Universidad Central del Ecuador

Didáctica de las Matemáticas

Qué es un problema y cómo resolverlo

Integrantes:Bianca PalaciosJerry ReyesPedro Menéndez

Qué es un problema?Un problema suele ser un asunto del que se espera una solución, aunque ésta lista no siempre sea obvia. En matemática, un problema es una pregunta sobre objetos y estructuras matemáticas que requiere una explicación y demostración.

Características de un problemaSuponen un reto.La finalidad es profundizar en los conocimientos y experiencias.Requieren más tiempo.Pueden tener una o más soluciones.

Explorar un problema significa procurar soluciones alternativas, además de la natural y analizar estas soluciones desde diferentes puntos de vista matemático

Entre los fines de la resolución de problemas tenemos:• Hacer que el estudiante piense productivamente• Desarrollar su razonamiento• Enseñarle a enfrentar situaciones nuevas• Darle la oportunidad de involucrarse con las aplicaciones de la

matemática• Hacer que las clases de matemática sean más interesantes y

desafiantes• Equiparlo con estrategias para resolver problemas• Darle una buena base matemática

GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMASGeorge Polya nació en Hungría en 1887. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso deldescubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que paraentender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanzaenfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejerciciosapropiados.

Método de Cuatro Pasos para resolver problemas.Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en lossiguientes cuatro pasos:1. Entender el problema.2. Configurar un plan3. Ejecutar el plan4. Mirar hacia atrás

La finalidad del método es que la persona examine y remodele suspropios métodos de pensamiento, de forma sistemática, eliminandoobstáculos y llegando a establecer hábitos mentales eficaces; lo que Pólyadenominó pensamiento productivo. Pero seguir estos pasos nogarantizará que se llegue a la respuesta correcta del problema, puesto quela resolución de problemas es un proceso complejo y rico que no se limitaa seguir instrucciones paso a paso que llevarán a una solución como sifuera un algoritmo. Sin embargo, el usarlos orientará el proceso desolución del problema. Por eso conviene acostumbrarse a proceder de unmodo ordenado, siguiendo los cuatro pasos

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema".

Ejercicio

Uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta

Se ve claramente que hay que hacer

Generalmente tienen una sola solución

Nos ayuda a aprender conceptos. Propiedades y procedimientos

Problema

Uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta

Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.

Para resolver un problema se necesita:Paso 1: Entender el problema

En esta fase el estudiante debe determinar, del enunciado, los datos que proporciona, loque preguntan (incógnita), es decir, a lo que se le va a dar respuesta y establecer lasrelaciones que hay entre los datos y la incógnita. Se sugiere que se le vaya direccionandoel trabajo a los estudiantes con preguntas como:

• ¿Entiendes todo lo que dice?• ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?• ¿Distingues cuáles son los datos?• ¿Sabes a qué quieres llegar?• ¿Hay suficiente información?• ¿Hay información extraña?• ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?• Cabe aclarar que esta etapa no se debe dar respuesta a la pregunta.

Paso 2: Configurar un planPara Pólya en esta etapa del plan el problema debe relacionarse con problemassemejantes. También debe relacionarse con resultados útiles, y se debe determinar sise pueden usar problemas similares o sus resultados (aquí se subraya la importancia delos problemas análogos). Esta etapa busca que los estudiantes determinen que pasosvan a seguir para llegar a la respuesta de la pregunta que plantea el problema. Algunasinterrogantes útiles en esta etapa son:

• ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

• He aquí un problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto ya. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?

• ¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.

Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar.

• ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general?

• ¿Un problema más particular? • ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos?• ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la

incógnita? • ¿Puedes cambiar la incógnita? • ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de

tal forma que estén más cercanos entre sí?

¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).

1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2. Usar una variable.3. Buscar un Patrón 4. Hacer una lista.5. Resolver un problema similar más simple. 6. Hacer una figura.7. Hacer un diagrama 8. Usar razonamiento directo.9. Usar razonamiento indirecto. 10. Usar las propiedades de los Números.

11. Resolver un problema equivalente. 12. Trabajar hacia atrás.13. Usar casos 14. Resolver una ecuación15. Buscar una fórmula. 16. Usar un modelo.17. Usar análisis dimensional. 18. Identificar sub-metas.19. Usar coordenadas. 20. Usar simetría.

