad de seleccionar una bola blanca (5/18).

La probabilidad de seleccionar una bola azul.

El número de bolas rojas que hay en la bolsa.

4 bolas azules equivalen a 1/18 del total. Entonces, hay 4/(1/18) = 72 bolas.

Hay 42 bolas.

Saber que el número de bolas azules es 4, que es justo la probabilidad que falta y que es calculada sabiendo que la suma de las tres probabilidades referidas a cada tipo de color es igual a 1.

Porque los denominadores de las fracciones no son múltiplos de 24.

No.

Debe cumplir la condición de que sean múltiplos de 18.

119


Resolvamos 1 182MD

Azarosa arquitectura

1) ¿Qué muestra el diagrama?

2) Si entran 100 personas, aproximadamente, ¿cuántas se van por la izquierda?

1) Realiza el experimento varias veces. ¿Cuántas veces consideras que es suficiente?

2) ¿Cómo registrarás los resultados?

3) Registra tus resultados en el organizador elegido.


2) ¿Cómo cambiarían tus respuestas si el plano fuera como el

de la figura 1? 3) ¿Cómo cambiarían tus respuestas si el plano fuera como el

de la figura 2?

4) Si se desea ser justo y se quiere que el número de personas que llegan a cada puerta de acceso sea, aproximadamente, el mismo, ¿cuál de las tres disposiciones elegirías? Explica.

3) ¿Qué supuesto tienes que hacer?

4) ¿Qué tienes que averiguar?

1) ¿Crees que diseñar un experimento te ayudará a entender? ¿Por qué?

2) ¿Cómo puedes diseñar el experimento, qué materiales necesitarás?

3) Completa donde corresponda:

El experimento aleatorio lo puedes diseñar con un dado de

Toma el , cada vez que llegues a una bifurcación, lanza el dado. Si sale par, tomas el camino de la

Si sale , el camino de la derecha.

Las rutas de salida hacia las puertas del centro comercial Inka Plaza se han diseñado como muestra el diagrama. En cada bifurcación, una persona tiene la oportunidad de ir a la derecha o a la izquierda.

Si al interior del centro comercial se encuentran 800 personas que van a salir al mismo tiempo, ¿cómo crees que será la distribución en cada una de las puertas A, B y C?

Muestra el diseño de las rutas hacia las puertas de salida del Inka Plaza.

Se diseñó un experimento y se hizo un diagrama que representaba la situación.

Por las 4 puertas salen 200 personas.

Elegiría la figura 1, porque por todas las puertas salen 200 personas.

Considerar equiprobable la elección de ir a la izquierda o a la derecha.

Por la puerta ubicada a nuestra izquierda salen 400 personas y por las otras salen 200 por cada una.

La distribución de las 800 personas que saldrán del Inka Plaza por las puertas A, B y C.Serán, aproximadamente, 50 personas.

Sí, porque permite visualizar mejor el problema.

Se puede usar un dado (par o impar) o una moneda para decidir entre dos opciones.

A criterio del estudiante. Se recomienda al menos 50 veces.

En una tabla o en un diagrama de árbol.

seis caras.dado

izquierda.

impar

800

400400

200 200

200 400 200

120



La carrera enredada

1) Si al lanzar el primer dado les toca 1, ¿elegirán lanzar el segundo? Expliquen.



4) ¿Cuándo es mejor lanzar el segundo dado? Explica.

5) ¿Hay algún método para ganar con mayor facilidad?

Carlos compró un juego en la librería. Al abrirlo, encontró las instrucciones.

6) Si se cambian las instrucciones, de modo que cada jugador pueda elegir lanzar una o dos veces, pero siempre los dos dados, ¿para qué números del primer lanzamiento conviene lanzar la segunda vez?

7) Hagan una lista de todos los posibles resultados. Organícenlos en este esquema.

8) ¿Cuál es la probabilidad de lanzar el dado dos veces y avanzar en el tablero?

Dado 1

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de probabilidades. Este concepto es muy útil para tomar decisiones basadas en riesgos calculados, entender juegos de azar y estudiar situaciones inciertas, entre otros.

LA CARRERA ENREDADAN.° de jugadores: 2

Materiales: 1 tablero, 2 dados, 1 ficha verde y 1 ficha azul.

Instrucciones:

Cada jugador, al llegar su turno, lanzará uno de los dados.

