Resolucion de Triangulos Ejercicios

7/24/2019 Resolucion de Triangulos Ejercicios

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RESOLUCION DE TRIANGULOS I

Resolver un triángulo cons iste en ha llar sus lados, ángulos y

área.

Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos

lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos

encontramos con cuatro tipos de resoluc ión de triángulos

rectángulos:

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

. Se conocen los dos catetos



!.Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo



". Se conocen un cateto y un ángulo agudo

#$ercicios

De un triángulo rectángulo %&', se conocen a ( "1) m y b

( *+ m. Resolver el triángulo.

sen & ( *+"1) ( +.-" & ( arc sen +.-" ( 42° 25′

' ( /+0 "0 )2 ( 47° 352

c ( a cos & c ( "1) 3 +.!*1 ( 306. 31 m

De un triángulo rectángulo %&', se conocen b ( !! m y c (

1 m. Resolver el triángulo.



tg & ( !!1 ( 1.)1" B = 57° 32 2

' ( /+0 )0 !2 ( 32° 28′

a ( bsen & a ( !!+.)"! ( 39.12 m

De un triángulo rectángulo %&', se conocen a ( ") m y & (

0. Resolver el triángulo

' ( /+0 0 ( 68°

b ( a sen 0 b ( ") 3 +.!"- ( 16.85 m

c ( a cos 0 c ( ") 3 +./ ( 41.72 m

De un triángulo rectángulo %&', se conocen b ( ). m y &

( !4. Resolver el triángulo

' ( /+0 !0 ( 53

a ( bsen & a ( ).+.-+1* ( 8.64 m

c ( b 3 cotg & c ( ). 3 1.!+ ( 6. 9 m

5n dirigible que está volando a *++ m de altura, distingue

un pueblo con un ángulo de depresi6n de 10. 7% qu8 dist ancia

del pueblo se halla9



allar el radio de una circun;erencia sabiendo que una

cuerda de ".- m tiene como arco correspondiente uno de +4



'alcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos

de sus lados miden *+ m y 1!+ m, y ;orman entre ellos unángulo de +0.

'alcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto

del terreno se observa su copa ba$o un ángulo de !+0 y si nos

acercamos 1+ m, ba$o un ángulo de -+0.



<a longitud del lado de un oct6gono regular es 1 m. allar

los radios de la circun;erencia inscrita y circunscrita.



'alcular la longitud del lado y de la apotema de un

oct6gono regular inscrito en una circun;erencia de "/

cent=metros de radio.



>res pueblos %, & y ' están unidos por carreteras. <a

distancia de % a ' es - ?m y la de & a ' / ?m. #l ángulo que

;orman estas carreteras es 1+0. 7'uánto distan % y &9



RESOLUCION DE TRIANGULOS II

EJERCICIO 1: Calcula las razones trigonométricas del

ángulo α :

Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las

razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para elángulo α el cateo opuesto es , el contiguo !" y la

#ipotenusa !$.

EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonométricas del

ángulo C del siguiente triángulo

%#ora en este e&ercicio ya no tenemos los tres

lados, falta uno de los catetos y para calcularlo

vamos a utilizar el 'eorema de Pitágoras.

(o primero ponerle nom)re a los lados. *amos a

llamarle con letras min+sculas a los lados que están

enfrente del ángulo con la correspondiente letra

may+scula es decir a - ! m, ) - / m y c es el

lado que queremos calcular



%plicando el 'eorema de Pitágoras tenemos:

a" - )" 0 c "

!"- /" 0 c"

!1 - 1 0 c"

!1 2 1 - c"

!3" - c" y aplicando las fórmulas

!!, - c tenemos:

(uego c - !!, m.

EJERCICIO 3: 4etermina los ángulos del

e&ercicio anterior

5)viamente ya sa)emos que el ángulo % es el ángulo recto y por tanto % - 67.

Para calcular los otros dos vamos a #acerlo con las razones trigonométricas y con

la ayuda de la calculadora.

8i queremos calcular el ángulo C con los datos que parto, lo primero es

identificar los lados que conozco respecto al ángulo C, que en este casoson cateto contiguo e hipotenusa y pienso en qué razón trigonométrica

intervienen esos lados. (a respuesta es el coseno, así que calculo cos C

Cos C - / 9 ! - 6,$. %#ora con la calculadora sacamos cuál es el ángulo,

utilizando la función inversa de la tecla ;cos;, y el resultado es C - $$,"$7.

Para calcular < puedo #acer lo mismo, pensar qué razón puedo calcular, o como

ya tengo dos ángulos, sacarlo de que la suma de los ángulos de cualquier

triángulo es !/67 ( A + B + C = 180). Por cualquier camino el resultado es < -

3,$7.



EJERCICIO 4: 4e un triángulo rectángulo se sa)e que uno

de sus ángulo agudos es 67 y que el cateto opuesto a éste

mide !6m. Calcula el ángulo y los lados que faltan.

(o primero es #acer un di)u&o que nos aclare la situación y ponerle nom)re a los

lados y ángulos

=sta sería nuestra situación.