Paso 3: Ejecutar el planPólya plantea que se debe hacer un uso intensivo de esta serie de preguntas en cadamomento. Estas preguntas van dirigidas sobre todo a lo que él llama problema porresolver y no tanto los problemas por demostrar. Cuando se tienen problemas pordemostrar, entonces, cambia un poco el sentido. Esto es así porque ya no se hablade datos sino, más bien, de hipótesis. En realidad, el trabajo de Pólya esfundamentalmente orientado hacia los problemas por resolver.En síntesis: al ejecutar el plan de solución debe comprobarse cada uno de los pasos yverificar que estén correctos.

Es aquí donde los estudiantes aplican las operaciones pertinentes estipuladas en elplan y el docente es un guía que está pendiente y direcciona el trabajo coninterrogantes como: ¿puede ver claramente que el paso realizado es correcto?,¿Acompañó cada operación matemática de una explicación contando lo que hizo ypara qué lo hizo?.

• Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos.• Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar

completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.

• Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).

• No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Examinar la solución obtenida. Examinar y validar

Una vez, resueltos los problemas propuestos, se les hace énfasis a los estudiantes, de que elproblema no se termina cuando se llega a una respuesta; es aquí donde se trabaja la cuarta yúltima etapa de la metodología “visión retrospectiva”. Los estudiantes realizan un análisis yreflexión de todo el proceso resolutivo, y para ello, el docente guía esta etapa formulandopreguntas como:

• ¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento?• ¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes

emplear el resultado o el método en algún otro problema?• ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?• ¿Adviertes una solución más sencilla?• ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Pólya plantea que cuando se resuelve un problema (que es en sí el objetivo inmediato),también, se están creando habilidades posteriores para resolver cualquier tipo de problema.En otras palabras, cuando se hace la visión retrospectiva del problema que se resuelve, sepuede utilizar tanto la solución que se encuentra como el método de solución.

EL PAPEL DEL DOCENTE EN EL PROCESOUn aspecto muy relevante en todo este proceso es la función que tiene el docente.Según Pólya, el papel del maestro es “ayudar al alumno”, pero esto debe ser entendido con mucho cuidado.La ayuda que de un profesor debe ser la suficiente y la necesaria. Por ejemplo, no se puede plantear unproblema muy difícil y abandonar al estudiante a su propia suerte pero, tampoco, plantear un problema y queel mismo docente lo resuelva. Si se hace lo último no se enseña nada significativo al estudiante; en otraspalabras: es importante que el alumno asuma una parte adecuada del trabajo.

Hacer preguntas que se le hubieran podido ocurrir al alumno es, también, crucial en el proceso. Es por esoque Pólya plantea constantemente que el profesor debe ponerse en los zapatos del estudiante.

Allí surge una serie de circunstancias que apuntan al profesor como la única persona capaz de encontrar elmecanismo de solución para el problema:• Preguntar y señalar el camino de distintas formas.• Usar las preguntas para ayudar a que el alumno resuelva el problema y desarrollar en él la habilidad deresolver problemas.

Pólya recalca el interés.Según él, para resolver un problema lo que se tiene que tener fundamentalmente al inicio es interés deresolver el problema, por ello se debe buscar la manera de interesar al alumno a resolver problemas.Entonces, es relevante el tiempo que se dedique a exponer el problema: el profesor debe atraer a losestudiantes hacia el problema y motivar la curiosidad de los muchachos.

Un método que suele resultar útil es el de la imitación: el profesor debe ser un modelo para laResolución de Problemas. Entonces, él mismo debe hacer las preguntas cuando resuelve un problemaen la clase.

Ahora bien, es importante preparar con cuidado los ejemplos, no se debe proponer ahí problemas queparezcan imposibles, sino que realmente sean adecuados y que se encuentren al nivel del estudiante.

No consiste en dar una lista interminable de ejercicios para que resuelvan y punto, de lo contrario: setrata de sembrar la curiosidad y el interés por el problema.

El método de interrogar del profesor.El docente debe comenzar con una pregunta general o una sugerencia, ir poco a poco a preguntasmás precisas hasta obtener respuestas de los alumnos; luego debe realizar preguntas y sugerenciassimples y naturales.