Después de ver el resultado, deberá decidir si avanza las casillas que indica el dado lanzado o si tira el otro. Si decide esto último, deberá lanzar el segundo dado, y si el valor de este es mayor que el anterior, avanzará la suma de los dos; pero si no, entonces deberá retroceder lo marcado en el último lanzamiento.

Gana el primero que llegue a la meta.

Dad

o 2

Con tus compañeros, investiguen este juego resolviendo las siguientes incógnitas:






Autoevaluación

Sí, porque es muy probable obtener un número mayor que 1 en el segundo tiro y poder avanzar más.

Cuando en el primer lanzamiento obtengo 1 o 2, pues es muy probable obtener un número mayor en el próximo lanzamiento.

No, porque es imposible sacar un número mayor que 6.

En este caso, se tiene la misma probabilidad de obtener un número mayor o lo contrario, por lo que la decisión debe ser aleatoria.

Si consideramos lo analizado en las anteriores preguntas, la probabilidad de ganar será mayor.

Es 15/36 = 5/12.

Es similar, en este caso, debo lanzar de todas maneras la segunda vez; sin embargo, las probabilidades no cambian y conviene si en el primer tiro obtengo 1 o 2.

(1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)

(2;3) (2;4) (2;5) (2;6)

(3;4) (3;5) (3;6)

(4;5) (4;6)

(5;6)

121


Resolvamos 1 184MD

Jugando con el azarActividad

Comente con sus estudiantes que, en la vida diaria, tenemos muchas veces que tomar decisiones sobre situaciones inciertas, sobre hechos de los que no estamos completamente seguros. Así, no podemos afirmar con certeza si el día de mañana lloverá, qué número será el ganador de una rifa o qué persona ganará en un juego de ludo. Todos estos casos se encuentran regidos por el azar; todos son sucesos llamados aleatorios. Sin embargo, los matemáticos se embarcaron a dominar el azar y lo lograron. En esta lección, estudiaremos cómo poder predecir, con cierta certeza, situaciones aleatorias.

Probabilidad de Laplace


Resuelve problemas que involucran el cálculo experimental de la probabilidad.CAPACIDAD

La tarea presenta una situación en el estudio de un juego de azar. En este caso, es un juego con dos dados de seis caras cada uno. Se trata de construir el mapa muestral de dicho juego.

La tarea presenta el juego típico de una tómbola. Este tiene la variante de que para ganar debe pasar algo específico, tanto en la primera como en la segunda oportunidad que tiene el jugador. Debido a ello, las probabilidades que se calculen corresponden a eventos compuestos.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren analizar un juego de azar con probabilidades compuestas.






28







Primos pero no parientesT1

La tómbolaT2

En este caso, se propone particularizar la situación, elaborar una lista sistemática y calcular casos posibles.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que involucren elaborar mapas muestrales para el estudio de juegos de azar.

Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular las probabilidades de los resultados que expresan condiciones numéricas, como mayor o igual o el múltiplo de. Hay que pedirles, primero, que hagan una lista de los posibles casos favorables para cada una de las preguntas formuladas.

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y realizar las variantes del juego propuestas. Para aquellos estudiantes más avanzados, se puede proponer investigar, en la realidad, juegos de azar de estructura similar a la estudiada.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la diversidad de probabilidades que allí se plantean. Los estudiantes deben comprender cómo están diseñados los dados y el modo en que se obtiene el puntaje para el juego. Asimismo, se debe reflexionar acerca del tipo de matriz elegida para la construcción sistemática de un mapa muestral.


Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular las probabilidades de dos eventos que se realizan uno a continuación del otro.


Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el cálculo del espacio muestral. Es conveniente experimentar lo que se quiere decir en la instrucción de las reglas. •Si en alguno de los dos tiros, o en los dos, el dardo cae en el color azul, pierdes.•Si en los tiros consecutivos el dardo cae en el color amarillo, ganas S/.2.•Si el dardo no se clava o cae sobre la línea, el tiro se repite.¿Qué significa “alguno de los dos tiros o en los dos”?, ¿qué quiere decir “tiros consecutivos”?

En este caso, se propone elaborar una tabla y realizar una lista de casos posibles.

Cálculo con fraccionesCálculo con decimales




La tarea muestra la distribución de un grupo de estudiantes en tres talleres extracurriculares. Los estudiantes pueden estar en más de un taller. La información se presenta en forma de un diagrama de Venn.Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren calcular probabilidades compuestas.

Se propone descomponer el problema en partes y usar el diagrama de Venn para interpretar las condiciones de la situación planteada.

En este caso, se propone elaborar una lista sistemática de las posibilidades que se presentan para cada cifra.