Para empezar los más fácil es sacar el

ángulo que falta, y aplicando que la suma

de los tres es !/6, el ángulo < vale $67.

*amos a calcular a#ora por e&emplo el

lado ;);. 8i me fi&o en el ángulo C, el lado

que sé es el cateto opuesto y el que

pretendo calcular es el contiguo. Como la

razón trigonométrica en la que intervienen

estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despe&ar a partir de a#í:

Por tanto ya tenemos el lado ;);. Para calcular el lado ;a; podríamos aplicar

Pitágoras o sacarlo por alguna razón. *amos a seguir este camino que será más

corto.

Por e&emplo voy a fi&arme en el lado ;c; y el ángulo ;C;, aunque ya podría

utilizar cualquiera de los datos que tengo. Para el ángulo ;C; sé cateto opuesto y

quiero #ipotenusa así que #a)rá que utilizar el seno:



EJERCICIO 5: Calcula la altura de la torre si nuestro

persona&e está a m de la )ase de la torre, el ángulo con el

que está o)servando la c+spide es de 167 y sostiene el

artilugio a una altura de !,$ m.

Para comenzar, vamos a #acer un di)u&o que

aclare un poco la situación poniendo los

datos que conocemos.

8i nos fi&amos en el

triángulo, el lado c mide

m y una vez que tengamos calculado el lado ), para

calcular la altura de la torre sólo tendremos que sumarle los

!,$ m. %sí pues, vamos a calcular el lado ).

Para el ángulo 167, el lado que conozco es el cateto contiguo

y el que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo

la tangente de 167.

Por tanto la altura de la torre es !",!! m 0 !,$ m - !3, 1! m.

EJERCICIO 6: =l seno de cierto ángulo α del segundo

cuadrante vale 6,$. Calcula el coseno y la tangente.

Para resolver este e&ercicio tenemos que recurrir a las relaciones trigonométricas.

4e la primera sacaremos el valor del coseno y una vez que lo tengamos

sacaremos la tangente:



8acamos el valor del coseno despe&ándolo de la fórmula: sen"α 0 cos"α - !.

Como nuestro ángulo está en el segundo cuadrante y en ese cuadrante el coseno

es negativo, tenemos que

quedarnos con el signo 2, por

tanto cos α - 2 6,/3.

Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda

fórmula:

EJERCICIO 7: 8a)iendo que cos "7 - 6,. Calcula:

sen """7, tg !3/7, cos /7, sen 3!/7 y sen !3"7.

sen 222º

=l ángulo """7 pertenece al tercer cuadrante. *amos a ver con que ángulo del

primero se relaciona: α - """7 2 !/67 - "7.

Por tanto y teniendo en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo,

sen"""7 - 2 sen "7 - 2 6,11 > Para calcular el sen 42º seguimos el mismo

procedimiento ue en el e!ercicio ").

tg 138º

!3/7 está en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con α - !/67 2 !3/7- "7, que vuelve a ser el ángulo que conocemos.

Como la tangente es negativa en el segundo cuadrante, tg !3/7- 2 tg "7- 26, (tg

42º lo calculamos igual ue en el e!ercicio ")

cos 48º



/7 es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario del ángulo

que conozco "7.

=ntonces cos /7 - sen "7 - 6,11.

sen 318º

3!/7 está en el cuarto cuadrante y se relaciona con 3167 2 3!/7 - ".

=ntonces sen 3!/ 7- 2 sen "7 - 2 6,11

sen132º

!3"7 es del segundo y se relaciona con !/67 2 !3"7 - /7 que es el

complementario de "7.

=ntonces y como el seno es positivo en el segundo cuadrante, sen !3"7 - sen /7

- cos "7 - 6,.

RESOLUCION DE TRIANGULOS III1 Se conocen la hipotenusa y un cateto:



!"em#lo$

Resolver el triángulo conociendo:

a ( "1) m y b ( *+ m.

sen & ( *+"1) ( +.-" & ( arc sen +.-" ( 42° 25′

' ( /+0 "0 )2 ( 47° 352

c ( a cos & c ( "1) 3 +.!*1 ( 306. 31 m

2 Se conocen los dos catetos:

!"em#lo$




b ( !! m y c ( 1 m .

tg & ( !!1 ( 1.)1" B = 57° 32 2

' ( /+0 @ )0 !2 ( 32° 28′

a ( bsen & a ( !!+.*!" ( 39.12 m

3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:

!"em#lo$


a ( ") m y & ( 0.

' ( /+0 0 ( 68°



b ( a sen 0 b ( ") 3 +.!"- ( 16.85 m

c ( a cos 0 c ( ") 3 +./ ( 41.72 m

4 Se conocen un cateto y un ángulo agudo:

!"em#lo$


b ( ). m y & ( !4

' ( /+0 !0 ( 53

a ( bsen & a ( ).+.-+1* ( 8.64 m

c ( b 3 cotg & c ( ). 3 1.!+ ( 6. 9 m

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