Características de las preguntas y sugerenciasLa generalidadLas preguntas y sugerencias no están restringidas a un determinado tema. Ya sea un problemaalgebraico o geométrico, una adivinanza, o cualquier tipo de situación que nosotros queramosenfrentar, Pólya plantea que las preguntas son aplicables. Señala que cualquier tipo de persona sepuede interesar en la Resolución de Problemas.

El sentido comúnLas preguntas tienen que ser naturales, sencillas: es lo que dice Pólya constantemente ver en lapregunta ¿cuáles son sus datos? ¿Cuáles son sus posiciones? En realidad, este tipo de preguntasaplican a cualquier ámbito del saber y no necesariamente a la matemática. Sugieren ellas una ciertaconducta que debe presentarse en forma natural en la mente de cualquiera que tenga un ciertosentido común.

¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA?Pólya insiste mucho en empezar por el enunciado, visualizar el problema como un todo. Lo natural es queprimero se deba familiarizar con el problema como un todo; esto estimula la memoria. Ya visualizado setiene claro qué se tiene que resolver, y, una vez que suceda este proceso, se comprende el problema; aquí yase aíslan las partes y se comienza a resolver por partes el problema.

Una idea útil: comenzar por lo principal, verlo desde diferentes perspectivas, conectarlo con conocimientosanteriores, buscar algo familiar y útil en lo que ha hecho antes. Si se tiene una idea incompleta se debeconsiderar a fondo. Verificar en qué la idea le pueda servir y en qué no, ayudará a concebir el problema enforma global.

Ejecución del plan: inicie con la idea que lo lleve a la solución cuando esté seguro de poder suplir todos losdetalles. Asegúrese de que cada paso es correcto. Si es posible divida el proceso en pequeños y grandespasos.

Visión retrospectiva: una vez que se resuelve el problema es importante no dejar de lado que siempre hay unaprendizaje para analizar lo que se hizo; evidentemente se aplica posteriormente. El mismo problema puedeser útil en otro problema, no solo por el tipo de problema sino por el método de solución.

Las estrategias en la resolución de problemas.Para resolver problemas, necesitamos desarrollar determinadas estrategias que, en general, se aplican a ungran número de situaciones. Es importante que los estudiantes perciban que no existe una única estrategia,ideal e infalible de resolución de problemas. Asimismo, que cada problema amerita una determinadaestrategia y muchos de ellos pueden ser resueltos utilizando varias estrategias.Algunas de las estrategias que se pueden utilizar son:

-Tanteo y error organizados (métodos de ensayo y error):Esta estrategia consiste en elegir soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones del problema aesos resultados u operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar que eso no es posible.

- Resolver un problema similar más simple:Para obtener la solución de un problema muchas veces es útil resolver primero el mismo problema con datosmás sencillos y, a continuación, aplicar el mismo método en la solución del problema planteado, máscomplejo.

- Hacer una figura, un esquema, un diagrama, una tabla:En otros problemas se puede llegar fácilmente a la solución si se realiza un dibujo, esquema o diagrama; esdecir, si se halla la representación adecuada. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el apoyo deimágenes que con el de palabras, números o símbolos.

Ejemplo:a) CUYES Y GALLINAS

Juan cría en su chacra solamente cuyes y gallinas. Un día, jugando, le dijo a su hijo:“Contando todas las cabezas de mis animales obtengo 60 y contando todas sus patas obtengo 188.¿Cuántos cuyes y cuántas gallinas tengo?”

Resolución:Paso 1: Comprendiendo el problema.Tenemos que hallar cuántos cuyes y cuántas gallinas tiene el papá de Juan.Se sabe que hay 60 cabezas y 188 patas. También se sabe que un cuy tiene 4 patas y una gallina 2 patas.

Paso 2: Elaborando un plan.

Plan A: Estrategia: Tanteo y error organizados.Se intenta hallar la solución dando valores al azar a la cantidad de cuyes y a partir de ellosobtener el número de gallinas. Para verificar si la respuesta es correcta se calcula el total depatas con esos valores. Se puede construir una tabla para que el trabajo sea más ordenado.