Los estudiantes pueden tener dificultades en la consideración de todas las posibilidades que contempla cada uno de estos casos. La experiencia de esta actividad les ayudará a clarificar estos conceptos.

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades en el contexto de un experimento aleatorio típico.

La tarea presenta un ejemplo típico de un experimento aleatorio. De una urna con bolas numeradas del 0 al 99, se trata de extraer al azar una bola y leer el número que en ella aparece. Dos amigos realizan la experiencia: Juan desea que el número que resulte no incluya la cifra 3 y María desea que no contenga la cifra 9. Se desea determinar quién tiene mayor probabilidad de lograr su objetivo.








Los talleres de fin de semanaT3

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el caso de que alguien asista a dos talleres. Debe quedar claro que esto implica que el individuo puede asistir a los tres talleres. Los estudiantes deben notar la diferencia entre la probabilidad pedida y la probabilidad de asistir solamente a dos talleres. En el segundo caso, no se contabilizan los estudiantes que asisten a tres talleres.




Los estudiantes pueden tener dificultades al comprender lo que les piden. Como ya se dijo, deben notar que en la probabilidad solicitada se debe contar también a aquellos que asisten a más de dos talleres. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Luego, emplear el diagrama para hacer otros cálculos de probabilidades. Es interesante reflexionar acerca de las ventajas de tener la información presentada como un diagrama de Venn y no como una tabla.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la determinación de todos los posibles casos que incluyan realmente a la cifra 3 y, de forma similar, a la cifra 9. Por otro lado, también se debe analizar cuidadosamente cuando se quiera extrapolar a otras cifras.

Para aquellos estudiantes más avanzados, se puede proponer que usen esta misma actividad con un número mayor de bolas numeradas.


El azar y las cifrasT4


Resolvamos 1 186MD

Primos pero no parientes

13) Tacha cada respuesta en esta cuadrícula. Con las letras que queden, puedes formar el nombre de un famoso matemático que hizo grandes aportes a la teoría de la probabilidad.

14) (1667-1754) nació en Francia y vivió la mayor parte de su vida en Londres. Su libro Doctrina de las casualidades es considerado un clásico en el campo de la probabilidad.

15) ¿Qué números tienen mayores probabilidades de salir?

5/18 P

1/2 A

1/3B

1/7 R

31/36 A

0 L

19/36 H

7/36 L

2/3 A

7/18 M

5/12 D

1/12 A

2/9 R

4/9 E

7/12 M

1/9 D

11/16O

5/36 A

7/9 I

1/36 P

6/9 V

1/6 R

17/36 R

5/6 E

1) ¿Qué es un mapa muestral?

2) ¿Cuáles son los seis primeros números primos?

3) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma salga 6?



6) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar?

Jaime y Claudia se han hecho unos dados especiales con dos cubitos de madera de 10 cm de arista. Ellos numeran cada dado con los 6 primeros números primos. El juego consiste en lanzar los dados por turno y sumar los puntos. Quien obtenga mayor puntaje ganará.

Ambos están creando el mapa muestral para poder investigar el juego. Completa el tablero adjunto para ayudarlos.

7) ¿Y de que salga un número cuadrado?

8) ¿De que salga un múltiplo de 10?


10) ¿De que la suma sea mayor a 22?


12) ¿De que la suma sea menor o igual a 7?

+ 32

10

2213

Jugando con el azar28

Los seis primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11,13.La probabilidad de que salga un múltiplo de 10 es 5/36.

Los números que tienen mayores probabilidades de salir son 16 y 18.

Abraham de Moivre

La probabilidad es de 1/36.La probabilidad de que salga un múltiplo de 9 es 1/6.

Un mapa muestral es un esquema donde podemos observar todos los posibles eventos de un suceso.

La probabilidad que salga un número cuadrado es 7/36.

La probabilidad es de 4/36 = 1/9.La probabilidad de que la suma sea mayor a 22 es 1/12.

La probabilidad que salga 11 es nula.La probabilidad de que la suma sea múltiplo de 5 es 2/9.

La probabilidad es de 10/36 = 5/18. La probabilidad de que la suma sea menor o igual a 7 es 1/6.

2 5 7 11 13

4 5 7 9 13 15

3 5 6 8 10 13 16

5 7 8 12 16 18

7 8 10 12 14 18 20

11 13 14 16 28 24

15 16 18 20 24 26

122



La tómbola

1) Explica, con tus propias palabras, cómo se juega.

2) ¿Cuánto cuesta jugar?

3) ¿Qué haces para jugar?

4) ¿Cuándo pierdes? ¿Cuánto pierdes?

5) ¿Cuándo ganas? ¿Cuánto ganas?

6) ¿Qué es lo que se debe decidir?

1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver el problema. 2) Si el disco hubiese estado dividido mediante un diámetro en dos sectores: uno amarillo y otro azul, ¿se modificarían tus

respuestas? 3) ¿Cómo redactarías las reglas para que el juego sea justo?

1) ¿Puedes saber, de antemano, en qué sector va a caer tu dardo?

2) ¿Se trata de un experimento aleatorio?

3) A partir de las superficies pintadas, ¿puedes decir qué probabilidad hay de que el dardo caiga sobre el color amarillo? ¿Y sobre el azul?

4) ¿Qué resultados son posibles en un tiro que cae en el disco?

5) ¿Y en los dos tiros?

6) ¿Cómo enumeras todos los casos de este juego?

Completa el cuadro siguiente (mapa muestral):

1) ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de esos resultados?

2) ¿Con qué resultados ganas?

3) ¿Con qué resultados pierdes?

1.er tiro 2.o tiro Ganas Pierdes

Amarillo Azul

Amarillo Amarillo

Azul Amarillo

Azul Azul

En las ferias siempre hay juegos novedosos e interesantes. Sin embargo, debes tener cuidado y ver si el juego que te ofrecen es justo o no. Uno de ellos consiste en lanzar dardos a un disco como el que se muestra, el cual da vueltas a gran velocidad. El boleto cuesta S/.1 y te da derecho a tirar dos dardos, uno después del otro. Las reglas del juego son las siguientes:• Si en alguno de los dos tiros o en los dos el dardo cae en el color azul, pierdes.• Si en los tiros consecutivos el dardo cae en el color amarillo, ganas S/.2.• Si el dardo no se clava o cae sobre la línea, el tiro se repite.¿Te conviene jugar?

4) ¿Cuál es la probabilidad de que ganes?

5) ¿Es justo el juego?

Amarillo

Azul Azul

Amarillo

Parafraseo del estudiante.

El boleto para jugar cuesta S/.1.

Lanzar dos dardos a un disco que gira a gran velocidad.

Cuando en alguno o en los dos tirosel dardo cae en el color azul. Se pierde S/.1

Si es conveniente jugar o no.

No se puede saber.

Sí, es un experimento aleatorio.

Sí, la probabilidad es 2/4 = 0,5 Es la misma probabilidad de 0,5.

Amarillo y azul.

Amarillo, amarillo; amarillo, azul; azul, amarillo; azul, azul. La posibilidad de caer en una raya se considera muy poco probable.

Con un mapa muestral.

Las probabilidades son las mismas, pues la posibilidad de ganar el juego depende de las reglas del juego. Si en el primer tiro obtienes azul y en el segundo obtienes amarillo, ganas el juego; y si es a la inversa, pierdes el juego. Si en los tiros consecutivos el dardo cae en el mismo color, ganas S/.2. Si el dardo no se clava o cae sobre la línea, el tiro se repite.

Construir una tabla con todos los resultados posibles.

No, la probabilidad de ganar es la tercera parte que la de perder.

La probabilidad es ¼.

Cuando los dos tiros caen en amarillo.

La probabilidad de ganar es ¼.

Se pierde cuando por lo menos 1 tiro cae en el azul (3 resultados posibles).

Cuando en los dos tiros el dardo cae en el color amarillo. Gano S/.2.

123


Resolvamos 1 188MD

Los talleres de fin de semana

1) ¿Cuántos talleres hay?

2) ¿Qué representa el diagrama?

3) ¿Qué representa el número 25 al centro?

4) ¿Qué representa el 32 fuera de los círculos?


1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver el problema.

2) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante asista solamente a dos talleres?

3) ¿Cuál es la probabilidad de que asista solamente al taller de ajedrez?

1) ¿Cuándo la probabilidad de un evento es cero?

2) ¿Cuándo la probabilidad de un evento es 1?

3) ¿Qué quiere decir que la probabilidad de un evento es 4/5? ¿Qué tan probable es este evento?

4) ¿Cómo se define la probabilidad de un evento?

5) Completa la siguiente fórmula:

P(A) = ( N.° casos ) / ( N.° casos )

4) ¿Cuál es la probabilidad de que asista al taller de ajedrez, pero no al de danzas?

5) ¿Cuál es la probabilidad de que no asista a los talleres de danza y atletismo?

6) ¿Qué es más probable: que un estudiante asista a ajedrez o que asista a danza?

Completa, según corresponda:

1) Hay que contar los casos y los casos posibles, y luego aplicar la fórmula de

2) ¿Cuántos estudiantes van al colegio?

El diagrama de Venn que presentamos muestra la distribución de todos los estudiantes del colegio San Jacinto en tres talleres de fin de semana, que son:

Taller A: AjedrezTaller B: AtletismoTaller C: Danzas típicas ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante asista solamente a dos talleres?

3) ¿Cuántos estudiantes van a dos talleres?

4) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que va al colegio asista a dos talleres?

B

C

AU

54 31 48

253738

2032

La estrategia fue interpretar el diagrama de Venn y aplicar una fórmula.

La probabilidad de que un estudiante asista solamente a dos talleres es 106/285.

La probabilidad es de 86/285.

Es más probable que un estudiante asista a ajedrez (148/285) = 0,52, que a danza (120/285) = 0,42.Es 54/285.

La distribución de los estudiantes del colegio San Jacinto en tres talleres de fin de semana.

El número de estudiantes que no asisten a los talleres.

Cuando no existe ninguna opción de que el evento ocurra.

La probabilidad de un evento se define como la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Cuando el evento ocurrirá con toda seguridad.

Existen 3 talleres.

El número de estudiantes que asisten a los tres talleres.

La probabilidad de que un estudiante asista a dos talleres.

Quiere decir que de 5 casos para un evento, 4 de ellos son favorables. Entonces, este evento es muy probable.

La probabilidad es de 85/285.

285 estudiantes van al colegio. La probabilidad de que un estudiante que va al colegio asista a dos talleres es 131/285 = 0,46.

106 estudiantes van a dos talleres.

favorables posibles

favorables probabilidad.

124



El azar y las cifrasEn una urna hay bolas numeradas del 0 al 99; es decir: 0, 1, 2,… hasta 99. Juan y María realizan la experiencia de extraer al azar una bola y leer el número que en ella aparece. Juan desea que el número que resulte no incluya la cifra 3, mientras que María desea que el número que resulte no incluya la cifra 9.

¿Cuál de ellos tiene mayor probabilidad de lograr su objetivo?

1) ¿Cuántas bolas hay en la urna?

2) ¿Cuál es la acción que depende del azar?

3) Determinen el espacio muestral y cuenten sus elementos.

4) Escriban los números que incluyen la cifra 3 y cuéntenlos.

5) ¿Cuántas bolas de la urna no incluyen la cifra 3?

6) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan logre su objetivo?

7) De modo similar, calculen la probabilidad de que María logre su objetivo.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de probabilidades. Este concepto se aplica para estudiar situaciones de incertidumbre. Ayuda a tomar decisiones razonadas y a planificar de manera objetiva.

8) Comparen sus respuestas a las preguntas 6 y 7, ¿quién tiene la mayor probabilidad?

9) Reflexionen sobre su respuesta a la pregunta 8. ¿Era previsible dicho resultado?

10) Se aproxima Pedro, un amigo de Juan y María, y opta por escoger una cifra distinta. Su objetivo es que no aparezca dicha cifra, ¿tendrá mejor suerte que Juan o María? Expliquen.

Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema:



Autoevaluación

Hay 100 bolas (99 bolas más la bola cero).

La cifra 9 aparece en los números 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 y 99, es decir, en 19 números y no aparece en los demás, o sea, en 81.P(María) = 81/100

En la pregunta 6, P = 81/100 y en la pregunta 7, P = 81/100. Las dos son iguales. Ambos tienen igual probabilidad de lograr su objetivo. P(María) = 81/100

No, porque ambos descartaban cifras distintas. Juan no deseaba el 3 y María no quería el 9.

No, para cualquier otra cifra, resultará lo mismo; salvo que Pedro elija el cero, cuya probabilidad es de 90/100 mayor que las otras.

La extracción de una bola.

El espacio muestral es { 0, 1, 2, 3, 4, … ,99 }Tiene 100 elementos.

3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93 ... Son 19 números.

Puesto que hay 100 bolas, 100 – 19 = 81 no incluyen la cifra 3.

P(Juan) = 81/100

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Resolvamos 1 190MD

Burton, L.; Mason J.; Stacey K. (1984). Pensar matemáticamente. Barcelona: Editorial Labor.

Libro lleno de ejemplos de problemas y formas de resolverlos utilizando procesos de pensamiento plausible.

Cooney T. Davis E., Henderson K. (1975). Dinámica de la enseñanza de la matemática en secundaria. Illinois: Hougthon Mifflin Company.

Buenos tips y estrategias metodológicas para las fases de resolución de problemas presentadas aquí.

De Guzmán M. (1988). Para pensar mejor. Barcelona: Editorial Labor. único libro sobre heurística del gran matemático y educador español; contiene

numerosos ejemplos de protocolos heurísticos.

Gardner, M. (1988). Matemática para divertirse. Barcelona: Ediciones Granica. El más grande divulgador de las matemáticas en el siglo XX; reúne, en este interesante

texto, diversos casos de aritmética, geometría, lógica y juegos de estrategia, que desarrollarán las habilidades de detectives matemáticos de los estudiantes.

Johnson D. y Johnson R. (1999). El aprendizaje cooperativo en el aula. Buenos Aires: Paidos.

Libro fundamental para empezar a trabajar adecuadamente el aprendizaje cooperativo en el aula.

Paenza, A. (2003). Matemática… ¿Estás ahí? Buenos Aires: Editorial Siglo XXI. Un maravilloso libro sobre el arte de resolver problemas, con aplicaciones a la ciencia

y notas históricas. Altamente recomendable.

Perelman Y. (1968). Matemática Recreativa. Barcelona: Editorial Martínez Roca. Este libro presenta diversos problemas, juegos y enigmas que divertirán a los estudiantes

y en los que podrán poner en práctica los métodos aprendidos en el Cuaderno de trabajo.

Perelman, Y. (1956). Álgebra Recreativa. Moscú: Editorial MIR. Aquí encontrará varios enigmas y aplicaciones del álgebra a situaciones cotidianas y

otras, que despertará la curiosidad de los estudiantes por investigar el mundo de las ecuaciones.

Polya, G. (1956). Cómo plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas. Libro fundamental para entender la heurística y desarrollar una didáctica de la

matemática acorde a ella.

Polya,G.(1966). Matemáticas y razonamiento plausible. Madrid: Editorial Tecnos. Exploración guiada acerca de los razonamientos y heurísticas utilizadas por matemáticos

para resolver problemas diversos.

Santos Trigo, M. (1996). Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Marco teórico de la didáctica y de la evaluación para incorporar la actividad de resolución de problemas en el aula.

Smullyann, R. (1988). ¿Cómo se llama este libro? Madrid: Ediciones Cátedra. Este pequeño libro contiene muchos interesantes acertijos de lógica, presentados

como si fueran cuentos. Realmente, muy entretenido.

Bibliografía comentada



Eveilleau, T. (2009). Matemáticas mágicas. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/index.htm

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Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE). (2005). PISA 2003. Pruebas de Matemáticas y Solución de Problemas. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://www.educacion.gob.es/dctm/ievaluacion/internacional/pisa2003liberados.pdf?documentId=0901e72b801106c6

Este sitio presenta preguntas relacionadas con el día a día, que ayudarán a los estudiantes a razonar con números en situaciones cotidianas, la mayoría de las cuales presentan soluciones.

Matemáticas para todos. 20 en mate. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://www.20enmate.com/

La única página peruana diseñada para aprender matemática; consta de animaciones para comprender los conceptos, así como problemas incompletos y juegos interactivos de cálculo. Cuenta también con un banco de evaluaciones cuya resolución permitirá acceder a más puertas de esta página.

Muñoz Santonja, J. (2004). Una matemática motivadora: la matemagia. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://thales.cica.es/~estalmat/Actividades-ejemplos/MatemagiaEstalmat.pdf

Estas páginas introducen a la exploración del misterioso mundo de la magia matemática.

National Council of Teachers of Mathematics. Recuperado el 20 de mayo de 2012, www.nctm.org

Este sitio ofrece numeroso material didáctico, animaciones, applets, laboratorios y los estándares curriculares y de evaluación.

Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Examen Canguro Matemático Mexicano. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://canguro.deltagauge.info/

Aquí se encuentran las evaluaciones de las famosas “Olimpiadas Canguro”, también están sus solucionarios. Hay problemas muy interesantes de todas las áreas de la Matemática.

The Cooperative Learning Institute. Recuperado el 20 de mayo de 2012, www.co-operation.org

Este sitio provee teoría y práctica acerca de las técnicas y principios del aprendizaje cooperativo.

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