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Francisco Periago Esparza
Resolución numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) con Elementos Finitos usando
FreeFem++
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
Universidad Politécnica de Cartagena. Spain
IV Escuela conjunta UVEG-UASL-UPCT. Aplicaciones modernas de las matemáticas.
Universidad Autónoma de San Luís Potosí. México. Julio 2012
Esquema del curso ¿ Qué problemas queremos resolver ?
Implementación numérica con FreeFem++
Análisis Numérico:El Método de los Elementos Finitos
• Mecánica de fluidos, difusión de calor, elasticidad, electromagnetismo, etc..
• Todos estos problemas están modelizados matemáticamente a través de una ecuación en derivadas parciales (EDP)
• Software libre de elementos finitos para problemas 2D y 3D
• Algunos ejemplos concretos
• Formulación variacional o débil de una EDP • Descripción del Método
• Control del Error
¿QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?
Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos incompresibles
Claude-Louis Navier(1827) Georges Stokes (1845)
¿QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?
Difusión de Calor
qD
κ
2500
350 450 550 650
50100150200250300350400
temperatura ºK
cobrealuminio
acero
¿QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?
Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el vacío
James Clerk Maxwell (1862)
¿QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?
Membrana Elástica Sujeta en el Borde
Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos
L
u(x)
xf
0
f
¿QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?
Más modelos….. y ecuaciones en derivadas parciales
Etc, etc, etc….
CONCLUSIONES I
La Filosofía está escrita en ese gran libro del universo, que está continuamente abierto para que lo observemos.
Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que está compuesto.
Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.
Galileo Galilei (1564-1642)
CONCLUSIONES II
1. La Modelización Matemática es la mejor herramienta de la que disponemos para entender buena parte de fenómenos físicos que interesan a la Ciencia y la Tecnología.
2. Estos modelos matemáticos se componen de sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en Derivadas Parciales que fueron formulados hace muchos pero aún hoy día sigue siendo un reto resolverlos satisfactoriamente.
3. El Método de los Elementos Finitos es uno de los métodos numéricos más usados por la comunidad científica y por la industria para poder resolver numéricamente dichos modelos.
SIGLO XX: AÑO 1946
Laurent Schwartz (1915-2002)
Teoría de las Distribuciones (1946).
Nuevos conceptos de Soluciones de las Ecuaciones en derivadas Parciales
John P. Eckert y Johnn W. Mauchly contruyeron en 1946 el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primer ordenador de la historia
METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Richard Courant (1943)
SIGLO XXI: Método Científico
1. Modelización Matemática
2. Análisis Matemático
3. Análisis y Simulación Numérica
4. Control, Diseño, etc…
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos
( PM )
( PM ) NO TIENE SOLUCIÓN CLÁSICA!!
L /2
¿QUÉ SE PUEDE HACER ENTONCES?
( PM )
Trabajo virtual de las fuerzas exteriores Trabajo virtual interno de deformación
( PV )
L /2
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Formulación en Mínima Energía
Principio de Mínima Energía
Principio de los Trabajos Virtuales
Ecuación de Euler-Lagrange
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Simulación Numérica con Matlab
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Ensamblado de la Matriz de Rigidez
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0...0000
0...00000...00000...00000...0000
Ah
Ah1
Ah2
Ah3
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Control del Error en el MEF
( PV )
• Regularidad de la malla • Regularidad de la solución débil • Grado de los polinomios de interpolación
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
El caso de las dimensiones 2 y 3
Fórmula de integración por partes (Teorema de Green)
1D
2D
ND
D
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Forma Clásica de la EDP
Fórmulación Variacional de la EDP
Multiplicar la EDP por v e integrar
Integrar por partes
Condiciones de frontera
Forma variacional de la EDP
Función de forma en dimensión 2
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Discretización de la forma variacional de la EDP de forma similar al caso 1D ……. y llegamos a un sistema lineal de ecuaciones algebráico
Función de forma para elementos finitos de Lagrange P1 en 2D
Función de forma en dimensión 2
INTRODUCCIÓN A FreeFem++
¿Qué es FreeFem++?
Software libre para resolver EDP usando el Método de los Elementos Finitos. Funciona bajo Windows, Linux y Mac OS
Se puede bajar de la página http://www.freefem.org
Ha sido desarrollado en el Laboratoire Jacques-Luis Lions de la Université Pierre et Marie Curie (Paris, Francia)
¿Cómo funciona?, ¿cómo se maneja?
Veamos un primer ejemplo sencillo en la versión gráfica FreeFem++-cs 12.4 32
Función de forma en dimensión 2
INTRODUCCIÓN A FreeFem++
border C(t=0,2*pi){x=cos(t);y=sin(t);} // frontera
Forma variacional:
La ecuación de Poisson en el disco unidad (2D)
mesh Th = buildmesh(C(100)); // malla. 100 puntos en el borde plot(Th,ps=“malla1.eps”); //dibujamos y grabamos la malla fspace Vh(Th,P1); // espacio de elementos finitos Lagrange P1
Vh uh,vh; // uh,vh pertenecen a Vh
solve Poisson(uh,vh)= // definimos el problema
int2d(Th)(dx(uh)*dx(vh)+dy(uh)*dy(vh))
-int2d(Th)(f*vh)
+on(C,uh=0);
func f=1; // término de la derecha
plot(uh); // gráfica de la solución
Función de forma en dimensión 2
INTRODUCCIÓN A FreeFem++
control del error
Forma variacional:
La ecuación de Poisson en el disco unidad (2D)
func u=0.25*(1-x^2-y^2); // solución exacta real L2error; //variable real L2error=sqrt(int2d(Th)(u-uh)^2); // error en norma L^2
cout<<“L2error = “<<L2error<<endl; // imprimir en pantalla
Función de forma en dimensión 2
INTRODUCCIÓN A FreeFem++
Forma variacional:
La ecuación de Poisson en el cubo unidad (3D)
INTRODUCCIÓN A FreeFem++
Problemas Evolutivos. Ecuación del Calor
Concepto de solución débil. Se ha de cumplir:
Solución del problema discretizado con elementos finitos:
INTRODUCCIÓN A FreeFem++
Tras sustituir la solución del problema discretizado en la formulación variacional obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
incógnita
matriz de masa
matriz de rigidez
término independiente
INTRODUCCIÓN A FreeFem++
Finalmente, se ha de discretizar la variable temporal. Por ejemplo con un esquema de Euler implícito.
Veamos un ejemplo concreto:
Forma variacional discretizada con un esquema de Euler implícito:
Función de forma en dimensión 2
INTRODUCCIÓN A FreeFem++
Forma variacional:
El sistema de la elasticidad lineal 2D
Función de forma en dimensión 2
INTRODUCCIÓN A FreeFem++
Forma variacional:
Skin effect in AC Power electromagnetics