Plan B: Estrategia: Plantear ecuaciones.Cantidad de cuyes: xCantidad de gallinas: yCantidad de cabezas: x + y = 60Cantidad de patas: 4x + 2y = 188Hemos traducido el problema en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x e y.Para hallar la solución del problema, tenemos que resolver este sistema de ecuaciones.

Paso 3: Ejecutando el plan.Plan A:En total hay 60 animales.Todos no pueden ser gallinas porque entonces habría 120 patas.Tampoco todos pueden ser cuyes porque entonces habría 240 patas.Debe haber exactamente 188 patas.Para poder continuar razonando vamos a hacer una tabla:

Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas.

Este problema pudo ser resuelto mediante esta estrategia porque se ha trabajado con números relativamente pequeños. Sin embargo, si se tratase de números mayores y más complejos necesitaríamos realizar una mayor cantidad de tanteos y podríamos no llegar a la solución.

Plan B:

Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de sustitución:x + y = 60 (1)4x + 2y = 188 (2)De (1) se obtiene: x = 60 - y (3)Sustituyendo el valor de x en (2):4(60 - y) + 2y = 188240 – 4y + 2y = 188240 – 2y = 188-2y = 188 – 240-2y = - 522y = 52y = 52/2y = 26

Sustituyendo el valor de y en (3):x = 60 − yx = 60 − 26x=34

Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas.

Paso 4. Hacer la verificación.Sustituimos los valores de x e y para confirmar que se cumplan las igualdades que hallamosal inicio:x + y = 60 4x + 2y = 18834 + 26 = 60 es correcto. 4(34) + 2(26) = 188136 + 52 = 188 es correcto.

b) CONSTRUYENDO UN MUROAntonio tiene un terreno grande que quiere dividir en dos partes. Para esto tiene queconstruir un muro. En el primer día de construcción usó 3/8 de los adobes que tenía; en elsegundo día usó 1/6 de los adobes que tenía. Entonces contó los adobes que le quedabanpara usar en el tercer día y eran 55. ¿Cuántos adobes tenía cuando comenzó a construir elmuro?

Resolución:Paso 1: Comprende el problema.- ¿Qué pide el problema?La cantidad de adobes que tenía al comenzar a construir el muro.- ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?Antonio tiene cierta cantidad de adobes.En el primer día utiliza 3/8 de esa cantidad.En el segundo día utiliza 1/6 de esa cantidad.Le quedan 55 de adobes para el tercer día.

Paso 2: Elabora un plan.Plan A: Estrategia: Hacer un esquema.

Observa que la suma de las fracciones que representan al número de adobes que se utiliza cada día esigual a la unidad, la cual representa la cantidad total de adobes que tenía para trabajar los 3 días. Hallamosla fracción que representa a los adobes que se utilizan el primer y segundo día, mediante una suma defracciones. Luego hallamos la fracción que representa a los adobes que se utilizan el tercer día, restando ala unidad la fracción anterior. Finalmente, reducimos a la unidad y hacemos el cálculo.

Plan B: Estrategia: Utilizar una ecuación.Total de adobes: xAdobes utilizados en el primer día: 3/8 xAdobes utilizados en el segundo día: 1/6 xAdobes utilizados en el tercer día: 55El total de adobes es igual a la suma de los adobes utilizados cada día:3/8 x +1/6 x + 55 = x

Paso 3: Ejecuta el plan.Plan A:Fracción que representa la cantidad de adobes utilizados en el primer y segundo días:

Fracción que representa la cantidad de adobes utilizados el tercer día:

Como el número de adobes que quedaron para el tercer día es 55, se puede afirmar que: 11/24 equivalen a 55Por lo tanto: 1/24 equivalen a 55/11 = 5Finalmente, como 1 =24/24 entonces 24/24 equivalen a 5 x 24 = 120O entonces, completando la unidad, de un modo más esquemático:

Respuesta: Antonio tenía 120 adobes cuando comenzó a construir el muro.

Plan B:Resolviendo la ecuación que hallamos en el paso anterior:

Respuesta: Antonio tenía 120 adobes cuando comenzó a construir el muro.

Paso 4. Hacer la verificación.Cantidad de adobes utilizados en el primer día: